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El pensamiento lógico matemático: Concepciones y enseñanza en el aula de clases
María Maura Cámac Tiza, Marisol Paola Delgado Baltazar, Teodulo Aquilino Reyes
Santos, Edith Silva Rubio, Robert Angel Urbina Medina, Angelino Abad Ramos
Choquehuanca
© María Maura Cámac Tiza, Marisol Paola Delgado Baltazar, Teodulo Aquilino Reyes
Santos, Edith Silva Rubio, Robert Angel Urbina Medina, Angelino Abad Ramos
Choquehuanca, 2023
Jefe de arte: Yelitza Sánchez
Diseño de cubierta: Yelitza Sánchez
Ilustraciones: Ysaelen Odor
Editado por: Editorial Mar Caribe de Josefrank Pernalete Lugo
Jr. Leoncio Prado, 1355 – Magdalena del Mar, Lima-Perú. RUC: 15605646601
Libro electrónico disponible en http://editorialmarcaribe.es/?page_id=1911
Primera edición – octubre 2023
Formato: electrónico
ISBN: 978-612-5124-21-0
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°: 202310620
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El pensamiento lógico matemático: Concepciones y enseñanza
en el aula de clases
María Maura Cámac Tiza
Marisol Paola Delgado Baltazar
Teodulo Aquilino Reyes Santos
Edith Silva Rubio
Robert Angel Urbina Medina
Angelino Abad Ramos Choquehuanca
República de Perú, Año 2023
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Tabla de Contenido
Prólogo ............................................................................................................................. 4
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................... 7
El pensamiento lógico matemático: concepciones ........................................................... 7
Las etapas y estadios del pensamiento lógico matemático ......................................... 10
Fundamentación de la inteligencia lógica matemática en el proceso de enseñanza-
aprendizaje .................................................................................................................. 14
Cerebro y procesos psicológicos ................................................................................. 27
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................. 31
La lógica matemática ...................................................................................................... 31
El realismo lógico ....................................................................................................... 31
La objetividad y el realismo ........................................................................................ 33
Propósito de la lógica y las utilidades matemáticas .................................................... 35
Matemáticas y educación superior .............................................................................. 45
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................. 50
La cognición y la metacognición .................................................................................... 50
Las habilidades cognitivas y las funciones matemáticas ............................................ 56
Problemas matemáticos y desarrollo de habilidades cognitivas ................................. 58
Experiencia ecuatoriana .............................................................................................. 60
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................. 65
Enseñanza de las matemáticas y sus aspectos fundamentales ........................................ 65
El trabajo con la lógica ............................................................................................... 67
Metodología para enseñanza de las matemáticas........................................................ 69
Conclusiones ................................................................................................................... 78
Referencias bibliográficas .............................................................................................. 80
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Prólogo
El proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en los espacios de
aprendizaje, especialmente en la educación primaria y secundaria, se ha convertido en los
últimos años en una tarea sumamente compleja y fundamental en todo sistema educativo.
Probablemente no exista sociedad que no cuente en su estructura educativa con un
currículo relacionado con la educación matemática. Los profesores de matemáticas y las
ciencias exactas a menudo enfrentan demandas de enseñanza innovadoras y
transformadoras, que requieren una mayor atención por parte de quienes participan en la
investigación en educación matemática y, sobre todo, el desarrollo de módulos de
enseñanza para el tratamiento de líneas de investigación en matemáticas aplicadas.
Si bien es cierto que la mayor parte de los escritos sobre educación matemática se
ocupan de la enseñanza, dejando poco espacio para la reflexión sobre la enseñanza,
también es cierto que muchas ideas didácticas se han desarrollado y consolidado en los
últimos años. Por ejemplo, incluyen la resolución de problemas, el aprendizaje basado en
proyectos, la enseñanza en el aula, los juegos en educación matemática, los experimentos
matemáticos, las demostraciones, las aplicaciones y sus procesos de modelado. La
fundamentación teórica de cada uno de estos conceptos de enseñanza y por supuesto de
aprendizaje es muy amplia y se nutre principalmente de diversas disciplinas relacionadas
con la pedagogía, la didáctica y los campos relacionados con las matemáticas.
Los educadores matemáticos creen que los estudiantes deben adquirir diferentes
formas de conocimiento matemático en diferentes situaciones y para diferentes
situaciones, tanto para su posterior aplicación como para reforzar estrategias didácticas
en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Por supuesto, esto requiere una búsqueda
profunda de métodos de enseñanza adecuados y métodos especialmente adecuados para
mejorar la calidad de la enseñanza. Los métodos y técnicas mencionados se pueden
dividir en grandes grupos, lo que será uno de los objetivos de este trabajo.
Las matemáticas se aprenden de muchas maneras y a través de muchos medios,
cada uno con su propia función; uno de ellos, el lenguaje más frecuente y directamente
utilizado, es el lenguaje natural. Hoy en día, la computadora y sus programas relacionados
se han convertido en el entorno artificial más popular para tratar diversos temas
matemáticos, desde juegos y actividades en educación matemática elemental hasta teorías
y el concepto matemático es complejo, especialmente en el campo de aplicación. Estas
herramientas ayudan a los docentes a lograr buenos resultados en el desarrollo del proceso
educativo y pedagógico.
La educación puede caracterizarse como un proceso activo que no solo requiere
el dominio de la disciplina, en nuestro caso, el conocimiento matemático básico que
debería funcionar con los estudiantes y aquellos que apoyan o explican los conceptos
pequeños y estrictos necesarios para comprender el mundo de las matemáticas. El
dominio suficiente de un conjunto de habilidades y habilidades necesarias para el buen
trabajo de nuestro trabajo como maestros de matemáticas.
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En este sentido, trataremos de presentarnos la ayuda de varios autores, algunos de los
cuales están dedicados a los pensamientos sobre la didáctica de las matemáticas y otros
para trabajar en aspectos generales relacionados con la metodología de enseñanza y la
pedagogía, algunos aspectos de la enseñanza de las matemáticas , sin olvidar la
importancia del aprendizaje que se consideró ampliamente en otro trabajo sobre este
tema: los fundamentos en la educación matemática. Aquí nos dedicaremos al desarrollo
de algunos conceptos destacados en la enseñanza de las matemáticas, principalmente los
modelos y herramientas básicos para el aprendizaje de las matemáticas en las escuelas y
las competencias básicas que deben tener los profesores de matemáticas, según las últimas
investigaciones desarrolladas en este campo.
Desde la implementación integral de los valores prescritos para los maestros, hasta
el desarrollo del pensamiento lógico matemático entre los estudiantes de los primeros
ciclos educativos, una contribución que el maestro controla como una idea. Comentarios
sobre la lógica matemática y el desarrollo humano. En este sentido, aunque el guía asigna
el gran valor de la observación sistemáticamente por el proceso cognitivo, de motivación,
juego y de innovación de los niños en el campo del desarrollo matemático del
pensamiento lógico en los niños, la realidad es que todo esto se generaliza mediante la
realización de actividades con niños, niñas y adolescentes, como operaciones básicas de
cálculo, representación analítica y lenguaje matemático, fuera del contexto sociocultural
del estudiante y que dista del logro de objetivos para el desarrollo efectivo del
pensamiento matemático.
El profesorado se muestra crítico, admitiendo que muchas de las barreras que
plantean para acceder a estos contenidos se deben a la falta de recursos materiales para
llevar a cabo una mediación efectiva, así como a graves deficiencias en el proceso de
formación inicial o profesional en este campo. Aún queda mucho trabajo por hacer en
términos de formación continua y profunda de los docentes en esta área para liderar
verdaderamente el proceso de organización y mejora efectiva de la enseñanza,
especialmente en lo que respecta al desarrollo de los conceptos de lógica y matemática
en la edad preescolar. No cabe duda de que la calidad de la formación docente en sinergia
con la voluntad y la creatividad, determinará el éxito de las actividades pedagógicas
encaminadas a alcanzar el acoplamiento de las inteligencias múltiples.
La filosofía del pensamiento lógico sobre lo que constituye la actividad
matemática tienen una fuerte influencia, a veces más dinámica de lo que se imagina, en
actitudes profundas hacia la educación matemática. La reforma matemática moderna del
siglo XXI es la continuidad en el apogeo del movimiento del formalismo matemático. No
es arriesgado pensar a priori en la causalidad y, de hecho, algunas personas
particularmente influyentes en el movimiento de Dieudonné, desempeñaron papeles
importantes en el trabajo matemático.
La actividad científica implica generalmente el estudio de determinadas
estructuras de la realidad, entendida en sentido amplio como la inteligencia espacial
asociada con las inteligencias múltiples. La actividad matemática encuentra un cierto tipo
de estructura que está sujeta a tratamientos simbólicos especiales y adecuados que
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permiten una representación efectiva desde el punto de vista de la actividad racional
estricta que requiere el consentimiento de quienes están sujetos a lo cultural, es decir, la
etnomatemática; pues controla eficazmente la realidad a la que se dirige, primero un
modelo mental adecuadamente construido y luego, si es necesario, una realidad con
investigación acción participativa de docentes y estudiantes.
Según este punto de vista, el conocimiento que tienen los docentes sobre el
desarrollo del pensamiento matemático y lógico en los estudiantes en edades tempranas
es relevante al considerar que este es precisamente una parte del todo, agentes que
intervienen en el desarrollo de este pensamiento. Además de mantener un enfoque crítico
en la elección de formas y estrategias de enseñanza, que según los autores de este libro,
deben ser creativas y motivadoras para el aprendizaje.
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CAPÍTULO 1
El pensamiento lógico matemático: concepciones
A lo largo de la historia humana, el uso del pensamiento lógico matemático ha
jugado un papel crucial en el crecimiento intelectual. Esto se debe a que las ciencias
matemáticas son ampliamente reconocidas como un código y lenguaje universal, lo que
permite una comunicación efectiva entre diversas comunidades y culturas. Mediante el
empleo de principios matemáticos, las personas de diversos orígenes pueden unirse en su
búsqueda de una comprensión científica e integral de numerosos fenómenos globales.
Es crucial centrarse en el desarrollo de habilidades lógico-matemáticas en los
bebés, ya que juega un papel importante para ayudarlos a resolver conflictos de manera
efectiva y hacer uso de herramientas prácticas. Al fomentar estas habilidades, los niños
pueden pensar críticamente y tomar decisiones basadas en criterios técnicos. También
pueden realizar cálculos matemáticos, clasificar objetos, conceptos abstractos,
comprender números y establecer conexiones entre diferentes objetos o ideas. Asimismo,
el desarrollo del pensamiento lógico en los bebés se apoya mediante actividades como
agrupar elementos, ordenarlos, contar y analizar aspectos espaciales y temporales.
Cuando se habla del pensamiento lógico involucrado en las matemáticas, a
menudo se hace referencia al uso deliberado de ciertos aspectos de la personalidad de una
persona (Oliver y Cerecedo, 2008). Esto significa que cada individuo tiene la opción de
elegir un método particular para emplear su capacidad de calcular, medir y percibir el
espacio. Además, tienen la capacidad de articular y debatir eventos utilizando un marco
matemático.
Desde sus inicios, el concepto de pensamiento lógico matemático ha suscitado
numerosas discusiones sobre su origen, lo que ha tenido importantes implicaciones para
las prácticas docentes de los educadores matemáticos. Estos debates han llamado la
atención sobre las limitaciones de las estrategias de enseñanza tradicionales que a menudo
dificultan el desarrollo óptimo de este estilo de pensamiento en los estudiantes. A medida
que surgen diversas perspectivas en torno a la definición del pensamiento lógico
matemático, se vuelve fundamental identificar los enfoques más eficientes para fomentar
su adquisición y comprensión en el campo de la educación matemática.
El pensamiento lógico matemático va más allá del ámbito de las matemáticas y
extiende su influencia a otras áreas del conocimiento. Sirve como base para el aprendizaje
en materias como ciencias naturales, ciencias sociales y lenguaje. La capacidad de pensar
lógica y matemáticamente permite a los estudiantes analizar e interpretar datos, hacer
conexiones entre diferentes conceptos y formular argumentos lógicos. Esto no solo
mejora su desempeño académico, sino que también los equipa con habilidades valiosas
que se pueden aplicar en diversas situaciones de la vida real.
En el currículo escolar, el pensamiento lógico matemático está integrado en
diferentes materias, lo que permite a los estudiantes ver la interconexión del
conocimiento. Al enfatizar la importancia del razonamiento lógico y el pensamiento
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matemático en todas las disciplinas, los educadores tienen como objetivo fomentar las
habilidades de pensamiento crítico y promover el aprendizaje holístico. Este enfoque
reconoce que el pensamiento lógico matemático no se limita a resolver ecuaciones o
realizar pruebas geométricas, sino que es una habilidad cognitiva fundamental que
permite a las personas navegar y dar sentido al mundo que les rodea.
El pensamiento lógico matemático juega un papel crucial en la adquisición y
consolidación de diversas habilidades matemáticas. Este tipo de pensamiento sirve como
eje transversal, lo que permite a las personas desarrollar diferentes tipos de pensamientos
matemáticos, incluido el pensamiento aritmético, algebraico, geométrico, numérico y
variacional (Bolaño, 2020). Al aplicar este conjunto de habilidades, los estudiantes
pueden mejorar sus habilidades para resolver problemas y profundizar su comprensión de
los conceptos matemáticos.
Por lo tanto, el pensamiento lógico matemático sirve como eje transversal en el
aprendizaje y consolidación de diversas habilidades matemáticas. Su aplicación conduce
al desarrollo de diferentes tipos de pensamiento matemático y mejora la capacidad de
resolución de problemas. Además, el pensamiento lógico matemático constituye la base
para la adquisición de conocimientos en otras áreas del currículo escolar, como las
ciencias naturales, las ciencias sociales y el lenguaje. Al nutrir este tipo de pensamiento,
los educadores tienen como objetivo cultivar habilidades de pensamiento crítico y equipar
a los estudiantes con herramientas valiosas para el aprendizaje permanente.
Asimismo, la capacidad de pensar lógica y matemáticamente no es solo una
habilidad simple, sino una competencia crucial que permite a las personas navegar y
funcionar de manera efectiva dentro de la sociedad. Esta competencia faculta a las
personas para enfrentar los diversos desafíos y obstáculos que se encuentran en la vida
cotidiana mediante el empleo de procesos analíticos para analizar, comprender, deducir y
tomar decisiones informadas. La capacidad de pensamiento lógico matemático se
extiende más allá de los meros cálculos numéricos o conceptos matemáticos y abarca una
amplia gama de conocimientos y contextos de la vida diaria. Por lo tanto, es importante
reconocer que este tipo de pensamiento debe entenderse de manera integral, ya que
impregna casi todos los aspectos de las acciones humanas.
El concepto de pensamiento lógico matemático se basa en la creencia de que los
bebés participan en diversas actividades mentales que implican el cálculo como una
herramienta clave para la toma de decisiones y la resolución de problemas en situaciones
específicas. Para que un niño se adapte eficazmente a su entorno y analice datos o evalúe
medidas, magnitudes, pesos, cantidades o cualquier otra variable relevante, es importante
diferenciar los diferentes componentes de este tipo de pensamiento.
El pensamiento lógico-matemático consta de ocho componentes que forman la
base para el aprendizaje de las matemáticas en el desarrollo de la primera infancia:
• La comparación: La capacidad de pensar lógica y matemáticamente permite a las
personas reconocer y analizar similitudes y diferencias entre varios aspectos de su
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entorno. Esto implica comparar y contrastar diferentes variables, lo que requiere
considerar las propiedades y atributos que exhiben los elementos que se observan.
• La clasificación: Este aspecto particular del pensamiento matemático se refiere a
la habilidad de formar asociaciones entre diferentes elementos basados en criterios
específicos que son relevantes para cada situación individual.
• La correspondencia uno a uno: Otra actividad mental que se realiza cuando se
aplica el pensamiento lógico matemático implica el emparejamiento preciso de
elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto. El propósito de este
procedimiento es establecer una correspondencia biunívoca entre las variables. Al
hacerlo, podemos analizar y comprender las relaciones y conexiones entre los
elementos dentro de los conjuntos de manera más integral. Este proceso requiere
una consideración cuidadosa y un pensamiento sistemático para garantizar que
cada elemento de un conjunto coincida con precisión con un elemento
correspondiente del otro conjunto.
A través de este ejercicio, podemos profundizar en los patrones y estructuras
intrincados que existen dentro de los conjuntos, lo que nos permite obtener
información valiosa y sacar conclusiones significativas. En general, el
emparejamiento puntual de conjuntos es un aspecto fundamental del pensamiento
lógico matemático, facilitando la exploración y comprensión de conceptos
matemáticos complejos.
• La seriación: Este elemento en particular está íntimamente relacionado con la
aptitud para identificar patrones o semejanzas dentro de una colección de datos.
En otras palabras, por medio de la serialización, el individuo es capaz de
establecer un arreglo sistemático de los elementos que se analizan, dependiendo
del descubrimiento de un patrón distinto que debe descubrirse.
• El conteo verbal: Este método particular de contar implica el acto de recitar una
secuencia específica de números únicamente de memoria. En esencia, requiere la
capacidad de almacenar y recordar mentalmente una serie de datos, así como
articularlos verbalmente.
• El conteo estructurado: Este proceso cognitivo implica asignar una etiqueta a cada
componente individual de un conjunto de información y, al mismo tiempo,
contarlos.
• El conteo resultante: Esta etapa ocurre cuando el alumno asigna etiquetas
específicas a un conjunto determinado, y la etiqueta final representa la cantidad
correcta de todo el conjunto.
• El conocimiento general de los números: El aspecto final sugiere que el aprendiz
posee la capacidad de aplicar las habilidades que ha adquirido en diversas
situaciones o contextos prácticos donde se le requiere abordar problemas
directamente relacionados con los cálculos numéricos.
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En contraste, el pensamiento lógico matemático comprende varios elementos que
permiten a las personas utilizar estas habilidades de manera efectiva en tareas como
cálculos, ordenar y hacer conexiones entre conjuntos. Estos componentes juegan un papel
crucial en la configuración del proceso de pensamiento y el establecimiento de relaciones
entre los objetos. Además, la inclusión de factores adicionales como la autorregulación,
la asunción de roles y la distinción de símbolos contribuye aún más al desarrollo integral
de las funciones cognitivas en los niños. Estos factores también juegan un papel vital para
facilitar la adquisición de conocimientos matemáticos fundamentales durante los
primeros años de la educación de un niño.
Desde una perspectiva amplia, las teorías desarrolladas por Jean Piaget sugieren
que los infantes deben adquirir conocimientos específicos para desarrollar el pensamiento
lógico matemático. Esto incluye comprender conceptos como clasificación, comparación,
seriación y correspondencia uno a uno entre conjuntos de datos. La comprensión de estos
conceptos es crucial para la formación y refuerzo del concepto de números. Por lo tanto,
se vuelve aún más beneficioso para los estudiantes cuando están expuestos a una
estimulación temprana y adecuada para mejorar sus habilidades de cálculo individuales y
el uso eficaz de las operaciones lógicas.
Las etapas y estadios del pensamiento lógico matemático
La mirada clásica respecto a la forma en la que se produce y desarrolla el
pensamiento lógico matemático deriva la concreción de una serie de etapas secuenciales
que suceden en diversos estadios del crecimiento de los infantes (Mora, 2003). En efecto,
Piaget indicaba la presencia de cuatro etapas básicas del pensamiento lógico matemático
infantil: la primera etapa correspondía con la actividad sensoriomotoras, comprendida
entre los 0 y 2 años de edad en la que las estructuras cognitivas del niño se correspondían
con la acción sensorial y aprehensión de destrezas motoras.
Seguidamente, el niño se introduce en la etapa preoperacional entre los 2 y 7 años,
donde se enaltece una mayor actividad interactiva entre los sujetos en función de los
objetos del entorno, luego, durante los 7 y 9 años el niño experimenta la etapa operacional
concreta, donde su conocimiento se flexibiliza y demuestra su capacidad para hacer
abstracciones en torno a los símbolos y representaciones mediante las cuales asocia los
contenidos; por último, a partir de los 11 años el niño comienza a actuar en una etapa
operacional formal, y es cuando puede aplicar pensamiento lógico en diferentes
situaciones de convivencia. con relación a estos antecedentes, las perspectivas más
actuales acerca de las etapas o estadios del pensamiento lógico matemático coinciden en
la concepción de que el aprendizaje y conocimiento de elementos matemáticos en el niño
se va produciendo de acuerdo con la fase evolutiva en la que se encuentre el infante, dado
que, paulatinamente a medida que el niño crece, su conocimiento se va enriqueciendo y
ajustando para percibir el contexto de una forma cada vez más compleja.
Según Laínez (2017), existen cuatro etapas clave que se pueden observar en el
desarrollo del pensamiento lógico matemático:
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• La alineación es el posicionamiento y disposición de un grupo de objetos en una
dimensión específica, donde los objetos se eligen de manera diversa y variada.
• Los objetos colectivos son agrupaciones de elementos de dos o tres dimensiones
que comparten similitudes geométricas, formando una colección basada en estas
consideraciones.
• En este punto, tres objetos pueden clasificarse como complejos cuando comparten
similitudes en cuanto a las formas o figuras que representan, lo que indica una
gama de variaciones.
• En el ámbito de las colecciones no figurativas, profundizamos ahora en el examen
de los momentos diferenciales que se relacionan principalmente con la disposición
de los objetos en pares, así como las intrincadas agrupaciones formadas entre
conjuntos, que posteriormente dan lugar a más subagrupaciones.
Estas cuatro etapas de desarrollo están organizadas en una secuencia natural
basada en cómo un niño percibe los estímulos en su entorno. Inicialmente, el niño
comienza alineando objetos de dimensiones específicas, luego progresa a agrupar objetos
colectivos con dimensiones más grandes, incorporando asociaciones geométricas y
espaciales. Posteriormente, el niño pasa a manipular objetos complejos, enfocándose en
representar diversas formas y figuras de forma independiente. Por último, el niño avanza
a la etapa de colección no figurativa, donde genera grupos con mayor dificultad en
comparación con sus representaciones anteriores en etapas anteriores.
Además, en el contexto de Zapatera (2018), el cultivo del pensamiento lógico
matemático se facilita a través de una progresión secuencial de tres etapas distintas. Estas
etapas son fundamentales para fomentar la capacidad del bebé para reconocer y extrapolar
patrones. Sin embargo, es crucial que el bebé navegue con éxito a través de las etapas
posteriores para desarrollar completamente esta habilidad cognitiva:
• Durante la etapa inicial del desarrollo cognitivo, los niños son capaces de
identificar patrones específicos dentro de una serie de información, pero aún no
son capaces de integrar estructuras numéricas o espaciales en sus representaciones
mentales.
• Hay una segunda etapa de desarrollo en los infantes donde comienzan a reconocer
no solo los patrones cuantitativos que han observado antes, sino también los
aspectos numéricos y espaciales que les ayudan a comprender mejor la
información que reciben de su entorno.
• En este tercer nivel cognitivo, el niño desarrolla la capacidad de realizar
operaciones mentales que implican la capacidad de revertir ciertos procesos. Esta
nueva reversibilidad del pensamiento permite que el niño se convierta en un
individuo más adaptable y versátil, capaz de responder con eficacia a las distintas
situaciones que se le presenten.
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A través de estos argumentos, podemos observar el crecimiento y desarrollo
gradual de la comprensión de un niño. Comienza con su comprensión inicial del mundo
físico que los rodea y luego progresa hacia la participación en interacciones sociales
dentro de su entorno. Eventualmente, llegan a una etapa en la que su conocimiento se
expande para incluir la aplicación de conceptos matemáticos y lógicos. Esto les permite
distinguir entre diferentes variables, construir modelos mentales y realizar cálculos o
manipulaciones utilizando asociaciones numéricas o métricas.
Similar al proceso de desarrollo mental individual, el pensamiento lógico
matemático progresa desde momentos operativos básicos hasta niveles más altos de
pensamiento en términos de cantidades o medidas. Este enfoque del pensamiento está
estrechamente relacionado con el uso del razonamiento lógico y la aplicación de
estrategias numéricas para resolver diversos problemas. El desarrollo del pensamiento
lógico matemático, además que mejora la inteligencia matemática de un individuo,
también juega un papel crucial en su viaje académico y experiencial. No solo mejora sus
habilidades numéricas, sino que también les ayuda a comprender conceptos, establecer
relaciones lógicas, utilizar cuantificadores y proporciones y formular hipótesis. Así, se
puede argumentar que este enfoque de pensamiento sirve como marco mental para el
pensamiento esquemático y técnico.
El desarrollo del pensamiento lógico matemático involucra varios subprocesos,
que se pueden clasificar en diferentes tipos, cada uno de los cuales abarca elementos
específicos para un pensamiento eficaz. Un aspecto importante es el desarrollo del
pensamiento espacial, que implica actividades cognitivas que crean representaciones
mentales de objetos en un entorno espacial y la comprensión del conocimiento
geométrico.
Otro aspecto crucial es el desarrollo del pensamiento sobre los sistemas
numéricos, que se centra en la comprensión, el uso y el significado de los números, así
como en la aplicación de operaciones matemáticas y su conexión con los números.
Además, el desarrollo del pensamiento métrico es esencial para evaluar y probar
magnitudes, valores y sistemas métricos. El pensamiento métrico no solo contribuye al
pensamiento lógico matemático sino que también mejora las habilidades ciudadanas del
estudiante y su interacción con el colectivo.
El desarrollo del pensamiento aleatorio, por otro lado, implica aplicar el azar y
lidiar con situaciones que carecen de patrones específicos. Se basa en conceptos de teorías
de probabilidad y estadísticas inferenciales para encontrar soluciones a dilemas
ambiguos. Por último, el desarrollo del pensamiento variacional implica la manipulación
de sistemas algebraicos y analíticos dentro del pensamiento matemático. Reconocer y
caracterizar la variación o el cambio en diferentes contextos es un componente crucial del
pensamiento lógico matemático. Para fomentar este tipo de pensamiento, es importante
involucrar a los estudiantes activamente en situaciones en las que describen, modelan
datos y los representan utilizando diferentes formas simbólicas, como descripciones
verbales, íconos, gráficos o símbolos algebraicos.
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La progresión de estos subprocesos contribuye a la consolidación del
razonamiento matemático, lo que, en términos de educación, requiere una comprensión
más profunda de las estrategias de instrucción empleadas por los maestros para mejorar
este razonamiento en los niños. A lo largo de la historia, los enfoques educativos para la
enseñanza de conceptos matemáticos han enfatizado consistentemente el uso de
actividades lúdicas como un medio para que los docentes faciliten la adquisición de
conocimientos en estas materias y fomenten el crecimiento del razonamiento matemático.
Sin embargo, incluso hoy en día, los educadores continúan lidiando con el desafío de
encontrar nuevas vías o marcos más flexibles que apoyen de manera efectiva el desarrollo
intelectual de los estudiantes.
En relación con este tema, es importante señalar que el desarrollo del pensamiento
lógico matemático de los niños se puede potenciar a través de enfoques constructivistas
en la educación. Estos enfoques implican diversas tácticas para la enseñanza de las
matemáticas, como el uso de estrategias de gestión.
Estas estrategias implican motivar el aprendizaje de ciertas operaciones
matemáticas mediante la incorporación de materiales como papel, piedras, canicas y otros
objetos tangibles. Asimismo, se emplean estrategias de control para facilitar la
comprensión de los estudiantes de los contenidos impartidos por los profesores,
fomentando la autorregulación. Además, se implementan estrategias de procesamiento
que implican la repetición de contenidos, ejercicios en clase y la integración de
herramientas innovadoras como software de aplicaciones específicas, computadoras,
juegos y otros dispositivos. También se utilizan estrategias de apoyo, empleando sistemas
de recompensas que motivan a los estudiantes a revisar y comprender conceptos
matemáticos. Finalmente, se emplean estrategias de personalización, lo que permite a los
docentes desarrollar sus propias estrategias didácticas que resuelvan efectivamente los
problemas de una manera sencilla y comprensible para sus alumnos.
El estudio del pensamiento lógico matemático se ha convertido en una parte
integral de la educación y campos relacionados, ya que es una habilidad crucial que las
personas necesitan desarrollar a lo largo de sus vidas. Esta habilidad tiene numerosas
aplicaciones en varios contextos, por lo que es esencial que las personas la posean. Por
tanto, fomentar el desarrollo del pensamiento lógico matemático es vital para potenciar
la inteligencia matemática en los estudiantes.
Al estimular este enfoque mental, los estudiantes pueden comprender términos,
razonar sobre explicaciones y hacer sus propias deducciones sobre las relaciones entre
diferentes sistemas. Fomentar el pensamiento lógico matemático desde una edad
temprana es importante porque apoya la actividad creativa y la curiosidad de los
estudiantes sobre el mundo que les rodea. Permite que los niños pequeños se sientan
capaces de encontrar soluciones a problemas simples y desempeñen un papel en la
exploración de su entorno inmediato.
A partir de la adquisición de habilidades lógico-matemáticas, los estudiantes
pueden construir una base sólida para resolver situaciones cotidianas más complejas y
ejecutar funciones cognitivas avanzadas. A través de intervenciones educativas que se
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enfocan en involucrar a los estudiantes con la materia, se promueve el desarrollo de
habilidades de pensamiento matemático y lógico.
Fundamentación de la inteligencia lógica matemática en el proceso de enseñanza-
aprendizaje
Desde hace un tiempo, se defiende la idea de que las matemáticas no son algo que
simplemente se aprende, sino algo que se hace activamente. Esta perspectiva, se conoce
como matematización, que enfatiza la importancia de participar en actividades
matemáticas en lugar de solo memorizar hechos y fórmulas. Reconoce que cada individuo
tiene su propia forma única de abordar y comprender las matemáticas, y que esto puede
variar mucho de una persona a otra.
La idea está respaldada por la teoría de las Inteligencias Múltiples, que sugiere la
existencia de diferentes tipos de inteligencia y que los individuos pueden sobresalir en
diferentes áreas de habilidad matemática. Por ejemplo, algunas personas pueden ser
particularmente rápidas para resolver nuevos problemas, mientras que otras pueden
sobresalir en la búsqueda de soluciones sin necesidad de seguir todos los pasos. De
manera similar, algunas personas pueden disfrutar siguiendo un enfoque sistemático y
completando todos los pasos, mientras que otras pueden tener talento para estimar
cantidades de manera eficiente.
Cuando reconocemos que cada individuo posee fortalezas intelectuales únicas y
que ciertas habilidades pueden estar más avanzadas que otras, se vuelve imperativo
explorar métodos que permitan a cada estudiante comprender y generar conocimiento. Es
fundamental garantizar que todos los alumnos tengan la oportunidad de descubrir el
enfoque más eficaz adaptado a sus necesidades individuales para alcanzar los mismos
objetivos.
De acuerdo con Gardner, se reconoce ampliamente que cada individuo nace con
un potencial inherente que está formado por una combinación de factores genéticos e
influencias externas como el medio ambiente, la cultura, la educación y las experiencias
personales. Para ilustrar mejor este punto, consideremos una anécdota: imaginemos que
un maestro hace una pregunta a una clase de primer grado, preguntando si un niño todavía
podría escribir si le quitaran cinco de sus lápices. En respuesta, un niño de 6 años sugiere
ingeniosamente que depende de si el niño tiene herramientas de escritura alternativas
como bolígrafos o marcadores. Si bien la maestra no considera que la respuesta sea
correcta, reconoce que el razonamiento del niño refleja una perspectiva de sentido común.
Curiosamente, cuando el maestro revive la anécdota cuatro años después y le recuerda al
niño su respuesta inicial, él descarta el problema como algo trivial y ahora comprende
que sin lápices o instrumentos de escritura adecuados, escribir sería imposible.
El niño de seis años estaba profundamente absorto reflexionando sobre un
desconcertante problema matemático, su mente completamente inmersa en el reino de los
números y los cálculos. Sin embargo, parecía que en algún lugar dentro de la vasta red de
influencias que comprende el sistema educativo, el maestro y posiblemente incluso su
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familia, se había producido una divergencia. Durante un lapso de cuatro largos años, había
estado expuesto a un conjunto diferente de principios matemáticos, cambiando
gradualmente su percepción de lo que constituía una solución válida. Como consecuencia,
la respuesta intuitiva y lógica derivada de su sentido común innato se había vuelto
obsoleta: ya no se alineaba con los rígidos estándares impuestos por el plan de estudios
académico diseñado para impartir el arte de aprender Matemáticas.
Naturalmente, una de las sugerencias que surge como resultado de la reflexión
sobre estos conceptos es la incorporación de la educación matemática en el aprendizaje
de la primera infancia, tal como lo propone Berdonneau (2008). Este enfoque enfatiza el
cultivo de habilidades de razonamiento lógico, promoviendo una expedición cautivadora
a través del reino de las matemáticas.
En su libro, Escamilla (2014) detalla los diversos indicadores que pueden
utilizarse para identificar la presencia de Inteligencia Lógico-Matemática. Estos
indicadores juegan un papel crucial en el fomento del desarrollo de habilidades de
razonamiento, que Escamilla apoya firmemente. Al comprender y reconocer estos
indicadores, las personas pueden aprovechar eficazmente su inteligencia lógico-
matemática y mejorar su capacidad para pensar críticamente y resolver problemas,
favoreciendo:
• La capacidad de realizar cálculos rápidamente en la mente, implica ser capaz de
resolver problemas matemáticos sin el uso de ayudas o dispositivos externos.
• Resolver situaciones problemáticas que manipulan números y aritmética.
• Manipular diferentes tipos de materiales con fines de cuantificación,
comparación, serialización, clasificación, pesaje, medición y representación.
• Comprender y aplicar símbolos matemáticos.
• Identificar situaciones problema que requieran diferentes tipos de operaciones
para su solución.
• Elaborar y resolver acertijos y juegos de estrategia.
• Analizar e identificar diferentes tipos de declaraciones, funciones y otros
conceptos relacionados.
• Desarrollar una comprensión profunda y competencia en los principios y teorías
relacionadas con la cantidad, el tiempo y la relación causa-efecto.
• Interpretar datos estadísticos y presenta su información en forma de varios tipos
de gráficos.
• Identificar los elementos causales en varios tipos de fenómenos y eventos.
• Establecer relaciones entre los factores causales de fenómenos y eventos.
• Reconocer las consecuencias de varios tipos de fenómenos y eventos.
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• La capacidad para reconocer y comprender elementos significativos es crucial
cuando se emprenden procedimientos como el análisis y la síntesis, la inducción
y la deducción. Esto se aplica no solo a varias situaciones, objetos, personas,
conceptos, principios y teorías, sino también a cualquier otro aspecto relevante
que pueda encontrarse. Al perfeccionar estas habilidades, las personas pueden
navegar y comprender de manera efectiva las complejidades de diferentes
escenarios, lo que facilita sus procesos de toma de decisiones y sus habilidades
generales para resolver problemas.
• Pensar lógica y matemáticamente reuniendo evidencia, formulando hipótesis,
formulando modelos, desarrollando contraejemplos y construyendo argumentos
sólidos.
• Demostrar una actitud crítica, negándose a aceptar hechos que no pueden ser
verificados empíricamente.
Las matemáticas y el razonamiento están interconectados y forman la base de una
estructura sistemática. En otras palabras, las matemáticas permiten el razonamiento y el
razonamiento mejora nuestra comprensión de las matemáticas. Sin embargo, el desarrollo
de conceptos matemáticos a menudo se ve como un proceso de abstracción y
generalización, desconectado de factores socioculturales. Es crucial reconocer que los
procesos matemáticos no están confinados a los reinos abstractos de la mente, sino que
están influenciados por procesos socioculturales más amplios.
Esta precaución nos lleva a reconocer las aplicaciones prácticas de las
matemáticas en nuestra vida diaria. También presenta el concepto de enseñar y estudiar
matemáticas como dos actividades distintas pero interconectadas. La enseñanza implica
la guía experta y la colaboración con los estudiantes, mientras que el estudio es un proceso
gradual de crecimiento y maduración. Aprender matemáticas va más allá de simplemente
encontrar respuestas a preguntas; implica desarrollar el pensamiento matemático, apreciar
sus principios, expresar ideas y manipular conceptos generales.
El aprendizaje efectivo en matemáticas es complejo. Requiere algo más que la
suma de los componentes individuales; requiere el análisis y la síntesis de las relaciones.
Es importante recordar uno de los indicadores de la inteligencia lógico-matemática, que
enfatiza la capacidad de reconocer elementos significativos y aplicar procedimientos
analíticos y sintéticos a diversas situaciones, objetos, personas, conceptos, principios y
teorías.
En resumen, las matemáticas y el razonamiento están entrelazados, formando el
marco de una estructura sistemática. Si bien se debe tener precaución al comprender las
influencias socioculturales en el desarrollo matemático, las matemáticas siguen siendo
invaluables en nuestra vida diaria. La enseñanza y el estudio de las matemáticas son
procesos interconectados, con énfasis en el desarrollo del pensamiento matemático y la
comprensión de la generalidad. El aprendizaje eficaz de las matemáticas implica aceptar
la complejidad y analizar las relaciones.
17
Debido a esta lógica, está altamente justificado y es esencial brindar una
comprensión amplia y completa de las pautas, tanto en términos de sustancia como de
metodología, descritas en el documento del Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas (NCTM) publicado en 2000. El enfoque pretende establecer una conexión
entre estos estándares y los indicadores de la inteligencia lógico-matemática, al mismo
tiempo que reconoce y fomenta el desarrollo de otras inteligencias diversas. La intención
detrás de este análisis es reconocer la importancia de las inteligencias múltiples en el
contexto de la educación matemática y explorar cómo estas inteligencias pueden
integrarse efectivamente en los procesos de enseñanza y aprendizaje:
• El componente de Números y Operaciones de la educación matemática se enfoca
en desarrollar una comprensión profunda de los números, las operaciones
matemáticas y la capacidad de calcular con fluidez. Abarca varios aspectos, como
comprender el significado de las operaciones matemáticas, comparar cantidades
y obtener una comprensión sólida de la estructura del sistema decimal utilizando
números enteros. A medida que los estudiantes progresan, aumenta la importancia
de las fracciones y los números enteros. Además, es fundamental poder realizar
cálculos utilizando diferentes métodos, incluidas las técnicas de cálculo mental y
estimación, además de los cálculos tradicionales de lápiz y papel. Dominar este
componente también requiere la utilización de la inteligencia visoespacial y,
particularmente durante las etapas iniciales del aprendizaje, la inteligencia
corporal-kinestésica.
• El álgebra ha tenido un impacto significativo en el desarrollo de las matemáticas
a lo largo de la historia al introducir símbolos algebraicos y los procedimientos
para manipularlos. Para comprender verdaderamente el álgebra, es crucial verla
como una colección de conceptos y técnicas que pertenecen a la representación
de relaciones cuantitativas. Asimismo, sirve como un estilo de pensamiento
matemático que permite la formalización de patrones, funciones y
generalizaciones. A pesar de la creencia común de que el álgebra es más adecuado
para estudiantes de secundaria y preparatoria, los niños pequeños también pueden
emplear el razonamiento algebraico cuando estudian números, operaciones y
exploran patrones y relaciones entre conjuntos de números. Además, el álgebra se
puede aplicar a las ideas geométricas, destacando la importancia de la inteligencia
lógico-matemática y visual-espacial en su estudio.
• La geometría involucra la exploración y comprensión de las propiedades,
clasificaciones y razonamiento de formas y figuras. Para comprender realmente
el tema, los estudiantes deben participar en actividades de pensamiento y
prácticas, lo que les permite crear, visualizar y medir relaciones geométricas. Es
fundamental incorporar el uso de materiales didáctico interactivos, así como
actividades como plegado y construcción, para ayudar a los estudiantes a
desarrollar una comprensión concreta de los conceptos. Estas actividades también
aprovechan la inteligencia visoespacial y, particularmente durante las etapas
iniciales del aprendizaje, la inteligencia cinestésica corporal.
18
• El campo de la medición abarca la comprensión de varios componentes, como
atributos de medición, unidades, sistemas y procesos. Además, implica la
utilización de técnicas, herramientas y fórmulas para determinar las medidas, lo
que tiene una importancia inmensa debido a su amplio alcance y relevancia en
numerosos aspectos de la vida. La medición sirve como un medio para integrar
diferentes principios matemáticos, ya que brinda oportunidades para adquirir y
aplicar conocimientos en otras disciplinas, como números, geometría y
estadística. Su avance se cultiva a través de la estimulación de las inteligencias
visoespacial, corporal-kinestésica y lógico-matemática.
• El análisis de datos y probabilidad no solo es valioso por sí solo, sino que se
potencia cuando se integra con otras áreas de conocimiento. Al incorporar un
enfoque de "enseñar a pensar", estas actividades pueden contribuir en gran medida
al desarrollo de la inteligencia lingüística, las habilidades verbales, las habilidades
interpersonales y las habilidades intrapersonales. Este enfoque alienta a los
estudiantes a hacer preguntas que invitan a la reflexión sobre diversos temas y
recopilar, organizar y presentar de manera efectiva datos relevantes para encontrar
respuestas. También, enfatiza la importancia de aprender métodos estadísticos
apropiados para el análisis de datos, hacer inferencias y predicciones informadas
basadas en los datos y obtener una comprensión sólida de los principios
fundamentales de probabilidad.
• Las representaciones son esenciales para comprender y utilizar ideas matemáticas.
Estas representaciones pueden tomar varias formas, como imágenes, tablas,
gráficos, números, letras y hojas de cálculo. Han evolucionado con el tiempo a
través del refinamiento cultural. Al tener acceso a estas representaciones
matemáticas y poder crear las suyas propias, mejora su capacidad para analizar e
interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos. Esto, a su vez, contribuye
al desarrollo de la inteligencia interpersonal, intrapersonal y naturalista.
• La resolución de problemas es un aspecto crucial de las matemáticas y juega un
papel importante en estimular la reflexión sobre el razonamiento utilizado durante
el proceso de resolución de problemas. Nos permite aplicar y modificar estrategias
desarrolladas para resolver otros problemas. A través de la resolución de
problemas, no solo desarrollamos habilidades de pensamiento crítico, sino que
también cultivamos hábitos como la perseverancia, la curiosidad y la confianza
para enfrentar nuevas situaciones. Estas habilidades y rasgos adquiridos son
invaluables en escenarios de la vida real. Además, la resolución de problemas está
relacionada con la toma de decisiones dentro de contextos sociales y culturales
específicos que se basan en la comunicación verbal. Esta cooperación contribuye
en última instancia a potenciar la inteligencia intrapersonal, interpersonal y
lingüístico-verbal.
• El razonamiento matemático proporciona formas efectivas de desarrollar y
articular la comprensión de varios fenómenos. Las personas que se involucran en
el pensamiento y el razonamiento analítico tienden a identificar patrones,
19
estructuras y regularidades en escenarios matemáticos, así como en el mundo
físico. Asimismo, construyen y exploran conjeturas matemáticas, emplean y
evalúan argumentos y pruebas matemáticas como medios sistemáticos para
transmitir formas específicas de razonamiento y justificación.
• La comunicación juega un papel crucial en el intercambio y la clarificación de
ideas matemáticas. Permite que las ideas se transformen en objetos tangibles de
reflexión, discusión y rectificación. El proceso de comunicación no solo facilita
el desarrollo de conceptos matemáticos, sino que también depende en gran medida
de la aplicación de las inteligencias interpersonal y lingüístico-verbal. Estas
inteligencias contribuyen activamente al intercambio efectivo de conocimientos y
comprensión matemáticos.
• Hacer conexiones entre ideas matemáticas mejora la comprensión y asegura que
el conocimiento adquirido se retenga por un período de tiempo más largo.
Tomando en consideración una perspectiva integradora, se hace evidente que hay
dos formas adicionales de inteligencia que, cuando se combinan con ciertos estándares
matemáticos, no deben pasarse por alto. Estos tipos particulares de inteligencia, a saber,
la inteligencia visoespacial y la inteligencia cinestésica corporal.
La inteligencia visoespacial se puede definir como la capacidad innata para
percibir, comprender y manipular información visual y espacial. Abarca la capacidad de
reconocer, descifrar y codificar datos visuales, así como la aptitud para interpretar,
navegar y ordenar el espacio físico. Esta habilidad cognitiva permite a los individuos
comprender, retener, articular e identificar diversos objetos, distancias, recorridos y
trayectorias dentro de su entorno. Al considerar su conexión con las matemáticas, hay
varios indicadores que destacan la correlación entre la inteligencia visoespacial y la
competencia matemática:
• Rompecabezas fáciles de resolver.
• Considerar aspectos como la forma, el tamaño y la proporción en sus
representaciones.
• Diseñar mapas y planos de manera precisa, ordenada y rigurosa.
• Una habilidad importante es poder identificar y comprender patrones que existen
tanto en nuestro entorno como en diversas formas de creaciones artísticas. Esto
implica ser capaz de detectar e interpretar formas recurrentes como líneas,
rectángulos, cuadrados y círculos. Al reconocer estos patrones, podemos obtener
una comprensión y una apreciación más profundas del mundo que nos rodea.
La inteligencia corporal-kinestésica, se refiere al potencial de un individuo para
utilizar todo su cuerpo o partes y segmentos específicos del cuerpo para mejorar sus
habilidades de pensamiento y expresar de manera efectiva sus ideas y emociones, así
como manipular, transformar, y crear diversos objetos y materiales. Es de enfatizar que
la estimulación de la inteligencia corporal-kinestésica es crucial para mejorar la
20
representación y la comunicación en otros dominios de la inteligencia. Mediante la
adquisición de conocimientos, el desarrollo de la conciencia y la puesta en práctica de
habilidades perceptivo-motoras, las personas pueden fomentar el desarrollo de su
inteligencia lógico-matemática. Esto está respaldado por varios indicadores que están
estrechamente relacionados con las habilidades y destrezas matemáticas:
• Captura experiencias manipulativas y las representa mentalmente.
• Acople y separe objetos fácilmente.
• Creación de diferentes tipos de obras escultóricas representando formas,
dimensiones y volúmenes
El Informe Pisa 2012 ofrece una definición completa del área de evaluación de
matemáticas, que se centra en la capacidad de un individuo para aplicar conceptos
matemáticos en diversas situaciones del mundo real. Esto incluye no solo la capacidad de
resolver problemas matemáticos, sino también la capacidad de comprender e interpretar
datos matemáticos y usar herramientas matemáticas de manera efectiva.
Al examinar las habilidades matemáticas básicas descritas en el Pensamiento y la
Acción Matemáticos propuestos por el Informe Pisa, se puede identificar claramente la
fuerte correlación con las habilidades significativas asociadas con la Inteligencia Lógico-
Matemática. Estas habilidades no solo equipan a las personas con las habilidades
necesarias para sobresalir en matemáticas, sino que también les permiten pensar
críticamente, razonar lógicamente y predecir resultados basados en principios
matemáticos. Así, es evidente que el desarrollo de la competencia matemática está
íntimamente ligado al cultivo de la Inteligencia Lógico-Matemática:
• El proceso de serializar, clasificar, sintetizar y desarrollar un esquema implica una
serie de pasos para organizar y estructurar la información de manera sistemática.
• Identificar elementos y relaciones causa/efecto.
• Una de las tareas clave es reconocer y discernir patrones, ya sea que se relacionen
con comportamientos humanos, sistemas complejos u objetos tangibles. Esto
implica observar y analizar cuidadosamente varios elementos y conectarlos entre
sí para identificar secuencias recurrentes, similitudes o regularidades que existen
dentro de ellos. Al comprender estos patrones, podemos obtener información y
perspectivas valiosas, lo que nos permite tomar decisiones más informadas,
predecir resultados futuros o incluso desarrollar soluciones innovadoras.
Reconocer patrones nos permite comprender mejor el mundo que nos rodea y
descubrir los principios subyacentes que rigen el funcionamiento de diferentes
aspectos de nuestras vidas. Nos empodera para hacer conexiones, dibujar
asociaciones y, en última instancia, profundizar nuestra comprensión de las
complejidades inherentes a los diversos fenómenos que encontramos.
• Una forma de resolver situaciones problemáticas es manipulando números y
realizando operaciones matemáticas sobre ellos.
21
• Participación en actividades de resolución de problemas y juegos estratégicos.
• Determinar proposiciones, funciones y otras abstracciones relacionadas.
Al examinar cómo se manifiestan estas acciones en las diversas actividades dentro
del ámbito de las matemáticas, es importante reconocer el poder inherente de las
matemáticas como lenguaje. De hecho, podría decirse que las matemáticas podrían
considerarse el lenguaje más potente de todos, debido a su notable capacidad para
transmitir información sin ambigüedades y de manera concisa. Este lenguaje es
consistente y aplicable a través de todas las fronteras, lo que lo convierte en una
herramienta verdaderamente universal. Para ilustrar esta universalidad, basta comparar
los contenidos curriculares de tres países distintos, como Brasil, Australia y España. Tras
una inspección más cercana, se hace evidente que los conceptos matemáticos que se
enseñan en estas naciones son esencialmente idénticos, lo que enfatiza aún más la
naturaleza universal del conocimiento matemático.
El lenguaje universal tiene una ventaja significativa, y es su capacidad para
facilitar la aplicación práctica de las matemáticas en nuestra vida cotidiana. Esto se logra
a través de la comprensión compartida y la referencia a los mismos conceptos,
independientemente de las diferencias culturales o las barreras del idioma. Además, este
lenguaje universal trasciende las diversas formas en que se utilizan los números y las
medidas, lo que permite una comunicación y colaboración fluidas en diferentes contextos.
A lo largo de la historia, los humanos han desarrollado diversos sistemas para
contar y expresar valores numéricos. Uno de esos sistemas que se ha mantenido constante
durante miles de años es el uso de signos o símbolos numéricos para representar números.
Cuando contamos y recitamos números, ya sea en inglés, portugués o cualquier otro
idioma, confiamos en estos signos para transmitir el valor numérico. Estos signos, a los
que comúnmente nos referimos como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, se han arraigado
profundamente en nuestra conciencia colectiva y se entienden universalmente como
representaciones de cantidades específicas. Esta convención ha permitido una
comunicación y comprensión fluidas de los conceptos numéricos, lo que nos permite
realizar cálculos complejos y navegar nuestra vida diaria con facilidad. Desde las
civilizaciones antiguas hasta los tiempos modernos, el uso de estos signos numéricos ha
trascendido las fronteras culturales y se ha convertido en una parte integral de la
civilización humana.
Es realmente notable que hayamos logrado la capacidad de enviar sondas no
tripuladas, conocidas como Voyager, para explorar los confines del universo. Estas sondas
fueron lanzadas al espacio en 1977 y actualmente se encuentran a más de 18.000 millones
de kilómetros del Sol. Lo que es aún más sorprendente es que estas sondas llevan un
mensaje de la humanidad, destinado a cualquier ser extraterrestre potencial que puedan
encontrar. Dentro de este mensaje, una parte significativa de la información está
codificada en lenguaje matemático. Por ejemplo, incluye la edad de un feto humano
medida en segundos junto con su longitud correspondiente, el momento preciso de la
concepción y varias unidades físicas. Estos códigos matemáticos contienen siglos de
22
conocimiento y comprensión que esperamos que otros seres inteligentes puedan descifrar,
tal como se ha hecho a lo largo de la historia en nuestro mundo diverso y lingüísticamente
rico.
Cuando se trata de construir cantidades numéricas, nos encontramos con una
situación compleja porque los números son fundamentales en la comunicación
matemática y son construcciones inherentemente subjetivas formadas dentro de nuestras
mentes en lugar de propiedades inherentes de los objetos. Al referimos a que un niño en
el jardín de infantes sabe contar, en realidad nos referimos a su capacidad para recitar
números. Sin embargo, es solo cuando comienzan a conectar cada número con su cantidad
respectiva que realmente comienzan a contar.
Uno de los aspectos intrigantes de los números es su complejidad, ya que están
representados por el mismo símbolo a pesar de representar cantidades muy diferentes.
Esto se puede observar al contar dos ovejas o dos mosquitos, donde se emplea el número
2 en ambos escenarios. Aunque, este símbolo numérico carece de significado inherente
por sí mismo, lo que requiere el conocimiento de la serie numérica para comprender que
dos es una unidad mayor que uno y una unidad menor que tres.
La representación simbólica de un número pertenece a un sistema de numeración
utilizado para expresar cantidades. En nuestra existencia cotidiana, nos encontramos con
tres sistemas de numeración distintos:
• El sistema de numeración oral se refiere a la forma en que expresamos y
articulamos verbalmente los nombres de los valores numéricos. Este sistema
abarca varias prácticas lingüísticas y culturales que se han desarrollado a lo largo
del tiempo para facilitar la comunicación y la comprensión efectivas de los
números. Implica el uso de palabras específicas, sonidos fonéticos y patrones de
entonación para representar diferentes cantidades o valores numéricos. El sistema
numérico oral juega un papel crucial en la vida cotidiana, ya que nos permite
expresar cantidades, contar objetos y realizar cálculos matemáticos a través del
lenguaje hablado. Además, este sistema puede variar entre diferentes idiomas y
culturas, lo que refleja las diversas formas en que los números se conceptualizan
y expresan en todo el mundo. Comprender y utilizar el sistema numérico oral es
fundamental en la adquisición del lenguaje, el aprendizaje matemático y la
competencia comunicativa en general.
• Un método eficaz de representar números mediante el uso de números arábigos
en forma escrita.
• Un método alternativo de representación numérica es mediante la utilización de
números romanos en forma escrita.
En términos de numeración oral, los dieciséis números iniciales se nombran
individualmente, desde cero hasta quince. Posteriormente, al incorporar ocho términos
adicionales (como veinte, treinta, cuarenta, etc.), junto con ciertas reglas de combinación,
podemos expresar todos los números entre dieciséis y noventa y nueve. Además,
23
introduciendo la palabra "cien" y combinándola con términos previamente establecidos
(como dos, tres, cuatro, etc.), podemos nombrar novecientos números adicionales.
De manera similar, la palabra "mil" se puede combinar con términos existentes
(como dos, tres, etc.) para representar más de novecientos mil números. Este patrón
continúa indefinidamente, extendiéndose hacia el infinito. Estos conceptos abarcan tanto
un aspecto numérico, que denota valores mayores que cualquier cantidad específica,
como un aspecto geométrico, que indica la distancia desde la ubicación actual del
hablante.
Cuando se trata de representar números a través de símbolos, es importante señalar
que el arte de la caligrafía juega un papel importante en la Educación Infantil. Enseñar a
los niños cómo escribir números usando gestos gráficos específicos es crucial para su
desarrollo y comprensión de los conceptos numéricos. Esto significa que las familias, que
son las principales educadoras de los niños pequeños, deben participar activamente en la
enseñanza y el refuerzo de estas técnicas caligráficas. Al hacerlo, los niños pueden
aprender a reconocer y apreciar la belleza y precisión de la representación numérica,
estableciendo una base sólida para sus habilidades y destrezas matemáticas:
• Los cuatro números que comienzan en la parte superior y tienen una forma curva
que gira en sentido antihorario son 0, 6, 8 y 9.
• Los números que comienzan a mitad de camino, ascendiendo ya sea de forma
lineal como 1 o de forma curva similar a 2 o 3.
• Los números que se obtienen al levantar dos veces el lápiz son 4, 7 y 5 (el último
se puede expresar de dos formas diferentes).
Los números brindan la base para el cálculo y, en la educación infantil, el objetivo
es ayudar a los niños a comprender el concepto de transformar o modificar cantidades
mediante la suma y la resta. En estas operaciones matemáticas iniciales, es crucial
asegurarse de que los niños entiendan la conexión entre las acciones de la vida real y las
representaciones simbólicas. Para lograrlo, se utiliza la manipulación, que implica
interactuar físicamente con los objetos. La introducción de conceptos matemáticos
comienza con las propias experiencias prácticas del estudiante (la fase manipulativa), se
refuerza aún más a través de representaciones visuales (la fase gráfica) y finalmente
culmina en la capacidad de comprender símbolos abstractos (la fase simbólica).
Durante la fase de manipulación, se exploran y examinan ideas y conceptos a
través de actividades prácticas y experimentos. Esta fase implica involucrarse
activamente con materiales y herramientas para obtener una comprensión más profunda
del tema. A través de este proceso, los alumnos pueden manipular objetos y manipular
variables para observar relaciones de causa y efecto, desarrollar hipótesis y sacar
conclusiones. La fase manipulativa es crucial para promover el aprendizaje activo y
proporcionar a los estudiantes una experiencia de aprendizaje tangible e inmersiva.
• Mediante la manipulación activa de objetos y la participación en actividades
prácticas, los alumnos pueden internalizar y aplicar su conocimiento de una
24
manera práctica y significativa. Esta fase fomenta el pensamiento crítico, las
habilidades para resolver problemas y el desarrollo de una base sólida en el tema.
• Durante la fase gráfica, se esboza una representación ilustrada para representar
visualmente las cantidades matemáticas.
• La fase simbólica de la estructuración de algoritmos implica el uso de signos y
símbolos matemáticos para representar e interpretar experiencias de la vida real.
Dentro del ámbito de la inteligencia lógico-matemática, existe una multitud de
indicadores que están estrechamente asociados con este enfoque particular:
• Resolver situaciones problemáticas mediante la manipulación.
• La manipulación permite el manejo de diversos materiales, independientemente
de su tipo o composición.
• El individuo es capaz de comprender y aplicar símbolos matemáticos en varios
contextos. Pueden interpretar efectivamente el significado detrás de estos
símbolos y utilizarlos para resolver problemas matemáticos o comunicar
conceptos matemáticos.
• Las situaciones presentadas plantean desafíos que solo pueden resolverse
mediante el uso de varios tipos de operaciones.
• Crea y resuelve acertijos y juegos estratégicos.
• Define operadores, funciones y otras abstracciones relacionadas.
• Reconoce las consecuencias de diferentes tipos de fenómenos y eventos.
• El individuo es capaz de identificar y reconocer componentes importantes para
realizar de manera efectiva los procesos de análisis y síntesis, así como participar
en el razonamiento lógico a través de la inducción y la deducción.
• Piensa lógica y matemáticamente.
Exploremos dos tipos diferentes de materiales que ayudan en la introducción de
conceptos matemáticos a través de la manipulación práctica. Estos materiales incluyen
las reglas de Cuisenaire y el geoplano. Las reglas de Cuisenaire son barras de madera que
vienen en varios colores, representando diferentes números, cada barra tiene una sección
de 1 cm2 y una longitud que va de 1 cm a 10 cm. Por otro lado, el geoplano es un tipo
diferente de manipulativo que permite a los estudiantes explorar visual y tácticamente
conceptos geométricos.
Las pautas otorgan a los estudiantes la libertad de participar en una variedad de
acciones, como observar, analizar, reflexionar, discutir y crear, lo que les permite
desarrollar activamente habilidades de pensamiento crítico y procesos cognitivos
esenciales. Al fomentar la interacción con sus compañeros, los estudiantes pueden
trabajar en colaboración para perfeccionar sus habilidades para pensar de manera crítica
y profunda sobre diversos temas:
25
• El concepto, que muestra claramente signos significativos de una determinada
acción o comportamiento, es evidente y se puede observar.
• El juicio es el acto de tomar una decisión o formarse una opinión sobre los objetos,
ya sea afirmando o negando algo.
• La razón detrás de esto es que al pasar por el proceso de juicio, uno puede llegar
a conclusiones justificadas y sólidas.
Las reglas no solo nos ayudan con los números y las operaciones, sino también
con otras áreas de las matemáticas, como el álgebra, la geometría, la medición y el análisis
de datos. En esencia, nos involucramos en un estudio integral de las matemáticas. Sin
embargo, un aspecto que representa un desafío para muchos docentes es la enseñanza de
la resta, ya que implica representar el sustraendo como una cantidad distinta, cuando en
realidad significa la acción que se realiza sobre la cantidad total. Es la opinión de muchos
docentes que herramientas como las reglas pueden ayudar a paliar estos conflictos
cognitivos y facilitar la enseñanza de la resta.
El uso de reglas permite implementar diversas estrategias que no solo mejoran la
inteligencia lógico-matemática sino que también potencian otras formas de inteligencia:
• Las habilidades visoespaciales implican la capacidad de ordenar y organizar la
información visual de manera sistemática y estratégica, tomando en consideración
diversos factores como el propósito, el momento, la justificación, los
colaboradores, los recursos, las metodologías y las normas involucradas.
• La inteligencia corporal-kinestésica implica la capacidad de manipular y
manipular objetos reconociendo y comunicando sus propósitos, las sensaciones
experimentadas y los resultados obtenidos. También implica organizar los
procesos de representación gráfica de acuerdo con un plan que incluye
comprender qué, cuándo, por qué, para qué, con quién, con qué herramientas,
cómo y bajo qué reglas. Además, las personas con inteligencia corporal-
kinestésica son capaces de desmontar y montar objetos, describiendo su
experiencia e identificando la posición y función de cada componente.
El geoplano demuestra ser una herramienta valiosa para examinar y comprender
varias formas y patrones geométricos:
• Propiedades de cada figura (número de lados, diagonales, etc.).
• Relaciones que se establecen entre diferentes figuras (composición y
descomposición, etc.).
• El estudio de las relaciones espaciales mediante la geometría de coordenadas
implica la comprensión de la posición, la distancia y otros conceptos relacionados.
• Transformación de unas formas en otras.
Se conoce tres clases de geoplanos:
26
• El geoplano cuadrado es una herramienta versátil que se utiliza para explorar
varios conceptos matemáticos. Nos permite visualizar y comprender segmentos,
líneas poligonales abiertas y cerradas, polígonos, ángulos, así como calcular áreas,
perímetros y superficies. Para crear un geoplano cuadrado, necesitaremos una
lámina de madera de 20 x 20 cm, con un grosor de 1 cm. Además, necesitaremos
100 clavos pequeños y una variedad de bandas elásticas en diferentes tamaños y
colores. Al utilizar esta herramienta, podemos profundizar en el mundo de la
geometría y mejorar nuestra comprensión de estos principios matemáticos
fundamentales.
• Un tipo de geoplano que se puede utilizar para crear figuras o formas
tridimensionales con la ilusión de profundidad y perspectiva.
• Otro para explorar conceptos geométricos es el geoplano circular. Este dispositivo
permite a los usuarios crear una variedad de figuras, como formas inscritas y
circunscritas, así como polígonos regulares. Al usar el geoplano circular, las
personas pueden desarrollar una comprensión más profunda de términos
geométricos importantes como radio, diámetro y cuerda. Este enfoque práctico
del aprendizaje ayuda a reforzar estos conceptos y fomenta una mayor exploración
en el campo de la geometría.
El geoplano es una herramienta que permite el desarrollo de diversas inteligencias,
entre ellas la lógico-matemática, así como otras inteligencias múltiples:
• El aspecto visoespacial del aprendizaje implica la capacidad de diseñar y construir
modelos, como usar un geoplano, e identificar con precisión posiciones,
distancias, rutas y direcciones dentro de ellos. Asimismo, implica la habilidad de
buscar y reconocer diversas figuras, formas geométricas y patrones tanto en el
entorno físico como en las obras artísticas, como líneas, rectángulos, cuadrados,
círculos, hexágonos, cubos y esferas. Además, este aspecto del aprendizaje
incluye la capacidad de explicar la funcionalidad y el propósito de estas formas y
patrones. Por último, engloba la habilidad de organizar los procesos de
representación gráfica de acuerdo a un plan predeterminado, considerando
factores como qué se debe representar, cuándo se debe realizar, por qué es
importante, para quién es, qué herramientas o recursos se requieren. , cómo se
debe hacer y las reglas o pautas que se deben seguir.
• La inteligencia corporal-kinestésica implica la capacidad de manipular y manejar
objetos, así como reconocer y comunicar sus propósitos, las sensaciones
experimentadas y los resultados obtenidos al interactuar con ellos. Esta
inteligencia también incluye organizar los procesos de representación gráfica en
base a un plan, considerando factores como qué, cuándo, por qué, para qué, con
quién, con qué recursos, cómo y bajo qué reglas. Además, las personas con
inteligencia cinestésica corporal son expertas en desmontar y montar objetos o
figuras, describir sus experiencias al hacerlo e identificar la posición y función de
cada componente.
27
Cerebro y procesos psicológicos
Es crucial reconocer y comprender los cuatro procesos psicológicos
fundamentales que están íntimamente involucrados en el acto de manipulación. Al
reconocer y comprender estos procesos, podemos obtener una visión más profunda de la
mecánica detrás de la manipulación y desarrollar estrategias efectivas para protegernos
de sus efectos negativos:
• La sensación es el proceso por el cual los estímulos físicos se transforman en
señales neuronales que pueden ser procesadas por el sistema nervioso. Esta
conversión permite que nuestro cuerpo perciba e interprete los diversos estímulos
presentes en nuestro entorno.
• La percepción juega un papel crucial en el proceso cognitivo humano, ya que
ayuda en la organización e interpretación de la información sensorial recibida de
nuestro entorno.
• La atención es la capacidad cognitiva de elegir y enfocarse en información
sensorial específica mientras también guía nuestros procesos mentales. Existe una
correlación entre la atención y la curva de olvido, que sirve como representación
visual de la disminución de nuestra capacidad para retener información a medida
que pasa el tiempo. Por lo general, en cuestión de días, aproximadamente la mitad
del conocimiento que hemos adquirido se olvida a menos que participemos
activamente en revisarlo y reforzarlo.
• La memoria permite capturar, salvaguardar y evocar experiencias pasadas.
En términos de consumo de energía, el cerebro humano utiliza aproximadamente
250-300 kilocalorías por día, lo que representa aproximadamente el 10% de la ingesta
calórica de una persona normal. Este consumo de energía equivale a operar a 15 watts de
potencia, comparable a la energía consumida por una afeitadora eléctrica durante 10
minutos. Tales hechos resaltan la increíble eficiencia y complejidad de las operaciones
del cerebro.
El cerebro, que es un órgano notable y misterioso, es responsable de varios
procesos psicológicos esenciales. Al utilizar principios matemáticos, podemos
profundizar en algunas características intrigantes de este órgano complejo. Por ejemplo,
un cerebro humano adulto promedio pesa alrededor de 1300 a 1400 gramos. Además, un
sorprendente 80 % de su composición es agua, lo que enfatiza la importancia de mantener
una hidratación adecuada para una función cerebral óptima.
Intentando comprender la inmensidad de la red neuronal del cerebro, podemos
estimar que contiene alrededor de 100.000.000.000 de neuronas. Esta asombrosa cifra es
similar a la cantidad de estrellas presentes en nuestra galaxia, la Vía Láctea. Para contar
realmente cada neurona individual, a razón de una por segundo, se necesitaría una vida
útil de más de 3.000 años. Esta noción enfatiza aún más la alucinante complejidad y la
gran magnitud del cerebro humano.
28
El lóbulo parietal, en particular las secciones adyacentes a los lóbulos temporales,
alberga una notable capacidad para las matemáticas. Además, estos lóbulos parietales
ayudan a las personas a percibir el posicionamiento de varias partes de sus cuerpos y
orientarse dentro del ámbito espacial. Esto abarca una variedad de habilidades, como
colocar con precisión las figuras de un dibujo en el centro o en los extremos, utilizar
efectivamente el espacio dentro de un salón de clases o en un patio de recreo, así como
posicionarse correctamente en relación con un objeto (ya sea a la derecha, a la izquierda,
delante o detrás).
Asimismo, implica la capacidad de situarse en relación con un círculo dibujado
en el suelo o de posicionar adecuadamente un objeto encima o debajo de otro. el lóbulo
temporal cumple un papel crucial en la interpretación de las imágenes, procesando la
información fáctica almacenada en la memoria y permite recordar situaciones
previamente memorizadas. Es importante resaltar que cualquier deterioro del hemisferio
derecho puede afectar negativamente la memoria de las formas, particularmente en el
ámbito de las figuras geométricas planas en matemáticas.
Dentro de la intrincada estructura del cerebro humano, encontramos un
componente importante conocido como lóbulos. La teoría de las Inteligencias Múltiples
ha profundizado en el examen de la localización cerebral de la inteligencia matemática.
Reputados investigadores como Escamilla (2014), basándose en las ideas de Gardner
(1983), han afirmado que esta inteligencia matemática se sitúa principalmente en el lóbulo
parietal izquierdo, así como las áreas de asociación temporal y occipital. Vale la pena
señalar que el hemisferio derecho también juega un papel en ciertas operaciones
matemáticas.
Nos encontramos en un campo de estudio que debe despertar el interés de los
educadores: la neurociencia. Este campo es particularmente relevante ya que el cerebro
participa activamente en el proceso de aprendizaje, y sería un error pasar por alto su
importancia. Esto es especialmente importante para evitar que surjan posibles dificultades
de aprendizaje. Además, obtener una comprensión de cómo se manipula el cerebro es
crucial en el desarrollo del pensamiento matemático. Existe una conexión directa entre la
neurociencia y el concepto de inteligencias múltiples, lo que hace aún más pertinente
explorar el papel del cerebro en las funciones cotidianas. Muchas de estas funciones
ocurren dentro del entorno escolar, pero a menudo pasan desapercibidas para los
maestros.
A lo largo de nuestras vidas, nos involucramos en una multitud de experiencias de
aprendizaje que requieren varios niveles de complejidad. Por ejemplo, al enseñar el
concepto de cero, es importante no introducirlo como el primer número. En cambio, debe
percibirse como la ausencia de elementos. Sin una conciencia previa de la existencia de
los elementos, uno no puede comprender completamente el concepto de su ausencia. En
matemáticas, el cero es el resultado de restar 'algo' de sí mismo. En otras palabras, si
igualamos 'algo' a todo, entonces restando todo de todo resulta en nada, o cero.
Cuando se trata de operaciones aritméticas, es fundamental que empecemos por
manipular. Antes de sumergirnos en los cálculos, es muy recomendable utilizar nuestras
29
manos para practicar la suma. A todos nos han enseñado a sumar con los dedos, pero
también hay otras herramientas disponibles, como las reglas de Cusinaire, que pueden
ayudarnos a mejorar nuestra comprensión de la suma. De manera similar, cuando se trata
de medir cantidades continuas, confiamos en la comparación. Es un proceso continuo en
el que los niños valoran y evalúan continuamente cantidades comparándolas entre sí.
Estas expresiones cotidianas implican el uso del pensamiento abstracto, lo que
significa poder cambiar entre diferentes situaciones, dividir ideas complejas en partes más
pequeñas y analizar varios aspectos de un mismo concepto simultáneamente. La habilidad
nos permite establecer conexiones y relaciones que se extienden más allá de la realidad
física. Dentro del ámbito de la Inteligencia Lógico-Matemática, ciertas habilidades nos
permiten involucrarnos en el razonamiento matemático, particularmente en el contexto
de la medición. Estas habilidades incluyen organizar y categorizar información,
identificar relaciones de causa y efecto, resolver problemas usando números y
operaciones, y comprender conceptos abstractos como proposiciones y funciones. Al
emplear estas habilidades, podemos pensar más allá del mundo tangible y considerar ideas
abstractas.
En el contexto de la medición, por ejemplo, podemos comparar tamaños y
reconocer que la noción de "más pequeño" no es inherente a los objetos en sí mismos
(como un pingüino, un rinoceronte o un mosquito), sino más bien a nuestra percepción
de ellos. Podemos reconocer que un pingüino puede ser más grande que un mosquito pero
más pequeño que un rinoceronte. Esta comprensión del tamaño relativo se puede aplicar
a otros pares de objetos, lo que nos permite desarrollar un lenguaje más abstracto y
sofisticado para describir las relaciones.
En el estudio del movimiento se ha establecido como modelo el tiempo y se trata
como una variable numérica, tomando sus valores del conjunto de los números reales.
Cada valor numérico representa un instante, mientras que un intervalo numérico
representa una duración, similar a un segmento de la línea de tiempo. Mientras que los
instantes solo se pueden observar, las duraciones son magnitudes medibles. Por ejemplo,
en un reloj de arena, podemos observar el instante en que la arena cae de un lado al otro,
pero para determinar la duración de la caída, necesitamos representarla usando unidades
como segundos o minutos.
El tiempo es una magnitud que tiene un significado especial, especialmente para
los niños que necesitan situarse en relación con él. Esto requiere algo más que una simple
relación entre dos objetos; requiere el uso de puntos de referencia y el establecimiento de
múltiples relaciones interconectadas. Las estructuras cíclicas que organizan el tiempo,
como la mañana, la tarde y la noche, así como los días de la semana y las estaciones del
año, se derivan de una estructura común de antes, ahora y después.
Sin esta estructura no sería posible un pensamiento coherente sobre el tiempo, y
éste sólo surge a través de la coordinación de diversas relaciones. Volviendo a las ideas
de Piaget, es importante señalar que el aprendizaje matemático requiere la consolidación
de estructuras mentales. Piaget se refirió a esto como pensamiento preoperatorio, que
aporta previsibilidad y orden al mundo. Un aspecto clave del pensamiento preoperatorio
30
es la ausencia de nociones de conservación hasta alrededor de los 7-8 años de edad. El
desarrollo del pensamiento preoperatorio se puede dividir en dos fases: el razonamiento
que va de particular a particular, sin ser puramente inductivo o deductivo, y el
razonamiento intuitivo. Durante esta etapa, los niños aún no poseen las operaciones
necesarias para resolver problemas a un nivel representativo, y sus operaciones se basan
en un esquema de conservación.
Es importante tener en cuenta los conceptos discutidos anteriormente sobre los
cuatro procesos psicológicos fundamentales, particularmente la sensación y la
percepción. Profundicemos más en estas tareas:
• Conservación de cantidades continuas (líquidos): Al transferir líquido de A a C y
de B a D, el niño no logra comprender que la cantidad de líquido en C es la misma
que la cantidad en A. El mismo concepto erróneo se aplica a B y D.
• Conservación de cantidades discontinuas (número): El niño se esfuerza por
comprender el concepto de que el número de elementos sigue siendo el mismo
incluso cuando se altera el arreglo y los elementos están más separados.
• Conservación de cantidades discontinuas (sólidos): Cuando se le presentan dos
masas iguales de plastilina, A y B, el niño no logra comprender la transformación
que ocurre cuando estas bolas se deforman de diferentes maneras.
• Conservación de cantidades discontinuas (longitud): El niño es incapaz de crear
dos longitudes idénticas utilizando unidades diferentes.
Es crucial fomentar estructuras mentales que faciliten el aprendizaje y prevengan
dificultades, al mismo tiempo que brindan oportunidades para que los niños trabajen de
forma independiente en la consolidación de aspectos esenciales como el razonamiento.
Lo más importante es que se implemente un enfoque sistemático para el desarrollo de las
habilidades antes mencionadas propuestas por la Inteligencia Lógico-Matemática a través
de actividades que requieran serialización, clasificación, síntesis, identificación de
elementos, resolución de problemas, así como rompecabezas y juegos de estrategia.
31
CAPÍTULO 2
La lógica matemática
La pregunta de cómo es la lógica matemática se puede responder fácilmente. La
lógica matemática se considera matemática de la misma manera que otras disciplinas
científicas como la mecánica newtoniana. Aunque el método utilizado en la lógica
matemática es matemático, el tema que investiga pertenece a una realidad separada. El
grado de independencia de esta realidad depende de la perspectiva que se tenga sobre la
objetividad de la lógica.
Al comprender esta naturaleza, también podemos comprender los aspectos
formales y simbólicos de la lógica matemática. Para lograrlo, estableceré una conexión
histórica entre el desarrollo de lo formal y lo simbólico en las matemáticas y el origen y
progresión de la lógica moderna. Si bien el contenido presentado en las dos primeras
secciones de este artículo refleja el consenso entre la mayoría de los lógicos filosóficos
contemporáneos, el objetivo de la sección final es desacreditar ciertos conceptos erróneos
sobre la naturaleza formal y simbólica de la lógica matemática.
El realismo lógico
El realismo lógico se ocupa de dos ideas principales. En primer lugar, establece
que la verdad o falsedad de los enunciados lógicos se puede determinar como una cuestión
de hecho. Esto también se puede expresar diciendo que las verdades lógicas son
verdaderas o falsas. En segundo lugar, los valores de verdad de los enunciados lógicos,
no están influenciados por nuestras características psicológicas individuales, nuestras
convenciones lingüísticas o nuestras formas de razonar. En esencia, el realismo lógico
afirma que los asuntos de la lógica son hechos objetivos que no dependen de nosotros ni
de nuestras prácticas.
Sin embargo, es importante reconocer que la representación de la lógica como
completamente separada del lenguaje, el pensamiento y las prácticas inferenciales es una
representación inexacta de su objetividad. La lógica no asume una independencia
completa de estos aspectos, incluso bajo supuestos realistas. Por lo tanto, es necesario
aclarar más sobre cómo la lógica es independiente del pensamiento, el lenguaje y nuestras
prácticas inferenciales concretas.
Si la lógica no fuera objetiva, no dejaría de ser una forma de conocimiento, sino
que sus verdades pasarían a ser relativas a factores como la psicología humana, las
convenciones lingüísticas y las prácticas inferenciales. Esto significa que la lógica, como
campo de estudio, se ocupa de propiedades como la validez lógica y relaciones como la
equivalencia, la consecuencia y la incompatibilidad lógica entre entidades como teorías,
proposiciones y conceptos (Bueno, 2005).
El realismo lógico, por lo tanto, abarca la existencia objetiva de estas relaciones y
propiedades. Esto implica un compromiso con la objetividad de los hechos lógicos, que
se manifiesta en su independencia de las convenciones lingüísticas, la psicología humana
32
y las prácticas inferenciales de agentes racionales específicos. Aunque, es importante
señalar que este compromiso con la objetividad y la independencia no exige un
compromiso con la objetividad y la independencia absoluta de los objetos involucrados
en los hechos lógicos. Por ejemplo, el realismo lógico afirma que ciertas proposiciones
se derivan objetivamente de otras, pero no afirma que estas proposiciones existan de
manera completamente independiente de las características específicas de nuestro
lenguaje, procesos de pensamiento o prácticas inferenciales. En general, el realismo
lógico no defiende la existencia objetiva e independiente de objetos como teorías,
proposiciones, conceptos o modelos. Permanece indiferente a su estatus ontológico.
Este escenario es aplicable a todas las disciplinas científicas que buscan la
objetividad. La lingüística, por ejemplo. No pierde su estatus como ciencia objetiva
simplemente porque examina objetos y fenómenos que están fuertemente influenciados
por nuestras convenciones lingüísticas. Asimismo, la psicología y la sociología también
mantienen su carácter objetivo a pesar de centrarse en objetos que están muy
influenciados por nuestra psicología y los comportamientos humanos. En estos casos, la
esencia de la objetividad reside en otro aspecto.
En contraste, mientras que el realismo lógico permanece neutral con respecto a la
existencia de objetos lógicos, los filósofos en el campo a menudo operan bajo el supuesto
de que estos objetos no solo existen lógicamente sino que también tienen presencia en
otras dimensiones de la realidad. La mayoría de los lógicos sostienen la creencia de que
las proposiciones, conceptos y otras entidades lógicas poseen aspectos adicionales más
allá de los examinados dentro de nuestra disciplina.
Muchos mantienen la opinión de que los enunciados expresan proposiciones
dentro de un contexto específico de comunicación asertiva, o que constituyen el contenido
de nuestros pensamientos, o que juegan un papel en los procesos de inferencia. De manera
similar, este punto de vista se extiende a los conceptos y otros objetos estudiados dentro
de la lógica, con el entendimiento de que poseen propiedades más allá de nuestro examen.
Esta creencia en la existencia y aplicabilidad más amplias de las entidades lógicas
nos permite tener confianza en la relevancia de nuestros esfuerzos científicos. Sin la
creencia, por ejemplo, de que poseemos un mecanismo cognitivo que nos permite
comprender las conexiones lógicas entre los contenidos de nuestros pensamientos,
seríamos incapaces de afirmar que la lógica tiene alguna relación con la validez de nuestro
razonamiento. Además, sin asumir la capacidad de nuestro lenguaje para transmitir
proposiciones, seríamos incapaces de aplicar la lógica a argumentos y declaraciones en
lenguaje natural. Por lo tanto, mientras que la aplicabilidad de la lógica desafía la noción
de total independencia de los objetos lógicos, no socava la objetividad de los hechos que
los rodean.
Si estamos de acuerdo en que hay hechos objetivos en psicología, lingüística y
sociología, y que los conceptos lógicos pueden ser representados por objetos en estos
campos, ¿cómo se relaciona la objetividad lógica con la independencia de la realidad?
¿Cuál es la conexión entre objetividad e independencia? La respuesta es sencilla. La
lógica se considera objetiva porque sus hechos son autónomos. Su objetividad se basa en
33
la independencia de su conjunto de hechos, más que en la independencia de su conjunto
de objetos. En términos más simples, la lógica es objetiva porque sus hechos no pueden
reducirse a hechos psicológicos, sociales o lingüísticos.
La objetividad y el realismo
Uno de los argumentos más sólidos a favor del realismo lógico es la objetividad
de la lógica. Sin embargo, presentarlo de esta manera puede ser engañoso porque apoyar
el realismo lógico simplemente significa reconocer la objetividad de la lógica. El mismo
Resnik lo reconoce al diferenciar entre la explicación realista de la objetividad de la lógica
y la posición antirrealista, que sólo intenta explicar su aparente objetividad.
Shapiro también hace una conexión similar entre el realismo y la objetividad en
las matemáticas en su "Manifiesto Realista". En ese artículo, Shapiro presenta
implícitamente el realismo como el único punto de vista que se alinea con la objetividad
de las matemáticas. Según él, los antirrealistas no pueden explicar la objetividad del
conocimiento, sino simplemente su aparente objetividad.
Al aceptar la objetividad al pie de la letra, uno ya está adoptando una postura
realista. Sin embargo, es importante señalar que adoptar el realismo lógico no requiere un
compromiso con el monismo lógico, que es la creencia de que solo hay una lógica
verdadera y una respuesta correcta a las preguntas de validez deductiva. El realismo
lógico no se opone al pluralismo, como reconocen Beall y Restall, quienes afirman que
muchas apelaciones a la "Validez Real" se refieren a la validez real pero no a la única
validez real.
Por lo tanto, mientras que el pluralismo lógico puede ser una forma de relativismo
al rechazar la validez absoluta, no está reñido con el realismo y la objetividad de los
hechos lógicos porque no relativiza la validez a factores externos como convenciones
lingüísticas o marcos psicológicos. El pluralismo lógico únicamente reconoce que la
validez solo puede atribuirse en función de ciertas condiciones lógicas. En este sentido,
el pluralismo lógico es una forma de relativismo interno y, por tanto, es compatible con
el realismo.
La crítica de Resnik plantea una cuestión importante para el realismo lógico, a
saber, el problema de la normatividad. Sin embargo, la posición realista se enfrenta a un
desafío mayor en comparación con las posiciones antirrealistas rivales. No solo debe
explicar la existencia de hechos lógicos, sino también cómo estos hechos están conectados
con nuestros valores lógicos (Olivé et al., 2011). Por ejemplo, la posición realista necesita
explicar por qué un argumento se considera erróneo, lo que involucra cuestiones de valor,
incluso si sus premisas no implican lógicamente su conclusión, que supuestamente es una
cuestión de hecho. Para abordar esta crítica, es necesario considerar la distinción entre
lógica formal e informal.
En su artículo "¿Qué tan filosófica es la lógica informal?", John Woods establece
un paralelo entre esta distinción y la diferencia entre la comprensión de la lógica de
Aristóteles y la comprensión de la lógica desde Gottlob Frege. Woods argumenta que la
34
lógica silogística de Aristóteles era solo una parte de su proyecto lógico más amplio, cuyo
objetivo era establecer una teoría de las refutaciones.
Aristóteles valoraba la lógica por su papel dentro de una teoría más completa de
la argumentación. La teoría de los silogismos sirvió como núcleo lógico de esta teoría
más amplia, pero Aristóteles no pretendía equiparar los dos. Él deseaba una teoría de la
refutación que pudiera diferenciar entre refutaciones válidas y aquellas que solo parecían
válidas, o lo que él denominó refutaciones genuinas versus sofismas.
En contraste, el esfuerzo lógico de Frege se centró en la construcción de una teoría
de la validez. Según Woods, "lógica" en el sentido aristotélico se refiere a una teoría de
la argumentación, mientras que en el entendimiento de Frege, "lógica" significa una teoría
de la validez o consecuencia lógica. Woods sugiere además que esta distinción entre teoría
de la argumentación y teoría de la validez todavía está presente en la división
contemporánea entre lógica formal e informal. Si bien la lógica formal ha evolucionado
y se ha diversificado significativamente desde la época de Frege, puede considerarse un
sucesor directo de su teoría de la validez. Por otro lado, la lógica informal continúa la
tradición aristotélica y tiene sus raíces en la teoría de la argumentación.
En la concepción formal, un argumento es una colección de proposiciones, siendo
una la conclusión y el resto premisas. Es un error común ver la conclusión como la
proposición que se infiere de las premisas. Sin embargo, como se desprende del estudio
de las inferencias abductivas, la inferencia puede fluir tanto de las premisas a la
conclusión como de la conclusión a las premisas. En consecuencia, el resultado de la
inferencia es la construcción o finalización de un argumento.
Este argumento resultante puede luego evaluarse utilizando las reglas de la lógica
formal para determinar si es válido o no. En el ámbito de la teoría de la argumentación,
existe una distinción entre la lógica formal y la lógica informal. La lógica formal, que cae
dentro de la categoría general de lógica, se enfoca en las propiedades de las proposiciones
y series de proposiciones, como la verdad lógica y la consistencia. También abarca
propiedades que se encuentran en la metateoría correspondiente, como la decidibilidad.
La distinción entre lógica formal e informal es crucial para comprender el concepto de
argumento.
El argumento, en el sentido de lógica informal, se refiere a una práctica humana,
mientras que en el sentido de lógica formal, se refiere a una secuencia de proposiciones.
Es importante señalar que el realismo lógico que se defiende aquí se limita a los objetivos
y propiedades de la lógica formal. Por lo tanto, cuando se hace referencia a la lógica, se
da a entender que se está haciendo referencia a la lógica formal a menos que se indique
explícitamente lo contrario.
Otra distinción importante que hacer es entre inferencia y consecuencia lógica. La
inferencia es un proceso cognitivo que consiste en obtener nueva información a partir de
información existente. En el contexto de las entidades computacionales, se dice que
ciertas proposiciones se infieren de otras en el proceso de inferencia. Sin embargo, es
crucial diferenciar esta concepción de la inferencia de los argumentos en el sentido lógico
35
formal. Es importante recordar que un argumento se considera válido si la conclusión se
deriva lógicamente de las premisas. Por extensión, una inferencia se considera
lógicamente válida si conduce a un argumento válido.
El significado normativo de la lógica se explica por el hecho de que uno de los
objetivos del razonamiento es captar relaciones de consecuencias lógicas. Por lo tanto,
podemos evaluar el razonamiento en términos de si captura con éxito esta relación. Una
inferencia es válida si establece un argumento válido, es decir, una inferencia que lleva
lógicamente a una conclusión a partir de premisas. En este sentido, podemos entender el
razonamiento como un predicado de relaciones lógicas entre proposiciones. Un predicado
es verdadero o verdadero si la relación de predicado entre los objetos se cumple. Decir
que es un misterio, como parece sugerir Resnick, es creer que hay un misterio en el
corazón del concepto mismo de la verdadera predicación. Sin embargo, no hay confusión
ni misterio entre las dimensiones normativa y descriptiva del concepto de verdad (Resnick
et al., 2010).
En este sentido, la efectividad es completamente similar. No obstante, no podemos
llevar demasiado lejos la analogía entre predicción e inferencia. Debemos tener cuidado
de no pensar que la validez es algún tipo de verdad, o que las inferencias implican algún
tipo de afirmación (de validez). Al hacer una inferencia, se admite su validez, pero no se
afirma la existencia de tal relación. Así, una inferencia no describe alguna relación lógica
entre proposiciones, sino que la postula. Por lo general, términos como "razonamiento",
"argumento", "inferencia" y "convencimiento" se reservan para la teoría de la lógica
informal, mientras que el vocabulario de la lógica formal está lleno de cosas como
"proposición", "implicación" y "consecuencia".
Propósito de la lógica y las utilidades matemáticas
Introducir el concepto de realismo lógico, proporciona una comprensión más clara
de la naturaleza matemática de la lógica. Sin embargo, es importante notar que esto no
significa que la única forma de comprender el carácter matemático de la lógica sea a
través de un punto de vista realista. La intención aquí no es adoptar una postura definitiva
sobre el realismo, sino abordar el tema desde una perspectiva de realismo metodológico.
El realismo metodológico se centra en la práctica de las matemáticas y no se
preocupa por las cuestiones filosóficas que surgen de ella. No tiene implicaciones
significativas para la semántica, la ontología o la aplicación de las matemáticas en las
ciencias. La versión más fuerte del realismo metodológico sugiere que las matemáticas
pueden llevarse a cabo como si sus objetos de estudio fueran entidades eternas, abstractas
y existentes de forma independiente, pero no va más allá.
El realismo metodológico es compatible con el antirrealismo. Esencialmente,
cualquiera que no esté buscando activamente cambiar el estado actual de las matemáticas
puede ser considerado un realista metodológico hasta cierto punto. La perspectiva de
Shapiro se aplica principalmente a las matemáticas, pero también se puede aplicar a la
lógica. El realismo lógico metodológico es una tesis descriptiva que explica cómo los
36
filósofos abordan el trabajo lógico. Argumenta que los lógicos operan como si los objetos
y las conexiones lógicas que estudian existieran objetivamente. Así como el realismo
matemático metodológico es la posición predominante entre los matemáticos de hoy, el
realismo lógico metodológico es la posición estándar en la lógica contemporánea.
Desde una perspectiva realista, la lógica se ve como una disciplina separada de
las matemáticas, centrándose en el estudio de las propiedades y relaciones lógicas de
varias entidades como conceptos, proposiciones, argumentos, teorías y modelos. Estas
propiedades y relaciones se consideran independientes de los sistemas lógicos utilizados
para analizarlas, haciendo de la lógica filosófica una ciencia teórica. El éxito de los
sistemas lógicos formales radica en su capacidad para explicar y describir con precisión
hechos objetivos.
Entre las relaciones y propiedades lógicas fundamentales, la incompatibilidad
lógica, la verdad, la falsedad y la equivalencia se consideran las más básicas o clásicas.
Sin embargo, la validez y la consecuencia lógica se consideran la propiedad y la relación
fundamentales en un sentido más amplio. Estas propiedades y relaciones básicas se
aplican a conceptos y proposiciones, mientras que también existen propiedades y
relaciones lógicas derivadas o meta lógicas que pertenecen a objetos más complejos como
definiciones, teorías, modelos y lenguajes. Estas propiedades y relaciones derivadas se
derivan de su conexión con las propiedades y relaciones lógicas básicas. La consistencia,
por ejemplo, es crucial en lógica ya que nos permite distinguir entre proposiciones. En
una teoría inconsistente, todas las proposiciones serían lógicamente equivalentes,
haciendo trivial la relación de consecuencia lógica. Sin embargo, la conexión entre las
propiedades lógicas básicas y derivadas puede no ser siempre clara, lo que requiere una
comprensión más amplia del intrincado campo de la lógica matemática.
Las propiedades lógicas derivadas se pueden clasificar en tres tipos principales en
función de su asociación con diferentes áreas de la lógica matemática (Hurtado, 2017).
Estos tipos incluyen la teoría del modelo, la teoría de la prueba y la teoría de la recursión.
La teoría de modelos se centra en examinar las conexiones matemáticas fundamentales
entre las declaraciones dentro de una teoría, generalmente en el ámbito de las
matemáticas, y las estructuras matemáticas que validan su veracidad.
Como resultado, se hace evidente su fuerte correlación con los principios
fundamentales de la lógica formal. Vale la pena señalar que una de las definiciones
tradicionales de consecuencia lógica afirma que una proposición puede ser considerada
la consecuencia lógica de otra si todo modelo que valida la primera proposición también
valida la segunda. Además, conceptos aún más abstractos como compacidad o ultra
producto adquieren su significado lógico en virtud de su relevancia directa para el
propósito antes mencionado dentro de la lógica matemática.
La razón por la que la teoría de modelos puede parecer diferente de la lógica
formal tal como se practica fuera de los departamentos de matemáticas es porque se basa
en gran medida en el lenguaje y las herramientas del álgebra. Sin embargo, esto no debe
confundirnos. El álgebra ha sido una herramienta crucial en la lógica formal desde el
37
desarrollo de la lógica algebraica de Boole en 1847, que fue el primer ejemplo de lógica
no numérica y lógica formal.
Esto ha jugado un papel importante en el desarrollo tanto del álgebra abstracta
como de la lógica matemática. Aunque estas disciplinas se desarrollaron por separado
durante mucho tiempo, desde mediados de la década de 1930 se ha establecido una clara
equivalencia entre el lenguaje asertivo favorecido por la mayoría de los lógicos en
filosofía y el lenguaje relacional del álgebra abstracta. Por ejemplo, mientras que los
lógicos no algebraicos prefieren discutir los sistemas deductivos, los algebristas prefieren
usar el término "filtro".
De manera similar, algunos se refieren a interpretaciones mientras que otros usan
el término "homomorfismos". Con estas equivalencias terminológicas, el lenguaje
algebraico de la teoría de modelos moderna se vuelve menos esotérico y más orientado
lógicamente. La teoría de la prueba, por otro lado, es el estudio matemático del concepto
lógico de derivación, que es una herramienta esencial en el estudio formal de la validez
lógica. La teoría de la recursión también puede verse como el estudio de un aspecto
importante de las derivaciones y definiciones, a saber, su computabilidad.
La frase "lógica matemática" se puede entender de tres maneras distintas:
• En primer lugar, puede referirse a la lógica que ha sido matematizada, lo que
significa que en su aplicación se utilizan métodos y herramientas matemáticas.
• En segundo lugar, puede referirse específicamente al aspecto matemático de la
lógica dentro del marco más amplio de la lógica matematizada.
• Por último, puede referirse a la rama de la lógica que se enfoca en el estudio de la
lógica utilizada en el razonamiento y la argumentación matemática. Además, esta
frase a veces se usa para describir la tradición lógica que prioriza este tipo de
argumento y razonamiento, considerándolos como formas ejemplares o clásicas
de lógica.
El enfoque principal es el concepto de lógica matemática, específicamente en su
forma matematizada. Es dentro de este ámbito que surge una gran cantidad de confusión,
que pretendo aclarar en el siguiente texto. La causa raíz de esta confusión proviene de la
utilización de métodos matemáticos dentro de la lógica formal. Para mitigar esta
confusión, es crucial tener cuidado al diferenciar entre el ámbito de la ciencia (lógica) y
los métodos empleados (matemáticas). La lógica, en esencia, es una ciencia filosófica,
con una parte de su metodología arraigada en las matemáticas.
En consecuencia, la lógica matemática puede considerarse matemática de la
misma manera que la mecánica newtoniana, por ejemplo. En ambos casos, los métodos
empleados son matemáticos, aunque los temas en sí mismos no son enteramente de
naturaleza matemática. Es importante señalar que las teorías dentro de ambas ciencias
tienen un peso significativo y son verificables. Sus resultados no dependen únicamente
de los principios que exponen, sino más bien de su capacidad para explicar
científicamente fenómenos que existen externa e independientemente de ellos.
38
Otra diferenciación crucial que debe enfatizarse en relación con el enfoque
matemático, que abarca la ciencia como un todo y la lógica específicamente, se refiere a
los sistemas lógicos formales, comúnmente denominados teorías formales, y teorías
filosóficas que son de naturaleza lógica. Un sistema lógico formal es una construcción
matemática muy compleja. Convencionalmente, se compone de un alfabeto, una
colección de fórmulas bien formadas, un conjunto de reglas para la inferencia y,
potencialmente, un conjunto de axiomas. Dada su naturaleza de entidad matemática, todo
sistema lógico formal posee ciertas características matemáticas.
Hay dos tipos de propiedades en los sistemas formales: propiedades sintácticas y
propiedades semánticas. Las propiedades sintácticas son internas al sistema, mientras que
las propiedades semánticas son externas y solo son aplicables en relación con otro sistema
matemático conocido como su modelo. Algunas propiedades matemáticas de los sistemas
formales pueden describirse como propiedades de ciertos elementos dentro del sistema,
en relación con el sistema mismo.
Por ejemplo, cuando alguien se
dice es un axioma del sistema lógico de primer orden L, que puede entenderse tanto como
una propiedad del sistema formal L (que tiene esta fórmula como una de sus premisas)
como de la fórmula anterior (que es un axioma ) relativo en L. En este contexto particular,
se puede afirmar que los sistemas lógicos formales tienen la capacidad de afirmar o,
idealmente, demostrar conclusiones sobre sus expresiones simbólicas, que comúnmente
se denominan "fórmulas" en la terminología contemporánea.
Este tipo de propiedades se pueden categorizar como locales, es decir, pertenecen
específicamente a las propias expresiones simbólicas, mientras que las propiedades
globales son aquellas que solo pueden expresarse como características de todo el sistema
lógico formal. Las propiedades locales ejemplares incluyen la clasificación como un
teorema o un axioma, mientras que características como la compacidad, la decidibilidad
y otras son ilustrativas de las propiedades globales inherentes a los sistemas lógicos
formales.
En esta aplicación lógica, las propiedades matemáticas locales de los sistemas
formales actúan como modelos de las propiedades lógicas fundamentales, mientras que
las propiedades globales representan las propiedades meta lógicas. El objetivo de los
sistemas lógicos formales es establecer una correspondencia entre propiedades lógicas y
matemáticas. Esta correspondencia se logra desarrollando un mecanismo, muchas veces
bastante complejo, para representar entidades lógicas a través de algún tipo de entidades
matemáticas que componen el sistema formal.
El mecanismo, comúnmente denominado "formalización" o "simbolización",
permite que las entidades matemáticas formalicen o simbolicen las entidades lógicas que
representan. De manera similar, es necesario establecer un mapeo correspondiente a nivel
de propiedad, que represente las propiedades lógicas de acuerdo con las propiedades
matemáticas. Esto normalmente se logra estableciendo una correspondencia uno a uno
entre la propiedad matemática de ser un teorema y la propiedad lógica de ser lógicamente
verdadero, o entre la propiedad matemática de deducibilidad y la propiedad lógica de
39
validez, entre otras. Los términos "formalización" y "simbolización" también se utilizan
para discutir esta correspondencia.
Es crucial evitar confundir las propiedades matemáticas de los sistemas formales
con las propiedades lógicas apropiadas. El enfoque de la lógica está en las relaciones
como la consecuencia lógica y la verdad lógica, que no son simplemente propiedades
matemáticas dentro de un sistema formal, sino relaciones y propiedades reales que existen
entre entidades lógicas como conceptos, proposiciones y teorías (Alchourrón, 1995). Si
bien los sistemas formales son inherentemente matemáticos, solo se vuelven lógicos
cuando se utilizan para estudiar propiedades y relaciones lógicas reales. Estas dos
correspondencias crean una aplicación lógica del sistema formal. Una vez que se han
establecido estas correspondencias, podemos referirnos a una teoría lógica verdadera
(matematizada). En este contexto, una teoría lógica matematizada abarca tanto el propio
sistema formal como su aplicación lógica. Por tanto, una teoría de la lógica matemática
es esencialmente un sistema formal aplicado al estudio de la lógica.
Idealmente, la relación entre la lógica y los sistemas formales debería ser tal que
si tenemos una entidad lógica representada por 'a' y una propiedad lógica representada
por 'P', entonces 'a' posee la propiedad 'P' sí y solo si la entidad lógica representa posee la
propiedad lógica simbolizada por 'P'. Por ejemplo, en los sistemas lógicos formales
tradicionales, una fórmula se considera un teorema si y solo si la proposición que
representa es una verdad lógica dentro del mismo lenguaje.
Lo que nos esforzamos por evitar es la existencia de relaciones matemáticas donde
no hay relaciones lógicas correspondientes, o la posibilidad de que una propiedad lógica
no se tenga en cuenta en nuestro modelo matemático. La distinción actual entre un sistema
formal puramente matemático, sus propiedades meta lógicas y su aplicación lógica es
similar a la que hace Raymundo Morado en su obra "La rivalidad en lógica" (1984) entre
un "sistema lógico" y "filosofía de la lógica".
Morado explica que una "lógica X" se refiere a un conjunto específico que incluye
un sistema lógico (que abarca tanto la sintaxis como la semántica), una meta lógica que
se ocupa de los meta teoremas sobre el sistema y una filosofía de la lógica que apunta a
aclarar las relaciones entre los sistema lógico, pensamiento y realidad. Es crucial, aunque
desafiante, diferenciar la realidad lógica como objeto de nuestro estudio de la teoría lógica
que empleamos para estudiarla y la herramienta matemática que usamos para construirla,
especialmente al considerar las propiedades meta lógicas. Por ejemplo, cuando evaluamos
la consistencia de una teoría T1 mediante la creación de un modelo adecuado dentro de
una teoría matemática T2, estamos trabajando esencialmente con cinco teorías distintas:
la teoría del objeto T1, una teoría meta lógica T3 y tres teorías matemáticas.
Estas tres teorías matemáticas juegan un papel crucial al proporcionar las
herramientas matemáticas necesarias para llevar a cabo una demostración formal. Para
comenzar, utilizamos una teoría metodológica T3, que es un marco general basado en
modelos tipo Tarski. Esta teoría establece que la existencia de un modelo para una teoría
dada sirve como prueba de su consistencia. Para formalizar la relación lógica entre una
teoría y su modelo, T3 se basa en otra teoría matemática llamada T4, que es la teoría de
40
conjuntos. Para aplicar este marco matemático a T1, T3 emplea un modelo matemático
conocido como T5, que es una formalización de T1μ. A través de T4μ se establece una
relación matemática entre T2 y T5, formalizándose como modelo la relación lógica entre
T2 y T1. Este proceso demuestra efectivamente la consistencia lógica de T1.22.
Ahora, profundicemos en la distinción que mencionamos anteriormente con
respecto a los tres significados diferentes de la frase "lógica matemática". Cuando nos
referimos a la lógica matemática en el segundo sentido, nos referimos específicamente a
la lógica que se aplica en el campo de las matemáticas. Esta rama de estudio se enfoca en
explorar las relaciones lógicas y las propiedades que existen dentro de las teorías, pruebas,
modelos, proposiciones y conceptos matemáticos.
Por otro lado, la lógica matemática en el tercer sentido es en realidad un subcampo
de las matemáticas en sí mismo, en lugar de estar estrictamente relacionado con la lógica.
En este contexto, la lógica matemática se ocupa principalmente de investigar sistemas
formales de lógica como construcciones matemáticas, en lugar de centrarse en sus
aspectos lógicos. El objetivo es examinar las propiedades formales de estos sistemas
matemáticos que se utilizan actualmente o que podrían utilizarse potencialmente en el
ámbito de la lógica. En consecuencia, esta comprensión particular de la lógica matemática
se concentra únicamente en los dos primeros componentes de la clasificación de Morado.
En contraste, la lógica matemática en el primer sentido abarca los tres aspectos
simultáneamente.
Para argumentar que la lógica no es matemática, no es suficiente afirmar
simplemente que su objetivo es el estudio de relaciones tales como consecuencias lógicas,
derivabilidad y consistencia. También es importante enfatizar que estas relaciones no se
consideran matemáticas. Como mencioné anteriormente, el factor distintivo entre las
propiedades lógicas objetivas y las matemáticas es que las primeras no solo son
independientes de nuestra arquitectura cognitiva y convenciones lingüísticas, sino
también del aparato formal utilizado para estudiarlas. Por el contrario, las matemáticas se
basan en gran medida en este aparato formal para construir y definir fenómenos.
Los objetos matemáticos y sus propiedades pueden determinarse completamente
utilizando los mecanismos lógicos y lingüísticos de la teoría. En matemáticas, tanto la
indiscernibilidad de los idénticos como la identidad de los indiscernibles son principios
aceptados. Esta idea ha sido extensamente discutida por Stewart Shapiro y es apoyada por
otros filósofos contemporáneos de las matemáticas. Shapiro introduce el concepto de
relatividad lógica-lenguaje-ontología, que establece que en una teoría matemática T con
un lenguaje L y bajo una lógica £s, la igualdad de x e y es verdadera si y solo si para cada
expresión bien formada p en L, la expresión p x y (obtenida sustituyendo y por x en p) es
£-equivalente a p. En términos más simples, la identidad de los objetos matemáticos está
completamente determinada por las propiedades que se les pueden atribuir en el lenguaje
de la teoría y su papel inferencial según su lógica.
Con base en la comprensión de las propiedades lógicas, es evidente que no se
consideran matemáticas. El principio de relatividad de Shapiro no se aplica a las
propiedades lógicas. Si la lógica fuera matemática, entonces dos objetos lógicos serían
41
lógicamente equivalentes, lo que significa que poseerían las mismas propiedades lógicas,
solo si estuvieran simbolizados de la misma manera dentro de cualquier sistema formal.
Sin embargo, es posible que dos objetos lógicos, x e y, tengan propiedades lógicas
distintas que no pueden ser capturadas por ningún sistema formal.
En términos más simples, las propiedades lógicas no están completamente
determinadas por la herramienta formal utilizada para estudiarlas. Se podría argumentar
que incluso si una diferencia lógica no se ha incorporado a ningún sistema formal actual,
no significa que no pueda formalizarse en teoría. Desde esta perspectiva, incluso si se
descubriera un contraejemplo similar al mencionado anteriormente, aún sería posible
crear un nuevo sistema formal que abarque la distinción problemática. Sin embargo, esta
respuesta en realidad fortalecería el argumento de que las propiedades lógicas no son
matemáticas. El hecho de que podamos identificar una propiedad lógica antes de
formalizarla demuestra la naturaleza objetiva de tal propiedad. Esto nos ayuda a
comprender hasta qué punto la lógica matemática es verdaderamente matemática y no
únicamente matemática.
Si consideramos que la naturaleza de la lógica matemática es simbólica, es
evidente que el uso de símbolos es la característica definitoria. Sin embargo, no todos los
usos de los símbolos dentro del campo de las matemáticas pueden considerarse
verdaderamente simbólicos. En el estudio de la historia de las matemáticas, se suele hacer
una distinción entre un uso sincopado de los símbolos y un uso propiamente simbólico,
también conocido como formal o analítico. Esta distinción se introduce en la historia de
las matemáticas para diferenciar el uso de símbolos en álgebras antiguas y modernas.
En el álgebra antigua, incluida el álgebra clásica posterior a Diofanto, el álgebra
árabe y la cósica occidental, no existía el concepto de variable tal como lo entendemos
hoy. Las letras se usaban junto con las constantes, pero eran simplemente abreviaturas o
ayudas para la memoria en lugar de mecanismos para expresar cálculos en general. El
formalismo algebraico de la época solo consistía en símbolos constantes, lo que limitaba
su capacidad para expresar cualquier cosa más allá de cálculos específicos.
Los conceptos generales se transmitieron a través de casos específicos que
sirvieron como ejemplos o paradigmas. Este tipo de uso de símbolos se denomina
sincopado ya que no constituye un lenguaje simbólico propiamente dicho. En su libro "La
naturaleza y el crecimiento de las matemáticas modernas", Edna E. Kramer (1982)
introduce esta distinción al explicar que el simbolismo literal algebraico moderno, que se
remonta a Diofanto, no se generalizó hasta el siglo XVI. Fue François Viète, también
conocido como Vieta, quien primero utilizó letras para representar incógnitas.
Antes de Diofanto, el álgebra se basaba en argumentos verbales sin abreviaturas
ni símbolos. No fue hasta el trabajo de Viète y Descartes, al mismo tiempo, que las
variables se introdujeron en las matemáticas, dando lugar al álgebra moderna. La
inclusión de variables en lenguaje algebraico marcó dos avances significativos en la
historia de las matemáticas. Primero, permitió la expresión de formas generales,
ampliando el alcance de la representación matemática. En segundo lugar, y quizás aún
más crucial, permitió realizar cálculos con estas variables. El álgebra sincopada, como se
42
la conoce, puede verse más como una forma de taquigrafía que como un simbolismo
totalmente abstracto. Sin embargo, se considera un paso significativo en la dirección
correcta. Diofanto es reconocido como el primer matemático de la historia en
proporcionar un sustituto de las expresiones verbales largas.
Una de las principales distinciones entre el álgebra moderna y la antigua radica en
la incorporación de variables, lo que permitió la expresión de varios cálculos específicos
en una forma más abstracta y generalizada (Mora, 2003). En contraste con las fórmulas
abreviadas con letras utilizadas en el álgebra antigua para representar cálculos
específicos, la introducción de variables en el álgebra moderna revolucionó el campo al
permitir que los matemáticos expresaran y manipularan formas generales de cálculo. Este
lenguaje simbólico recién descubierto proporcionó a los matemáticos capacidades sin
precedentes para manipular y trabajar con formas generales que eran extremadamente
difíciles de lograr utilizando el lenguaje algebraico anterior.
Además, la introducción de las nuevas fórmulas permitió su integración en un
nuevo enfoque para calcular formas generales. Es en este punto cuando verdaderamente
podemos discutir la existencia de un lenguaje simbólico adecuado. En este contexto, un
lenguaje simbólico no es simplemente uno que emplea símbolos, sino uno que utiliza
símbolos con fines de cálculo. Entonces, si bien es exacto decir que la introducción de
variables permitió la expresión de un cierto nivel de generalidad o estructura en las
matemáticas, su mayor logro fue la creación de un tipo novedoso de cálculos formales.
En términos más simples, lo que marca el comienzo del álgebra moderna, y por qué
significa una revolución significativa en el avance de las matemáticas, es la capacidad de
realizar cálculos que involucran formas.
Desafortunadamente, los matemáticos europeos de su época no comprendieron de
inmediato la importancia de esta nueva herramienta. En cambio, una feroz batalla entre
dos enfoques contrastantes de las matemáticas, el paradigma formal del álgebra y el
paradigma constructivo de la geometría, se prolongó durante los siguientes dos siglos en
las matemáticas occidentales. La intensidad de este conflicto fue tan flagrante y profunda
que es imposible comprender la historia de las matemáticas, e incluso del conocimiento
científico en general, durante estos siglos sin reconocer el papel central que jugó esta
lucha. Del mismo modo, es sencillo rastrear la evolución de los ideales formales en
matemáticas a medida que se extendieron desde Francia hasta Inglaterra y finalmente, en
el siglo XIX, encontraron su camino hacia la lógica con las influyentes contribuciones de
De Morgan y Boole a través de la guía de la Sociedad Analítica.
La introducción del carácter formal por parte de los primeros lógicos puede
parecer relacionada con el debate filosófico entre forma y materia. Sin embargo, es
importante tener en cuenta que este no es el caso. Por el contrario, es evidente que los
algebristas como De Morgan no vieron su formalización de la lógica como un aislamiento
de una forma puramente abstracta separada de cualquier contenido material. En cambio,
su objetivo era establecer patrones de invariancia entre fórmulas lógicas. Esta distinción
se hace aún más evidente cuando examinamos el debate que se produjo entre De Morgan
y Mansel a mediados del siglo XIX.
43
En el comentario de Mansel sobre Lógica formal (De Morgan 1847), criticó a De
Morgan por no comprender correctamente la distinción entre forma y materia. Sin
embargo, es claro que ambos pensadores tuvieron diferentes interpretaciones del concepto
de forma. Inicialmente, De Morgan intentó conciliar sus puntos de vista, pero pronto se
dio cuenta de la divergencia fundamental entre ellos. En 1847, De Morgan ya no
consideró la noción de forma en oposición a la materia como relevante para su análisis
lógico, descartándolo como un concepto "metafísico".
Es crucial diferenciar entre el concepto de forma versus materia y el concepto de
forma algebraica empleado en la lógica matemática. El lenguaje formal de la lógica
moderna surge en el marco de la tradición algebraica. Como resultado, el lenguaje
simbólico de la lógica matemática, que se originó a fines del siglo XIX y principios del
XX, no solo es conciso sino también formal. Emplea fórmulas con variables para articular
la estructura lógica de enunciados, y también posee un sistema de cómputo para
manipulación.
Estos dos aspectos son fundamentales para la esencia matemática de la lógica. El
fundamento de la lógica matemática se basa en la formalización y el cálculo. La lógica
simbólica contemporánea se considera matemática precisamente porque abarca ambas
dimensiones. Si el lenguaje simbólico de la lógica no incorporara un cálculo formal, no
sería verdaderamente simbólico; simplemente existiría en un nivel condensado. Del
mismo modo, si sus fórmulas no expresaran formas generales, no podríamos referirnos a
él como un lenguaje o una lógica formal.
La naturaleza formal de la lógica simbólica juega un papel crucial en su uso
práctico. Es necesario que cualquier sistema lógico tenga ciertas características para ser
aplicable. Una de esas características es la capacidad de simbolizar o formalizar
declaraciones y argumentos a partir del lenguaje natural. En casos más simples, un
sistema lógico formal requiere un mecanismo para traducir entre lenguaje artificial y
expresiones de lenguaje natural. Para demostrar su aplicabilidad, es suficiente
proporcionar una traducción del formalismo al lenguaje natural conservando sus
propiedades lógicas. Sin embargo, este requisito de aplicación del lenguaje natural suele
ser demasiado restrictivo. Si tuviéramos que adoptarlo, la aplicación de la lógica se
limitaría a los límites del lenguaje natural. Esto excluiría importantes desarrollos de la
lógica, como la lógica infinita o la lógica compleja, que tienen mayor poder expresivo
que el lenguaje natural.
Es importante recordar que los sistemas lógicos formales son modelos científicos.
Esto significa que no siempre son directamente aplicables o simples de aplicar, sino que
requieren idealizaciones que los separen del mundo real. Un buen ejemplo de esto se
puede ver en la teoría de los gases ideales en la física. A pesar de que los gases ideales en
realidad no existen en el mundo físico, esto no niega los resultados y descubrimientos de
la termodinámica.
De manera similar, la potencial inexistencia de infinitos argumentos o expresiones
en lenguaje natural no invalida la lógica infinita. Si bien muchos sistemas formales de
lógica matemática pueden no tener aplicaciones directas al lenguaje natural, aún cumplen
44
su propósito como modelos científicos del universo lógico. La aplicabilidad de un sistema
lógico o teoría debe entenderse en un sentido amplio, como cualquier teoría o modelo
científico es aplicable a la realidad. Si descartáramos avances importantes dentro de la
lógica matemática, estaríamos limitando nuestra comprensión y progreso en el campo.
El término "formal" ha tenido un impacto significativo en el campo de la lógica
matemática, particularmente a través de su asociación con la escuela formalista en la
filosofía de las matemáticas. Sin embargo, el significado de "formal" en relación con el
proyecto filosófico de Hilbert y el giro "formalista" de la lógica es distinto del sentido
que hemos discutido hasta ahora. Los orígenes de este segundo uso de "formal" se
remontan a Thomae, quien consideraba los números como signos tangibles no
interpretados, que representan un "punto de vista formal". Es importante señalar que
Hilbert no habría adoptado esta perspectiva y, por lo tanto, su proyecto filosófico no
debería considerarse un formalismo en el sentido de Thomae. Como resultado, en el
discurso contemporáneo, la naturaleza formal de un sistema o teoría matemática se define
en términos de su adhesión a los principios axiomáticos propuestos por Hilbert.
Esta definición de formalismo se expresa explícitamente en el libro de texto
Introducción a la lógica matemática, utilizado para la enseñanza de la lógica matemática
en la Universidad de Letonia. De acuerdo con esta definición, una teoría se considera
formal si proporciona un algoritmo, un método procesal computacionalmente aplicable,
para verificar la corrección del razonamiento basado en los principios de esa teoría. Por
lo tanto, cuando alguien afirma haber probado un teorema dentro de una teoría T y publica
un "texto matemático" que lo respalda, el texto debe ser verificable mecánicamente para
confirmar que se alinea con los cánones de razonamiento aceptados en T.
En consecuencia, en las teorías formales, los principios del razonamiento deben
estar definidos con precisión para permitir la verificación de las pruebas a través de
programas informáticos. La conexión entre el término "formalismo" y las ideas de Hilbert
surgió debido a las críticas de L.E.J. Brouwer, quien se refirió al proyecto de Hilbert como
tal, probablemente con el objetivo de asociarlo con el enfoque ingenuo y desacreditado
de Thomae. La disputa entre Brouwer e Hilbert ganó una atención significativa, incluso
más allá de los ámbitos de la filosofía y las matemáticas, lo que llevó a la asociación
duradera entre el "formalismo" y el pensamiento de Hilbert. A pesar de que Hilbert difería
explícitamente del punto de vista de Thomae desde su charla en el Congreso Internacional
de Matemáticos de 1904, y a pesar de que él mismo nunca usó el término, la palabra
"formalismo" se ha vinculado permanentemente al renombrado filósofo y matemático.
Aunque las teorías lógicas formales a menudo se consideran "formales" en otro
sentido, es crucial aclarar que la lógica no necesariamente tiene que ser axiomática y
algorítmica para ser considerada formal. El aspecto formal de la lógica surge de su
utilización de un lenguaje simbólico que permite la manipulación de formas generales
(Jaramillo y Puga, 2016). En consecuencia, para comprender la naturaleza formal de la
ciencia lógica, se vuelve imperativo captar el significado de su lenguaje simbólico.
Al igual que otros lenguajes formales, los símbolos lógicos se pueden clasificar
en constantes y variables. En secciones anteriores, hemos explorado la importancia de las
45
variables en la lógica formal. Las constantes, por otro lado, tienen un papel diferente.
Entre estas constantes lógicas, los operadores lógicos ocupan una posición destacada ya
que distinguen el lenguaje lógico de otros lenguajes simbólicos. Son los que dan al
lenguaje lógico su carácter lógico. Para simplificar, podemos decir que el aspecto
matemático de la lógica simbólica se basa en variables, mientras que su verdadera
naturaleza lógica se encuentra en los operadores. La lógica simbólica es formal por la
utilización de variables y lógica por la naturaleza de sus operadores.
La lógica matemática se considera formal porque emplea herramientas
matemáticas que se desarrollaron originalmente en el ámbito de las matemáticas
"formales". Estas herramientas se crearon inicialmente para ayudar en el desarrollo de la
lógica, pero finalmente extendieron su influencia a otras ramas de las matemáticas, como
el álgebra y la geometría. Estas herramientas se denominan formales no solo en el sentido
contemporáneo popularizado por Hilbert, sino también porque permiten realizar cálculos
utilizando formas generales.
Matemáticas y educación superior
¿Qué significa que un estudiante dedique una cantidad importante de tiempo a
estudiar Matemáticas? ¿Hasta dónde se debe seguir para asegurarse de que no profundice
en las profundidades de las matemáticas puras, pero aún permita la comprensión en
contextos de conocimiento de alto nivel? Son interrogantes que surgen en todo discurso,
sea formal o informal, respecto a la incorporación de las matemáticas en la formación de
economistas o ingenieros. Cada uno de nosotros cree que posee la respuesta a estas
preguntas. Es fácil escuchar a un ingeniero o economista que no es profesor hablar sobre
su profesión y sus logros económicos sin necesidad de resolver ecuaciones matemáticas
complejas. Por otro lado, algunos, incluidos los educadores, abogan por utilizar las
matemáticas únicamente con fines prácticos, viéndolas simplemente como una
herramienta en la caja de herramientas, una perspectiva que ha demostrado ser ventajosa
para el mercado de las calculadoras.
A menudo, la pedagogía general se adapta a la ocasión, coqueteando con el autor
o abrazando ideas de moda. Por el contrario, quienes practican las ciencias
matematizadas, los científicos, exigen profundidad y rigor en su enfoque. De ahí que el
concepto de formación matemática se vuelva como un virus, adaptándose constantemente
al discernimiento y conveniencia o intenciones de la audiencia. Esta ocurrencia común de
un significante que conduce a diferentes interpretaciones se exacerba en sus
consecuencias para la comunicación efectiva, particularmente cuando no hay un registro
escrito que describa lo que debería implicar la formación matemática para economistas e
ingenieros. Hablar de ello puede ser fácil, pero comprometerlo por escrito plantea
desafíos.
El lector astuto ya habrá notado los intentos deliberados que se hacen aquí para
provocar la contemplación. Es crucial reconocer que justificar la presencia y didáctica de
contenidos matemáticos específicos en un curso de servicio para la enseñanza de
economía o ingeniería no es tarea sencilla. Estas dificultades surgen por diversas razones
46
que deben ser cuidadosamente analizadas y ponderadas para llegar a una conclusión que
se traduzca en una adecuada implementación curricular. Una de ellas es la innegable
ausencia de una cultura científica y tecnológica en nuestro país, que nos convierte en
meros espectadores de los avances científicos. Esta realidad alimenta argumentos en
contra del poder del método y la lógica de las llamadas ciencias básicas en la preparación
adecuada de los profesionales que nuestra sociedad necesita.
En los últimos años, las discusiones en torno a la enseñanza y el aprendizaje de
las matemáticas en la ingeniería y las ciencias económicas y sociales se han centrado en
la búsqueda de un "saber hacer" práctico denominado "competencia". Esta perspectiva
sobre la competencia se ha desviado de su potencial didáctico original, como lo enfatiza
Chomsky, y en cambio se ha reducido a una mera búsqueda de utilidad y aplicabilidad
inmediatas.
En consecuencia, este enfoque ha allanado el camino para el dominio de las
industrias extranjeras de software y hardware educativo. Como resultado, el énfasis en la
demostración de resultados comunes, procedimientos algorítmicos y la construcción de
curvas y superficies ha sido descartado en la educación matemática. Si bien no es
necesario probar todo, existe una necesidad crucial de distinguir claramente entre lo que
se puede demostrar y lo que se debe suponer desde el principio debido a su naturaleza
primitiva. Esta diferenciación es fundamental para identificar lo que se postula, el
enunciado de una propiedad, y lo que se demuestra, así como lo que constituye un axioma,
una definición o establecimiento de un objeto, y las propiedades que posee este nuevo
objeto.
La relación entre las matemáticas y el mundo físico ha sido durante mucho tiempo
un tema central en los ámbitos de la filosofía matemática y la historia de la ciencia. Una
figura notable en esta exploración es el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912),
quien ponderó los fenómenos de la intuición numérica y la intuición geométrica. Como
muchos otros, Poincaré se vio obligado a reflexionar sobre el enigma de cómo la
deducción matemática se alinea con la realidad física. Su doble papel como creador en
matemáticas puras e inventor en física matemática lo llevó continuamente a preguntarse
cómo las construcciones en el primer campo estaban conectadas con las experiencias en
el segundo. La frecuente comparación de números con espacios de Poincaré lo llevó a
indagar sobre la existencia de varias geometrías, al mismo tiempo que percibía la
aritmética como una disciplina singular. Buscó comprender cómo se aplicaban estas
geometrías a las experiencias físicas, considerando la necesaria alineación entre los
números o el análisis y su aplicación.
El misterio que rodea la adecuación de las matemáticas se vuelve aún más
pronunciado cuando se consideran ciertos hechos de los que Poincaré no fue testigo
personal. Un ejemplo de ello es la geometría no euclidiana de Riemann, que inicialmente
fue descartada como un ejercicio intelectual sin sentido en el momento del nacimiento de
Poincaré. Sin embargo, más tarde demostró ser una valiosa herramienta predictiva en la
teoría de la relatividad. El propio Poincaré consideraba la geometría no euclidiana como
un mero juego filosófico sin ningún uso práctico para los matemáticos.
47
Otro ejemplo es Gauss, quien optó por no publicar sus hallazgos sobre geometrías
no euclidianas debido a su temor a la incomprensión del público. Eugen Duhring llegó
incluso a afirmar que la geometría no euclidiana era una creación de las "partes
degeneradas" de la mente de Gauss. Lord Kelvin expresó de manera similar su
escepticismo hacia los cuaterniones, presentados por William Hamilton, y su desarrollo
de vectores, sugiriendo que eran más un obstáculo que un beneficio. Kelvin creía que los
vectores no tenían ningún uso práctico. Vale la pena señalar que la cuestión de la
adecuación de las matemáticas para describir la realidad física, como la discutieron
Poincaré y sus contemporáneos, surgió poco después del Renacimiento.
Esto coincidió con el surgimiento de una comprensión categórica de varios objetos
matemáticos, tanto nuevos como existentes, gracias a los avances en la representación
simbólica. Antes del siglo XVIII, por ejemplo, el término x^2 se expresaba en el lenguaje
cotidiano. Sin embargo, comenzó a producirse una separación percibida entre los objetos
geométricos y físicos de la representación matemática, lo que llevó al desarrollo del
método axiomático moderno introducido por David Hilbert. En su trabajo "Los
fundamentos de la geometría", Hilbert abandonó conceptos intuitivos de primer nivel
como puntos, líneas y planos, centrándose únicamente en las relaciones entre estas
entidades.
El hecho de que la mencionada adaptación pareciera natural antes de la
axiomatización o clasificación estructural de los objetos matemáticos se evidencia con
varios ejemplos que se pueden elegir entre una amplia gama. El concepto de relación, que
precede al concepto de números naturales, surge en el contexto de la actividad económica
más básica: contar. A medida que las actividades comerciales se vuelven más complejas,
los números enteros entran en juego.
El estudio de la geometría y sus propiedades tiene su origen en los problemas
prácticos de la topografía. Los orígenes del cálculo se remontan a la antigüedad, donde
ya estaban presentes los problemas relacionados con la medición y manipulación de
figuras geométricas, como el cuadrado, la curvatura, la rectificación y la determinación
de los centros de masa de cuerpos hipotéticos (Camacho et al., 2011).
En el siglo XVII, Newton introdujo un marco simbólico para matematizar varios
fenómenos naturales y representar su variación y cambio. Fue durante este tiempo que la
noción de función se introdujo y exploró de varias maneras. La cinemática, por ejemplo,
se basó en una comprensión intuitiva y algo experimental de las cantidades variables en
el tiempo a las que Newton se refirió como "fluidos". La idea de "cualquier curva" se
mencionó a menudo en un contexto cinemático, aunque aún no se había caracterizado
analíticamente por completo para fines de razonamiento. Sin embargo, con los aportes de
Cauchy a la enseñanza de los objetos matemáticos, se estableció la definición de función
tal como la conocemos hoy.
Antes del siglo XVII, prevalecía la creencia de que las matemáticas y el mundo
físico estaban inherentemente vinculados, producto del diseño de un poder superior. Esta
conexión se vio reforzada por el avance de las matemáticas en paralelo con el desarrollo
de la intuición física y geométrica, lo que confirma esta noción. Sin embargo, se produjo
48
un cambio en el que esta conexión comenzó a evocar asombro y a convertirse en tema de
investigaciones filosóficas debido a ciertos avances matemáticos que se separaron de la
comprensión física. A pesar de este desapego, estos desarrollos matemáticos siguieron
siendo una herramienta confiable para predecir y explicar fenómenos.
Las geometrías no euclidianas, que surgieron como un modelo matemático para
la teoría de la relatividad de Einstein, llegaron antes. El álgebra de Boole, que se originó
a principios del siglo XX, tuvo que esperar al avance de las computadoras para encontrar
su aplicación en la teoría de los lenguajes. Esta aplicación comenzó en 1930 con la
investigación de Alan Turing sobre el concepto de máquina pensante, lo que llevó a una
definición matemática de computación.
De manera similar, la teoría de las curvas elípticas y otros conceptos de álgebra
abstracta y teoría de números encontraron su realización "tardía" en métodos
criptográficos desarrollados después de 1960. La geometría fractal, que utiliza la medida
y dimensión de Hausdorff establecida en 1919, ahora se emplea en el estudio de sistemas
dinámicos complejos. como el pronóstico del tiempo y la dinámica de la población.
Los avances recientes en la investigación de operaciones para la toma de
decisiones implican el uso de mecanismos de prueba de teoremas lógicos para validar el
proceso de toma de decisiones. La aplicación de elementos finitos, que se vio inicialmente
en el diseño aeronáutico en la década de 1950, ahora se encuentra con menos frecuencia
en los libros de texto debido a sus numerosas aplicaciones. Por último, la teoría de las
categorías apenas comienza a aplicarse en las teorías generales de los lenguajes de
programación.
Inicialmente percibidas como meros ejercicios mentales, como jugar al ajedrez
sin piezas físicas, estas actividades en realidad han llevado al desarrollo de poderosas
teorías y sistemas prácticos que tienen una gran importancia tanto en la tecnología como
en las ciencias sociales. Esta realización desafía la creencia de que estos conceptos
complejos están separados de la realidad y solo existen en el ámbito de la abstracción. De
hecho, los matemáticos han logrado mantenerse más cerca de la realidad a través de su
razonamiento lógico, incluso más que los físicos apoyándose en representaciones
prácticas.
Esta convergencia de pesimismo histórico y escepticismo hacia la utilidad de las
construcciones matemáticas independientes de un contexto "real" refleja la crítica a la
educación matemática rigurosa y axiomática desde varias perspectivas académicas. Si
bien la introducción de las "matemáticas modernas" en las escuelas secundarias ha
resultado ser un error, implementarlas a nivel universitario tiene sus ventajas. Ayuda a
organizar y dar significado a las experiencias matemáticas algo caóticas que los
estudiantes han encontrado hasta ahora, alineando cada fase del desarrollo mental con su
nivel apropiado de rigor.
Asimismo, la naturaleza cada vez más matematizada de los avances tecnológicos
requiere el cultivo de habilidades de pensamiento formal en los futuros profesionales, lo
que les permite comprender y navegar estos desarrollos. Es importante notar que cuando
49
se habla de axiomática y rigor, el foco está en presentar definiciones y teoremas de manera
racional y ordenada, sirviendo para clarificar la intuición. Sin embargo, el verdadero
desafío en la educación matemática no radica en el rigor, sino en construir una
comprensión significativa y marcos ontológicos para los objetos matemáticos.
El rigor sirve como herramienta, cuya eficacia en la enseñanza puede demostrarse
a través de la evidencia histórica y la práctica pedagógica. La experiencia y el sentido
común sugieren que en el proceso de matematización, alcanzar niveles más altos de
intuición requiere un período de compresión formal; primero se debe comprender la
esencia de un concepto antes de aprender a aplicarlo con eficacia.
La integración de las matemáticas en la economía es un desarrollo relativamente
reciente, que ocurre en la segunda mitad del siglo XIX. A diferencia de otras ciencias
sociales, los economistas clásicos no emplearon enfoques o razonamientos matemáticos
en sus análisis (Enríquez, 2016). Si se usaban expresiones matemáticas o numéricas, por
lo general eran recursos externos más que herramientas para el análisis. Sin embargo, esto
comenzó a cambiar con la publicación de la Investigación sobre los principios
matemáticos de la teoría de la riqueza de Agustín Cournot en 1838.
En esta obra pionera, Cournot expresó los conceptos de oferta y demanda de
manera funcional, abordando los desafíos encontrados en la lógica literaria. Otro hito
importante ocurrió en 1854 cuando Hermann Heinrich Gossen, un economista alemán,
utilizó la representación geométrica en su obra Exposición de las leyes del intercambio y
reglas derivadas para el comportamiento humano. A través de este trabajo, Gossen sentó
las bases de la teoría de la utilidad marginal.
Ya desde 1920, hubo esfuerzos iniciales para incorporar las matemáticas en la
investigación económica en la Unión Soviética. Los ejemplos incluyen los notables
modelos de demanda creados por E. Slutsky y A. Konjus, los modelos de crecimiento
pioneros desarrollados por G. Feldamn y el análisis de balance de "ajedrez" realizado en
el Departamento Central de Estadística, que luego evolucionó con la participación de
matemáticos y economistas como W. Leontief, que utilizó datos de la economía
norteamericana. Además, los esfuerzos de L. Jushkov para determinar la eficiencia de la
tasa de inversión allanaron el camino para una mayor exploración por parte de V.
Novojilov. Vale la pena señalar que estas investigaciones compartían ciertas
características con el enfoque matemático adoptado en la ciencia económica occidental
durante el mismo período, como lo demuestran los trabajos de R. Harrod, E. Domar, F.
Ramsey, A. Wald, J. Von Neumann , J. Hicks, Samuelson y muchos otros.
Sin embargo, los intentos iniciales de cuantificar la economía se encontraron con
la resistencia de los pensadores económicos clásicos como Smith, Ricardo y Malthus.
Esta resistencia se puede atribuir al hecho de que la economía se desarrolló para
proporcionar soluciones racionales a los desafíos planteados por el orden social posfeudal
en evolución. A medida que este orden social se volvió cada vez más complejo con el
surgimiento del estado moderno y la economía de mercado, el conocimiento económico
tenía como objetivo servir para fines prácticos y ofrecer orientación a académicos,
políticos y empresarios por igual. Sin embargo, la introducción de las matemáticas en la
50
economía las hizo menos accesibles al público en general, lo que provocó una creciente
desconexión entre los conceptos teóricos y sus aplicaciones prácticas. Esto se puede
observar en el debate en curso entre Marshall y Cuningan, que destaca el conflicto
perpetuo entre las orientaciones teóricas y políticas en economía.
Curiosamente, la desconfianza histórica de las matemáticas en su capacidad para
explicar y predecir fenómenos económicos todavía está presente en las facultades de
economía, a veces reconocida abiertamente. Quienes han impartido cursos de
matemáticas en departamentos de ciencias sociales pueden confirmar que los estudiantes
muestran menos entusiasmo por el conocimiento matemático en comparación con la
ingeniería. Además, existe un intento evidente en estas instituciones por simplificar y
suavizar el rigor y la complejidad de los conceptos matemáticos.
CAPÍTULO 3
La cognición y la metacognición
Los orígenes del estudio de la cognición humana se remontan a septiembre de
1956, cuando Noam Chomsky introdujo el concepto de "Gramática transformativa", un
modelo cognitivo para comprender el lenguaje humano. Este documento innovador sentó
las bases para varios campos de estudio que adoptaron un enfoque cognitivo. La
cognición se refiere a los procesos mentales involucrados en la recepción y procesamiento
de información.
En entornos académicos, la cognición ocurre cuando nos relacionamos con la
información a través de diferentes canales, como la comunicación verbal o escrita.
Implica varias etapas, incluida la atención, la codificación y la recuperación, que
finalmente conducen al resultado deseado. La metacognición, por otro lado, se refiere a
51
nuestra capacidad para regular y gestionar nuestro propio aprendizaje. Implica planificar
y elaborar estrategias sobre qué enfoques utilizar en diferentes situaciones, monitorear el
proceso de aprendizaje y evaluar su eficacia. Al hacerlo, podemos identificar posibles
deficiencias y aplicar estos conocimientos a futuras actuaciones.
La metacognición abarca una gama de actividades y funciones cognitivas que
emprenden los individuos, utilizando mecanismos intelectuales interiorizados. Esto nos
permite recopilar, generar y evaluar información, al mismo tiempo que nos permite
comprender, controlar y regular nuestro propio conocimiento (Osses y Jaramillo, 2008).
La línea entre cognición y metacognición a veces puede ser borrosa, ya que están
interconectadas.
Por tanto, la metacognición se define como el conocimiento que poseen los
individuos sobre su propia cognición y su capacidad para regularla. Para participar en la
metacognición, las personas primero deben tener una comprensión de su propia cognición
y participar en procesos mentales que exploren cómo funcionan sus funciones cognitivas.
Por ejemplo, está claro que el conocimiento de los procesos de la memoria influye en
cómo funciona la memoria.
La capacidad metacognitiva es un rasgo del pensamiento humano que está
vinculado a la capacidad de una persona para:
• Adquirir los conocimientos.
• Planificar estrategias para el manejo de la información
• Prestar atención a sus propios pensamientos mientras están involucradas en el
proceso de resolución de problemas. Deben ser conscientes de sus propios
procesos cognitivos y tener en cuenta las diversas actividades mentales en las que
se involucran cuando intentan encontrar soluciones a los problemas.
• Darse tiempo para pensar en la forma en que se resolvieron los problema.
• Evaluar y medir la eficacia y eficiencia de sus propias habilidades cognitivas.
A medida que nuestra comprensión de la metacognición se profundiza, hemos sido
testigos del surgimiento de numerosos términos nuevos que encapsulan específicamente
los diversos procesos mentales involucrados en este complejo fenómeno:
• La meta atención se refiere a la comprensión de los diversos componentes
involucrados en el acto de prestar atención, como identificar a qué se debe prestar
atención, emplear estrategias mentales para mejorar la atención, manejar y
minimizar las distracciones y ejercer control sobre ellas. Cuando las personas no
han desarrollado sus habilidades meta atencionales, se vuelve evidente en los
estudiantes que luchan por mantener la atención enfocada. Estos individuos
luchan por diferenciar entre estímulos relevantes e irrelevantes, lo que los lleva a
prestar atención a todo sin poder concentrarse en nada específico.
• Meta memoria: lo que cada uno sabe sobre su propia memoria; sus capacidades,
sus limitaciones, lo que se debe hacer para recordar y recordar, factores que
52
bloquean la memoria, diferentes formas de memoria visual y auditiva; lo que
debes hacer para recordar Vive lo que ves u oyes.
• Meta lectura: Es el conocimiento que se tiene de la lectura y la manipulación
mental que la acompaña. Qué hay que hacer para leer, qué no se lee bien, cuál es
la diferencia entre una frase y otra. Saber leer es meta-conferencia.
• La meta escritura se refiere a la comprensión integral que uno posee sobre el arte
de escribir y la capacidad de controlar y regular los procesos cognitivos
involucrados en la comunicación escrita. Esto abarca conocer el propósito
previsto de la pieza, manejar hábilmente la expresión de ideas y evaluar
críticamente la efectividad y la medida en que se cumple el objetivo deseado.
• La meta comprensión se refiere a la comprensión de nuestra propia comprensión
y los procesos cognitivos involucrados en su consecución. Esto incluye
comprender el concepto de lo que significa comprender algo, evaluar el alcance
de nuestra comprensión, identificar los pasos necesarios para lograr la
comprensión y reconocer el propósito detrás de esto. Es distinta de otras
actividades mentales como memorizar, deducir o imaginar. Sin la conciencia de
nuestra meta comprensión, seríamos ajenos al hecho de que no hemos
comprendido realmente un tema o tema en particular. Esta es precisamente la
razón por la cual la meta comprensión tiene una importancia inmensa en el ámbito
del aprendizaje y la educación.
Adicionalmente a la autoconciencia del individuo sobre sus procesos
metacognitivos, es imperativo, poseer un fuerte sentido de la motivación. Esto se debe a
que el desarrollo del autoconcepto de uno mismo está fuertemente influenciado por
conocimientos metacognitivos específicos, como la formación de la propia percepción
con respecto a sus habilidades y capacidades.
El aprendizaje es el resultado de estos diversos procesos. Para comprender
verdaderamente un tema específico, los estudiantes deben asignarle un significado,
construir una imagen mental o usar declaraciones verbales para crear una representación,
o desarrollar una teoría o modelo mental que sirva como marco para explicar los
conocimientos adquiridos. Este proceso es esencial para un aprendizaje efectivo.
La modificación cognitiva
Reuven Feuerstein, el creador de esta teoría, era originario de Rumania. Completó
su educación en la Universidad de Ginebra, donde obtuvo una licenciatura en psicología.
Luego se especializó en Psicología General y Clínica en la misma universidad antes de
obtener un doctorado en Psicología del Desarrollo en la renombrada Universidad de la
Sorbona en París. Uno de los principios fundamentales de esta teoría es que no existen
condiciones irreversibles que no puedan ser manejadas y tratadas. Investigaciones
recientes sobre la inteligencia respaldan esta noción y revelan que la inteligencia es un
rasgo complejo y multifacético que puede modificarse e influirse.
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Esta teoría reconoce que la inteligencia no es fija y depende de varios factores. El
desarrollo de esta teoría surgió de la amplia experiencia del Dr. Feuerstein trabajando con
personas que mostraban un bajo rendimiento debido a diversas formas de privación. Su
objetivo era potenciar sus capacidades de aprendizaje y desarrollo cognitivo. La teoría de
la modificabilidad cognitiva se fundamenta en la creencia de que el organismo humano
es un sistema abierto capaz de modificarse a sí mismo, siempre que exista un acto humano
mediador. En resumen, la teoría del Dr. Feuerstein enfatiza el potencial de los individuos
para mejorar sus habilidades cognitivas a través de la intervención y la mediación. Desafía
la noción de inteligencia fija y destaca la importancia de nutrir y desarrollar el potencial
cognitivo de uno.
La inteligencia es un concepto multifacético que abarca varios procesos
cognitivos. No es una entidad singular sino más bien un sistema jerárquico compuesto
por componentes interconectados (Pino y Arán, 2019). Cada nivel dentro de este sistema
contribuye a una estructura más grande mientras funciona simultáneamente como una
unidad completa. Todo el sistema se caracteriza por su capacidad de autorregulación y
adaptación, lo que permite el surgimiento de una complejidad creciente y un pensamiento
innovador. A diferencia de los rasgos innatos, la inteligencia no está predeterminada al
nacer; en cambio, se forma y desarrolla a través de la participación activa y la
participación del individuo:
• La inteligencia es un concepto complejo que abarca varios elementos, incluidos
diferentes componentes, estructuras interconectadas y dimensiones
interdependientes. Esta complejidad surge de la interacción entre la herencia
genética, la organización del cerebro y las diversas vías de desarrollo
experimentadas por individuos y grupos.
• La inteligencia está indudablemente influenciada por la genética, pero también se
ve muy afectada por el compromiso de un individuo con su entorno. Si se
modifican las circunstancias en las que se encuentra una persona, se abre la
posibilidad de que la inteligencia se altere y mejore.
• La inteligencia está intrincadamente entrelazada con varios factores, como la
personalidad y las circunstancias de un individuo. La capacidad del hombre para
pensar abarca una miríada de enfoques, ya que existen innumerables formas en
las que uno puede participar en una actividad inteligente. Además, la inteligencia
sirve como indicador y como resultado de los rasgos de personalidad únicos de
cada uno. Por lo tanto, comprender y desentrañar el comportamiento inteligente
de un individuo requiere un examen exhaustivo de su personalidad, motivación,
actitudes e historia personal.
Según el Dr. Feuerstein, la razón del bajo rendimiento académico es la utilización
ineficaz de las funciones cognitivas necesarias. En un esfuerzo por abordar este problema,
ha desarrollado un programa que tiene como objetivo mejorar, cultivar, refinar y
solidificar los requisitos previos fundamentales de los procesos cognitivos. El concepto
de modificabilidad busca guiar a los individuos hacia un nuevo estado del ser que