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Análisis estructural estáticamente
determinadas
Escalante Espinoza, Nelver Javier; Osorio
Rojas, Eberardo Antonio; Quillos Ruiz,
Serapio Agapito; Tume Ramirez, Hipolito;
Sparrow Alamo, Edgar Gustavo; López
Carranza, Atilio Rubén; Calderón Rodríguez,
Luis Carlos
© Escalante Espinoza, Nelver Javier; Osorio
Rojas, Eberardo Antonio; Quillos Ruiz,
Serapio Agapito; Tume Ramirez, Hipolito;
Sparrow Alamo, Edgar Gustavo; López
Carranza, Atilio Rubén; Calderón Rodríguez,
Luis Carlos, 2026
Primera edición (1.ª ed.): enero, 2026
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Editorial Mar Caribe
Análisis estructural estáticamente determinadas
Colonia, Uruguay
2026
3
Índice
Prólogo ................................................................................................... 9
Introducción ......................................................................................... 10
Capítulo I .............................................................................................. 13
Tratado técnico sobre el análisis de estructuras estáticamente
determinadas ........................................................................................ 13
Fundamentos mecánicos del equilibrio en sistemas isostáticos ............ 14
La física de las restricciones y los tipos de apoyo ............................. 15
Criterios de determinación y estabilidad estructural ........................... 15
Formulación para marcos y pórticos planos .................................... 15
Determinación en armaduras o cerchas ........................................... 16
Análisis detallado de vigas isostáticas y sistemas Gerber .................... 17
Procedimiento analítico y relaciones diferenciales ........................... 17
Vigas Gerber: Sistemas de tramos articulados ................................. 18
Metodologías avanzadas para el análisis de armaduras ...................... 19
El método de los nudos: equilibrio puntual ..................................... 19
El método de las secciones (Rier): Eciencia selectiva .................... 20
Arcos de tres articulaciones: estructuras a compresión ........................ 20
El fenómeno del empuje horizontal ................................................ 21
Teoría de las líneas de inuencia en sistemas isostáticos ..................... 22
Propiedades y métodos de construcción ......................................... 22
El marco normativo peruano y el análisis isostático ............................ 23
Norma E.020: Cargas y reducción de sobrecargas ............................ 23
Norma E.030: Diseño Sismorresistente en Lima (Zona 4) ................. 24
Norma E.060 (Concreto) y E.090 (Acero) ......................................... 25
Estabilidad cinemática y análisis de fallos en el diseño ....................... 26
Mecanismos de inestabilidad geométrica ........................................ 26
4
Capítulo II ............................................................................................ 28
Estrategias y marcos de trabajo en la implementación de software para el
análisis de estructuras estáticamente determinadas ................................ 28
Evolución y vigencia del análisis isostático en el entorno digital ......... 28
Arquitectura algorítmica de los métodos tradicionales ....................... 30
Sistematización del Método de los Nudos ....................................... 30
El Método de las Secciones y la generación de leyes de esfuerzos .... 31
Ecosistema de herramientas y plataformas de desarrollo .................... 32
Líderes comerciales y capacidades MEF .......................................... 32
Innovación en la nube y automatización mediante API ................... 33
Bibliotecas de Python para ingeniería estructural ............................ 33
Arquitectura de software y patrones de diseño aplicados ................... 34
El patrón Modelo-Vista-Controlador (MVC) y la Arquitectura en
Capas ............................................................................................. 35
Patrones de comportamiento y procesamiento de datos .................. 35
Calidad del código y mantenibilidad .............................................. 36
Implementación de la Teoría de Euler-Bernoulli ................................. 36
Visualización y postprocesamiento en la ingeniería civil ..................... 37
Gracación de diagramas de esfuerzos con Matplotlib y Plotly ....... 37
Renderizado 3D e integración con APIs de modelado ..................... 38
Automatización y optimización: el enfoque académico en Perú .......... 38
Investigaciones en el repositorio de la UNI y PUCP ........................ 39
Automatización de la documentación técnica en proyectos
estructurales .................................................................................. 40
El papel del álgebra lineal en el motor de cálculo ................................ 40
Operaciones vectoriales y matriciales .............................................. 41
Algoritmos de resolución: Eliminación Gaussiana y Pivoteo ........... 41
Vericación, validación y mejores prácticas profesionales ................... 42
5
Estrategias de Vericación y Validación (V&V) ............................... 42
Buenas prácticas en la creación de hojas de cálculo y scripts ............ 42
El futuro: Inteligencia Articial y Lenguaje Natural en FEA ................ 43
FeaGPT y la interfaz conversacional para simulación ...................... 43
Visión articial aplicada al análisis estructural ................................ 44
Capítulo III ........................................................................................... 46
Tratado integral de mecánica de estructuras: Evolución, teoría y aplicación
de los métodos de análisis ..................................................................... 46
Clasicación y principios fundamentales del análisis estructural ........ 47
Análisis estático frente al análisis dinámico ..................................... 47
Linealidad y no linealidad estructural ............................................. 49
Métodos clásicos de análisis manual para estructuras hiperestáticas ... 50
El método de distribución de momentos de Hardy Cross ................ 50
El método de pendiente-deexión (Slope-Deection) ...................... 51
Métodos de energía y teoremas de Castigliano ................................ 52
Análisis matricial de estructuras: el método de la rigidez .................... 53
Concepto de rigidez y construcción de matrices locales ................... 53
Transformación de coordenadas y ensamblaje global ...................... 54
Aplicación de condiciones de contorno y resolución ....................... 54
El método de los elementos nitos (MEF) en la ingeniería estructural . 55
Discretización y funciones de forma ............................................... 55
Tipologías de elementos y aplicaciones prácticas ............................ 56
Análisis sismorresistente según la normativa técnica peruana (E.030) . 57
Parámetros de peligro sísmico y sitio .............................................. 57
Análisis estático frente al análisis dinámico modal .......................... 58
Criterios de regularidad y control de derivas .................................. 58
Software de ingeniería estructural y algoritmos de cálculo .................. 59
6
Ecosistema de software de CSI: SAP2000 y ETABS .......................... 59
Algoritmos para el análisis dinámico: Eigen y Ri .......................... 60
Síntesis de la práctica del análisis estructural moderno ....................... 60
Capítulo IV ........................................................................................... 62
Análisis Integral de las Estructuras Articuladas Isostáticas: Teoría,
Métodos de Cálculo y Aplicaciones en la Ingeniería Estructural ............. 62
Fundamentos Físicos y Mecánicos de las Estructuras Articuladas ....... 63
Hipótesis de Diseño y Simplicaciones Estructurales ...................... 63
El Concepto de Isostaticidad y Equilibrio Estático ........................... 64
Análisis de Estabilidad y Determinación Estática ............................... 65
Isostaticidad Exterior ...................................................................... 65
Isostaticidad Interior y Grado de Hiperestaticidad .......................... 66
Metodologías Analíticas de Resolución .............................................. 67
El Método de los Nudos ................................................................. 67
El Método de las Secciones o de Rier ............................................ 68
El método de Henneberg para estructuras complejas ...................... 68
Tipologías de Armaduras de Puentes: Evolución y Eciencia .............. 69
Armaduras Pra y Howe: La Dualidad Tensión-Compresión .......... 69
Armadura Warren: Simplicidad y Versatilidad ................................ 70
Armaduras para Grandes Luces: Baltimore, K y Parker ................... 70
Estructuras Articuladas en Edicación y Techumbres ......................... 71
Armadura Fink: El Estándar de las Cubiertas .................................. 71
Otras Conguraciones de Techo ..................................................... 71
Comparativa Técnica: Sistemas Isostáticos frente a Hiperestáticos ...... 72
Respuesta ante Variaciones Térmicas y Asentamientos .................... 72
Redundancia y Seguridad Estructural ............................................. 73
Aplicaciones Especiales: Grúas y Maquinaria de Elevación ................. 74
7
Grúas Torre y de Celosía ................................................................ 74
Grúas Pórtico para Construcción de Puentes ................................... 75
Perspectiva de Diseño: Del Cálculo Manual a la Era Digital ................ 75
Capítulo V ............................................................................................ 77
Análisis técnico-cientíco de los principios de trabajo y energía en el
diseño de estructuras isostáticas y su integración en la normativa peruana
............................................................................................................. 77
Fundamentos termodinámicos y la ley de conservación de la energía
estructural ......................................................................................... 77
El principio del trabajo virtual y el método de la carga unitaria .......... 80
Pasos metodológicos para la aplicación en vigas y pórticos isostáticos
...................................................................................................... 81
Teoremas de Castigliano: Derivación parcial de la energía .................. 82
Propiedades de los materiales y rigidez estructural en el contexto
peruano ............................................................................................. 84
Límites de deexión y estados límite de servicio en el RNE ................ 85
Límites en concreto armado (E.060) ................................................ 86
Límites en estructuras metálicas (E.090) .......................................... 86
Reciprocidad de Maxwell-Bei y su importancia en la simetría
estructural ......................................................................................... 87
Integración con el método de los elementos nitos y software moderno
.......................................................................................................... 88
Dinámica, sismo y disipación de energía ............................................ 90
Aplicación práctica: Análisis de deexión en una armadura Warren
isostática............................................................................................ 91
Consideraciones sobre cargas ambientales y térmicas ......................... 92
Capítulo VI ........................................................................................... 94
Teoría y Praxis del Método de Equilibrio y Rigidez en Estructuras
Estáticamente Determinadas ................................................................. 94
8
Evolución Histórica y el Surgimiento del Paradigma Matricial ............ 94
Fundamentos Mecánicos y Relaciones Constitutivas ........................... 96
El Principio de Equilibrio Estático ................................................... 96
La Condición de Compatibilidad Cinemática .................................. 97
Leyes de comportamiento del material ........................................... 97
Caracterización de la Rigidez y Grados de Libertad ........................ 98
Identicación de Grados de Libertad (GL)....................................... 98
El Método de Rigidez en Estructuras Isostáticas .............................. 99
Transformación de Coordenadas Locales a Globales ....................... 99
Ensamblaje de la Matriz de Rigidez Global ................................... 100
El Principio de Contravarianza y la Dualidad Estática-Cinemática .... 101
Procedimiento Detallado para Vigas y Armaduras Isostáticas ....... 102
Análisis de un Arco Triarticulado ................................................. 103
Factores que Afectan la Rigidez: Wilbur y Muto ............................ 103
Implementación Computacional y Uso de Software .......................... 104
Ftool y el Análisis Educativo ......................................................... 104
Software Profesional y BIM .......................................................... 105
El Análisis Estructural en la Academia Peruana: El Legado de la UNI y
la PUCP ........................................................................................... 105
La contribución de Genaro Delgado Contreras .............................. 105
El Enfoque en la PUCP y la UPC ................................................... 106
Análisis Dinámico y Matriz de Masa ............................................. 106
Efectos Térmicos y Deformaciones Impuestas ............................... 107
El Futuro del Análisis Estructural: Algoritmos y Datos .................. 107
Conclusión .......................................................................................... 109
Bibliografía ......................................................................................... 112
9
Prólogo
El diseño de infraestructuras seguras y ecientes no comienza con
complejos algoritmos computacionales, sino con la comprensión profunda de
cómo las cargas viajan a través de la materia. En el aprendizaje de la ingeniería
civil y mecánica, el estudio de las estructuras estáticamente determinadas
representa el cimiento sobre el cual se construye toda la intuición física del
profesional.
Este libro, “Análisis estructural estáticamente determinadas”, nace de la
necesidad de ofrecer una hoja de ruta clara en un entorno técnico cada vez más
dependiente del software. Si bien las herramientas digitales son indispensables en
la práctica moderna, su uso sin un criterio sólido convierte al ingeniero en un
simple operador. Esta obra invita al lector a volver a las raíces: el equilibrio, la
geometría y la lógica.
¿Qué encontrará en estas páginas?: A lo largo de sus capítulos, el texto guía al
estudiante y al profesional a través de un recorrido lógico que incluye:
• Los principios del equilibrio: Un repaso exhaustivo de las leyes de Newton
aplicadas a sistemas rígidos.
• Sistemas de alma llena y reticulados: Metodologías precisas para el cálculo
de reacciones y esfuerzos internos en vigas, marcos y armaduras.
• Líneas de inuencia: Herramientas vitales para comprender el
comportamiento de estructuras bajo cargas móviles.
• Cálculo de deexiones: Una introducción a la energía y el trabajo como
métodos para predecir la deformación estructural.
La ingeniería no es solo la aplicación de fórmulas, sino el arte de la
simplicación responsable. A través de numerosos ejemplos resueltos y problemas
propuestos, este libro enfatiza que una estructura isostática no es solo un caso
idealizado, sino el punto de partida para comprender la redundancia y la
estabilidad de los sistemas más complejos. Esperamos que este texto no solo sea
un compañero de estudio en las aulas, sino una fuente de consulta constante que
recuerde al lector que, antes de que existieran los superordenadores, la humanidad
ya desaaba la gravedad mediante el dominio de las ecuaciones de equilibrio.
Nelver Javier Escalante Espinoza
10
Introducción
El diseño y la construcción de infraestructuras seguras y ecientes
representan uno de los desafíos más antiguos y fundamentales de la
ingeniería civil y arquitectónica. En el corazón de esta disciplina se
encuentra el Análisis Estructural, un proceso riguroso que permite predecir
cómo una conguración física resistirá las cargas impuestas por la
naturaleza y la actividad humana.
Este libro, titulado "Análisis estructural estáticamente determinadas",
se centra en el estudio de aquellos sistemas donde las fuerzas internas y las
reacciones pueden obtenerse exclusivamente mediante la aplicación de las
ecuaciones de equilibrio de la estática. Aunque en la práctica moderna
abundan las estructuras hiperestáticas, el dominio de los sistemas
isostáticos es el paso ineludible para cualquier profesional en formación.
Las estructuras estáticamente determinadas, o isostáticas, poseen
una propiedad única: su equilibrio interno no depende de las propiedades
del material (como el módulo de Young) ni de las dimensiones de la sección
transversal, sino estrictamente de su geometría y la disposición de sus
apoyos. A lo largo de esta obra, se exploran los principios fundamentales
que rigen el comportamiento de vigas, armaduras y marcos. Se profundiza
en métodos clásicos que han resistido la prueba del tiempo, tales como:
• El método de los nudos y secciones para armaduras.
• Diagramas de fuerzas internas (cortante, momento y axial) para
vigas y pórticos.
11
• El cálculo de deexiones mediante métodos energéticos como el
Trabajo Virtual.
El propósito central de esta obra es proporcionar un marco teórico y
práctico exhaustivo que permita la comprensión y resolución de sistemas
estructurales donde el equilibrio es la herramienta denitiva de análisis. El
objetivo general es desarrollar un análisis integral de las estructuras
estáticamente determinadas, estableciendo las bases conceptuales, los
métodos de cálculo y las aplicaciones prácticas que permitan al lector
evaluar la estabilidad y el comportamiento interno de diversos sistemas
estructurales bajo diferentes condiciones de carga.
Este estudio es importante debido a la relevancia de la seguridad
estructural en la ingeniería moderna. Además, en el contexto actual, donde
predomina el uso de software de cálculo avanzado, aumenta el riesgo de
que el ingeniero pierda la capacidad crítica para vericar los resultados. Las
estructuras estáticamente determinadas representan la forma más pura de
transferencia de cargas. Su estudio permite comprender cómo la geometría,
y no solo el material, dicta la estabilidad de una obra.
Este análisis constituye el lenguaje básico de la ingeniería estructural.
Sin el dominio de la isostaticidad, es imposible abordar con rigor sistemas
complejos o hiperestáticos. Así, comprender el ujo de fuerzas internas
permite proponer diseños preliminares más ecientes y económicos desde
las etapas iniciales de un proyecto, reduciendo el margen de error y el
desperdicio de materiales.
Se espera que los lectores denan con precisión las ecuaciones de la
estática en el plano y en el espacio para determinar reacciones y fuerzas
12
internas, evaluar la eciencia de las estructuras de barras articuladas
mediante los métodos de nudos y secciones, comprendiendo cómo la
geometría inuye en la distribución de esfuerzos axiales e implementar el
uso de líneas de inuencia para determinar las posiciones de carga que
generan los efectos más desfavorables en estructuras como puentes y
pasarelas.
13
Capítulo I
Tratado técnico sobre el análisis de
estructuras estáticamente determinadas
El análisis estructural representa la disciplina fundamental que
permite comprender la interacción entre las fuerzas externas y la integridad
física de los sistemas construidos. Dentro de este campo, las estructuras
estáticamente determinadas, comúnmente denominadas isostáticas,
constituyen el pilar fundamental tanto para el aprendizaje académico como
para la práctica profesional rigurosa. Una estructura se dene como
estáticamente determinada cuando es posible resolver la totalidad de sus
incógnitas mecánicas —reacciones en los apoyos y esfuerzos internos—
mediante la aplicación exclusiva de las leyes del equilibrio estático. Este
principio implica que el sistema posee exactamente la cantidad de vínculos
necesarios para garantizar su estabilidad sin redundancias que compliquen
el cálculo mediante métodos algebraicos lineales básicos.
La relevancia de los sistemas isostáticos trasciende la mera facilidad
de cálculo. En la ingeniería civil, estas estructuras poseen propiedades
mecánicas únicas, como la insensibilidad a los esfuerzos inducidos por
cambios de temperatura o asentamientos diferenciales en los apoyos. Al no
poseer restricciones redundantes, la estructura puede deformarse
libremente ante variaciones térmicas o desplazamientos en su base sin
generar tensiones internas adicionales, una característica que las diferencia
drásticamente de los sistemas hiperestáticos o indeterminados.
14
Fundamentos mecánicos del equilibrio en sistemas
isostáticos
El comportamiento de cualquier sólido bajo cargas se rige por los
principios de la mecánica racional. En un entorno bidimensional (2D), un
cuerpo rígido dispone de tres grados de libertad: traslación en dos ejes
ortogonales y rotación en el plano. Para que la estructura se encuentre en
un estado de reposo absoluto, se deben satisfacer las tres ecuaciones
fundamentales de la estática, que postulan que la resultante de fuerzas y de
momentos debe ser nula en cualquier punto del sistema (Alvarado et al.,
2012).
Analíticamente, estas condiciones se expresan mediante las
ecuaciones generales de equilibrio:
En sistemas tridimensionales (3D), la complejidad se duplica, ya que
el cuerpo posee seis grados de libertad. El análisis en este nivel requiere la
resolución de seis ecuaciones de equilibrio simultáneas: tres para fuerzas en
los ejes y tres para los momentos respecto a dichos ejes. La
transición del análisis 2D al 3D es fundamental para comprender
estructuras complejas como los marcos espaciales o las armaduras de gran
envergadura, donde la estabilidad depende de la restricción total de los
desplazamientos y giros en el espacio tridimensional.
15
La física de las restricciones y los tipos de apoyo
La interacción entre la estructura y su entorno se materializa a través
de los apoyos. Estos dispositivos mecánicos tienen la función de restringir
grados de libertad especícos, generando reacciones proporcionales a las
cargas externas aplicadas. La correcta identicación de estas reacciones es
el primer paso crítico en el proceso de análisis isostático.
El análisis de las reacciones no es meramente un ejercicio
matemático; representa la transferencia de carga desde la superestructura
hacia la subestructura y la cimentación. En el contexto de la ingeniería
peruana, regulada por el Reglamento Nacional de Edicaciones (RNE), el
diseño de estos apoyos debe considerar no solo las cargas gravitatorias sino
también las solicitaciones dinámicas impuestas por la actividad sísmica.
Criterios de determinación y estabilidad estructural
Para que una estructura sea clasicada como estáticamente
determinada, el número de reacciones externas y de fuerzas internas
desconocidas debe coincidir exactamente con el número de ecuaciones de
equilibrio independientes que se pueden plantear (Janssen et al., 2024). Este
concepto se cuantica mediante el Grado de Indeterminación Estática (GIE).
Si el GIE es igual a cero, la estructura es isostática; si es mayor que cero, es
hiperestática; y si es menor que cero, es hipostática o inestable.
Formulación para marcos y pórticos planos
En el análisis de pórticos planos, se utiliza una relación que vincula
el número de barras ( ), el número de reacciones ( ) y el número de nudos
16
o juntas ( ). La expresión estándar para evaluar la determinación externa e
interna combinada es:
Donde representa las ecuaciones de condición proporcionadas
por articulaciones internas o rótulas. Una estructura se considera isostática
siempre que se cumpla la estabilidad cinemática. Es fundamental entender
que la igualdad numérica no garantiza la estabilidad. Una estructura puede
poseer tres reacciones (lo que sugeriría determinación para una viga plana),
pero si las tres reacciones son paralelas o concurrentes en un mismo punto,
el sistema se convierte en un mecanismo incapaz de resistir momentos o
desplazamientos especícos, lo que resulta en una inestabilidad geométrica
o en un vínculo aparente.
Determinación en armaduras o cerchas
Las armaduras son sistemas de barras articuladas diseñados para
trabajar exclusivamente bajo fuerzas axiales. El criterio de determinación en
estos sistemas es distinto debido a que los nudos actúan como articulaciones
perfectas donde no se transmiten momentos. Para una armadura plana con
barras, reacciones y nudos, la relación de determinación se establece
mediante la fórmula:
17
Si esta igualdad se cumple, la armadura es isostática. Sí ,
existen barras o reacciones redundantes que requieren métodos de
compatibilidad de deformaciones (análisis hiperestático) para su
resolución.10 En el espacio tridimensional, cada nudo ofrece tres ecuaciones
de equilibrio, por lo que la relación evoluciona a 0,7 . La
geometría triangular es la base de la estabilidad en las armaduras, ya que el
triángulo es la única gura geométrica articulada que es intrínsecamente
rígida.
Análisis detallado de vigas isostáticas y sistemas Gerber
Las vigas son elementos estructurales cuyo diseño está gobernado
por la exión y el corte. El análisis de una viga isostática requiere
determinar las funciones de esfuerzos internos a lo largo de toda su
longitud, lo cual se visualiza mediante los diagramas de fuerza cortante y
de momento ector.
Procedimiento analítico y relaciones diferenciales
El análisis comienza invariablemente con el Diagrama de Cuerpo
Libre (DCL), donde se aíslan las cargas externas y se sustituyen los apoyos
por sus reacciones equivalentes. Una vez halladas las reacciones mediante
y , se procede a realizar cortes imaginarios en
secciones arbitrarias para exponer las fuerzas internas. Las convenciones de
signos son cruciales: una fuerza cortante es positiva si tiende a hacer girar
el segmento de viga en sentido horario, y un momento ector es positivo si
comprime las bras superiores (cóncavo hacia arriba) (Moebs et al., 2021).
18
Existen relaciones matemáticas fundamentales que vinculan la carga
distribuida ( ), la fuerza cortante ( ) y el momento ector ( ):
1. La derivada de la fuerza cortante respecto a la posición es igual al valor
negativo de la intensidad de la carga distribuida .
2. La derivada del momento ector respecto a la posición es igual a la
fuerza cortante .
Estas leyes permiten deducir que en los puntos donde la fuerza
cortante cruza por cero, el momento ector alcanza un valor máximo o
mínimo local. Asimismo, el área bajo el diagrama de cortante entre dos
puntos representa el cambio neto en el momento ector entre dichos
puntos.
Vigas Gerber: Sistemas de tramos articulados
Las vigas Gerber representan una solución ingeniosa para extender
la aplicación de los principios isostáticos a vigas continuas de múltiples
apoyos. Mediante la inserción de articulaciones internas (rótulas) en puntos
estratégicos —generalmente donde el momento ector sería nulo de forma
natural—, una viga hiperestática se transforma en un sistema de tramos
isostáticos conectados (Alemán, 2024).
El análisis de una viga Gerber se realiza mediante un proceso de
descomposición o despiece. Se identican dos tipos de tramos:
● Tramos SEP (Sin Equilibrio Propio): Son aquellos que requieren los
tramos adyacentes para mantenerse estables.
● Tramos CEP (Con Equilibrio Propio): Son tramos que pueden
sostenerse por sí mismos y, además, sirven de apoyo a los tramos SEP.
19
El orden de cálculo es descendente: se resuelven primero las vigas
apoyadas (SEP) y sus reacciones se transeren como cargas puntuales
invertidas a las vigas de soporte (CEP). Este método asegura que el sistema
completo pueda ser analizado tramo por tramo utilizando únicamente la
estática básica.
Metodologías avanzadas para el análisis de armaduras
El cálculo de las fuerzas internas en las barras de una armadura
isostática es fundamental para el diseño de puentes y techos industriales.
Se utilizan principalmente dos enfoques analíticos: el método de los nudos
y el método de las secciones, también llamado método de Rier.
El método de los nudos: equilibrio puntual
Este procedimiento se basa en el principio de que si una estructura
está en equilibrio, cada uno de sus nudos también debe estarlo. Al tratar
cada nudo como una partícula, se aplican las ecuaciones de equilibrio de
fuerzas concurrentes (García et al., 2003).
● Aplicabilidad: Es el método ideal cuando se requiere conocer la fuerza
en todas las barras de la armadura.
● Limitación: Solo se pueden resolver nudos con un máximo de dos
incógnitas. Además, los errores de cálculo en los nudos iniciales se
propagan sistemáticamente al resto de la estructura.
● Procedimiento: Se calculan primero las reacciones globales. Luego, se
selecciona un nudo con dos o menos barras desconocidas, se establecen
las ecuaciones y se determinan las fuerzas axiales. Se
asume la tracción como positiva; un resultado negativo indica
compresión.
20
El método de las secciones (Rier): Eciencia selectiva
El método de Rier es una herramienta poderosa que permite
determinar la fuerza en una barra especíca sin necesidad de resolver toda
la estructura. Se basa en el equilibrio de un cuerpo rígido obtenido tras
realizar un corte imaginario a través de la armadura (Georey, 2005).
● Ventaja estratégica: Al dividir la armadura en dos secciones, se
exponen las fuerzas internas de las barras cortadas como fuerzas
externas sobre la sección aislada. Al disponer de tres ecuaciones de
equilibrio ( ), se pueden resolver hasta tres
incógnitas simultáneamente.
● Uso de la ecuación de momentos: La técnica más eciente consiste en
tomar momentos respecto al punto de intersección de dos de las barras
desconocidas, lo que permite despejar la tercera incógnita en una sola
operación algebraica.
● Limitación: El corte no debe atravesar más de tres barras con fuerzas
desconocidas, a menos que existan condiciones geométricas especiales
(como barras paralelas).
Arcos de tres articulaciones: estructuras a compresión
Los arcos son sistemas estructurales que transforman las cargas
verticales en fuerzas de compresión axial predominantes, lo que permite
cubrir luces mayores que las de las vigas convencionales. El arco de tres
articulaciones es la conguración isostática por excelencia en esta tipología,
consistente en dos segmentos unidos por una articulación en la corona y
apoyados en dos articulaciones en la base.
21
El fenómeno del empuje horizontal
La característica mecánica denitoria del arco es la generación de
reacciones horizontales hacia afuera en los apoyos, conocidas como empuje
horizontal ( ). Este empuje es el que "cierra" el arco y reduce drásticamente
los momentos ectores en comparación con una viga de la misma luz (ver
Tabla 1).
Tabla 1: El fenómeno del empuje horizontal
Componente de Reacción
Método de Obtención
Implicación Estructural
Reacciones Verticales ( )
Equilibrio global
( )
Soportan la carga
gravitatoria total
Empuje Horizontal ( )
Equilibrio de una mitad
respecto a la corona
( )
Reduce la exión; requiere
cimentaciones capaces de
resistir empuje lateral
El momento ector en cualquier sección de un arco triarticulado se
calcula como la diferencia entre el momento que existiría en una viga simple
equivalente y el momento producido por el empuje horizontal multiplicado
por la altura del arco en ese punto . Este principio
permite que, si la forma del arco (directriz) sigue la línea de presiones de las
cargas, los momentos ectores sean nulos, lo que optimiza el uso del
material.
22
Teoría de las líneas de inuencia en sistemas isostáticos
El diseño de infraestructuras sujetas a cargas móviles, como puentes
vehiculares o vigas de grúas viajeras, requiere un análisis que vaya más allá
de las cargas jas. Las líneas de inuencia (LI) proporcionan una
representación gráca de cómo cambia una respuesta estructural (reacción,
cortante o momento) en un punto jo a medida que una carga unitaria se
desplaza a lo largo de la estructura (Cervera y Blanco, 2002).
Propiedades y métodos de construcción
Para estructuras estáticamente determinadas, las líneas de inuencia
se caracterizan por ser siempre funciones lineales (tramos rectos). Su
análisis permite identicar la "posición crítica" de la carga para maximizar
un esfuerzo determinado.
Existen dos métodos principales para su determinación:
1. Método Estático: Se coloca una carga unitaria en una posición variable
y se derivan analíticamente las ecuaciones de equilibrio en función
de dicha variable. Es un proceso riguroso pero laborioso para
estructuras complejas.
2. Principio de Müller-Breslau: postula que la línea de inuencia de una
magnitud elástica es proporcional a la conguración deformada de la
estructura cuando se elimina la restricción de dicha magnitud y se
aplica un desplazamiento unitario. En sistemas isostáticos, este
desplazamiento genera movimientos de cuerpo rígido sin deformación
elástica, lo que explica por qué las LI son líneas rectas.
23
La aplicación práctica de las LI es fundamental en el diseño de
puentes. Por ejemplo, para calcular la reacción máxima en un apoyo debido
a un tren de cargas (como el camión de diseño), se multiplican las
magnitudes de las cargas por las ordenadas correspondientes de la línea de
inuencia y se suman los efectos. Si la carga es distribuida, el efecto se
calcula multiplicando la intensidad de la carga por el área bajo la línea de
inuencia en la longitud donde actúa la carga.
El marco normativo peruano y el análisis isostático
En el Perú, el ejercicio de la ingeniería estructural está supeditado al
cumplimiento del Reglamento Nacional de Edicaciones (RNE). Aunque la
mayoría de los edicios modernos son hiperestáticos, el análisis isostático
es la base para el diseño de componentes secundarios, puentes y naves
industriales.
Norma E.020: Cargas y reducción de sobrecargas
La Norma E.020 establece los requisitos para las cargas muertas
(peso propio) y vivas (uso). Un aspecto técnico avanzado de esta norma es
la regulación de la reducción de la carga viva para elementos que soportan
grandes áreas de inuencia ( ). Esta reducción se basa en la baja
probabilidad estadística de que toda la supercie de un edicio esté cargada
a su máxima capacidad simultáneamente (ver Tabla 2).
24
Tabla 2: Cargas y reducción de sobrecargas
Tipo de Miembro
Área de Inuencia (Ai)
Restricción de Reducción
Vigas Isostáticas
Las líneas de inuencia para
estructuras isostáticas están
formadas por segmentos
rectos
No reducible si la carga viva
kPa (500 kgf/m²)
Columnas y Muros
Suma de áreas de inuencia
por nivel
Mínimo 40% o 50% de la
carga original según el caso
La aplicación de estas reducciones permite un diseño más económico
y realista, evitando el sobredimensionamiento de los elementos
estructurales críticos.
Norma E.030: Diseño Sismorresistente en Lima (Zona 4)
Dada la alta sismicidad del territorio peruano, la norma E.030 es el
documento más crítico para el análisis estructural. Clasica al país en cuatro
zonas sísmicas. Lima se encuentra en la Zona 4, la de mayor peligro, con un
factor de zona , que representa la aceleración máxima esperada
en roca.
Para estructuras regulares y de poca altura, la norma permite el uso
del análisis estático o de fuerzas equivalentes. Este procedimiento asume
que la estructura responde principalmente en su modo fundamental de
vibración y simplica el sismo como una serie de fuerzas horizontales
25
aplicadas en cada nivel (Rupay et al., 2022). El cortante basal ( ) se calcula
mediante la fórmula:
Donde representa el peso sísmico de la edicación (100% de carga
muerta y un porcentaje de la carga viva, usualmente el 25% o el 50% según
la categoría del edicio). La norma exige que, incluso en sistemas
isostáticos, se garantice la redundancia estructural y la ductilidad, evitando
sistemas que dependan de un solo elemento para su estabilidad lateral.
Norma E.060 (Concreto) y E.090 (Acero)
El análisis de vigas de concreto armado bajo la E.060 requiere la
vericación de los estados límite de servicio y de resistencia. Para Vielma et
al. (2007), en vigas isostáticas, es vital asegurar que la falla sea dúctil
(uencia del acero antes del aplastamiento del concreto). La cuantía de
acero ( ) debe situarse entre un mínimo normativo, para evitar fallas
frágiles, y un máximo, para asegurar la ductilidad.
En estructuras metálicas (Norma E.090), el análisis de tijerales
isostáticos debe considerar la esbeltez de las barras. Los elementos en
compresión son susceptibles al pandeo global y local, por lo que se deben
seguir los lineamientos de diseño por Esfuerzos Admisibles (ASD) o por
Factores de Carga y Resistencia (LRFD), vericando que la carga crítica de
Euler no sea excedida por las solicitaciones de diseño.
26
Estabilidad cinemática y análisis de fallos en el diseño
Un sistema puede ser estáticamente determinado desde el punto de
vista numérico ( ) y, sin embargo, ser inestable debido a una
disposición incorrecta de sus vínculos. Este fenómeno se conoce como
inestabilidad cinemática o vínculo aparente (Guardia, 2025).
Mecanismos de inestabilidad geométrica
1. Concurrencia de reacciones: Si las líneas de acción de tres reacciones
en un plano coinciden en un único punto, el sistema no puede resistir
momentos respecto a ese punto, lo que permite una rotación innita
bajo cualquier carga no concurrente.
2. Paralelismo de reacciones: Si todas las fuerzas de reacción son
paralelas, la estructura carece de restricción en la dirección
perpendicular, lo que permite un desplazamiento traslacional sin
oposición.
3. Inestabilidad interna: En armaduras, la disposición de las barras debe
garantizar que el sistema sea indeformable. La falta de una diagonal en
un panel cuadrado, aunque el número total de barras cumpla la
ecuación , genera un mecanismo de falla local.
El ingeniero debe realizar siempre una inspección cualitativa del
sistema de soporte para asegurarse de que la estructura sea capaz de
mantener su forma geométrica bajo cualquier conjunto de cargas externas.
Históricamente, el análisis de estructuras estáticamente
determinadas se realizaba de forma manual, fomentando el desarrollo de la
27
intuición estructural. Sin embargo, en la práctica profesional
contemporánea, el uso de software de cálculo es la norma.
Programas como SkyCiv, RFEM, Diamonds y Ftool permiten
modelar estructuras isostáticas de forma rápida, proporcionando
diagramas de esfuerzos, reacciones y deformaciones instantáneamente.
Estos sistemas operan internamente mediante el método de la rigidez
matricial, que es una generalización computacional de los principios de
equilibrio y compatibilidad. A pesar de esta automatización, el
conocimiento de los métodos clásicos descritos en este tratado sigue siendo
imperativo para la validación de resultados y la toma de decisiones críticas
durante la fase de concepción estructural, donde la simplicidad de un
sistema isostático puede ofrecer soluciones elegantes y económicas a
problemas de ingeniería complejos.
En síntesis, el análisis de estructuras estáticamente determinadas
constituye el cimiento sobre el cual se edica todo el conocimiento de la
ingeniería estructural. Desde el equilibrio de una viga simple hasta la
complejidad de un arco triarticulado o una armadura espacial, los
principios de la estática proporcionan las herramientas necesarias para
garantizar la seguridad de las edicaciones. En un país con la complejidad
geológica y sísmica del Perú, la aplicación rigurosa de estos conceptos, en
armonía con el Reglamento Nacional de Edicaciones, es la única garantía
para el desarrollo de una infraestructura resiliente y duradera.
28
Capítulo II
Estrategias y marcos de trabajo en la
implementación de software para el análisis
de estructuras estáticamente determinadas
El análisis estructural ha experimentado una metamorfosis radical
desde las metodologías puramente grácas y manuales del siglo XIX hasta
los ecosistemas computacionales hiperconectados de la actualidad. En el
centro de esta evolución se encuentra la capacidad de traducir los principios
inmutables de la estática en algoritmos ecientes y arquitecturas de
software robustas. Las estructuras estáticamente determinadas, o
isostáticas, representan el punto de partida esencial para cualquier
desarrollo en este campo, no solo por su relevancia pedagógica, sino
también porque constituyen los componentes fundamentales de sistemas
más complejos y permiten una validación directa basada exclusivamente en
las leyes del equilibrio. La implementación moderna de software en este
dominio no se limita a la resolución de sistemas de ecuaciones; abarca la
integración de ujos de trabajo de modelado de información (BIM), la
automatización mediante interfaces de programación de aplicaciones (API)
y la visualización interactiva de estados tensionales.
Evolución y vigencia del análisis isostático en el entorno
digital
La denición técnica de una estructura estáticamente determinada
reside en su capacidad de resolverse mediante la aplicación de las
29
ecuaciones de equilibrio estático, sin necesidad de recurrir a condiciones de
compatibilidad de deformaciones o a leyes constitutivas del material para
determinar las reacciones y esfuerzos internos (Cudmani, 2007). Para un
cuerpo rígido en un plano bidimensional, esto se traduce en la satisfacción
de tres condiciones fundamentales de equilibrio: la sumatoria de fuerzas en
los ejes cartesianos y la sumatoria de momentos respecto a cualquier punto
del plano deben ser nulas.
A pesar de que las estructuras contemporáneas tienden al
hiperestatismo por razones de redundancia y seguridad, el análisis de
sistemas isostáticos sigue siendo una prioridad en el desarrollo de software.
Esto se debe a que el motor de cálculo de cualquier plataforma de ingeniería
civil debe ser capaz de identicar y procesar subsistemas isostáticos para
garantizar la estabilidad global. Un software que no puede detectar la
inestabilidad inherente a una estructura con menos restricciones de las
necesarias ( ) es inherentemente peligroso. Por tanto, la
implementación de algoritmos de vericación de la determinación estática
es la primera línea de defensa en la arquitectura de un sistema de análisis
estructural (ver Tabla 3).
Tabla 3: Condición de estabilidad en estructuras
Condición de Estabilidad
Relación Matemática
Implicación en el Software
Estáticamente Determinada
Solución única mediante
estática.
30
Estáticamente
Indeterminada
Requiere métodos de
exibilidad o rigidez.
Inestable (Hipostática)
El sistema de ecuaciones es
singular (no resoluble).
Arquitectura algorítmica de los métodos tradicionales
La digitalización de los métodos clásicos de análisis estructural
requiere una descomposición lógica que permita transformar la inspección
visual humana en procesos secuenciales para la computadora. Los dos
pilares de esta transformación son el método de los nudos y el método de
las secciones.
Sistematización del Método de los Nudos
El método de los nudos se basa en el equilibrio de fuerzas
concurrentes en cada unión de una armadura. En una implementación
manual, el analista busca nudos con un máximo de dos incógnitas para
proceder de forma iterativa. Sin embargo, en el software, este enfoque
secuencial resulta ineciente y propenso a errores de propagación. La
implementación profesional opta por la formulación matricial global del
equilibrio (Hibbeler, 2010).
En esta formulación, se construye una matriz de coecientes que
encapsula la topología de la estructura. Cada la de la matriz representa
una ecuación de equilibrio (fuerzas en o para cada nodo) y cada
31
columna corresponde a una incógnita (esfuerzo axial en una barra o una
reacción de apoyo). La relación resultante es un sistema lineal:
Donde es el vector de esfuerzos y reacciones y el vector de
cargas nodales aplicadas. El software debe manejar la construcción de esta
matriz a partir de los cosenos directores de los elementos, los cuales se
calculan a partir de las coordenadas de los nodos iniciales y nales. Este
enfoque matricial permite al desarrollador utilizar bibliotecas de álgebra
lineal de alto rendimiento como NumPy en Python o Lapack en C++,
resolviendo estructuras de miles de nodos en fracciones de segundo.
El Método de las Secciones y la generación de leyes de esfuerzos
Para vigas y marcos, el método de secciones es la base para la
generación de diagramas de esfuerzos internos (axiales, cortantes y de
momento). El algoritmo de implementación divide el elemento estructural
en intervalos basados en la ubicación de cargas puntuales, en cambios en la
magnitud de cargas distribuidas o en la presencia de apoyos (Meriam y
Kraige, 2014). En cada intervalo, el software genera funciones matemáticas
que describen el comportamiento de los esfuerzos internos.
La lógica interna del programa debe respetar las convenciones de
signos de la mecánica de sólidos. Por lo general, un corte a la izquierda de
una sección considera las fuerzas que vienen desde ese lado, donde el
cortante hacia arriba y el momento antihorario se denen como positivos.
La precisión del software en este punto es crítica, especialmente al calcular
32
los máximos y mínimos locales del momento ector, que ocurren en los
puntos donde el diagrama de cortante cruza por cero.
Ecosistema de herramientas y plataformas de desarrollo
La implementación de software estructural se maniesta hoy en tres
vertientes principales: herramientas comerciales consolidadas, soluciones
en la nube con enfoque en la automatización y bibliotecas de código abierto
orientadas a la personalización.
Líderes comerciales y capacidades MEF
Software como SAP2000, Robot Structural Analysis y ETABS domina
el mercado profesional debido a su capacidad para manejar no solo análisis
isostáticos, sino también dinámicos, no lineales y de elementos nitos
(MEF). SAP2000 destaca por su versatilidad en infraestructuras generales,
con una interfaz gráca 3D orientada a objetos que facilita la denición de
casos de carga complejos. Robot Structural Analysis, por su parte, se
benecia de una integración profunda con el ecosistema BIM de Autodesk,
lo que permite que el modelo analítico se derive directamente del modelo
arquitectónico.
Dlubal Software, con su producto RFEM 6, ofrece un enfoque
modular en el que los usuarios pueden añadir complementos para el diseño
de materiales especícos como madera, vidrio o aluminio, manteniendo
una base de cálculo de elementos nitos altamente eciente. Estas
herramientas comerciales garantizan la abilidad mediante procesos de
calidad (QA) rigurosos, aunque su costo puede ser una barrera para la
automatización a gran escala por parte de usuarios individuales.
33
Innovación en la nube y automatización mediante API
SkyCiv ha transformado el paradigma del software estructural al
ofrecer una plataforma basada íntegramente en la nube, accesible desde el
navegador. Más allá de la interfaz gráca, su valor reside en la SkyCiv API,
que permite a los ingenieros automatizar el modelado y el análisis
utilizando lenguajes como Python.
A través de la API, se pueden construir modelos estructurales
programáticamente enviando objetos JSON que denen nodos, elementos,
secciones y cargas. Esto permite realizar estudios de optimización
paramétrica en los que el script ajusta las dimensiones de la estructura hasta
encontrar la conguración más eciente que cumpla con los criterios de
diseño, algo que llevaría horas en un software tradicional. Además, la
capacidad de generar reportes PDF con cálculos "paso a paso" proporciona
una transparencia inusual en el software propietario, facilitando la
auditoría de los resultados por parte de terceros.
Bibliotecas de Python para ingeniería estructural
Python se ha consolidado como la lengua franca de la computación
cientíca y el análisis estructural no es la excepción. Diversas bibliotecas
permiten implementar soluciones isostáticas con un nivel de
personalización extremo:
● AnaStruct: Especializada en el análisis bidimensional de estructuras de
barras. Es ideal para aplicaciones educativas y scripts rápidos de
vericación, lo que permite denir apoyos y cargas distribuidas y
obtener diagramas de esfuerzos con pocas líneas de código.
● PyNite: Una biblioteca de elementos nitos ligera que soporta análisis
34
3D y 2D, el manejo de combinaciones de cargas y la generación de
diagramas de deexión y de esfuerzos internos. Su diseño intuitivo
permite a ingenieros con conocimientos básicos de programación
integrar análisis avanzados en sus ujos de trabajo.
● OpenSeesPy: La interfaz de Python para OpenSees, un potente motor
de código abierto para simulaciones sísmicas y estructurales
avanzadas. Aunque su complejidad es mayor, ofrece capacidades de
análisis no lineal y dinámico que superan a muchos software
comerciales (ver Tabla 4).
Tabla 4: Bibliotecas en Python y C++
Biblioteca
Lenguaje
Especialidad
Nivel de
Complejidad
AnaStruct
Python
Marcos y vigas 2D
Bajo
PyNite
Python
MEF general 2D/3D
Medio
OpenSeesPy
Python
Análisis sísmico y
no lineal
Alto
RSTAB
C++/C#
Marcos y cerchas
profesionales
Comercial
Arquitectura de software y patrones de diseño aplicados
Para que un software estructural sea conable y escalable, su
implementación debe seguir principios de ingeniería de software robustos.
35
La complejidad de los datos estructurales exige arquitecturas que
desacoplen la lógica de cálculo de la representación visual.
El patrón Modelo-Vista-Controlador (MVC) y la Arquitectura en
Capas
El patrón MVC es fundamental en aplicaciones estructurales. El
Modelo contiene los datos físicos (nodos, secciones, matrices de rigidez); la
Vista se encarga de representar estos datos (diagramas de momentos,
renders 3D de la deformación) y el Controlador gestiona la interacción del
usuario y el ujo del análisis estructural (España et al., 2016).
Complementariamente, la arquitectura en capas asegura que las
capas superiores (interfaz de usuario) no dependan de los detalles de
implementación de las capas inferiores (motores de álgebra lineal). Esto
facilita, por ejemplo, cambiar el motor de resolución de ecuaciones de un
método de eliminación gaussiana simple a un solver de matrices dispersas
optimizado sin afectar la experiencia del usuario.
Patrones de comportamiento y procesamiento de datos
En sistemas que manejan grandes volúmenes de datos, como el
monitoreo de salud estructural en tiempo real, se aplican patrones como
Event-Driven Architecture (arquitectura dirigida por eventos). Esto permite
que el software reaccione a cambios en las lecturas de sensores o
actualizaciones en el modelo arquitectónico de forma asíncrona,
manteniendo la uidez de la aplicación.
Para ujos de trabajo de preprocesamiento, en los que la geometría
debe transformarse en una malla de elementos nitos y luego en resultados
36
analíticos, el patrón Pipe-Filter es muy efectivo. Cada etapa del ujo actúa
como un ltro que transforma los datos y los transmite al siguiente
componente, garantizando una trazabilidad clara del proceso.
Calidad del código y mantenibilidad
La implementación profesional de software de ingeniería debe evitar
el "acoplamiento fuerte" entre componentes. El uso de la inyección de
dependencias permite probar módulos de cálculo de forma aislada
mediante datos simulados (mocking), lo cual es vital para la vericación del
software. Además, la adopción de convenciones de nomenclatura claras y
la documentación mediante herramientas como HandCalcs o PyLaTeX
permiten que el código sea autodocumentado, facilitando que otros
ingenieros veriquen la lógica física detrás de las líneas de programación.
Implementación de la Teoría de Euler-Bernoulli
El núcleo del análisis de vigas y marcos en el software estructural
suele basarse en la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Esta teoría supone
que las secciones transversales permanecen planas y normales al eje neutro
tras la deformación, lo cual es una aproximación excelente para elementos
esbeltos (Hughes, 1987).
La matriz de rigidez local para un elemento de marco plano integra
los efectos de carga axial, cortante y de exión. En un entorno de
programación, esta matriz se dene en función de las propiedades del
elemento: área ( ), módulo de Young ( ), momento de inercia ( ) y
longitud ( ).
37
La implementación en Python utiliza arreglos de NumPy para estas
matrices, lo que permite realizar transformaciones de coordenadas
mediante la multiplicación por matrices de rotación basadas en el ángulo
de inclinación del elemento. Este proceso de transformación es el puente
que permite llevar las fuerzas del sistema de coordenadas local del elemento
al sistema de coordenadas global de la estructura.
Visualización y postprocesamiento en la ingeniería civil
Un análisis estructural es tan útil como la capacidad del ingeniero
para interpretar sus resultados. El postprocesamiento de datos estructurales
requiere técnicas de visualización avanzadas que vayan más allá de simples
tablas numéricas (Colina y Ramírez, 2000).
Gracación de diagramas de esfuerzos con Matplotlib y Plotly
Las bibliotecas de visualización de Python son herramientas
potentes para generar la documentación gráca necesaria en un proyecto
estructural. Matplotlib es la opción estándar para grácos 2D estáticos de
alta calidad, lo que permite superponer diagramas de momentos ectores
sobre la geometría de la viga, con control milimétrico de las escalas y las
anotaciones.
38
Para interfaces interactivas y cuadros de mando (dashboards), se
utilizan Plotly o Bokeh. Estas bibliotecas permiten al usuario rotar modelos
3D, inspeccionar valores de esfuerzo en puntos especícos mediante el
desplazamiento del ratón y visualizar animaciones de los modos de
vibración o de la deformación bajo diferentes hipótesis de carga. El uso de
contornos de color (heatmaps) facilita la identicación rápida de zonas
críticas donde los esfuerzos superan la capacidad resistente de la sección.
Renderizado 3D e integración con APIs de modelado
El software moderno ofrece capacidades de renderizado 3D que
permiten visualizar no solo la línea analítica de la estructura, sino también
la sección transversal real extruida a lo largo de su longitud. Esta
visualización ayuda a detectar errores de modelado, como orientaciones
incorrectas de los ejes débiles y fuertes de las columnas o interferencias
geométricas que no se aprecian en un modelo de barras simple.
La integración con APIs como la de FreeCAD permite que los
resultados del análisis estructural generen automáticamente cambios en la
geometría del modelo CAD. Por ejemplo, un script puede aumentar el
peralte de una viga isostática si la deexión calculada supera los límites de
servicio, cerrando el ciclo entre el análisis y el diseño detallado sin
intervención manual.
Automatización y optimización: el enfoque académico
en Perú
La academia en Perú, en particular instituciones como la
Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) y la Ponticia Universidad
Católica del Perú (PUCP), ha liderado investigaciones signicativas en la
39
automatización del análisis estructural isostático e hiperestático aplicado a
la realidad local.
Investigaciones en el repositorio de la UNI y PUCP
Las tesis y proyectos de investigación en estas universidades se han
enfocado recientemente en la implementación de la metodología BIM
(Building Information Modeling) para optimizar el diseño estructural de
edicaciones de concreto armado y acero. Un tema recurrente es la
automatización de la obtención de mediciones y cantidades de obra
mediante el uso de APIs de software de modelado 3D, lo que permite una
gestión de proyectos basada en datos más precisa.
Además, se han desarrollado estudios sobre el análisis numérico de
la respuesta estructural de edicios típicos en Lima, considerando la
inuencia de elementos como tanques de agua elevados o la interacción
suelo-estructura mediante inclusiones rígidas. Estas investigaciones a
menudo emplean software comercial como ETABS o SAP2000, pero
integran scripts personalizados en Python o MATLAB para procesar
grandes volúmenes de datos sísmicos y generar reportes automatizados
siguiendo la normativa peruana E.030 de Diseño Sismorresistente (ver Tabla
5).
Tabla 5: Desarrollo de software en universidades (ejemplos)
Universidad
Área de Investigación
Tecnología Aplicada
UNI
Modelado y gestión BIM
APIs de software 3D, VDC
40
PUCP
Optimización de diseño
S-Bim, automatización de
cantidades
U. de Lima
IA en seguridad y confort
Redes neuronales, visión
articial
Automatización de la documentación técnica en proyectos
estructurales
Una de las mayores ineciencias en la práctica de la ingeniería
estructural es la transcripción manual de resultados en memorias de
cálculo. La implementación de software moderno busca solucionar esto
mediante la generación automática de documentación. Herramientas como
HandCalcs permiten que el ujo de trabajo en un Jupyter Notebook sea
directamente exportable a un reporte PDF profesional, donde se muestran
no solo los resultados nales, sino también todas las fórmulas y
sustituciones intermedias. Esto mejora la transparencia y facilita la revisión
por parte de las entidades gubernamentales o de revisores independientes,
reduciendo los tiempos de aprobación de proyectos.
El papel del álgebra lineal en el motor de cálculo
El éxito de cualquier implementación de software estructural reside
en la eciencia de su motor de álgebra lineal. La resolución de sistemas de
ecuaciones para estructuras isostáticas puede parecer trivial, pero requiere
un manejo cuidadoso de la precisión numérica y la estabilidad del
algoritmo.
41
Operaciones vectoriales y matriciales
El uso de operaciones vectoriales, como el producto punto y el
producto cruz, es esencial para calcular momentos y transformar fuerzas en
el espacio 3D. En lenguajes como Rust o Python, la gestión de memoria y el
aprovechamiento del paralelismo en operaciones matriciales permiten que
el software sea escalable.
La transposición de matrices es una operación frecuente en el análisis
estructural. Por ejemplo, al convertir desplazamientos globales en locales,
se utiliza la transpuesta de la matriz de rotación. Debido a que las matrices
de rotación son ortogonales, su transpuesta es igual a su inversa, una
propiedad que el software eciente debe aprovechar para evitar cálculos
innecesarios de inversas de matrices (Blanco et al., 2015).
Algoritmos de resolución: Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Para sistemas isostáticos, el método de eliminación gaussiana sigue
siendo un estándar de implementación. Sin embargo, para evitar errores de
redondeo numérico, es fundamental implementar técnicas de pivoteo
parcial o de escalado de columna. Estas técnicas reordenan las las del
sistema de ecuaciones para que los elementos de la diagonal principal
(pivotes) sean los de mayor valor absoluto posible, garantizando que las
divisiones durante la eliminación no ampliquen los errores de precisión.
El software debe ser capaz de detectar si la matriz es singular antes
de proceder. Una matriz singular en el análisis estructural indica que la
estructura es hipostática o que existe un mecanismo de colapso, lo que debe
activar de inmediato una alerta al usuario en lugar de intentar una división
por cero (Blanco et al., 2015).
42
Vericación, validación y mejores prácticas
profesionales
A medida que el software de ingeniería se vuelve más potente y
complejo, la necesidad de procesos de Vericación y Validación (V&V) se
vuelve crítica. Los ingenieros no deben tratar al software como una "caja
negra" infalible.
Estrategias de Vericación y Validación (V&V)
La vericación busca conrmar que el software resuelve las
ecuaciones matemáticas correctamente. Esto se logra comparando los
resultados del programa con soluciones analíticas exactas de problemas
clásicos de la estática. Por otro lado, la validación se encarga de determinar
si el modelo matemático elegido representa adecuadamente el fenómeno
físico real. Esto requiere comparar los resultados del software con datos
experimentales obtenidos de pruebas de carga en estructuras reales o en
modelos a escala.
Las empresas de software estructural deben seguir procedimientos
de Garantía de Calidad del Software (SQA), documentando cada cambio en
el código y manteniendo una suite de pruebas de regresión que asegure que
las actualizaciones del software no introduzcan errores en funcionalidades
que antes funcionaban correctamente.
Buenas prácticas en la creación de hojas de cálculo y scripts
Para los ingenieros que desarrollan sus propias herramientas de
cálculo en Excel o Python, existen mejores prácticas fundamentales:
● Separación de entradas y lógica: Los datos de entrada (propiedades de
43
materiales, geometría) deben estar claramente separados de las celdas
o funciones que realizan el cálculo. Esto evita que cambios accidentales
en las fórmulas corrompan los resultados.
● Uso de nombres de variables: En lugar de referirse a celdas como
"B15", se deben utilizar nombres descriptivos como "Fy" (límite de
uencia) o "Ix" (momento de inercia). Esto hace que las fórmulas sean
legibles y fáciles de auditar por un revisor.
● Documentación de fuentes: Cada cálculo debe incluir referencias a las
normativas aplicables (como el código ACI 318 o la norma E.060 de
concreto armado) para justicar los coecientes y factores de seguridad
utilizados.
● Uso de grácos de vericación: Incluir diagramas automáticos de
cuerpo libre y de esfuerzos ayuda a identicar, mediante la inspección
visual, errores de modelado evidentes.
El futuro: Inteligencia Articial y Lenguaje Natural en
FEA
La próxima frontera en la implementación de software estructural es
la integración de modelos de lenguaje de gran escala (LLM) y técnicas de
inteligencia articial para democratizar el acceso a herramientas avanzadas.
FeaGPT y la interfaz conversacional para simulación
Marcos de trabajo emergentes como FeaGPT proponen un cambio de
paradigma: permitir que el ingeniero controle el ujo de trabajo de análisis
estructural mediante lenguaje natural. En lugar de manipular manualmente
menús y herramientas de dibujo, el usuario describe la estructura ("una viga
de acero de 6 metros, apoyada en los extremos, con una carga puntual de 10
44
kN en el centro"). El sistema utiliza el LLM para interpretar la intención,
generar la geometría paramétrica en FreeCAD, crear la malla en Gmsh,
congurar el solver CalculiX y presentar los resultados nales.
Esta integración no solo mejora la accesibilidad, sino que también
permite una exploración del diseño mucho más rápida. Un ingeniero podría
pedirle a la IA que "genere y analice 10 variaciones de la armadura
optimizando el peso de las barras superiores", algo que tradicionalmente
requeriría un experto en programación de optimización. Sin embargo, esta
facilidad de uso aumenta la necesidad de sistemas de validación
automáticos que aseguren que los resultados generados por la IA son
físicamente consistentes.
Visión articial aplicada al análisis estructural
Otra aplicación innovadora es el uso de la visión articial para
convertir bocetos dibujados a mano en modelos estructurales analizables.
Mediante modelos de detección de objetos y reconocimiento de números,
un sistema puede procesar una fotografía de una viga dibujada en un
cuaderno, identicar los apoyos, las cargas y las dimensiones, y exportar un
modelo listo para ser resuelto en OpenSees. Aunque esta tecnología aún
enfrenta desafíos con la interpretación de unidades y caligrafías complejas,
representa una herramienta de inmenso valor para revisiones rápidas en
campo y para facilitar la transición del diseño conceptual al análisis técnico.
La implementación de software en el análisis estructural
estáticamente determinado ha evolucionado de ser una mera calculadora
de soporte a convertirse en un ecosistema de diseño inteligente. La base
teórica de la estática isostática, aunque centenaria, sigue siendo el ltro
45
denitivo de validez para cualquier sistema computacional. La tendencia
hacia la automatización mediante APIs, la integración con BIM y el uso
incipiente de IA están redeniendo el papel del ingeniero estructural,
desplazando su labor del cálculo manual repetitivo hacia la supervisión de
procesos automatizados y la toma de decisiones críticas basadas en datos.
El éxito en este campo no depende solo de la potencia del hardware
o de la complejidad del algoritmo, sino también de la robustez de la
arquitectura del software y del rigor de los procesos de vericación y
validación. A medida que las herramientas se vuelven más accesibles y
potentes, la responsabilidad del profesional de asegurar la integridad y la
seguridad de las estructuras aumenta. La formación del ingeniero
contemporáneo debe, por tanto, equilibrar un entendimiento profundo de
los principios físicos con una competencia técnica sólida en las herramientas
digitales que permiten aplicarlos a gran escala para construir un mundo
más seguro y eciente.
46
Capítulo III
Tratado integral de mecánica de estructuras:
Evolución, teoría y aplicación de los
métodos de análisis
La mecánica de estructuras constituye el núcleo fundamental de la
ingeniería civil y mecánica, proporcionando el marco teórico y práctico
necesario para comprender cómo los sistemas resistentes responden a las
cargas externas y a las deformaciones impuestas. En su acepción más
contemporánea, el análisis estructural se dene como el conjunto de
métodos y técnicas que permiten evaluar la viabilidad de las estructuras
diseñadas y el grado de satisfacción de múltiples criterios de diseño, como
la seguridad, la funcionalidad y la economía. El objetivo primordial de esta
disciplina es determinar la respuesta estructural, entendida como la
predicción de los estados de tensión y deformación a los que un sistema se
verá sometido durante su construcción y su vida útil.
Históricamente, el análisis de estructuras entronca con la tradición
de la resistencia de los materiales y la teoría de la elasticidad, cuyos orígenes
se remontan a la segunda mitad del siglo XVIII. El advenimiento de la
revolución industrial y la aparición de materiales como la fundición y el
acero impulsaron la necesidad de métodos de cálculo más precisos para
nuevas tipologías, como los puentes de grandes luces y las estructuras
reticuladas complejas. Desde los trabajos de Louis Navier sobre arcos
hiperestáticos hasta el desarrollo de los métodos matriciales y de elementos
47
nitos en el siglo XX, la disciplina ha evolucionado en paralelo con el poder
computacional, permitiendo hoy el análisis de sistemas con millones de
grados de libertad.
Clasicación y principios fundamentales del análisis
estructural
La organización de las partes de un sistema resistente determina su
comportamiento mecánico. Las estructuras pueden clasicarse según su
geometría en estructuras de barras y estructuras continuas. Las estructuras
de barras están formadas por elementos prismáticos donde una dimensión
predomina sobre las otras dos, como vigas, columnas y cerchas, y su análisis
suele abordarse desde los postulados de la resistencia de materiales,
asumiendo el principio de Saint-Venant para determinar tensiones a partir
de esfuerzos seccionales. Por otro lado, las estructuras continuas, como
placas, láminas y sólidos masivos, requieren métodos de discretización
numérica debido a la complejidad de las ecuaciones diferenciales que rigen
su comportamiento (Berrocal, 2007).
Análisis estático frente al análisis dinámico
Una distinción crítica en la mecánica de estructuras es la naturaleza
temporal de las acciones aplicadas. El análisis estructural se divide
fundamentalmente en estático y dinámico, basándose en si la aceleración de
la masa del sistema produce fuerzas de inercia signicativas en
comparación con las fuerzas de restauración elástica (Ver Tabla 6).
48
Tabla 6: Estática Vs. Dinámica
Característica
Análisis Estático
Análisis Dinámico
Denición
Evalúa cargas constantes o
que cambian muy
lentamente en el tiempo.
Examina la respuesta a
cargas que varían
rápidamente con el tiempo.
Parámetros medidos
Fuerzas internas, momentos
ectores y desplazamientos
bajo cargas jas.
Períodos de vibración,
frecuencias naturales y
formas modales.
Modelado de carga
Las cargas se consideran
constantes; no hay efectos de
frecuencia.
Las cargas incluyen efectos
de tiempo, inercia y
amortiguamiento.
Aplicaciones comunes
Peso propio, cargas muertas,
sobrecargas de uso
estacionarias.
Terremotos, vientos ráfagas,
impactos, tráco móvil en
puentes.
Complejidad
Generalmente directo y
lineal, con menor demanda
computacional.
Elevada complejidad;
requiere integración
temporal o análisis
espectral.
En el análisis estático, la respuesta es una conguración de equilibrio
único. En cambio, el análisis dinámico requiere considerar que la estructura
posee múltiples formas de vibrar, denominadas modos de vibración, cada
una asociada a una frecuencia especíca. Esta distinción es fundamental
para el diseño sismorresistente, donde la interacción entre las frecuencias
49
del suelo y las frecuencias de la estructura puede amplicar drásticamente
las solicitaciones.
Linealidad y no linealidad estructural
La mayoría de los códigos de diseño se basan en el análisis elástico
lineal, el cual supone que los desplazamientos son pequeños y que el
material sigue la ley de proporcionalidad de Hooke. Sin embargo, el
comportamiento real de las estructuras a menudo trasciende estos
supuestos (Berrocal, 2007).
La no linealidad puede ser de dos tipos principales:
1. No linealidad geométrica: Se presenta cuando grandes deformaciones
o rotaciones alteran la dirección y magnitud de las cargas internas. Un
ejemplo clásico es el efecto P-Delta en edicios altos, donde la carga
vertical sobre una columna desplazada lateralmente genera momentos
ectores adicionales que pueden comprometer la estabilidad global.
2. No linealidad del material: ocurre cuando la relación tensión-
deformación deja de ser proporcional, como en el caso de la uencia
del acero o el agrietamiento del concreto. El análisis no lineal permite
evaluar la capacidad de carga última y el mecanismo de colapso
mediante técnicas como el análisis pushover.
El uso de análisis no lineal es crítico para evaluar estructuras bajo
cargas dinámicas extremas, permitiendo una predicción más precisa del
daño esperado durante un evento sísmico severo. Mientras que el análisis
lineal es adecuado para el diseño básico por su eciencia, el análisis no
lineal es indispensable para la ingeniería de desempeño y la rehabilitación
estructural.
50
Métodos clásicos de análisis manual para estructuras
hiperestáticas
Antes del desarrollo masivo de los computadores, la ingeniería
estructural dependía de métodos iterativos y aproximaciones grácas para
resolver sistemas estáticamente indeterminados. Estos métodos siguen
siendo pilares en la formación académica y herramientas valiosas para la
vericación rápida de resultados computacionales.
El método de distribución de momentos de Hardy Cross
Publicado en 1930, el método de Cross permitió a los ingenieros
resolver pórticos complejos sin recurrir a la resolución de grandes sistemas
de ecuaciones simultáneas. El método se basa en el concepto de que cada
nudo de una estructura rígida tiene una capacidad de resistencia al giro
proporcional a la rigidez de las barras que en él concurren (Akaogi, 2017).
El procedimiento iterativo del método de Cross se resume en los
siguientes pasos:
1. Cálculo de momentos de empotramiento perfecto (MEP): Se asume
que todos los nudos están bloqueados contra el giro. Se calculan los
momentos producidos por las cargas externas en los extremos de cada
barra.
2. Determinación de factores de distribución (FD): La rigidez exional
de una barra ( ) se dene como la relación entre el producto del
módulo de elasticidad ( ) y el momento de inercia ( ) dividido por la
longitud ( ). El factor de distribución para un nudo es la rigidez de
una barra especíca dividida por la suma de las rigideces de todas las
51
barras conectadas a ese nudo ( ).
3. Distribución y transporte: Los momentos de desequilibrio en cada
nudo se reparten entre las barras concurrentes según sus FD.
Posteriormente, se realiza un transporte de momentos al otro extremo
de la barra, generalmente utilizando un factor de transporte de 0.5 para
nudos empotrados.
4. Convergencia: El proceso se repite hasta que los momentos
distribuidos sean tan pequeños que no afecten el resultado nal,
logrando generalmente una precisión adecuada en 3 o 4 iteraciones.
Este método es particularmente ecaz para vigas continuas y marcos
sin desplazamientos laterales. Para estructuras con ladeo, se requiere la
aplicación de métodos adicionales o correcciones por desplazamientos.
El método de pendiente-deexión (Slope-Deection)
A diferencia de Cross, el método de pendiente-deexión es un
método de desplazamientos que expresa los momentos en los extremos de
las barras como funciones lineales de las rotaciones angulares y los
desplazamientos de los nudos (Beer et al., 2013). Las ecuaciones
fundamentales relacionan los momentos internos con los grados de libertad
de la estructura, permitiendo establecer ecuaciones de equilibrio en cada
nudo.
El procedimiento estándar incluye:
● Identicar los grados de libertad (rotaciones y desplazamientos lineales
desconocidos).
● Aplicar las fórmulas de momentos de empotramiento perfecto para las
52
cargas aplicadas.
● Escribir las ecuaciones de pendiente-deexión para cada extremo de
barra en función de las rotaciones ( ) y desplazamientos ( ).
● Establecer las ecuaciones de equilibrio de nudos y, en caso de pórticos
con ladeo, las ecuaciones de equilibrio de cortante de piso.
● Resolver el sistema de ecuaciones para hallar los desplazamientos y,
así, sustituir estos valores para obtener los momentos internos.
Métodos de energía y teoremas de Castigliano
Los métodos energéticos se basan en el principio de conservación de
la energía, donde el trabajo realizado por las cargas externas se almacena
como energía de deformación interna en el sistema elástico.
El segundo
es una herramienta poderosa para el cálculo de deexiones y la
resolución de estructuras hiperestáticas. Este establece que la derivada
parcial de la energía de deformación total respecto a una carga aplicada es
igual al desplazamiento en la dirección de dicha carga (Beer et al., 2013).
Donde es la energía interna, la cual depende de los esfuerzos
axiales, momentos ectores y cortantes integrados a lo largo de la
estructura. El procedimiento implica el uso de cargas cticias cuando se
desea calcular desplazamientos en puntos donde no existen cargas reales.
Tras derivar la expresión de la energía e integrar sobre la longitud de los
53
elementos, se obtiene el valor de la deformación o rotación deseada. Estos
métodos son aplicables no solo a vigas y pórticos, sino también a armaduras
y estructuras mixtas.
Análisis matricial de estructuras: el método de la rigidez
El desarrollo de los computadores digitales permitió la
sistematización del análisis estructural mediante el álgebra matricial. El
método de la rigidez, también conocido como el método de los
desplazamientos, es el estándar de la industria debido a su naturaleza
algorítmica y su capacidad para manejar estructuras con miles de elementos
(Blanco et al., 2015).
Concepto de rigidez y construcción de matrices locales
La base del método es la relación constitutiva que vincula las fuerzas
nodales con los desplazamientos nodales a través de una matriz
de rigidez . Para cada elemento de la estructura, se dene una matriz de
rigidez local ( ) en un sistema de referencia alineado con la directriz del
elemento.
Por ejemplo, para una barra sometida exclusivamente a carga axial,
la matriz de rigidez local relaciona los desplazamientos axiales en sus
extremos:
54
Donde es el módulo de elasticidad, el área de la sección y la
longitud. Para elementos que trabajan a exión (vigas y pórticos), las
matrices son más complejas e incluyen términos de inercia ( ) y rigidez al
giro.
Transformación de coordenadas y ensamblaje global
Dado que los elementos de una estructura pueden tener
orientaciones arbitrarias en el espacio, es necesario transformar las matrices
locales en un sistema de coordenadas global único. Esto se logra mediante
una matriz de transformación ( ) basada en los cosenos directores de la
barra respecto a los ejes globales.
La matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales ( ) se
obtiene como:
El proceso de ensamblaje consiste en agrupar las matrices de cada
elemento en una gran matriz de rigidez global que represente a toda la
estructura. Este proceso asegura la compatibilidad de desplazamientos en
los nudos y el equilibrio de fuerzas externas.
Aplicación de condiciones de contorno y resolución
La matriz global ensamblada es singular, lo que signica que no
puede invertirse porque la estructura podría desplazarse como un sólido
rígido. Para obtener una solución única, es necesario aplicar las restricciones
de apoyo (condiciones de contorno). Esto implica eliminar las las y
55
columnas correspondientes a los grados de libertad restringidos o utilizar
métodos de penalización para imponer desplazamientos nulos (Blanco et
al., 2015).
Una vez aplicada la restricción, el sistema de ecuaciones reducido se
resuelve para encontrar los desplazamientos nodales incógnita. A partir de
estos desplazamientos, se pueden calcular las reacciones en los apoyos y los
esfuerzos internos en cada barra mediante la aplicación inversa de las
matrices de rigidez locales.
El método de los elementos nitos (MEF) en la ingeniería
estructural
El MEF representa la evolución natural de los métodos matriciales,
permitiendo el análisis de medios continuos y geometrías tridimensionales
complejas mediante la discretización del dominio en un número nito de
elementos más pequeños (Vázquez y López, 2001).
Discretización y funciones de forma
En el MEF, el comportamiento de un elemento se especica mediante
parámetros asociados a sus nodos. La variable principal (como el
desplazamiento) en el interior del elemento se aproxima a través de
funciones de interpolación o funciones de forma ( ).
El estado de deformación y tensión dentro de cada elemento se
dene de manera única en función de los desplazamientos nodales,
permitiendo establecer una relación entre fuerzas y desplazamientos de la
forma , análoga a la del cálculo matricial de barras. Una
propiedad fundamental del método es la convergencia: a medida que el
56
mallado se hace más no, la solución numérica se aproxima a la solución
exacta de las ecuaciones diferenciales del sistema.
Tipologías de elementos y aplicaciones prácticas
El éxito del MEF radica en su versatilidad para modelar diferentes
fenómenos físicos y geometrías (Ver Tabla 7).
Tabla 7: Tipología de elementos
Tipo de Elemento
Geometría
Aplicación Principal
Elementos Truss
Línea (2 nodos)
Armaduras, cerchas, cables
(solo carga axial).
Elementos Beam
Línea (2-3 nodos)
Vigas, pórticos, marcos
(exión, corte y axial).
Elementos Shell
Supercie (3-4 nodos)
Losas, muros, láminas,
cascarones (exión y
membrana).
Elementos Solid
Volumen (4-20 nodos)
Presas masivas,
cimentaciones,
componentes mecánicos 3D.
Elementos Elásticos 2D
Supercie (3-4 nodos)
Análisis de tensión y
deformación plana en
secciones.
57
El uso de elementos tipo shell es particularmente relevante en la
edicación para el diseño de losas de concreto armado, donde el programa
calcula la armadura necesaria integrando los momentos ectores
( ) y esfuerzos de membrana ( ) obtenidos del análisis.
Análisis sismorresistente según la normativa técnica
peruana (E.030)
En regiones de alta sismicidad como el Perú, el análisis de estructuras
debe cumplir con las exigencias de la norma técnica NTE E.030, la cual
establece principios para minimizar la pérdida de vidas humanas y
asegurar la operatividad de servicios básicos tras un sismo severo.
Parámetros de peligro sísmico y sitio
La norma cuantica la demanda sísmica a través de varios factores
que modican el espectro de respuesta.
● Factor de Zona (Z): Representa la aceleración máxima horizontal en
suelo rígido. El Perú se divide en 4 zonas, asignando valores desde
(Selva) hasta (Costa).
● Factor de Uso (U): Clasica las estructuras según su importancia. Las
edicaciones esenciales como hospitales tienen un factor ,
mientras que las viviendas comunes tienen .
● Parámetros de Suelo (S): El tipo de perl de suelo (desde roca dura S0
hasta suelos muy blandos S3) amplica las ondas sísmicas y dene la
forma de la meseta del espectro de diseño.
● Factor de Amplicación Sísmica (C): Relaciona el período de vibración
de la estructura con los períodos característicos del suelo,
58
disminuyendo la aceleración conforme la estructura es más exible.
Análisis estático frente al análisis dinámico modal
La norma establece criterios para elegir el método de análisis
adecuado en función de la altura, regularidad e importancia del edicio.
1. Análisis Estático o de Fuerzas Equivalentes: Representa el sismo como
fuerzas horizontales aplicadas en cada nivel. Es aplicable solo a
estructuras regulares en zonas de baja sismicidad o edicios de poca
altura. El cortante en la base se calcula como
, donde es el coeciente de reducción
de fuerza sísmica y el peso sísmico efectivo.
2. Análisis Dinámico Modal Espectral: Utiliza los modos de vibración y
sus masas participativas. Se debe considerar un número de modos tal
que se movilice al menos el 90% de la masa total de la estructura en
cada dirección. Los resultados de este análisis deben escalarse si el
cortante dinámico en la base es menor al 80% del estático en estructuras
regulares, o al 90% en irregulares.
Criterios de regularidad y control de derivas
La concepción estructural favorece la simetría y la continuidad tanto
en planta como en elevación. Las irregularidades (como el piso blando, la
irregularidad de masa o la discontinuidad del diafragma) penalizan el
diseño reduciendo el factor , lo que incrementa las fuerzas de diseño
(Vázquez y López, 2001).
Por ende, el control de las distorsiones de entrepiso (derivas) es el
requisito más riguroso de la norma peruana. Para estructuras de concreto
59
armado, la deriva máxima no debe exceder el 0.007. Los desplazamientos
calculados elásticamente se multiplican por o para obtener
los desplazamientos inelásticos máximos esperados.
Software de ingeniería estructural y algoritmos de
cálculo
El mercado actual ofrece diversas herramientas de software
especializadas que implementan los métodos de análisis antes descritos. La
elección del programa depende de la tipología del proyecto y los
requerimientos de diseño.
Ecosistema de software de CSI: SAP2000 y ETABS
Computers and Structures, Inc. (CSI) desarrolla los programas más
utilizados en el ámbito global para el cálculo estructural.
● SAP2000: Es un software de propósito general. Es la herramienta ideal
para estructuras complejas y variadas como puentes, presas, tanques,
estadios y estructuras industriales. Ofrece una exibilidad superior
para modelar elementos sólidos y realizar análisis no lineales
avanzados.
● ETABS: Está optimizado especícamente para edicios de varios
niveles. Automatiza la creación de diafragmas de piso, la distribución
de cargas gravitatorias y el diseño de elementos de concreto y acero
según normativas locales. A diferencia de SAP2000, ETABS suele
concentrar la masa del objeto de barra en los nudos extremos, lo que
puede requerir una discretización manual para capturar con precisión
los modos de vibración verticales en vigas de gran vano.
60
Algoritmos para el análisis dinámico: Eigen y Ri
En el análisis dinámico, la determinación de los modos de vibración
es el paso computacional más costoso. Los ingenieros deben elegir entre dos
tipos de vectores para el análisis modal:
● Vectores Eigen (Vectores Propios): Son la solución matemática pura
del sistema de ecuaciones de masa y rigidez. Representan las
frecuencias naturales libres de la estructura. Son adecuados cuando no
hay una carga dominante predenida.
● Vectores Ri (Vectores de Carga-Dependientes): Se calculan
considerando la distribución espacial de las cargas dinámicas
aplicadas. Para el mismo número de modos, los vectores Ri
proporcionan una mayor masa participativa y convergen más rápido
en el análisis de espectro de respuesta, especialmente para
aceleraciones verticales y análisis sísmicos complejos.
El algoritmo de Lanczos es el método iterativo más utilizado por
estos programas para encontrar los valores propios más útiles de matrices
grandes y dispersas, superando en eciencia a los métodos tradicionales de
transformación de Householder en sistemas de gran escala.
Síntesis de la práctica del análisis estructural moderno
La mecánica de estructuras ha evolucionado desde las
aproximaciones iterativas manuales hacia un campo dominado por la
simulación computacional de alta delidad. Sin embargo, la esencia del
análisis estructural permanece inalterada: la búsqueda de un equilibrio
satisfactorio entre la seguridad, la funcionalidad y la economía.
61
La integración de la metodología BIM (Building Information
Modeling) representa la tendencia actual, donde programas como Revit y
Tekla se sincronizan con herramientas de análisis para permitir un ujo de
trabajo colaborativo y reducir errores en la detección de interferencias. A
pesar de la potencia del software, el criterio del ingeniero sigue siendo el
componente más crítico. Comprender las hipótesis detrás de cada método
—ya sea la distribución de momentos de Cross, la formulación de los
elementos nitos o las simplicaciones del análisis estático equivalente— es
fundamental para interpretar correctamente los resultados y garantizar la
integridad de las obras que denen nuestro entorno construido.
La transición hacia el diseño basado en resiliencia y el análisis no
lineal de tiempo-historia marcará la pauta en las próximas décadas,
permitiendo estructuras capaces no solo de resistir eventos catastrócos,
sino de recuperarse rápidamente de ellos, asegurando así un desarrollo
urbano más sostenible y seguro para las futuras generaciones.
62
Capítulo IV
Análisis Integral de las Estructuras
Articuladas Isostáticas: Teoría, Métodos de
Cálculo y Aplicaciones en la Ingeniería
Estructural
Las estructuras articuladas, comúnmente denominadas cerchas,
armaduras o celosías, representan una de las soluciones más ecientes y
elegantes en la historia de la ingeniería civil y la arquitectura. Estos
sistemas, constituidos por un conjunto de barras rectas interconectadas en
sus extremos mediante nudos o articulaciones, están diseñados para
optimizar la distribución de cargas externas, transformándolas
principalmente en esfuerzos axiles de tracción y compresión. El calicativo
de isostática o estrictamente completa se otorga a aquella estructura donde
los esfuerzos internos en cada una de sus barras y las reacciones en sus
apoyos pueden determinarse de forma unívoca y precisa utilizando
exclusivamente las ecuaciones fundamentales de la estática.
La relevancia de los sistemas isostáticos radica no solo en su
simplicidad analítica, sino en su comportamiento mecánico ante fenómenos
que afectarían gravemente a estructuras con mayor grado de restricción.
Una estructura isostática posee el número exacto de ligaduras para
garantizar su inmovilidad como sólido rígido, permitiendo al mismo
tiempo una libertad de deformación interna ante cambios de temperatura o
63
asentamientos en los apoyos que evita la aparición de tensiones parásitas o
esfuerzos internos no deseados. El presente reporte técnico profundiza en
la ontología de estos sistemas, sus bases matemáticas, las metodologías de
resolución y su diversicación tipológica en el contexto de la construcción
moderna.
Fundamentos Físicos y Mecánicos de las Estructuras
Articuladas
El comportamiento de una estructura articulada se sustenta en el
principio de la estabilidad geométrica del triángulo. A diferencia de un
polígono de cuatro o más lados, el triángulo es la única gura geométrica
que no puede deformarse sin alterar la longitud de sus lados, lo que lo
convierte en el bloque fundamental para la construcción de armaduras
rígidas e indeformables.
Hipótesis de Diseño y Simplicaciones Estructurales
Para que el análisis de una estructura articulada se mantenga dentro
del dominio de la estática clásica y sea representativo de la realidad física,
se deben aceptar diversas hipótesis de diseño que simplican el modelo sin
sacricar la seguridad estructural. En primer lugar, se asume que las barras
están unidas entre sí mediante articulaciones perfectas, es decir, pasadores
sin fricción que permiten el giro libre de las barras concurrentes en un nudo.
Esta condición implica que no existe transmisión de momentos ectores de
una barra a otra a través de la unión (Cervera & Blanco, 2002).
En segundo lugar, se establece que las cargas externas y las
reacciones de los apoyos actúan exclusivamente sobre los nudos. Si una
carga se aplicara directamente sobre el cuerpo de una barra, esta se vería
64
sometida a esfuerzos de exión y cortante, invalidando la naturaleza de
"articulación pura" del sistema. En la práctica, aunque los pesos propios de
las barras se distribuyen a lo largo de su longitud, para el cálculo se reparten
proporcionalmente entre los nudos extremos de cada elemento. Por lo que
se considera que los ejes de todas las barras que concurren en un nudo son
coplanares y concurrentes en un único punto geométrico, eliminando
excentricidades que podrían inducir momentos torsionantes o ectores
secundarios.
El Concepto de Isostaticidad y Equilibrio Estático
Una estructura isostática se dene matemáticamente como aquella
que posee un número de incógnitas igual al número de ecuaciones de
equilibrio disponibles. En el plano bidimensional, estas ecuaciones se
derivan de la ley de Newton que exige que la resultante de fuerzas y
momentos sea nula para que el sistema permanezca en reposo.
Desde una perspectiva técnica, las estructuras isostáticas son
"estrictamente completas". Si se eliminara una sola barra o un solo apoyo de
una estructura isostática estable, esta se transformaría inmediatamente en
un mecanismo o sistema hipostático, perdiendo su capacidad para soportar
cargas y colapsando bajo su propio peso. Por el contrario, la adición de
barras o vínculos adicionales la convertiría en hiperestática, donde el exceso
de ligaduras hace que las ecuaciones de la estática sean insucientes para
65
resolver el sistema, requiriendo el estudio de la compatibilidad de
deformaciones y las propiedades elásticas de los materiales.
Análisis de Estabilidad y Determinación Estática
La clasicación de una armadura como isostática, hiperestática o
hipostática depende de la relación numérica entre sus nudos, barras y
reacciones externas. Este análisis se divide tradicionalmente en
isostaticidad externa e interna (Hibbeler, 2010).
Isostaticidad Exterior
Se reere a la suciencia de los apoyos o vínculos externos para
inmovilizar la estructura como un todo frente a cualquier sistema de
fuerzas. Un sistema plano requiere un mínimo de tres restricciones
independientes para evitar traslaciones en los ejes e y rotaciones en el
plano (ver Tabla 8).
Tabla 8: Condición de estabilidad
Número de Reacciones (r)
Clasicación Exterior
Condición de Estabilidad
Inestable / Hipostática
La estructura puede
moverse libremente como
sólido rígido.
Isostática
Las reacciones pueden
calcularse con
.
66
Hiperestática
Existen apoyos redundantes
o superabundantes.
Es vital notar que incluso con una estructura puede ser inestable si
las reacciones son concurrentes en un punto o paralelas entre sí,
permitiendo el movimiento rotacional o traslacional, respectivamente.
Isostaticidad Interior y Grado de Hiperestaticidad
La isostaticidad interna analiza si la disposición de las barras es
suciente para mantener la rigidez de la malla. Para una armadura de
nudos y barras, considerando reacciones, la fórmula general del Grado
de Hiperestaticidad ( ) en estructuras planas es:
En este contexto, la condición necesaria para la isostaticidad es que
, lo que implica que . Si la estructura tiene barras o
apoyos en exceso (hiperestática); si le faltan elementos para ser rígida
(hipostática o mecanismo).
En el caso de estructuras tridimensionales o espaciales, cada nudo
proporciona tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas
( ), por lo que la relación se ajusta a:
67
Donde suele ser 6 para un isostatismo externo completo en el
espacio. La vericación de estas fórmulas es el primer paso obligado en
cualquier protocolo de análisis estructural, ya que dene la metodología de
resolución que el ingeniero debe adoptar.
Metodologías Analíticas de Resolución
Una vez conrmada la isostaticidad de la estructura, se procede al
cálculo de los esfuerzos axiales. Existen dos métodos analíticos principales
y un método gráco histórico que siguen siendo la base de la formación
académica y profesional en ingeniería estructural.
El Método de los Nudos
El método de los nudos se fundamenta en el equilibrio de cada
articulación de la estructura considerada como un sólido libre. Dado que las
fuerzas en una armadura son concurrentes en los nudos, el equilibrio en
cada uno de ellos se reduce a un sistema de ecuaciones de traslación
(Hibbeler, 2010).
El procedimiento estándar implica calcular primero las reacciones en
los apoyos mediante el equilibrio global de la armadura. Posteriormente, se
selecciona un nudo que no tenga más de dos incógnitas (fuerzas de barras
desconocidas). Al aplicar y en dicho nudo, se
obtienen los valores de los esfuerzos en las barras concurrentes. Este
proceso se repite secuencialmente de nudo en nudo hasta resolver toda la
estructura. Una herramienta de gran utilidad en este método es la notación
de Bow, que asigna letras a los espacios entre fuerzas y barras para facilitar
el seguimiento visual y analítico del cálculo (Cervera & Blanco, 2002).
68
El Método de las Secciones o de Rier
Cuando solo se requiere conocer el esfuerzo en unas pocas barras
especícas, el método de los nudos resulta tedioso. En estos casos, el
método de Rier permite "cortar" la estructura en dos porciones mediante
una sección imaginaria que atraviese las barras de interés. Para que la
porción aislada sea estáticamente determinada, la sección no debe cortar
más de tres barras cuyas fuerzas sean desconocidas (Hibbeler, 2010).
Al aplicar las tres ecuaciones de equilibrio
( ) a una de las partes de la armadura, se pueden
despejar los esfuerzos internos. Una técnica común consiste en tomar
momentos respecto al punto de intersección de dos de las barras cortadas,
lo que permite hallar directamente el esfuerzo en la tercera barra. Este
método es extremadamente potente para la vericación rápida de secciones
críticas en puentes y grandes cubiertas.
El método de Henneberg para estructuras complejas
Existen estructuras que cumplen la condición , pero que
no pueden resolverse nudo a nudo ni mediante cortes simples de Rier
debido a su compleja geometría interna. Para estas "estructuras complejas",
se utiliza el método de Henneberg, que consiste en sustituir una barra de la
armadura por otra en una posición diferente que permita la resolución por
métodos simples. Mediante la aplicación del principio de superposición y
el análisis de la estructura bajo las cargas reales y una carga unidad cticia,
se determina el esfuerzo real en la barra original. Este método demuestra
que la isostaticidad es una propiedad topológica que va más allá de la
simple adición de triángulos.
69
Tipologías de Armaduras de Puentes: Evolución y
Eciencia
La disposición de las barras internas en una armadura dene su
tipología y determina la eciencia con la que el material resiste las cargas.
Las conguraciones más comunes han evolucionado para aprovechar las
propiedades especícas de materiales como la madera y el acero.
Armaduras Pra y Howe: La Dualidad Tensión-Compresión
Las armaduras Pra y Howe son visualmente similares pero
mecánicamente opuestas. En la armadura Pra (1844), las diagonales se
inclinan hacia el centro del vano, lo que provoca que, bajo cargas
gravitatorias, las diagonales trabajen a tracción y los montantes verticales a
compresión. Esto es ideal para el acero, ya que los elementos más largos
(diagonales) son inmunes al pandeo cuando están en tensión (Meriam y
Kraige, 2014).
Por el contrario, en la armadura Howe, las diagonales trabajan a
compresión y los montantes a tracción. Esta conguración fue la preferida
en la era de los puentes de madera, donde era más sencillo fabricar uniones
que resistieran la compresión simple entre los extremos de las vigas que
diseñar anclajes de tracción complejos (ver Tabla 9).
Tabla 9: Característica de armaduras Pra y Howe
Característica
Pra Truss
Howe Truss
Orientación Diagonal
Hacia el centro (forma de V)
Hacia los apoyos (forma de
A)
70
Esfuerzo en Diagonales
Tracción (predominante)
Compresión
(predominante)
Material Preferente
Acero / Hierro
Madera
Eciencia
Alta en luces medias (hasta
75 m)
Alta para materiales fuertes
en compresión
Armadura Warren: Simplicidad y Versatilidad
La armadura Warren se caracteriza por sus diagonales que forman
triángulos equiláteros o isósceles, eliminando en muchos casos los
montantes verticales. En este sistema, las diagonales alternan
sucesivamente esfuerzos de tracción y compresión a medida que se avanza
por el vano. Su principal ventaja es la simplicidad de fabricación, ya que
utiliza menos miembros y nudos que las Pra o Howe, lo que reduce los
costos de mano de obra y mantenimiento. Es la tipología estándar para
puentes ferroviarios de luces moderadas y para las vigas de celosía de los
edicios industriales modernos (Hibbeler, 2010).
Armaduras para Grandes Luces: Baltimore, K y Parker
Cuando la luz del puente supera los 100 metros, las armaduras
simples pueden sufrir problemas de inestabilidad lateral o pandeo en sus
barras de compresión debido a su gran longitud.
● Armadura Baltimore: Es una versión subdividida de la Pra que
incorpora montantes y diagonales auxiliares para reducir la longitud
efectiva de las barras principales. Esto permite manejar cargas pesadas
71
concentradas, típicas del tráco ferroviario, con mayor estabilidad.
● Armadura K: Utiliza una disposición donde las diagonales se conectan
en el centro de los montantes verticales, formando una gura similar a
la letra "K". Este diseño es excepcional para resistir esfuerzos cortantes
y reducir el pandeo de los montantes, siendo muy común en puentes
de gran envergadura y torres de grúa.
● Armadura Parker: Es una variante de la Pra con un cordón superior
curvo o poligonal. Al variar el peralte de la armadura según el
diagrama de momentos ectores, se optimiza el uso del material,
haciendo que los esfuerzos en los cordones sean más uniformes a lo
largo del puente.
Estructuras Articuladas en Edicación y Techumbres
En el ámbito de la arquitectura, las estructuras articuladas isostáticas
permiten cubrir grandes espacios diáfanos como gimnasios, hangares y
almacenes.
Armadura Fink: El Estándar de las Cubiertas
La armadura Fink es, posiblemente, la tipología más utilizada para
techos de viviendas y edicios comerciales con pendientes pronunciadas.
Su diseño se basa en una serie de triángulos internos que subdividen los
cordones superiores en tramos cortos, lo que minimiza el riesgo de pandeo
bajo cargas de nieve o viento. Su economía radica en que la mayoría de sus
barras internas trabajan a tracción, permitiendo el uso de perles metálicos
muy ligeros (Meriam y Kraige, 2014).
Otras Conguraciones de Techo
● King Post y Queen Post: Son las formas más elementales de armadura,
72
utilizadas para luces cortas (hasta 8-10 metros). El King Post utiliza un
solo montante central, mientras que el Queen Post emplea dos, creando
un espacio rectangular central que puede ser útil para ventilación o
buhardillas.
● Saw-tooth (Diente de Sierra): Utilizada tradicionalmente en naves
industriales, esta armadura asimétrica permite la instalación de
ventanales en la cara más vertical (orientada al norte) para maximizar
la iluminación natural sin ganancia térmica excesiva por radiación solar
directa.
● Tijera (Scissor Truss): Diseñada para proporcionar un techo inclinado
en el interior del edicio, permitiendo una mayor altura libre central
sin necesidad de vigas de gran canto.
Comparativa Técnica: Sistemas Isostáticos frente a
Hiperestáticos
La elección de una estructura isostática no es fortuita; responde a
criterios de diseño que priorizan la adaptabilidad ante agentes externos y la
claridad en la distribución de esfuerzos.
Respuesta ante Variaciones Térmicas y Asentamientos
Una de las ventajas más críticas de las estructuras isostáticas es su
insensibilidad a las deformaciones impuestas. En una armadura
hiperestática, si un apoyo se asienta unos milímetros o si el sol calienta un
lado de la estructura más que el otro, la restricción de movimiento provoca
la aparición de enormes tensiones internas que pueden superar las
tensiones de diseño por carga viva (Cervera & Blanco, 2002). En una
estructura isostática, estos fenómenos simplemente provocan un cambio en
73
la geometría del sistema (rotación o desplazamiento como sólido rígido) sin
inducir esfuerzos adicionales en las barras. Por esta razón, los puentes de
tramos isostáticos (como las vigas Gerber) son la solución preferida en
terrenos de cimentación incierta o en climas con gradientes térmicos
extremos.
Redundancia y Seguridad Estructural
El talón de Aquiles de la isostaticidad es la falta de redundancia. En
un sistema isostático, no existe una "segunda línea de defensa". Si una barra
crítica (como el cordón inferior de un puente) falla debido a corrosión,
impacto o fatiga, la estructura pierde su equilibrio estático y colapsa de
forma súbita. Las estructuras hiperestáticas, al poseer vínculos
superabundantes, pueden redistribuir las cargas hacia otros elementos en
caso de fallo local, proporcionando un tiempo vital para la evacuación o la
reparación. Esta característica, conocida como robustez estructural, es la
razón por la que muchos códigos modernos exigen cierto grado de
hiperestaticidad en edicios de gran concurrencia pública (Sánchez et al.,
2020).
Tabla 10: Estructuras Isostáticas e Hiperestáticas
Parámetro
Isostática
Hiperestática
Complejidad de Análisis
Baja (solo estática)
Alta (estática + elasticidad)
Sensibilidad a Apoyos
Inmune a esfuerzos por
asentamientos
Muy sensible; genera
esfuerzos internos 8
74
Efectos Térmicos
Dilatación libre sin tensión
Restricción genera tensiones
térmicas
Seguridad ante Fallo
Crítica; sin redundancia
Alta; posee reserva de
seguridad
Costo Material
Generalmente mayor por
secciones robustas
Menor; permite secciones
más esbeltas
Aplicaciones Especiales: Grúas y Maquinaria de
Elevación
Las estructuras articuladas isostáticas son el estándar en la
fabricación de grúas torre, grúas pórtico y sistemas de elevación industrial.
Grúas Torre y de Celosía
La pluma y la torre de una grúa están diseñadas como armaduras
espaciales isostáticas. Esta elección permite maximizar la capacidad de
carga en el extremo de la pluma minimizando el peso propio de la
estructura. El diseño de celosía ofrece además una supercie mínima de
resistencia al viento, factor crucial para evitar el vuelco de la grúa en
condiciones climáticas adversas. Al ser isostáticas, el montaje y desmontaje
de los tramos modulares no inducen tensiones residuales, garantizando que
la grúa se comporte exactamente como predice el modelo matemático tras
cada conguración.
75
Grúas Pórtico para Construcción de Puentes
En la construcción de viaductos, se utilizan grúas pórtico con vigas
de celosía isostáticas para lanzar las dovelas o vigas prefabricadas. Estos
sistemas suelen ser isostáticos para adaptarse a las ligeras variaciones de
nivel de las pilas del puente ya construidas sin que la maquinaria sufra
deformaciones permanentes o tensiones excesivas en sus uniones soldadas
o atornilladas.
Perspectiva de Diseño: Del Cálculo Manual a la Era
Digital
Históricamente, la isostaticidad era una necesidad impuesta por las
limitaciones de cálculo. Ingenieros como Eiel o Roebling proyectaban
sistemas isostáticos porque eran los únicos que podían resolverse con
precisión mediante reglas de cálculo y métodos grácos como el de
Cremona.
Hoy en día, el uso de software de Análisis de Elementos Finitos (FEA)
ha eliminado la barrera del cálculo manual, permitiendo resolver
estructuras con miles de grados de hiperestaticidad en segundos. Sin
embargo, la isostaticidad sigue siendo una opción de diseño deliberada y
sabia. Proyectar una estructura isostática es una forma de control de
calidad: permite al ingeniero saber exactamente cómo uyen las cargas a
través de cada barra, facilitando la inspección y el mantenimiento. Un
cambio inesperado en el comportamiento de una barra isostática es una
señal inequívoca de daño estructural, mientras que en un sistema
hiperestático, el daño puede quedar oculto por la redistribución de
esfuerzos hasta que sea demasiado tarde (Sánchez et al., 2020).
76
Las estructuras articuladas isostáticas representan el equilibrio
perfecto entre simplicidad conceptual y eciencia mecánica. A través de la
correcta aplicación de los principios de la estática y una comprensión
profunda de las tipologías estructurales (Pra, Howe, Warren, Fink, entre
otras), el ingeniero puede diseñar soluciones que no solo salvan luces
impresionantes con un consumo mínimo de material, sino que también
ofrecen una durabilidad excepcional frente a factores ambientales como la
temperatura y el movimiento de los apoyos.
La isostaticidad no debe verse como una limitación del pasado, sino
como una herramienta de precisión. En un mundo donde la sostenibilidad
y la eciencia de recursos son primordiales, la capacidad de las armaduras
para trabajar en estados de esfuerzo puro (tracción o compresión) sigue
siendo inigualable. El futuro de estos sistemas reside en la integración de
nuevos materiales y en la optimización topológica asistida por
computadora, que permitirá crear armaduras isostáticas aún más ligeras y
resistentes, manteniendo siempre la claridad y seguridad que solo el
equilibrio estricto puede proporcionar.
77
Capítulo V
Análisis técnico-cientíco de los principios
de trabajo y energía en el diseño de
estructuras isostáticas y su integración en la
normativa peruana
La ingeniería estructural contemporánea se fundamenta en la
capacidad de predecir con precisión el comportamiento cinemático y
tensional de los sistemas bajo diversas solicitaciones. Dentro de este vasto
campo, los principios de trabajo y energía representan una de las
herramientas más elegantes y versátiles para el análisis de estructuras
estáticamente determinadas, permitiendo a los proyectistas calcular
desplazamientos y rotaciones que los métodos puramente geométricos
abordarían con mayor dicultad. Estos principios no solo constituyen una
base teórica sólida, sino que se integran directamente en las exigencias de
servicio del Reglamento Nacional de Edicaciones (RNE) del Perú,
especícamente en las normas E.020, E.060 y E.090, donde el control de
deexiones es un requisito imperativo para garantizar la funcionalidad y
durabilidad de las obras.
Fundamentos termodinámicos y la ley de conservación
de la energía estructural
El estudio de los métodos energéticos en estructuras se deriva de la
primera ley de la termodinámica, aplicada a cuerpos deformables en el
78
rango elástico. En un sistema cerrado y en equilibrio, el trabajo externo
( ) realizado por un conjunto de fuerzas aplicadas gradualmente sobre
una estructura se transforma íntegramente en energía interna de
deformación ( ), siempre que el proceso sea isotérmico y cuasiestático. Esta
equivalencia es la piedra angular que permite relacionar cargas externas con
deformaciones internas (Cequeira, 2019).
Cuando una fuerza se aplica a una estructura de manera gradual,
partiendo desde un valor cero hasta su magnitud nal, el trabajo realizado
es igual al área bajo la curva carga-desplazamiento. Para materiales que
siguen la ley de Hooke, esta relación es lineal, lo que resulta en la expresión
clásica . Es crucial distinguir este escenario del trabajo
realizado por una fuerza que ya estaba actuando a su máxima magnitud
mientras ocurre un desplazamiento adicional causado por otra carga; en
este último caso, el trabajo es simplemente el producto de la fuerza por el
desplazamiento, representado geométricamente por un rectángulo en lugar
de un triángulo.
La energía interna de deformación, por su parte, es el sumatorio de
la energía almacenada en cada diferencial de volumen de la estructura
debido a los esfuerzos internos de exión, tracción, compresión, cortante y
torsión. En estructuras isostáticas como vigas simples, pórticos básicos y
armaduras, estos esfuerzos internos pueden determinarse exclusivamente
mediante las ecuaciones de equilibrio estático, lo que facilita enormemente
el cálculo de la energía total sin necesidad de conocer previamente las
deformaciones (ver Tabla 11).
79
Tabla 11: Energía de deformación según componentes de esfuerzo
Componente de Esfuerzo
Energía de Deformación
(U)
Variables de Rigidez y
Geometría
Carga Axial (Normal)
Fuerza axial ( ), Rigidez
axial ( )
Flexión (Momento)
Momento ector ( ),
Rigidez a exión ( )
Esfuerzo Cortante
Cortante ( ), Factor de
forma ( ), Rigidez a corte
( )
Torsión (Torque)
Momento torsor ( ),
Rigidez torsional ( )
En la práctica peruana, la exión suele ser el mecanismo dominante
de almacenamiento de energía en vigas y pórticos, mientras que en
armaduras metálicas o de madera, la energía axial es el factor determinante.
El analista debe evaluar si los efectos de cortante son despreciables, lo cual
suele ser aceptable en elementos esbeltos donde la longitud es
signicativamente mayor que el peralte de la sección.
80
El principio del trabajo virtual y el método de la carga
unitaria
El principio del trabajo virtual (PTV) es quizá la técnica más potente
derivada de los conceptos energéticos para el cálculo de deexiones
elásticas en cualquier dirección y rotaciones en cualquier sección de una
estructura. Este método se basa en la aplicación de un sistema virtual de
fuerzas en equilibrio sobre una estructura que experimenta un conjunto real
de desplazamientos compatibles.
Para determinar un desplazamiento especíco , se aplica una carga
unitaria virtual ( ) en el punto y dirección deseados. El trabajo
externo realizado por esta carga unitaria sobre el desplazamiento real es
. Según el principio de conservación, este trabajo debe igualarse al
trabajo interno realizado por los esfuerzos virtuales (causados por la carga
unitaria) actuando a través de las deformaciones reales (causadas por las
cargas externas). La formulación general resultante para una estructura
sometida a múltiples tramos y esfuerzos es:
Donde las variables en mayúsculas representan el "Estado Real"
(cargas aplicadas a la estructura) y las minúsculas el "Estado Virtual" (carga
unitaria aplicada en la dirección del desplazamiento buscado). Para el
cálculo de giros o rotaciones ( ), se aplica un momento unitario virtual en
lugar de una fuerza, manteniendo la misma lógica analítica.
81
En el contexto de la educación superior en ingeniería civil en el Perú,
como en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) o la Ponticia
Universidad Católica del Perú (PUCP), este método es fundamental por su
capacidad para manejar deformaciones no mecánicas. Por ejemplo, si un
apoyo en una viga isostática experimenta un asentamiento, el trabajo virtual
externo se ajusta para incluir el producto de la reacción virtual por dicho
asentamiento, permitiendo calcular el desplazamiento en cualquier otro
punto de la viga sin recurrir a complejas construcciones geométricas.
Pasos metodológicos para la aplicación en vigas y pórticos
isostáticos
El procedimiento sistemático para el cálculo de deexiones mediante
el trabajo virtual en el diseño estructural peruano sigue una serie de etapas
críticas que garantizan la precisión del resultado:
1. Análisis del Sistema Real (Estado 0): Se determinan las reacciones y las
leyes de esfuerzos internos (especialmente el momento ector) de la
estructura bajo las cargas reales especicadas por la norma E.020.
2. Análisis del Sistema Virtual (Estado I): Se eliminan todas las cargas
reales y se aplica una carga unitaria (adimensional o de kN/ton) en el
punto donde se desea hallar la deexión. Se obtienen las leyes de
esfuerzos internos virtuales ( ).
3. Denición de Intervalos de Integración: Es imperativo que la estructura
se divida en los mismos tramos para ambos estados. Cada corte o
sección debe mantener el mismo origen de coordenadas ( ) para
asegurar la compatibilidad de las funciones dentro de la integral.
4. Evaluación de la Integral: Se aplica la fórmula del trabajo virtual
82
sumando las contribuciones de cada tramo. Si el resultado es positivo,
el desplazamiento ocurre en el mismo sentido que la carga unitaria
aplicada; si es negativo, el sentido es opuesto.
5. Conversión de Unidades: Dado que en el Perú se utilizan
frecuentemente unidades de kilogramos, toneladas y metros, se debe
prestar especial atención a la consistencia dimensional, especialmente
al multiplicar el resultado por o .
Este método no se limita a estructuras lineales simples; su aplicación
en pórticos isostáticos permite capturar el efecto combinado de los
desplazamientos horizontales y verticales, algo vital para vericar la
estabilidad de naves industriales metálicas diseñadas bajo la norma E.090.
Teoremas de Castigliano: Derivación parcial de la
energía
Alberto Castigliano proporcionó en 1876 una alternativa analítica
basada en el cálculo diferencial que resulta sumamente eciente para ciertos
tipos de estructuras determinadas. Sus teoremas se enfocan en la energía
interna de deformación total de la estructura.
El primer teorema de Castigliano se utiliza para hallar fuerzas, pero
es el segundo teorema el que tiene una aplicación directa y constante en el
cálculo de desplazamientos en estructuras determinadas. Este establece que
la deexión de una estructura en el punto de aplicación y en la dirección de
una carga es igual a la primera derivada parcial de la energía de
deformación total respecto a dicha carga (Beer et al., 2013).
Matemáticamente, para una fuerza :
83
Para un momento (buscando una rotación ):
En estructuras isostáticas sometidas a exión, la expresión se
simplica al derivar dentro de la integral:
Esta formulación es equivalente al método de la carga unitaria,
donde el término cumple la misma función que el momento virtual .
La gran ventaja de Castigliano surge cuando se busca el desplazamiento en
un punto donde ya existe una carga aplicada, permitiendo operar con
variables algebraicas antes de sustituir los valores numéricos nales (West,
1984). Si el punto de interés no posee una carga, el ingeniero introduce una
carga cticia , realiza la derivación parcial y nalmente iguala a cero.
Este "método de la carga cticia" es una práctica común en los cursos de
Análisis Estructural en universidades peruanas para resolver problemas de
vigas con cargas distribuidas complejas donde el método de la carga
unitaria podría requerir más pasos manuales.
84
Propiedades de los materiales y rigidez estructural en el
contexto peruano
La precisión de cualquier método energético depende críticamente
de los parámetros de rigidez (módulo de elasticidad), (área) e
(momento de inercia). En el Perú, estos valores están estandarizados por el
Reglamento Nacional de Edicaciones y las normas ASTM adoptadas.
El módulo de elasticidad del concreto ( ) es una variable dinámica
que depende de la resistencia a la compresión . Según la Norma E.060,
para concreto de peso normal, se estima como en
. Es fundamental recordar que el concreto alcanza su resistencia de
diseño típicamente a los 28 días, por lo que el cálculo de deexiones
inmediatas debe considerar el estado de madurez del material si se evalúan
cargas de construcción (ver Tabla 12).
Tabla 12: Propiedades de los materiales y rigidez estructural en el
contexto peruano
Material
Módulo de
Elasticidad (E)
Coeciente de
Poisson (ν)
Peso Unitario
Típico
Concreto Armado
Acero Estructural
85
Albañilería Sólida
Variable según
unidad
Aluminio
En el diseño de estructuras metálicas bajo la Norma E.090, se utilizan
aceros certicados como el ASTM A36 o A572 Grado 50. El módulo de
elasticidad del acero es mucho más predecible que el del concreto,
situándose en MPa ( ). Esta alta rigidez en
comparación con su peso permite diseñar estructuras esbeltas, pero
también hace que el control de deexiones sea el estado límite que a
menudo gobierna el diseño de vigas de grandes luces en centros
comerciales o naves industriales.
Además de la rigidez axial y a exión, el coeciente de Poisson ( )
es necesario para calcular la rigidez al corte ( ), donde . Para
el concreto, se suele adoptar un valor de para nes de diseño de
elementos estructurales comunes en el Perú.
Límites de deexión y estados límite de servicio en el
RNE
El diseño estructural no concluye con garantizar que la estructura no
se rompa (Resistencia); debe asegurar que la estructura sea útil y no genere
desconanza o daños en elementos no estructurales (Servicio). Los métodos
energéticos son la herramienta estándar para vericar estos límites de
86
servicio impuestos por el Reglamento Nacional de Edicaciones (Beer et al.,
2013).
Límites en concreto armado (E.060)
La Norma E.060 es particularmente estricta en el control de
deexiones para evitar el agrietamiento excesivo que podría comprometer
la durabilidad del refuerzo. Los límites se denen en función de la luz libre
del elemento.
● Deexión inmediata por carga viva ( ): Para techos planos que no
soportan elementos frágiles, el límite es . Para pisos comunes, se
reduce para asegurar el confort de los ocupantes.
● Deexión total a largo plazo: Incluye la deexión inmediata más las
echas diferidas por ujo plástico y contracción. Si la estructura
soporta tabiquería frágil (como ladrillos de arcilla en edicios
multifamiliares en Lima), el límite más riguroso es .
● Control de suración: Para limitar el ancho de las grietas en vigas y
losas, se debe vericar el parámetro , el cual no debe
exceder los kN/mm para condiciones de exposición normales.
Límites en estructuras metálicas (E.090)
La Norma E.090 no establece una tabla única de deexiones,
remitiendo a menudo a la E.020 o a recomendaciones internacionales como
las del AISC 360. Sin embargo, en la práctica peruana, se adoptan criterios
funcionales claros:
● Vigas de piso: Comúnmente limitadas a para carga viva y
87
para carga total.
● Vigas de techo con cobertura liviana: El límite puede relajarse ,
pero se debe tener especial cuidado con la acumulación de agua
(poceamiento) si la pendiente es menor al 3%.
● Puentes Grúa: Las vigas carrileras tienen límites mucho más estrictos
(a menudo) debido a las tolerancias mecánicas de los equipos de izaje.
Es fundamental que el ingeniero considere el efecto del impacto en
estructuras industriales. Según la E.020, las cargas vivas móviles deben
incrementarse signicativamente: un 100% para apoyos de ascensores, un
25% para tecles eléctricos y un 20% para maquinaria liviana. Estos
incrementos aumentan la energía externa aplicada y, por ende, la deexión
calculada por el método de la carga unitaria.
Reciprocidad de Maxwell-Bei y su importancia en la
simetría estructural
Un concepto avanzado derivado de los principios de energía es el
teorema de reciprocidad de Bei, que establece que el trabajo realizado por
un sistema de cargas durante los desplazamientos producidos por un
sistema es igual al trabajo de durante los desplazamientos
producidos por .
Una aplicación simplicada es el teorema de Maxwell, que indica
que el desplazamiento en el punto debido a una carga unitaria en es
igual al desplazamiento en debido a una carga unitaria en . Aunque
esto parezca una curiosidad teórica, es la base de la simetría de las matrices
88
de rigidez en el software de análisis estructural. Para el ingeniero que
realiza vericaciones manuales en estructuras isostáticas, este teorema
permite reutilizar cálculos de deexiones en puntos simétricos, ahorrando
tiempo y reduciendo errores en la integración de las funciones de momento
(Mielstedt, 2021).
Integración con el método de los elementos nitos y
software moderno
En la era actual, los ingenieros estructurales en el Perú utilizan
herramientas como SAP2000, ETABS, SAFE y CSiBridge para modelar
infraestructuras complejas. Todos estos programas operan bajo el Método
de los Elementos Finitos (MEF), que es una extensión matricial de los
principios energéticos.
El MEF discretiza la estructura continua en elementos pequeños.
Para cada elemento, se denen funciones de forma que interpolan los
desplazamientos. La matriz de rigidez del elemento se obtiene
minimizando la energía potencial total, un principio variacional que busca
el estado de equilibrio más estable. La relación fundamental no
es más que una expresión masiva de los teoremas de Castigliano aplicados
a miles de grados de libertad simultáneamente (West, 1984).
89
Tabla 13: Manejo de energía según el software a emplear
Software
Enfoque Principal
Conexión con Métodos
Energéticos
SAP2000
Propósito general (Puentes,
naves industriales, tanques)
Resolución de sistemas
mediante MEF basado en
energía potencial mínima.
ETABS
Edicaciones verticales de
concreto y acero
Optimización de rigidez
lateral y control de derivas
(energía sísmica).
SAFE
Cimentaciones y losas de
concreto
Análisis de exión y
punzonamiento mediante
integración de energía en
placas.
CSiBridge
Puentes e infraestructura
vial
Evaluación de líneas de
inuencia y energía por
cargas móviles.
La diferencia en cómo estos programas manejan la energía se observa
en detalles operativos. Por ejemplo, SAP2000 y ETABS pueden arrojar
resultados ligeramente distintos en el peso estructural y las deexiones
debido a cómo discretizan las uniones viga-columna y cómo distribuyen la
energía de las cargas gravitacionales en los nudos. El ingeniero moderno
debe entender que el software que ejecuta los principios de trabajo virtual
de forma masiva, y la validación de esos resultados a menudo se hace
90
mediante cálculos manuales simplicados usando carga unitaria en
secciones críticas (ver Tabla 13).
Dinámica, sismo y disipación de energía
Aunque el análisis de estructuras determinadas se centra usualmente
en el equilibrio estático, el concepto de energía es la clave para el diseño
sismorresistente en el Perú, un país con altísima actividad sísmica. La
Norma E.030 se basa en la capacidad de la estructura para absorber y
disipar la energía cinética introducida por el movimiento del suelo.
Cuando un sismo golpea una estructura, esta almacena energía
elástica hasta que alcanza su límite de uencia. A partir de ahí, la energía
debe disiparse a través de la formación de rótulas plásticas (trabajo
inelástico). La ductilidad es la propiedad que permite este proceso sin que
la estructura colapse. En estructuras metálicas (E.090), se busca que los
perles tengan una elongación adecuada para "uir" y consumir la energía
sísmica. En concreto armado (E.060), se diseñan vigas con refuerzo
transversal connado para que puedan girar plásticamente en los extremos,
disipando energía mientras las columnas permanecen esencialmente
elásticas para sostener el peso del edicio (Criterio Columna Fuerte - Viga
Débil).
Los disipadores de energía y aisladores sísmicos, tecnologías cada
vez más comunes en hospitales y edicios esenciales en Lima, son
dispositivos diseñados especícamente para concentrar el trabajo de
deformación fuera de los elementos estructurales principales, protegiendo
así la integridad global de la edicación (Aguiar et al., 2016).
91
Aplicación práctica: Análisis de deexión en una
armadura Warren isostática
Considérese una armadura isostática de acero para un techo
industrial en el Callao, con una luz de metros. Se requiere calcular el
desplazamiento vertical en el centro de la cuerda inferior bajo la carga de
granizo y mantenimiento (kPa según E.020 para techos inclinados).
1. Cálculo de Fuerzas Reales ( ): Utilizando el método de los nudos, se
determinan las fuerzas de tracción y compresión en cada una de las
barras de la armadura debido a las cargas de servicio gravitacionales.
2. Cálculo de Fuerzas Virtuales ( ): Se aplica una carga descendente de
kN en el nudo central inferior. Se recalculan las fuerzas internas en
todas las barras bajo esta única carga.
3. Evaluación Energética: Se utiliza la sumatoria de energía axial:
Donde es la longitud de cada barra, su sección transversal y el
módulo de elasticidad del acero ( ).
4. Vericación de Servicio: Si el resultado supera el límite de o
(según el uso del edicio y la presencia de cielorrasos frágiles),
se procede a rediseñar las secciones. Aumentar el área de las barras
con mayores fuerzas virtuales es la estrategia más eciente
energéticamente para reducir la deexión global.
92
Este enfoque es fundamental para estructuras de grandes luces
donde el peso propio puede ser una fracción menor de la carga total, y
donde la rigidez (controlada por los métodos energéticos) es el factor
dominante sobre la resistencia del material (Aguiar et al., 2016).
Consideraciones sobre cargas ambientales y térmicas
El ingeniero peruano debe integrar en sus modelos energéticos los
efectos ambientales que el RNE prescribe. La carga de nieve, especialmente
en proyectos mineros en los Andes, no solo aumenta la energía de
deformación por gravedad, sino que puede causar asimetrías en la carga
(condición balanceada y desbalanceada según Art. 11 de la E.020) que deben
vericarse para evitar fallas locales en correas de techo.
Asimismo, las fuerzas térmicas son críticas en estructuras metálicas
expuestas. Un cambio de temperatura en una viga metálica de gran
longitud genera un desplazamiento que, de estar restringido, produciría
esfuerzos internos masivos. En estructuras isostáticas, estos movimientos
suelen permitirse mediante apoyos deslizantes, pero el cálculo del
desplazamiento térmico es un ejercicio directo de trabajo virtual donde la
deformación real es .
Los principios de trabajo y energía no son meras abstracciones
matemáticas; representan la esencia del comportamiento físico de las
estructuras que sostienen la sociedad. En la ingeniería civil del Perú, la
capacidad de dominar estos métodos separa al técnico que aplica fórmulas
del ingeniero que comprende la respuesta estructural. Desde la validación
de un complejo modelo en ETABS hasta la vericación rápida de una viga
93
de concreto en una supervisión de obra, los teoremas de Castigliano y la
carga unitaria proporcionan la conanza técnica necesaria para cumplir con
los estándares de seguridad y servicio del Reglamento Nacional de
Edicaciones (West, 1984).
La evolución hacia una ingeniería más sostenible también encuentra
apoyo en estos métodos. Al optimizar la rigidez mediante el análisis de
energía de deformación, se reduce el consumo innecesario de materiales
como el acero y el concreto, disminuyendo la huella de carbono de los
proyectos sin comprometer su integridad. En última instancia, el manejo
experto de la energía en el diseño estructural es el camino hacia una
infraestructura más resiliente, económica y duradera para el desarrollo del
país.
94
Capítulo VI
Teoría y Praxis del Método de Equilibrio y
Rigidez en Estructuras Estáticamente
Determinadas
El análisis de estructuras ha experimentado una transformación
radical desde los métodos clásicos del siglo XIX hasta la sosticación
matricial y computacional del siglo XXI. En el núcleo de esta evolución se
encuentra el método de rigidez, también conocido como método de
desplazamientos, que se ha consolidado como el estándar universal para la
resolución de sistemas estructurales, incluidos los estáticamente
determinados o isostáticos. Aunque tradicionalmente la determinación
estática sugería que el equilibrio era suciente para obtener los esfuerzos
internos, la aplicación del método de rigidez en estos sistemas revela una
profundidad mecánica esencial para comprender el comportamiento
elástico, las deformaciones y la estabilidad global de las obras de ingeniería
civil.
Evolución Histórica y el Surgimiento del Paradigma
Matricial
La transición del análisis estructural a la rigidez matricial no fue un
evento súbito, sino el resultado de décadas de renamiento en la mecánica
de sólidos. Antes de la era de la computación, los ingenieros dependían de
métodos iterativos y de simplicaciones manuales para abordar la
95
complejidad de las estructuras (ver Tabla 14). Entre estos, el método de
distribución de momentos de Hardy Cross, desarrollado entre 1930 y 1932,
permitió resolver marcos hiperestáticos mediante aproximaciones
sucesivas de equilibrio en los nudos, sin que el concepto de matriz de
rigidez fuera explícitamente aparente para el calculista (Blanco et al., 2015).
Otros métodos como los de Kani y Takabeya ampliaron estas capacidades,
permitiendo el tratamiento de desplazamientos laterales y efectos de
segundo orden de manera manual (Akaogi, 2017).
Sin embargo, la aparición de los computadores digitales entre 1950 y
1960 revitalizó el método de la rigidez en su implementación matricial. Este
enfoque, que trata los desplazamientos en los nudos (traslaciones y
rotaciones) como las incógnitas fundamentales, se adaptó perfectamente a
la lógica algorítmica de las primeras máquinas de cómputo. En este
contexto, el análisis de estructuras estáticamente determinadas dejó de ser
una tarea puramente algebraica de resolución de fuerzas para integrarse en
un sistema unicado donde el desplazamiento es el vehículo para el
equilibrio (Hughes, 1987).
Tabla 14: Evolución de teorías de análisis estructural
Hito Histórico
Periodo
Contribución al Análisis
Estructural
Teoría de la Elástica (Euler-
Bernoulli)
Siglo XVIII
Relación entre curvatura,
momento e inercia.
96
Métodos Energéticos
(Castigliano, Maxwell)
Siglo XIX
Fundamentos de
exibilidad y teoremas de
reciprocidad.
Método de Hardy Cross
1930-1932
Resolución iterativa de
momentos en nudos rígidos.
Surgimiento del Análisis
Matricial
1950-1960
Implementación en
computadores digitales de
la rigidez.
Desarrollo del Método de
Elementos Finitos (MEF)
1960-Presente
Generalización de la rigidez
para medios continuos.
Fundamentos Mecánicos y Relaciones Constitutivas
El análisis de cualquier estructura, sea isostática o hiperestática, se
rige por tres pilares fundamentales que deben cumplirse simultáneamente
en cada punto del sistema. La violación de cualquiera de estos principios
invalida la solución estructural.
El Principio de Equilibrio Estático
El equilibrio constituye la ley fundamental de la estática y establece
que la suma de fuerzas y momentos actuantes sobre un cuerpo en reposo
debe ser nula. En el contexto estructural, este principio se aplica a la
estructura completa, a cada nudo individual y a cualquier sección
transversal de las barras. Para una estructura estáticamente determinada,
las ecuaciones de equilibrio ( )
proporcionan un número de ecuaciones igual al número de reacciones y
97
esfuerzos internos desconocidos, lo que permite su resolución sin
considerar las propiedades del material en primera instancia (Moebs et al.,
2021).
La Condición de Compatibilidad Cinemática
La compatibilidad asegura que la deformación de la estructura sea
una función continua y unívoca. Esto implica que las barras conectadas a
un nudo deben experimentar los mismos desplazamientos y rotaciones que
el nudo mismo. En estructuras isostáticas, la compatibilidad se utiliza para
determinar la conguración deformada una vez conocidos los esfuerzos. El
método de la rigidez invierte este proceso, garantizando la compatibilidad
desde el inicio al denir el campo de desplazamientos como la variable
primaria (Iriarte y Suárez, 2018).
Leyes de comportamiento del material
Las leyes de comportamiento vinculan las fuerzas con las
deformaciones. El supuesto más común en el análisis estructural es el
régimen elástico lineal, gobernado por la Ley de Hooke, que establece una
proporcionalidad directa entre la tensión y la deformación unitaria. El
módulo de elasticidad longitudinal ( ) y el momento de inercia ( ) se
combinan para denir la rigidez exural ( ), mientras que el área ( )
dene la rigidez axial ( ). Esta linealidad permite la aplicación del
principio de superposición, esencial para descomponer cargas complejas en
efectos elementales.
98
Caracterización de la Rigidez y Grados de Libertad
La rigidez se dene conceptualmente como la fuerza o par necesario
para producir un desplazamiento o rotación unitaria en una coordenada
especíca, manteniendo restringidos todos los demás movimientos del
sistema. En el análisis matricial, esta propiedad se cuantica mediante
coecientes de rigidez ( ), donde el subíndice indica el grado de libertad
donde se aplica el movimiento unitario e indica la coordenada donde se
mide la fuerza resultante.
Identicación de Grados de Libertad (GL)
Los grados de libertad son los parámetros independientes que
describen la posición deformada de los nudos. El número de GL dene la
dimensión de la matriz de rigidez global (ver Tabla 15). En estructuras
isostáticas, la identicación precisa de los GL es vital para capturar
movimientos como el ladeo en marcos o la deexión en vigas simples
(Aguiar, 2014).
Tabla 15: Dimensión de la matriz global según grados de libertad
Elemento Estructural
Grados de Libertad Locales
Coordenadas
Representativas
Barra de Armadura
2 por nudo (4 total)
Traslaciones horizontales y
verticales.
Viga (Modelo Euler)
2 por nudo (4 total)
Traslación vertical y
rotación plana.
99
Pórtico Plano
3 por nudo (6 total)
Traslaciones X, Y y rotación
Z.
Elemento Espacial
6 por nudo (12 total)
3 Traslaciones y 3
Rotaciones espaciales.
En estructuras con simetría, es posible reducir el número de grados
de libertad utilizando apoyos monodeslizantes en el eje de simetría, lo que
simplica el cálculo sin perder precisión en la respuesta estructural.
El Método de Rigidez en Estructuras Isostáticas
Aunque una estructura isostática puede resolverse mediante el
método de las secciones, el método de rigidez ofrece ventajas signicativas
cuando se busca conocer las deexiones o cuando se utiliza un enfoque
computacional unicado. Para un sistema determinado, la matriz de rigidez
no solo facilita la obtención de esfuerzos, sino que permite vericar los
estados límite de servicio, fundamentales para la funcionalidad de la
estructura (Meriam y Kraige, 2014).
Transformación de Coordenadas Locales a Globales
Dado que los elementos de una estructura (como las barras de una
armadura) suelen tener diferentes orientaciones, sus matrices de rigidez
locales deben transformarse a un sistema de coordenadas global
mediante una matriz de transformación $$. La relación matemática
fundamental es:
100
Este proceso de rotación asegura que las fuerzas y desplazamientos
de cada barra se sumen coherentemente en los nudos de la estructura. En el
caso de barras inclinadas, la matriz de transformación incorpora los cosenos
directores ( ), relacionando la geometría global con el
comportamiento mecánico intrínseco del material (Quispe, 2015).
Ensamblaje de la Matriz de Rigidez Global
El ensamblaje es el proceso de superposición de las matrices de
rigidez de cada elemento para formar la matriz maestra de la estructura. En
una estructura isostática, antes de aplicar las condiciones de apoyo, esta
matriz es singular, lo que indica que la estructura carece de vínculos
externos y puede moverse como un sólido rígido. El equilibrio en los nudos
se expresa como:
Donde es el vector de fuerzas externas y es el vector de
desplazamientos incógnitos. Para estructuras determinadas, la aplicación
de las condiciones de contorno (eliminación de las y columnas asociadas
a desplazamientos nulos) resulta en un sistema de ecuaciones donde los
desplazamientos se obtienen directamente, permitiendo luego la
recuperación de las reacciones.
101
El Principio de Contravarianza y la Dualidad Estática-
Cinemática
Una de las contribuciones más profundas del análisis matricial a la
ingeniería estructural es el principio de contravarianza. Este principio
establece una relación de dualidad entre la matriz de equilibrio y la matriz
de compatibilidad.
Si se dene la matriz de equilibrio que relaciona los esfuerzos
internos con las cargas externas como , y la
matriz de compatibilidad $$ que vincula los desplazamientos nodales
con las deformaciones de barra como , entonces se cumple
que $ = [A]^T$. En estructuras estáticamente determinadas, la matriz es
cuadrada e invertible, lo que simplica enormemente la obtención de la
matriz de rigidez global, la cual puede expresarse como:
Esta relación demuestra que la topología de la estructura (denida
por ) y las propiedades mecánicas de los elementos ( ) se
sintetizan para determinar la rigidez total del sistema. El principio de los
trabajos virtuales es la base física que sustenta esta igualdad matemática,
garantizando que el trabajo realizado por las fuerzas externas sea igual a la
energía de deformación interna (Blanco et al., 2012).
102
Procedimiento Detallado para Vigas y Armaduras Isostáticas
Para resolver una estructura determinada mediante el método de
rigidez, se sigue una secuencia lógica que minimiza errores y maximiza la
eciencia del cálculo.
1. Discretización: Se divide la estructura en elementos. En vigas, los
nudos se sitúan en apoyos, puntos de carga puntual y donde existan
discontinuidades en cargas distribuidas.
2. Identicación del Sistema Q-D: Se denen los grados de libertad
globales. En una viga isostática de dos apoyos (uno jo y otro móvil),
el sistema Q-D incluye generalmente la rotación en ambos apoyos y la
traslación horizontal en el apoyo móvil.
3. Cálculo de Fuerzas de Empotramiento Perfecto (FEM): Si hay cargas
sobre las barras, se calculan los momentos y reacciones en un estado de
"empotramiento total". Estas fuerzas se trasladan a los nudos con signo
opuesto para formar el vector de cargas nodales equivalentes
(Hibbeler, 2010).
4. Generación de Matrices Locales: Se calculan las matrices para
cada barra. Para vigas, se consideran términos como y
para la exión.
5. Ensamble y Resolución: Se construye la matriz global y se
resuelve el sistema , donde
representa el vector de fuerzas de empotramiento.
6. Cálculo de Acciones Internas: Con los desplazamientos conocidos, se
aplican las ecuaciones de pendiente-deexión o la rigidez elemental
para hallar los momentos y cortantes nales en cada barra.
103
Análisis de un Arco Triarticulado
El arco triarticulado es un sistema isostático emblemático en la
ingeniería civil. A diferencia de una viga simple, el arco genera empujes
horizontales en los apoyos ante cargas verticales debido a su geometría. El
análisis por el método de rigidez de un arco requiere la discretización en
múltiples elementos rectos o el uso de una matriz de rigidez para elementos
curvos que integre los efectos axiales y de exión (Cervera y Blanco, 2002).
La estabilidad del arco depende de que las tres articulaciones (dos en los
apoyos y una en la clave) no sean colineales, condición que se verica
mediante el análisis cinemático del sistema.
Factores que Afectan la Rigidez: Wilbur y Muto
En el diseño de pórticos o marcos, la rigidez lateral es una propiedad
crítica para la resistencia sísmica. El método de Wilbur asigna rigideces
elementales basadas en la condición de los nudos (articulados o rígidos) y
utiliza el parámetro (índice de rotación) para clasicar la estructura (ver
Tabla 16) (Casal, 1987).
Tabla 16: Índice de rotación según el tipo de estructura
Valor de ρ
Clasicación de la
Estructura
Comportamiento
Dominante
Estructura de Corte
Las deformaciones por corte
predominan sobre la exión.
Estructura de Flexión
El comportamiento es
similar al de una viga en
voladizo.
104
Zona Indenida
El comportamiento mixto
requiere análisis más
detallado.
Estas fórmulas se fundamentan en la hipótesis de que los giros en los
nudos de un nivel y de los niveles adyacentes son iguales, facilitando el
cálculo de la rigidez lateral sin necesidad de resolver sistemas matriciales
masivos en etapas preliminares del diseño. El método de Muto rena estos
conceptos al considerar factores de corrección por la presencia de vigas de
diferentes inercias, proporcionando una estimación más precisa de la
rigidez en edicios reales.
Implementación Computacional y Uso de Software
El análisis de estructuras estáticamente determinadas se apoya hoy
en herramientas digitales que implementan el método directo de rigidez
con gran precisión. Programas como Ftool, Robot Structural y SAP2000 son
ampliamente reconocidos por su ecacia.
Ftool y el Análisis Educativo
Ftool es una herramienta fundamental en las facultades de ingeniería
de Perú (como la UNI y la PUCP) para la enseñanza de estructuras
isostáticas. Permite realizar análisis estáticos de vigas y pórticos, calculando
reacciones, desplazamientos y diagramas de esfuerzos internos de forma
instantánea. Su capacidad para modelar cargas triangulares y puntuales
sobre barras inclinadas lo hace ideal para validar cálculos manuales
realizados mediante el método de las secciones o el equilibrio de nudos
(Hibbeler, 2010).
105
Software Profesional y BIM
En la práctica profesional, el software permite abordar estructuras
grandes y complejas que serían inmanejables manualmente. Programas
como SAP2000 y ETABS utilizan el método de rigidez para dimensionar
puentes, presas y edicios, incorporando análisis dinámicos y sísmicos. La
integración con la metodología BIM (Building Information Modeling) a
través de herramientas como Revit y Tekla permite que el modelo analítico
se sincronice con el modelo físico, optimizando el ciclo de vida de la
infraestructura desde el diseño hasta la gestión de activos (Porras et al.,
2015).
El Análisis Estructural en la Academia Peruana: El
Legado de la UNI y la PUCP
La formación de ingenieros civiles en el Perú tiene una tradición de
rigor analítico que equilibra los métodos manuales con el software
avanzado. El estudio de las estructuras isostáticas es el primer paso crítico
en esta trayectoria.
La contribución de Genaro Delgado Contreras
El Ing. Genaro Delgado Contreras, profesor emérito de la
Universidad Nacional de Ingeniería (UNI), ha sido una gura clave en la
sistematización de la enseñanza estructural. Sus textos sobre análisis
estructural y diseño sismorresistente enfatizan que una estructura debe
poseer no solo resistencia, sino también la capacidad de deformarse y
recuperar su forma original (resiliencia), propiedad que él identica
intrínsecamente con la rigidez. Sus apuntes sobre armaduras y vigas
106
isostáticas enseñan al alumno a visualizar las fuerzas internas como una
respuesta al ujo de energía que recorre la estructura.
El Enfoque en la PUCP y la UPC
En la Ponticia Universidad Católica del Perú (PUCP), el curso de
Análisis Estructural I aborda detalladamente los sistemas isostáticos,
incluyendo arcos, cerchas y pórticos en ménsula. Se fomenta el uso de los
teoremas de Mohr y la ecuación de la elástica para comprender la
deformación, antes de pasar a los métodos matriciales en cursos superiores.
Por su parte, la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) alinea su
currículo con las competencias ABET, enfocándose en la solución de
problemas complejos mediante un razonamiento cuantitativo que integra el
análisis manual con herramientas digitales desde etapas tempranas.
El método de rigidez se extiende naturalmente para abordar
fenómenos que van más allá del equilibrio estático lineal. Incluso en
estructuras isostáticas, estos efectos pueden ser determinantes.
Análisis Dinámico y Matriz de Masa
Para evaluar la respuesta de una estructura ante sismos o
vibraciones, se debe considerar el comportamiento inercial. El método de
rigidez se complementa con una matriz de masa y una de
amortiguamiento . El análisis modal resultante permite identicar las
frecuencias naturales de vibración. Si una carga cíclica coincide con una de
estas frecuencias, la estructura puede entrar en resonancia, provocando
desplazamientos excesivos que pondrían en riesgo su estabilidad, aun
cuando las fuerzas estáticas sean moderadas (Razo y Domínguez, 2020).
107
Efectos Térmicos y Deformaciones Impuestas
Las variaciones de temperatura y los asentamientos de apoyos
generan deformaciones que en estructuras isostáticas no inducen esfuerzos
internos adicionales, pero sí alteran la geometría (Cervera y Blanco, 2002).
El método de rigidez permite cuanticar estos desplazamientos con
precisión. Por ejemplo, un aumento de temperatura en una barra de
longitud produce un alargamiento , el cual se incorpora al vector
de desplazamientos para obtener la nueva conguración de equilibrio del
sistema.
El Futuro del Análisis Estructural: Algoritmos y Datos
La ingeniería civil del siglo XXI se sostiene tanto en algoritmos como
en materiales. La transformación digital ha colocado al software en el
corazón del diseño estructural. El ingeniero moderno ya no es solo un
calculista, sino un analista de datos capaz de gestionar modelos complejos
que simulan el comportamiento estructural ante eventos extremos como
sismos severos o inundaciones.
La inteligencia articial y el aprendizaje automático están
comenzando a integrarse en el análisis estructural para predecir fallas y
optimizar el mantenimiento preventivo. No obstante, la dependencia
tecnológica plantea retos: la adopción de software requiere formación
continua para evitar que la herramienta nuble el juicio profesional. El
dominio de los métodos de equilibrio y rigidez en estructuras estáticamente
determinadas sigue siendo, por tanto, la base indispensable para cualquier
profesional que aspire a liderar proyectos de infraestructura con visión de
futuro.
108
En síntesis, el método de equilibrio y rigidez trasciende su función
como simple herramienta de cálculo para convertirse en un marco losóco
que explica cómo las estructuras resisten y se adaptan a su entorno. Desde
la simplicidad de una viga isostática hasta la complejidad de un rascacielos,
los principios de equilibrio, compatibilidad y comportamiento del material
permanecen inalterados, garantizando la seguridad y el progreso de la
sociedad a través de la ingeniería civil.
109
Conclusión
Uno de los desafíos más profundos en la ingeniería estructural es la
traducción de una realidad física compleja y continua en un modelo
matemático discreto y manejable. Este proceso de idealización requiere
formular suposiciones sobre las propiedades de los materiales, la geometría
de los elementos y la naturaleza de las conexiones. La teoría clásica del
análisis estructural se apoya en el principio de Saint-Venant, que permite
determinar las tensiones en secciones normales de una pieza a partir de
esfuerzos integrales, ignorando las perturbaciones locales en los puntos de
aplicación de las cargas o en los apoyos.
En la realidad, las conexiones entre elementos rara vez son
perfectamente articuladas o innitamente rígidas. Sin embargo, para nes
de análisis isostático, se categorizan en modelos ideales que restringen
grados de libertad especícos y generan fuerzas reactivas proporcionales a
dicha restricción.
La elección entre un modelo y otro depende del diseño constructivo.
Por ejemplo, en estructuras de acero, las conexiones de cortante se idealizan
como pasadores, mientras que las uniones soldadas o con placas de
continuidad se tratan como nudos rígidos. En el concreto armado, la
naturaleza monolítica del vaciado suele inducir una rigidez inherente que
acerca el comportamiento a los marcos rígidos, lo cual tiene implicaciones
críticas durante eventos sísmicos donde la ductilidad de la conexión es vital
para la disipación de energía.
110
El análisis estructural convencional se sustenta en dos hipótesis
simplicadoras: la linealidad elástica del material (Ley de Hooke) y la teoría
de pequeñas deformaciones. Estas suposiciones permiten que la geometría
de la estructura se considere invariable bajo carga, facilitando el uso de
ecuaciones de equilibrio sobre la conguración original (Análisis de Primer
Orden). Si las cargas llevan al material más allá del límite elástico o
provocan desplazamientos signicativos, el principio de superposición deja
de ser válido, requiriendo análisis no lineales que escapan al ámbito de la
estática elemental pero que son cruciales para evaluar la seguridad ante el
colapso.
Las estructuras estáticamente determinadas se maniestan en
diversas tipologías que han evolucionado para satisfacer necesidades de
vivienda, movilidad y servicios públicos. Cada sistema presenta una
mecánica de transferencia de carga única que dene su análisis y diseño. La
validez del análisis estructural es directamente proporcional a la precisión
con la que se estiman las cargas actuantes. Una estructura debe ser funcional,
segura, económica y estética. Estas exigencias se traducen en la capacidad
de resistir diversas acciones durante su construcción y vida útil.
En conclusión, la integridad de una estructura no solo se mide por
su resistencia a la rotura, sino también por su rigidez. Las deformaciones
excesivas pueden invalidar la funcionalidad de un edicio, provocando el
agrietamiento de muros no estructurales, el mal funcionamiento de
ascensores o una percepción de inseguridad en los ocupantes. En
estructuras isostáticas, el cálculo de deexiones es un paso esencial para
vericar que se cumplen los límites de servicio. Métodos como la doble
integración permiten obtener la ecuación de la elástica de una viga,
111
proporcionando una descripción completa de la pendiente y el
desplazamiento en cada punto.
Finalmente, una de las armaciones más críticas del análisis de
estructuras estáticamente determinadas es su intrínseca falta de
redundancia. En un sistema isostático, no existen caminos alternativos para
la carga si un elemento o una unión falla. La durabilidad de una estructura
depende de su capacidad para resistir agentes externos a lo largo del tiempo.
Las estructuras isostáticas, al permitir dilataciones libres por temperatura,
suelen presentar menos problemas de agrietamiento por tensiones internas
bloqueadas.
Por ende, su dependencia de un número reducido de apoyos exige
un mantenimiento riguroso de los mismos. La inspección de materiales, la
realización de pruebas de carga y el análisis de comportamiento ante la
humedad son fases esenciales para asegurar que la capacidad portante no
se degrade por debajo de los límites de diseño.
112
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