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Teoría matemática realista de Hans Freudenthal: Didáctica y paradigmas de la investigación
Juan Carlos Lázaro Guillermo, Erick Guitton Lozano, Juan Luis Pérez Marín, Milton Juan Carlos
Barreda Fachin, Rogger Wagner Peña Pasmiño, Julia Cecilia Yon Delgado
© Juan Carlos Lázaro Guillermo, Erick Guitton Lozano, Juan Luis Pérez Marín, Milton Juan
Carlos Barreda Fachin, Rogger Wagner Peña Pasmiño, Julia Cecilia Yon Delgado, 2024
Primera edición: Agosto, 2024
Editado por:
Editorial Mar Caribe
www.editorialmarcaribe.es
Av. General Flores 547, Colonia, Colonia-Uruguay.
RUC: 15605646601
Diseño de cubierta: Yelitza Sánchez Cáceres
Libro electrónico disponible en https://editorialmarcaribe.es/teoria-matematica-realista-de-hans-
freudenthal-didactica-y-paradigmas-de-la-investigacion/
Formato: electrónico
ISBN: 978-9915-9706-0-8
Aviso de derechos de atribución no comercial: Los autores pueden autorizar al público en general a
reutilizar sus obras únicamente con fines no lucrativos, los lectores pueden usar una obra para generar otra
obra, siempre y cuando se dé el crédito de investigación y, otorgan a la editorial el derecho de publicar
primero su ensayo bajo los términos de la licencia CC BY-NC 4.0.
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Sobre los autores y la publicación
Juan Carlos Lázaro Guillermo
https://orcid.org/0000-0002-4785-9344
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Erick Guitton Lozano
https://orcid.org/0000-0001-8819-0555
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Juan Luis Pérez Marín
https://orcid.org/0000-0002-3671-1782
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Milton Juan Carlos Barreda Fachin
https://orcid.org/0000-0001-6947-8078
Universidad Nacional de Ucayali, Perú
Rogger Wagner Peña Pasmiño
https://orcid.org/0000-0002-0549-0956
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Julia Cecilia Yon Delgado
https://orcid.org/0000-0003-4119-2072
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Libro resultado de investigación:
Publicación original e inédita, cuyo contenido es resultado de un proceso de investigación
realizado antes de su publicación, ha sido revisada por pares externos a doble ciego, el libro ha
sido seleccionado por su calidad científica y porque contribuye significativamente en el área del
saber e ilustra una investigación completamente desarrollada y completada. Además, la
publicación ha pasado por un proceso editorial que garantiza su estandarización bibliográfica y
usabilidad.
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Editorial Mar Caribe
Teoría matemática realista de Hans Freudenthal:
Didáctica y paradigmas de la investigación
Uruguay, 2024
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Índice
Introducción ...................................................................................................................................6
Capítulo 1 .....................................................................................................................................10
Matemático y Teórico: Hans Freudenthal ...............................................................................10
Matemática: actividad humana ....................................................................................... 13
La crítica .............................................................................................................................. 19
La reinvención ................................................................................................................... 23
La fenomenología en la didáctica ................................................................................... 25
La investigación para el desarrollo ................................................................................. 27
Capítulo 2 .....................................................................................................................................35
La educación matemática realista .............................................................................................35
Los Contextos ..................................................................................................................... 41
Los Modelos ....................................................................................................................... 42
La interacción ..................................................................................................................... 45
Las bases teóricas: EMR .................................................................................................... 47
Escenarios prácticos y circunstancias desafiantes ..................................... 48
El rol del docente ........................................................................................... 53
Fenomenología .................................................................................................................. 54
Capítulo 3 .....................................................................................................................................60
La contextualización de la matemática realista en educación ..............................................60
Principios orientadores ................................................................................. 65
Las claves ........................................................................................................ 67
Las perspectivas didácticas de las matemáticas ........................................................... 71
Educación Matemática: Teoría y Filosofía .................................................. 76
La psicología de la educación en matemática ............................................ 86
La resolución de problemas ......................................................................... 93
Capítulo 4 ...................................................................................................................................105
La didáctica fundamental ........................................................................................................105
Paradigmas ....................................................................................................117
Los paradigmas de la investigación .......................................................... 122
La consolidación de la didáctica de la matemática ................................. 127
Conclusión .................................................................................................................................132
Bibliografía .................................................................................................................................134
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Introducción
Freudenthal fue un apasionado defensor de la reforma de la educación matemática
tradicional. Su extensa labor como fundador y participante activo en grupos como el
Grupo Internacional de Educación en Psicología y Matemáticas (PME) y la Comisión
Internacional para el Estudio y Mejoramiento de la Enseñanza de las Matemáticas
(CIEAEM) contribuyó en gran medida a su popularidad. En estos foros expresó su
oposición a los enfoques pedagógicos y didácticos que prevalecieron a mediados del siglo
XX, como la teoría de objetivos operacionales, las pruebas de evaluación estructuradas,
la investigación educativa estandarizada y la aplicación directa del estructuralismo y
constructivismo de Piaget en el aula.
También criticó la separación entre la investigación educativa, el desarrollo
curricular y la práctica docente, así como la introducción de las matemáticas "modernas"
en las escuelas. Las publicaciones de Freudenthal sobre Educación Matemática abarcaron
muchos años, durante los cuales colaboró con otros miembros del Instituto para el
Desarrollo de la Educación Matemática (IOWO), que fundó en 1970 en la Universidad de
Utrecht. Hoy el instituto se conoce como Instituto Freudenthal. Juntos, los miembros del
grupo trabajaron en escuelas, junto con profesores habituales, estudiando el
conocimiento informal de los estudiantes y encontrando formas de conectarlo con las
actividades y modelos propuestos. Diseñaron y probaron secuencias, mejorándolas
continuamente a partir del análisis de su implementación. Este trabajo sentó las bases del
enfoque actual conocido como Educación Matemática Realista (EMR).
Hans Freudenthal, matemático y educador de ascendencia alemana, obtuvo su
doctorado en la Universidad de Berlín. Sin embargo, debido a su herencia judía, se vio
obligado a emigrar de Alemania durante el ascenso del régimen nazi. Encontró refugio
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en Los Países Bajos, donde continuó su carrera académica y desarrolló sus teorías
pedagógicas. Desafortunadamente tuvo que permanecer escondido durante los años de
la Segunda Guerra Mundial. Freudenthal creía que el proceso de aprendizaje debería
basarse en situaciones que requieren organización.
Criticó a Piaget por intentar imponer el desarrollo psicológico en el sistema de
categorías utilizado por los matemáticos, utilizando terminología matemática con
diferentes significados. Basándose en sus propias experiencias, Freudenthal sostenía que
el aprendizaje estaba más estrechamente relacionado con el desarrollo lingüístico que con
el desarrollo cognitivo. Le preocupaba cómo el trabajo de Piaget influyó en los
metodólogos de la enseñanza para traducir los hallazgos de la investigación en pautas de
instrucción para la educación matemática, transformando esencialmente una teoría
epistemológica en una teoría pedagógica.
Mantuvo conversaciones con Chevallart sobre su teoría de la transposición, que
creía que se basaba en el conocimiento experto de los matemáticos. Freudenthal
argumentó que las matemáticas que se enseñan en las escuelas no deberían reflejar
ninguna interpretación de ideas filosóficas o científicas, a menos que fueran de una época
mucho anterior.
La oposición de Freudenthal a la psicología, la pedagogía y la didáctica
predominantes en la época no carecía de fundamento. Tenía sus raíces en su profundo
conocimiento de la disciplina matemática, su pasión por enseñarla y su experiencia de
primera mano en el aula. Cuestionó la naturaleza artificial de los objetivos educativos y
los dominios de aprendizaje propuestos por Bloom, argumentando que tenían un
impacto negativo tanto en las pruebas escolares como en las pruebas de desarrollo. Acusó
a Bloom de concebir el aprendizaje como un proceso en el que el conocimiento
simplemente se vierte en las cabezas de los estudiantes. De manera similar, no estuvo de
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acuerdo con la opinión de Gagné de que el aprendizaje es un proceso continuo que
progresa desde estructuras simples a estructuras complejas.
Freudenthal creía que el aprendizaje implicaba saltos repentinos de reinvención,
demostrados por los estudiantes que experimentaban momentos "ajá", desarrollaban
atajos en sus estrategias, cambiaban sus perspectivas y utilizaban modelos de distintos
niveles de formalización. Sostuvo que el aprendizaje en realidad pasa de estructuras ricas
y complejas del mundo real a las estructuras más generales, abstractas y formales de las
matemáticas. Aunque las referencias de Freudenthal a autores no matemáticos fueron
limitadas, reconoció influencias de Decroly, cuyos intereses se alineaban con su propia
teoría del aprendizaje de las matemáticas en contextos de la vida real, y Dewey, con quien
vio similitudes en la idea de reinvención guiada. También se inspiró en Pierre y Dina Van
Hiele, incorporando sus niveles de matematización en su trabajo sobre el desarrollo del
pensamiento geométrico y su didáctica. Además, estuvo influenciado por la pedagogía
fenomenológica de Lagenveld, la didáctica intuitiva de Castelnuovo E., la educación
progresista de Petersen, Kry Van Perreren y las teorías socioculturales de Europa del Este.
La Educación Matemática Realista, presentada en este libro, no pretende ser una
teoría integral del aprendizaje como el constructivismo, sino que es una filosofía integral
(según Freudenthal) que se implementa a través de un conjunto de teorías de enseñanza
específicas para temas matemáticos. Las ideas centrales de este enfoque son las
siguientes: - Las matemáticas se consideran una actividad humana (lo que Freudenthal
denomina matematización) y, por lo tanto, deben ser accesibles a todos. - El desarrollo de
la comprensión matemática se produce en diferentes etapas donde los contextos y
modelos juegan un papel importante.
Este desarrollo se facilita mediante el proceso de reinvención guiada, dentro de un
entorno cognitivo diverso. - Desde una perspectiva curricular, la reinvención guiada de
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las matemáticas como actividad de matematización requiere el uso de la fenomenología
didáctica como metodología de investigación.
Se trata de buscar contextos y situaciones que generen la necesidad de
organización matemática. La historia de las matemáticas y las invenciones y
producciones matemáticas espontáneas de los estudiantes sirven como fuentes
principales para esta búsqueda. Estos conceptos, comúnmente conocidos como Principios
de la Educación Matemática Realista, se explican con más detalle a continuación: El
Principio de Actividad enfatiza que las matemáticas deben verse como una actividad
humana a la que se puede acceder y aprender mediante la participación activa.
Según Freudenthal, enseñar el proceso de la actividad matemática es más
importante que enseñar el resultado final. La atención no debe centrarse únicamente en
aprender algoritmos o conceptos, sino en el proceso de algoritmización, algebrización,
abstracción, formalización y estructuración. De acuerdo con este principio, las
matemáticas deben ser accesibles a todos los estudiantes, reconociendo que no todos
necesitan seguir carreras en matemáticas. El objetivo es que los estudiantes desarrollen
habilidades matemáticas y de pensamiento crítico para aplicarlas a problemas cotidianos.
El énfasis está en brindar acceso a conocimientos, habilidades y disposiciones a
través de situaciones de la vida real, descubriendo los procesos ocultos dentro de los
productos matemáticos. Freudenthal se inspira en las actividades de los matemáticos, ya
sea en matemáticas puras o aplicadas, que se dedican a la resolución y búsqueda de
problemas y a la organización de contenidos relacionados con conceptos matemáticos e
información del mundo real.
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Capítulo 1
Matemático y Teórico: Hans Freudenthal
A lo largo de su carrera profesional, las perspectivas de Hans Freudenthal sobre la
reforma educativa divergieron de casi todos los enfoques contemporáneos. Cuestionó las
"nuevas" matemáticas, los objetivos operativos, los rígidos métodos de evaluación, la
investigación cuantitativa empírica estandarizada y las estrictas divisiones entre
investigación, desarrollo e implementación curriculares. Curiosamente, si bien sus ideas
inicialmente fueron vistas como rebeldes, ahora han ganado una aceptación generalizada.
Esto sugiere el importante papel que jugó Hans Freudenthal no sólo en la educación
matemática sino también en la teoría del currículum y la investigación metodológica.
Además de su reputación como investigador matemático, Freudenthal también
profundizó en las tradiciones educativas y psicológicas de Europa y Estados Unidos,
haciendo sus propias contribuciones a la educación matemática. Hoy en día, es
ampliamente reconocido como uno de los educadores matemáticos más influyentes de
su tiempo. En este trabajo pretendemos destacar algunas de las ideas de Freudenthal,
aunque es imposible abarcarlas todas. Nos centraremos en la pedagogía y la teoría
curricular, explorando aspectos del trabajo de Freudenthal y las teorías que son
relevantes desde estas perspectivas.
Existen diferencias notables entre la teoría curricular desarrollada por los
educadores de Estados Unidos y Europa, a pesar de los argumentos de que abordan
cuestiones similares. Estas diferencias surgen de disparidades fundamentales en los
antecedentes culturales, filosóficos e institucionales. En Europa, la teoría pedagógica
incluye el concepto de Didáctica, que se considera una forma de humanidades.
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Esta perspectiva se basa en la práctica de la educación, centrándose en la educación
realista y la teoría fenomenológica de Bildung, que abarca la formación de la
personalidad del individuo. Va más allá de la mera transmisión de conocimientos y
también enfatiza el desarrollo de normas, valores y habilidades necesarias para ser un
"buen" ciudadano o parte de una élite intelectual. Por otro lado, Ausbildung se refiere a
la formación profesional y profesional. La didáctica en este contexto se ocupa
principalmente de teorías sobre el propósito y el contenido de la educación y la
instrucción.
En los Países Bajos, la didáctica está influenciada por la pedagogía fenomenológica
de la Geisteswissenschaftliche, como lo ejemplifica el trabajo de Langeveld en la
Universidad de Utrecht en 1965. Si bien, esta perspectiva perdió importancia en los años
60 y 70, lo que llevó al reemplazo gradual de una perspectiva general. didáctica con
modelos formales de aprendizaje y enseñanza popularizados por psicólogos educativos
estadounidenses como Robert Glaser, Robert de Cecco y Benjamin Bloom. A pesar de este
cambio, el contenido de la didáctica desarrollada en las facultades e institutos de
matemáticas y ciencias de la educación no quedó completamente eclipsado por este
movimiento.
A pesar de no mencionar nunca a los estudiantes como Wolfgang Klafki, las
preguntas de Freudenthal sobre qué se debe enseñar en las materias escolares, con qué
propósito y para quién son similares a las planteadas por Klafki. La creencia de
Freudenthal en "las matemáticas como actividad humana" puede verse como una
representación de una Geisteswissenschaftliche, una teoría fenomenológica de la
educación matemática que se centra en los aspectos prácticos de la enseñanza y la
educación en lugar de simplemente transmitir conocimientos matemáticos preexistentes.
Algunas de las ideas principales de Freudenthal, como la "reinvención" y su crítica de la
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"inversión antididáctica" de la instrucción deductiva tradicional, pueden haber sido
influenciadas por la educación progresista y el movimiento de reforma pedagógica.
Figuras como Peter Petersen y María Montessori probablemente desempeñaron un papel
en la configuración de estas ideas.
Según Freudenthal, la teoría curricular no es un conjunto fijo de teorías y
propósitos, sino que depende de procesos. El término "plan de estudios" se utiliza a
menudo junto con cambio o desarrollo, como desarrollo curricular o desarrollo de
investigaciones. Para Freudenthal, la teoría del currículum es un esfuerzo práctico que
puede conducir al surgimiento de nuevas ideas teóricas. Él cree que el desarrollo
curricular no debería estar dirigido por líderes académicos, sino que debería implicar la
colaboración entre profesores y estudiantes en las escuelas. Schwab comparte ideas
similares, quien defiende el currículo como "práctica" y desafía la teoría curricular
dominante de su época. Como resultado, existen similitudes entre ciertas ramas del
enfoque anglosajón de la teoría curricular y la comprensión del currículo de Freudenthal
(Gravemeijer y Terwel, 2000).
Sin embargo, en los escritos de Freudenthal suele haber una connotación negativa
asociada con el término "curriculum". Describe el movimiento curricular anglosajón
dominante como una teoría conductista y verticalista, refiriéndose a ella como
"boxología". Por el contrario, Freudenthal presenta su propia perspectiva del currículo
como un proceso, al que denomina desarrollo educativo. Mientras que el desarrollo
curricular se centra en la creación de materiales curriculares, Freudenthal busca ir un
paso más allá promoviendo cambios en la enseñanza en el aula a través del desarrollo
educativo.
Por lo tanto, el desarrollo educativo va más allá del diseño instruccional y abarca
una innovación estratégica integral. Esta innovación se basa en una filosofía educativa
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explícita e implica el desarrollo de diversos materiales como parte de la estrategia general.
La investigación desempeña un papel crucial a la hora de impulsar todo este proceso,
alineándose bien con la tradición pedagógica. Específicamente, se emplea investigación
cualitativa e interpretativa, a partir de experiencias docentes en clases individuales. El
diálogo entre investigadores, desarrolladores de planes de estudio y profesores ocupa
una posición central en este enfoque.
Matemática: actividad humana
Freudenthal era conocido por su oposición a las "nuevas matemáticas" de la
década de 1960, que se basaban en las matemáticas modernas y la teoría de conjuntos.
Creía en la pedagogía tradicional y criticaba el nuevo enfoque porque creía que
descuidaba lo que se debía enseñar y cómo se debía enseñar. Reconoció que las
matemáticas se caracterizan por su generalidad y amplia aplicabilidad, pero también vio
la abstracción como un problema en la enseñanza. Si bien las matemáticas abstractas son
flexibles en un sentido objetivo, pueden no ser útiles para personas que no pueden aplicar
esta flexibilidad a sus propias vidas. Freudenthal argumentó que las matemáticas
deberían enseñarse como una herramienta útil, pero no simplemente enseñando
conceptos matemáticos y luego aplicándolos. Creía que el orden de la enseñanza era
importante y que las matemáticas debían enseñarse mediante la matematización. Este
enfoque enfatiza el proceso de hacer matemáticas en lugar de centrarse únicamente en el
resultado final. En la educación matemática tradicional, el punto de partida es a menudo
el resultado de la actividad matemática de otros, lo que Freudenthal vio como una
inversión antididáctica. Creía que la enseñanza debería comenzar con la actividad en sí y
no con el resultado final.
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La búsqueda de las matemáticas implica tanto la resolución de problemas como el
establecimiento de una disciplina estructurada. Para resolver eficazmente problemas del
mundo real, es necesario organizarlos y abordarlos mediante patrones matemáticos.
Asimismo, las matemáticas en sí mismas requieren organización, ya sea organizando
resultados nuevos o existentes, ya sean propios o de otros, para mejorar la comprensión.
Esto puede implicar explorar nuevas ideas, examinar contextos más amplios o aplicar un
enfoque axiomático, como sugirió Freudenthal en 1971.
El enfoque de Freudenthal sobre la matematización incluye tanto "temas de la
realidad" como "temas matemáticos", abarcando tanto las matemáticas aplicadas como
las matemáticas puras. Esto lo diferencia de otros educadores matemáticos que también
enfatizan la actividad matemática pero basan su discurso en el discurso de los
investigadores matemáticos puros. La descripción que hace Freudenthal de la actividad
matemática como modelo para la educación matemática difiere de la anterior en dos
aspectos:
• En primer lugar, incorpora matemáticas aplicadas o el proceso de utilizar las
matemáticas para resolver problemas del mundo real.
• En segundo lugar, desplaza el foco de la estructura de la actividad a la actividad
misma y sus resultados.
• Además, el concepto de "discurso" se refiere a una práctica social en la que el acto
de matematizar otorga una importancia significativa al compromiso mental.
La definición integral de Freudenthal de las matemáticas como un esfuerzo
humano se alinea más efectivamente con un discurso práctico, como el que se encuentra
en las matemáticas aplicadas. En este tipo de discurso, hay un mayor énfasis en la
efectividad y la eficiencia, y menos atención en conjeturas especulativas sin un objetivo
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claro. Él emplea el término "matematizar" de manera integral, abarcando tanto la
organización como la aplicación de principios matemáticos. Al seleccionar la palabra
"organizar", Freudenthal transmite que matematizar implica más que simplemente
traducir conceptos en un sistema estructurado de símbolos. Además, el acto de organizar
el tema en sí debe conducir al desarrollo de una representación simbólica.
La precisión también es un aspecto clave de la matematización. Las matemáticas
son conocidas por su precisión y exactitud, y al aplicar el razonamiento matemático,
podemos asegurarnos de que nuestras soluciones sean precisas y estén libres de errores.
Utilizamos herramientas matemáticas, como fórmulas, ecuaciones y cálculos, para llegar
a resultados precisos y confiables. Al matematizar, podemos evitar conceptos erróneos e
interpretaciones erróneas, lo que lleva a una comprensión matemática más precisa.
Cuando hablamos de hacer algo "más matemáticamente", nos referimos al proceso
de aplicar principios y conceptos matemáticos de una manera que enfatice la generalidad,
la certeza, la precisión y la brevedad. La generalidad se refiere a la capacidad de aplicar
ideas matemáticas en diversos contextos y situaciones. Al matematizar, podemos
reconocer patrones, identificar relaciones y hacer conexiones que se extienden más allá
de ejemplos específicos. Esto nos permite resolver una amplia gama de problemas y
comprender los principios subyacentes que los rigen. La certeza es otra característica de
la matematización.
Al abordar un problema matemáticamente, nos esforzamos por lograr un
razonamiento lógico y soluciones basadas en evidencia. Nos basamos en las reglas y
principios de las matemáticas para guiar nuestro pensamiento y garantizar que nuestras
conclusiones sean confiables y estén bien fundadas. Las matemáticas tienen un lenguaje
y un simbolismo únicos que nos permiten expresar ideas y conceptos complejos de
manera concisa. Al matematizar, nuestro objetivo es utilizar este lenguaje de manera
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efectiva, utilizando símbolos, notación y explicaciones concisas para comunicar ideas
matemáticas de manera eficiente. Esto permite una comunicación más clara y un enfoque
más ágil para la resolución de problemas:
• Por generalidad: generalizaciones (observación de analogías, clasificaciones,
estructuras)
• Para establecer certeza, es crucial participar en un proceso de reflexión,
justificación y prueba. Esto se puede lograr empleando un enfoque sistemático,
que implica desarrollar y probar conjeturas, hipótesis o teorías. Al examinar
minuciosamente la evidencia y someterla a un escrutinio riguroso, se puede
determinar la validez y confiabilidad de las conclusiones extraídas. Al enfatizar la
importancia del pensamiento crítico y el razonamiento lógico, este enfoque
sistemático garantiza que la certeza no se suponga simplemente, sino que se
fundamente mediante un análisis sólido y riguroso.
• Para garantizar la precisión, es importante utilizar varios métodos, como modelar,
simbolizar y definir, para limitar las interpretaciones y evaluar la validez de la
información.
• Para mantener la concisión, es fundamental simbolizar y esquematizar, lo que
implica crear procedimientos y notaciones estandarizadas.
Cuando se mira desde esta perspectiva, el acto de matematizar objetos
matemáticos y el acto de matematizar cuestiones del mundo real tienen características
similares. Este es un concepto crucial para Freudenthal, ya que sugiere que la educación
de los niños en matemáticas debe centrarse en la aplicación de principios matemáticos a
situaciones cotidianas. Los niños no son capaces de matematizar las matemáticas en sí,
ya que no tienen experiencia directa con objetos matemáticos. De similar forma, cuando
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los estudiantes matematizan objetos disciplinarios del mundo real, se familiarizan más
con el uso de enfoques matemáticos para resolver problemas en su vida diaria. Esto
también se relaciona con la idea de Freudenthal de "encontrar problemas", que implica
tener una mentalidad matemática que comprenda las fortalezas y limitaciones del uso de
las matemáticas en diferentes situaciones.
La noción de "matematizar la realidad" es un aspecto central del concepto de
"matemáticas para todos". Freudenthal reconoce que no todos los estudiantes se
convertirán en matemáticos en el futuro, pero enfatiza que las matemáticas que aprenden
deben ser aplicables a la resolución de problemas cotidianos. Por lo tanto, es importante
priorizar enseñar a los estudiantes cómo abordar la resolución de problemas utilizando
métodos matemáticos. Este objetivo se puede combinar con la meta de que los estudiantes
apliquen conceptos matemáticos a situaciones que sean relevantes para sus propias
experiencias. Desde esta perspectiva, no sorprende que Freudenthal critique fuertemente
el concepto de transposición didáctica, propuesto por Chevallard (1985), que se basa en
el conocimiento experto de los matemáticos. Freudenthal sostiene que las matemáticas
que se enseñan en las escuelas no deberían ser una mera traducción de ideas filosóficas o
científicas, a menos que sean de una época mucho anterior (Gravemeijer y Terwel, 2000).
Keitel (1987) sostiene que el objetivo principal es desarrollar un currículo de
matemáticas que sea accesible a todos los individuos y al mismo tiempo conserve la
esencia de las matemáticas mismas. Para lograrlo, sugiere que los profesores a veces
deberían alejarse de los problemas del mundo real y centrarse en los conceptos,
estructuras y sistemas que se han establecido y probado dentro de la ciencia matemática.
Partiendo del concepto de matematización de Freudenthal, se introduce la idea de
matematización horizontal y vertical.
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La matematización horizontal implica transformar un problema contextual en un
problema matemático, mientras que la matematización vertical implica llevar la
disciplina matemática a un nivel superior. La matematización vertical puede fomentarse
presentando problemas que tengan soluciones matemáticas en varios niveles de
complejidad. Freudenthal (1991) describe esta distinción explicando que la
matematización horizontal cierra la brecha entre el mundo real y el reino de los símbolos.
En el mundo real, los individuos viven, actúan y experimentan diversas
emociones, mientras que en el mundo simbólico los símbolos se crean, manipulan y
comprenden mediante procesos mecánicos, integrales y reflexivos. El mundo real
representa lo que se percibe como realidad, mientras que el mundo simbólico representa
la abstracción. Sin embargo, los límites entre estos dos mundos no están claramente
definidos y pueden fluctuar. Freudenthal enfatiza que la distinción entre matematización
horizontal y vertical no es rígida, ya que la percepción de la realidad varía de persona a
persona. Define la realidad como una combinación de interpretación y experiencia
sensorial, sugiriendo que las matemáticas también pueden ser parte de la realidad de un
individuo. El concepto de realidad y lo que se considera sentido común no es fijo, sino
que está influenciado por procesos de aprendizaje personal. Por lo tanto, la afirmación de
Freudenthal de que "las matemáticas comienzan y permanecen en la realidad" debe
interpretarse como un reconocimiento de la naturaleza dinámica de la realidad y su
relación con las matemáticas.
En la perspectiva de Freudenthal, los conceptos de "sentido común" y "realidad"
son subjetivos y dependen del punto de vista del individuo. Esto significa que la
distinción entre matematización vertical y horizontal también debe evaluarse desde la
perspectiva del individuo. El hecho de que una actividad matemática específica se
considere "vertical" u "horizontal" depende de la naturaleza de la actividad y de la
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comprensión de las matemáticas por parte de la persona. Por ejemplo, una actividad
simbólica puede ser rutinaria para un estudiante, categorizándola como matematización
horizontal.
Sin embargo, si la misma actividad simbólica implica un nuevo invento para otro
estudiante, se consideraría una matematización vertical. Esto último es más evidente
cuando un estudiante reemplaza su método de resolución o forma de describir por un
enfoque más sofisticado, organizado y matemático. Estos cambios pueden impulsarse
reflexionando sobre los métodos de resolución y profundizando la comprensión.
Participar en debates con toda la clase que exploren diferentes métodos de solución,
interpretaciones e ideas puede contribuir en gran medida a estos cambios. Así, durante
dichas discusiones, los estudiantes pueden descubrir métodos de solución alternativos
que sean más ventajosos que los actuales. Esto resalta la importancia del diálogo en la
matematización, enfatizando que no es únicamente una actividad individual.
Asimismo, Freudenthal también enfatiza la importancia del trabajo en grupo en la
educación matemática. Introdujo por primera vez el concepto de aprendizaje en grupos
pequeños en 1945 y más tarde abogó por la educación matemática en grupos diversos.
Según Freudenthal, tanto los estudiantes trabajadores como los perezosos pueden
beneficiarse del aprendizaje colaborativo. Sorprendentemente, al revisar sus obras desde
la década de 1940 en adelante, Freudenthal descubrió que había abogado
consistentemente por el aprendizaje cooperativo en grupos pequeños y diversos.
La crítica
La reputación de Freudenthal no se basa únicamente en sus propias ideas teóricas,
sino también en su crítica de la investigación "tradicional". En la comunidad de
investigación educativa de Los Países Bajos, encontró una fuerte oposición por su postura
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contra quienes se basaban en una metodología empirista y en complicados análisis
estadísticos. Aprovechando su experiencia como matemático, Freudenthal expuso
hábilmente las importantes deficiencias en la aplicación de las matemáticas y la
estadística en numerosos casos de investigación empírica supuestamente "alta".
La postura de Freudenthal contra gran parte de la investigación educativa surge
de su creencia de que las interrupciones en el proceso de aprendizaje son cruciales. Estas
perturbaciones pueden verse como atajos u oportunidades para obtener perspectivas
diferentes. Según Freudenthal, es a través de estas interrupciones que se puede
determinar si un estudiante ha alcanzado un determinado nivel de comprensión. Para
identificar estas interrupciones, los estudiantes individuales deben ser monitoreados de
cerca. Este enfoque ignora la importancia de los grupos y la eliminación de las
perturbaciones individuales. Además, la atención debe centrarse en observar el proceso
de aprendizaje en lugar de probar el logro de los objetivos de aprendizaje. En general,
Freudenthal argumentó que los métodos de investigación tradicionales no podían
abordar adecuadamente las preguntas educativas sobre el propósito y el público objetivo
de un tema en particular.
Freudenthal expresó más preocupaciones y objeciones hacia el movimiento de
pruebas y ofreció una segunda ronda de críticas. Su escepticismo giraba principalmente
en torno a los métodos empleados en las pruebas y criticaba duramente el impacto
perjudicial que los exámenes y las técnicas de prueba tenían en el campo de la educación.
El quid de su crítica se centró en la falta de comprensión sobre el tema que se estaba
probando y el excesivo énfasis puesto en la confiabilidad, sin tener en cuenta la
importancia de la validez. Es evidente que Freudenthal no compartía la misma
perspectiva positiva y entusiasmo que los defensores de las pruebas objetivas.
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En un sentido más amplio, la crítica de Freudenthal a la investigación educativa se
centra en metodólogos que poseen un amplio conocimiento sobre los métodos de
investigación pero carecen de comprensión de la educación misma. Se opone
vehementemente a la división entre contenido y forma, argumentando que este enfoque
da como resultado modelos vacíos que requieren expertos para llenarlos de sustancia
educativa. Estos modelos no consideran si el contenido realmente se alinea con los
principios educativos (Gravemeijer y Terwel, 2000). Además, expresa objeciones
comparables hacia las teorías educativas integrales.
Según Freudenthal, las teorías generales de la educación no se alinean con las
necesidades específicas de la educación matemática e incluso pueden ser perjudiciales
para el tipo de educación que pretenden apoyar. Critica específicamente las teorías
educativas propuestas por Bloom, Gagné y Piaget. Freudenthal sostiene que la
Taxonomía de objetivos educativos de Bloom no es adecuada para la educación
matemática porque se centra en la clasificación más que en el proceso activo de
estructuración de la realidad. Él cree que los estudiantes obtienen control sobre la
realidad a través de este proceso de estructuración, y las categorías artificiales de la
Taxonomía de Bloom tienen un impacto negativo tanto en las pruebas escolares como en
las de desarrollo.
También rechaza la estrategia de aprendizaje de dominio de Bloom, acusándola de
tratar el aprendizaje como un proceso pasivo de transferencia de conocimiento. De
manera similar, no está de acuerdo con el concepto de análisis de tareas de Gagné, ya que
no se alinea con su visión de las matemáticas como una actividad humana. Freudenthal
se pregunta si las matemáticas son realmente tan diferentes de otras disciplinas y expresa
el deseo de que alguien con conocimientos tanto de matemáticas como de psicología
cierre esta brecha.
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Mientras Gagné ve el aprendizaje como una progresión continua desde estructuras
simples a complejas, Freudenthal lo ve como un proceso discontinuo desde las
estructuras ricas y complejas de la vida cotidiana hasta las estructuras abstractas de las
matemáticas simbólicas. Cree que los puntos de partida para el aprendizaje deben ser
situaciones que requieran organización y que los alumnos deben desarrollar sus propias
categorías en función de sus necesidades.
Freudenthal también critica a Piaget por su enfoque de las matemáticas y sus
experimentos. Sin embargo, lo que más le preocupa es cómo la obra de Piaget influye en
las metodologías de enseñanza al basar sus prácticas en teorías que han aprendido de un
psicólogo. Sostiene que estas metodologías a menudo malinterpretan o malinterpretan
las presuposiciones matemáticas de Piaget en lugar de basarse en los hallazgos reales de
sus experimentos.
En su trabajo, Freudenthal profundiza en el concepto de constructivismo y ofrece
tanto crítica como apoyo a esta epistemología. Si bien critica la epistemología
constructivista como observador, sostiene que su propia perspectiva como actor se alinea
con esta epistemología. Específicamente, ve las matemáticas desde la perspectiva de un
matemático en activo y las caracteriza como una forma bien desarrollada de sentido
común, que está estrechamente vinculada a su idea de una "realidad ampliada". En
términos de educación, Freudenthal tiene como objetivo garantizar que las experiencias
de los estudiantes les ayuden a internalizar el conocimiento matemático y verlo como una
extensión perfecta de sus experiencias de la vida cotidiana. Con base en esto, se puede
inferir que Freudenthal está en realidad más alineado con el constructivismo de lo que
parece inicialmente, a pesar de sus críticas al mismo.
La perspectiva de Freudenthal sobre la educación matemática enfatiza la
importancia de ver las matemáticas como algo más que una simple serie de pasos o
Pág. 23
procedimientos, sino más bien como un esfuerzo humano dinámico. Si bien, es crucial
reconocer que participar en esta actividad también produce conocimientos y conceptos
matemáticos. En consecuencia, esto plantea la cuestión de cómo diseñar una educación
matemática que combine efectivamente estos dos aspectos. Para abordar esto,
Freudenthal propuso varios conceptos, incluidos los conceptos de "invención guiada",
"niveles de procesos de aprendizaje" y "fenomenología didáctica", todos los cuales ofrecen
ideas valiosas para abordar este desafío.
La reinvención
Según el principio de reinvención, el proceso de aprendizaje puede estructurarse
de manera que permita a los estudiantes encontrar y comprender las matemáticas. El
desarrollo del plan de estudios comienza con una idea o concepto y, a través de la
experimentación y la resolución personal de problemas, los estudiantes pueden llegar a
sus propias soluciones. El estudio de la historia de las matemáticas puede servir como
una herramienta útil en este proceso, guiando a los estudiantes a lo largo del viaje de
aprendizaje.
Este enfoque, conocido como "reinvención guiada", enfatiza la importancia del
proceso de aprendizaje en sí en lugar de simplemente adquirir conocimientos. Alienta a
los estudiantes a apropiarse del conocimiento que adquieren y a sentirse responsables de
él. Para facilitar esto, se debe brindar a los estudiantes la oportunidad de construir sus
propias bases de conocimiento matemático basándose en sus experiencias de aprendizaje.
Freudenthal sugiere que la historia de las matemáticas puede ser una fuente de
inspiración para los estudiantes y que el principio de reinvención también puede verse
influenciado por métodos de solución informales. A menudo, las estrategias informales
de los estudiantes pueden verse como anticipaciones o precursoras de procesos formales.
Pág. 24
Este proceso de matematización, similar a la búsqueda de soluciones, es una forma de
reinvención. Al seleccionar problemas contextuales para los estudiantes, es importante
elegir aquellos que permitan una variedad de métodos de solución, preferiblemente
aquellos que reflejen una posible ruta de aprendizaje.
Freudenthal cree que el enfoque inventivo de la enseñanza es una expansión del
método socrático. Se refiere a los "experimentos mentales" como una forma de ilustrar
esto, donde los autores de libros de texto se imaginan interactuando con los estudiantes
e imaginando sus posibles reacciones y resultados. Estos experimentos planificados
implican anticipar las reacciones de los estudiantes y diseñar estrategias para abordarlas.
El objetivo es que los estudiantes reinventen el tema de enseñanza a través de la
interacción y el compromiso. Freudenthal comenta que si bien la actividad de los
estudiantes en el método socrático es ficticia, deben sentir que su comprensión e ideas se
desarrollan durante el proceso de enseñanza, con el maestro sirviendo de facilitador.
Para Freudenthal, el método socrático brinda a los estudiantes un papel más activo
en el proceso de construcción de su propio conocimiento. Sin embargo, existe una
similitud entre ambos enfoques a la hora de anticipar y planificar posibles caminos de
aprendizaje. Esta idea de anticipación y planificación se discute en relación con diversos
desafíos que deben abordarse, como la actividad mental de los estudiantes y las acciones
necesarias que deben ocurrir para que el proceso de reinvención sea factible.
Freudenthal amplía la idea de reinvención introduciendo el concepto de
"matematización progresiva". Este concepto involucra tanto la perspectiva de reinvención
del observador como la perspectiva del estudiante de experimentar la "matematización
progresiva" como actor. Los estudiantes comienzan matematizando un tema del mundo
real y luego pasan a analizar su propia actividad matemática. Este paso es crucial ya que
incluye un componente vertical, explicado por Freudenthal en relación con la teoría de
Pág. 25
Van Hiele, que establece que la actividad en un nivel se convierte en objeto de análisis en
el siguiente nivel.
El cambio de "operador" a "objeto" significa la transición de un enfoque basado en
procedimientos a un enfoque en el objeto mismo, como lo observa Sfard (1995) en el
desarrollo histórico de las matemáticas y la materialización descrita por Ernest (1991). La
teoría de niveles de Freudenthal forma la base de la educación matemática realista (EMR),
que enfatiza el surgimiento de modelos operativos en la resolución de problemas
situacionales y su transformación gradual en entidades que sirven como modelos para el
razonamiento matemático formal (Gravemeijer y Terwel, 2000).
La fenomenología en la didáctica
Freudenthal enfatiza la importancia de hacer coincidir los objetos matemáticos con
los fenómenos del mundo real que representan. En contraste con el enfoque de
adquisición de conceptos, que implica el uso de materiales tangibles para encarnar
conceptos, él sugiere utilizar situaciones fenomenológicamente ricas: situaciones que
están organizadas de manera sistemática. En este enfoque, la selección de situaciones
debe hacerse cuidadosamente para garantizar que puedan organizarse y comprenderse
utilizando los objetos matemáticos que los estudiantes están aprendiendo a construir.
El objetivo final es explorar cómo el "objeto de pensamiento" (nooumenon)
describe y analiza el "fenómeno" de una manera que lo haga accesible para el cálculo y
las actividades de pensamiento. Este tipo de análisis fenomenológico constituye la base
de una fenomenología didáctica que profundiza en la perspectiva educativa del análisis
fenomenológico. Por ejemplo, para que los estudiantes comprendan el concepto de
longitud como un objeto matemático, deben enfrentarse a situaciones en las que la
longitud es un principio organizador.
Pág. 26
En el marco de la didáctica fenomenológica, es necesario investigar la idoneidad
de situaciones donde se aplica un tema matemático particular, con el fin de determinar
su potencial impacto en el proceso de matematización progresiva. Si entendemos las
matemáticas como un medio práctico de resolución de problemas, es razonable esperar
que las aplicaciones actuales de las matemáticas impliquen problemas que destaquen
estos procesos. Por tanto, las matemáticas formales pueden verse como un proceso de
generalización y formalización de conceptos y procedimientos de resolución de
problemas en diversas situaciones. El objetivo de la investigación fenomenológica, por lo
tanto, es identificar situaciones problemáticas que puedan generalizarse y descubrir
situaciones que provoquen procedimientos de solución paradigmáticos, que sirvan como
base para la matematización vertical. Al identificar fenómenos que pueden
matematizarse, podemos comprender mejor cómo fueron concebidos originalmente.
Al considerar la investigación, Hans Freudenthal a menudo se preguntaba cuál era
su propósito, y siempre llegaba a la conclusión de que el propósito era lograr un cambio.
La educación debe adaptarse continuamente a la sociedad en constante cambio a la que
sirve. Por lo tanto, el concepto de "cambio" es más preferible que el de "reforma", ya que
lo que constituye una mejor educación depende de las necesidades y prioridades de la
sociedad en un momento dado y de cómo evoluciona la sociedad.
La educación debe cambiar en consecuencia. En este sentido, una función
importante del investigador es trazar el camino del cambio. Freudenthal creía que la
investigación no debería desconectarse del aula, a diferencia de la investigación
tradicional. Más bien, la búsqueda del camino del cambio debería comenzar en el aula.
Esta filosofía de los objetivos y funciones de la investigación guió el enfoque de la
investigación en el Instituto para el Desarrollo de la Educación Matemática (IOWO),
dirigido por Freudenthal.
Pág. 27
En el momento de la creación de la IOWO, el modelo predominante en la
comunidad educativa alemana era el modelo de I+D. Este modelo enfatizaba una
separación entre el desarrollo y la implementación del currículo, lo que contradecía el
enfoque de Freudenthal sobre el "desarrollo educativo". El concepto de desarrollo
educativo, tal como lo vio Freudenthal, abarcaba no sólo el desarrollo curricular sino
también el objetivo final de cambiar la práctica educativa. Así, el desarrollo educativo
implicó anticipar la implementación del plan de estudios desde el principio, así como
elegir un enfoque integral del cambio que abarcara la capacitación docente, el
asesoramiento, las pruebas de desarrollo y la formación de opiniones, todo ello basado
en la misma filosofía educativa.
En contraste con el movimiento curricular, Freudenthal integró investigación,
desarrollo, implementación y difusión. Como resultado de este enfoque, abogó por la
implicación de todos los actores desde el inicio, bajo la consigna de "un desarrollo
educativo en diálogo con el campo". El tipo de cambio que Freudenthal propugnaba
estaba arraigado en su creencia de que las matemáticas son una actividad humana. Si
bien, en el momento en que se lanzó la IOWO, se habían realizado pocas investigaciones
sobre este tipo de educación matemática. Por lo tanto, las cuestiones sobre cómo
desarrollar la instrucción debían abordarse durante el proceso de desarrollo mismo.
La investigación para el desarrollo
Al principio, nuestro matemático se mostró reacio a etiquetar el trabajo de la
IOWO como investigación. Creía que estaban observando como ingenieros, no como
investigadores. Sin embargo, más tarde se dio cuenta de que esta perspectiva separaba la
investigación del desarrollo educativo y no lograba captar la naturaleza interconectada
Pág. 28
del desarrollo en la "investigación del desarrollo". Según él, el nuevo conocimiento debe
estar justificado por el proceso mediante el cual se adquirió.
La esencia de la investigación sobre el desarrollo radica en hacer que el proceso
cíclico de desarrollo e investigación se experimente conscientemente y se informe con
claridad. Esto permite que otros, como los profesores, vuelvan sobre los pasos del
investigador en el proceso de aprendizaje. Freudenthal enfatiza la importancia de estar
constantemente consciente del proceso de desarrollo para garantizar la "rastreabilidad".
Para que los resultados de la investigación del desarrollo sean creíbles y transferibles, se
debe informar la reflexión sobre el proceso de desarrollo.
El investigador debe realizar experimentos mentales para comprender cómo
progresan los procesos de enseñanza y aprendizaje y luego encontrar evidencia en
experimentos de enseñanza para validar sus expectativas. La retroalimentación de la
experiencia práctica debería impulsar una interacción entre el desarrollo y la
investigación. Las ideas desarrolladas en papel deben ponerse en práctica
inmediatamente y los acontecimientos en el aula deben analizarse y aplicarse
consistentemente para desarrollar aún más el trabajo.
Este proceso de deliberación y prueba debería dar como resultado un producto
que esté fundamentado tanto teórica como empíricamente. Según Freudenthal, la
investigación sobre el desarrollo puede proporcionar a los profesores un marco para
informar sus propias decisiones. Dentro de este marco, los docentes pueden desarrollar
trayectorias de aprendizaje hipotéticas que consideren la situación actual del aula, así
como sus propios objetivos y valores. Los profesores pueden utilizar este marco como
punto de partida, firmemente arraigado en la tradición didáctica europea, para guiar su
enseñanza.
Pág. 29
Las investigaciones realizadas sobre evaluaciones nacionales han revelado que los
estudiantes de Los Países Bajos en los últimos años de la escuela primaria tienden a lograr
niveles más altos de éxito cuando interactúan con textos modernos en comparación con
los tradicionales. Sin embargo, es importante señalar que esta tendencia no se aplica a
temas como las mediciones y los algoritmos escritos. Estos hallazgos sugieren que el
enfoque estratégico de incorporar el desarrollo educativo en diálogo con el campo, tal
como se implementó en la introducción del plan de estudios y los libros de texto escolares
holandeses, es la fuerza impulsora detrás de este resultado positivo. De hecho, estudios
retrospectivos que examinan las innovaciones en la educación matemática tanto en la
escuela primaria como en la secundaria han identificado varios factores clave que
contribuyen a este éxito.
Un aspecto clave de este plan implicaría la revisión y renovación de los libros de
texto utilizados en educación matemática. Estos libros de texto se revisarían y
actualizarían cuidadosamente para alinearse con la nueva filosofía de la educación
matemática, incorporando enfoques de enseñanza innovadores y contenido atractivo.
Además, se llevaría a cabo una revisión exhaustiva de los exámenes para garantizar que
evalúen con precisión la comprensión y el dominio de los conceptos matemáticos de los
estudiantes. Esto implicaría revisar el formato y el contenido de los exámenes, así como
incorporar preguntas más abiertas y de resolución de problemas que promuevan el
pensamiento crítico y la aplicación del conocimiento matemático. Finalmente, la
investigación y el desarrollo desempeñarían un papel crucial a la hora de impulsar la
innovación en la educación matemática.
Al perfeccionar y mejorar continuamente el campo de la educación matemática, se
garantizaría un enfoque dinámico y con visión de futuro para la enseñanza y el
aprendizaje. Para lograr mejoras significativas y duraderas en la educación matemática,
Pág. 30
es necesario implementar un plan integral y ambicioso. El plan abarcaría varios
componentes clave, incluido el establecimiento de una filosofía sólida y transformadora
de la educación matemática que empodere e inspire tanto a estudiantes como a
profesores. Asimismo, implicaría la creación y el refinamiento de una amplia gama de
secuencias de instrucción, ejemplos y prototipos que involucren efectivamente a los
estudiantes y faciliten su comprensión de los conceptos matemáticos.
Estos materiales educativos se desarrollarían y actualizarían continuamente para
reflejar los últimos avances en técnicas pedagógicas e investigación educativa. Y, el
establecimiento de una comunidad de educación matemática serviría como una
infraestructura mediadora vital, facilitando el intercambio de mejores prácticas, recursos
e ideas entre los educadores. La comunidad proporcionaría una plataforma para el
diálogo y la colaboración, promoviendo la difusión de estrategias y enfoques de
enseñanza innovadores. Para apoyar la implementación de este plan, se organizarían
actividades de profesionalización para mejorar las habilidades y conocimientos de los
educadores de matemáticas. Lo que brinda oportunidades para el desarrollo profesional
continuo, así como fomentar la colaboración y la creación de redes dentro de la
comunidad de educación matemática. Para garantizar la adopción e implementación
generalizada de estas mejoras, se harían esfuerzos para aumentar la accesibilidad y
disponibilidad de recursos de educación matemática de alta calidad. Brindando
capacitación y apoyo integrales a los docentes que ya están en servicio, así como
desarrollar y difundir publicaciones que muestren métodos y estrategias de enseñanza
eficaces.
El desarrollo de la investigación desempeña un papel crucial a la hora de impulsar
las estrategias de innovación. Su objetivo principal es generar prototipos y teorías que
sirvan como recursos valiosos para formadores de docentes, autores de libros de texto y
Pág. 31
consultores escolares. Estos intermediarios, a su vez, facilitan la comunicación efectiva
entre investigadores y profesores. El principio fundamental que guía el desarrollo
educativo es el concepto de entablar un diálogo significativo con aplicaciones prácticas.
Significando que el Instituto pone gran énfasis en involucrar a diversas partes
interesadas, incluidos formadores de docentes, consultores, autores de textos,
investigadores, diseñadores de pruebas y los propios docentes, en el proceso de
investigación y desarrollo desde el principio. En lugar de aislarse en una torre de marfil,
el Instituto reconoce la importancia de incorporar conocimientos y experiencias del
mundo real en sus esfuerzos innovadores.
No es tarea fácil ubicar la obra de Freudenthal en los contextos de la didáctica y
los estudios curriculares debido a su estilo de escritura único, que carece de referencias a
los autores que lo han influido. Cuando se trata de didáctica, Freudenthal utiliza a
menudo este término para describir los procesos correctos de enseñanza y aprendizaje,
que él cree que deben estar arraigados en la realidad. Rechaza firmemente el enfoque
deductivo, al que denomina "la conversión antididáctica".
Según Freudenthal, la didáctica tiene que ver con los procesos involucrados en la
educación. Esto se alinea con el uso que hace Klafki del mismo término, ya que ambos se
inspiran en la teoría fenomenológica de Bildung como reforma pedagógica. Ambos
parten de la práctica de la educación como base y se esfuerzan por superar los aspectos
excluyentes y elitistas de la teoría Bildung en ciertos momentos de sus vidas
profesionales. Ambos enfatizan el lado práctico de la educación y abogan por la
escolarización integral como una reforma necesaria. Sin embargo, Klafki se centra
principalmente en las lecciones planificadas y la preparación de lecciones, donde el
proceso de aprendizaje puede no ser del todo real. Las preguntas fundamentales de
Pág. 32
Klafki giran en torno al contenido de Bildung, mientras que él presta menos atención a
los métodos y procesos de enseñanza.
Freudenthal menciona el término "curriculum", aunque no lo utiliza con tanta
frecuencia como la palabra "didáctica". En lo que respecta a su perspectiva sobre el
desarrollo curricular y el papel de la teoría, existe un parecido notable con el trabajo de
Joseph Schwab, quien ocupa una posición importante en la teoría curricular
estadounidense. En una línea similar, pero sin ninguna influencia de Schwab,
Freudenthal destaca la naturaleza única del trabajo curricular y la importancia del
diálogo entre los expertos en currículo y los profesores.
Él se opone firmemente a la idea de un sistema curricular rígido y rechaza
firmemente el concepto de empaquetar y organizar contenidos en estructuras
predeterminadas. Este punto de vista es particularmente digno de mención en una época
en la que la teoría curricular estaba influenciada predominantemente por un enfoque
conductual, y el método de I+D (Investigación, Desarrollo y Difusión) era aclamado como
la solución definitiva en Alemania y Los Países Bajos.
Asimismo, Freudenthal aboga por que las matemáticas sean vistas como una
actividad humana y fomenta la reinvención guiada. Esta filosofía de reforma humanista,
práctica, orientada a procesos, fenomenológica y pedagógica, que se analiza ampliamente
en el contexto del desarrollo curricular, distingue la postura de Freudenthal de la de
muchos de sus contemporáneos en el campo de la educación matemática. Sus creencias a
menudo chocaban con las de psicólogos de orientación conductista como Bloom y los
partidarios del movimiento de las "nuevas matemáticas", que proponían el desarrollo de
un plan de estudios para matemáticas basado en un sistema deductivo abstracto.
Pág. 33
Freudenthal, que fue educado en la tradición alemana de Bildung e influenciado
por ella, rechaza la idea de una forma exclusiva de educación reservada para un grupo
de élite separado de las masas. En cambio, aboga firmemente por "matemáticas para
todos" y se esfuerza por hacer que las matemáticas sean accesibles para todos los
individuos. Condena cualquier forma de ajustarse a las normas sociales y alinearse con
los efectos inevitables de los conceptos matemáticos.
Cree firmemente que los estudiantes con distintos niveles de capacidad en los
primeros años de la educación secundaria, que normalmente tiene entre 12 y 15 años en
el contexto holandés, no sólo deberían estar en la misma clase sino también seguir el
mismo plan de estudios. Consistente con sus creencias pedagógicas, enfatiza la
importancia de formar grupos de aprendizaje diversos. Muchas de las ideas de
Freudenthal siguen siendo objeto de debates continuos.
Los psicólogos, que ven el aprendizaje como un proceso informativo, se oponen
firmemente a las teorías educativas de esta naturaleza. De manera similar, hay casos de
oposición dentro de la comunidad de educación matemática a la idea fundamental de
que los estudiantes deben hacer la transición del mundo real al mundo de las
matemáticas. Los críticos argumentan que partir de experiencias de la vida real y
reinventar conceptos matemáticos es una pérdida de tiempo. Sin embargo, es importante
señalar que quienes se oponen a las ideas de Freudenthal tienen evidencia empírica
limitada para respaldar su punto de vista. Varias experiencias docentes han demostrado
el valor del enfoque de Educación Matemática Realista (EMR). Además, numerosos
estudios que investigan los efectos del plan de estudios de matemáticas influenciado por
las ideas de Freudenthal han demostrado que aprender matemáticas en contextos de la
vida real y dentro de diversos grupos es factible y eficaz.
Pág. 34
El impacto de las ideas de Freudenthal es evidente en todos los textos holandeses.
Además, existe evidencia práctica y empírica que respalda la viabilidad y eficiencia del
enfoque EMR. Uno de los argumentos más convincentes de Freudenthal a favor de la
EMR es que no todos los estudiantes se convertirán en matemáticos en el futuro; en
cambio, necesitarán principalmente habilidades matemáticas que les ayuden a resolver
problemas en situaciones de la vida cotidiana.
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Capítulo 2
La educación matemática realista
Las matemáticas están interconectadas con el mundo y la imagen de un
matemático está moldeada por las percepciones sociales. La perspectiva se refleja ahora
en los planes de estudio de muchos países y en las evaluaciones del Programa para la
Evaluación Internacional de Estudiantes (PISA). La alfabetización matemática, según
PISA, es la capacidad de un individuo para reconocer y comprender el papel de las
matemáticas en el mundo, emitir juicios matemáticos informados y utilizar las
matemáticas de una manera que satisfaga sus necesidades presentes y futuras como
ciudadano responsable y reflexivo.
Esta visión enfatiza la importancia de las matemáticas en la sociedad y su
aplicación práctica en diversos contextos. La influencia de Freudenthal se extiende más
allá de su carrera académica. Desempeñó un papel importante en el Grupo Internacional
de Educación en Psicología y Matemáticas, la revista Estudios Educativos en Matemáticas
y la Comisión Internacional para el Estudio y Mejora de la Enseñanza de las Matemáticas.
A través de sus numerosos escritos, expresó su oposición a los enfoques pedagógicos y
didácticos que surgieron a mediados del siglo XX, incluida la taxonomía de Bloom, las
evaluaciones estructuradas, los métodos cuantitativos en la investigación educativa, la
aplicación directa de las ideas de Piaget en el aula, la separación entre la investigación
educativa, desarrollo curricular y práctica docente, y la introducción de matemáticas
modernas o establecidas en las escuelas.
La Educación Matemática Realista (EMR) es un enfoque educativo desarrollado
desde finales de la década de 1960 por Hans Freudenthal y sus colegas en el Instituto
Pág. 36
Freudenthal para la Educación en Matemáticas y Ciencias de la Universidad de Utrecht
en Los Países bajos. Hans Freudenthal, un destacado matemático especializado en
topología, álgebra e historia de las matemáticas, se vio obligado a emigrar desde
Alemania debido al ascenso de los nazis. En Los Países Bajos se dedicó a promover
cambios en la enseñanza de las matemáticas no sólo dentro del país sino también en otras
naciones europeas.
Freudenthal publica sobre educación matemática desde 1948. A lo largo de los
años, trabajó con el Instituto para el Desarrollo de la Educación Matemática (IOWO), que
fundó en 1970 en la Universidad de Utrecht, junto con otros colaboradores. Este instituto
ha sentado las bases para el actual desarrollo y expansión del programa de Materiales y
Recursos Educativos (EMR). Treffers (1987) describe los principios en los que se basa la
EMR:
• Los principios incluyen un enfoque en la exploración fenomenológica, donde los
estudiantes están expuestos a fenómenos ricos y significativos para desarrollar
una comprensión intuitiva de los conceptos matemáticos.
• También se enfatiza el uso de modelos y símbolos, a medida que los estudiantes
avanzan desde nociones informales y ligadas al contexto hacia ideas matemáticas
más formales.
• Las construcciones y producciones propias de los estudiantes son valoradas y
utilizadas en el proceso de enseñanza, ya que sus experiencias personales
contribuyen al aprendizaje significativo.
• La interacción es otro aspecto clave, ya que los estudiantes pueden comparar y
contrastar sus aportaciones, reflexionando sobre el proceso de matematización.
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• Asimismo, es importante el entrelazamiento de ejes y temáticas curriculares, ya
que en la enseñanza de temas específicos se consideran las conexiones entre
diferentes áreas de la matemática. Por ejemplo, a la hora de enseñar estadística se
tienen en cuenta los conocimientos algebraicos o científicos necesarios, y al
introducir la noción de distribución se vincula con otros conceptos estadísticos.
Durante una presentación dirigida a educadores en el campo de las matemáticas,
Freudenthal, afirma que las matemáticas implican la resolución de problemas y la
organización de objetos de estudio, que pueden ser fenómenos del mundo real que
requieren la organización de patrones matemáticos para resolver problemas.
Alternativamente, pueden ser cuestiones matemáticas, ya sean resultados nuevos o
antiguos, propios o ajenos, que necesitan organizarse con nuevas ideas para lograr una
mejor comprensión en un contexto más amplio o mediante un enfoque axiomático. Él
continúa analizando cómo a los niños inicialmente se les enseñan matemáticas como una
actividad, pero a medida que maduran, a menudo se les presenta un sistema matemático
preconstruido y bien organizado bajo el supuesto de que los individuos racionales
comprenderán los sistemas deductivos. Sin embargo, este enfoque no es eficaz.
Para Freudenthal, transmitir matemáticas prefabricadas, que son producto de
matemáticos o autores de libros de texto, es contraproducente en términos de enseñanza.
En cambio, sugiere enseñar a los estudiantes a matematizar. Treffers (1987) amplía aún
más este concepto al diferenciar entre dos dimensiones de la matematización: horizontal
y vertical. La matematización horizontal implica transformar un problema del mundo
real en un problema matemático utilizando el sentido común, la intuición, la observación,
la aproximación empírica y la experimentación inductiva.
Por otro lado, la matematización vertical implica navegar dentro del ámbito de la
realidad matemática a través de la esquematización, la generalización, la prueba, el rigor
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y la simbolización. La matematización horizontal conduce del mundo de la vida al
mundo de los símbolos, donde los individuos viven, actúan y experimentan, mientras
que la matematización vertical implica la creación, recreación y manipulación de
símbolos de forma mecánica, integral y manera reflexiva (Zolkower y Bressan, 2012). Es
importante señalar que los límites entre estos dos mundos no están claramente definidos
y pueden expandirse o contraerse dependiendo de varios factores.
Para enseñar a los estudiantes cómo aplicar conceptos matemáticos a situaciones
de la vida real, es importante involucrarlos en actividades guiadas que impliquen
organizar problemas realistas. Los términos "realista" y "realidad" se utilizan en este
contexto para referirse a situaciones que se alinean con el sentido común y se perciben
como genuinas dentro de un escenario determinado.
En los primeros grados, nos centramos en contextos familiares cotidianos y
situaciones que involucran números, como personas que suben y bajan de un autobús. A
medida que los estudiantes se familiarizan más con los números y sus relaciones, se
amplía su comprensión de lo que es real o significativo para ellos. Es importante señalar
que el término "realista" a menudo se malinterpreta en un sentido limitado, lo que se debe
en gran medida a la elección de este nombre. En holandés, "zich realis-eren" significa
imaginar. Por tanto, en un sentido más amplio, una situación se considera realista
siempre que se presente al individuo como factible, razonable o imaginable. Por ejemplo,
cuando enseñamos geometría y medidas, estimaciones, razones y proporciones,
podemos inspirarnos en obras de ficción como “Los viajes de Gulliver”.
El objetivo de la educación matemática, según Freudenthal, es desarrollar en los
estudiantes una disposición matemática que incluya diversas habilidades y destrezas.
Esto incluye la capacidad de identificar los aspectos esenciales de una situación,
problema, procedimiento, algoritmo, simbolización o sistema axiomático. También
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implica reconocer características, analogías e isomorfismos comunes, así como
proporcionar ejemplos de ideas generales y descubrir nuevos objetos y operaciones.
Se debe alentar a los estudiantes a encontrar atajos, desarrollar nuevas estrategias,
inventar nuevas simbolizaciones y reflexionar sobre su propio pensamiento
considerando diferentes perspectivas o puntos de vista. Además, la disposición
matemática incluye el uso de lenguaje funcional y variables convencionales, determinar
el nivel apropiado de precisión para un problema determinado, identificar estructuras
matemáticas en un contexto y reconocer cuándo no es relevante o apropiado usar las
matemáticas. Por lo tanto, los estudiantes deben considerar su propia actividad como
objeto de reflexión para avanzar en su comprensión a un nivel superior.
Para desarrollar esta mentalidad es necesario pasar por un proceso de enseñanza-
aprendizaje que implica una reinvención guiada, como lo describe Freudenthal (1991). El
objetivo de este proceso no es simplemente enseñar matemáticas, sino más bien enseñar
a los estudiantes cómo pensar matemáticamente, cómo abstraer conceptos, cómo crear
esquemas, cómo formalizar fórmulas, cómo algoritmizar procedimientos y cómo
expresar ideas matemáticas en lenguaje verbal. forma.
Este enfoque de la enseñanza, conocido como reinvención guiada, se basa en los
principios de la fenomenología didáctica, que implica buscar contextos de la vida real y
situaciones problemáticas que fomenten el pensamiento matemático. Al examinar las
formas en que se utilizan y entienden los objetos matemáticos en el lenguaje y las
situaciones cotidianas, los educadores pueden desarrollar teorías localizadas para
enseñar estos conceptos.
La fenomenología didáctica se basa tanto en la Historia de las Matemáticas,
considerando los momentos cruciales en el desarrollo de las ideas matemáticas y su
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evolución en el tiempo, como en los pensamientos y creaciones únicos de los propios
estudiantes. Así, el enfoque de EMR (Enseñanza y Matematización de la Realidad)
considera el aprendizaje como un proceso no lineal que involucra niveles
progresivamente más altos de organización, abstracción, generalización y formalización.
La transición de un nivel de aprendizaje a otro, que normalmente ocurre de
repente y significa una interrupción en el aprendizaje, implica el uso de un modelo para
simbolizar una situación. Poco a poco, este modelo se desprende de la situación original
y se convierte en una herramienta para organizar situaciones similares. Hay cuatro
niveles involucrados en esta distinción entre un modelo de y un modelo para: situacional,
referencial, de generalización y formal.
• En el nivel situacional, las estrategias se desarrollan espontáneamente para
organizar la situación problemática.
• El nivel referencial introduce modelos gráficos, notaciones y procedimientos que
representan el problema pero que aún están conectados con la situación específica.
• El nivel general se alcanza a través de la exploración, la reflexión y la
generalización, lo que se aleja de cualquier referencia al contexto.
• Finalmente, el nivel formal implica trabajar con procedimientos y notaciones
generales y convencionales que están desconectados de sus contextos originales.
Para fomentar estos procesos, es importante trabajar en problemas que puedan
resolverse utilizando diferentes herramientas y fomentar el uso de múltiples estrategias
y procedimientos. De modo que, el trabajo de los estudiantes en estos problemas puede
revelar su comprensión y habilidades aritméticas en un momento particular, lo cual es
valioso para tomar decisiones de instrucción. Esta información no sólo ayuda a tomar
decisiones a pequeña escala sino que también orienta decisiones a mayor escala. La
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comprensión colectiva de la clase y las estrategias de resolución de problemas
proporcionan una instantánea de su trayectoria de aprendizaje. Las estrategias utilizadas
por los estudiantes individualmente ofrecen información sobre el largo viaje que
emprenderá la clase. Lo que sucede en el aula en un momento dado deja entrever lo que
está por venir y lo que está por venir.
Los Contextos
El contexto se refiere a un aspecto específico de la realidad que se matematiza
durante un proceso de aprendizaje, no son disfraces artificiales para el contenido
matemático, sino más bien situaciones de la vida real que los diseñadores del currículo y
los profesores presentan a los estudiantes para animarlos a aplicar conceptos
matemáticos. Freudenthal sostiene que ver el contexto como una distracción del mensaje
matemático es un error, ya que el contexto en sí es el mensaje y las matemáticas son la
herramienta utilizada para comprenderlo.
Cuando un contexto es significativo para un estudiante, sirve como punto de
partida para su actividad matemática, aprovechando su sentido común y sugiriendo el
uso de estrategias informales relevantes para la situación. Es importante señalar que el
realismo de un contexto depende de la experiencia previa del estudiante y de su
capacidad para imaginarlo o visualizarlo. Por ejemplo, a un estudiante de primer grado
puede resultarle tan "real" trabajar con situaciones que implican cambios en el número
de pasajeros de un autobús durante diferentes rutas como más tarde le resultaría trabajar
con flechas como símbolos que representan dichos cambios en situaciones posteriores.
años.
Tales contextos allanan el camino para conceptos matemáticos de nivel superior,
como operadores y ecuaciones. Streefland (1991) apoya esta idea al describir un proyecto
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de investigación sobre la enseñanza de fracciones que comienza con el concepto de
fracción y razón simultáneamente mediante la matematización de situaciones que
involucran una distribución igual, como distribuir 5 barras de chocolate entre 6 niños.
Los contextos realistas cumplen dos funciones: primero, como recurso para
generar ideas matemáticas y segundo, como dominio para aplicar conceptos
matemáticos. Al utilizar situaciones significativas de la vida real como punto de partida,
los estudiantes pueden cerrar la brecha entre la realidad y las matemáticas a través de
interacciones con sus compañeros, la orientación del maestro y el uso de modelos
apropiados que surgen de su propio pensamiento. Este enfoque permite a los estudiantes
desarrollar habilidades como estructurar, organizar, simbolizar, visualizar y
esquematizar. También pueden progresar en su comprensión matemática mejorando la
eficiencia de los procedimientos, utilizando atajos y haciendo la transición del lenguaje
coloquial al lenguaje convencional de símbolos y variables.
Desde este punto de vista, también se sostiene que para mejorar las habilidades de
pensamiento matemático de los estudiantes y, en consecuencia, mejorar la competencia
matemática general de los individuos, es imperativo analizar y explorar críticamente las
conexiones entre las matemáticas y sus aplicaciones (tanto positivas como negativas) en
diversas áreas como la ciencia (incluidas las ciencias sociales, naturales y exactas) y la
tecnología.
Los Modelos
Dentro del trabajo realizado en la EMR se han desarrollado numerosos modelos.
Entre ellos se incluyen modelos como el dinero, el rekenrek (un ábaco bicolor con 20 bolas
dispuestas en dos filas idénticas) y situaciones paradigmáticas como el colectivo, que se
representa mediante flechas para simbolizar situaciones dinámicas antes y después.
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Otros modelos incluyen la "casa de panqueques", la reunión de padres en la escuela y la
fábrica de dulces con envases de 10 unidades.
Asimismo, se han explorado modelos como el modelo circular, la barra doble o
porcentual y la tabla de razones. También se han utilizado collares bicolores
estructurados en grupos de 10, lo que llevó al desarrollo de la recta numérica "abierta"
como modelo aritmético. Además, se ha utilizado la recta numérica como modelo para
resolver ecuaciones lineales, y la notación del cuaderno y la tabla de combinaciones se
han empleado para trabajar con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El uso de estos modelos, entre otros, es esencial para contrarrestar uno de los
mayores desafíos en la enseñanza de las matemáticas, que es la tendencia hacia la
algoritmización y la formalización prematura. Así, los modelos desempeñan un papel
crucial en la simplificación de realidades o teorías complejas, lo que permite el
tratamiento matemático. Surgen y se desarrollan a través de un proceso de reinvención
guiado y pueden aplicarse a diversos contextos.
EMR ha trabajado en numerosos modelos, incluido el dinero, el rekenrek,
situaciones paradigmáticas y varios modelos aritméticos y de resolución de ecuaciones.
El uso de estos modelos es importante para combatir los efectos negativos de la
algoritmización y la formalización prematura en la enseñanza de las matemáticas. Según
Freudenthal, un modelo sirve como medio para simplificar e idealizar una realidad o
teoría compleja, haciéndola más susceptible de tratamiento matemático. No es un
artefacto o representación preexistente, sino más bien una entidad que emerge y
evoluciona a través de un proceso de reinvención guiado. Inicialmente, los modelos están
estrechamente ligados a los contextos y situaciones específicos en los que surgen, pero
con el tiempo se desvinculan y adquieren características de modelos formales y generales
que pueden aplicarse a diversos contextos, tanto dentro como fuera de las matemáticas.
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Esta transición implica pasar de ser un "modelo de" una situación particular a ser un
"modelo de" razonamiento matemático en diversas situaciones.
Los modelos abogan por un aumento en el uso de conceptos matemáticos de una
manera que sea identificable y comprensible para los estudiantes; deben ser lo
suficientemente flexibles para ser aplicados en contextos más avanzados o más amplios,
y al mismo tiempo permitir a los estudiantes comprender su significado y propósito
inicial. Es importante que los modelos respalden tanto la progresión vertical en la
comprensión matemática como la capacidad de conectarse con el contexto o situación
original. Esto permite a los estudiantes comprender plenamente el significado y la
importancia de sus acciones dentro del modelo. Básicamente, los modelos deben
comportarse de manera natural y obvia, alineándose con estrategias informales y siendo
aplicables a una amplia gama de escenarios. A modo de ejemplo, la barra de porcentaje
surge inicialmente de un contexto específico como estacionamientos o salas de cine,
donde representa la ocupación de espacios a través del sombreado. Con el tiempo, la
barra de porcentaje se separa de su contexto original y se transforma en una herramienta
formal que se puede utilizar para trabajar y reflexionar sobre los porcentajes.
La tabla de razones, el modelo de barras y la recta numérica doble son modelos
esquemáticos que se diferencian de los algoritmos tradicionales porque mantienen
visibles aspectos importantes del contexto. Estos modelos permiten registrar pasos
intermedios y se adaptan fácilmente al nivel de cada alumno. También sugieren el uso de
atajos y múltiples estrategias para la resolución de problemas. Al utilizar
simultáneamente estos tres modelos, podemos examinar las ventajas de cada uno para
diferentes tipos de problemas y explorar las relaciones matemáticas dentro de ellos.
Además, la tabla combinada y la notación de cuaderno son herramientas notables para la
algebraización propuestas por EMR.
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Estas herramientas brindan a los estudiantes la capacidad de comprender métodos
tradicionales, como comprender los componentes de un sistema de ecuaciones,
identificar lo que están buscando, reconocer ecuaciones equivalentes, comprender por
qué ciertos sistemas pueden tener una, múltiples o ninguna solución, y determinar el
método más adecuado para encontrar estas soluciones. En general, la transición a trabajar
con sistemas puros no es un desafío para estos estudiantes y, en caso de que encuentren
dificultades, pueden utilizar estos modelos para recordar las situaciones típicas que
llevaron a su creación. Esto les permite redefinir las operaciones que realizan a un nivel
algebraico formal.
La interacción
En la EMR, reflexionar y matematizar están estrechamente relacionados. Según
Freudenthal, los estudiantes necesitan ser capaces de reflexionar sobre su propia
actividad para alcanzar el nivel más alto de comprensión. En los procesos de reinvención
guiada, la interacción entre docente y estudiantes es crucial para promover la reflexión y
el intercambio de ideas. El aula debe proporcionar un espacio para la acción y reflexión
individual, grupal y colectiva, donde los estudiantes no sólo respondan preguntas y
resuelvan problemas, sino que también formulen sus propias preguntas matemáticas,
compartan y evalúen ideas y métodos de solución, y simbolizan y generalizan las
relaciones matemáticas.
Normalmente, compartir en una clase de matemáticas ocurre después de que se
ha resuelto el problema, pero bajo la guía de un maestro capacitado, compartir puede
tomar la forma de "pensar juntos en voz alta" en tiempo presente y modo subjuntivo y
condicional, lo que permite compartir. de ideas en proceso de desarrollo. Surge la
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pregunta de cómo este tipo de conversaciones pueden ayudar a los estudiantes a
comprender y participar plenamente en la tarea de matematización.
En el ámbito de la EMR, hay un énfasis significativo en la formulación y solución
de problemas. Sin embargo, la atención se centra no únicamente en enseñar a los
estudiantes cómo resolver problemas específicos, sino más bien en cultivar su capacidad
e inclinación para aplicar conceptos y métodos matemáticos en diversos contextos (como
aritmética, geometría, álgebra y formalización). Para lograr este objetivo, los profesores
deben presentar preguntas abiertas que estén al alcance o imaginables de sus alumnos, y
deben esforzarse por comprender los pensamientos y procesos de razonamiento de los
estudiantes.
El profesor debe valorar e interesarse genuinamente por las aportaciones de los
estudiantes, fomentando situaciones interactivas tanto en entornos de toda la clase como
de grupos pequeños. Es crucial que el maestro se base en las ideas de los estudiantes,
guiándolos a través de procesos reflexivos que promuevan mayores niveles de
pensamiento y comprensión matemáticos para cada estudiante individual y para la clase
en su conjunto. Esto requiere un maestro que pueda anticipar los hitos clave del
desarrollo a lo largo del camino de la matematización progresiva.
Si la principal actividad de los estudiantes es dedicarse a las matemáticas, ¿cuál es
entonces la principal actividad de los profesores y profesores? Según Freudenthal, su
principal actividad es organizar y estructurar el proceso de enseñanza, que tiene tanto un
aspecto horizontal como vertical. El proceso de enseñar matemáticas es paralelo al
proceso de matematizar. Implica tomar conciencia de la realidad didáctica y crear un
marco para la enseñanza, por un lado, y desarrollar una comprensión más profunda y
generalizar a partir de situaciones de enseñanza, por el otro. Horizontalmente, los
docentes se centran en los fenómenos de enseñanza y aprendizaje que ocurren en sus
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aulas y en otras aulas. Verticalmente, reflexionan sobre estas situaciones y las utilizan
para potenciar sus propias estrategias y técnicas de enseñanza para apoyar el proceso de
matematización.
Las bases teóricas: EMR
La Educación Matemática Realista, como movimiento internacional, fue fundada
por Hans Freudenthal, un matemático y educador alemán. El movimiento surgió en la
década de 1960 como respuesta al enfoque mecanicista de la enseñanza de la aritmética
y al uso de las matemáticas "modernas" o "conjunctistas" en las aulas. Hoy en día, muchas
de las ideas originales de Freudenthal son adoptadas y debatidas en las teorías educativas
actuales, y han influido en los planes de estudios de varios países, incluidos Estados
Unidos, Japón, Indonesia, Gran Bretaña, Alemania, Dinamarca, España, Portugal,
Sudáfrica, Brasil y Puerto Rico.
Un principio fundamental de la EMR es que la educación matemática debe estar
basada en la realidad, ser relevante para los estudiantes y significativa para la sociedad a
fin de que sea valiosa para el desarrollo humano. Según Freudenthal, la percepción de las
matemáticas está entrelazada con nuestra percepción del mundo, el papel de los
matemáticos está vinculado a nuestra comprensión de la humanidad y la enseñanza de
las matemáticas está conectada con la sociedad en su conjunto. En su opinión, una
consideración crítica durante su época fue si las matemáticas debían verse como una
materia para una minoría selecta o como una materia para todos los individuos. Creía
que es crucial que todos los estudiantes tengan algún nivel de compromiso con el trabajo
matemático, que definió como el acto de organizar la realidad utilizando conceptos y
herramientas matemáticas, incluidas las matemáticas mismas.
Matematizar es un proceso paso a paso que involucra diversas acciones como:
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• Identificar características importantes en diferentes situaciones, problemas,
algoritmos, fórmulas, símbolos y sistemas basados en axiomas.
• Encontrar puntos en común, similitudes, analogías e isomorfismos entre estos
elementos.
• Además, implica proporcionar ejemplos concretos para ilustrar ideas y conceptos
generales.
• Requiere abordar las situaciones difíciles de manera sistemática y ejemplar.
Además, la matematización implica la aparición repentina de nuevos objetos y
operaciones mentales que ayudan en la resolución de problemas.
• Implica buscar estrategias eficientes y encontrar formas de simplificar los enfoques
y simbolizaciones iniciales para crear esquemas, algoritmos, símbolos y sistemas
formales.
• Finalmente, matematizar implica reflexionar sobre todo el proceso matemático,
considerando los diversos fenómenos involucrados desde múltiples perspectivas.
Escenarios prácticos y circunstancias desafiantes
Un contexto se refiere a un dominio específico de la realidad que se revela a los
estudiantes durante el proceso de aprendizaje para ser matematizado. Las matemáticas
evolucionaron como un medio para matematizar situaciones de la vida real en el entorno
natural y social, y por tanto, su enseñanza también debe basarse en la organización de
este tipo de situaciones. Sin embargo, esto no implica centrarse únicamente en los
fenómenos perceptivos, ya que esto restringiría las oportunidades de los estudiantes para
aprender y participar en las matemáticas mismas.
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El objetivo es que los estudiantes, que inicialmente pueden carecer de suficientes
habilidades matemáticas, reinventen estas herramientas abordando problemas
presentados en contextos y situaciones realistas. Un contexto puede tomar la forma de un
evento, proposición o situación derivada de la realidad que tiene significado para los
estudiantes o puede imaginarse, lo que impulsa el uso de métodos matemáticos basados
en sus propias experiencias. Proporciona significado concreto y apoyo a las relaciones y
operaciones que son relevantes para las matemáticas.
Estas situaciones pueden extraerse de experiencias cotidianas, como las rutas de
autobús o las compras y la gestión del dinero. Además de los contextos derivados de la
vida diaria, las matemáticas mismas ofrecen contextos dentro del ámbito de los
problemas que involucran números puros y relaciones numéricas, como el contexto de
los números primos. Hay varios tipos de contextos, incluidos los reales, artificiales
(fantasía), matemáticos y virtuales, cada uno de los cuales se origina en la realidad pero
incorpora elementos no reales con fines de simplificación o simulación.
En el ámbito de la educación matemática, es crucial reconocer el importante papel
que desempeñan los contextos realistas en el proceso de aprendizaje de los estudiantes:
• Los contextos realistas sirven como base para la enseñanza y el aprendizaje,
permitiendo a los estudiantes desarrollar conceptos matemáticos y aplicarlos en
diversos dominios.
• Cuando se seleccionan cuidadosamente, estos contextos captan el interés de los
estudiantes, fomentando el compromiso y la motivación.
• Los contextos realistas sirven como objetos de estudio tangibles, facilitando la
accesibilidad del contenido matemático para estudiantes en diferentes niveles de
comprensión.
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• Al incorporar escenarios del mundo real, se anima a los estudiantes a utilizar su
sentido común y aprovechar su conocimiento informal para construir modelos
matemáticos.
• La apertura de estos contextos, que permite múltiples estrategias y soluciones,
fomenta debates matemáticos significativos entre los estudiantes.
• Estos contextos realistas se exploran de manera integral y profunda, asegurando
una comprensión profunda de los conceptos matemáticos en cuestión.
Si bien, es importante considerar la naturaleza relativa del contexto realista para
evitar generalizaciones y simplificaciones excesivas. El realismo de un contexto depende
de las experiencias previas de los estudiantes y de su capacidad para imaginarlo o
visualizarlo; es beneficioso utilizar los modelos que surgen de las propias actividades
matemáticas de los estudiantes como herramientas para representar y organizar estos
contextos y situaciones.
Estos modelos sirven como intermediarios a través de los cuales realidades o
teorías complejas se idealizan o simplifican para un tratamiento matemático formal. Es
crucial señalar que en el contexto de EMR, el término "modelo" no se refiere a modelos
preexistentes impuestos desde las matemáticas formales, sino a modelos emergentes que
se desarrollan durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. proceso. Y se forman a
través de la organización y reorganización de actividades que surgen de situaciones
problemáticas. Inicialmente, estos modelos están estrechamente vinculados a los
contextos y situaciones específicos de los que surgen, pero con el tiempo se desvinculan
y adquieren características de modelos formales y generales. Como resultado, se pueden
aplicar a diversos contextos y situaciones, pasando de ser un "modelo de" una situación
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particular a un "modelo para" el razonamiento matemático en escenarios tanto
matemáticos como no matemáticos.
Los modelos en el campo de la EMR sirven no sólo como representaciones, sino
también como herramientas de análisis y reflexión. Se utilizan para realizar diversas
acciones y operaciones, así como para visualizar, explicar, comparar, contrastar y
verificar relaciones. Para cumplir estos propósitos, estos modelos deben cumplir una serie
de criterios cruciales:
• En primer lugar, deben basarse en contextos realistas e imaginables.
• Deben poseer suficiente flexibilidad para ser aplicables a niveles más avanzados o
generales.
• A diferencia de los métodos de enseñanza tradicionales, donde los modelos son
fijos, estos modelos están sujetos a cambios con el tiempo. Esta naturaleza
dinámica permite la progresión en el proceso de matematización, al mismo tiempo
que permite a los estudiantes la capacidad de revisar las situaciones originales de
las cuales se derivaron las estrategias. Esta capacidad de moverse entre niveles es
lo que hace que estos modelos sean particularmente poderosos.
• Por último, estos modelos deben ser viables, es decir, deben comportarse de forma
natural y evidente. Deben alinearse con las estrategias informales de los
estudiantes, como si los propios estudiantes pudieran haberlas descubierto de
forma independiente, y también deben ser fácilmente adaptables a diferentes
situaciones.
Es importante señalar que las soluciones informales y las creaciones
independientes de los estudiantes juegan un papel central en el proceso de enseñanza y
aprendizaje. Al trabajar en problemas que se pueden resolver de múltiples maneras, se
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pueden revelar los niveles de comprensión y habilidades de cálculo de los estudiantes en
un momento dado. Esta información es crucial no sólo para tomar decisiones docentes a
pequeña escala sino también para guiar decisiones educativas a mayor escala.
Una instantánea de la clase, con sus diversos niveles de comprensión, proporciona
una idea de la trayectoria del aprendizaje y la enseñanza. Las estrategias de solución
empleadas por estudiantes individuales exponen colectivamente elementos esenciales
del camino a largo plazo que emprenderán los estudiantes. Por lo tanto, lo que se observa
hoy en el aula anticipa lo que está por venir y más allá. La fenomenología didáctica
implica estudiar inicialmente las diferentes formas en que un concepto matemático, como
fracciones, razones, funciones, proporciones y ángulos, se manifiesta en la vida real. Esto
incluye considerar cómo se hace referencia comúnmente a estos conceptos en el lenguaje
cotidiano. A partir de esta comprensión se puede construir la didáctica del tema.
El EMR ha experimentado con varios modelos en el aula que se presentan
fácilmente a través de situaciones contextuales y pueden ser recreados por los
estudiantes. Estos modelos incluyen materiales didácticos manipulables como fichas,
dinero y collares con bolas de dos colores organizados en grupos de diez. Además, se han
utilizado situaciones paradigmáticas como el autobús, el restaurante de panqueques, la
reunión de padres, la fábrica de dulces de 10 unidades y la localización de un incendio.
También se han empleado esquemas, como el modelo circular, la barra doble o
porcentual y la tabla de razones, así como diagramas como los de árbol y de trayectoria.
Se han utilizado además modalidades de notación como el lenguaje de flechas, la
notación de cuaderno y la tabla de combinación para resolver sistemas de ecuaciones con
dos incógnitas, y procedimientos expresados simbólicamente como algoritmos o
fórmulas de columnas. La exploración de contextos y modelos que conducen
naturalmente al uso de las matemáticas se conoce como fenomenología didáctica,
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concepto acuñado por Freudenthal. Este enfoque está fuertemente influenciado por la
historia de las matemáticas y las ideas y creaciones de los estudiantes que surgen durante
el proceso de enseñanza.
El rol del docente
En el contexto de la EMR, la enseñanza de las matemáticas debería implicar un
enfoque de reinvención guiada. Puesto que los estudiantes deben tener oportunidades
para descubrir de forma independiente conceptos y habilidades matemáticas
organizando y estructurando problemas de la vida real. Durante este proceso, los
estudiantes interactúan con sus compañeros y reciben orientación del docente. El
aprendizaje efectivo en este enfoque implica negociación, intervención, discusión,
cooperación y evaluación explícitas.
Los métodos informales sirven como base para que los estudiantes eventualmente
comprendan conceptos matemáticos formales. Este método de enseñanza interactivo
requiere que los estudiantes expliquen, justifiquen, estén de acuerdo o en desacuerdo,
cuestionen alternativas y reflexionen sobre su pensamiento. El docente juega un papel
crucial como mediador, facilitando la comunicación entre los estudiantes y los problemas
que encuentran, así como facilitando la comunicación entre los propios estudiantes.
Además, el profesor cierra la brecha entre los enfoques informales de resolución de
problemas de los estudiantes y las herramientas formales establecidas de las
matemáticas.
El acto de aprender matemáticas se considera un proceso social en el que los
individuos se reúnen para reflexionar colectivamente, lo que da como resultado una
comprensión más profunda. Tanto las interacciones verticales entre profesores y
estudiantes, como las interacciones horizontales entre estudiantes, juegan un papel
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crucial en este proceso. La forma en que el docente gestiona estas interacciones es clave
para maximizar las oportunidades para que los estudiantes generen, intercambien y
comprendan ideas.
Es importante tener en cuenta que una clase no se considera una entidad
homogénea, sino más bien un grupo de individuos que siguen sus propios caminos de
aprendizaje únicos. Sin embargo, esto no significa que la clase esté dividida en grupos
con procesos similares. En cambio, la clase permanece unida como una unidad
organizativa o participa en trabajo cooperativo en diversos grupos, como propugna
Freudenthal.
Al seleccionar problemas que se adaptan a diferentes niveles de comprensión,
todos los estudiantes pueden trabajar en ellos. Adicionalmente, hay un fuerte énfasis en
la integración de los diversos ejes o unidades curriculares de matemáticas. Resolver
problemas de la vida real a menudo requiere hacer conexiones y utilizar una amplia gama
de conceptos y herramientas matemáticas.
El plan de estudios de EMR evita distinciones estrictas entre los ejes curriculares,
creando un enfoque más cohesivo para la enseñanza y permitiendo diferentes métodos
de matematizar situaciones utilizando varios modelos y lenguajes. Esto asegura un alto
nivel de coherencia en todo el plan de estudios, en lugar de enseñar cada eje de forma
aislada e ignorar las conexiones que existen entre ellos. En aplicaciones prácticas, la
resolución de problemas normalmente requiere algo más que conocimientos de
aritmética, álgebra o geometría.
Fenomenología
La perspectiva de Freudenthal sobre los objetos matemáticos difiere de las
filosofías matemáticas tradicionales como el realismo y el platonismo. Estas filosofías
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creen que los conceptos matemáticos existen independientemente de la actividad
humana y se descubren mediante la exploración matemática. Si bien, Freudenthal
sostiene que los conceptos matemáticos se crean y construyen mediante la práctica
matemática. Sugiere que los objetos matemáticos no son sólo herramientas para la
organización, sino objetos reales con sus propias propiedades y acciones.
A medida que estos objetos matemáticos se incorporan al mundo, el mundo
mismo se expande y crece. Los conceptos e ideas matemáticas se utilizan para organizar
fenómenos tanto del mundo real como de las matemáticas. Por otro lado, los objetos
mentales son creaciones de los individuos a partir de sus experiencias y sirven como
medio para organizar y comprender sus propias experiencias. Freudenthal también
reconoce el desafío de enseñar conceptos matemáticos, ya que requieren inculcar los
conceptos correspondientes en la mente de los estudiantes. Este análisis tiene como
objetivo explorar el alcance y el método propuesto por Freudenthal en su teoría de la
Fenomenología Didáctica de las estructuras Matemáticas para la enseñanza y el
aprendizaje de conceptos matemáticos. Implica examinar la literatura relevante y
comprender las ideas clave expuestas por Freudenthal.
El término fenomenología, tal como se utiliza aquí, no se refiere a las
interpretaciones dadas por filósofos como Husserl, Hegel o Heidegger. Más bien,
pertenece a los orígenes griegos de la palabra, donde "phainomeno" significa "lo que
aparece". En este contexto, los fenómenos son las apariencias o cómo nos parecen las
cosas. En la tradición filosófica realista, el mundo de los noúmenos se considera el mundo
real.
El contraste entre fenómeno y noúmeno representa un contraste entre dos
mundos: el mundo de la apariencia y la experiencia (fenómeno) y el mundo de lo sensible
e inteligible (noúmeno). Algunos filósofos sostienen que los conceptos matemáticos son
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noúmenos, lo que los coloca fuera del ámbito de nuestra experiencia. Sin embargo, esto
contradice las ideas de Freudenthal, quien ve los conceptos matemáticos como un medio
para organizar los fenómenos. Según esta perspectiva, los conceptos matemáticos forman
parte del campo de fenómenos que se organizan mediante nuevas ideas matemáticas.
Por tanto, los conceptos matemáticos no están separados de nuestras experiencias
ni en un mundo diferente de los fenómenos que organizan. En realidad, son objetos de
nuestra experiencia matemática. Para dedicarse a la fenomenología, hay que describir la
relación entre estas series o pares: el fenómeno y los medios de organización. El proceso
de creación de objetos matemáticos implica que los medios de organización se conviertan
en objetos que aparecen en el campo de los fenómenos.
Así, los objetos matemáticos se incorporan a nuestras experiencias y pasan a
formar parte de una nueva relación entre fenómeno y medios de organización. Este
proceso iterativo continúa y conduce a la creación de nuevos conceptos matemáticos y a
la generación de objetos matemáticos cada vez más abstractos. La fenomenología de un
concepto, estructura o idea matemática implica describir el noúmeno (el concepto mismo)
en relación con los fenómenos que organiza. Esto incluye identificar los fenómenos para
cuya organización y extensión se creó el concepto, comprender cómo actúa como medio
de organización para estos fenómenos y reconocer el poder que nos otorga sobre estos
fenómenos.
Los conceptos, conocidos como noumena, están intrincadamente conectados con
el phainomenon. Cuando analizamos el elemento didáctico en esta relación,
específicamente cómo se adquiere el concepto R fenómenos en el proceso de enseñanza
y aprendizaje, nos adentramos en el ámbito de la fenomenología didáctica. Este campo
explora los fenómenos que existen en el mundo de los estudiantes y los que se presentan
en las secuencias de enseñanza, particularmente en el contexto de las matemáticas.
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Al examinar la relación fRc en términos del crecimiento cognitivo de los
estudiantes, nos involucramos en la fenomenología genética. Aquí, la atención se centra
en cómo se perciben y comprenden los fenómenos en relación con el desarrollo cognitivo
de los estudiantes. Además, si exploramos la adquisición histórica de esta relación fRc,
entramos en el ámbito de la fenomenología histórica. En este caso, investigamos los
fenómenos para los que se creó originalmente el concepto y cómo posteriormente se
amplió para abarcar otros fenómenos.
El orden sugerido para estudiar estas fenomenologías comienza con la
fenomenología pura, adquiriendo conocimientos de las matemáticas y sus aplicaciones
prácticas. A esto le sigue la fenomenología histórica, que proporciona información sobre
la formación de estas relaciones a lo largo de la historia. A continuación, profundizamos
en la fenomenología didáctica, entendiendo el proceso de enseñanza y aprendizaje, y
finalmente, la fenomenología genética examina el crecimiento cognitivo de los
estudiantes. Es importante señalar que la descripción de las relaciones entre el fenómeno
y el concepto considera tanto las relaciones establecidas en el primer caso como cómo
estas relaciones se desarrollaron, adquirieron o formaron en el sistema educativo,
cognitiva o históricamente en los otros tres casos.
La fenomenología, se puede definir como el método de análisis de contenidos
matemáticos, implica el análisis fenomenológico de conceptos u objetos matemáticos.
Este análisis se realiza con una intención didáctica, es decir, se realiza previo a cualquier
diseño o desarrollo curricular, y se considera un componente del análisis didáctico. El
propósito del análisis fenomenológico es servir como base para organizar la enseñanza
de las matemáticas, en lugar de intentar proporcionar una explicación de la naturaleza
de las matemáticas.
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Una de las principales tareas de la fenomenología es investigar los fenómenos que
organizan los conceptos matemáticos analizándolos. Se supone que estos fenómenos no
han existido antes. En contraste con el enfoque típico de la enseñanza de las matemáticas,
la Fenomenología Didáctica propone un enfoque diferente. Sugiere comenzar con los
fenómenos que requieren organización por un concepto y luego enseñar a los estudiantes
cómo manipular estos medios de organización.
Se debe utilizar la fenomenología didáctica para desarrollar planes con este tipo
de enfoque. Por ejemplo, al enseñar sobre Grupos, en lugar de comenzar con el concepto
de Grupo y tratar de materializarlo, el foco estaría en examinar los fenómenos que
podrían llevar al estudiante a formar el objeto mental que está siendo matematizado por
el concepto de grupo. Si los fenómenos necesarios no están disponibles a una
determinada edad, se abandonan los intentos de inspirar el concepto.
En el sistema escolar, los conceptos se presentan a menudo a los estudiantes antes
de que tengan experiencia con los fenómenos correspondientes. El sistema educativo
pretende ayudar a los estudiantes a formar objetos mentales como medio de organización
de estos fenómenos, y también proporciona acceso a los medios de organización que la
historia ha proporcionado, que son los conceptos.
Si bien, en el contexto de la historia, los conceptos matemáticos no existen antes de
nuestra experiencia con ellos. Es la actividad de los matemáticos la que crea estos
conceptos. A lo largo de la historia, los conceptos matemáticos han surgido como
consolidaciones de objetos mentales. La actividad matemática genera conceptos a partir
de objetos mentales. La relación entre conceptos y objetos mentales es compleja, ya que
ambos sirven como medios para organizar los fenómenos. Los objetos mentales
preexisten a los conceptos y los conceptos no reemplazan a los objetos mentales, sino que
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permiten la formación de nuevos objetos mentales que los contienen o son compatibles
con ellos. La distancia entre el objeto mental inicial y el concepto puede ser significativa.
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Capítulo 3
La contextualización de la matemática realista en educación
La exigencia de establecer una conexión entre las matemáticas que se enseñan en
las instituciones educativas y la vida de los estudiantes es un llamado de la sociedad,
proveniente tanto del mundo académico como del mundo profesional. Esta demanda no
es aislada; es parte de una petición más amplia al propio sistema escolar, donde la
sociedad en su conjunto espera que lo que se enseña en nuestras escuelas permita a los
estudiantes funcionar eficazmente en sus vidas. Ha habido respuestas rápidas a estas
demandas.
A nivel internacional, la Organización para el Desarrollo y la Cooperación
Económicos (OCDE) ha resaltado, a través del estudio PISA, la importancia de desarrollar
competencias matemáticas que permitan a los individuos reconocer y comprender el
papel de las matemáticas en el mundo, realizar razonamientos bien fundamentados y
utilizar las matemáticas de acuerdo con sus necesidades vitales como ciudadanos
constructivos, comprometidos y reflexivos. Más recientemente, el mismo estudio enfatiza
que el desarrollo de una cultura matemática en las escuelas debería ayudar a los
individuos a identificar y comprender el papel de las matemáticas en el mundo,
proporcionándoles el juicio necesario para tomar decisiones basadas en convertirse en
ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos.
El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM) también enfatiza la
importancia de conectar las matemáticas enseñadas con la vida actual y futura de los
estudiantes. En el contexto latinoamericano, esta demanda social también es evidente.
Los lineamientos curriculares establecidos por el Ministerio de Educación de Colombia
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establecen que el objetivo principal de la educación matemática es ayudar a las personas
a dar sentido al mundo que las rodea y comprender los significados construidos por los
demás.
Al aprender matemáticas, los estudiantes no sólo desarrollan su capacidad de
pensamiento y reflexión lógica, sino que también adquieren poderosas herramientas para
explorar, representar, explicar y predecir la realidad, permitiéndoles actuar en y para ella
(Ministerio de Educación Nacional, 1998). La propuesta de Venezuela para la enseñanza
de todas las materias del currículo también enfatiza la importancia de vincular la
educación con la vida de los estudiantes, haciéndola relevante tanto individual como
socialmente. Además de estas demandas de la sociedad, también existe una demanda de
la comunidad académica. Dentro del campo de la educación matemática, se defiende la
necesidad de establecer esta conexión desde diferentes perspectivas epistémicas, como la
Educación Matemática Crítica y la Educación Matemática Realista. Estas demandas se
justifican en el deseo de que la educación matemática contribuya a la formación de
ciudadanos conscientes y participativos, promoviendo la matemática inclusiva y
evitando el carácter excluyente de los enfoques tradicionales.
Al enfocarnos en las instituciones educativas, se tiene que, es cada vez más común
que la gente, en particular los profesores, enfaticen que "las matemáticas están en todas
partes". Esta es una respuesta a la creciente demanda social de que las matemáticas
escolares sean relevantes y aplicables a la vida presente y futura de los estudiantes. Sin
embargo, si bien existe un acuerdo generalizado sobre la importancia de conectar las
matemáticas con la vida de los estudiantes, ha resultado difícil cumplir esta expectativa.
Es común y está demostrado que, cuando se les pide tanto a los profesores en formación
como en ejercicio que proporcionen ejemplos específicos, a menudo tienen dificultades
para hacerlo. Sus respuestas suelen girar en torno a conceptos básicos relacionados con
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la compra y la venta, pero hay muchos otros fenómenos y situaciones de la vida en los
que las matemáticas desempeñan un papel.
En otras palabras, las matemáticas deben tener sentido para los estudiantes que
las aprenden relacionándolas con sus necesidades e intereses en sus propias experiencias
de vida. Para lograr esto, los docentes deben crear oportunidades para una comunicación
continua con sus estudiantes, y el discurso que emplean juega un papel crucial en este
proceso. Cuando nos referimos al discurso del docente, lo estamos considerando en un
sentido pragmático, teniendo en cuenta las relaciones contextuales que guían la
interacción comunicativa entre el docente y sus alumnos. En última instancia, lo que
defendemos es la necesidad de dotar a la educación matemática de un significado que
resuene en los estudiantes que la aprenden.
Para garantizar que las matemáticas sean significativas para los estudiantes, es
fundamental conectarlas con su vida cotidiana. Esta conexión debe ser tanto personal
como social. Por ello, proponemos priorizar la contextualización de la enseñanza de las
matemáticas. Esta idea no es nueva, ya que varios investigadores y educadores han
enfatizado la necesidad de este enfoque. Sostienen que las matemáticas deben verse como
una actividad humana y deben enseñarse en relación con la realidad de los estudiantes.
En lugar de ver las matemáticas como un sistema deductivo, estos académicos sugieren
que los estudiantes deberían involucrarse con las matemáticas a través de experiencias
de la vida real que les ayuden a verlas como una herramienta para organizar y
comprender sus realidades presentes y futuras.
Esta perspectiva sigue siendo relevante en los debates actuales sobre el diseño
curricular, así como en las opiniones de organizaciones como el NCTM y la OCDE. Desde
un punto de vista individual, cada persona aprende mejor cuando el conocimiento es
significativo para su propia vida. Desde una perspectiva social, la educación matemática
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debería tener aplicaciones prácticas que permitan a los individuos integrarse en la
sociedad.
La información recopilada proporciona evidencia de prácticas educativas en
matemáticas que incorporan situaciones de la vida real en los procesos de enseñanza. Sin
embargo, estas prácticas pueden verse como desviaciones que deben evitarse en nuestras
aulas. Discutiremos tres desviaciones específicas: la comprensión de la realidad por parte
de los profesores, los tipos de relaciones que se establecen entre los conceptos
matemáticos y las situaciones de la vida real, y la profundidad del estudio de los objetos
matemáticos en el aula.
Es importante reconsiderar ciertas prácticas educativas en matemáticas que
incorporan situaciones de la vida real. Los profesores deben tener una comprensión más
amplia de la realidad, no limitarse sólo a situaciones cotidianas, y deben priorizar la
integración de las matemáticas con las experiencias vitales de los estudiantes desde el
principio. Al adoptar un enfoque más holístico que combine teoría y práctica, las
matemáticas pueden volverse más significativas y relevantes para los estudiantes,
independientemente de su origen socioeconómico.
La primera desviación tiene que ver con la comprensión de la realidad por parte
de los profesores y cómo ésta influye en la integración de las matemáticas con situaciones
de la vida real. En entrevistas con profesores de matemáticas, tanto en formación como
en práctica, se les pidió que proporcionaran ejemplos de situaciones reales que podrían
vincularse con las matemáticas. Sin excepción, estos profesores dieron ejemplos
perceptibles a los sentidos y estrechamente relacionados con la vida cotidiana de los
estudiantes. Este hallazgo es consistente con otros estudios que también han observado
esta tendencia entre los profesores de matemáticas. Si bien, limitar el contexto únicamente
a situaciones cotidianas tiene implicaciones éticas y pedagógicas. Principalmente
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perjudica a los estudiantes que tienen experiencias de vida limitadas debido a su
desventaja socioeconómica.
El contexto puede ser geográfica y cronológicamente cercano al estudiante, pero
no debe limitarse exclusivamente a su entorno inmediato. Por ejemplo, estudiar la cultura
maya y sus contribuciones a las matemáticas puede no ser un contexto cotidiano para los
estudiantes, pero aun así puede ser significativo y de interés para ellos si están motivados
adecuadamente. Explorar las matemáticas en diferentes contextos culturales puede
ampliar los horizontes de los estudiantes, independientemente de su origen
socioeconómico.
La segunda desviación se relaciona con los tipos de relaciones que se establecen
entre conceptos matemáticos y situaciones de la vida real. Muchos profesores tienden a
presentar primero la teoría matemática y luego intentan mostrar su aplicación en
contextos específicos. Este enfoque deductivo del aprendizaje supone que los estudiantes
sólo pueden comprender y aprender la teoría si está desconectada de sus experiencias de
vida. Sin embargo, presentar las matemáticas de manera teórica sin relacionarlas con las
experiencias de la vida real de los estudiantes puede hacer que les resulte menos
interesante y difícil comprender el tema. Creemos en un enfoque de enseñanza que
combina teoría y práctica, donde las matemáticas se integran en la vida de los estudiantes
a partir de sus experiencias previas. Este enfoque permite a los estudiantes ver la
relevancia y aplicabilidad de las matemáticas en su vida diaria y amplía su visión del
mundo.
Además, queremos destacar otro aspecto que se aleja de nuestras expectativas.
Esto se refiere al grado en que se exploran los conceptos matemáticos en el aula,
específicamente a través de la incorporación de situaciones de la vida real que son
relevantes para los estudiantes. Desafortunadamente, lo que a menudo presenciamos es
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una simplificación excesiva del contenido matemático. Cuando los profesores intentan
conectar las matemáticas con la vida cotidiana de los estudiantes, a menudo lo hacen de
manera superficial e inconsistente. Por ejemplo, nos hemos encontrado con casos en los
que los profesores intentan contextualizar las medidas de peso pidiendo a los estudiantes
que las utilicen sólo cuando siguen una receta para un proyecto de clase. Está claro que
no hay una exploración en profundidad de los conceptos matemáticos involucrados, ni
ninguna expansión de las aplicaciones prácticas de las mediciones de peso.
Principios orientadores
Las claves para contextualizar las matemáticas se basan en principios expuestos
en lo que se conoce como educación matemática realista. Este enfoque, desarrollado por
Freudenthal, Gravemeijer, Puig y Goffre, enfatiza ver las matemáticas como una
actividad humana. Según esta perspectiva, enseñar matemáticas implica crear una
conexión entre los conceptos matemáticos y las experiencias del mundo real del
estudiante. El objetivo es que los estudiantes vean las matemáticas como una herramienta
para organizar, comprender y transformar el mundo que los rodea.
Desde un punto de vista epistemológico, esto significa pasar del enfoque actual de
presentar las matemáticas como una disciplina con un sistema deductivo fijo e
inalcanzable, a una visión de las matemáticas como un proceso de construcción continuo.
En este nuevo enfoque, la interacción de los estudiantes con su entorno se convierte en
un proceso de reinvención guiado por el docente. Este tipo de contextualización se
extiende más allá del cuerpo humano a otros fenómenos o contextos (f1, f2, f3,...). Por
ejemplo, la arquitectura y las artes plásticas brindan amplios ejemplos de simetría y
rotación que pueden estudiarse utilizando conceptos matemáticos. Al incorporar estos
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contenidos matemáticos al estudio de diferentes contextos, se amplía el horizonte de la
comprensión matemática.
Este enfoque educativo matemático implica dos procesos simultáneos:
matematización horizontal y matematización vertical. La matematización horizontal es
relacionar un conjunto de situaciones no matemáticas con conceptos matemáticos. Por
ejemplo, cuando se nos presenta el cuerpo humano, es posible que no veamos
inmediatamente las matemáticas que se pueden derivar de él. Sin embargo, las
matemáticas pueden ayudarnos a comprender mejor el cuerpo humano y viceversa. Es
función del docente descubrir y resaltar los elementos matemáticos inherentes al cuerpo
humano. De este modo, tanto las matemáticas como el cuerpo humano se perciben bajo
una nueva luz, la denominada Fenomenología Didáctica. En el caso del ejemplo del
cuerpo humano, las matemáticas nos permiten explorar conceptos como simetría,
rotación, proporciones y proporción áurea, utilizando sistemas de medición de longitud
tanto convencionales como no convencionales.
Al mismo tiempo, si bien nos centramos en el proceso de matematización
horizontal en el aula, es importante abordar también la matematización vertical. La
matematización vertical implica ampliar los procesos matemáticos que se derivan del
examen de diversos fenómenos. En otras palabras, no se trata sólo de ampliar el alcance
de diferentes fenómenos o contextos en relación con los procesos de matematización
horizontal; pero también implica profundizar en el estudio de los objetos matemáticos.
Este concepto se conoce como matematización vertical, tal como lo plantea Treffers
(1987). Para ilustrar mejor esto, consideremos el ejemplo del estudio del cuerpo humano.
Al explorar el cuerpo humano, podemos explorar la interconexión de diferentes objetos
matemáticos y obtener una comprensión más profunda de ellos. Por ejemplo, al examinar
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las medidas y las proporciones, podemos profundizar en la generalización de la
conversión de unidades y explorar el teorema de Tales.
Las claves
La tarea de hacer que la expresión "las matemáticas están en todas partes" cobre
vida en el aula no es sencilla, como señalan. Normalmente, existe una falta de diversidad
en los fenómenos o contextos a través de los cuales enseñamos matemáticas,
apoyándonos muchas veces en ejemplos relacionados con la aritmética y la geometría
básicas. Esta situación puede atribuirse a las diferencias en las prácticas y códigos sociales
dentro del sistema escolar en comparación con aquellos fuera de él.
Por lo tanto, la clave está en encontrar formas de incorporar a nuestras prácticas
educativas las prácticas sociales y los códigos comunicativos de las matemáticas que
existen más allá del entorno escolar. Para lograr esta incorporación del mundo
matemático a nuestras aulas, existen diversos ámbitos y personas que se pueden abordar.
En esta discusión, nos centraremos específicamente en el papel del maestro.
Un aspecto importante de la enseñanza de matemáticas de manera
contextualizada es que el educador matemático tenga una comprensión profunda del
concepto matemático en sí, incluidos sus fundamentos, historia y aplicaciones en el
mundo real. Al conocer los orígenes de un tema matemático, los educadores pueden
comprender los problemas que llevaron a su desarrollo y encontrar situaciones similares
que pueden adaptarse con fines de aprendizaje. Por ejemplo, el descubrimiento del
número pi por civilizaciones antiguas como los griegos y los egipcios, que lo utilizaron
en problemas de medición relacionados con círculos, puede replicarse hoy en día si los
estudiantes manipulan objetos circulares para llegar a las mismas conclusiones. Además
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del contexto histórico, también es crucial comprender las aplicaciones modernas de los
conceptos matemáticos.
Los educadores deben hacer preguntas sobre la utilidad y relevancia del tema en
diferentes contextos y los problemas que puede resolver. También es importante
reconocer la conexión entre los problemas que se estudian y la estructura conceptual del
concepto matemático que se enseña. Se trata de identificar un conjunto de situaciones que
comparten un mismo tema de fondo, que puede ser natural, social o cultural. Por ejemplo,
al enseñar sobre pi, los educadores pueden presentar situaciones identificables a los
estudiantes, como diseñar maceteros en la escuela o resolver problemas de diseño
industrial que requieren elegir entre un contenedor cilíndrico o un paralelepípedo según
sus respectivas capacidades. En tales casos, el valor de pi juega un papel fundamental a
la hora de tomar la decisión.
Otro aspecto importante de la contextualización implica la capacidad de buscar
información y analizarla desde la perspectiva del aula. Para comprender los orígenes y
aplicaciones de ciertos temas matemáticos es necesario explorar diferentes fuentes de
información. Una fuente valiosa son las tecnologías de la información, que brindan acceso
a una gran cantidad de información a través de plataformas web 2.0. Esta abundancia de
información elimina la excusa de no tener conocimientos sobre un tema.
Los docentes deben buscar activamente estas fuentes y, lo que es más importante,
aprender a discernir cuáles son confiables y relevantes para la situación específica en
cuestión. Esto enfatiza la importancia de poder analizar la información que nos
proporciona. Los estudiantes también pueden desempeñar un papel en esta búsqueda de
información, ya que pueden ser guiados para convertirse en aliados en esta investigación.
Sin embargo, existen otras fuentes que a menudo se pasan por alto y se descuidan en el
panorama educativo actual, como las fuentes bibliográficas y los informantes clave.
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Los informantes clave son personas que poseen conocimientos y perspicacias
especializados, pero que rara vez son considerados por las escuelas. Si bien, podrían ser
fundamentales para incorporar conocimientos matemáticos utilizados fuera del contexto
escolar. Por ejemplo, si queremos enseñar a los estudiantes el concepto y cálculo de área,
podemos encontrar numerosos recursos en plataformas web 2.0 y en libros de texto
escolares que proporcionan conocimientos formales sobre el tema. Sin embargo, tenemos
una comprensión limitada de cómo los albañiles, ingenieros y arquitectos utilizan este
concepto matemático en sus profesiones. Es posible que sus enfoques no siempre se
alineen con lo que se enseña en la escuela, pero sus métodos se validan en su práctica
diaria. Entonces, ¿por qué no invitarlos a compartir sus conocimientos y experiencias con
los estudiantes? El objetivo no es reemplazar el conocimiento institucional con
conocimiento matemático derivado de prácticas sociales, sino más bien complementar
ambos mundos y lograr una mejor comprensión de sus potencialidades y limitaciones.
Al hacerlo, podemos cerrar la brecha entre las matemáticas que se enseñan en la escuela
y las que se utilizan fuera de ella.
Para comprender verdaderamente a los estudiantes y conectar con ellos a un nivel
más profundo, es esencial entablar conversaciones significativas y establecer vínculos
emocionales. Esto implica no solo buscar ideas de expertos y conocimientos establecidos,
sino también comunicarse activamente con nuestros estudiantes para conocer sus
intereses, necesidades y métodos de comunicación preferidos. Al fomentar esta conexión
profesor-alumno, podemos identificar qué contextos son más propicios para integrar las
matemáticas en la vida de nuestros estudiantes. Sin embargo, esto requiere que el docente
posea fuertes habilidades de comunicación y voluntad de entablar un diálogo.
Crear un entorno que apoye el diálogo es crucial para su desarrollo. Esto significa
ir más allá de la dinámica tradicional del aula y permitir la presentación y discusión de
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ideas matemáticas. Las clases deberían transformarse en foros donde todos puedan
expresar libremente sus opiniones y compartir sus hallazgos sobre situaciones de
aprendizaje matemático. No obstante, el papel del docente se extiende más allá de los
confines del aula. Es importante que participen activamente en otros espacios dentro de
la escuela o incluso fuera de ella, donde puedan entablar conversaciones sinceras y
continuas con sus estudiantes, la comunidad educativa y la sociedad en su conjunto. De
esta manera, podemos obtener una comprensión integral de las personas a las que
enseñamos, incluidas sus habilidades cognitivas y el entorno en el que operan, como su
origen social, dinámica familiar e influencias comunitarias.
Enseñar matemáticas de una manera que se relacione con la vida cotidiana del
estudiante implica integrar sus conceptos en situaciones de la vida real. Esto significa que
el contenido que se enseña en nuestras aulas debe tener un significado práctico para los
estudiantes. Desde nuestro punto de vista, creemos que este enfoque de la enseñanza de
las matemáticas puede ayudar a formar a los estudiantes como ciudadanos que
comprendan y transformen el mundo en el que viven, todo ello dentro de un marco de
respeto y libertad.
Creemos firmemente que la contextualización es válida y relevante en el sistema
educativo actual, pero es crucial señalar que esta contextualización no debe ser arbitraria.
Para contextualizar eficazmente las matemáticas, hay tres factores clave a considerar. En
primer lugar, el profesor debe tener un conocimiento profundo de los conceptos
matemáticos, sus orígenes y sus aplicaciones. En segundo lugar, el docente debe tener
conocimiento de los intereses, las necesidades y el contexto en el que habitualmente se
desenvuelven sus alumnos. Por último, el docente debe poseer la capacidad de buscar y
analizar información con el fin de ampliar sus propios conocimientos sobre matemáticas,
incluidos sus fundamentos y aplicaciones. Al hacerlo, el profesor puede crear situaciones
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de aprendizaje en las que las matemáticas se convierten en una herramienta para explicar
las realidades de la vida de los estudiantes, tanto presentes como futuras. Las
matemáticas escolares deberían ir más allá de la imagen tradicional de un conjunto de
teorías y reglas definidas deductivamente que permanecen sin cambios en el tiempo. Más
bien, debería verse como un tema en constante desarrollo, donde la orientación del
educador es crucial.
El docente debe reinventar constantemente sus clases en colaboración con los
estudiantes, explorando diversos contextos que contribuyan a una comprensión más
profunda de los conceptos matemáticos que se estudian. El objetivo es que los estudiantes
aprendan matemáticas participando activamente en actividades matemáticas y, para que
esto suceda, el contenido que se enseña debe ser significativo y relevante.
Todas estas ideas presentadas aquí plantean preguntas importantes sobre la
formación y el desarrollo profesional de los profesores de matemáticas. Estas preguntas
nos desafían a considerar qué matemáticas deberían aprender los futuros profesores, así
como qué herramientas teóricas y metodológicas deberían adquirir para reconocer las
matemáticas en diferentes contextos y diseñar situaciones de aprendizaje en
consecuencia. Estas preguntas, entre otras, podrían ser el foco de futuras investigaciones.
Como formadores de docentes, es nuestra responsabilidad abordar estos desafíos y
contribuir a rectificar la brecha de larga data entre docentes y estudiantes, que se ha
perpetuado al enseñar matemáticas aislada de los contextos del mundo real.
Las perspectivas didácticas de las matemáticas
Es preciso señalar que existe una distinción entre educación y didáctica. La
educación abarca un ámbito más amplio que la didáctica, permitiéndonos diferenciar
entre Educación Matemática y Didáctica de las Matemáticas. Al adoptar este enfoque, se
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define a la educación matemática como "todo el sistema de conocimientos, instituciones,
planes de formación y fines de formación" que constituyen una actividad social compleja
y diversa relacionada con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
La Didáctica de la Matemática, se refiere a la disciplina que estudia e investiga los
desafíos que se presentan en la educación matemática y propone acciones
fundamentadas para su transformación. Sin embargo, en el mundo de habla inglesa, el
término “Educación Matemática” se utiliza para referirse al campo del conocimiento que
se conoce como Didáctica de las Matemáticas en países como Francia, Alemania y España.
También se identifica la Educación Matemática como una disciplina científica y un
sistema social interactivo que abarca teoría, desarrollo y práctica.
En su diagrama, Steiner (1990) representa la Educación Matemática (ME) como
una disciplina que está conectada, como parte de ella, a otro sistema social complejo
llamado Sistema de Enseñanza de Matemáticas (SEM) - al que Steiner se refiere como "
Educación, Matemáticas y Enseñanza", que se representa como el círculo más grueso
fuera de YO. Dentro de este sistema existen varios subsistemas, entre ellos la propia clase
de matemáticas (CM), la formación docente (FP), el desarrollo curricular (CD) y la
Educación Matemática (ME) como institución que forma parte de la SEM. Steiner amplía
aún más el diagrama al incluir todo el sistema social relacionado con la comunicación de
las matemáticas, lo que abarca nuevas áreas de interés para la Educación Matemática,
como la cuestión del "nuevo aprendizaje en la sociedad" (NAS) provocado por el uso de
computadoras como un medio para enseñar ideas y habilidades matemáticas fuera del
contexto escolar.
También incluye el estudio de las interrelaciones entre la Educación Matemática y
la Educación en Ciencias Experimentales (ECE) dentro de este ámbito. Steiner considera
la actividad teorizante (TEM) como un componente de la educación matemática y, por
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tanto, del sistema más amplio al que nos referimos como SEM, que constituye el sistema
de enseñanza de las matemáticas. TEM se posiciona externamente para considerar y
analizar el sistema global integral en su conjunto.
Otro modelo que propone las relaciones entre la Educación Matemática y otras
disciplinas es el presentado por Higginson (1980), quien identifica las matemáticas, la
psicología, la sociología y la filosofía como las cuatro disciplinas fundamentales.
Higginson visualiza la Educación Matemática en términos de las interacciones entre estas
cuatro disciplinas, representadas por las caras de un tetraedro.
Estas diferentes dimensiones de la Educación Matemática engloban las cuestiones
fundamentales que surgen en nuestro campo, como qué enseñar (matemáticas), por qué
(filosofía), a quién y dónde (sociología), y cuándo y cómo (psicología). En el trabajo de
Higginson, también explora las aplicaciones de este modelo para aclarar aspectos
esenciales como comprender las perspectivas tradicionales sobre la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas, comprender los factores que han llevado a cambios
curriculares en el pasado y predecir cambios futuros, y examinar la evolución de las
concepciones sobre la investigación y la formación docente.
El estudio de las corrientes epistemológicas revela que las teorías científicas no
pueden existir de forma aislada ni ser producto de esfuerzos individuales. En lugar de
ello, debe haber una comunidad de investigadores que compartan intereses comunes y
acuerden los métodos apropiados para abordar los problemas de investigación. Es
importante lograr un equilibrio entre la autonomía personal en el desarrollo de nuevas
ideas y la necesidad de que estas ideas sean compartidas y probadas dentro de una
comunidad. Por tanto, las teorías son el resultado de esfuerzos de investigación
colaborativos dentro de un campo específico.
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Para que un campo de investigación sea considerado “ciencia normal” según los
criterios de Kuhn, deben cumplirse ciertas condiciones:
• En primer lugar, debe haber un grupo de investigadores que compartan intereses
comunes y se centren en estudiar las interrelaciones entre diferentes aspectos de
un fenómeno complejo del mundo real.
• En segundo lugar, las explicaciones proporcionadas por la teoría deben ser
causales y permitir hacer predicciones sobre el fenómeno.
• Finalmente, el grupo de investigadores debe acordar un vocabulario, una sintaxis
y procedimientos comunes para probar y evaluar la teoría.
Los conceptos, proposiciones y teorías científicas se distinguen de las
construcciones no científicas por su adhesión al método científico y al razonamiento
lógico, así como por su aceptación por parte de la comunidad científica. Sin embargo, el
requisito de un paradigma único o una comunidad unificada de especialistas, tal como
lo define Kuhn, puede ser demasiado restrictivo. En las ciencias sociales y humanas,
incluida la Educación Matemática, es natural y beneficioso tener escuelas de pensamiento
en competencia, ya que fomentan el desarrollo de diversas estrategias de investigación y
la exploración de problemas desde diferentes perspectivas.
La complejidad de los fenómenos estudiados puede requerir la coexistencia de
múltiples programas de investigación, cada uno de ellos respaldado por diferentes
paradigmas tomados de diversas disciplinas. El enfoque epistemológico de Bunge (1985),
que considera los campos científicos como conjuntos de líneas de investigación en
competencia, parece más adecuado para comprender el estado actual de la Didáctica de
las Matemáticas.
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Algunos autores han categorizado determinadas didácticas como meros
conocimientos técnicos o, a lo sumo, conocimientos tecnológicos, en lugar de reconocerlas
como ciencias de la educación por derecho propio. Si bien, al considerar la relación entre
teoría general y teoría específica, como explica Bunge, queda claro que la didáctica
especial no es simplemente subcampos o capítulos dentro de la didáctica general o la
psicología de la educación. Más bien, representan teorías específicas que abarcan aspectos
particulares del campo más amplio.
Cada teoría específica incluye la teoría general y las hipótesis subsidiarias que
describen las características únicas de los objetos que se estudian. Si bien comúnmente se
supone que la teoría general incluye todas las teorías específicas, Bunge sostiene que en
realidad es al revés. La teoría general puede derivarse de teorías específicas eliminando
las premisas específicas y centrándose sólo en los supuestos comunes a todas las teorías.
Esta distinción es importante cuando se consideran los fenómenos del aprendizaje
y la enseñanza. Es necesario preguntarse: ¿aprender de qué? ¿Enseñanza de qué? La
naturaleza del conocimiento que se enseña, así como los factores psicopedagógicos,
sociales y culturales, desempeñan un papel en la explicación y predicción de los
fenómenos de aprendizaje y enseñanza. Por lo tanto, la práctica de la Educación
Matemática, incluida la programación, el desarrollo curricular y las estrategias de
instrucción, debe tener en cuenta la especificidad del conocimiento que se enseña.
Las limitaciones de las teorías educativas generales existentes resultan en última
instancia en el desarrollo de nuevas teorías que son más adecuadas para explicar y
predecir los fenómenos que buscan comprender. De hecho, estas nuevas teorías pueden
incluso introducir ideas audaces e innovadoras que desafíen los fundamentos mismos de
las teorías establecidas. El estrecho marco de las técnicas de enseñanza tradicionales,
incluido el uso de la tecnología, es insuficiente para las teorías que se construyen dentro
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de ciertas ramas de la investigación en Educación Matemática. Los matemáticos, al
contemplar los procesos de creación y transmisión de conceptos matemáticos, se ven
obligados a asumir el papel de epistemólogos, psicólogos, sociólogos y educadores; en
otras palabras, también deben convertirse en practicantes didácticos.
Después de considerar detenidamente los criterios establecidos por diversos
autores para definir una disciplina científica, nos queda plantearnos si el campo de la
Didáctica de las Matemáticas cumple con estos requisitos. Específicamente, cuestionamos
si existe una comunidad de investigadores dentro de este campo que participen
activamente en el desarrollo de uno o múltiples programas de investigación que puedan
generar una teoría o teorías integrales de la Educación Matemática. La siguiente sección
tiene como objetivo proporcionar una visión general del estado actual de la investigación
en esta área, con un enfoque particular en las contribuciones realizadas por destacados
grupos de investigación como los grupos de Teoría de la Educación Matemática (TME) y
Psicología de la Educación Matemática (PME). Además, describiremos varias
perspectivas y enfoques clave en el campo, incluida la resolución de problemas y el
modelado, los marcos socioculturales, la escuela francesa de didáctica de las matemáticas,
el interaccionismo simbólico, el punto de vista sociocrítico y la fenomenología didáctica
de H. Freudenthal.
Educación Matemática: Teoría y Filosofía
Durante la década de 1990, la investigación en educación matemática en Estados
Unidos carecía de una base teórica sólida y no se centraba en la construcción de modelos
teóricos. Aunque, en las últimas dos décadas se ha producido un cambio significativo en
esta tendencia. Hoy en día, a la hora de publicar artículos en revistas de referencia, es
obligatorio proporcionar una referencia clara al marco teórico que sustenta los estudios.
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Este cambio es evidente en el creciente número de publicaciones que discuten y analizan
diversos enfoques teóricos y filosóficos de la educación matemática.
En 1984, el profesor Steiner tenía la intención de formar un grupo de investigación
en el V Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) que se centrara en el
desarrollo de una Teoría de la Educación Matemática. Esto llevó a la creación de un Área
Temática denominada "Teoría de la Educación Matemática" en el Congreso, que contó
con cuatro sesiones dedicadas. Después del Congreso, las discusiones continuaron en
reuniones posteriores y se formó un Grupo de Trabajo denominado TME (Teoría de la
Educación Matemática).
Los congresos TME que se han realizado desde entonces han demostrado que
existe una comunidad interesada en construir las bases teóricas de la Didáctica de las
Matemáticas como ciencia. Esta comunidad está formada por investigadores en
Educación Matemática, matemáticos, docentes, psicólogos educativos, sociólogos
educativos y formadores de docentes, entre otros. Steiner (1985) propone que la
Educación Matemática debería servir como vínculo entre las matemáticas y la sociedad.
Esto se puede lograr mediante la exploración de dimensiones olvidadas de las
matemáticas, como las dimensiones filosófica, histórica, humana, social y didáctica.
Al analizar las cuestiones planteadas dentro del Grupo TME, que ha atraído a una
mayoría de investigadores interesados en los fundamentos teóricos de la Educación
Matemática, podemos comenzar a comprender los conceptos centrales de la Didáctica de
las Matemáticas como disciplina científica. La formación de esta comunidad científica
está impulsada por intereses profesionales y ha propiciado una orientación académica en
su trabajo. Por ejemplo, en Alemania, entre 1960 y 1975, se crearon más de 100 cátedras
en las escuelas de formación de profesores, específicamente para los departamentos de
matemáticas.
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En España se produce un fenómeno similar desde 1985 con el reconocimiento de
la Didáctica de las Matemáticas como área de conocimiento y la creación de
departamentos universitarios para profesores de esta área. Sin embargo, existe el riesgo
de que la Educación Matemática quede desconectada de la realidad social debido a este
enfoque académico. En general, el Grupo TME y sus conferencias tienen como objetivo
avanzar en los fundamentos teóricos de la Educación Matemática y promover su
integración con otras disciplinas, considerando al mismo tiempo sus implicaciones
prácticas y su relevancia social.
Para abordar estos componentes, el Grupo TME explora diversos temas como la
definición de la Educación Matemática como disciplina, el uso de modelos y teorías en la
investigación, el papel de los macromodelos y micromodelos, el debate entre teorías
específicas y enfoques interdisciplinarios. , las relaciones entre la Educación Matemática
y sus campos referenciales, y los aspectos éticos, sociales y políticos de la Educación
Matemática.
Asimismo, el grupo enfatiza la importancia de la teoría de sistemas,
particularmente las teorías de sistemas sociales, para entender la Educación Matemática
como un sistema interactivo. El programa de desarrollo del Grupo TME se centra en el
estado actual y las perspectivas futuras de la Educación Matemática como campo
académico y como intersección entre investigación, desarrollo y práctica. Este programa
consta de tres componentes:
• (A) identificar y formular problemas fundamentales en la orientación,
fundamento, metodología y organización de la Educación Matemática,
• (B) desarrollar un enfoque integral de la Educación Matemática como un sistema
interactivo, y
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• (C) examinar los interdependencias y condicionantes en la Educación Matemática,
incluido el análisis de las complementariedades.
La Segunda Conferencia del Grupo TME, que tuvo lugar en 1985 en el Institut für
Didaktik der Mathematik (IDM) de la Universidad de Bielefeld, se centró en el tema más
amplio de "Fundamentos y metodología de la disciplina Educación Matemática
(Didáctica) de las Matemáticas. " Esta conferencia destacó principalmente el papel de la
teoría y la teorización en dominios específicos dentro de la Educación Matemática.
Algunos de los temas específicos discutidos incluyeron teorías sobre la enseñanza, la
teoría de situaciones didácticas, la teoría interaccionista del aprendizaje y la enseñanza,
el papel de las metáforas en la teoría del desarrollo, teorías empíricas en la enseñanza de
las matemáticas, teorías matemáticas fundamentales, conceptos teóricos para la
enseñanza de las matemáticas aplicadas, teoría de la representación para comprender el
aprendizaje matemático y estudios históricos sobre el desarrollo teórico de la educación
matemática como disciplina.
Los grupos de trabajo de la conferencia se dedicaron a analizar el uso de modelos,
métodos, teorías, paradigmas y otras herramientas de investigación dentro de diferentes
dominios de investigación. A pesar de la diversidad de temas discutidos en las
conferencias TME, todavía no existe un consenso claro sobre las cuestiones centrales y los
conceptos fundamentales dentro de la Educación Matemática. Si bien las conferencias
han generado muchos resultados parciales y orientación práctica para el aula, todavía
falta progreso hacia el establecimiento de una disciplina académica cohesiva con sus
propios fundamentos teóricos.
El tema de la Tercera Conferencia, celebrada en 1988 en Amberes, Bélgica, se centró
en el papel y las implicaciones de la investigación en Educación Matemática para la
formación de profesores. Esta conferencia tuvo como objetivo abordar la importante
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brecha que existe entre la enseñanza y el aprendizaje en este campo. Algunas de las
cuestiones específicas discutidas incluyeron la brecha entre la enseñanza y el aprendizaje
en las clases de matemáticas, la brecha entre la investigación sobre la enseñanza y la
investigación sobre el aprendizaje, los modelos para el diseño de la enseñanza basados
en la investigación sobre el aprendizaje, la necesidad de teoría e investigación en los
trabajos y proyectos de desarrollo, el papel del contenido y las diferentes perspectivas de
las matemáticas para cerrar la brecha entre la investigación y el aprendizaje, el papel de
la interacción social en el aula y las implicaciones del tema de la conferencia en la
formación docente. Además, la conferencia exploró el papel de las computadoras como
tercer componente en la interacción enseñanza-aprendizaje.
La cuarta Conferencia, celebrada en Oaxtepec, México en 1990, se centró en dos
temas principales: las relaciones entre las orientaciones teóricas y los métodos de
investigación empírica en la Educación Matemática, y el papel de los aspectos y enfoques
holísticos y sistémicos en la Educación Matemática. Esta jornada marcó también el inicio
de la presentación de diversos programas de formación de investigadores en Educación
Matemática en diferentes universidades, tanto a nivel de doctorado como de máster.
Como parte de esta iniciativa, se distribuyó un cuestionario a universidades de todo el
mundo para recopilar información sobre la formación de investigadores, con el objetivo
de establecer una red para el intercambio de información y discusión sobre el tema.
La organización de la investigación en Educación Matemática es una disciplina
que cumple dos propósitos principales:
• En primer lugar, proporciona información y datos sobre el estado actual, los
problemas y las necesidades de la Educación Matemática, teniendo en cuenta las
diferencias nacionales y regionales.
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• En segundo lugar, contribuye al desarrollo de metaconocimiento y una actitud
autorreflexiva, que sirve como base para el establecimiento e implementación de
programas de desarrollo en Educación Matemática.
En la quinta Conferencia, celebrada en 1991 en Paderno del Grappa, Italia, se
presentó un informe preliminar sobre los resultados de la encuesta sobre la formación de
investigadores. Además, se presentaron diversos trabajos sobre el papel de las metáforas
y metonimias en la Matemática, la Educación Matemática y en la clase de matemáticas,
así como el papel de la interacción social y el desarrollo del conocimiento desde la
perspectiva de Vygotsky. Estas conferencias demuestran la amplia gama de temas
estudiados dentro del campo de la Educación Matemática, incluidas las matemáticas en
sí, el diseño curricular, la construcción del significado matemático por parte de los
estudiantes, las interacciones profesor-alumno, la preparación de profesores y métodos
de investigación alternativos.
Los objetivos de esta red (TME) incluyen explorar los desarrollos actuales en la
filosofía de las matemáticas, como el falibilismo de Lakatos, y otras perspectivas
humanistas. También pretenden profundizar en los aspectos filosóficos de la educación
matemática, garantizando que la reflexión filosófica reciba la misma consideración que
otras disciplinas de este campo. Además, su objetivo es establecer una red internacional
abierta de personas interesadas en estos temas y brindar oportunidades para el
intercambio y avance de ideas y perspectivas. La red busca fomentar la comunicación
informal, el diálogo y la cooperación internacional entre profesores, investigadores y
otras personas involucradas en la investigación teórica y filosófica sobre matemáticas y
educación matemática.
El interés por los fundamentos teóricos y filosóficos de la educación matemática
ha crecido significativamente desde 2005, particularmente después de que se celebró un
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foro de investigación dedicado a este tema en la Reunión Anual del Grupo PME en
Melbourne. Desde entonces, numerosos investigadores han publicado diversos trabajos
en la revista ZDM y el tema también ha llamado la atención en uno de los grupos de
trabajo del CERME (Congreso Europeo de Investigación en Educación Matemática).
Este creciente reconocimiento del interés por la teoría de la educación matemática
también puede verse en los manuales de investigación en este campo. Por ejemplo, Silver
y Herbst (2007) ofrecen una visión general del estado de la teoría en la investigación en
educación matemática en el "Second Handbook of Research on Mathematics Teaching
and Learning" editado por Lester (2007). Además, Coob (2007) explora el tema "Poner la
filosofía a trabajar: afrontar múltiples perspectivas teóricas" en el mismo manual.
La importancia del desarrollo de la teoría también se destaca en la primera y
segunda edición del "Handbook of International Research in Mathematics Education" de
English (2002) y (2008), respectivamente. Estos esfuerzos han culminado con la
publicación de "Teorías de la educación matemática. Buscando nuevas fronteras" editado
por Sriramn e English (Springer, 2010), que contiene 19 capítulos principales junto con
prefacios y comentarios preparados por varios autores. Los temas cubiertos en este libro
incluyen perspectivas sobre teorías y filosofías de la educación matemática, reflexiones
sobre las teorías del aprendizaje, fundamentos teóricos y filosóficos de la investigación
en educación matemática, la pluralidad de teorías de la educación matemática, la
reconceptualización de la educación matemática como una ciencia de diseño, el ciclo
fundamental de construcción de conceptos que subyace a diferentes marcos teóricos,
símbolos y mediaciones en la educación matemática, y más.
La importancia de construir teorías es evidente, ya que sirven como guía para
formular problemas de investigación e interpretar sus hallazgos. Los marcos teóricos
permiten organizar el conocimiento dentro de un campo específico, lo que es un paso
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inicial hacia una comprensión integral de las conexiones que existen en nuestras
percepciones. La teorización es un requisito previo para que un área del conocimiento
alcance un estatus científico y cumpla su función de explicar y predecir fenómenos. De
hecho, se puede argumentar que la investigación científica significativa siempre está
guiada por una teoría, incluso si no se establece explícitamente.
Como sugiere Mosterín (1987), las teorías nos permiten traer orden conceptual al
mundo caótico e informe, permitiéndonos reducir la complejidad a una fórmula. Nos
proporcionan herramientas para la extrapolación, la explicación y, en última instancia,
un medio para comprender y ejercer control sobre el mundo, incluso si se trata de una
comprensión y un control siempre inciertos y problemáticos.
Mosterín también ofrece una metáfora convincente, comparando las teorías con
las telas de araña que nosotros, como las arañas, usamos para capturar y darle sentido al
mundo. Estas redes no deben confundirse con la realidad misma, pero sin ellas, ¿cuánto
más lejos estaríamos de poder captar y, en última instancia, apreciar el mundo que nos
rodea? Según Lester (2010), emplear un marco teórico para conceptualizar y guiar la
investigación ofrece varias ventajas importantes:
• Un marco proporciona una estructura para conceptualizar y diseñar estudios de
investigación. Específicamente, ayuda a determinar la naturaleza de las preguntas
que se formulan, la formulación de estas preguntas, la definición de conceptos,
constructos y procesos dentro de la investigación, así como los métodos de
investigación aceptables para descubrir y justificar nuevos conocimientos sobre el
tema que se estudia.
• Sin un marco, los datos carecen de significado. El hecho de que un conjunto de
datos pueda considerarse evidencia de algo está determinado por las suposiciones,
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creencias y el contexto en el que se recopilaron los datos. Un aspecto importante
de las creencias de un investigador es el marco, ya sea basado en teoría o no, que
está utilizando. Este marco permite la interpretación del conjunto de datos.
• Un marco sólido nos permite ir más allá del sentido común. Una comprensión
profunda, derivada del compromiso con la construcción de teorías, suele ser
crucial para abordar problemas verdaderamente importantes.
• El objetivo es lograr una comprensión profunda. Como investigadores, debemos
esforzarnos por obtener una comprensión integral de los fenómenos que estamos
estudiando, centrándonos en cuestiones importantes en lugar de buscar
únicamente soluciones a problemas y dilemas inmediatos.
El marco de investigación ayuda a desarrollar esta comprensión profunda al
proporcionar una estructura para diseñar estudios de investigación, interpretar los datos
resultantes y sacar conclusiones. Lester (2010) distingue entre tres tipos de marcos de
investigación:
• Marcos teóricos, que guían las actividades de investigación basadas en una teoría
formal que ofrece una explicación coherente y establecida de ciertos fenómenos y
relaciones. Ejemplos de teorías relevantes utilizadas en el estudio del aprendizaje
incluyen la teoría del desarrollo intelectual de Piaget y la teoría del
constructivismo sociohistórico de Vygotsky.
• Marcos prácticos, que se basan en el conocimiento práctico acumulado por
profesionales y administradores, resultados de investigaciones previas y, a
menudo, ideas de la opinión pública. Estos marcos guían la investigación
basándose en lo que se ha demostrado que funciona en la práctica. Las preguntas
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de investigación se derivan de esta base de conocimientos y los resultados de la
investigación se utilizan para respaldar, ampliar o revisar las prácticas existentes.
• Marcos conceptuales, que son modelos teóricos locales que justifican la elección
de conceptos y sus relaciones en un problema de investigación particular.
Al igual que los marcos teóricos, los marcos conceptuales se basan en
investigaciones previas, pero se construyen utilizando una variedad de fuentes, tanto
comunes como diversas. El marco utilizado puede basarse en diferentes teorías y aspectos
del conocimiento práctico, dependiendo del argumento del investigador sobre lo que es
relevante e importante para el problema de investigación.
Burkhardt (1988) distingue entre dos tipos de teorías: teorías "fenomenológicas" y
"teorías fundamentales". Las teorías fenomenológicas surgen directamente de los datos y
proporcionan un modelo descriptivo de fenómenos específicos. Se caracterizan por su
aplicabilidad limitada pero son detalladas y específicas en sus descripciones y
predicciones. Pueden resultar útiles en el diseño curricular y en la comprensión de
fenómenos debido a su proximidad a la realidad.
Una teoría de tipo fundamental es un marco conceptual que abarca variables y sus
relaciones, capturando los elementos esenciales de un conjunto de fenómenos. Posee
cualidades tanto descriptivas como predictivas y es integral dentro de un dominio
claramente definido. Este tipo de teorías sirven como modelos analíticos con el objetivo
de explicar una amplia gama de fenómenos utilizando una pequeña cantidad de
conceptos fundamentales. La definición es particularmente aplicable a campos como la
física y la biología, donde teorías como la mecánica newtoniana y la teoría genética de
Mendel se alinean con este marco. Sin embargo, al examinar teorías en el ámbito de las
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ciencias humanas, como el "conductismo", el "constructivismo" y las "teorías del
desarrollo", Burkhardt plantea preguntas sobre su naturaleza y alcance.
Si bien estas teorías ofrecen estructuras para comprender los fenómenos, carecen
de integridad dentro de un dominio limitado. En consecuencia, deben usarse
entendiendo que carecen de mecanismos establecidos para una integración confiable en
un modelo predictivo. Burkhardt las considera descripciones demasiado simplistas de
sistemas complejos, que pueden resultar potencialmente problemáticas. En el contexto de
las ciencias físicas, estas teorías no pueden clasificarse como teorías integrales o incluso
como modelos; más bien, son descripciones de "efectos": aspectos importantes de un
sistema de comportamiento que deben tenerse en cuenta. Sin embargo, cada una de estas
descripciones, por sí sola, es inadecuada y puede dar lugar a malentendidos.
La psicología de la educación en matemática
En el ámbito de la Educación Matemática también existe una importante influencia
desde la perspectiva psicológica en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Sin embargo, este predominio del enfoque psicológico pasa por alto la importancia del
equilibrio y la complementariedad con las otras disciplinas fundamentales de la
Educación Matemática. Esta influencia es evidente a través de la prominencia del Grupo
Internacional PME (Psicología de la Educación Matemática), que se estableció durante el
Segundo Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) y continúa
celebrando reuniones anuales.
Entre los principales objetivos de este grupo, tal y como recogen sus estatutos, se
encuentran promover la colaboración y el intercambio internacional de información
científica relacionada con la Psicología de la Educación Matemática, fomentar la
investigación interdisciplinar en esta área involucrando a psicólogos, matemáticos y
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profesores de matemáticas, y profundizar en su conocimiento. de los aspectos
psicológicos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y sus implicaciones.
La revisión de los informes de investigación presentados en las reuniones anuales
de la PME revela que abarcan investigaciones tanto empíricas como teóricas, cubriendo
una amplia gama de temas que se extienden más allá de los estrictos límites de la
psicología. Si bien no es posible proporcionar una descripción detallada de las
discusiones sostenidas en estas conferencias debido a su amplitud, vale la pena
mencionar el esquema de clasificación de los informes de investigación, ya que representa
ampliamente las áreas actuales de enfoque dentro del campo.
La interacción cognitiva se refiere a teorías instruccionales que enfatizan el
intercambio de información entre profesores y estudiantes, con el objetivo de facilitar la
asimilación de información correcta por parte de los estudiantes. Esta perspectiva incluye
teorías propuestas por Piaget, Bruner y Ausubel, así como aquellas que resaltan la
interacción entre el contenido instruccional y los procesos y habilidades cognitivas de los
estudiantes. La interacción social, por otro lado, prioriza el papel de los individuos
involucrados en la instrucción como facilitadores del aprendizaje. Esta perspectiva está
representada por Vygotsky y Bandura.
Por último, las teorías de interacción contextual, defendidas por Skinner, Gagné y
Cronbach, entre otros, enfatizan la interacción entre individuos y variables contextuales
en el proceso de instrucción. La psicología educativa es un campo de estudio que se centra
en el examen científico de los procesos de enseñanza y aprendizaje, así como de los
desafíos que pueden surgir dentro de estos contextos. Según Gimeno Sacristán (1986),
existen diversas perspectivas que ven la enseñanza como una técnica derivada
directamente de una teoría psicológica del aprendizaje, que le sirve de fundamento. Sin
embargo, esta dependencia de la psicología se considera perjudicial para el desarrollo de
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un campo teórico único tanto para la Didáctica General como para la Didáctica Especial,
ya que restringe su capacidad para crear sus propias teorías.
En consecuencia, la psicología educativa tiene el potencial de dominar el estudio
del comportamiento humano en situaciones de enseñanza, limitando el alcance de la
Didáctica. Dentro de la psicología educativa existe una rama conocida como psicología
de la instrucción, la cual es definida como una "disciplina científica y aplicada que surgió
de la psicología educativa y se centra en el estudio de las variables psicológicas y su
interacción con el componentes de los procesos de enseñanza y aprendizaje, impartidos
por materias específicas, con el objetivo de enseñar contenidos o habilidades específicas
a individuos igualmente específicos, dentro de un contexto específico".
Los investigadores analizan y clasifican diferentes teorías y modelos
instruccionales desde una perspectiva interaccionista en tres tipos: interacción cognitiva,
social y contextual. Al considerar las cuestiones esenciales de la Educación Matemática
que pueden beneficiarse de un enfoque psicológico, Vergnaud (1988) identifica el análisis
de la conducta de los estudiantes, sus representaciones y los fenómenos inconscientes que
ocurren en sus mentes, además de centrarse en las conductas, representaciones, y
fenómenos inconscientes de profesores, padres y otros participantes. Además, destaca
cuatro tipos de fenómenos que pueden estudiarse fructíferamente desde una perspectiva
psicológica: la organización jerárquica de las competencias y concepciones de los
estudiantes, la evolución a corto plazo de conceptos y habilidades en el aula, las
interacciones sociales y los fenómenos inconscientes, y la identificación de teoremas,
esquemas y símbolos reales.
Dentro del enfoque psicológico, uno de los desafíos clave es identificar teorías
sobre el aprendizaje matemático que puedan servir como base para la enseñanza. La
investigación sobre el aprendizaje ha proporcionado una visión limitada de muchos
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problemas centrales de la instrucción, y la investigación sobre la enseñanza a menudo
asume suposiciones implícitas sobre el aprendizaje de los niños que no son consistentes
con las teorías cognitivas actuales del aprendizaje.
Se han hecho intentos de aplicar teorías generales sobre el aprendizaje para derivar
principios que puedan guiar la instrucción. Sin embargo, la instrucción basada en el
conductismo tiende a fragmentar el currículo en partes aisladas que pueden aprenderse
mediante refuerzo, lo que no conduce a una instrucción matemática eficaz que requiere
una comprensión de conceptos matemáticos fundamentales. De manera similar, las
teorías del aprendizaje derivadas de la epistemología genética de Piaget no han explicado
adecuadamente la capacidad de los niños para aprender conceptos y habilidades
matemáticas.
Esta expansión del campo de interés de la PME ha llevado a algunos, como
Fischbein (1990), a sugerir que la psicología de la educación matemática se está
convirtiendo en el paradigma de la educación matemática en su conjunto. Fischbein
sostiene que la simple adopción de cuestiones, conceptos, teorías y metodologías de la
psicología general no ha dado los resultados esperados. Explica que la psicología no es
una disciplina deductiva, por lo que la aplicación de principios generales a un dominio
específico no suele conducir a descubrimientos significativos.
Incluso los dominios de la psicología estrechamente relacionados con la educación
matemática, como la resolución de problemas, la memoria, las estrategias de
razonamiento, la creatividad, la representación y la imaginación, no proporcionan
directamente recomendaciones útiles y prácticas para la educación matemática y pueden
no ser la fuente principal de problemas en este campo. Así, la dinámica del simbolismo
matemático requiere un sistema específico de conceptos más allá de los inspirados en la
psicología general.
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Asimismo, los conceptos psicológicos habituales adquieren nuevos significados en
el contexto de las matemáticas y la educación matemática. Un supuesto fundamental que
subyace a la investigación actual sobre el aprendizaje se deriva de los estudios cognitivos,
que sugieren que los niños construyen activamente conocimientos a través de su
interacción con el entorno y la organización de sus propios constructos mentales. Si bien
la instrucción ciertamente influye en lo que aprende un niño, no determina su
aprendizaje.
El niño es un participante activo en el proceso de adquisición de conocimientos,
interpretando, estructurando y asimilando información a partir de sus propios marcos
mentales. Como señala Vergnaud, la mayoría de los psicólogos interesados en la
educación matemática hoy en día pueden considerarse constructivistas en algún sentido,
ya que creen que los propios estudiantes construyen competencias y concepciones.
Según Kilpatrick (1987), el punto de vista constructivista implica dos principios: el
conocimiento es construido activamente por el alumno y no se recibe pasivamente del
entorno, y el proceso de adquisición de conocimiento organiza el propio mundo
experiencial en lugar de descubrir un mundo independiente y preexistente. mundo
externo a la mente del alumno. Sin embargo, cabe señalar que no todas las investigaciones
en el campo se alinean con esta perspectiva. Además de los problemas psicológicos
iniciales que enfrentó el grupo PME, el debate en torno a la investigación ha puesto de
relieve la necesidad de considerar nuevos aspectos.
Dos aspectos destacables incluyen la especificidad del conocimiento matemático y
la dimensión social. Para estudiar el aprendizaje del álgebra, la geometría o el cálculo es
necesario realizar un análisis epistemológico profundo de los conceptos matemáticos
involucrados. También es importante reconocer que el significado de estos conceptos no
se basa únicamente en su definición formal, sino más bien en los procesos involucrados
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en su operación. Por lo tanto, la atención debería centrarse en estudiar los procesos
cognitivos de los estudiantes en lugar de sus habilidades o producciones actuales.
La dimensión social es otro factor crucial a considerar en la investigación sobre la
psicología de la educación matemática. El estatus social del conocimiento que se enseña
y el papel de las interacciones sociales en el proceso de enseñanza requieren una
cuidadosa consideración. Pasar de estudios centrados en el niño a estudios centrados en
el estudiante como aprendiz en el aula es un paso significativo en el desarrollo de la
investigación en este campo.
El estudiante es un niño involucrado en un proceso de aprendizaje dentro de un
ambiente específico, donde las interacciones sociales con sus compañeros y el maestro
juegan un papel vital. Esta evolución del problema de investigación requiere el desarrollo
de observaciones más sistemáticas del aula y la organización de procesos de enseñanza
específicos. También requiere el uso de nuevas herramientas teóricas y metodológicas
para producir resultados sólidos que tengan importancia tanto teórica como práctica.
Sin embargo, la falta de especificidad entre los investigadores con respecto a las
condiciones físicas y sociales en las que se adquiere el conocimiento permite una amplia
gama de puntos de vista epistemológicos. Estos van desde el constructivismo simple, que
sólo reconoce un principio, hasta el constructivismo radical, que acepta ambos principios
y niega la capacidad de la mente para reflejar aspectos objetivos de la realidad. También
existe el constructivismo social, que enfatiza la importancia del conflicto cognitivo en la
construcción de la objetividad.
Según Vergnaud, la solución a este dilema epistemológico es bastante simple: la
construcción del conocimiento implica formar gradualmente representaciones mentales
que son homomórficas a la realidad en algunos aspectos pero no en otros. Desde una
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perspectiva metodológica, los científicos cognitivos observan en detalle los procesos de
resolución de problemas de los individuos, buscando patrones en su comportamiento e
intentando caracterizar estos patrones con suficiente precisión para que los estudiantes
los utilicen como guías para la resolución de problemas.
Su objetivo es construir "modelos de proceso" de la comprensión de los
estudiantes, que luego se prueban utilizando programas informáticos que simulan el
comportamiento del solucionador. Como educadores matemáticos, debemos
cuestionarnos si la metáfora informática explica adecuadamente los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y qué implicaciones tienen las teorías del
procesamiento de la información para la enseñanza matemática.
Kilpatrick advierte contra la dependencia excesiva de la metáfora informática,
recordándonos que la educación no debería consistir únicamente en transmitir
información. Si bien la metáfora de la información puede resultar útil, es importante
reconocer que existen diferentes tipos de información y que algo se pierde cuando la
educación se define únicamente en términos de adquisición de información. Algunos
autores proponen un enfoque diferente a los procesos de resolución de problemas y de
enseñanza-aprendizaje, uno que asigna un papel más activo al solucionador y tiene en
cuenta las especificidades del contenido matemático, así como el papel del solucionador.
Cuando se trata del aprendizaje de las matemáticas y el procesamiento de la
información, actualmente no existe una teoría ampliamente aceptada que abarque todos
los detalles necesarios. Se identifican dos enfoques principales de investigación en este
campo: el constructivismo, como se mencionó anteriormente, y el enfoque de ciencia
cognitiva - procesamiento de información, que ha tenido un impacto significativo en el
estudio del aprendizaje matemático.
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Schoenfeld (1987) afirma que la hipótesis subyacente de la ciencia cognitiva es que
las estructuras mentales y los procesos cognitivos son complejos pero pueden entenderse,
lo que conduce a una mejor comprensión del pensamiento y el aprendizaje. El objetivo
principal es explicar qué constituye el "pensamiento productivo" o la capacidad de
resolver problemas significativos. La ciencia cognitiva utiliza la metáfora de la mente
como computadora para entender la cognición como procesamiento de información y, en
consecuencia, para comprender los procesos de enseñanza y aprendizaje.
El cerebro y la mente se comparan con la computadora y su programa, donde la
cognición se lleva a cabo mediante un mecanismo de procesamiento central controlado
por un sistema ejecutivo que mantiene la conciencia de sus acciones. Los modelos
mentales se consideran similares a los modelos de computadora de propósito general con
un procesador central capaz de almacenar y ejecutar programas. En estos modelos, la
mente se considera unitaria, con estructuras mentales y operaciones invariantes en
diferentes contenidos. Se cree que un único mecanismo subyace a la capacidad de
resolver una clase particular de problemas.
La resolución de problemas
A pesar de la atención prestada a la investigación sobre resolución de problemas,
existen dudas sobre su relevancia para la práctica escolar. Algunos argumentan que
enseñar a los estudiantes estrategias y fases de resolución de problemas tiene poco
impacto en su capacidad para resolver problemas matemáticos generales. Esto plantea la
pregunta de por qué la resolución de problemas es tan difícil para la mayoría de las
personas en matemáticas. Desde nuestra perspectiva, la resolución de problemas no es
sólo un objetivo de la enseñanza de las matemáticas, sino el medio esencial para lograr el
aprendizaje.
Pág. 94
Los estudiantes deben tener oportunidades regulares para participar en tareas
desafiantes de resolución de problemas, lo que les ayudará a desarrollar habilidades de
pensamiento crítico, perseverancia, curiosidad y confianza en situaciones desconocidas.
La resolución de problemas debe integrarse en el plan de estudios de matemáticas y no
tratarse como un componente separado. Debe estar conectado con el estudio de diferentes
áreas de contenido matemático e incorporar contextos que sean relevantes para la vida
de los estudiantes y otras disciplinas. Sin embargo, faltan estudios que exploren el
desarrollo conceptual que surge de la resolución de problemas y su interacción con el
desarrollo de competencias para la resolución de problemas.
La resolución de problemas se ha convertido en los últimos años en un área
importante de investigación en educación matemática. Esta investigación fue impulsada
inicialmente por el influyente trabajo de Polya en 1945, que condujo a una gran cantidad
de estudios sobre temas como la resolución de problemas simulados por computadora,
la resolución de problemas expertos, estrategias, heurísticas, procesos metacognitivos y
planteamiento de problemas. Más recientemente, ha habido un énfasis creciente en el
modelado matemático en los grados de escuela primaria y secundaria, así como en la
resolución de problemas interdisciplinarios. Muchos de los primeros estudios se
centraron en los típicos problemas planteados que se encuentran en los textos y exámenes
escolares.
Estos problemas pueden ser rutinarios, que requieren métodos de cálculo
estándar, o no rutinarios, que implican encontrar una solución cuando el camino no es
obvio. Los problemas no rutinarios son particularmente desafiantes para los estudiantes.
La importancia otorgada a la resolución de problemas en el currículo y la investigación
educativa surge de la creencia de que la resolución de problemas es el núcleo de las
matemáticas. Autores como Lakatos y Polya han contribuido a esta perspectiva, y Polya
Pág. 95
describe cuatro fases de la resolución de problemas: comprender el problema, concebir
un plan, ejecutar el plan y examinar la solución.
El libro de Polya ha sido muy considerado por los educadores de matemáticas
como un recurso valioso para mejorar las habilidades de los estudiantes para resolver
problemas no rutinarios y abordar la pregunta común de qué hacer cuando se atasca en
un problema. Sin embargo, mientras que el trabajo de Polya describe al solucionador de
problemas ideal, la investigación de Schoenfeld se centra en el comportamiento real de
los solucionadores de problemas reales. Schoenfeld sugiere que la instrucción en
resolución de problemas debería ayudar a los estudiantes a desarrollar un repertorio de
estrategias específicas para diferentes tipos de problemas, promover estrategias
metacognitivas para la autorregulación y trabajar para mejorar las creencias de los
estudiantes sobre las matemáticas y la resolución de problemas.
Las perspectivas socioculturales analizadas por Sierpinska y Lerman resaltan la
importancia de considerar el contexto social y cultural en la investigación en educación
matemática. Comprender el papel de los factores sociales, la mediación de las
herramientas y el desarrollo de la conciencia puede contribuir a un enfoque más integral
y eficaz de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Un enfoque de investigación
que se ha desarrollado en esta línea es la Teoría de la Actividad. Esta teoría enfatiza el
papel de la persona actuante y la mediación de significado entre el individuo y el mundo.
Para el niño, la sociedad y la cultura están mediadas a través de herramientas,
particularmente herramientas culturales.
El pensamiento y el lenguaje se consideran relacionados dialécticamente, ya que
el lenguaje proporciona al niño significados histórico-culturales heredados, pero estos
significados se reconfiguran continuamente a través de la comunicación y la acción
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intersubjetivas. En los últimos años, ha habido un creciente interés en el contexto social
del aula de matemáticas en la investigación en educación matemática.
El papel del contexto social en el desarrollo de individuos o grupos se ha teorizado
de diversas maneras. Sin embargo, el enfoque actual ha pasado de identificar factores
sociales en el dominio afectivo a comprender el impacto del entorno social y cultural
general en el desarrollo infantil. En su revisión de 1996 de las epistemologías en la
educación matemática, Sierpinska y Lerman discuten las visiones socioculturales que se
han aplicado al campo de la investigación. El término "sociocultural" se refiere a
epistemologías que ven a los individuos situados dentro de culturas y situaciones
sociales, por lo que es necesario considerar el contexto y la actividad cuando se habla de
conocimientos o individuos.
El conocimiento se considera producido culturalmente, sujeto a cambios e
influenciado por valores y regulaciones sociales. A Vygotsky y sus seguidores, por otra
parte, les preocupaba principalmente el aprendizaje y la enseñanza. Vygotsky no
profundizó en la naturaleza de las matemáticas ni de otras formas de conocimiento,
excepto en la psicología, que pretendía redefinir como una ciencia materialista. Su
principal objetivo era el desarrollo de la conciencia, que creía que estaba impulsada por
la comunicación y el aprendizaje.
Vygotsky identificó dos tipos de pensamiento: el pensamiento ordinario o
espontáneo, que ocurre informalmente a través de interacciones con pares y adultos, y el
pensamiento científico o teórico, que apunta conscientemente a enseñar y aprender a
través de la apropiación del conocimiento cultural por parte del niño. Un aspecto
importante del enfoque de Vygotsky es el reconocimiento de que los individuos y el
mundo que habitan son productos de su tiempo y lugar. La psicología de un individuo,
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expresada como conciencia, está moldeada por la mediación de herramientas, que están
influenciadas por el contexto social, histórico y cultural.
Esta perspectiva desafía la dualidad cartesiana y enfatiza la interconexión del
sujeto y el objeto. Con base en esta comprensión, se sostiene que no existe un paralelismo
entre los obstáculos epistemológicos en matemáticas y los obstáculos cognitivos en el
aprendizaje. Por ejemplo, el concepto de números negativos enfrentó obstáculos
epistemológicos en el desarrollo de las matemáticas en Occidente, pero hoy los niños
pueden aprender sobre los números negativos sin recrear esa lucha histórica.
Esto sugiere que no existe ninguna razón inherente para suponer un paralelo
similar entre los obstáculos epistemológicos y cognitivos. Vygotsky introdujo el concepto
de zona de desarrollo próximo, que se refiere a la diferencia entre lo que un niño puede
hacer de forma independiente y lo que puede lograr con la ayuda de un compañero o un
adulto experimentado. Este concepto resalta la importancia de aprender con otros y
sugiere que el aprendizaje conduce al desarrollo.
La perspectiva contradice la creencia de Piaget de que el desarrollo, representado
por etapas del desarrollo infantil, impulsa el aprendizaje. Vygotsky también enfatizó el
proceso de internalización, que implica la formación de la conciencia a través de la
mediación de herramientas que son expresiones de la situación social, histórica y cultural.
Este punto de vista integra la enseñanza y el aprendizaje a nivel escolar.
Lave introdujo el concepto de conocimiento en acción, que contrasta con una
perspectiva cognitiva y enfatiza el papel del contexto en las prácticas matemáticas. Sus
estudios se centraron principalmente en la aplicación de habilidades matemáticas en la
vida cotidiana y situaciones laborales. Lave criticó el enfoque tradicional de las
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matemáticas escolares, que prioriza técnicas y habilidades generalizables, argumentando
que debería ser más relevante para la vida cotidiana.
El concepto de socioepistemología se utiliza principalmente en la comunidad
matemática educativa latinoamericana. Es un marco teórico que sugiere examinar la
producción y difusión del conocimiento matemático desde diversas perspectivas. Este
marco se originó a partir de la investigación realizada por Cantoral, Farfán y otros
académicos de la Sección de Educación Superior del Departamento de Matemática
Educativa del CINVESTAV (IPN, México).
La socioepistemología no sólo ofrece una comprensión ampliada de la
epistemología, enfatizando la relatividad socioepistémica de los significados de los
objetos matemáticos en línea con otros puntos de vista socioculturales, sino que también
proporciona un enfoque sistemático para estudiar las interacciones entre esta
comprensión matemática y los aspectos cognitivos e instruccionales. Se propone el
examen del conocimiento matemático teniendo en cuenta su contexto social, histórico y
cultural, explorando cómo fue construido y difundido. Además de reconocer la
resolución de problemas como un aspecto fundamental de las matemáticas, también se
reconoce la necesidad de explicar los factores socioculturales involucrados en la
construcción del conocimiento matemático, el papel de las herramientas utilizadas y las
diversas interpretaciones de los objetos matemáticos.
La investigación actual en Educación Matemática se centra significativamente en
la idea de que los procesos de enseñanza y aprendizaje deben apuntar a empoderar a los
individuos y lograr una transformación social. Para lograrlo, es necesario promover
estrategias que fomenten la reflexión sobre la práctica por parte de los individuos
involucrados, lo que puede conducir a cambios significativos en los enfoques de
enseñanza. Un ejemplo de un programa de investigación que se alinea con esta
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perspectiva se conoce como "Educación en Matemática Crítica". Este enfoque presenta
una agenda para estudiar la relación entre la educación matemática y la democracia.
Algunos de los aspectos clave enfatizados por la teoría crítica incluyen:
• preparar a los estudiantes para que sean ciudadanos activos;
• utilizar las matemáticas como herramienta para analizar críticamente cuestiones
socialmente relevantes;
• considerar los intereses y perspectivas de los estudiantes;
• tener en cuenta los conflictos culturales que puedan surgir en el proceso de
instrucción;
• aprovechar experiencias previas en la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas
para desarrollar habilidades de pensamiento crítico; y
• darle importancia a la comunicación dentro del aula, ya que forma la base de las
interacciones democráticas.
Otra área de preocupación dentro de la educación matemática crítica es la
intersección entre matemáticas y tecnología, que, si bien resuelve problemas, también
genera nuevos desafíos. Desde una perspectiva sociocrítica, se anima a los docentes a
cambiar su papel de meros facilitadores a constructores activos de conocimientos. Se
argumenta que los docentes tienen la capacidad y deben participar en el desarrollo de
una teoría pedagógica basada en la investigación educativa, cerrando la brecha que
tradicionalmente ha separado la teoría y la práctica, donde la teoría generalmente se deja
a los investigadores y la práctica a los docentes en su trabajo diario.
El investigador se convierte en un actor comprometido con lograr el cambio. La
investigación-acción participativa se utiliza a menudo como metodología de
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investigación en este contexto. La investigación acción, cuando se aplica en el ámbito
escolar, implica estudiar una situación social en la que profesores y estudiantes participan
activamente para mejorar la calidad de sus acciones. Esto se hace a través de un proceso
cíclico de identificación de problemas, planificación, implementación, reflexión y
evaluación de los resultados.
Se ha prestado cada vez más atención al uso de la semiótica, la "ciencia de los
signos", para describir y comprender la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Este interés está impulsado por varios factores:
• En primer lugar, existe un reconocimiento creciente de que la actividad
matemática es fundamentalmente una actividad simbólica debido a la generalidad
de los objetos matemáticos.
• En segundo lugar, la comprensión de la comunicación en el aula ha enfatizado la
importancia de comprender la naturaleza del discurso matemático para
investigadores y profesores.
• La semiótica proporciona una teoría adecuada para dar cuenta de la complejidad
de la comunicación.
• Además, el uso cada vez mayor de la tecnología en la educación matemática ha
llevado a la exploración de la semiótica como un medio para comprender el papel
cognitivo de los artefactos.
• La semiótica es muy adecuada para esta tarea debido a su enfoque en las
convenciones y significados culturales asociados con signos y artefactos.
Las ideas únicas que aporta una perspectiva semiótica a la comprensión de la
comunicación y el aprendizaje en matemáticas, tiene como objetivo modelar el papel de
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los sistemas de signos matemáticos, las estructuras de significados, las reglas
matemáticas y las motivaciones detrás de la actividad matemática dentro de un marco
coherente. El uso de la semiótica en el estudio de la actividad matemática se justifica dado
el papel esencial de los signos en matemáticas.
Los signos, símbolos y notaciones desempeñan un papel similar en la
comunicación de ideas matemáticas tanto en contextos educativos como en procesos de
aprendizaje. La perspectiva semiótica se diferencia de las perspectivas psicológicas al
centrarse en los signos y su uso en lugar de únicamente en las estructuras y funciones
mentales. Abarca las dimensiones individual y social de la actividad, la enseñanza y el
aprendizaje matemático al considerar las matemáticas como un acto comunicativo.
Los sistemas semióticos, que consisten en signos, reglas de producción de signos
y las relaciones entre signos y significados, se consideran integrales para comprender el
uso de los signos en matemáticas. Godino y sus colaboradores han desarrollado un
"enfoque ontosemiótico" para la educación matemática que reconoce el papel
fundamental del lenguaje, la semiótica y las cuestiones ontológicas en la descripción y
comprensión de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Consideran
que los objetos matemáticos surgen de los sistemas de prácticas utilizados para resolver
problemas específicos, y esta perspectiva complementa las perspectivas semióticas
existentes en la educación matemática.
Una parte importante de la investigación en el campo de la educación matemática
se centra en examinar las conexiones entre profesores, estudiantes y las tareas
matemáticas en las clases de matemáticas. El objetivo es encontrar respuestas bien
fundadas a preguntas como cómo los profesores y los estudiantes desarrollan una
comprensión compartida de los conceptos matemáticos para garantizar un flujo fluido de
la clase.
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Asimismo, los investigadores investigan cómo los estudiantes comprenden y
responden a las intervenciones del maestro. Para abordar estas cuestiones, es esencial
desarrollar perspectivas teóricas que puedan interpretar y analizar eficazmente la
naturaleza intrincada de las clases de matemáticas. Algunas de las cuestiones clave que
aborda el interaccionismo en la educación matemática incluyen: cómo se forman
interactivamente los significados matemáticos en diferentes culturas del aula, cómo se
estabilizan estos significados y cómo se ven influenciados por el tipo de cultura del aula
en la que evolucionan.
El programa interaccionista introduce conceptos como dominios de experiencia
subjetiva, patrones de interacción y normas sociomatemáticas. La noción de dominios de
la experiencia subjetiva, desarrollada por Bauersfeld, Krummheuer y Voigt (1988), adapta
conceptos psicológicos como "guión", "marco", "sistema experto" y "micromundo" al
estudio del aprendizaje matemático. Según este modelo, los individuos forman
experiencias dentro de contextos y situaciones específicas, incorporando aspectos
cognitivos, emocionales y motores. Luego, estas experiencias se almacenan en la memoria
como dominios distintos de experiencia subjetiva, reflejando la complejidad y relevancia
de la situación tal como la percibe el individuo.
El interaccionismo simbólico (I.S.) es una perspectiva teórica que se ha utilizado
para examinar estas relaciones y tiene implicaciones analíticas. Afirma que las
dimensiones culturales y sociales no son periféricas al aprendizaje matemático sino más
bien intrínsecas a él. Según Sierpinska y Lerman (1996), quienes sintetizaron el programa
interaccionista aplicado a la educación matemática, el interaccionismo es un enfoque que
promueve una comprensión sociocultural de las fuentes y el desarrollo del conocimiento.
El foco de estudio está en las interacciones entre individuos dentro de una cultura,
con énfasis en la construcción subjetiva del conocimiento a través de la interacción. Esta
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perspectiva supone que los procesos culturales y sociales son parte integral de la
actividad matemática. Un enfoque, como sugiere Bauersfeld (1994), es utilizar
constructos teóricos de la sociología y la lingüística, como la etnometodología, el
interaccionismo social y el análisis del discurso. Sin embargo, dado que estas disciplinas
no abordan directamente la enseñanza y el aprendizaje del contenido curricular, se
requiere cierta traducción para abordar las cuestiones específicas dentro de la educación
matemática.
Este enfoque se basa en la premisa de que en el aula surgen diferentes prácticas
dependiendo de si las matemáticas son vistas como una colección de verdades objetivas
o como un proceso de matematización compartida. Esta última perspectiva enfatiza la
importancia de la "constitución interactiva" del significado en las aulas, destacando las
relaciones entre las características sociales de los procesos de interacción y el pensamiento
tanto de profesores como de estudiantes.
Los fundamentos de la perspectiva interaccionista se pueden resumir de la
siguiente manera: el profesor y los estudiantes dan forma interactivamente a la cultura
del aula, las convenciones y acuerdos surgen a través de procesos interactivos, y la
comunicación se basa en la negociación y los significados compartidos. Los objetivos de
la investigación dentro del programa interaccionista en educación matemática, como lo
afirman Sierpinska y Lerman (1996), son lograr una mejor comprensión de los fenómenos
de enseñanza y aprendizaje en contextos escolares ordinarios. El objetivo principal no es
desarrollar teorías para la acción o diseñar acciones didácticas, sino más bien describir y
discutir diferentes posibilidades. La investigación no pretende mejorar la microcultura
de las aulas individuales de la misma manera que puede influir en el currículo
matemático o la macrocultura caracterizada por principios generales y estrategias de
enseñanza.
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Negociar el significado de una situación particular puede ser frágil y propenso a
diferentes interpretaciones debido a la ambigüedad. Incluso si existe un contexto
compartido, siempre existe el riesgo de colapso y desorganización durante el proceso
interactivo. Para minimizar este riesgo, se forman patrones de interacción. Estos patrones
son considerados regularidades que se crean a través de la interacción entre el docente y
los estudiantes, buscando hacer las interacciones humanas más predecibles y menos
riesgosas en su organización y desarrollo. Además, las interacciones entre docentes y
alumnos suelen estar guiadas por normas u obligaciones implícitas. Desde una
perspectiva interaccionista, el uso del lenguaje es crucial, enfatizando la importancia de
negociar significados en el desarrollo de la comprensión de los conceptos matemáticos
por parte de los estudiantes y sus creencias y actitudes hacia las matemáticas.
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Capítulo 4
La didáctica fundamental
En los últimos años, ha habido un crecimiento notable en el interés y la
investigación en torno a la Educación Matemática. Un grupo de investigadores, entre los
que se incluyen figuras notables como Brousseau, Chevallard y Vergnaud, han estado
trabajando para desarrollar una comprensión teórica de la didáctica de las matemáticas.
El enfoque, conocido como la concepción "fundamental" de la Didáctica, se distingue de
otros enfoques al enfatizar una visión global de la enseñanza, una fuerte conexión con las
matemáticas, teorías de aprendizaje específicas y una búsqueda de paradigmas de
investigación únicos.
Esta línea de investigación tiene como objetivo establecer un marco teórico
original, desarrollando conceptos y métodos propios, y considerando las situaciones de
enseñanza-aprendizaje de manera integral. La investigación de estas cuestiones requiere
un enfoque metodológico que implica la experimentación en una interacción dialéctica
con la teoría. Las observaciones experimentales se comparan con el marco teórico y se
pueden realizar ajustes en función de la coherencia de los conceptos desarrollados y su
exhaustividad en relación con los fenómenos relevantes.
El enfoque de la Didáctica de las Matemáticas se fundamenta en una visión
sistémica, considerando el funcionamiento global de los fenómenos de enseñanza-
aprendizaje. Reconoce que el estudio separado de los componentes individuales no
puede explicar completamente el funcionamiento general, al igual que los fenómenos
económicos o sociales. Chevallard y Johsua describen el Sistema Didáctico como
compuesto por tres subsistemas principales: el profesor, el alumno y el conocimiento
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enseñado. Además, el sistema está influenciado por el mundo exterior a la escuela,
incluida la sociedad, los padres y los matemáticos. La zona intermedia, conocida como
noosfera, es un lugar de conflictos y transacciones que facilita la articulación entre el
sistema y su entorno. Abarca a todos los individuos de la sociedad que reflexionan sobre
el contenido y los métodos de enseñanza. También se incluye como componente los
medios de comunicación, que consisten en los materiales, juegos y situaciones didácticas
con las que interactúa el estudiante.
Esta línea de investigación en Didáctica de la Matemática busca comprender la
producción y comunicación del conocimiento matemático, centrándose en las
características específicas de estos procesos. Considera los fenómenos de enseñanza y
aprendizaje desde una perspectiva sistémica y enfatiza la interacción entre el maestro, el
estudiante y el conocimiento enseñado. El desarrollo de un marco teórico original, el uso
de la experimentación junto con la teoría y la exploración de diversos conceptos y
métodos son aspectos clave de este enfoque.
Los modelos que se han desarrollado incluyen la exploración de dimensiones
epistemológicas, sociales y cognitivas. Se esfuerzan por comprender las complejas
interacciones entre el conocimiento, los estudiantes y los profesores dentro del contexto
del aula. Un investigador, Laborde, ha planteado dos cuestiones importantes en relación
con el estudio de la enseñanza y el aprendizaje en matemáticas. En primer lugar, ¿cómo
se pueden caracterizar las condiciones para una enseñanza eficaz para facilitar tipos
específicos de aprendizaje? Y en segundo lugar, ¿qué elementos deberían incluirse en la
descripción de un proceso de enseñanza para garantizar que pueda replicarse en
términos del aprendizaje que induce en los estudiantes? Estas preguntas guían la
investigación y enfatizan la importancia de determinar el conocimiento matemático que
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los estudiantes desean construir y compararlo con lo que realmente se logra durante el
proceso de enseñanza.
La teoría que estamos discutiendo abarca su propia perspectiva sobre el
aprendizaje matemático, basándose en un enfoque piagetiano que enfatiza la
construcción del conocimiento a través de la interacción continua entre el alumno y la
materia. Sin embargo, esta teoría se distingue de otras teorías constructivistas por su
particular enfoque en la relación entre el estudiante y el conocimiento. Si bien el
contenido sirve como base para el desarrollo de estructuras mentales, el punto de vista
didáctico añade otra capa de importancia al estudio de la relación estudiante-
conocimiento.
La principal preocupación de la investigación es la exploración de las condiciones
bajo las cuales se forma el conocimiento, con el objetivo final de optimizarlo, controlarlo
y reproducirlo en entornos educativos. Esto requiere prestar especial atención al objeto
de interacción entre el estudiante y el conocimiento, es decir, la situación de resolución
de problemas, y cómo los profesores manejan esta interacción. El reconocimiento del
papel crucial que desempeñan los aspectos situacionales, el contexto y la cultura en la
configuración de las conductas cognitivas de los estudiantes se destaca en el campo de la
Psicología de la Educación Matemática, aunque esta dimensión situacional a menudo se
pasa por alto como un área de investigación separada.
Sin embargo, la Teoría de las situaciones didácticas de G. Brousseau se erige como
una iniciativa que aborda esta laguna. La relación con el conocimiento se examina desde
una perspectiva de la relatividad, considerando que el conocimiento puede variar
dependiendo del contexto institucional. Por ejemplo, se puede considerar que alguien
tiene conocimientos de probabilidad dentro del ámbito de la educación escolar, pero no
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dentro del ámbito académico, e incluso dentro del mundo académico existen más
distinciones basadas en los diferentes niveles de experiencia requeridos.
Por lo tanto, es necesario diferenciar entre la relación institucional con el
conocimiento (lo que se considera aceptable dentro de una institución particular) y la
relación personal con el conocimiento (la comprensión que un individuo tiene de un tema
determinado), que puede o no alinearse con la perspectiva institucional. De estos
conceptos surgen dos preguntas fundamentales:
• ¿Qué condiciones aseguran la integración exitosa de un elemento específico de
conocimiento y sus relaciones institucionales y personales?
• ¿Qué restricciones podrían obstaculizar el cumplimiento de estas condiciones?
El estudio de la relación institucional con el conocimiento, sus condiciones y sus
efectos se considera el problema central de la Didáctica. Si bien el estudio de las relaciones
personales con el conocimiento es crucial en la práctica, se considera
epistemológicamente secundario. Aunque, este programa de estudio no puede tener éxito
sin considerar los diversos factores condicionantes (cognitivos, culturales, sociales,
inconscientes, fisiológicos, etc.) que pueden influir o afectar la relación personal de un
estudiante con el conocimiento en cuestión.
La relatividad del conocimiento dentro de las diferentes instituciones da lugar al
concepto de transposición didáctica, que se refiere al proceso de adaptación del
conocimiento matemático para hacerlo apto para la enseñanza. En la fase inicial de
transposición, el conocimiento matemático se transforma en conocimiento pedagógico.
Esto implica pasar de describir los usos de un concepto a describir el concepto en sí y las
ventajas organizativas que ofrece. El proceso de transposición didáctica implica
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descontextualizar el concepto y remover su contexto histórico, presentándolo así como
una realidad atemporal y desligada de su origen, utilidad o relevancia.
Una vez que se introduce el concepto, toma el relevo la operación didáctica,
utilizándolo con fines educativos que no necesariamente se alinean con las intenciones
originales de sus creadores. A medida que el concepto se integra al conocimiento
enseñado, sufre un proceso de recontextualización. Sin embargo, en los primeros niveles
educativos, esta recontextualización puede no restaurar completamente el modo de
existencia original del concepto ni cumplir todas las funciones previstas para su
introducción.
Para profundizar más en el tema de la probabilidad condicional, vale la pena
mencionar que los textos de Bachillerato a menudo introducen un concepto llamado
"evento condicionado", que no se encuentra típicamente en el cálculo de probabilidad
académico. Este concepto se refiere al evento donde ocurre B dado que A ya ocurrió, y se
denota como B/A. Sin embargo, es importante señalar que el álgebra de eventos siempre
es isomorfa a un álgebra de conjuntos, lo que significa que las operaciones disponibles se
limitan a unión, intersección y diferencia.
El estudio de la transposición didáctica se centra en identificar y analizar estas
diferencias y comprender las razones detrás de ellas, con el fin de rectificar cualquier idea
errónea y garantizar que los objetos matemáticos se comprendan correctamente en la
enseñanza. La breve descripción que hemos proporcionado de algunas nociones teóricas
desarrolladas por los didácticos franceses sirve como ejemplo de cómo la Escuela
Francesa de Didáctica de las Matemáticas está estableciendo una base sólida de conceptos
teóricos.
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Estos conceptos forman la base de un programa de investigación similar al enfoque
de Lakatos. La capacidad de los investigadores en este campo para plantear nuevos
problemas de investigación y ofrecer nuevas perspectivas sobre problemas clásicos es
evidente en su producción científica. Términos como transposición didáctica, contrato
didáctico y obstáculo son cada vez más utilizados en publicaciones y congresos
internacionales centrados en la Didáctica de las Matemáticas. Es innegable que Francia
tiene una línea de investigación distinta en este campo, como lo demuestra el trabajo de
Balachef, que representa un avance epistemológico para esta disciplina científica. Queda
por ver si esta línea de investigación acabará convirtiéndose en el paradigma
predominante en el futuro.
Hans Freudenthal es un autor estimado en el campo de la educación matemática
que ha realizado importantes contribuciones al tema. Su libro, "Fenomenología didáctica
de las estructuras matemáticas", es ampliamente considerado como un recurso valioso
para la investigación didáctica, el desarrollo curricular y la práctica de la enseñanza de
las matemáticas. Dos conceptos clave introducidos por Freudenthal siguen generando
interés y reflexión: la "fenomenología didáctica" y la "constitución de los objetos
mentales".
Freudenthal critica el enfoque de adquisición de conceptos, que cree que ve las
matemáticas como estructuras conceptuales separadas de sus orígenes culturales y de
resolución de problemas. En los métodos de enseñanza tradicionales, el énfasis está en
que los estudiantes aprendan matemáticas como un producto terminado, desprovisto de
su aplicación práctica. Freudenthal aboga por priorizar la fenomenología, las situaciones
problemáticas que impulsan la acción matemática y el desarrollo de estrategias de
resolución de problemas. Estas situaciones problemáticas permiten a los estudiantes
comenzar a constituir "objetos mentales", que son estructuras cognitivas personales que
Pág. 111
luego pueden enriquecerse con una comprensión discursiva y cultural de las
matemáticas.
La constitución de los objetos mentales, tal como la analiza Freudenthal, desafía el
enfoque convencional de intentar inculcar conceptos matemáticos abstractos en los
estudiantes sin proporcionar ejemplos o experiencias concretas. Freudenthal sostiene que
intentar materializar conceptos desnudos mediante la concretización a menudo resulta
insuficiente, ya que las concreciones suelen ser representaciones inadecuadas de las
características esenciales de los conceptos.
En cambio, Freudenthal sugiere comenzar con fenómenos que exigen
organización y enseñar a los estudiantes cómo manipular los medios de organización
desde ese punto de partida. Este enfoque invierte el método tradicional de enseñar
abstracciones al hacerlas concretas. Para implementar este enfoque de manera efectiva, es
necesaria la asistencia de la fenomenología didáctica para desarrollar planes y estrategias.
La fenomenología didáctica, tal como la define Freudenthal, implica el uso de conceptos,
estructuras e ideas matemáticas para organizar fenómenos tanto en el mundo real como
en las matemáticas mismas.
Por ejemplo, las figuras geométricas como triángulos, paralelogramos, rombos y
cuadrados nos ayudan a organizar los fenómenos de contorno, mientras que los números
organizan el fenómeno de cantidad. En un nivel superior, las construcciones y
demostraciones geométricas organizan el fenómeno de las figuras geométricas, y el
sistema decimal organiza el fenómeno de los números. La fenomenología de un concepto
o estructura matemática, según Freudenthal, implica describir su relación con los
fenómenos que organiza, identificar los fenómenos para los que fue creado y a los que
puede extenderse, comprender cómo actúa como medio de organización y reconocer el
poder. nos da sobre esos fenómenos.
Pág. 112
Cuando el foco está en cómo se adquiere esta relación en un proceso de enseñanza
y aprendizaje, se habla de fenomenología didáctica de ese concepto o estructura. En
consecuencia, el trabajo de Hans Freudenthal destaca la importancia de la fenomenología
didáctica y la constitución de objetos mentales en la educación matemática. Al
comprender la relación entre los conceptos matemáticos y los fenómenos que organizan,
y al comenzar con situaciones problemáticas para desarrollar estructuras cognitivas, los
estudiantes pueden obtener una comprensión más profunda y significativa de las
matemáticas.
El campo de investigación sobre la enseñanza de las matemáticas y el currículo en
Didáctica de las Matemáticas es altamente intrigante. En el ámbito práctico, el currículo
y la instrucción desempeñan un papel central a la hora de mejorar los programas
escolares de matemáticas y plantear importantes cuestiones de investigación. Al
incorporar hallazgos de otras áreas de la Educación Matemática, particularmente teorías
del aprendizaje, la investigación sobre el currículo y la instrucción apunta a comprender
y mejorar sistemáticamente varios aspectos:
• la selección y organización de las ideas matemáticas a enseñar;
• la presentación de estas ideas a los estudiantes; y
• la evaluación de la efectividad del programa y el desempeño de los estudiantes.
Básicamente, busca determinar las combinaciones más efectivas de contenido,
secuenciación, estrategias y sistemas de entrega para diferentes perfiles de habilidades
de los estudiantes.
La complejidad de la investigación sobre currículo y enseñanza es una
característica notable. En consecuencia, los diseñadores de materiales curriculares y
procedimientos de instrucción a menudo se basan en la creatividad personal, los juicios
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intuitivos y las pruebas informales. Hay investigaciones limitadas disponibles que
explican cómo el sistema puede transformar una combinación de necesidades, intereses
y valores en un plan de estudios científicamente sólido. Como resultado, la selección de
temas en matemáticas escolares está determinada por factores como la estructura interna
de la disciplina (sin un análisis epistemológico riguroso), el interés público (medido
informalmente), recomendaciones de expertos respetados y, a veces, libros de texto
preparados con poca base científica.
Por lo tanto, actualmente no existe una base teórica y experimental consistente
para la investigación sobre el currículo y la instrucción. La búsqueda de una teoría de la
instrucción como un tema prioritario para futuras investigaciones; amerita diseñar
modelos teóricos que establezcan relaciones entre variables curriculares e instruccionales
clave. Si bien el objetivo principal en este campo ha sido encontrar el mejor método de
instrucción, los esfuerzos por identificar procedimientos generales, estrategias de
secuenciación o formatos de presentación adecuados han sido improductivos. En
consecuencia, la investigación ahora se centra en análisis microscópicos del proceso
curricular y en la exploración de los efectos esperados de enfoques específicos en
situaciones y áreas de contenido particulares.
Otra área de investigación sobre currículo e instrucción investiga cuestiones
generales independientemente del contenido específico. Así, la mayoría de las
investigaciones sobre la enseñanza no han abordado directamente las matemáticas, y los
pocos estudios que se han centrado en la enseñanza de las matemáticas apuntaban a
mejorar los métodos tradicionales en lugar de alinearse con las perspectivas de la
investigación cognitiva. Como resultado, estos estudios pueden tener hallazgos
irrelevantes o potencialmente dañinos.
Pág. 114
En muchos estudios de investigación sobre la enseñanza, el contenido que se
enseña a menudo se pasa por alto o se considera periférico. Por lo tanto, se reconoce la
necesidad de realizar investigaciones que consideren contenidos específicos y técnicas de
enseñanza apropiadas para esos contenidos. En general, los estudios realizados dentro
del paradigma proceso-producto para la enseñanza de las matemáticas no han
proporcionado a los profesores una lista completa de conductas observables que
mejorarían su competencia y asegurarían el aprendizaje de los estudiantes.
Hasta cierto punto, esto refleja las primeras etapas de lo que Kuhn (1969) llamó
"ciencia normal", donde falta un paradigma o un conjunto de principios organizadores
que hagan que todos los hechos sean potencialmente relevantes. Los estudios sobre la
enseñanza de las matemáticas realizados bajo un paradigma interpretativo, aunque
menos comunes que los enfoques positivistas, ofrecen información valiosa sobre
diferentes aspectos de la enseñanza de las matemáticas a través de diferentes lentes
conceptuales. Por ejemplo, la investigación sobre el pensamiento de un profesor sobre las
matemáticas y su enseñanza, y el impacto de estas creencias en sus prácticas docentes,
está ganando cada vez más interés.
¿Se trata simplemente de conocimiento práctico, una tecnología que se basa y
depende de otras ciencias, o es más bien que hay problemas que requieren un nivel de
análisis teórico y una metodología propia del verdadero conocimiento científico? Esta
reflexión epistemológica es crucial para orientar eficazmente la investigación didáctica,
ya que influye en la formulación de sus preguntas centrales. Sin embargo, ha habido una
discusión limitada sobre este tema en la literatura. La extrema complejidad de los
problemas de la Educación Matemática, lleva a dos reacciones extremas: quienes afirman
que la Didáctica de las Matemáticas no puede fundamentarse en fundamentos científicos
y, por tanto, enseñar matemáticas es esencialmente un arte; y aquellos que creen que la
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Didáctica puede ser una ciencia, pero sólo centrarse en un aspecto parcial de los
problemas, como el análisis de contenidos, la construcción curricular, los métodos de
enseñanza, el desarrollo de habilidades en los estudiantes y la interacción en el aula.
Este enfoque reduccionista conduce a diferentes definiciones y perspectivas. La
Didáctica de las Matemáticas puede verse como el arte de enseñar: un conjunto de medios
y procedimientos para dar a conocer las matemáticas. Sin embargo, se distingue dos
concepciones científicas, a las que denomina concepción pluridisciplinar aplicada y
concepción autónoma (también denominada fundamental o matemática). Como puente
entre estos dos grupos también existe una concepción técnica, que considera la didáctica
como técnica de enseñanza.
Desde la perspectiva de la concepción pluridisciplinaria, que se alinea con la
segunda tendencia de Steiner, la didáctica se convierte en una etiqueta conveniente para
las enseñanzas necesarias para la formación técnica y profesional de los docentes. La
didáctica, como campo del conocimiento científico, implicaría investigaciones sobre la
enseñanza dentro de disciplinas científicas establecidas como la psicología, la semiótica,
la sociología, la lingüística, la epistemología, la lógica, la neurofisiología, la pedagogía, la
pediatría y el psicoanálisis. En este caso, el conocimiento didáctico sería una tecnología
basada en otras ciencias. La concepción autónoma busca integrar todos los significados
antes mencionados y asignarles un lugar en relación con una teoría unificadora del hecho
didáctico, con fundamentos y métodos específicos que apuntan a una justificación
endógena.
Esta concepción puede ser el punto de partida para abordar la necesidad de una
base teórica que permita una mejor comprensión e identificación de las diversas
posiciones, aspectos e intenciones que subyacen a las diferentes definiciones de
Educación Matemática, y para analizar las relaciones entre estas posiciones. en una
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comprensión dialéctica de todo el campo. La Escuela Francesa de Didáctica aspira a
construir su propio campo de estudio científico, que no esté limitado y dependiente del
desarrollo de otros campos científicos, que pueden no siempre ser consistentes.
Este objetivo contrasta con la posición de quienes no aboga por la búsqueda de
teorías internas (teorías del hogar) debido al riesgo de restricciones inadecuadas. La
naturaleza del tema y sus problemas exigen un enfoque interdisciplinario, y se cree que
sería un error no hacer un uso significativo del conocimiento que otras disciplinas ya han
producido sobre aspectos específicos de esos problemas. La Educación Matemática debe
luchar por la transdisciplinariedad, tal como la define Piaget, que abarca no sólo
interacciones o reciprocidades entre proyectos de investigación especializados, sino que
también ubica estas relaciones dentro de un sistema total sin límites fijos entre disciplinas.
También se contempla la naturaleza de la investigación en educación matemática,
cuestionando si los educadores matemáticos deberían verse a sí mismos como psicólogos
educativos aplicados, psicólogos cognitivos aplicados o científicos sociales aplicados.
Alternativamente, ¿deberían ser considerados científicos en el campo de la física u otras
ciencias puras? ¿O deberían ser vistos como ingenieros u otros científicos orientados al
diseño, cuya investigación se basa en múltiples perspectivas prácticas y disciplinarias,
guiadas por la necesidad de resolver problemas reales y desarrollar teorías relevantes?
El análisis de Brousseau de 1988, examina cómo su concepción de la Didáctica de
las Matemáticas, como teoría para comunicar el conocimiento matemático, se compara
con otras perspectivas y orientaciones. Sostiene que no hay conflicto entre su teoría y
otras, sino que su teoría fomenta la integración de ideas de diferentes dominios y su
aplicación a la enseñanza. Esencialmente, su teoría promueve una relación sana entre
ciencia y técnica, en lugar de centrarse en prescripciones y reproducciones. Brousseau no
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condena categóricamente ninguna acción educativa, pero advierte contra la expectativa
de que la didáctica cumpla funciones que no le corresponden.
Considera que es un error imponer la didáctica en toda acción educativa, ya que
esto puede generar desafíos que pueden estar más allá de sus capacidades. En el peor de
los casos, esto puede dar lugar a que los expertos en el campo asuman responsabilidades
para las que no están preparados, lo que daría lugar a errores similares a los observados
en otras disciplinas como la economía. Como argumentó Godino en 1990, la mejora de la
educación matemática depende de factores ajenos a la investigación didáctica misma,
como las directrices curriculares, los procedimientos de evaluación y los materiales
didácticos. Por ello, es fundamental facilitar la comunicación entre los responsables de
estos factores y los investigadores, así como promover la investigación didáctica. Si bien
la investigación didáctica no puede proporcionar a los docentes situaciones modelo para
imitar, puede brindarles conocimientos valiosos para abordar la naturaleza desafiante de
la enseñanza de las matemáticas en el aula.
Paradigmas
La concepción fundamental o matemática pretende integrar todos los significados
antes mencionados y asignarles un lugar en relación con una teoría unificadora del
fenómeno didáctico. Esta teoría tendría justificaciones y métodos específicos y
endógenos. Esta concepción podría potencialmente abordar la necesidad destacada por
Steiner de una base teórica que mejore la comprensión e identifique las diversas
posiciones, aspectos e intenciones que subyacen a las diferentes definiciones de
educación matemática. También analizaría las relaciones entre estas posiciones y las
reuniría en una comprensión dialéctica de todo el campo.
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Cuando los educadores de matemáticas o un grupo de profesores se embarcan en
una investigación en su campo, se enfrentan inmediatamente al problema epistemológico
de comprender la naturaleza de la Didáctica de las Matemáticas y los paradigmas
metodológicos correspondientes. Estas cuestiones influyen en gran medida en la
formulación de problemas de investigación y la determinación de su importancia. En
nuestro caso, donde falta una tradición de investigación y paradigmas establecidos en el
campo, se vuelve aún más crucial aclarar los principios que han dado forma a la Teoría
de la Educación Matemática y los métodos de investigación potenciales, como dictan los
tipos de investigación que se pueden realizar.
Una revisión de la literatura y la síntesis realizada por Hurford (2010) sobre la
aplicación de nociones teóricas de la teoría de sistemas complejos y dinámicos para
comprender los procesos de aprendizaje respalda de manera convincente las opiniones
de Steiner sobre el enfoque sistémico en la educación matemática. Hurford sugiere que
los investigadores educativos ahora tienen las herramientas y la oportunidad necesarias
para construir modelos de aprendizaje que abarquen la complejidad inherente en formas
que antes no eran factibles.
Es hora de ir más allá de los modelos simplistas que reducen el aprendizaje a pares
básicos de estímulo-respuesta o a colecciones estáticas de escenas aisladas de aprendizaje
de los estudiantes. Las perspectivas y modelos que ofrece la teoría de sistemas para
comprender el aprendizaje nos están preparando para dar ese importante paso adelante.
La complejidad de la Didáctica de las Matemáticas es su característica definitoria.
Como la describe Steiner, esta disciplina abarca el intrincado fenómeno de las
matemáticas en su desarrollo histórico y contemporáneo, su interrelación con otras
ciencias, áreas prácticas, tecnología y cultura. También abarca la compleja estructura de
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la enseñanza y la escolarización dentro de nuestra sociedad, así como las diversas
condiciones y factores que influyen en el desarrollo cognitivo y social de los estudiantes.
Esta complejidad ha llevado a muchos autores a adoptar un enfoque de Teoría de
Sistemas en sus consideraciones teóricas. La noción interdisciplinaria de sistema, que
abrazan todas las ciencias sociales, se vuelve necesaria cuando se comprende que el
funcionamiento general de un conjunto de elementos no puede explicarse únicamente
por sus contribuciones individuales.
De hecho, el comportamiento de estos elementos puede incluso verse influido por
su inclusión en el sistema. En el caso de la didáctica de las matemáticas, un enfoque
sistémico es imprescindible. No sólo considera el sistema de enseñanza de las
matemáticas en su conjunto y los sistemas conceptuales que lo integran, sino que también
tiene en cuenta los sistemas didácticos que se manifiestan en un aula.
Los principales subsistemas en este contexto son el profesor, los estudiantes y el
conocimiento que se enseña. Adoptar un enfoque sistémico de los problemas didácticos
es fundamental porque, destaca que la Didáctica de las Matemáticas está en el centro de
múltiples interacciones y, por tanto, debe desarrollar sus propios problemas y
metodologías. Sin embargo, esto no significa desconocer los aportes de disciplinas afines,
particularmente la psicología y la epistemología.
Asimismo, un enfoque sistémico revela la estructura común que conecta la
didáctica de varias disciplinas, pero también reconoce los desafíos únicos que plantean
los diferentes dominios del conocimiento. Steiner enfatiza además que la visión sistémica
de la didáctica de las matemáticas es autorreferencial, ya que incluye la educación
matemática como uno de sus propios subsistemas. Esta autorreferencialidad necesita un
enfoque sistémico como metaparadigma organizacional para la educación matemática,
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no sólo para gestionar la complejidad del campo en su conjunto sino también porque el
carácter sistémico es evidente en cada problema específico dentro del campo.
De la discusión de estas concepciones se desprende que existe un debate dialéctico
entre la producción de conocimiento teórico y el conocimiento práctico en didáctica. Para
aclarar esta distinción se pueden utilizar las etiquetas "Didáctica Teórica" y "Didáctica
Técnica (o Práctica)". La primera se refiere a la disciplina académica que pretende
describir y explicar los estados y evolución de los sistemas didácticos y cognitivos,
mientras que la segunda se centra en los problemas de la toma de decisiones en el aula y
la acción reflexiva en contextos específicos.
La perspectiva teórica prioriza comprender el funcionamiento del sistema y
descubrir leyes generales que expliquen su dinámica, ya que la aplicación de estos
principios puede conducir a la solución de problemas específicos. Por otro lado, la
perspectiva práctica, adoptada por investigadores y profesionales aplicados, reconoce la
urgencia de resolver problemas inmediatos sin esperar a que la ciencia teórica descubra
principios generales. Este debate teoría-práctica no es exclusivo de la Didáctica sino que
se observa en diversas ciencias, entre ellas la medicina y la economía.
En Didáctica de las Matemáticas, tanto la concepción técnica como la
multidisciplinaria adoptan un punto de vista de ciencia aplicada, apoyándose en
principios teóricos generales de otras disciplinas como la psicología, la pedagogía y la
sociología. La didáctica especial de las matemáticas aplica luego estos principios al
dominio específico de los conceptos y habilidades matemáticas, con el objetivo de brindar
soluciones para la enseñanza de las matemáticas.
En la concepción matemática o fundamental, la didáctica se presenta como una
ciencia que se ocupa de la producción y comunicación del conocimiento, centrándose
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específicamente en los aspectos singulares de esta producción y comunicación. Los
objetos de estudio en esta concepción son las operaciones esenciales de la difusión del
conocimiento, las condiciones de esta difusión y las transformaciones que provoca tanto
en el conocimiento como en sus usuarios. Además, esta concepción examina las
instituciones y actividades que apuntan a facilitar estas operaciones.
Los problemas de investigación derivados de la concepción fundamental tienden
a ser de naturaleza más teórica, y a menudo implican la construcción de modelos. El
objetivo final de la didáctica, según esta concepción, es construir una teoría de los
procesos didácticos que proporcione un dominio práctico de los fenómenos del aula. La
investigación en el campo de la Didáctica de las Matemáticas, al igual que otros campos
como la medicina, la agricultura y la administración, requiere de una combinación de
desarrollos teóricos y prácticos. Esto implica estudiar los fundamentos del desarrollo
cognitivo y las diferencias individuales en el aprendizaje de las matemáticas, así como
abordar los problemas de toma de decisiones en las aulas, las escuelas y los programas
de formación de profesores.
La investigación en este campo abarca un espectro que va desde la investigación
pura que puede no tener una aplicabilidad inmediata a la investigación y el desarrollo
tecnológico, hasta el desarrollo de materiales educativos que se prueban y evalúan en
laboratorios y aulas. Cada una de las diferentes concepciones dentro de la Didáctica de
las Matemáticas se caracteriza por los tipos de problemas que abordan.
La Didáctica de las Matemáticas desafía el reduccionismo al resaltar las
limitaciones de teorías psicopedagógicas generales como el conductismo y el
constructivismo cuando se aplican a la enseñanza de contenidos específicos. Enfatiza la
importancia del conocimiento que se transmite y sugiere la necesidad de teorías de
contenidos específicos que expliquen el funcionamiento del sistema educativo desde una
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perspectiva basada en el conocimiento. Este punto de vista es compartido por
Freudenthal, quien expresa escepticismo hacia las teorías generales del aprendizaje y
enfatiza la singularidad de las matemáticas en términos de enfoques pedagógicos.
La escuela francesa, aún en las primeras etapas de desarrollo de su marco teórico,
prioriza las cuestiones teóricas sobre las técnicas debido a la falta de puntos de referencia
seguros para las propuestas. Sin embargo, considerando la complejidad del sistema de
enseñanza, la optimización de su funcionamiento requiere un esfuerzo colaborativo entre
diferentes perspectivas de investigación, tanto teórica como aplicada.
La concepción fundamental de la Didáctica de la Matemática, con su mirada
matemática, juega un papel significativo en la identificación de conceptos teóricos y
fenómenos didácticos que contribuyen a la difusión del conocimiento matemático. La
conexión entre teoría y práctica y el cambio social que exige la investigación teórica
requieren la creación de una "interfaz" que actualmente está subdesarrollada. Esta
interfaz podría potencialmente formarse a través del reconocimiento explícito de la
investigación-acción, cuyo objetivo es lograr cambios sociales y capacitación. La
investigación realizada con la participación activa de profesores en equipos de
investigación puede servir como interfaz dentro del sistema de enseñanza. Kilpatrick
aboga por una colaboración más estrecha entre investigadores y profesores, enfatizando
la necesidad de esfuerzos conjuntos en investigación e implementación. Esto se alinea con
una perspectiva sociocrítica de la investigación-acción, que busca optimizar el
funcionamiento de todo el sistema.
Los paradigmas de la investigación
Al intentar evaluar críticamente los resultados de la investigación en Didáctica de
las Matemáticas, se hace evidente que su naturaleza es relativa a las circunstancias
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específicas de los participantes (profesores y estudiantes) y al contexto en el que ocurren.
Así, es destacable que los descubrimientos empíricos en educación matemática no sólo
carecen de universalidad en diferentes contextos, sino que su validez también puede
cambiar con el tiempo debido a la sociedad en constante evolución en la que se lleva a
cabo la enseñanza de las matemáticas. Otro factor que influye significativamente en la
validez y la importancia de los resultados de la investigación es la perspectiva desde la
que se realiza la investigación, conocida como paradigma de investigación.
Existen dos extremos de este espectro: el enfoque positivista o de proceso-
producto, que apunta a descubrir leyes y confirmar hipótesis sobre conductas y
procedimientos asociados con los logros de los estudiantes, y el enfoque interpretativo,
que busca comprender el significado personal. de eventos, estudiar las interacciones entre
los individuos y su entorno, y explorar los pensamientos, actitudes y percepciones de los
participantes.
El programa positivista o de proceso-producto emplea predominantemente
métodos cuantitativos, a menudo utilizando mediciones sistemáticas, diseños
experimentales y modelos matemáticos, mientras que el programa interpretativo
(incluidos enfoques ecológicos y etnográficos) está asociado con observaciones
naturalistas, estudios de casos, etnografía e informes narrativos. Se encuentran y destacan
varias características distintivas entre estos dos enfoques: la participación limitada de los
invetigadores positivistas en las vidas o actividades de sus sujetos en comparación con
los etnógrafos, la falta de interés entre los investigadores positivistas en los significados
intersubjetivos que pueden surgir en las escuelas o aulas. estudiado, el uso poco frecuente
de teorías socioculturales por parte de investigadores positivistas para interpretar sus
hallazgos, y la atención limitada prestada por los antropólogos educativos dentro del
enfoque interpretativo de las habilidades cognitivas, las teorías del desarrollo cognitivo
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y el procesamiento de la información, la renuencia a manipular variables y forzar eventos
naturales, y el raro intento de abordar los problemas educativos.
Estos programas dispares coexisten y han coexistido en el campo de la enseñanza
y el aprendizaje, incluidas las matemáticas, particularmente en la investigación realizada
desde una perspectiva pluridisciplinaria. Sin embargo, gran parte de la investigación
educativa actual, especialmente los diseños más innovadores, puede clasificarse como
ocupando una posición intermedia entre estos paradigmas. Por ello se propone un
modelo de investigación que comprende cuatro dimensiones o modos suposicionales:
deductivo-inductivo, generativo-verificador, constructivo-enumerativo y subjetivo-
objetivo.
La dimensión deductiva-inductiva se refiere a la confianza en teorías existentes o
la generación de nuevas teorías a través del proceso de investigación. La dimensión
generativa-verificadora se relaciona con el grado en que los resultados de un grupo
pueden generalizarse a otros, y la investigación verificadora tiene como objetivo
establecer generalizaciones más allá de un solo grupo. Los modos de formulación y
diseño de variables y categorías de análisis definen la dimensión constructiva-
enumerativa, mientras que la dimensión subjetiva-objetiva se refiere a los constructos que
se estudian en relación con los participantes involucrados. Además de estos paradigmas,
existe un tercer paradigma sociocrítico, que aboga por conectar la investigación con la
práctica para promover una mayor libertad y autonomía entre los participantes. La mera
observación de encuentros educativos en un aula es insuficiente; también es necesario
proporcionar orientación directa a la práctica, lo que requiere una mayor colaboración
entre profesores e investigadores.
Un ejemplo de cómo se pueden integrar varios paradigmas lo demuestra la
investigación realizada por la escuela francesa de Didáctica de las Matemáticas. Esta
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investigación, se centra en el estudio de cómo se forma, controla y reproduce el
conocimiento en el ámbito escolar. Un aspecto importante de esta investigación es la
exploración de la relación entre los dos subsistemas involucrados - conocimiento y
estudiantes - particularmente a través de la situación problemática y la gestión de esta
interacción por parte del profesor.
La metodología empleada en este programa de investigación se guía por ciertos
supuestos, incluida la necesidad de un enfoque holístico y de estudio de casos debido a
la complejidad del fenómeno bajo investigación, así como el uso de múltiples técnicas de
recopilación de datos. Además, la especificidad del conocimiento matemático permite
generar hipótesis a partir del estudio de este conocimiento y sus orígenes
epistemológicos. Como resultado, este programa de investigación incorpora elementos
de diferentes paradigmas. Por ejemplo, las características del paradigma positivista-
experimental son evidentes en la cuidadosa preparación de las lecciones, la formulación
de hipótesis basadas en una teoría general y el uso de métodos estadísticos para el análisis
de datos.
Por otro lado, el paradigma ecológico-etnográfico se refleja en el enfoque holístico
y cualitativo del estudio del fenómeno, el interés por las variables e interrelaciones del
proceso, la posibilidad de generar nuevas hipótesis durante la investigación y el uso de
múltiples técnicas de recolección de datos. incluyendo métodos etnográficos como la
observación. En general, el paradigma de investigación adoptado por la concepción
matemática de la Didáctica de las Matemáticas se sitúa entre el razonamiento deductivo
y el inductivo, así como entre los enfoques generativo y enumerativo, combinando
elementos de ambos extremos del espectro.
Adoptar una perspectiva sistémica puede ayudar a resolver cualquier conflicto
entre diferentes ideas y modelos. Para lograr esto, necesitamos un enfoque integrador
Pág. 126
que considere la teoría, el desarrollo y la práctica, y abrace el positivismo, el
interpretativismo y la crítica. Estos diferentes puntos de vista deben verse como
complementarios y parte de una comprensión más amplia. Según Steiner (1985), el
concepto de complementariedad es una herramienta útil para comprender las relaciones
entre diversos tipos y niveles de conocimiento y actividad.
Las perspectivas interdisciplinarias y fundamentales son compatibles y pueden
trabajar juntas. Al considerar la Didáctica de las Matemáticas como parte de las
matemáticas, podemos establecer una "didáctica matemática" de las matemáticas, similar
a la lógica matemática o metamatemática. Si bien, esta ciencia no puede sustituir los
aportes realizados por otras ciencias. Las situaciones de enseñanza involucran múltiples
aspectos y fenómenos, y la Didáctica (en su sentido fundamental) aún no ha explorado y
explicado completamente estos fenómenos con conceptos y métodos específicos.
Por otro lado, la incorporación de conocimiento externo es crucial y debe hacerse
bajo la guía de una teoría específica. Este enfoque permite una relación sana entre ciencia
y técnica en la enseñanza, en lugar de una relación basada en la prescripción y la
reproducción. Kilpatrick (1981) también aboga por el eclecticismo en lo que respecta a los
métodos. No debemos abandonar las técnicas estadísticas cuantitativas, que recién
comienzan a aplicarse, en favor de métodos exclusivamente etnográficos.
El análisis de datos exploratorios puede complementar los métodos cuantitativos
en el campo de la educación matemática. Kilpatrick también sugiere que los
investigadores deberían adoptar un enfoque convergente, donde los estudios exploren
un tema desde múltiples perspectivas utilizando varios métodos, en lugar de centrarse
en estudios de replicación. En resumen, las preguntas planteadas en esta discusión son
aspectos esenciales del programa de desarrollo propuesto por Steiner (1985) para la
Teoría de la Educación Matemática. Estos aspectos incluyen identificar y abordar
Pág. 127
cuestiones clave en la orientación, fundamento, metodología y organización de la
Educación Matemática como disciplina. Asimismo, desarrollar un enfoque integral de la
Educación Matemática en su conjunto, considerándola como un sistema interactivo que
abarca investigación, desarrollo y práctica, y enfatizando el papel dinámico del
intercambio teoría-práctica y la cooperación interdisciplinaria.
La consolidación de la didáctica de la matemática
El reconocimiento de la Didáctica de las Matemáticas como "área de conocimiento"
por parte del Consejo de Universidades en 1984, junto con la implementación de la Ley
de Reforma Universitaria (LRU) en el mismo año, ha allanado el camino para la creación
de departamentos universitarios dedicados a esta campo en España. Estos departamentos
han desempeñado un papel crucial en el avance de la educación matemática, ya que se
les confían responsabilidades de enseñanza e investigación en las áreas de conocimiento
relevantes.
Los departamentos tienen acceso a importantes recursos de investigación,
incluidos más de 200 profesores permanentes dedicados a la investigación y colecciones
bibliográficas específicas. La consolidación institucional se evidencia además en la
existencia de programas de doctorado y la defensa de tesis doctorales sobre la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas, así como la financiación de proyectos de
investigación en competencia con otras áreas del conocimiento.
En 1997 se formó la Sociedad de Investigación en Educación Matemática (SEIEM),
lo que demuestra la creciente conciencia de los intereses y necesidades específicos de la
comunidad de investigación en didáctica de las matemáticas. El ámbito de la acción
práctica es principalmente dominio del profesor, quien es responsable de instruir en
matemáticas a uno o más grupos de estudiantes. El principal objetivo de un docente es
Pág. 128
potenciar el aprendizaje de sus alumnos, por lo que su interés principal es obtener
información que pueda tener un impacto inmediato en su enseñanza.
Por otro lado, el componente tecnológico, también conocido como investigación
aplicada, está más enfocado a prescribir soluciones y desarrollar dispositivos de acción.
Este campo está habitado por diseñadores de currículos, autores de manuales escolares y
creadores de materiales didácticos. Finalmente, la investigación científica, que abarca
estudios básicos, analíticos y descriptivos, se ocupa principalmente del desarrollo de
teorías. Este tipo de investigación suele realizarse en instituciones universitarias. La
educación matemática es un sistema complejo y diverso que consta de tres componentes
o campos distintos:
• En primer lugar, existe una acción práctica y reflexiva, que implica que los
docentes participen activamente en los procesos de enseñanza y aprendizaje
relacionados con las matemáticas.
• En segundo lugar está la tecnología didáctica, que se centra en el desarrollo de
materiales y recursos utilizando el conocimiento científico.
• Por último, está la investigación científica, cuyo objetivo es comprender el
funcionamiento general de la enseñanza de las matemáticas, así como los sistemas
de enseñanza específicos que involucran a profesores, estudiantes y conocimientos
matemáticos.
A pesar de su interés compartido en mejorar la educación matemática, estos tres
campos tienen diferentes perspectivas, objetivos, recursos disponibles, reglas operativas
y restricciones. A nivel internacional, la educación matemática también ha
experimentado una consolidación con la existencia de instituciones e institutos de
investigación similares en países como México y Alemania. Además, existen varias
Pág. 129
revistas y manuales de investigación dedicados al campo, así como conferencias
internacionales que brindan vías para que los investigadores compartan sus hallazgos y
colaboren. La ICMI, una comisión internacional sobre instrucción matemática, ha
desempeñado un papel importante en la promoción de la investigación en educación
matemática a lo largo del siglo XX. Su estudio realizado en Washington en 1994 destacó
la madurez de la educación matemática como disciplina científica con sus propios
objetivos y métodos, solidificando aún más su estatus como un campo de estudio distinto.
En lo referente a programas y métodos de investigación, ha habido un cambio
desde el uso principalmente de un enfoque psicoestadístico en los años 70 y 80, que se
centraba principalmente en las pruebas y su confiabilidad. Ahora hay una proliferación
de métodos, la exploración de diferentes agendas de investigación y la adopción de
posiciones eclécticas. Esto no significa que el enfoque psicológico haya perdido
importancia, como lo demuestra la vitalidad del grupo internacional PME.
Actualmente se realizan investigaciones utilizando diversos enfoques, como
métodos interpretativos, etnográficos, antropológicos y sociocríticos. Algunos sostienen
que esta diversidad es beneficiosa, ya que permite considerar diferentes perspectivas. Sin
embargo, creo que puede generar confusión entre las comunidades de investigación y
hacer que los esfuerzos sean menos productivos. La multitud de enfoques, teorías y
métodos en la investigación en educación matemática exige un enfoque más estructurado
y organizado, similar a la filosofía de la ciencia.
Si bien la didáctica de las matemáticas puede considerarse una disciplina madura
sociológicamente, puede no serlo filosófica o metodológicamente. El problema de la
diversidad en las teorías ha sido abordado por el Congreso Europeo de Educación
Matemática (CERME) en su grupo de trabajo, lo que ha dado lugar a la publicación de
varios trabajos en actas de congresos y en la revista ZDM.
Pág. 130
Estos desafíos incluyen dificultades en la comunicación debido a diferentes
supuestos y lenguajes, discrepancias en los resultados empíricos debido a diferentes
perspectivas y obstáculos al progreso científico. Se sostiene que para que la diversidad de
teorías sea fructífera, deben interactuar diferentes enfoques y tradiciones. Para abordar
estos desafíos, se deben buscar activamente estrategias que conecten teorías y enfoques
teóricos. Esto se puede hacer a través de estudios empíricos que combinen diferentes
enfoques teóricos, desarrollando teorías como parte de un conjunto conectado para
reducir su número y aclarar sus fortalezas y debilidades, y fomentando un discurso sobre
el desarrollo de la teoría y sus cualidades en la investigación en educación matemática,
que también considere Consideraciones metateóricas y metodológicas.
Al discutir el aspecto de la educación matemática conocido como práctica
reflexiva, es importante reconocer el importante papel que desempeñan las asociaciones
de profesores de matemáticas en varios niveles: regional, nacional e internacional. Así se
pone de manifiesto en la existencia de organizaciones como la Federación Española de
Asociaciones de Profesores de Matemáticas, que está formada por 12 sociedades
regionales, así como sus respectivas revistas y congresos dirigidos a profesores.
A nivel internacional vemos la influencia de instituciones poderosas como el
NCTM en EE.UU., el ICME y el FISEM, junto con su revista UNIÓN. Sin embargo, es
crucial reconocer que estas actividades a menudo tienen conexiones limitadas con el
componente científico y académico de la educación matemática. Esto es evidente a través
de la existencia de sociedades profesionales independientes y revistas separadas para
"profesores" e "investigadores" en países como España, Francia y Portugal.
Esta desconexión es evidente en el desarrollo de los planes de estudios de
matemáticas, que tradicionalmente han sido preparados por comisiones que pasan por
alto la experiencia de los departamentos universitarios especializados. La separación
Pág. 131
entre la academia y la práctica es más pronunciada en la formación inicial y el desarrollo
profesional continuo de los profesores de matemáticas de la escuela secundaria, donde
existe una participación limitada de los especialistas en educación matemática. En
conclusión, si bien la educación matemática ha logrado avances significativos como
disciplina académica en el escenario internacional durante las últimas tres décadas, su
desarrollo ha sido desigual en diferentes aspectos y particularmente en la integración
entre ellos.
Pág. 132
Conclusión
Freudenthal fue un firme defensor de la reforma de la educación matemática
tradicional. Su extensa labor como fundador y participante activo en grupos como el
Consejo Internacional de Educación Psicológica y Matemática (PME) y la Comisión
Internacional para la Investigación y Mejora de la Educación Matemática (CIEAEM)
contribuyó en gran medida a su fama. En estos foros, expresó su oposición a los enfoques
pedagógicos y didácticos dominantes de mediados del siglo XX, como la teoría de las
metas de desempeño, las pruebas de evaluación estructuradas y las encuestas educativas
estandarizadas y la aplicación directa del estructuralismo y constructivismo de Piaget en
el aula.
Hans Freudenthal, matemático y educador nacido en Alemania, obtuvo su
doctorado en la Universidad de Berlín. Sin embargo, debido a su origen judío, se vio
obligado a emigrar de Alemania durante el ascenso del régimen nazi. Buscó refugio en
los Países Bajos, donde continuó sus estudios y desarrolló teorías pedagógicas.
Desafortunadamente, tuvo que esconderse durante la Segunda Guerra Mundial.
Freudenthal creía que el proceso de aprendizaje debe basarse en situaciones que
requieran organización. Criticó a Piaget por intentar imponer el desarrollo psicológico al
sistema de categorías utilizado por los matemáticos, utilizando términos matemáticos
con diferentes significados.
Basándose en su propia experiencia, Freudenthal argumentó que el aprendizaje
está más estrechamente relacionado con el desarrollo del lenguaje que con el desarrollo
cognitivo. Le preocupaba cómo el trabajo de Piaget influía en los profesores que
convertían los resultados de la investigación en directrices para la educación matemática,
Pág. 133
convirtiendo esencialmente una teoría epistemológica en una violación de la teoría
pedagógica.
Habló con Chevallard sobre su teoría de la transposición, que creía que se basaba
en el conocimiento experto de los matemáticos. Freudenthal argumentó que las
matemáticas que se enseñan en las escuelas no deberían reflejar ninguna interpretación
de ideas filosóficas o científicas a menos que fueran mucho más antiguas. La oposición
de Freudenthal a la psicología, la pedagogía y los métodos didácticos entonces
predominantes no carecía de fundamento. Esto se basa en su amplio conocimiento de las
matemáticas, su pasión por enseñar matemáticas y su experiencia directa en el aula.
Cuestionó la naturaleza artificial de los objetivos educativos y los campos de estudio de
Bloom, argumentando que tenían un impacto negativo tanto en las pruebas académicas
como en las de desarrollo. Acusó a Bloom de ver el aprendizaje como un proceso en el
que el conocimiento simplemente se transmite a la cabeza del estudiante. De manera
similar, no estaba de acuerdo con la opinión de Gagne de que el aprendizaje es un proceso
continuo, que se desarrolla desde estructuras simples hasta estructuras complejas.
En conclusión, Freudenthal cree que el aprendizaje implica saltos repentinos en el
replanteamiento, demostrado por los estudiantes encuentran atajos en sus estrategias,
cambian perspectivas y utilizan modelos con distintos grados de formalidad. No
obstante, las referencias de Freudenthal a autores no matemáticos son limitadas, reconoce
la influencia de Decroli, cuyos intereses coincidieron con sus propias teorías sobre el
aprendizaje de las matemáticas en contextos cotidianos, y Dewey, en quien ve similitudes
en la idea del replanteamiento guiado y, estuvo influenciado por la pedagogía
fenomenológica de Lagenveld.
Pág. 134
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De esta edición de “Teoría matemática realista de Hans Freudenthal: Didáctica y
paradigmas de la investigación”, se terminó de editar en la ciudad de Colonia del
Sacramento en Agosto de 2024
Pág. 140
