Pág. 1
Hans Freudenthal: Perspectivas en educación de las matemáticas y análisis
fenomenológico
Adolfo Angulo Romero, Francisco Eduardo Rengifo Silva, Atanacia Santacruz Espinoza,
Jesús Ttito Quispe, Alan Christian López Castillo, Fausto David Berrocal Huarcaya
© Adolfo Angulo Romero, Francisco Eduardo Rengifo Silva, Atanacia Santacruz
Espinoza, Jesús Ttito Quispe, Alan Christian López Castillo, Fausto David Berrocal
Huarcaya, 2024
Primera edición: Agosto, 2024
Editado por:
Editorial Mar Caribe
www.editorialmarcaribe.es
Av. General Flores 547, Colonia, Colonia-Uruguay.
RUC: 15605646601
Diseño de cubierta: Yelitza Sánchez Cáceres
Libro electrónico disponible en https://editorialmarcaribe.es/hans-freudenthal-
perspectivas-en-educacion-de-las-matematicas-y-analisis-fenomenologico/
Formato: electrónico
ISBN: 978-9915-9706-1-5
ARK: ark:/10951/isbn.9789915970615
Aviso de derechos de atribución no comercial: Los autores pueden autorizar al público en general
a reutilizar sus obras únicamente con fines no lucrativos, los lectores pueden usar una obra para
generar otra obra, siempre y cuando se dé el crédito de investigación y, otorgan a la editorial el
derecho de publicar primero su ensayo bajo los términos de la licencia CC BY-NC 4.0.
Pág. 2
Editorial Mar Caribe
Hans Freudenthal: Perspectivas en educación de las matemáticas y
análisis fenomenológico
Colonia, Uruguay
2024
Pág. 3
Sobre los autores y la publicación
Adolfo Angulo Romero
https://orcid.org/0000-0003-2128-843X
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Francisco Eduardo Rengifo Silva
francisco_rengi[email protected].pe
https://orcid.org/ 0000-0001-5826-4058
Universidad Nacional de Ucayali, Perú
Atanacia Santacruz Espinoza
asantacruze@unia.edu.pe
https://orcid.org/0000-0002-3103-8947
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Jesús Ttito Quispe
https://orcid.org/0000-0003-2981-8343
Universidad Nacional Intercultural de la
Amazonia, Perú
Alan Christian López Castillo
alan_lopez@unu.edu.pe
https://orcid.org/0009-0003-7773-2031
Universidad Nacional de Ucayali, Perú
Fausto David Berrocal Huarcaya
fausto_berrocal@unu.edu.pe
https://orcid.org/0009-0000-1224-9741
Universidad Nacional de Ucayali, Perú
Libro resultado de investigación:
Publicación original e inédita, cuyo contenido es resultado de un proceso de
investigación realizado antes de su publicación, ha sido revisada por pares externos a
doble ciego, el libro ha sido seleccionado por su calidad científica y porque contribuye
significativamente en el área del saber e ilustra una investigación completamente
desarrollada y completada. Además, la publicación ha pasado por un proceso editorial
que garantiza su estandarización bibliográfica y usabilidad.
Pág. 4
Pág. 5
Índice
Introducción ..................................................................................................................... 6
Capítulo 1 ......................................................................................................................... 9
Freudenthal y el análisis fenomenológico ................................................................... 9
La naturaleza de las matemáticas .......................................................................... 12
Los signos ........................................................................................................ 14
Los objetos y la adquisición de conceptos .................................................. 24
Capítulo 2 ....................................................................................................................... 37
Freudenthal: Fundamentos de Álgebra y Geometría .............................................. 37
El número ........................................................................................................ 37
Algebra ............................................................................................................ 41
Los objetos geométricos ................................................................................ 43
Los movimientos ............................................................................................ 47
La estadística .................................................................................................. 47
La probabilidad .............................................................................................. 48
Las variables ................................................................................................... 49
Capítulo 3 ....................................................................................................................... 54
Perspectivas de la educación en matemáticas ........................................................... 54
La concepción idealista platónica .......................................................................... 55
La concepción contructivista .................................................................................. 56
Las matemáticas y la sociedad ............................................................................... 58
El propósito de las matemáticas ............................................................................. 61
La cultura matemática ............................................................................................. 63
El lenguaje y la comunicación ................................................................................ 65
Capítulo 4 ....................................................................................................................... 70
Perspectiva de la matemática realista en la educación infantil ......................... 70
La medida ....................................................................................................... 73
Conclusión ..................................................................................................................... 83
Bibliografía ..................................................................................................................... 85
Pág. 6
Introducción
Para Freudenthal, la práctica de las matemáticas en el currículo no es un
conjunto de teorías, objetivos y medios predeterminados. Por el contrario,
siempre se asocia a procesos fenomenológicos entendidos positivamente en
matemáticas, ya que el currículo muchas veces se utiliza en conjunto con la
transformación o desarrollo de la práctica. Para Freudenthal (1968), la teoría de la
educación era un esfuerzo práctico del que podían surgir nuevas ideas teóricas
como una especie de subproducto científico. En su opinión, el desarrollo
curricular no debería tener lugar desde la torre de marfil académica, sino en las
escuelas, en colaboración con profesores y estudiantes. Expresó ideas similares y,
al pedir un currículo práctico, cuestionó elocuentemente la teoría del currículo en
la investigación y el desarrollo. e innovación.
Por tanto, existen similitudes entre algunas de las implicaciones de un
enfoque colonial del currículo y el concepto mismo. Sin embargo, cuando la
fenomenología aparece en la obra de Freudenthal, a menudo tiene el significado
opuesto y, calificó la dirección principal del movimiento como teórica y de arriba
hacia abajo, partiendo de una visión del currículum como procesos y
proponiendo una alternativa propia para el desarrollo educativo, que no era más
que una perspectiva de educación matemática, es decir, su matemática realista
(Sepúlveda, 2018).
Desde esta perspectiva, las matemáticas reales fenomenológicas,
curriculares y etnográficas, o la “matematización” basada en la práctica, tienen
características similares. Y esto era de fundamental importancia para
Pág. 7
Freudenthal, porque, en su opinión, la tarea principal de la educación matemática
debería ser la matematización de la realidad cotidiana. No se puede aprender
matemáticas en los cursos de matemáticas porque inicialmente ninguna de las
matemáticas es empíricamente real para los estudiantes, sobre todo en los
primeros años de vida, ósea en la educación inicial y primaria. Además, la
asignatura de matemáticas, basada en hechos, ayuda a los estudiantes a adoptar
un enfoque matemático en situaciones cotidianas (Trujillo, 2017). En este libro,
podemos referirnos a la actividad matemática realista, plasmada por Freudenthal
(1991), la cual implica una actitud matemática que incluye el conocimiento de las
posibilidades y limitaciones del aprendizaje de un método matemático, es decir,
el conocimiento de cuándo un método matemático es apropiado y cuándo es
apropiado o no.
Este énfasis en la “matematización” es consistente con la necesidad de
matemáticas para todos. Freudenthal destaca que no todos los estudiantes se
convertirán en futuros matemáticos, pues para la mayoría, todo el conocimiento
matemático que utilicen se utilizará para resolver problemas cotidianos, es decir
en el contexto sociocultural que les rodea. Por lo tanto, introducir a los estudiantes
en métodos matemáticos para resolver este tipo de problemas merece ser
considerado una de las principales prioridades de la educación matemática, esta
es su fenomenología.
La historia que desarrolló Freudenthal es quizás más conocida por su
crítica de la investigación educativa tradicional que por sus propias ideas y teorías
contraempíricas (Alsina, 2009). La oposición de Freudenthal a gran parte de la
investigación educativa surgió de su creencia de que la desescolarización era
Pág. 8
necesaria, a opinión de los autores, un currículo basado en lo etnográfico y en las
experiencias vividas. Estas pausas pueden verse como la creación de métodos o
la adopción de perspectivas desde diferentes ángulos y, sostiene que a partir de
esta brecha se puede saber si el estudiante ha alcanzado un cierto nivel de
comprensión o no. Para identificar estas violaciones, los estudiantes deben ser
observados individualmente. Esto significa que las medidas grupales y similares
no son particularmente útiles porque llenan vacíos individuales. Además, el
énfasis debería estar en observar el proceso de aprendizaje en lugar de examinar
los resultados objetivos del aprendizaje.
Además, Freudenthal cree que una investigación tan exhaustiva no puede
responder preguntas educativas sobre por qué y quién enseña una materia
determinada. Freudenthal ofrece un segundo conjunto de críticas al movimiento
de evaluación. En teoría, Freudenthal se basó en una educación formativa y no
punitiva y se centraba en el desconocimiento de la materia y la sobrevaloración
de la fiabilidad en detrimento de la validez.
Pág. 9
Capítulo 1
Freudenthal y el análisis fenomenológico
Al comienzo de su obra, Freudenthal introduce el término
"fenomenología" para describir su método de análisis de conceptos matemáticos.
Explica que este término se deriva de la distinción que hace la tradición filosófica
entre "fenómeno" y "noúmeno". En matemáticas, esta distinción se ve entre los
conceptos o estructuras (noúmenos) y los fenómenos que organizan estos
conceptos. Por ejemplo, las figuras geométricas organizan los fenómenos de los
contornos.
El análisis fenomenológico de un concepto o estructura implica describir
los fenómenos que organiza y examinar la relación entre el concepto o estructura
y estos fenómenos. Este análisis debe considerar el desarrollo y uso actual de las
matemáticas, así como el propósito original del concepto o estructura y sus
extensiones posteriores (Puig, 1997). La relación entre fenómenos y conceptos se
vuelve más compleja cuando se introducen los objetos mentales, y el análisis
fenomenológico debe considerar también las relaciones entre fenómenos y objetos
mentales, y entre objetos mentales y conceptos.
Para comprender mejor las ideas de Freudenthal, es necesario despojar a
los términos de su bagaje filosófico. En lugar de utilizar "noúmeno", es más
apropiado referirse al concepto como "medio de organización". Esto enfatiza la
función de los conceptos en relación con los fenómenos. El término "fenómeno"
todavía puede usarse para describir lo que experimentamos matemáticamente,
pero su significado original de apariencia debe dejarse de lado. Es importante
Pág. 10
reconocer que los medios de organización de los fenómenos que utilizamos para
comprender nuestra experiencia matemática también son un objeto de
experiencia. El par de fenómenos y medios de organización se define por su
relación más que por su pertenencia a mundos diferentes.
Esta comprensión nos permite ver la serie de fenómenos y medios de
organización como interconectados, y los medios de organización de un par se
convierten en los fenómenos del siguiente. Por tanto, dedicarse a la
fenomenología es describir una de estas series o uno de sus pares (Chakravorty,
2010). Aunque los términos "fenómeno" y "noúmeno" se toman de la tradición
filosófica, Freudenthal no proporciona una definición clara de estos términos.
Afirma que no los utiliza en el sentido que les dan filósofos como Hegel, Husserl
o Heidegger, pero no se alinea con ningún sistema filosófico específico. El
'noúmeno' se identifica como el "objeto del pensamiento" sin más explicaciones, y
el 'fenómeno' se describe como algo de lo que tenemos experiencia. Estos términos
tienen orígenes griegos, donde "noúmeno" significa "lo que se piensa mediante la
razón" o "lo que es inteligible", y "fenómeno" significa "lo que aparece".
Los fenómenos son las apariencias o lo que percibimos de las cosas,
mientras que los noúmenos se consideran la verdadera realidad en la tradición
filosófica realista (Navarro, 1971). Identificar conceptos matemáticos con
noúmenos los coloca fuera de nuestro ámbito de experiencia. Sin embargo, esto
contradice una de las características de las matemáticas señaladas por
Freudenthal: que los conceptos matemáticos son parte del campo de fenómenos
que organizan. Los conceptos matemáticos no están separados de nuestra
experiencia ni en un mundo diferente al de los fenómenos que organizan.
Pág. 11
El análisis fenomenológico desarrollado por Freudenthal sirve al propósito
de la didáctica, aunque se basa en conceptos de la filosofía y tiene implicaciones
para la comprensión de las matemáticas. Freudenthal distingue varios tipos de
fenomenología, todos los cuales son importantes para la didáctica, pero sólo uno
está específicamente calificado como didáctico. Estos tipos incluyen la
fenomenología, la fenomenología didáctica, la fenomenología genética y la
fenomenología histórica.
Cada tipo de análisis se centra en diferentes fenómenos en relación con el
concepto que se estudia. En fenomenología pura, la atención se centra en el estado
actual y el uso de las matemáticas. En la fenomenología didáctica, la atención se
centra en los fenómenos presentes en el mundo de los estudiantes y los
introducidos en las secuencias de enseñanza. En fenomenología genética, la
atención se centra en los fenómenos relacionados con el desarrollo cognitivo de
los estudiantes. En la fenomenología histórica, la atención se centra en los
fenómenos que llevaron a la creación y extensión del concepto en cuestión.
La descripción de las relaciones entre los fenómenos y el concepto varía
según el tipo de análisis fenomenológico. En la fenomenología pura, los conceptos
matemáticos se tratan como productos cognitivos, mientras que en la
fenomenología didáctica se tratan como procesos cognitivos dentro del sistema
educativo (Zolkower y Bressan, 2012). Freudenthal enfatiza que una
fenomenología didáctica no debe necesariamente basarse en una fenomenología
genética. El orden correcto para realizar diferentes tipos de análisis
fenomenológico comienza con la fenomenología pura, seguida de la
fenomenología histórica, luego la fenomenología didáctica y finalmente la
Pág. 12
fenomenología genética. Es esencial que cualquier análisis fenomenológico eficaz
en la enseñanza esté respaldado por un análisis sólido de la fenomenología pura.
La naturaleza de las matemáticas
Los conceptos matemáticos son medios para organizar los fenómenos del
mundo. Sin embargo, esta caracterización carece de especificidad a menos que
definamos lo que entendemos por "el mundo" e identifiquemos los fenómenos
que organizan los conceptos matemáticos. La fenomenología, como método, tiene
como objetivo investigar los fenómenos organizados por conceptos matemáticos
a través del análisis, en lugar de asumir un conocimiento previo de estos
fenómenos.
Por tanto, no es posible predeterminar el tipo de fenómenos organizados
por las matemáticas sin realizar análisis específicos. El análisis fenomenológico
de Freudenthal sirve de fundamento para la organización de la enseñanza de las
matemáticas, pero no profundiza en explicar la naturaleza de las matemáticas en
sí. Se podría utilizar este análisis sin comprometerse con ninguna postura
epistemológica u ontológica particular hacia las matemáticas. En otras palabras,
se podrían ver los conceptos matemáticos como herramientas para organizar los
fenómenos en la enseñanza, sin creer necesariamente que esta organización refleje
la verdadera naturaleza de las cosas. Sin embargo, es importante señalar que las
creencias de estudiantes y profesores sobre la naturaleza de las matemáticas
influyen en gran medida en cómo perciben las actividades matemáticas en el aula
y el conocimiento que pretenden transmitir.
Pág. 13
Por otro lado, se podría interpretar de la afirmación anterior que las
matemáticas existen en un mundo separado del que organiza, es decir, el mundo
real que nos rodea. Sin embargo, no encuentro que esta interpretación sea la más
adecuada. De hecho, si consideramos el origen o el nivel más bajo, los fenómenos
organizados por conceptos matemáticos son los del mundo real, físico y
cotidiano. Nuestras experiencias con este mundo físico involucran objetos, sus
propiedades, las acciones que realizamos sobre ellos y las propiedades de esas
acciones. Por tanto, los fenómenos organizados por las matemáticas son los
objetos, propiedades, acciones y propiedades de las acciones en el mundo, vistos
como medios de organización y considerados en relación con ellos.
Los fenómenos que organizan los conceptos matemáticos son los
fenómenos del mundo que abarcan los productos cognitivos humanos, incluidos
los productos de la actividad matemática (Vergnaud, 1988). Estos fenómenos
incluyen los objetos del mundo, sus propiedades, las acciones que realizamos
sobre ellos y las propiedades de esas acciones, en su relación con los medios de
organización. La progresión gradual de los fenómenos y los medios de
organización implica dos procesos: la creación de conceptos matemáticos como
medios de organización y la objetivación de los medios de organización,
permitiéndoles formar parte de nuevos pares en la posición de los fenómenos.
Esta progresión gradual ilustra la producción de objetos matemáticos cada vez
más abstractos y de mayor nivel, lo que demuestra que la actividad matemática
genera su propio contenido.
La primera interpretación aclara que los conceptos matemáticos no existen
en un mundo ideal que estudiamos ni tienen una existencia preexistente antes de
Pág. 14
la actividad matemática. La actividad matemática no consiste en descubrir la
geografía de un mundo donde residen objetos. Sin embargo, también es
importante señalar que el análisis de Freudenthal no describe simplemente la
actividad matemática como un juego entre los fenómenos mundiales y los medios
matemáticos de organización. Más bien, Freudenthal reconoce que los propios
medios de organización se convierten en objetos situados en un campo de
fenómenos.
En consecuencia, los objetos matemáticos pasan a formar parte de nuestro
mundo experiencial, entrando como fenómenos en una nueva relación con otros
fenómenos y medios de organización. Este proceso de incorporación de objetos
matemáticos a nuestro mundo conduce a la creación de nuevos conceptos
matemáticos, y este ciclo continúa repetidamente. Por tanto, las matemáticas
existen dentro del mismo mundo que los fenómenos que organiza, y no hay un
mundo separado sino un mundo único que se expande con cada producto
matemático. Se mencionó anteriormente que la razón por la que los conceptos
matemáticos no existen como objetos ideales en un mundo separado se debe en
gran medida al papel de los sistemas de signos en los que se expresan o escriben
las matemáticas.
Los signos
Los textos matemáticos, independientemente de la experiencia del lector,
suelen contener símbolos y términos que no se utilizan habitualmente en el
lenguaje cotidiano. Esta distinción ha llevado a la noción de que el lenguaje de las
matemáticas está separado del vernáculo. Además, a lo largo de la historia de las
Pág. 15
matemáticas, ha habido casos en los que se desarrollaron nuevos conceptos e
ideas, lo que resalta aún más la naturaleza única del discurso matemático.
El lenguaje de las matemáticas desempeña un papel crucial y a menudo se
considera separado del lenguaje cotidiano. Algunos matemáticos creen que las
verdaderas matemáticas sólo están escritas en un lenguaje completamente
formalizado, mientras que se considera que los textos matemáticos cotidianos
contienen "abusos del lenguaje" debido al uso de la lengua vernácula. Sin
embargo, en lugar de centrarse en los tipos de signos utilizados en matemáticas,
es más importante estudiar los procesos de significado y la producción de
significado. Por tanto, no es necesario separar los signos matemáticos de la lengua
vernácula u otros medios de representación.
En cambio, todos los signos utilizados en la actividad matemática pueden
considerarse parte de un sistema matemático de signos. Estos signos no son
homogéneos y pueden describirse utilizando una terminología tomada de la
semiótica, que se centra en la expresión y el contenido de un signo. Los sistemas
matemáticos de signos contienen signos con diferentes expresiones, similares a
otras actividades humanas como el cine o el canto.
Los conceptos matemáticos se crean a través de la relación entre los
fenómenos y los medios de organización descritos por los sistemas matemáticos
de signos. Estos objetos matemáticos tienen una existencia material que les
otorgan los sistemas de signos que los describen y los crean. A medida que los
medios de organización se vuelven más abstractos, los sistemas matemáticos de
signos también se vuelven más abstractos y crean conceptos abstractos
correspondientes (Streefland, 1991).
Pág. 16
En la discusión anterior, se ha resaltado los elementos cruciales de un
marco matemático que incorpora los principios derivados de la fenomenología de
las matemáticas de Freudenthal y el concepto de sistemas matemáticos de signos
de Filloy. Sin embargo, es importante reconocer que esta descripción todavía
carece de complejidad. Para proporcionar una comprensión más completa, ahora
introduciré ideas adicionales que creo que son esenciales para una descripción
completa. Estas ideas se derivan de los trabajos de Lakatos y Kitcher, y aunque
no profundizaré aquí en sus complejidades, animo a los lectores a consultar los
textos correspondientes en la bibliografía para una exploración más profunda.
En el ámbito de la actividad matemática, los objetos de la experiencia se
componen de objetos del mundo, propiedades de los objetos, acciones realizadas
sobre esos objetos y propiedades de esas acciones. Keitel (1987) introduce la
noción de que las acciones mencionadas no son necesariamente acciones que
realmente realizamos o somos capaces de realizar, sino que son acciones que
pueden ser realizadas por un sujeto ideal dotado de mayores poderes de acción
que los nuestros.
Por ejemplo, este sujeto ideal podría repasar la secuencia de números
naturales o utilizar la función de elección de Hilbert. Si bien esta idea puede
sugerir que las matemáticas pueden desarrollarse sobre la base de estipulaciones
arbitrarias de estos poderes, generando así conceptos matemáticos que carecen
de cualquier propósito epistémico o práctico, este peligro se evita en la práctica a
través de varios medios.
Si bien los conceptos matemáticos se crean en el proceso de organización
de los fenómenos, no son inmutables una vez creados. Más bien, están sujetos a
Pág. 17
modificaciones con el tiempo debido a su uso y a los nuevos sistemas matemáticos
de signos en los que se describen. Sin embargo, estas modificaciones no deben
verse como indicativas de errores en los conceptos originales o como una
progresión lineal hacia una verdad singular. Esto se debe a que rechazamos la
noción de que los objetos matemáticos tengan una existencia anterior al proceso
que los crea.
Para Beltrán (1996), Lakatos presenta una perspectiva diferente sobre la
evolución de los conceptos en la historia, quien examina cómo los conceptos
evolucionan bajo la presión de demostrar los teoremas en los que están
involucrados. Lakatos destaca cómo el establecimiento de la conjetura C + V = A
+ 2 para cualquier poliedro y su demostración por parte de Euler condujo al
surgimiento de ejemplos de sólidos que no se alineaban con la demostración o,
más significativamente, con el concepto mismo.
Una forma de abordar este peligro es mediante el papel de los sistemas
matemáticos de signos en la creación de conceptos matemáticos. Estos sistemas
no sólo nos permiten organizar fenómenos creando conceptos relevantes, sino
que también nos permiten realizar nuevas acciones sobre objetos matemáticos o
apreciar la posibilidad de hacerlo si se eliminaran ciertas limitaciones. Estas
nuevas acciones no son arbitrarias, sino que son sugeridas por los sistemas
matemáticos de signos más abstractos, extendiendo así acciones que previamente
nos habíamos visto capaces de realizar o que habíamos establecido como factibles
en un nivel inferior. Además, la aceptación de estas nuevas acciones por parte de
la comunidad matemática sirve como mecanismo regulador. Sin embargo, esta
Pág. 18
aceptación no está exenta de controversia, como se ve en el caso de la función de
elección de Hilbert.
Según un concepto de objetos matemáticos, existe un objeto ideal conocido
como poliedro, y el propósito de la actividad matemática es descubrir sus
propiedades. Este teorema proporciona evidencia de que los sólidos en cuestión
no son verdaderos poliedros o, alternativamente, la demostración de sus
propiedades es defectuosa. Sin embargo, es importante señalar que la
interpretación de la historia de Lakatos difiere de este teorema. Lakatos distingue
entre dos tipos de contraejemplos: contraejemplos locales y globales.
Un contraejemplo local se refiere a un sólido que posee características que
hacen que la prueba sea inaplicable, pero aun así cumple la relación en cuestión.
Estos contraejemplos no refutan la conjetura; más bien, indican que la prueba se
basa en una propiedad que se suponía válida para todos los poliedros, pero esta
suposición es incorrecta. Por lo tanto, lo que se rebate es un eslogan que ha sido
utilizado implícitamente, invalidando en consecuencia la prueba. La existencia de
estos contraejemplos introduce una discrepancia en los conceptos que no estaba
presente anteriormente.
El impacto del surgimiento de contraejemplos globales tiene una
importancia significativa para nuestro análisis. Cuando un contraejemplo refuta
una conjetura a escala global, resulta particularmente digno de mención. Lakatos
presenta por primera vez contraejemplos globales al teorema de Euler, que
incluyen un sólido formado por un cubo con un agujero cúbico en su interior y
un sólido formado por dos tetraedros unidos por una arista o un vértice.
Posteriormente, introduce un caso aún más intrigante de estrella sólida, la
Pág. 19
verificación o negación de la relación dependiendo de si sus caras son
consideradas polígonos estelares o no.
La existencia de estos contraejemplos crea tensión entre el concepto, el
teorema y su demostración. Varios enfoques pueden resolver esta tensión e
impactar el concepto de poliedro. Los enfoques más fundamentales incluyen: 1)
Exclusión de monstruos. Los contraejemplos presentados se consideran ejemplos
no convencionales de poliedros, denominados monstruos. Si bien su existencia es
posible, no es deseada. La posibilidad de su existencia está determinada por la
definición de poliedro que se utiliza, lo que lleva al desarrollo de una nueva
definición que los excluye explícitamente para mantener el teorema. 2) Exclusión
de excepciones. Los contraejemplos presentados se consideran ejemplos válidos
del concepto, aunque no se anticipó su existencia cuando se planteó
originalmente la conjetura. Para volver a un terreno más seguro, la conjetura se
modifica introduciendo una distinción dentro del concepto que separa estos
ejemplos. 3) Ajuste de monstruos. Los objetos son examinados desde una
perspectiva diferente, haciendo que dejen de ser contraejemplos. Esto se
ejemplifica con las dos formas diferentes de percibir los poliedros estelares:
compuestos de polígonos estelares o no.
Polígono regular: Para cualquier isometría S, un punto no invariante A0
exhibe una órbita, que comprende el conjunto de puntos An en los que A0 se
transforma mediante las potencias Sn, donde n abarca todos los números enteros.
En consecuencia, podemos describir el polígono A0A1A2... generado de esta
manera como regular. Dado que los valores posibles de n abarcan números
enteros negativos, la secuencia de puntos se extiende tanto hacia adelante como
Pág. 20
hacia atrás, y el polígono A0A1A2... debería describirse con mayor precisión
como: ...A-2A-1A0A1A2... Este ejemplo es particularmente digno de mención
porque cada una de las definiciones de polígono y poliedro incorpora enfoques
distintos para abordar la tensión que estamos examinando.
Es evidente que la definición de polígono se desarrolla aceptando nuevos
objetos, ampliando explícitamente el contenido del concepto (lo que
posteriormente requerirá una mayor clasificación en varios tipos de polígonos).
Poliedro: Un poliedro es una colección finita de polígonos planos, conocidos
como caras, junto con todas sus aristas y vértices, que satisfacen las tres
condiciones siguientes: i) Cada arista pertenece exactamente a dos caras, y estas
caras no están en el mismo plano. ii) Las caras que comparten un vértice forman
un único ciclo, es decir, su intersección por una esfera suficientemente pequeña,
centrada en el vértice común, constituye un único polígono esférico. iii) Ningún
subconjunto propio de las caras cumple la condición i).
Poliedro regular: Para cualquier poliedro, definimos una bandera (A, AB,
ABC...) como la configuración geométrica compuesta por un vértice A, una arista
AB que contiene ese vértice, y una cara ABC... que contiene esa arista. Un poliedro
se considera regular si su grupo de simetría presenta transitividad dentro de sus
banderas. A pesar de la simplicidad de estos métodos básicos para abordar la
tensión, es evidente que el concepto de poliedro se ve significativamente afectado
en todos los casos.
Ya sea que se reconozcan o excluyan los contraejemplos como ejemplos del
concepto, el campo semántico se amplía. En un escenario, el contenido de la
expresión aumenta, ampliando efectivamente la gama de fenómenos que el
Pág. 21
concepto inicialmente pretendía abarcar; esta expansión constituye el campo
semántico. En el otro escenario, el concepto establece conexiones con nuevos
objetos que antes estaban distanciados de él en la nueva definición,
convirtiéndose así en parte integral de su contenido. Todo el proceso es más
complejo e implica sistemas matemáticos de símbolos cada vez más intrincados o
abstractos en los que se traducen los conceptos, originalmente expresados en
sistemas matemáticos más simples o menos abstractos.
Como afirma Lakatos, los conceptos generados a través de este proceso no
mejoran los conceptos originales; no son especificaciones ni generalizaciones de
los mismos. En cambio, transforman los conceptos originales en algo
completamente distinto: crean nuevos conceptos. Esto es precisamente lo que
pretendo enfatizar: el resultado del proceso de tensión entre conceptos, teoremas
y demostraciones de Lakatos no es la delineación del verdadero concepto de
poliedro que corresponde a un objeto ideal preexistente, sino la creación de
nuevos conceptos.
En la definición de poliedro, cada condición tiene el propósito de excluir
ciertos objetos. Por ejemplo, la condición i) impide la inclusión de un sólido
formado por dos tetraedros unidos por una arista a modo de poliedro,
excluyendo así a los monstruos de la categoría. Sin embargo, esta misma
condición también prohíbe la interpretación de un poliedro estrella cuyas caras
no sean los correspondientes polígonos estrella, ya que daría como resultado
caras que se encuentran en el mismo plano.
Por lo tanto, esta condición no permite el ajuste de ese tipo particular de
monstruo, y los poliedros estelares sólo se consideran poliedros cuando sus caras
Pág. 22
son los polígonos estelares correspondientes. La ampliación del concepto de
poliedro radica en las relaciones que establece cada condición con otros objetos
matemáticos, así como su representación dentro del sistema de signos utilizado.
La idea de Lakatos sugiere que los conceptos matemáticos no están fijos en
su forma original. Sufren cambios, impulsados por las tensiones que surgen de
estar involucrados en probar y refutar. Sin embargo, la actividad matemática va
más allá de la simple demostración de teoremas. La resolución de problemas es
un factor clave en el desarrollo de las matemáticas, que incluye la demostración
de teoremas y otras actividades.
La resolución de problemas abarca la demostración de teoremas de dos
maneras:
• En primer lugar, abarca la demostración de teoremas a escala global,
donde todos los problemas se consideran como problemas y se hace la
distinción entre encontrar y demostrar problemas.
• En segundo lugar, la resolución de problemas incluye la demostración de
teoremas en el contexto de cada problema particular.
De hecho, lo que caracteriza la resolución de problemas en matemáticas es
que el resultado obtenido debe ir acompañado de una justificación que verifique
las condiciones del problema. Esto amplía el ámbito en el que los conceptos se
ven influenciados y modificados más allá de la mera demostración de teoremas,
para incluir la resolución de problemas. Además, la formulación de nuevos
problemas y el estudio de familias de problemas también son aspectos
Pág. 23
importantes de la resolución de problemas que contribuyen a la creación de
conceptos matemáticos.
La resolución de problemas no es la única actividad matemática que
genera conceptos. La organización de los resultados obtenidos mediante la
resolución de problemas y la demostración de teoremas en un sistema deductivo
es otro aspecto crucial de las matemáticas. Esta organización sistemática puede
adoptar diversas formas, desde lo local hasta lo global y desde lo axiomático hasta
lo formalizado. Sin embargo, es un componente fundamental de las matemáticas,
ya que los matemáticos han pasado de acumular resultados y técnicas a
desarrollar marcos integrales. En este proceso también ha evolucionado el uso de
definiciones en matemáticas. En matemáticas, las definiciones sirven no sólo para
explicar el significado de los términos a las personas, sino también como
eslabones en cadenas deductivas dentro de las actividades de organización de
sistemas deductivos.
El proceso de definición implica organizar las propiedades de un objeto
matemático mediante deducción. Se centra en identificar las propiedades que
pueden utilizarse para formar un sistema deductivo, ya sea a escala local o global,
en el que se puede incluir el objeto matemático. Es importante señalar que resaltar
propiedades específicas para definir un concepto no es un acto neutral o inocente.
Por un lado, sugiere que el concepto fue creado originalmente para organizar los
fenómenos correspondientes. Por otro lado, significa que el contenido del
concepto ahora está determinado por las deducciones realizadas dentro del
sistema definido. De manera similar a la demostración de teoremas, el proceso de
definición también conduce a la creación de nuevos conceptos.
Pág. 24
Los objetos y la adquisición de conceptos
En esta sección, se presentará una nueva idea propuesta por Freudenthal
que desafía las ideas que he presentado hasta ahora. Esta idea gira en torno a la
distinción entre un objeto mental y un concepto. Encuentro este concepto
particularmente importante porque lleva a Freudenthal a adoptar una postura
didáctica: el objetivo principal de la educación debe ser el desarrollo de objetos
mentales, siendo la adquisición de conceptos de importancia secundaria. La
posición es especialmente significativa en el contexto de la escolarización
obligatoria, ya que plantea interrogantes sobre lo que las matemáticas pueden
ofrecer a la población en general. Sin embargo, también tiene relevancia para el
análisis fenomenológico de conceptos matemáticos, particularmente en el marco
de la fenomenología didáctica (Treffers, 1987).
Es crucial recordar que este análisis precede a la organización de la
enseñanza y se realiza con ese objetivo en mente. En esencia, la distinción objeto
mental/concepto que presenta Freudenthal puede entenderse como el resultado
de considerar a los individuos que conciben o utilizan las matemáticas en
contraste con las matemáticas como una disciplina o un cuerpo de conocimiento
histórica, social o culturalmente establecido. En las secciones anteriores, nos
hemos centrado principalmente en conceptos matemáticos dentro de la disciplina
misma, con una consideración limitada de individuos específicos. Y, se han
analizado varios conceptos matemáticos y su relación con los fenómenos y los
medios de organización. También se ha hecho referencia a la objetivación de estos
medios de organización y cómo se integran en una relación de nivel superior entre
fenómenos. Además, se ha explorado cómo los conceptos sufren
Pág. 25
transformaciones como resultado de actividades matemáticas como la
demostración de teoremas, la resolución de problemas, la organización en un
sistema deductivo y el proceso de definición. A lo largo de todo esto he enfatizado
que los conceptos matemáticos no existen independientemente de la actividad
matemática que les da origen.
Por ejemplo, consideremos el concepto de perro. El objeto mental asociado
con este concepto no es capaz de ladrar, ya que es simplemente una
representación del concepto en la mente. En la era de las "matemáticas modernas",
se intentó enseñar a los estudiantes el concepto de números a través de la
construcción cantoriana de los cardinales. Aunque, si estos estudiantes hubieran
confiado únicamente en el plan de estudios oficial, habrían abandonado la escuela
sin adquirir una verdadera comprensión de los números. En cambio, necesitaban
desarrollar un objeto mental de números fuera de lo que los programas
educativos pretendían enseñarles.
La transcripción presentada trataba sobre un individuo excepcional que
posee habilidades superiores y realiza acciones que superan nuestras propias
capacidades. Para comprender este concepto, necesitamos explorar el contraste
entre los objetos mentales y los conceptos matemáticos. En el lenguaje cotidiano,
normalmente nos referimos a la comprensión que una persona tiene de un
concepto como su "concepto", o podemos usar el término "concepción" para
enfatizar que es su interpretación personal del concepto. Sin embargo, a los
efectos de esta discusión, usaremos el término "objeto mental" para resaltar que
es una parte o perspectiva del concepto que existe dentro de la mente del
individuo.
Pág. 26
Así, los objetos y conceptos mentales pueden diferir en sus
interpretaciones y aplicaciones. Al explorar los diversos contextos en los que se
utilizan los números, podemos obtener una comprensión más profunda de los
significados que tienen en diferentes situaciones. Para ilustrar la diferencia entre
objetos y conceptos mentales, utilizaré como ejemplo el concepto complejo y
multifacético de números. En lugar de seguir el enfoque de Freudenthal, lo
describiremos en términos semióticos. Los números no sólo se utilizan en
actividades matemáticas o en el aula; también se emplean en diversos contextos
cotidianos. Estos contextos pueden incluir secuencias, conteo, cardinales,
ordinales, medidas, etiquetas, dígitos escritos, magia y cálculos. Aunque no
profundizaré en los detalles de cada contexto, quiero enfatizar que existen
características y significados distintos asociados con los números en cada
situación.
El campo semántico de "número" abarca todos los usos de los números en
diversos contextos, definiendo su significado enciclopédico. Comprender el
contexto específico en el que se utiliza un número permite al lector o receptor de
un mensaje interpretarlo correctamente. Sin embargo, los individuos no tienen
acceso a toda la gama de usos de los números en una cultura o episteme. Más
bien, operan dentro de su propio campo semántico personal, que evoluciona y
produce significado en situaciones que requieren nuevos usos de los números.
Este campo semántico personal se alinea con lo que Freudenthal denomina
"número de objeto mental". Freudenthal sugiere que los sistemas educativos
deberían apuntar a desarrollar los campos semánticos personales de los
estudiantes para abarcar una amplia gama de usos de los números, asegurando
Pág. 27
que puedan interpretar correctamente cualquier situación que involucre
números. Los usos mundanos de los números ocurren en diversos contextos
donde los fenómenos se organizan utilizando el concepto de número, tanto en su
forma original como en sus aplicaciones extendidas.
El concepto de objetos mentales ayuda a organizar estos fenómenos,
permitiendo a los individuos participar en actividades como la numeración. Los
objetos mentales se forman a través de cadenas de fenómenos y medios de
organización, similares a los conceptos. Si bien los contextos mundanos de uso de
números mencionados anteriormente representan niveles más bajos, la riqueza
fenomenológica de los números en la escuela secundaria requiere la
consideración de contextos adicionales, incluidos los matematizados. Esta
explicación proporciona una comprensión inicial de qué es un objeto mental y
cómo se forma. Sin embargo, el término de Freudenthal podría haberse llamado
simplemente de otra manera.
Es preciso enfatizar que ésta no es la única diferencia entre objetos
mentales y conceptos, y no quiero sugerir que la relación entre ellos sea
simplemente una cuestión de relacionar una parte del contenido del objeto mental
con su totalidad. Sin embargo, antes de profundizar en otros aspectos de esta
relación, es importante señalar que esta explicación sirve como base para la
postura de Freudenthal, que mencioné anteriormente en esta sección. Según
Freudenthal, la adquisición de conceptos es un objetivo educativo secundario que
puede posponerse hasta que se haya establecido un objeto mental sólido.
La relación entre los objetos mentales y los conceptos es más compleja que
el ejemplo del número que acabo de proporcionar, ya que mi explicación se ha
Pág. 28
centrado únicamente en comparar la expansión del campo semántico del número
y la definición de Peano, descuidando siglos de historia que han dado forma a
ambos contextos en qué número se utiliza, cuáles conservan huellas de su
organización mediante conceptos de número y la definición de Peano. El concepto
de número es un tema que requiere mayor aclaración. Para introducir un término
que lo distinga, es importante explicar qué otros significados tiene el término
"concepto" y en qué se diferencia de lo que hemos denominado "objeto mental".
Ya hemos establecido que los objetos mentales existen en la mente de las
personas, mientras que los conceptos existen en el ámbito de las matemáticas. Sin
embargo, esta distinción por sí sola no sería suficiente si creyéramos que los
objetos mentales son simplemente reflejos de conceptos en la mente de las
personas. La relación entre los objetos mentales y los conceptos tiene más matices
que eso. Déjame explicarlo en términos de semiótica. Se ha equiparado el objeto
mental del número con el campo semántico personal, que está formado por los
diversos usos de los números en diferentes contextos y los significados
culturalmente establecidos asociados con ellos.
Los conceptos matemáticos de números naturales, como los desarrollados
por Peano, Cantor o Benacerraf, por ejemplo, son el resultado de un largo proceso
histórico. En las secciones anteriores, he examinado la creación y modificación de
estos conceptos. Desde la perspectiva semiótica que estoy empleando aquí,
cualquier concepto matemático de número que deseemos examinar aparece como
resultado de un proceso definitorio que lo incorpora a un sistema deductivamente
organizado, extrayéndolo esencialmente del campo semántico más amplio.
Pág. 29
Por ejemplo, el concepto de números naturales de Peano, particularmente
en sus versiones más modernas, descompone el significado del contexto de
secuencia y lo presenta como una serie de axiomas que describen de manera
integral sus componentes. Por otro lado, el concepto de número natural derivado
de la construcción de Cantor está vinculado al contexto cardinal, como lo indica
el nombre que Cantor le dio originalmente. En esta explicación, los conceptos
están directamente relacionados con una porción del objeto mental, ya que el
proceso de definirlos implica seleccionar aspectos específicos del significado que
abarca el objeto mental.
Al considerar los procesos involucrados en la creación y modificación de
conceptos en la historia, es importante comprender la relación entre el objeto
mental formado a partir de estos contextos y el concepto de número definido por
Peano. Esta relación va más allá de una simple dinámica parte/todo. Un objeto
mental bien constituido es aquel que puede dar cuenta de todos los usos y
fenómenos en diversos contextos.
El objetivo de los sistemas educativos, como lo describió Freudenthal, es
establecer estos buenos objetos mentales. Para comprender plenamente un
concepto, es necesario examinar cómo se ha desarrollado en matemáticas y cómo
se ha organizado dentro de un sistema deductivo. La relación específica entre un
concepto matemático y su correspondiente objeto mental influye en cómo se
constituye el objeto mental en relación con la adquisición del concepto. Los
constituyentes de un buen objeto mental se determinan mediante el análisis
fenomenológico del concepto en cuestión.
Pág. 30
El análisis que nos ha llevado a diferenciar entre objetos mentales y
conceptos es un análisis didáctico, centrado en examinar las matemáticas y sus
estructuras en el contexto de la educación. Reconocemos que los estudiantes
desarrollan objetos mentales, que son su propia comprensión y organización
personal del conocimiento, y también reconocemos el contenido social y
culturalmente establecido que queremos que los estudiantes aprendan, a los que
nos referimos como conceptos.
Nuestra exploración del contraste entre objetos y conceptos mentales se
realiza específicamente dentro del sistema educativo. En el contexto de la historia,
los conceptos matemáticos no son algo que exista antes de nuestras experiencias,
sino que se crean a través de la actividad matemática de los matemáticos. En este
sentido, los conceptos matemáticos son simplemente cristalizaciones de objetos
mentales. Incluso es posible, como sugiere Freudenthal, que los matemáticos
trabajen con un objeto mental durante mucho tiempo antes de formalizarlo en un
concepto, como fue el caso con el concepto de continuidad.
Entonces, ¿qué significa "convertir un objeto mental en un concepto" en
este contexto? Ahora abordo la distinción entre objetos mentales y conceptos de
manera diferente que cuando la examiné inicialmente. He asociado objetos
mentales con individuos porque se forman a través de experiencias personales y
sirven como una manera para que los individuos den sentido a sus experiencias
y tengan control sobre ellas.
Por otro lado, los conceptos están asociados a las matemáticas como
disciplina, pero también sirven como herramientas para organizar fenómenos. En
el sistema escolar, los conceptos se presentan a los estudiantes antes de que
Pág. 31
tengan experiencias directas con los fenómenos correspondientes. El objetivo del
sistema es que los estudiantes desarrollen objetos mentales que se alineen con los
conceptos establecidos y tengan acceso a los valiosos medios de organización de
los fenómenos que la historia nos ha proporcionado.
El tema que nos ocupa es el sistema escolar y su papel en la creación de
nuevos conceptos matemáticos. Esta discusión se centra en el análisis de los
objetos mentales utilizados por los matemáticos para organizar fenómenos y
definirlos conceptualmente dentro del ámbito de las matemáticas. Es a través de
la actividad matemática que los conceptos se derivan de estos objetos mentales.
Esta idea también se refleja en el trabajo de Lakatos, "Pruebas y
Refutaciones", donde menciona que se supone que se entiende el concepto de
poliedro, a pesar de no estar definido explícitamente. A medida que los
matemáticos prueban teoremas y exploran diferentes formas de modificar
conceptos, encuentran contraejemplos que desafían y dan forma a sus objetos
mentales, lo que en última instancia conduce a la creación de nuevos conceptos.
Es común que surjan discrepancias entre el objeto mental y el concepto que
de él se deriva. En tales casos, uno puede darse cuenta de que su objeto mental no
estaba tan bien formado como se creía inicialmente, lo que lo impulsó a modificar
o revisar la definición conceptual. Por ejemplo, Freudenthal destaca el concepto
de continuidad como un caso en el que se produce un desajuste entre el objeto
mental y el concepto creado.
Cuando se introdujo la primera definición explícita de continuidad,
surgieron numerosos ejemplos de funciones continuas que antes no habían sido
consideradas como tales. Sin embargo, con el tiempo, las sucesivas generaciones
Pág. 32
de matemáticos se acostumbran a estos casos nuevos y poco convencionales de
continuidad. Remodelan su objeto mental primitivo para alinearlo con el
concepto definido por las nuevas funciones. Es importante señalar que el objeto
mental primitivo sigue siendo esencial para el avance de las matemáticas y no es
simplemente reemplazado por el concepto. En cambio, se forma un nuevo objeto
mental que abarca el concepto creado por la definición, o al menos es compatible
con él de forma provisional.
La relación entre los objetos mentales y los conceptos puede variar mucho.
Los objetos mentales se utilizan para organizar fenómenos y preceder a los
conceptos. Sin embargo, los conceptos no reemplazan a los objetos mentales sino
que contribuyen a la creación de nuevos objetos mentales que los incluyan o sean
compatibles con ellos. A veces, existe una brecha significativa entre un objeto
mental y un concepto, como ocurre con la curva del objeto mental y el concepto
de curva de Jordan. En el campo de la topología, los objetos mentales por sí solos
no proporcionan una comprensión profunda y es necesario formar conceptos que
impliquen algo más que la simple organización local. Estos conceptos entran en
un campo de estudio más amplio.
Los fenómenos pueden organizarse en un nivel superior mediante objetos
mentales como espacios y variedades de dimensión arbitraria. Estos objetos
mentales luego se transforman en conceptos mediante nuevos procesos
organizativos y la creación de sistemas de signos más abstractos para describirlos.
Este proceso de transformación es evidente al considerar la idea de objeto mental
y el ascenso progresivo a través de la cadena de pares fenómeno/medio de
Pág. 33
organización. Sin embargo, es importante señalar que no todos los dominios de
las matemáticas requieren conceptos para progresar.
La geometría elemental, por ejemplo, se puede organizar utilizando
únicamente objetos mentales, sin necesidad de conceptos. En este caso, los
conceptos pueden formarse a través de organizaciones locales, donde se
resuelven las distancias entre los objetos mentales y los conceptos. Por ejemplo,
un rectángulo puede entenderse como un objeto mental sin el concepto de
"cuadrado", pero una organización local puede introducir el concepto de
cuadrado sin conflicto. Sin embargo, también hay ejemplos en geometría donde
la distancia entre el objeto mental y el concepto es evidente.
Este es el caso de conceptos elementales como punto, línea y superficie,
que se parecen mucho a los objetos del mundo físico. Los objetos físicos, como
motas o marcas hechas con un objeto punzante, sugieren objetos mentales que
deben delinearse y convertirse en conceptos. Este proceso es evidente en las
definiciones de punto, línea y superficie de Euclides, donde los objetos mentales
se transforman en conceptos. Vale la pena señalar que el camino del desarrollo
cognitivo no necesariamente va de una dimensión a tres, sino más bien todo lo
contrario.
Las superficies se experimentan antes que las líneas, y los objetos mentales
asociados con las líneas se constituyen a través de diversas fuentes
fenomenológicas, como bordes de superficies, flechas, hilos, caminos y cortes. La
diferencia entre las fuentes fenomenológicas y las definiciones euclidianas pone
de relieve la distancia entre los objetos mentales y los conceptos. Esta distancia se
vuelve aún mayor cuando se considera el objeto mental involucrado en la
Pág. 34
transición de una dimensión a otra, específicamente en la dimensión misma. La
transformación de dimensión en concepto se logra en la topología, donde existe
una distancia significativa entre el objeto mental y el concepto.
Sin embargo, también hay un nuevo tipo de propiedad que surge cuando
las propiedades evidentes en el objeto mental son difíciles de probar, como el
producto cartesiano n-dimensional de n segmentos. Esto crea una brecha
significativa entre el objeto mental y el concepto de dimensión. La brecha se
vuelve aún más pronunciada cuando se introducen dimensiones fraccionarias, lo
que nos obliga a discutir las dimensiones en un sentido no tradicional.
Al analizar la fenomenología didáctica, es crucial considerar la
fenomenología pura, reconociendo que hay casos donde la distancia entre el
objeto mental y el concepto es insuperable. Esto es especialmente cierto en la
enseñanza de la escuela secundaria. Comprender la formación de objetos
mentales a través de la enseñanza implica reconocer las diversas formas que
puede adoptar esta distancia.
Junto a los ejemplos mencionados, es importante señalar que hay casos en
los que ciertos componentes son esenciales para el concepto pero no relevantes
para la constitución del objeto mental. Por ejemplo, la comparación de conjuntos
sin estructura es crucial para el concepto de números cardinales, pero juega un
papel mínimo en la formación del objeto mental porque las situaciones de la vida
real rara vez involucran conjuntos sin estructura. Asimismo, la estructura es
realmente necesaria para hacer comparaciones en lugar de ser eliminada.
Además, la fenomenología didáctica revela que los fenómenos organizados por
un concepto pueden ser tan diversos que constituyen objetos mentales diferentes
Pág. 35
dependiendo del campo de fenómenos que se exploran en la enseñanza. Para
comprender plenamente el concepto, es necesario integrar estos diferentes objetos
mentales en un todo unificado.
Cuando se trata de comparar figuras planas en términos de área, existen
diferentes métodos disponibles. Se puede hacer una comparación directa si una
figura está contenida dentro de otra, o se puede hacer una comparación indirecta
mediante transformaciones, congruencias y otras técnicas que preserven el área.
Alternativamente, las cifras se pueden medir individualmente. La medición se
puede realizar cubriendo la figura con áreas unitarias o mediante aproximaciones
utilizando métodos interiores y exteriores. En estos casos, se utiliza la aditividad
de áreas cuando se combinan figuras planas disjuntas, o se considera la
convergencia de áreas cuando se utilizan aproximaciones. Sin embargo, no está
claro si estos enfoques conducen al mismo resultado de medición y demostrar su
equivalencia no es una tarea sencilla. Longitudes, áreas y volúmenes son medidas
fundamentales en la geometría elemental.
Estos conceptos son cruciales en el estudio de la medición. El proceso de
medición comienza comparando las cualidades de los objetos. Esta comparación
se logra estableciendo una unidad y considerando los objetos como entidades que
poseen la cualidad que se mide. Por ejemplo, si un objeto puede describirse como
"largo", entonces se le puede atribuir longitud. Sin embargo, comprender la
longitud, el área y el volumen como conceptos presenta desafíos debido a los
diversos enfoques para definir los objetos mentales de área y volumen. Además,
hay objetos mentales que sólo se manifiestan en un contexto matemático o
Pág. 36
matematizado. La geometría analítica sirve como ejemplo en la educación
secundaria.
El uso de sistemas de coordenadas para la localización global condujo a la
algebraización de la geometría a lo largo de la historia. El sistema de coordenadas
cartesiano, en particular, es eficaz para describir figuras geométricas,
movimientos mecánicos y funciones. Las propiedades geométricas se expresan
algebraicamente a través de relaciones entre coordenadas, movimientos en
funciones dependientes del tiempo y aplicaciones geométricas dentro de sistemas
de funciones con múltiples variables. Los fenómenos característicos de la
geometría analítica sólo pueden explorarse dentro de contextos matematizados,
utilizando los sistemas de signos de expresiones algebraicas y representaciones
cartesianas.
Pág. 37
Capítulo 2
Freudenthal: Fundamentos de Álgebra y Geometría
El número
Es importante reconocer la naturaleza multifacética de los números y sus
diversas interpretaciones y aplicaciones para poder comprender plenamente su
significado e implicaciones. El desarrollo de los conceptos numéricos en la escuela
secundaria sólo puede lograrse mediante la formación de objetos mentales
sólidos, atravesando el campo semántico del "número". Es importante señalar que
este proceso de formación de objetos mentales no es un evento único que da como
resultado un objeto mental inmutable.
Los significados de los números pueden modificarse mediante factores
como el uso de números negativos en el contexto ordinal y de secuencia, o
expresiones decimales en el contexto de medición. Además, es importante
reconocer que en la Escuela Secundaria los números no sólo se utilizan en los
contextos mencionados anteriormente, sino también en otros contextos
matematizados. La exploración del concepto de "número" en el lenguaje natural
requiere una fenomenología didáctica que considere cómo se forman e integran
los objetos mentales para dar cuenta de los diversos usos de "número" en
diferentes contextos (Burkhardt, 1988).
Esta exploración comienza fuera del colegio y continúa durante toda la
etapa de Primaria. Para introducir un análisis fenomenológico relevante para la
etapa de Secundaria, es necesario hacer una breve referencia a estos fenómenos
Pág. 38
iniciales y estudiar cómo el significado de "número" se amplía y modifica con los
nuevos fenómenos que encuentran los estudiantes en esta etapa. La ampliación
del significado de los números alcanza su punto máximo en lo que se puede
llamar el acceso algebraico al concepto de número. Esto implica organizar
operaciones aritméticas y construir un concepto de número de nivel superior que
sea distinto de los formados en contextos anteriores.
En este contexto, un número se define como algo que permite operaciones
aritméticas. Este nuevo concepto de número, que tiene un significado histórico,
legitima todos los números que antes se consideraban ajenos al verdadero
concepto de número y, en consecuencia, se les dieron nombres diferentes. Como
se mencionó anteriormente, el objeto mental de "número" se forma para organizar
diversos fenómenos, que pueden entenderse examinando los objetos a los que se
refieren los números (objetos individuales, conjuntos, palabras, los números
mismos). Esto incluye considerar si los objetos son discretos o continuos, si están
ordenados o no, y la naturaleza de las unidades y el número que describe los
objetos. Estas características se pueden clasificar en diferentes contextos de uso
de números, como contextos cardinales, ordinales, de medición, de secuencia, de
conteo, de etiquetas, mágicos y de lectura. La combinación de todos estos usos en
diferentes contextos forma el campo semántico de "número", y las experiencias
de un individuo contribuyen a la formación de su objeto mental de "número".
El concepto de exclusión, que se refiere a la idea de considerar objetos no
numéricos como números, existe desde el siglo XI. Durante esta época, los
algebristas árabes como al-Karajī ya trataban los objetos algebraicos como
números. Esta idea fue desarrollada aún más por Cantor, quien pretendía
Pág. 39
demostrar que los números transfinitos que había introducido eran de hecho
números legítimos.
El concepto de "número" también se aplica a todas las operaciones
aritméticas básicas. Así, la suma y la resta, sus significados se derivan de las
acciones de contar, combinar conjuntos y comparar tamaños dentro de un campo
de significado que se integra a través de herramientas didácticas
correspondientes como la recta numérica. Sin embargo, la multiplicación y la
división tienen significados aún más diversos. A diferencia de "número", los
significados de estas operaciones están influenciados por nuevos fenómenos y
diferentes tipos de números. Por ejemplo, cuando tratamos con fracciones o
números decimales, necesitamos ampliar nuestra comprensión del "número de
veces" para poder entender la multiplicación. Además, en contextos matemáticos
más avanzados, las operaciones suelen verse como extensiones de conceptos
algebraicos.
La razón es una función matemática que relaciona dos números o valores.
Se puede calcular mediante operaciones aritméticas básicas, pero lo que importa
es el valor que la función asigna a cada par, que se puede determinar mediante
procedimientos algorítmicos. Sin embargo, si interpretamos una razón como
simplemente el resultado de una división, perdemos de vista su verdadero
significado. La importancia de una razón no radica en el proceso de asignar un
valor, sino en la capacidad de comparar razones de igualdad o desigualdad, sin
conocer sus magnitudes específicas.
El concepto de razón nos permite expresar afirmaciones como "a es a b
como c es a d" sin reducir estas comparaciones a valores numéricos. Desde una
Pág. 40
perspectiva fenomenológica, el estatus lógico de la razón puede describirse en
términos de la relación de equivalencia "que tienen la misma razón". Esto es
consistente con la definición de Euclides en el libro V de los Elementos, donde no
define "ratio" en sí, sino más bien la noción de razones que tienen la misma razón.
Por lo tanto, se considera que el estatus lógico de la proporción es de un nivel más
alto que el de los números, fracciones, longitudes y otros conceptos que
normalmente se encuentran en la educación. Este nivel superior se caracteriza por
una propiedad intensiva, que organiza las relaciones entre objetos o conjuntos de
objetos en lugar de centrarse en sus propiedades extensivas.
La variedad de propiedades intensivas de los objetos organizados por la
razón es enorme y abarca una amplia gama de factores. En el contexto de la
enseñanza, es importante considerar una división importante dentro de estas
propiedades: la relación puede ser una relación dentro de una sola magnitud o
entre múltiples magnitudes. Esta división se puede representar mediante dos
espacios de medida o magnitudes, con una aplicación lineal que los conecta.
La relación dentro de una magnitud se considera interna, mientras que la
relación entre las dos magnitudes se considera externa. Una proporción involucra
una función lineal que relaciona estos espacios de medición. La linealidad implica
que las razones internas permanecen constantes bajo la función, y las razones
externas entre los elementos a los que corresponde la función también son
constantes.
La linealidad se demuestra a través del concepto implícito de espacios
iguales que se recorren en tiempos iguales para razones internas, y a través de la
función explícita f(x)=αx, donde α representa una constante, para razones
Pág. 41
externas. Además, una fenomenología didáctica revela que el desarrollo del
objeto mental de razón y proporción involucra objetos mentales precursores.
Estos objetos mentales precursores son a menudo de naturaleza cualitativa e
implican comparaciones de razones, proporcionando un contexto en el que se
puede entender el concepto de igualdad de razones, o proporción. Un importante
objeto mental precursor, identificado por Freudenthal como el objeto
"relativamente" mental, desempeña un papel crucial en este proceso.
El concepto de "relativamente" permite afirmaciones significativas, como
que un chocolate es más dulce que otro debido a su contenido de azúcar
relativamente mayor. El término "relativamente" se refiere a un criterio de
comparación, que puede ser implícito o explícito, como el peso. El objeto mental
de "relativamente" se desarrolla en la enseñanza a través de varios pasos, incluida
la comprensión de que las disposiciones pueden relativizarse, la comprensión del
significado de "relativamente" como "en relación con...", el uso de "relativamente"
y "en relación con" con comprensión, proporcionando una finalización adecuada
de estos términos dentro de un contexto determinado, conocimiento operativo de
su significado y la capacidad de explicar su significado a otros.
Algebra
El álgebra moderna es un campo de estudio que categoriza y analiza las
características estructurales de colecciones de diversos objetos, incorporando
operaciones definidas dentro de ellos. Estas propiedades y objetos se derivan de
la forma en que se organizan los fenómenos de nivel inferior y han evolucionado
con el tiempo. Un acontecimiento significativo en la historia del álgebra es la
redacción del Libro conciso de al-jabr y al-muqābala por al-Khwārizmī en el siglo
Pág. 42
IX. Esto marca el nacimiento del álgebra como una disciplina distinta dentro de
las matemáticas.
El enfoque del álgebra de Al-Khwārizmī es único porque establece los
diferentes tipos de números necesarios para los cálculos, como tesoros, raíces y
números simples. Luego explora las combinaciones de estos tipos y desarrolla
algoritmos para resolver cada tipo. Estos tipos sirven como formas canónicas a las
que se puede reducir cualquier problema. La contribución de Al-Khwārizmī no
radica en los métodos de resolución, sino en el establecimiento de un conjunto
integral de formas canónicas resolubles y la organización de su aplicación a la
resolución de problemas.
Otro avance significativo en álgebra se atribuye a Galois, quien pasó de
buscar nuevas soluciones a estudiar las condiciones de solubilidad de ecuaciones.
La historia del álgebra desde entonces puede verse como una serie de avances
resultantes de la objetivación de métodos de organización del nivel anterior. Sin
embargo, esta perspectiva histórica no es particularmente relevante para el
álgebra que se enseña en el plan de estudios de la escuela secundaria actual, ya
que ha abandonado en gran medida el álgebra moderna introducida en la década
de 1970.
En cambio, es más importante analizar las características del lenguaje
natural y los sistemas de signos de la aritmética escolar, ya que proporcionan la
base para que los estudiantes adquieran el lenguaje del álgebra. Para realizar este
análisis, Freudenthal examina diversos aspectos, como las reglas de
transformación en el lenguaje natural, el lenguaje aritmético, el lenguaje como
acción, la formalización como medio y como objetivo, la construcción algorítmica
Pág. 43
de nombres propios, las reglas de puntuación y el uso de variables en el lenguaje
cotidiano.
En el lenguaje de las matemáticas, las variables juegan un papel
importante. El signo igual es otro elemento importante que ayuda a establecer la
igualdad entre diferentes expresiones matemáticas. Se emplean estrategias y
tácticas algebraicas para resolver ecuaciones y manipular expresiones
matemáticas. La sustitución formal es una técnica utilizada para reemplazar
variables con valores específicos.
El principio algebraico de permanencia establece que si dos expresiones
son iguales y una se modifica, la otra expresión también debe modificarse de la
misma manera para mantener la igualdad. La traducción algebraica implica
convertir problemas planteados o situaciones de la vida real en expresiones o
ecuaciones algebraicas. Pasando al álgebra lineal, se la considera una herramienta
práctica más que un estudio histórico de sus orígenes.
En lugar de explorar el contexto histórico del álgebra lineal, la atención se
centra en sus aplicaciones y en cómo puede organizar y dar sentido a los
fenómenos en diversos campos. El concepto de álgebra lineal puede entenderse
examinando su significado en contextos de aplicación específicos. Por ejemplo, al
producto de matrices se le puede dar importancia aplicándolo para graficar
matrices de conectividad. Esta comprensión puede luego extenderse a otros
contextos sin depender del contenido específico sino más bien de la expresión y
manipulación de las matrices.
Los objetos geométricos
Pág. 44
El concepto de espacio, tanto como construcción mental como idea
matemática, no se originó como fundamento de la geometría. Más bien, es el
resultado de un largo proceso de desarrollo. Según Freudenthal, mientras que los
objetos geométricos existen dentro del espacio como conceptos, los
correspondientes objetos mentales asociados con estos conceptos están en
realidad situados dentro de un contexto geométrico.
Nuestro punto de partida, tanto en el sentido histórico como en la historia
personal de cada individuo, no son los fenómenos que sólo pueden
experimentarse en un nivel ya definido por las matemáticas y organizado
mediante el concepto de espacio. Más bien, son otros fenómenos y contextos los
que vienen primero. Inicialmente, los fenómenos organizados son formas y
configuraciones que se observan en un contexto visual, como contornos y líneas
de visión. Estos están estrechamente relacionados con la creación humana misma,
ya que los humanos producen formas "geométricas".
Los objetos geométricos, como conceptos, se desarrollan a partir de objetos
mentales que sirven como herramientas para organizar las figuras "geométricas"
que se observan o dibujan en la Tierra. Al definir estos objetos, sus definiciones
deben separarse de las propiedades sensoriales de las figuras que pretenden
organizar. Por ejemplo, Euclides define un punto como algo sin partes y una línea
como un largo sin ancho, utilizando propiedades que resaltan deficiencias y
desapegos. Esto crea un concepto separado del objeto mental que organiza los
fenómenos correspondientes. Por lo tanto, cualquier acción u observación
realizada con estas figuras debe ser analizada para ser aceptada como objeto
geométrico. Por ejemplo, si se dibuja un círculo en el suelo o en un papel y se le
Pág. 45
añade una línea tangente, en el dibujo no se cruzan en un solo punto sino "a lo
largo de toda su longitud", como argumenta Protágoras.
Para aprender geometría de forma eficaz, los dibujos deben ubicarse en
contextos geométricos. Además, las relaciones entre el dibujo y el objeto
geométrico no se pueden aprender sin una instrucción adecuada. Colette Laborde
propone una solución a este problema en el contexto del Cabri-geómetro. Los
estudiantes están expuestos a situaciones problemáticas que involucran dibujos,
donde la geometría se convierte en una herramienta útil para modelar y resolver
problemas. Por ejemplo, la geometría permite la creación de dibujos que cumplen
restricciones específicas de una manera más eficiente que el método de prueba y
error. La exactitud de los resultados se puede garantizar mediante principios de
geometría, como la tangencia de una línea a un círculo cuando es perpendicular
al radio. Asimismo, a los estudiantes también se les presentan situaciones de
geometría en las que el dibujo y la experimentación ayudan a evitar largas
soluciones teóricas.
La propia naturaleza del dibujo también influye en su interpretación. Un
dibujo sólo puede referirse a objetos teóricos de la geometría en la medida en que
el lector decida interpretarlo como tal. La interpretación está influenciada por la
teoría elegida por el lector y sus conocimientos. Y, el contexto en el que se presenta
el dibujo es crucial para determinar el tipo de interpretación. Un objeto mental
bien desarrollado debe incorporar un análisis de los elementos de la figura y las
relaciones entre ellos. También, la relación entre el dibujo y el objeto geométrico
es compleja porque requiere interpretación por parte de un sujeto humano.
Pág. 46
En consecuencia, es posible que un dibujo geométrico no siempre se
interprete como la representación de un objeto geométrico, y las interpretaciones
de un mismo dibujo pueden variar según el lector, sus conocimientos y el
contexto. Durante la época de Euclides, los matemáticos descubrieron que existía
una brecha significativa entre el concepto construido por Euclides y el objeto
mental primitivo. Sin embargo, también se dieron cuenta de que para representar
objetos geométricos se utilizaban figuras geométricas dibujadas sobre papel,
conocidas como dibujos geométricos. Esta relación entre la figura, el dibujo y el
objeto geométrico es crucial en la formación de los objetos mentales
correspondientes y la comprensión de conceptos.
Por el contrario, cuando se considera un entorno informático como Cabri-
geometer, se altera la dinámica entre el dibujo y los objetos geométricos, como
acabamos de comentar. Los dibujos creados con Cabri en una pantalla de
computadora, conocidos como Cabri-dibujos, exhiben comportamientos
diferentes en comparación con los dibujos hechos a lápiz sobre papel. Esto se debe
a que los dibujos de Cabri no se dibujan manualmente, sino que se definen
mediante primitivas del programa que siempre se alinean con las propiedades
geométricas.
La modificación de un dibujo Cabri resultante del movimiento de sus
elementos trastoca ciertas interpretaciones del dibujo basadas en sus propiedades
espaciales. Además, en la experiencia de los estudiantes, el ámbito de los
fenómenos organizados por objetos geométricos en la Escuela Secundaria es
increíblemente diverso y se puede encontrar en diversos aspectos de la
naturaleza, el arte y las creaciones humanas. Aunque no haremos una lista
Pág. 47
exhaustiva, cabe señalar que esta abundancia de fenómenos geométricos se ha
ampliado significativamente en los últimos tiempos con la aparición de productos
infográficos como videojuegos, imágenes digitales utilizadas como portadas de
programas de televisión, videoclips y juegos de ordenador.
Los movimientos
Las transformaciones geométricas implican el movimiento físico de figuras
geométricas. Sin embargo, existe una relación compleja y conflictiva entre las
características geométricas de estas transformaciones y las propiedades espaciales
de los movimientos. Esto conduce a dificultades para reconocer que diferentes
caminos pueden resultar en la misma transformación, aceptar ciertas
transformaciones como identidades, etc. Es importante considerar esta brecha
entre los fenómenos del mundo real y los conceptos matemáticos de
transformaciones geométricas. Teniendo esto en cuenta, hay muchos fenómenos
en el entorno de los estudiantes que pueden explorarse y que son relevantes para
comprender las transformaciones geométricas.
La estadística
La estadística descriptiva se ha desarrollado con el propósito de organizar
los datos numéricos proporcionados y abarca una amplia gama de fenómenos
sociales, políticos y económicos. Estos fenómenos sirven como contextos en los
que se aplican conceptos estadísticos y es importante considerarlos como
oportunidades educativas, ya que permiten a los individuos experimentar y
formar objetos mentales relacionados con la estadística.
Pág. 48
Los conceptos de estadística se ocupan principalmente de la información
cuantitativa contenida en los datos y tienen como objetivo resumirla,
caracterizarla y organizarla de una manera que facilite la comparación con otros
conjuntos de datos masivos. En la vida cotidiana, los conceptos estadísticos se
pueden observar en diversos medios de comunicación, como la prensa y la
televisión, donde se utilizan para describir diferentes temas o predecir el
comportamiento de los votantes durante las campañas políticas.
Estas aplicaciones de la vida real contribuyen a la comprensión y
formación de objetos mentales relacionados con la estadística. Sin embargo,
dentro del ámbito de la inferencia estadística, los fenómenos se vuelven más
complejos y abstractos, ya que implican derivar conocimiento a partir de la
observación de características de los casos. Ian Hacking ha señalado los desafíos
que supone establecer la inferencia estadística en el marco de la ciencia galileana,
ya que requiere navegar por el concepto de "evidencia aceptable" en diferentes
períodos históricos y prácticas sociales. La contribución de Fisher a este campo es
significativa, ya que introduce la idea de que rechazar la hipótesis nula no
equivale a refutarla por completo. En cambio, la alternativa es rechazar o cometer
un error al rechazar la hipótesis nula.
La probabilidad
La probabilidad tiene sus raíces en el ámbito de los juegos de azar y de
eventos inciertos, como los sorteos de lotería o los patrones climáticos. En el
lenguaje cotidiano, el término "probable" puede tener dos significados: sugiere
que algo puede suceder, pero también implica una creencia personal de que
sucederá. La distinción entre estas interpretaciones a menudo se transmite a
Pág. 49
través del énfasis del hablante. Así, los términos "probable" y "posible" tienen un
significado estrechamente relacionado. Se han propuesto varias perspectivas,
incluidos los puntos de vista logicista, subjetivista y frecuencialista, para explicar
el concepto de probabilidad. Estas teorías arrojan luz sobre la diversa gama de
fenómenos que caen bajo el paraguas de la probabilidad.
A menudo se encuentran desafíos a la hora de definir las ideas
fundamentales de probabilidad y aleatoriedad. Se puede construir una
comprensión sólida de la aleatoriedad y la probabilidad utilizando elementos
derivados de las especificaciones de Kolmogorov: Un evento puede tener
múltiples resultados posibles. El resultado del evento no se puede predecir con
certeza, incluso con el conocimiento de quienes lo observan. El evento puede
repetirse en condiciones idénticas un número significativo de veces, lo que
permite sacar conclusiones generalizables. La secuencia de resultados obtenidos
durante la repetición no muestra ningún patrón discernible que pueda ser
previsto por el observador. A medida que aumenta el número de repeticiones, las
fluctuaciones en las frecuencias relativas de los resultados se vuelven más estables
y su magnitud disminuye gradualmente de manera predecible.
Las variables
La práctica actual en matemáticas de referirse a "variables" como medios
para expresar proposiciones generales, que en realidad son lo que Freudenthal
denomina "nombres polivalentes", es un desarrollo relativamente reciente.
Tradicionalmente, el término "variable" siempre ha denotado algo que realmente
fluctúa o cambia, ya sea en el ámbito físico, social, mental o matemático.
Inicialmente, el concepto de variables abarcaba fenómenos observables en los
Pág. 50
ámbitos físico, social y mental, pero finalmente se amplió para incluir objetos
matemáticos como números, magnitudes y puntos, que también se consideran
variables.
El concepto de función se origina a partir del reconocimiento de una
relación o dependencia entre variables. Esta dependencia puede establecerse,
postularse, generarse o replicarse dentro de los ámbitos físico, social o mental, así
como entre variables matemáticas que también pueden tener conexiones con
variables de otros dominios. A medida que se explora más a fondo esta
dependencia, se puede objetivar y tratar como una construcción mental. Sin
embargo, antes de que pueda ocurrir esta objetivación, la dependencia primero
debe ser experimentada, utilizada, estimulada, hecha consciente, considerada
como un objeto, dada un nombre y situada dentro de un marco más amplio de
interdependencias:
• Las funciones surgieron como relaciones entre magnitudes de variables
cuya variabilidad se comparó en cantidades infinitesimales.
• La libertad de cambiar variables de dependientes a independientes y entre
independientes llevó a un nuevo tipo de operación con funciones:
composición e inversión. Fue esta nueva riqueza operativa la que condujo
al éxito del concepto de función.
• La necesidad de distinguir entre variables dependientes e independientes
ha llevado a hacer hincapié en las funciones más que en las relaciones. A
pesar de lo que sugieren las expresiones algebraicas y analíticas, el
desarrollo ha tendido hacia funciones univalentes.
Pág. 51
• Un cambio de perspectiva llevó de describir datos visuales a través de
funciones expresadas analíticamente a visualizar funciones a través de
gráficos.
• Aparece una función arbitraria en el cálculo de variaciones y resolución de
ecuaciones diferenciales. Esta "arbitrariedad" se refiere no sólo a la
naturaleza de la dependencia funcional, sino también a la naturaleza de las
variables, que pueden ser números, puntos, curvas, funciones, elementos
de conjuntos arbitrarios.
• Funciones de análisis, transformaciones geométricas, permutaciones de
conjuntos finitos y aplicaciones entre conjuntos arbitrarios se combinan
para crear el concepto general de función.
• Este concepto, a su vez, se utiliza para organizar una amplia variedad de
objetos, desde operaciones algebraicas hasta predicados lógicos.
Esta última riqueza de fenómenos tan diversos integrados en el concepto
general de función, fenómenos que, además, muchos de ellos pertenecen al
propio mundo de las matemáticas, hace que la función como objeto mental sea
mucho más compleja que el número de objetos. geométrica o incluso la razón. El
concepto de función sólo puede dominarse en etapas avanzadas de la
escolarización, cuando los estudiantes ya pueden haber tenido experiencia con un
gran número de estos fenómenos. Lo que realmente puede constituirse como
objeto mental en la educación secundaria es la idea de dependencia variable y
funcional, y resulta difícil salvar incluso las transformaciones geométricas que
también se están experimentando.
Pág. 52
Al profundizar exhaustivamente en estos conceptos, que
desafortunadamente no pueden explorarse completamente dentro de los límites
de esta discusión, nos damos cuenta del vasto abismo que existe entre estos
conceptos mismos y sus orígenes en los fenómenos iniciales y las primeras
construcciones mentales que emergen. en el ámbito de las matemáticas y en las
experiencias personales de los individuos. Esto recuerda el famoso comentario de
Cantor a Dedekind, en el que confesaba, quizás intencionalmente, que era capaz
de percibir la validez de un determinado concepto, pero que luchaba por abrazar
plenamente su realidad.
El argumento del autor sobre la existencia de cardinales infinitamente
diferentes utilizando el método diagonal sirve como un claro ejemplo de los
desafíos que plantean conceptos matemáticos como continuidad e infinito. Estos
conceptos no tienen correspondencias directas en nuestras experiencias físicas y
no está claro si el infinito es un concepto singular. Los matemáticos desarrollaron
estos conceptos para comprender y organizar fenómenos que ocurren dentro del
ámbito de las matemáticas, donde los objetos se producen o se producen en
contextos altamente matematizados. Sin embargo, enseñar estos conceptos
requiere considerar que una comprensión profunda de ellos sólo puede lograrse
a través de la experiencia de los fenómenos que organizan.
Si bien la adquisición de estos conceptos puede presentar dificultades, no
significa que deban abandonarse. En cambio, un enfoque didáctico debería
implicar la creación de una variedad de experiencias que abarquen los diversos
fenómenos relevantes y la organización de la instrucción de una manera que
permita la formación de un objeto mental capaz de lidiar con esos fenómenos.
Pág. 53
Además, es importante reconocer que muchos de los fenómenos cruciales para
formar objetos mentales fuertes son intrínsecos a los propios medios matemáticos
de organización, que pueden estudiarse a un nivel superior.
Pág. 54
Capítulo 3
Perspectivas de la educación en matemáticas
Al considerar las propias ideas sobre las matemáticas, pueden surgir una
variedad de opiniones y creencias sobre el tema, la actividad matemática y la
capacidad de aprender matemáticas. Esta discusión puede parecer irrelevante
para los profesores que se preocupan principalmente por mejorar la eficacia de su
enseñanza. El concepto de conocimiento pertenece a la rama de la filosofía
conocida como epistemología, que explora las teorías del conocimiento. Sin
embargo, las creencias sobre la naturaleza de las matemáticas pueden influir en
gran medida en las acciones de un profesor en el aula.
Por ejemplo, imaginemos a un profesor que cree que los objetos
matemáticos tienen existencia propia, aunque sea inmaterial. Desde el punto de
vista de este profesor, objetos como triángulos, sumas, fracciones y
probabilidades existen independientemente de las personas que los utilizan o de
los problemas a los que se aplican, e incluso independientemente de la cultura.
Según esta creencia, la mejor manera de enseñar matemáticas sería presentar estos
objetos a los estudiantes, de forma similar a como se le mostraría a un niño un
elefante en el zoológico o a través de un vídeo.
¿Cómo podemos demostrar qué es un círculo u otro objeto matemático?
Este profesor diría que el mejor enfoque es enseñar las definiciones y propiedades
de estos objetos, ya que esto es lo que constituye "saber matemáticas". La
aplicación de conceptos o la resolución de problemas matemáticos se consideraría
secundaria y se enseñaría una vez que el alumno haya dominado los propios
Pág. 55
objetos matemáticos. Por otro lado, algunos profesores ven las matemáticas como
un producto del ingenio y la actividad humanos, de forma muy parecida a la
música o la literatura. Ven las matemáticas como algo que se inventó como
resultado de la curiosidad humana y la necesidad de resolver una variedad de
problemas, como el comercio de bienes, la construcción, la ingeniería y la
astronomía.
Para estos profesores, la naturaleza fija de los objetos matemáticos hoy, o
en períodos históricos anteriores, es resultado de la negociación social. Los
individuos que crearon estos objetos tuvieron que ponerse de acuerdo sobre sus
reglas de funcionamiento, asegurando que cada nuevo concepto encajara
coherentemente con los existentes. Además, la historia de las matemáticas
muestra que las definiciones, propiedades y teoremas establecidos por
matemáticos de renombre no son infalibles y están sujetos a evolución.
Con esta perspectiva en mente, aprender y enseñar matemáticas debe
reconocer que los estudiantes naturalmente encuentran dificultades y cometen
errores durante el proceso de aprendizaje, y que estos errores pueden servir como
valiosas oportunidades de aprendizaje. Esto se alinea con las teorías psicológicas
constructivistas sobre el aprendizaje de las matemáticas, que se basan en la visión
filosófica de las matemáticas conocida como constructivismo social.
La concepción idealista platónica
Dentro de la amplia gama de creencias sobre la relación entre las
matemáticas y sus aplicaciones prácticas, así como su importancia en el ámbito
de la enseñanza y el aprendizaje, existen dos concepciones distintas y
Pág. 56
contrastantes. Una de estas concepciones, que prevaleció entre numerosos
matemáticos profesionales hasta hace relativamente poco tiempo, afirma que los
estudiantes deben primero comprender las estructuras fundamentales de las
matemáticas de manera axiomática.
Se supone que una vez que esta base esté firmemente establecida, al
estudiante le resultará relativamente fácil resolver las diversas aplicaciones y
problemas que surjan. Según esta perspectiva, sin una base matemática sólida,
será difícil aplicar los principios matemáticos, excepto en escenarios
extremadamente simplistas. En consecuencia, las matemáticas puras y las
aplicadas se perciben como disciplinas separadas, con estructuras matemáticas
abstractas que tienen prioridad sobre sus aplicaciones en los ámbitos natural y
social.
Las aplicaciones prácticas de las matemáticas se consideran un "apéndice"
al estudio de las matemáticas y, por lo tanto, ignorar este apéndice no causaría
ningún daño a la comprensión del estudiante. Quienes suscriben esta creencia ven
las matemáticas como una disciplina autónoma, capaz de desarrollarse sin
considerar sus aplicaciones a otras ciencias, basándose únicamente en problemas
matemáticos internos. Esta concepción particular de las matemáticas se conoce
como perspectiva "idealista-platónica". Esta perspectiva permite crear un
currículo relativamente sencillo, ya que no es necesario incorporar aplicaciones
de otras áreas (Gravemeijer, 1994). En cambio, estas aplicaciones se "filtran" para
abstraer los conceptos, propiedades y teoremas matemáticos, lo que da como
resultado un dominio matemático "puro".
La concepción contructivista
Pág. 57
Muchos matemáticos y profesores de matemáticas sostienen que las
matemáticas deberían tener una fuerte conexión con sus aplicaciones en el mundo
real en diversas materias. Creen que es crucial demostrar a los estudiantes la
practicidad y relevancia de cada concepto matemático antes de presentarlo. La
idea es mostrar a los estudiantes cómo las diferentes partes de las matemáticas
sirven para propósitos específicos. Por ejemplo, al colocar a los niños en
situaciones en las que necesitan intercambiar artículos, les creamos la necesidad
de comparar, contar y organizar colecciones de objetos.
Esto les introduce gradualmente en el concepto de números naturales.
Según esta perspectiva, las aplicaciones de las matemáticas, tanto externas como
internas, deberían venir antes y después del desarrollo de los conceptos
matemáticos. Estas aplicaciones deberían surgir naturalmente como respuesta a
los problemas encontrados en los entornos físicos, biológicos y sociales en los que
vivimos los humanos. Los estudiantes deben poder reconocer que la
axiomatización, la generalización y la abstracción en matemáticas son necesarias
para comprender y resolver problemas del mundo real.
Los defensores de este enfoque de las matemáticas y su enseñanza
preferirían comenzar con problemas de la naturaleza y la sociedad y utilizarlos
como base para construir las estructuras fundamentales de las matemáticas. De
esta manera, los estudiantes obtendrían una comprensión más profunda de la
estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones. Sin embargo,
desarrollar un currículo basado en este enfoque constructivista es complejo
porque requiere conocimientos no sólo de matemáticas sino también de otros
campos.
Pág. 58
Las estructuras que se encuentran en las ciencias físicas, biológicas y
sociales suelen ser más complejas que las de las matemáticas y no siempre se
alinean perfectamente con estructuras puramente matemáticas. Aunque existe
una gran cantidad de material sobre las aplicaciones de las matemáticas en
diversas áreas, la tarea de seleccionar, organizar e integrar este material no es
sencilla.
Las matemáticas y la sociedad
Enseñar matemáticas implica no sólo impartir conocimientos y
habilidades, sino también fomentar la comprensión y el aprecio por el papel de
las matemáticas en la sociedad y el poder y las limitaciones del método
matemático. Las matemáticas tienen una rica historia de evolución para resolver
problemas prácticos y han desempeñado un papel crucial en el desarrollo de
diversos campos. Así, también los conceptos dentro de las matemáticas han
sufrido cambios a lo largo del tiempo, adaptándose a nuevos enfoques y avances
de la tecnología.
Al reconocer estos aspectos, los educadores pueden brindar a los
estudiantes una comprensión integral de las matemáticas y su importancia en la
sociedad. Este patrón de evolución de las matemáticas en respuesta a diversos
problemas no es exclusivo de la estadística. La geometría, por ejemplo, surgió de
la necesidad de resolver problemas agrícolas y arquitectónicos. Diferentes
sistemas de numeración evolucionaron junto con la necesidad de cálculos
aritméticos más rápidos.
Pág. 59
La teoría de la probabilidad se desarrolló para abordar problemas
relacionados con los juegos de azar. Las matemáticas sirven como marco sobre el
cual se construyen los modelos científicos, ayudando en el proceso de modelar la
realidad y, a menudo, validando estos modelos. Los cálculos matemáticos, por
ejemplo, permitieron descubrir la existencia de planetas distantes en nuestro
sistema solar mucho antes de que pudieran ser observados. Desde una
perspectiva histórica, resulta evidente que las matemáticas son un cuerpo de
conocimientos en constante evolución.
A lo largo de su evolución, la necesidad de resolver problemas prácticos
(tanto dentro de las propias matemáticas como en relación con otras disciplinas)
ha jugado un papel importante. Por ejemplo, los orígenes de las estadísticas se
remontan a civilizaciones antiguas como la china, la sumeria y la egipcia, que
recopilaban datos sobre población, bienes y producción. Incluso la Biblia hace
referencias a contar a los israelitas en edad de servicio militar en el libro de
Números. Los propios censos ya estaban establecidos en el Imperio Romano en el
siglo IV a.C. Sin embargo, sólo recientemente la estadística ha adquirido el estatus
de ciencia.
En el siglo XVII, la aritmética política surgió de la escuela alemana de
Conring. Achenwall, discípulo de Conring, centró su trabajo en la recopilación y
análisis de datos numéricos con fines específicos, sentando las bases del método
estadístico. Este ejemplo demuestra cómo las matemáticas, incluida la estadística,
se han desarrollado en respuesta a diversos problemas.
Al considerar la enseñanza de las matemáticas, es crucial reflexionar sobre
dos objetivos importantes:
Pág. 60
• En primer lugar, nuestro objetivo es que los estudiantes comprendan y
aprecien el papel de las matemáticas en la sociedad, incluidas sus diversas
aplicaciones y contribuciones al desarrollo social.
• En segundo lugar, nos esforzamos en que los estudiantes comprendan y
valoren el método matemático, que abarca los tipos de preguntas que las
matemáticas pueden ayudar a responder, las formas fundamentales de
razonamiento y trabajo matemático, así como sus fortalezas y limitaciones.
Si bien, la evolución de las matemáticas no es únicamente la acumulación
de conocimientos o el desarrollo de nuevos campos de aplicación. Los propios
conceptos dentro de las matemáticas han sufrido cambios de significado a lo largo
del tiempo, ampliándose, especificándose, revisándose, ganando relevancia o, en
ocasiones, quedando relegados a un segundo plano. Por ejemplo, el cálculo de
probabilidades experimentó una transformación significativa con la
incorporación de conceptos de la teoría de conjuntos a la axiomática de
Kolmogorov.
Este nuevo enfoque permitió la aplicación del análisis matemático a la
probabilidad, lo que condujo a avances en la teoría y sus aplicaciones prácticas en
el último siglo . De manera similar, el cálculo manual de logaritmos y funciones
circulares (por ejemplo, senos, cosenos) solía enseñarse ampliamente, y los
estudiantes dedicaban horas a aprender algoritmos relacionados. Sin embargo,
con la llegada de las calculadoras y las computadoras, estas funciones ahora se
pueden calcular directamente, lo que hace que el cálculo manual quede obsoleto.
La misma tendencia parece ocurrir hoy con el cálculo de raíces cuadradas.
Pág. 61
El propósito de las matemáticas
Las aplicaciones matemáticas desempeñan un papel importante en nuestra
vida cotidiana y es fundamental que los estudiantes lo reconozcan y aprecien.
Para lograr esto, es importante para nosotros brindar ejemplos y situaciones
integrales en clase que demuestren la amplia gama de fenómenos que las
matemáticas nos permiten organizar y comprender (Higginson, 1980).
Más allá del contexto biológico y físico del individuo, vivimos en una
sociedad llena de situaciones matemáticas. Las actividades familiares, escolares,
laborales y de ocio implican elementos matemáticos. Se pueden realizar estudios
numéricos o estadísticos para cuantificar el número de hijos en una familia, la
edad de los padres al casarse, los tipos de trabajo que realizan las personas y las
diferentes creencias y pasatiempos dentro de las diferentes familias. Se depende
del transporte público para ir a la escuela o irse de vacaciones, y podemos estimar
factores como el tiempo de viaje, la distancia y la cantidad de pasajeros que
utilizan los autobuses.
Durante el tiempo libre, participamos en juegos de azar como billares o
loterías, y asistimos a eventos deportivos cuyos resultados son inciertos y es
posible que tengamos que hacer cola para comprar entradas. Comprar pólizas de
seguro, invertir en el mercado de valores y tomar decisiones financieras son
ejemplos en los que las estadísticas y la probabilidad son herramientas esenciales.
Un área donde las matemáticas son aplicables es la biología. Se puede
recordar a los estudiantes que muchas características heredadas, como el sexo, el
color del cabello y el peso al nacer, no se pueden predecir de antemano. Además,
rasgos como la altura, la frecuencia cardíaca y el recuento de glóbulos rojos
Pág. 62
pueden variar según el momento en que se miden. La probabilidad nos permite
describir y analizar estas características.
En el campo de la medicina, se realizan estudios epidemiológicos
estadísticos para cuantificar la condición de un paciente y seguir su progresión
mediante tablas y gráficos. Luego, estas condiciones se comparan con los valores
promedio en un individuo sano. La determinación del recuento de glóbulos rojos
a partir de una muestra de sangre es un ejemplo de situaciones que implican el
razonamiento proporcional y el concepto de muestreo.
Los modelos matemáticos de crecimiento demográfico también se utilizan
para hacer predicciones sobre la población mundial, la posibilidad de extinción
de ballenas, la propagación de enfermedades e incluso la esperanza de vida de
los individuos. La naturaleza nos proporciona numerosos ejemplos de conceptos
geométricos, que pueden abstraerse y estudiarse. A medida que los estudiantes
crecen, se pueden proponer actividades de medición para ayudarlos a diferenciar
diferentes magnitudes y estimar cantidades como el peso y la longitud. Los
gobiernos en diversos niveles necesitan información para tomar decisiones
informadas. Por eso se realizan censos y encuestas. Desde los resultados
electorales hasta los censos de población, una amplia gama de estadísticas influye
en las decisiones gubernamentales. Los índices de precios al consumidor, las tasas
de población activa, la inmigración y la emigración, las estadísticas demográficas
y la producción de diferentes bienes y el comercio son ejemplos de ratios y
proporciones de los que escuchamos a diario en las noticias.
En el mundo económico, la contabilidad nacional y empresarial, así como
el control y la previsión de los procesos productivos, se basan en métodos y
Pág. 63
modelos matemáticos. En nuestra compleja economía, es esencial tener una
comprensión básica de las matemáticas financieras. Operaciones cotidianas como
abrir una cuenta corriente, suscribirse a un plan de pensiones u obtener un
préstamo hipotecario requieren este tipo de matemáticas.
Más allá del contexto biológico, nuestra vida cotidiana también está
inmersa en un entorno físico. La medición de magnitudes como la temperatura y
la velocidad es esencial. Las construcciones que nos rodean, como edificios,
caminos, puentes y plazas, presentan oportunidades para analizar formas
geométricas. El desarrollo de estas estructuras requiere cálculos, mediciones,
estimaciones y análisis estadísticos.
Los fenómenos meteorológicos proporcionan excelentes ejemplos de
eventos aleatorios. La duración, intensidad y extensión de la lluvia, las tormentas
y el granizo, así como las temperaturas máximas y mínimas y la intensidad y
dirección del viento, son todas variables aleatorias. Las consecuencias de estos
fenómenos, como el volumen de agua en un pantano o la magnitud de los daños
causados por inundaciones o granizo, también ofrecen oportunidades para
estudiar estadísticas y probabilidades.
La cultura matemática
Colocar la resolución de problemas y el modelado a la vanguardia de la
educación matemática tiene importantes implicaciones educativas. Sería
contradictorio presentar las matemáticas como algo cerrado, desconectado de la
realidad y completo, considerando sus orígenes históricos y sus aplicaciones
actuales. Es crucial reconocer que el conocimiento matemático nos permite
Pág. 64
modelar y resolver problemas de diferentes campos, mientras que los problemas
que se originan en contextos no matemáticos a menudo forman la base intuitiva
para el desarrollo de nuevos conocimientos matemáticos.
La educación tiene como objetivo desarrollar ciudadanos integrales y, con
la evolución del concepto de cultura en la sociedad moderna, el papel de las
matemáticas está ganando reconocimiento. La educación matemática tiene como
objetivo cultivar este aspecto cultural. Sin embargo, el objetivo no es transformar
a los futuros ciudadanos en "matemáticos aficionados" ni entrenarlos en cálculos
complejos, ya que los ordenadores ahora pueden realizar este tipo de tareas
(Gravemeijer, 1997). En cambio, el objetivo es dotar a las personas de la capacidad
de interpretar y evaluar críticamente información y argumentos matemáticos
respaldados por datos encontrados en diversos contextos, como los medios de
comunicación o su trabajo profesional.
Asimismo, la educación matemática tiene como objetivo mejorar las
habilidades de comunicación, permitiendo a las personas discutir y transmitir
información matemática de manera efectiva, así como resolver problemas
matemáticos encontrados en la vida diaria o en entornos profesionales. Desde una
perspectiva pedagógica y epistemológica, es crucial diferenciar entre el proceso
de construcción del conocimiento matemático y las características del
conocimiento matemático bien desarrollado.
La formalización, la precisión y la ausencia de ambigüedad son rasgos
asociados a las matemáticas como ciencia madura. Sin embargo, la construcción
del conocimiento matemático, tanto históricamente como en el proceso de
aprendizaje individual, es inseparable de actividades concretas, intuición y
Pág. 65
enfoques inductivos activados a través de tareas y resolución de problemas.
Adquirir experiencia y comprensión de nociones, propiedades y relaciones
matemáticas a través de aplicaciones del mundo real no es solo un requisito
previo para la formalización, sino también una condición necesaria para
interpretar y utilizar correctamente el potencial dentro de las estructuras
matemáticas formales (Mosterín, 1987).
Cuando se trata de la enseñanza de las matemáticas, es fundamental
adaptar el enfoque a la edad y al nivel de conocimientos de los estudiantes.
Diferentes individuos tienen necesidades y percepciones distintas del entorno
físico y social, así como intereses diferentes en comparación con los adultos. Por
lo tanto, transferir mecánicamente situaciones "reales", incluso si son
significativas para los adultos, puede no captar el interés de los estudiantes.
La construcción histórica de las matemáticas destaca la importancia del
razonamiento empírico-inductivo, que a menudo juega un papel más activo en el
desarrollo de nuevos conceptos en comparación con el razonamiento deductivo.
Los matemáticos no formulan teoremas en el primer intento. En cambio, se basan
en ensayos previos, ejemplos y contraejemplos, soluciones de casos específicos y
la capacidad de modificar las condiciones iniciales para investigar los resultados.
Estos procesos intuitivos proporcionan pistas invaluables para desarrollar
proposiciones y teorías. Descuidar estos procedimientos intuitivos, como se
observa en algunas propuestas curriculares, priva a los estudiantes de una
poderosa herramienta para explorar y construir conocimientos matemáticos
(English, 2008).
El lenguaje y la comunicación
Pág. 66
Las matemáticas, al igual que otras disciplinas científicas, abarcan un
conjunto de conocimientos que posee sus propias características y organización
interna únicas. Lo que distingue al conocimiento matemático es su increíble
capacidad para comunicarse de forma concisa y sin ambigüedades. Esto es
posible mediante el uso de varios sistemas de notación simbólica, como números,
letras, tablas y gráficos. Al utilizar estas herramientas, las matemáticas pueden
representar con precisión una amplia gama de información, llamando la atención
sobre aspectos y relaciones que pueden no ser fácilmente observables.
Así, las matemáticas nos permiten anticipar y predecir eventos, situaciones
o resultados futuros que aún no han ocurrido. Tomemos, por ejemplo, la
expresión "2n" para representar un número par. Esta simple ecuación es
equivalente a (n+1)+(n-1), lo que revela que todo número par se puede expresar
como la suma de dos números impares consecutivos. Sin embargo, sería un error
suponer que el poder del conocimiento matemático reside únicamente en sus
notaciones simbólicas precisas e inequívocas. En realidad, la capacidad de estas
notaciones para representar, explicar y predecir está profundamente arraigada en
la naturaleza del conocimiento matemático mismo, y las notaciones actúan como
un marco de apoyo.
El énfasis en la necesidad de una actividad constructiva no debería llevar
a ignorar la estructura interna de las matemáticas, que sirve para conectar y
organizar sus diversos componentes. De hecho, la estructura de las matemáticas
es particularmente compleja y significativa. Esta estructura tiene un aspecto
vertical, donde ciertos conceptos se basan en otros, creando una secuencia
temporal en el aprendizaje.
Pág. 67
En ocasiones, requiere trabajar determinados aspectos únicamente con el
fin de integrar otros, que se consideran más importantes desde el punto de vista
educativo. Sin embargo, es importante señalar que rara vez existe un camino
único o claramente superior y, si lo hay, suele estar basado en la pedagogía más
que en la epistemología. Por el contrario, ciertas concepciones sobre la estructura
interna de las matemáticas pueden obstaculizar el aprendizaje, como lo
demuestra el intento de basar todas las matemáticas escolares en la teoría de
conjuntos.
Otra implicación de la naturaleza relacional de las matemáticas es la
existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden aplicarse en
diferentes campos y para diversos propósitos. Por ejemplo, conceptos como
número, contar, ordenar, clasificar, simbolizar, inferir, etc. son igualmente útiles
en geometría y estadística. Para ayudar a los estudiantes a reconocer la similitud
y utilidad de estas estrategias y procedimientos desde diferentes perspectivas, es
importante seleccionar cuidadosamente los contenidos didácticos y prestarles
especial atención.
El fundamento del conocimiento lógico-matemático radica en la capacidad
del ser humano para establecer relaciones entre objetos o situaciones a partir de
su interacción con ellos. Esta capacidad incluye la capacidad de abstraer y
considerar estas relaciones por encima de otras que también puedan estar
presentes. Por ejemplo, en las afirmaciones "A es más grande que B", "A es tres
centímetros más grande que B", "B es tres centímetros más corto que A", etc., no
estamos simplemente describiendo propiedades de los objetos A y B mismos.
Pág. 68
En cambio, estamos expresando la relación entre una propiedad
compartida - el tamaño - que es el resultado de comparar los objetos en términos
de esta propiedad, ignorando muchas otras propiedades posibles como color,
forma, masa, densidad, volumen, etc. como "mayor que", "menor que", "tres
centímetros más que", "tres centímetros menos que", etc. son construcciones
mentales más que observaciones directas de las propiedades del objeto. Incluso
describir los objetos A y B como grandes o pequeños implica compararlos con
otros objetos similares que uno haya encontrado en el pasado.
Este sencillo ejemplo ilustra cómo el conocimiento matemático implica la
construcción de relaciones a través de la interacción con objetos. Por tanto, las
matemáticas tienen más que ver con la construcción que con la deducción en
términos de su desarrollo y adquisición (English y Sriraman, 2010). Si separamos
el conocimiento matemático de sus orígenes constructivos, corremos el riesgo de
reducirlo al formalismo puro, perdiendo su potencial como herramienta de
representación, explicación y predicción.
A lo largo de su desarrollo histórico, las matemáticas han revelado una
característica adicional: su capacidad para proporcionarnos una perspectiva dual
de la realidad. Por un lado, las matemáticas se consideran una "ciencia exacta"
donde los resultados de las operaciones y transformaciones son inequívocos. Sin
embargo, cuando comparamos modelos matemáticos con situaciones del mundo
real, siempre son aproximados debido a su incapacidad para representar
perfectamente la realidad.
Si bien algunos aspectos de esta dualidad pueden resultar evidentes en los
primeros encuentros de los estudiantes con las matemáticas, otros pueden
Pág. 69
volverse evidentes más adelante. Desafortunadamente, muchos planes de estudio
educativos tienden a priorizar una cara de esta moneda, favoreciendo la visión
tradicional de las matemáticas como una ciencia exacta. Esto significa que
conceptos como certeza ("sí" o "no", "verdadero" o "falso") a menudo se enfatizan
sobre probabilidad ("es posible que...", "con un nivel de significancia de..." ) y la
precisión ("la diagonal mide 2", "el área de un círculo es πr^2") se prioriza sobre
la estimación ("Me equivoco en una décima como máximo", "la proporción áurea
es aproximadamente 5/3"). Es crucial que la educación matemática adopte ambos
enfoques, no sólo porque proporcionan una riqueza de valor intrínseco, sino
también porque el lado descuidado de la perspectiva dual tiene implicaciones
significativas para las aplicaciones prácticas de las matemáticas en el mundo
actual.
Pág. 70
Capítulo 4
Perspectiva de la matemática realista en la educación infantil
Tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas se ha centrado
principalmente en la memorización para que los estudiantes resuelvan ejercicios
y aprueben exámenes. Desafortunadamente, este enfoque ha llevado a una falta
de transferibilidad del conocimiento matemático a situaciones de la vida real, lo
que ha dejado a muchas personas luchando por aplicar lo que aprendieron en la
escuela a escenarios cotidianos donde la comprensión matemática es crucial.
Las consecuencias de este modelo de enseñanza son evidentes en las
evaluaciones internacionales del desempeño matemático. Por ejemplo, en el
estudio TIMMS 2015, los alumnos españoles de 4º de Educación Primaria
obtuvieron 505 puntos, mientras que la media de la OCDE fue de 525 puntos. Del
mismo modo, en el estudio PISA 2015 los resultados españoles se situaron 4
puntos por debajo de la media de la OCDE (490 puntos), según datos del
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2016a, 2016b).
Se cree que el bajo rendimiento matemático de los alumnos de Educación
Primaria y Secundaria puede atribuirse en parte a la forma en que se enseñan las
matemáticas en Educación Infantil. En muchos casos, el enfoque predominante
para la enseñanza de matemáticas a una edad temprana todavía gira en torno a
la memorización de habilidades básicas mediante la repetición. En menor medida
también se utiliza el enfoque conceptual, que enfatiza procedimientos de
aprendizaje con comprensión a través de la manipulación y experimentación con
materiales.
Pág. 71
Si bien este enfoque puede presentar ocasionalmente actividades sin un
contexto o propósito claro, existe un esfuerzo por promover el aprendizaje
significativo. Sin embargo, muchas veces este aprendizaje no llega a
materializarse por una inadecuada gestión por parte del profesorado. Además de
estos enfoques, las directrices curriculares actuales sugieren que para un proceso
eficaz de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, especialmente a una edad
temprana, es crucial extraer conocimientos de las propias experiencias y
considerar los contextos de la vida diaria.
En este sentido, los lineamientos curriculares actuales señalan que el
objetivo es involucrar a los niños en el proceso de descubrimiento y
representación de los diversos contextos que componen su entorno, facilitando en
última instancia su integración y participación en ellos (Bressan et al., 2016). En el
ámbito de la educación matemática, esta perspectiva se alinea estrechamente con
los principios de la Educación Matemática Realista (EMR) desarrollados por
Freudenthal. La EMR aboga por el aprendizaje de matemáticas participando
activamente en contextos reales o realistas, como situaciones de la vida cotidiana,
que resuenan con las experiencias y la comprensión de los estudiantes.
La educación matemática realista, se basa en la creencia de que las
matemáticas deben tener valor práctico, ser identificables con los niños y
relevantes para la sociedad. Según Freudenthal, aunque no todos los niños llegan
a ser matemáticos, todos los adultos utilizan las matemáticas para resolver
problemas cotidianos.
En línea con estos principios, varios autores han descrito la EMR
basándose en las siguientes ideas:
Pág. 72
• Actividad: Las matemáticas son una actividad humana y su objetivo
principal es organizar el mundo que nos rodea a través de conceptos
matemáticos.
• Realidad: Las matemáticas se aprenden mejor en contextos reales o
realistas.
• Niveles: Comprender las matemáticas implica avanzar a través de
diferentes niveles, incluido el nivel situacional (comprensión dentro de
una situación específica), el nivel referencial (uso de modelos y
descripciones), el nivel general (exploración, reflexión y generalización) y
el nivel formal. (usando procedimientos y notación estándar).
• Reinvención guiada: El conocimiento matemático formal se desarrolla a
través de la guía y mediación del docente.
• Interacción: La enseñanza de matemáticas se considera una actividad
social, donde la interacción entre estudiantes y entre estudiantes y
profesores puede mejorar la comprensión.
• Interconexión: Los diferentes temas matemáticos no deben enseñarse de
forma aislada sino más bien integrados.
Los niños deben aprender matemáticas en contextos reales y significativos,
que les permitan desarrollar conceptos y aplicar reglas. Este enfoque enfatiza la
necesidad de transferir problemas de la vida cotidiana al ámbito de las
matemáticas, resolverlos y luego transferir las soluciones nuevamente al mundo
real, familiarizando así a los estudiantes con el mundo matemático.
Pág. 73
La medida
A partir del proceso de comparación, y utilizando un objeto o el propio
cuerpo como unidad de medida, se puede comenzar a cuantificar una
determinada medida. Esto implica el uso de unidades antropométricas, familiares
y, eventualmente, convencionales. La estimación también es un aspecto clave del
proceso de cuantificación. Contrariamente a la creencia popular, la estimación no
es simplemente una conjetura. Implica realizar juicios de valor y aproximaciones
basadas en información o experiencia previa. Requiere operaciones mentales y el
uso de números rápidos y sencillos.
Es posible que una estimación no proporcione un valor exacto, pero
permite la toma de decisiones y las personas pueden interpretarla de manera
diferente. Según Alsina (2006), el proceso de aprendizaje sobre magnitudes con
comprensión se puede dividir en tres fases:
• La primera fase implica prepararse para la medición, durante la cual los
estudiantes identifican magnitudes a través de actividades que involucran
comparaciones usando cuantificadores como "más que", "menor que" e
"igual a".
• La segunda fase es la cuantificación de la medida, donde se introducen las
unidades. Inicialmente, los niños utilizan unidades relacionadas con su
propio cuerpo, como palmos y pasos, antes de pasar a unidades
convencionales del sistema métrico decimal, como metros, gramos y litros.
Pág. 74
• La fase final es el sistema de medición decimal, que normalmente no se
aborda en la educación infantil. En esta fase se introducen múltiplos y
submúltiplos de unidades de referencia para diferentes magnitudes.
La medición es una rama de las matemáticas que abarca el conocimiento y
las actividades relacionadas con magnitudes continuas y atributos mensurables
que se encuentran comúnmente en la vida cotidiana, como longitud, superficie,
volumen, capacidad, masa y tiempo. Está estrechamente relacionado con la
geometría, ya que implica comprender el espacio, así como los números y las
operaciones, ya que las medidas se expresan mediante valores numéricos.
Asimismo, la medición está fuertemente vinculada a nuestra comprensión del
mundo natural.
Clements y Sarrama (2014) proponen trayectorias de aprendizaje para la
medición en la primera infancia que ayudan a definir qué conceptos matemáticos
pueden comprender los niños, cómo los entienden y cómo los adultos pueden
ayudar a comprenderlos. Estas trayectorias describen la progresión del desarrollo
y la edad en la que normalmente se adquieren las ideas. Por ejemplo, los niños
pueden reconocer longitudes a la edad de 3 años, realizar comparaciones directas
e indirectas de longitudes a los 4 años, ordenar longitudes secuencialmente a los
5 años y, finalmente, medir longitudes a los 6 años.
Existen progresiones similares para el área, el volumen y los ángulos.
Curiosamente, a menudo se supone erróneamente que la adquisición de
conocimientos sobre medición ocurre fuera de la escuela, ya que con frecuencia
se delega al entorno familiar y social. Sin embargo, en la realidad, este aprendizaje
muchas veces no se produce. Desafortunadamente, la medición suele introducirse
Pág. 75
y enseñarse algorítmicamente en etapas posteriores de la educación primaria,
centrándose en las transformaciones de unidades y perdiendo el verdadero
significado y trascendencia de la medición.
Por ello, es de suma importancia incorporar la instrucción sistemática en
medición desde edades tempranas, incentivando a los estudiantes a interpretar e
interactuar con su entorno y situaciones de la vida real. Esto incluye observar,
comparar y evaluar resultados para darle al conocimiento de la medición
verdadera importancia y significado. Además de estas ideas, también es valioso
considerar directrices curriculares internacionales, como las proporcionadas por
el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, la Iniciativa de Estándares
Estatales Básicos Comunes y las políticas curriculares actuales de directrices en
España, para lograr una comprensión integral de los conceptos de medición en
educación infantil (Hurford, 2010).
Según Alsina, se prioriza por encima de todo la exploración física de los
atributos de los objetos. Esto incluye actividades tales como discriminar entre
diferentes atributos de objetos y materiales, identificar cualidades, etc. Estas
actividades ayudan a los niños de 3 a 6 años a desarrollar una comprensión de los
atributos en general, en particular los atributos mensurables. Esta comprensión
se logra principalmente a través de experiencias directas al comparar objetos,
contar unidades y establecer conexiones entre conceptos espaciales y números.
Sin embargo, estos contenidos se centran principalmente en las relaciones
cualitativas entre objetos y no abordan explícitamente las magnitudes.
Desarrollar el interés y la curiosidad por los instrumentos de medida". En
términos generales, los lineamientos curriculares abarcan los principales aspectos
Pág. 76
que se deben considerar al momento de enseñar medición a niños pequeños. Sin
embargo, ponen relativamente poco énfasis en el proceso de medición en sí, que
es esencialmente el mismo para cualquier atributo mensurable: seleccionar una
unidad, compararla con el objeto y registrar el número de unidades. En relación
al examen de estos contenidos, Alsina asevera que es crucial reconocer los
atributos medibles que los niños pequeños son capaces de comprender a
temprana edad. Estos atributos incluyen longitud, volumen, peso, área y tiempo.
Es importante involucrar a los niños en diversas actividades de comparación,
presentarles el concepto de cuantificación en la medición y exponerlos
gradualmente a diferentes tipos de unidades, comenzando con unidades
antropomórficas y luego progresando a unidades convencionales. Además, es
fundamental fomentar la práctica de la medición mediante técnicas de medición
tanto directas como indirectas, utilizando instrumentos adecuados.
El Espacio Europeo de Educación Superior ha establecido un sistema que
tiene como objetivo mejorar la calidad de las universidades en Europa. En este
sistema, los estudiantes son el punto focal y asumen la responsabilidad de su
propio aprendizaje. Construyen activamente conocimientos conectando nuevas
ideas con las existentes, mientras el profesor actúa como facilitador.
Este cambio en el enfoque de la enseñanza y el aprendizaje en las
universidades no es simplemente el resultado de discusiones entre ministros
sobre qué deben aprender los estudiantes y cómo, sino que tiene sus raíces en la
investigación educativa, incluida la investigación en educación matemática. Un
modelo específico que ha surgido de la investigación en educación matemática es
el aprendizaje realista.
Pág. 77
El modelo, basado en la Educación Matemática Realista (EMR), pretende
proporcionar una experiencia de formación activa y práctica. Los fundamentos
teóricos del aprendizaje realista se establecieron a través del Proyecto Comenius
2003-2005, dirigido por el profesor Ko Melief de la Universidad de Utrecht. A
partir de este proyecto, Esteve, Melief y Alsina (2009) coordinaron un libro que
no sólo describe los fundamentos teóricos del aprendizaje realista, sino que
también proporciona instrumentos y técnicas prácticas para implementarlo en las
aulas universitarias. El libro también incluye relatos de experiencias de formación
docente en diversos campos, incluida la educación matemática. La investigación
en educación matemática, como el trabajo de Kilpatrick (1992), ha desempeñado
un papel importante en la configuración de este nuevo enfoque. La educación
matemática a menudo se considera importante en el currículo escolar debido a su
relativa independencia de influencias externas, su naturaleza jerárquica y
acumulativa, sus conceptos abstractos y arbitrarios y el rango de complejidad que
ofrece en las tareas de aprendizaje.
Esta teoría, no pretende ser una teoría integral del aprendizaje como el
constructivismo. Fue desarrollado en el Instituto para el Desarrollo de la
Educación Matemática de la Universidad de Utrecht, que ahora se llama Instituto
Freudenthal. En esencia, las características más significativas de EMR se pueden
resumir de la siguiente manera: utiliza situaciones de la vida cotidiana o
problemas contextuales como punto de partida para aprender matemáticas. Las
situaciones se matematizan gradualmente mediante el uso de modelos, que
actúan como mediadores entre lo abstracto y lo concreto, formando en última
instancia estructuras más formales y abstractas (Gravemeijer y Terwel, 2000).
Pág. 78
Así, la EMR enfatiza la interacción en el aula, tanto entre estudiantes como
entre profesor y estudiantes. Esta intensa interacción permite a los profesores
incorporar las producciones de los estudiantes en su enseñanza. Otra idea clave
de la EMR es brindar a los estudiantes la oportunidad de reinventar las
matemáticas bajo la guía de un adulto, en lugar de simplemente presentarles
conceptos matemáticos preconstruidos.
Durante su etapa inicial, la EMR, se caracterizó por el uso de contextos para
cerrar la brecha entre conceptos concretos y abstractos, el uso de modelos para
facilitar el progreso y la incorporación de construcciones y conceptos libres de los
estudiantes, en el proceso de enseñanza y aprendizaje. También se entrelazaron
los diversos ejes del currículo de matemáticas. La EMR inicialmente consistía en
ideas básicas centradas en el cómo y el qué de la enseñanza de las matemáticas.
Con el tiempo, estas ideas se acumularon y revisaron, lo que llevó a la formación
de EMR tal como lo conocemos hoy.
El libro “Aprendizaje realista en la formación inicial docente” de Esteve,
Melief y Alsina, propone que los docentes en formación deben ser expuestos a
diversas formas de actuar y practicarlas activamente. Deberían desarrollar
criterios para determinar cuándo, qué y por qué determinadas acciones son
apropiadas, y deberían participar en una reflexión sistemática. Según esta
perspectiva, las experiencias y la práctica sirven como base para el aprendizaje
profesional y son esenciales para que los profesores en formación alineen la teoría,
la práctica en el aula y sus propias características personales.
El primer principio enfatiza la importancia de comenzar con experiencias
reales en el aula y problemas que enfrentan los docentes en formación. En lugar
Pág. 79
de introducir conceptos teóricos de los libros de texto, la capacitación comienza
involucrando activamente a los docentes en formación en situaciones específicas
del aula y animándolos a reflexionar sobre sus pensamientos, sentimientos,
necesidades e intereses. Este enfoque inductivo tiene como objetivo establecer
una conexión entre estas experiencias y los futuros roles profesionales de los
profesores en formación (Parra, 2013).
El segundo principio se centra en promover la reflexión sistemática.
Sugiere que aprender de las experiencias es un proceso natural, pero debe ser
guiado intencionalmente. Aquí se identifican cinco fases en este proceso reflexivo:
acción o experiencia, mirar hacia atrás a la acción, tomar conciencia de aspectos
importantes del propio desempeño, buscar comportamientos alternativos y
probar su efectividad en nuevas situaciones. Cada ciclo de reflexión comienza con
una nueva experiencia y contribuye al crecimiento profesional.
El tercer principio destaca la naturaleza social e interactiva del aprendizaje.
Las discusiones en grupo y las interacciones entre los profesores en formación son
cruciales para promover la reflexión. Al compartir sus experiencias, se anima a
los profesores en formación a estructurar sus pensamientos, explorar diferentes
perspectivas y recibir comentarios de sus compañeros. Estas interacciones
reflexivas profundizan el propósito intencional del aprendizaje profesional y
contribuyen a la reflexión y construcción colectiva.
El cuarto principio distingue tres niveles de aprendizaje en la formación
docente: representación, esquema y teoría. En el nivel de representación, los
profesores en formación reaccionan espontáneamente en función de sus
necesidades, valores, opiniones, sentimientos y tendencias inconscientes. A nivel
Pág. 80
de esquema, la reflexión ocurre durante o después de una situación, lo que lleva
al desarrollo de conceptos, características y principios para describir la práctica.
El nivel teórico implica construir un orden lógico y analizar relaciones
conceptuales dentro de un esquema individual o conectar múltiples esquemas
para formar una teoría coherente. El aprendizaje realista en la formación docente
implica la co-construcción del conocimiento incorporando los conocimientos y
experiencias existentes de los docentes en formación con nuevos conocimientos y
habilidades proporcionados por docentes, colegas y otros recursos. Promueve la
reflexión sistemática, la interacción social y el desarrollo de una identidad
personal y profesional.
El quinto principio enfatiza la importancia de considerar a los docentes en
formación como individuos con identidad propia. La autonomía y el desarrollo
profesional autorregulado son cruciales para su crecimiento. Desarrollar la
autoconciencia y fomentar el interés por la propia identidad es fundamental para
que los profesores en formación desarrollen su potencial y lo transfieran a los
demás. Esta perspectiva destaca la necesidad de integrar una base moral en la
formación ayudando a los profesores en formación a desarrollar su propia
identidad.
El desarrollo de habilidades profesionales va más allá de la simple
exhibición de conocimientos y habilidades. Un profesional competente también
reconoce la importancia de alinear sus acciones con sus conocimientos,
habilidades, motivaciones y valores. Abordan la resolución de problemas con
flexibilidad, dedicación y perseverancia. Por tanto, la adquisición de la
competencia reflexiva durante la formación inicial del profesorado es de suma
Pág. 81
importancia. Los alumnos deben cultivar una comprensión profunda de la
necesidad y el compromiso de actuar de acuerdo con su experiencia profesional
para abordar de manera efectiva los desafíos que surjan en su práctica futura.
Tanto la reflexión individual como grupal son cruciales en el proceso de
formación de nuevos docentes. En lugar de prescribir soluciones, el apoyo
colaborativo tiene como objetivo ayudar a los docentes en formación a navegar
su propio viaje de aprendizaje. Esto implica alentarlos a expresar sus inquietudes
y necesidades, escuchar sus perspectivas, aprovechar sus conocimientos
existentes y brindarles orientación y asesoramiento. Este tipo de apoyo también
garantiza una transferencia gradual del control sobre el proceso de aprendizaje a
los propios alumnos.
La colaboración entre iguales ha sido reconocida como una herramienta
poderosa para mejorar y desarrollar procesos cognitivos superiores en el
aprendizaje. Recientemente, ha habido un interés creciente en los enfoques
vygotskianos que se centran en el andamiaje colectivo, que implica la co-
construcción de conocimiento entre profesores a partir de las contribuciones de
cada miembro a través de interacciones dentro de un grupo de estudiantes o
profesores novatos. Este trabajo colaborativo, cuando está bien guiado y apoyado,
facilita los procesos de reflexión a medida que cada alumno, incluidos los
docentes en formación, verbaliza sus pensamientos e ideas internos sobre el
mundo y su entorno.
La autorregulación es otro aspecto importante de la formación docente.
Los alumnos deben aprender a reflexionar sobre sus propias acciones, confrontar
sus propias realidades e identificar y resolver sus propios problemas. Al
Pág. 82
participar en una reflexión continua sobre su trabajo diario, desarrollan la
capacidad de identificar de forma independiente áreas de mejora y encontrar
soluciones. Esta dimensión de autorregulación es crucial para fomentar el
aprendizaje autónomo y se basa en la observación, el análisis crítico y la
autoevaluación. Para ayudar a los alumnos a alcanzar este nivel de autonomía,
deben estar equipados con herramientas adecuadas, como portafolios y pautas
metacognitivas.
Pág. 83
Conclusión
En su obra, Freudenthal introduce el término "fenomenología" para
describir su método de análisis de conceptos matemáticos. Este método implica
analizar los fenómenos que organizan los conceptos matemáticos, considerando
su desarrollo y uso actual. Freudenthal distingue varios tipos de fenomenología,
como la fenomenología pura, didáctica, genética e histórica, cada una centrada en
diferentes aspectos del concepto estudiado. Es crucial realizar un sólido análisis
de la fenomenología pura para respaldar cualquier análisis fenomenológico eficaz
en la enseñanza de las matemáticas.
Los conceptos matemáticos son medios para organizar los fenómenos del
mundo físico y cotidiano, y se crean a través de la relación entre los fenómenos y
los medios de organización descritos por los sistemas matemáticos de signos.
Estos signos matemáticos son parte de un sistema matemático de signos que
contiene expresiones diversas y crean conceptos abstractos a medida que los
medios de organización se vuelven más abstractos. Los objetos matemáticos se
incorporan a nuestro mundo experiencial, convirtiéndose en fenómenos en una
nueva relación con otros fenómenos y medios de organización.
Por lo tanto, las matemáticas existen dentro del mismo mundo que los
fenómenos que organizan, y no en un mundo separado. Los conceptos
matemáticos no existen como objetos ideales preexistentes, sino que se crean a
través de la actividad matemática y los sistemas matemáticos de signos. Por
último, los conceptos matemáticos están sujetos a modificaciones con el tiempo
debido a su uso y a los nuevos sistemas matemáticos de signos en los que se
Pág. 84
describen, pero estas modificaciones no indican errores en los conceptos
originales ni una progresión lineal hacia una verdad única.
La resolución de problemas no es la única actividad matemática que crea
conceptos. Organizar los resultados obtenidos al resolver problemas y demostrar
teoremas en un sistema deductivo es otro aspecto importante de las matemáticas.
Esta organización sistemática puede adoptar muchas formas: de local a global, de
axiomática a formalizada. Sin embargo, es un elemento fundamental de las
matemáticas porque los matemáticos han pasado de recopilar resultados y
métodos a desarrollar estructuras complejas. Durante este proceso también se
desarrolló el uso de definiciones en matemáticas. En matemáticas, las definiciones
no sólo se utilizan para explicar a las personas el significado de los términos, sino
que también son un eslabón en la cadena de inferencia en la organización del
sistema de inferencia.
El proceso de definición implica organizar las propiedades de un objeto
matemático mediante inferencia. La atención se centra en identificar propiedades
que puedan utilizarse para crear un sistema deductivo, tanto a escala local como
global, en el que se pueda incrustar un objeto matemático. Es importante señalar
que aislar propiedades específicas para definir un concepto no es una acción
neutral o inofensiva. En conclusión, esto sugiere que los conceptos fueron creados
originalmente para organizar fenómenos relacionados y, significa que el
contenido del concepto ahora está determinado por las conclusiones extraídas
dentro del sistema definido, al igual que la demostración de teoremas, el proceso
de definición también conduce a la formación de nuevos conceptos.
Pág. 85
Bibliografía
Alsina, A. (2006). Como desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años.
Barcelona: Editorial Octaedro-Eumo.
Alsina, A. (2009). El aprendizaje realista: una contribución de la investigación en
Educación Matemática a la formación del profesorado. En M.J. González, M.T.
González & J. Murillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIII (pp.
119- 127). Santander: SEIEM.
Beltrán, P. (1996). La matemática de Lakatos: el papel de la prueba en
metodología. Themata Revista de filosofía, 305-2020.
https://institucional.us.es/revistas/themata/17/15%20Beltran.pdf
Bressan, A. M., Gallego, M. F., Pérez, S., & Zolkower, B. (2016). Educación
matemática realista bases teóricas. Educación, 63, 1-11.
Burkhardt, H. (1988). The roles of theory in a 'sistems' approach to
mathematical education. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 5, 174-177.
Chakravorty, G. (2010). Crítica de la razón pos colonial: Hacia una historia del
presente evanescente. Madrid: Ediciones Akal
Clements y Sarrama. (2014). Early childhood mathematics education research:
Learning trajectories for Young children. New York: Routledge.
English, L. (2008). Handbook of International Research in Mathematics
Education (2nd ed.). London: Routledge, Taylor & Francis.
Pág. 86
English, L. y Sriraman, B. (2010). Problem solving for the 21st century. En
B. Sriraman y L. English (Eds), Theories of Mathematics Education (pp. 263-289).
Heidelberg: Springer-Verlag.
Freudenthal, H. (1968). Why to teach mathematics as to be useful?
Educational Studies in Mathematics, 1(1), 3-8.
Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education: China Lectures.
Dordrecht, The Netherlands: Kluwer.
Gravemeijer, K. P. E. (1994). Developing Realistic Mathematics Education.
Doctoral dissertation, Utrecht University. Utrecht: Cd Beta Press.
Gravemeijer, K. (1997). Instructional design for reform in mathematics
education. In M. Beishuizen, K. P. E. Gravemeijer and E. C. D. M. van Lieshout
(eds), The Role of Contexts and Models in the Development of Mathematical Strategies
and Procedures. Utrecht: Cd Beta Press), 13-34.
Gravemeijer, K. P. E., & Terwel, J. (2000). HANS FREUDENTHAL, un
matemático en Didáctica y teoría curricular. Journal of Curriculum Studies, 32(6),
777-796.
Higginson, W. (1980). On the foundations of mathematics education. For
the Learning of Mathematics, 1(2), 3-7.
Hurford, A. (2010). Complexity theories and theories of learning:
Literature reviews and synteses. En B. Sriraman y L. English (eds), Theories of
mathematics education. Seeing new frontiers. (pp. 567-589).
Keitel, C. (1987). What are the goalsof mathematics for all? Journal of
Curriculum Studies, 19(5), 393-407.
Pág. 87
Kilpatrick, J. (1987). What constructivism might be in mathematics
education. Proc. 11th Conference PME. Montreal, p. 3-23.
Mosterín, J. (1987). Conceptos y teorías en la ciencia. Madrid: Alianza
Universidad.
Navarro, B. (1971). Reflexiones sobre la aporía realismo-idealismo. Dianoia,
17 (17), 141-169.
Parra S., H. (2013). Claves para la contextualización de la matemática en la
acción docente. Omnia, 19(3), 74-85.
Puig, L. (1997). Análisis fenomenológico. En L. Rico (Coord.) La educación
matemática en la enseñanza secundaria (págs. 61-94). Barcelona: Horsori / ICE.
Sepúlveda Delgado, O. (2018). La fenomenología didáctica de las
estructuras matemáticas, de, Hans Freudenthal “Aportes de la Fenomenología a
la Didáctica de la Matemática”. In Congreso de Investigación y Pedagogía III Nacional
II Internacional.
Streefland, L. (1991). Fractions in realistic mathematics education: A paradigm
of developmental research. Dordrecht: Kluwer.
Treffers, A. (1987). Didactical background on a mathematics program for
primary education. Dordrecht: Reidel.
Trujillo, L. (2017). Teorías pedagógicas contemporáneas. Bogotá: Fundación
Universitaria del Área Andina.
Vergnaud, G. (1988). Why is psychology essential? Under which
conditions?. En: H.G. Steiner y A. Vermandel (Eds), Fondations and Methodology of
Pág. 88
the discipline Mathematics Education. Procceding 2nd TME- Conference. Bielefeld -
Antwerp.
Zolkower, B., & Bressan, A. (2012). Educación matemática realista.
Educación Matemática. Aportes a la Formación Docente desde Distintos Enfoques
Teóricos (Pochulu M. & Rodrıguez M. eds). Argentina: UNGS–EDUVIM, 175-200.
Pág. 89
Pág. 90
De esta edición de “Hans Freudenthal: Perspectivas en educación de las
matemáticas y análisis fenomenológico”, se terminó de editar en la ciudad
de Colonia del Sacramento en Agosto de 2024
Pág. 91
