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Ecuaciones diferenciales ordinarias con sintaxis en R: Crecimiento
exponencial, logístico y modelo depredador-presa
Jorge Luis Rojas Orbegoso, Raphael Santiago Mendoza Delgado, Jenny Maria Ruiz
Salazar, Jorge Luis Ilquimiche Melly, Robert William Castillo Alva, Jorge Amador
Lopez Herrera, Enio Elias Tena Jacinto
Jorge Luis Rojas Orbegoso, Raphael Santiago Mendoza Delgado, Jenny Maria Ruiz
Salazar, Jorge Luis Ilquimiche Melly, Robert William Castillo Alva, Jorge Amador
Lopez Herrera, Enio Elias Tena Jacinto, 2025
Primera edición: Julio, 2025
Editado por:
Editorial Mar Caribe
www.editorialmarcaribe.es
Av. General Flores 547, Colonia, Colonia-Uruguay.
Diseño de portada: Yelia Sánchez Cáceres
Libro electrónico disponible en:
hps://editorialmarcaribe.es/ark:/10951/isbn.9789915698205
Formato: electrónico
ISBN: 978-9915-698-20-5
ARK: ark:/10951/isbn.9789915698205
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Latina y el Caribe».
2
Sobre los autores y la publicación
Jorge Luis Rojas Orbegoso
hps://orcid.org/0000-0002-5688-4963
Universidad Nacional del Callao, Perú
Raphael Santiago Mendoza Delgado
hps://orcid.org/0009-0003-3679-0809
Universidad Nacional del Callao, Perú
Jenny Maria Ruiz Salazar
hps://orcid.org/0000-0001-9882-3133
Universidad Nacional Federico Villarreal, Perú
Jorge Luis Ilquimiche Melly
hps://orcid.org/0000-0001-5974-1979
Universidad César Vallejo, Perú
Robert William Castillo Alva
hps://orcid.org/0009-0002-5258-3319
Universidad Nacional del Callao, Perú
Jorge Amador Lopez Herrera
hps://orcid.org/0000-0001-5506-8406
Universidad Nacional del Callao, Perú
Enio Elias Tena Jacinto
hps://orcid.org/0000-0003-0585-9407
Universidad Nacional del Callao, Perú
Resultado de la investigación del libro:
Publicación original e inédita, cuyo contenido es el resultado de un proceso de investigación
realizado antes de su publicación, ha sido doble ciego de revisión externa por pares, el libro
ha sido seleccionado por su calidad cientíca y porque contribuye signicativamente al área
del conocimiento e ilustra una investigación completamente desarrollada y completada.
Además, la publicación ha pasado por un proceso editorial que garantiza su estandarización
bibliográca y usabilidad.
Sugerencia de citación: Rojas, J.L., Mendoza, R.S., Ruiz, J.M., Ilquimiche, J.L., Castillo, R.W.,
Lopez, J.A., y Tena, E.E. (2025). Ecuaciones diferenciales ordinarias con sintaxis en R: Crecimiento
exponencial, logístico y modelo depredador-presa. Colonia del Sacramento: Editorial Mar Caribe.
hps://editorialmarcaribe.es/ark:/10951/isbn.9789915698205
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Editorial Mar Caribe
Ecuaciones diferenciales ordinarias con sintaxis en R:
Crecimiento exponencial, logístico y modelo
depredador-presa
Colonia, Uruguay
2025
4
Índice
Introducción.............................................................................................. 6
Capítulo I .................................................................................................. 8
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y su Importancia
en la Modelación ....................................................................................... 8
1.1 Métodos de Resolución: Analíticos y Numéricos .............................. 9
1.2 Métodos de Euler: Sintaxis en R ..................................................... 15
1.3 Métodos Predictor-Corrector y Runge-Kua en R: Implementación y
Comparación para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias ........................................................................................... 23
Capítulo II .............................................................................................. 30
Método predictor-corrector de tercer y cuarto orden de Adams ............... 30
2.1 Descripción del método de tercer y cuarto orden de Adams ........... 31
2.2 Correctores de Adams-Moulton en ecuaciones diferenciales
ordinarias ............................................................................................ 35
2.3 Predictores de Adams-Bashforth: Fundamentos, Implementación y
Aplicaciones en Métodos Numéricos ................................................... 40
2.4 Modelo de Lotka-Volterra .............................................................. 47
Capítulo III ............................................................................................. 50
Método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales ........................ 50
3.1 Fundamentos del Método de Taylor ............................................... 50
3.2 Método de Ralston: Resolución de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias con R .................................................................................. 56
3.3 Ecuaciones explicitas de primer orden ............................................ 63
3.4 Crecimiento logístico ...................................................................... 67
Capítulo IV ............................................................................................. 70
Ecuaciones en las que la derivada aparece implícitamente ...................... 70
4.1 Ecuaciones explícitas e implícitas ................................................... 71
5
4.2 Ecuación de Lagrange y Clairaut: Teoría y Aplicaciones Prácticas en
R .......................................................................................................... 75
4.3 Integrales Indenidas en R: Métodos Básicos y Aplicaciones
Prácticas ............................................................................................... 82
Conclusión .............................................................................................. 92
Bibliografía ............................................................................................. 94
6
Introducción
Este libro introduce, de forma integrada, la teoría, los métodos
numéricos y la implementación computacional de ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDOs) utilizando R. Está dirigido a estudiantes, docentes e
investigadores que buscan un puente claro entre el razonamiento
matemático, la simulación conable y el análisis reproducible, con énfasis en
problemas reales donde la solución exacta raramente está disponible y la
aproximación numérica se vuelve esencial.
Las EDOs son un lenguaje universal para describir procesos dinámicos
en el tiempo: crecimiento poblacional, interacción depredador–presa, cinética
química, osciladores mecánicos, circuitos, epidemiología y más. No obstante,
los métodos analíticos siguen siendo fundamentales, la realidad aplicada
demanda resolver sistemas no lineales, rígidos o altamente oscilatorios,
donde los algoritmos y las decisiones de modelización determinan la validez
cientíca de las conclusiones. R proporciona un entorno abierto y extensible
en el que conviven:
• Solución numérica able de EDOs (con detección automática de
rigidez y métodos explícitos/implícitos) mediante paquetes como
deSolve, con integración nativa a análisis estadístico, ajuste de
parámetros y visualización.
• Metodologías modernas de control de calidad numérica, incluyendo
estimación a posteriori del error y control del error global a través de
métodos adjuntos, útiles cuando el rigor en la cuanticación de
incertidumbre es determinante.
• Estrategias de calibración en contextos con pocos datos y ruido alto,
como en biología de sistemas, donde enfoques alternancia estados–
parámetros ofrecen robustez frente a la escasez de observaciones.
Este ecosistema convierte a R en un laboratorio computacional capaz
de cerrar el ciclo completo: formular, simular, ajustar, validar y comunicar
resultados de manera reproducible. Los métodos estándar pueden requerir
pasos diminutos y, aun así, distorsionar amplitudes o fases si la elección del
7
integrador y los controles de paso no es cuidadosa. Este libro enfatiza
diagnósticos prácticos, selección informada de métodos y vericación de
invariantes, con ejemplos reproducibles en R, en sistemas rígidos. Aunque el
foco del libro es el uso de solvers clásicos en R, las lecciones de trabajos
recientes sobre ODEs neuronales rígidas enriquecen las buenas prácticas de
modelización, elección de tolerancias y evaluación de sensibilidad.
Se invita al lector a discernir sobre la losofía del libro:
- Bases matemáticas sólidas: formulación, existencia y unicidad,
estabilidad local/global, y nociones elementales de bifurcaciones.
- Competencia numérica: selección de métodos según la naturaleza del
problema (oscilatorio, rígido), control de tolerancias, estimación a
posteriori del error y validación cruzada de soluciones.
- Flujo de trabajo en R: implementación reproducible, ajuste de
parámetros en escenarios de datos escasos y ruidosos, y comunicación
de resultados con criterios de calidad.
Además, cuando el propósito es inferir parámetros desde series
temporales cortas, la estimación directa puede ser inestable; por ello se
incorporan técnicas de colocation y procedimientos tipo EM que alternan
estimación de estados y parámetros, mejorando la delidad del ajuste en
escenarios de datos limitados. El objetivo de investigación, examinar
herramientas conceptuales y prácticas para transformar modelos
diferenciales en evidencia cuantitativa able, con R como vehículo, donde se
integran simulación, ajuste y validación en un entorno unicado, abordando
con realismo los retos de oscilaciones, rigidez y datos limitados, y
apoyándose en métodos de control de error que dan trazabilidad a las
conclusiones.
8
Capítulo I
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
y su Importancia en la Modelación
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son herramientas
matemáticas fundamentales que consienten describir la relación entre
funciones y sus derivadas. Estas ecuaciones son esenciales para modelar una
amplia variedad de fenómenos en diversas disciplinas, como la física, la
biología, la economía y la ingeniería, entre otras. A partir de las EDO,
podemos captar la dinámica de sistemas complejos y entender cómo cambian
con el tiempo o bajo diferentes condiciones.
La importancia de las EDO radica en su capacidad para representar
cambios en sistemas dinámicos. Así como, en biología, se utilizan para
modelar el crecimiento de poblaciones, donde la tasa de cambio de la
población puede depender de factores como la disponibilidad de recursos y
la competencia. En física, las ecuaciones diferenciales son decisivos para
describir el movimiento de partículas y la evolución de sistemas físicos bajo
diversas fuerzas. En el ámbito económico, las EDO se aplican para predecir
tendencias del mercado y evaluar la evolución de variables económicas en un
período determinado.
Las EDO posibilitan simplicar y abstraer fenómenos complejos,
facilitando el análisis y la simulación de escenarios. Gracias a su versatilidad,
estas ecuaciones son una herramienta poderosa en la modelación
matemática, proporcionando un marco que ayuda a los académicos y
profesionales a formular hipótesis, realizar predicciones y tomar decisiones
basadas en datos (Molina, 2017). Las ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO) son un componente fundamental en las matemáticas aplicadas y la
modelación de fenómenos en diversas disciplinas. Una ecuación diferencial
ordinaria es una relación matemática que involucra una función desconocida
y sus derivadas. En términos generales, una EDO puede expresarse como:
9
\[ F(t, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 \]
donde \( y \) es la función desconocida de la variable independiente \( t \),
y \( y', y'', \ldots, y^{(n)} \) son las derivadas de \( y \) respecto a \( t \). El
objetivo principal de una EDO es encontrar la función \( y(t) \) que satisface
la relación dada, así como las condiciones iniciales o de frontera que puedan
estar presentes. Las EDO se clasican principalmente en dos categorías:
lineales y no lineales.
i. EDO Lineales: Una EDO se considera lineal si puede expresarse en
la forma:
\[ a_n(t)y^{(n)} + a_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(t)y' + a_0(t)y = g(t) \]
donde \( a_i(t) \) son funciones conocidas y \( g(t) \) es una función que
representa la entrada externa del sistema. Las EDO lineales son más sencillas
de resolver y tienen soluciones que pueden ser combinadas linealmente.
ii. EDO No Lineales: Por otro lado, una EDO es no lineal si no puede
ser escrita en la forma anterior. Esto signica que al menos uno de
los términos involucra productos de la función desconocida o sus
derivadas, o cualquier otra función no lineal. Las EDO no lineales
suelen ser más complejas y pueden presentar comportamientos
como bifurcaciones o caos.
1.1 Métodos de Resolución: Analíticos y Numéricos
Existen dos enfoques principales para resolver EDO: los métodos
analíticos y los métodos numéricos.
i. Métodos Analíticos: Estos métodos buscan una solución exacta de la
EDO y son aplicables en situaciones donde es posible encontrar
10
una expresión matemática cerrada. Ejemplos de métodos analíticos
incluyen la separación de variables, el método de integración por
partes y el uso de transformadas, como la transformada de Laplace.
Sin embargo, las EDO más complejas o no lineales a menudo no
admiten soluciones analíticas.
ii. Métodos Numéricos: Ante la dicultad de resolver EDO de forma
analítica, se emplean métodos numéricos que facultan aproximar
la solución mediante algoritmos computacionales. Algunos de los
métodos numéricos más comunes incluyen el método de Euler, el
método de Runge-Kua y el método de Adams-Bashforth. Estos
métodos son especialmente útiles para simular sistemas dinámicos
en los que las soluciones deben ser calculadas en intervalos de
tiempo discretos. Comprender los conceptos básicos de las
ecuaciones diferenciales ordinarias es esencial para abordar
problemas matemáticos complejos en diversas disciplinas.
La resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) en R se
puede llevar a cabo de manera efectiva utilizando paquetes diseñados
especícamente para este propósito, uno de los más populares es el paquete
deSolve, que proporciona una variedad de funciones que facilitan tanto la
formulación como la resolución numérica de EDO (Mosquera, 2024). Para
comenzar, es necesario instalar el paquete deSolve si aún no se encuentra en
su entorno de R. Esto se puede hacer utilizando el siguiente comando:
R
install.packages("deSolve")
Una vez instalado, se debe cargar el paquete en la sesión de R con el
siguiente comando:
R
library(deSolve)
11
Este paso es esencial para acceder a las funciones que nos facultan
trabajar con EDO. Las EDO se pueden representar en R mediante funciones
que describen el sistema que se desea modelar. Generalmente, la forma
estándar de una EDO es:
\[ \frac{dy}{dt} = f(t, y) \]
donde \( y \) es la variable dependiente y \( t \) es la variable independiente.
En R, esta ecuación se puede representar como una función. Conviene
destacar, si deseamos modelar el crecimiento poblacional de una especie en
función del tiempo, podemos denir la ecuación logística como sigue:
R
growth_model <- function(t, y, parameters) {
r <- parameters[1] tasa de crecimiento
K <- parameters[2] capacidad de carga
dy <- r y (1 - y / K) ecuación logística
return(list(dy))
}
En esta función, t es el tiempo, y es la población y parameters es un
vector que contiene los parámetros del modelo. Para ilustrar cómo resolver
una EDO en R, consideremos un caso sencillo: la ecuación diferencial que
describe la descomposición de un material radiactivo, que se puede expresar
como:
12
\[ \frac{dN}{dt} = -\lambda N \]
donde \( N \) es la cantidad de material en el tiempo \( t \) y \( \lambda \)
es la constante de descomposición. Para resolver esta ecuación en R, se
seguirán los siguientes pasos:
i. Denir la función que representa la EDO:
R
decay_model <- function(t, N, params) {
lambda <- params[1]
dN <- -lambda N
return(list(dN))
}
ii. Establecer los parámetros y condiciones iniciales:
R
params <- c(lambda = 0.1) constante de descomposición
N0 <- 100 cantidad inicial
times <- seq(0, 50, by = 1) intervalo de tiempo
iii. Utilizar la función ode del paquete deSolve para resolver la EDO:
R
results <- ode(y = N0, times = times, func = decay_model, parms = params)
13
iv. Finalmente, gracar los resultados:
R
plot(results[, "time"], results[, "N"], type = "l", col = "blue", xlab = "Tiempo",
ylab = "Cantidad de material", main = "Descomposición Radiactiva")
Este ejemplo práctico demuestra cómo implementar y resolver una
EDO simple utilizando R y el paquete deSolve. La exibilidad de R y sus
herramientas faculta a los académicos y estudiantes explorar una amplia
variedad de modelos de EDO en diferentes disciplinas, facilitando el análisis
y la visualización de datos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son
herramientas fundamentales en la modelación de fenómenos en diversas
disciplinas, su capacidad para describir sistemas dinámicos las convierte en
un recurso esencial en campos como la biología, la física y la economía.
En biología, una de las aplicaciones más comunes de las EDO es el
modelado del crecimiento poblacional. La famosa ecuación logística, que
describe cómo una población crece en un entorno con recursos limitados, es
un ejemplo clásico. Esta EDO se expresa como:
\[
\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)
\]
donde \(P\) es la población en el tiempo \(t\), \(r\) es la tasa de crecimiento
intrínseca, y \(K\) es la capacidad de carga del medio ambiente. Este modelo
faculta a los biólogos predecir cómo variará una población en un período,
considerando factores como la competencia y la disponibilidad de recursos.
14
En física, las EDO son esenciales para describir el movimiento de
partículas y sistemas dinámicos. Un ejemplo clásico es la ecuación de
movimiento de un objeto bajo la inuencia de la gravedad, que se puede
expresar mediante la segunda ley de Newton. La ecuación diferencial que
describe la posición \(x(t)\) de un objeto en caída libre es:
\[
\frac{d^2x}{dt^2} = -g
\]
donde \(g\) es la aceleración debido a la gravedad. Al resolver esta EDO, se
pueden obtener las trayectorias de los objetos en movimiento, lo que es
crucial en áreas como la mecánica clásica y la ingeniería.
En economía, las EDO se utilizan para modelar dinámicas de sistemas
económicos y hacer predicciones sobre el comportamiento de variables clave.
Un ejemplo notable es el modelo de Solow-Swan, que describe el crecimiento
económico a largo plazo de un país (Álvarez y Álvarez, 2015). La ecuación
diferencial que representa la acumulación de capital es:
\[
\frac{dk}{dt} = s f(k) - \delta k
\]
donde \(k\) es el capital por trabajador, \(s\) es la tasa de ahorro, \(f(k)\) es
la función de producción, y \(\delta\) es la tasa de depreciación del capital.
Este modelo faculta a los economistas analizar cómo las políticas de ahorro e
inversión afectan el crecimiento económico en el tiempo. En contexto, las
EDO son herramientas poderosas que facultan modelar y entender
fenómenos complejos en diversas disciplinas. Su capacidad para describir
15
dinámicas temporales y predecir comportamientos hace que sean
indispensables en la investigación cientíca y aplicada.
El uso de R para la resolución de EDO abre un abanico de
posibilidades. La facilidad con la que se pueden instalar paquetes como
deSolve y la accesibilidad de la sintaxis de R facilitan la implementación de
modelos complejos y su análisis. La comunidad de usuarios y desarrolladores
en R continúa creciendo, lo que promueve la creación de nuevas herramientas
y métodos para abordar problemas que antes resultaban difíciles de resolver.
Es probable que veamos un aumento en la integración de técnicas de
aprendizaje automático y análisis de datos con la modelación de EDO. Esto
podría revolucionar la manera en que abordamos la resolución de ecuaciones
en contextos de big data, permitiendo la identicación de patrones y la
predicción de comportamientos en sistemas complejos. Asimismo, la
colaboración interdisciplinaria será esencial. La combinación de
conocimientos en matemáticas, programación y el dominio especíco de cada
área de aplicación será clave para avanzar en el estudio y la aplicación de las
EDO.
Por lo que se espera que la comunidad siga desarrollando y
compartiendo recursos educativos y ejemplos prácticos que faciliten el
aprendizaje y la implementación de EDO en R. La creación de plataformas en
línea y foros de discusión puede fomentar un intercambio enriquecedor de
ideas y soluciones, impulsando así el progreso en este campo vital. En teoría,
el trascender del estudio de las EDO con R es prometedor y está lleno de
oportunidades para quienes deseen profundizar en el análisis y modelación
de sistemas dinámicos.
1.2 Métodos de Euler: Sintaxis en R
Los métodos de Euler son técnicas fundamentales en el ámbito
numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs),
que son ecuaciones que involucran funciones desconocidas y sus derivadas,
la relevancia de estos métodos radica en su simplicidad y ecacia,
permitiendo a cientícos e ingenieros abordar problemas complejos que, de
otro modo, serían intratables mediante métodos analíticos (Romero et al.,
2001).
16
La esencia de los métodos de Euler radica en su capacidad para
aproximar soluciones de EDOs a través de pasos discretos. En términos
simples, estos métodos toman un valor inicial y, utilizando la pendiente de la
función en ese punto, proyectan el valor de la función en un paso siguiente.
Esta aproximación es especialmente valiosa en situaciones donde no se
dispone de una solución cerrada, ya que faculta generar una serie de puntos
que pueden ser analizados y visualizados.
Además de su aplicabilidad práctica, los métodos de Euler también
sirven como puerta de entrada para el aprendizaje de técnicas más avanzadas
de resolución de ecuaciones diferenciales. A partir de su estudio, estudiantes
y profesionales pueden adquirir una comprensión más profunda de los
conceptos subyacentes en la teoría de ecuaciones diferenciales y en el análisis
numérico. Para comprender plenamente la aplicación y efectividad de los
métodos de Euler, es esencial explorar algunos conceptos básicos que
sustentan estas técnicas. Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que
relacionan una función desconocida con sus derivadas. Estas ecuaciones son
esenciales en diversas disciplinas, como la física, la ingeniería y la biología,
donde se modelan fenómenos dinámicos. Las EDOs se clasican
principalmente en:
i. Orden: Una EDO de orden n involucra derivadas hasta el n-ésimo
orden. En particular, la ecuación \(y'' + y = 0\) es de segundo
orden.
ii. Linealidad: Se dividen en lineales y no lineales. Una EDO lineal
puede ser expresada en la forma \(a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-
1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)\), donde \(a_i(x)\) y \(g(x)\) son
funciones continuas de \(x\).
iii. Homogeneidad: Una EDO es homogénea si \(g(x) = 0\), y no
homogénea si \(g(x) \neq 0\).
Existen varios métodos para resolver EDOs numéricamente, siendo los
métodos de Euler los más simples y ampliamente utilizados. Se distinguen
principalmente dos variantes:
17
i. Método de Euler Directo: Este método se basa en la aproximación de
la pendiente de la función en un punto dado para estimar el valor
en el siguiente punto. Su fórmula se expresa como:
\[
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)
\]
donde \(h\) es el tamaño del paso, \(t_n\) es el valor actual de la variable
independiente y \(f(t_n, y_n)\) es la derivada de la función en ese punto.
ii. Método de Euler Mejorado: de igual manera conocido como el
método de Heun, este método busca mejorar la precisión del
método directo al realizar un cálculo adicional de la pendiente. Su
fórmula es:
\[
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \cdot \left( f(t_n, y_n) + f(t_n + h, y_n + h \cdot
f(t_n, y_n)) \right)
\]
Los métodos de Euler son herramientas importantes en la resolución
de ecuaciones diferenciales, y su comprensión básica es esencial para su
implementación efectiva en la práctica, la implementación de los métodos de
Euler en R es un proceso relativamente sencillo que faculta a los usuarios
resolver ecuaciones diferenciales de manera eciente (Cevallos y Cevallos,
2025). Antes de comenzar con la implementación, es importante asegurarse
de tener instaladas las librerías que facilitarán el trabajo con datos y grácos
en R. Si bien los métodos de Euler se pueden implementar sin librerías
18
adicionales, usar herramientas como ggplot2 para la visualización de
resultados puede ser muy útil. Para instalar y cargar la librería ggplot2,
puedes usar el siguiente código:
R
install.packages("ggplot2") Instalar ggplot2
library(ggplot2) Cargar ggplot2
Es recomendable tener instalada la librería dplyr para el manejo de
datos, aunque no es estrictamente necesaria para la implementación de los
métodos de Euler.
R
install.packages("dplyr") Instalar dplyr
library(dplyr) Cargar dplyr
El método de Euler directo es el más básico de los métodos de Euler y
se puede implementar mediante una función que reciba como parámetros la
ecuación diferencial, el intervalo de tiempo, el valor inicial y el número de
pasos. En seguida se presenta un ejemplo de cómo se puede denir esta
función en R:
R
euler_directo <- function(f, y0, t0, tn, h) {
n <- (tn - t0) / h Número de pasos
t <- seq(t0, tn, by = h) Vector de tiempos
y <- numeric(n + 1) Vector para almacenar resultados
19
y[1] <- y0 Valor inicial
for (i in 1:n) {
y[i + 1] <- y[i] + h f(t[i], y[i]) Aplicar método de Euler
}
return(data.frame(t = t, y = y)) Retornar resultados como un data frame
}
En esta función, f es la función que dene la ecuación diferencial, y0 es
el valor inicial, t0 y tn son los límites del intervalo de tiempo, y h es el tamaño
del paso. El método de Euler mejorado, todavía conocido como método de
Heun, proporciona una aproximación más precisa al calcular el valor de la
pendiente en el inicio y el nal de cada intervalo. En seguida se muestra una
implementación en R:
R
euler_mejorado <- function(f, y0, t0, tn, h) {
n <- (tn - t0) / h Número de pasos
t <- seq(t0, tn, by = h) Vector de tiempos
y <- numeric(n + 1) Vector para almacenar resultados
y[1] <- y0 Valor inicial
for (i in 1:n) {
y_pred <- y[i] + h f(t[i], y[i]) Predicción
y[i + 1] <- y[i] + (h / 2) (f(t[i], y[i]) + f(t[i + 1], y_pred)) Corrección
}
return(data.frame(t = t, y = y)) Retornar resultados como un data frame
}
20
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria (EDO) simple:
\[
\frac{dy}{dt} = y, \quad y(0) = 1
\]
Esta ecuación representa un crecimiento exponencial. Para resolverla
usando el método de Euler directo, primero denimos el paso de tiempo
\(h\) y el número de pasos \(n\) que deseamos realizar.
R
Parámetros
h <- 0.1 Tamaño del paso
n <- 10 Número de pasos
y <- numeric(n + 1) Vector para almacenar los resultados
y[1] <- 1 Condición inicial
for (i in 1:n) {
y[i + 1] <- y[i] + h y[i]
}
print(y)
Al ejecutar este código en R, se obtendrá una aproximación de los
valores de \(y\) en los diferentes instantes de tiempo. Siempre que se
aumenta el número de pasos o se reduce el tamaño del paso \(h\), la solución
21
se aproximará más a la solución exacta de la EDO, que es \(y(t) = e^t\). Para
ilustrar el método de Euler mejorado, utilizaremos la misma EDO:
\[
\frac{dy}{dt} = y, \quad y(0) = 1
\]
Sin embargo, en este caso, aplicaremos el método mejorado, que utiliza
un enfoque de predicción-corrección:
R
Parámetros
h <- 0.1 Tamaño del paso
n <- 10 Número de pasos
y <- numeric(n + 1) Vector para almacenar los resultados
y[1] <- 1 Condición inicial
Implementación del método de Euler mejorado
for (i in 1:n) {
y_pred <- y[i] + h y[i] Predicción
y[i + 1] <- y[i] + (h / 2) (y[i] + y_pred) Corrección
}
print(y)
Este código permitirá observar cómo el método de Euler mejorado
generalmente proporciona una aproximación más precisa de la solución real
en comparación con el método directo. Al igual que antes, al aumentar el
22
número de pasos o reducir el tamaño del paso, se puede observar una mejora
en la precisión de los resultados. Para comparar los resultados de ambos
métodos, podemos gracar las soluciones obtenidas en función del tiempo.
Esto nos permitirá visualizar las diferencias en precisión entre el método de
Euler directo y el mejorado.
R
Comparación de resultados
time <- seq(0, n h, by = h)
plot(time, y, type = "o", col = "blue", ylim = c(0, 3), xlab = "Tiempo", ylab =
"y(t)", main = "Métodos de Euler")
lines(time, exp(time), col = "red", lty = 2) Solución exacta
legend("topright", legend = c("Euler Directo", "Euler Mejorado", "Solución
Exacta"), col = c("blue", "green", "red"), lty = c(1, 1, 2))
En esta gráca, la línea azul representa los resultados del método de
Euler directo, la línea verde los del método mejorado, y la línea roja la
solución exacta. Se puede observar que el método mejorado se aproxima más
a la solución exacta, evidenciando su ecacia en la resolución de ecuaciones
diferenciales. Estos ejemplos prácticos muestran la implementación de los
métodos de Euler en R y destacan la diferencia en la precisión entre el método
directo y el mejorado, lo que refuerza la importancia de elegir el método
adecuado según el problema a resolver.
Los métodos de Euler, tanto el directo como el mejorado, representan
herramientas fundamentales en la resolución numérica de ecuaciones
diferenciales. En primer lugar, es importante destacar que los métodos de
Euler, si bien son relativamente sencillos y fáciles de implementar, presentan
limitaciones en términos de precisión. El método de Euler directo, al ser un
método de primer orden, puede generar errores signicativos, especialmente
en problemas donde la solución presenta rápidas variaciones (Alemu et al.,
2025). Por otro lado, el método de Euler mejorado, que utiliza un enfoque de
23
predicción-corrección, ofrece una mejora notable en la precisión. Sin
embargo, esto también implica un costo computacional adicional, lo que
puede ser un factor a considerar en problemas de gran escala.
Nuestra recomendación para los usuarios de R es comenzar con el
método de Euler directo para obtener una comprensión básica de la dinámica
de las ecuaciones diferenciales. Esto no solo facilitará el aprendizaje de los
conceptos subyacentes, sino que al igual permitirá establecer una base sólida
sobre la cual se pueda construir al avanzar hacia el método mejorado. Es
aconsejable realizar pruebas comparativas entre ambos métodos en
diferentes tipos de ecuaciones diferenciales para evaluar cómo se comportan
en diversas situaciones.
Por lo que se sugiere emplear librerías adicionales en R, como ggplot2
para la visualización de resultados, que admiten una mejor interpretación de
las soluciones obtenidas. La representación gráca de las soluciones es
esencial para validar la precisión de los métodos utilizados y para comunicar
los resultados de manera efectiva. Por lo que es fundamental recordar que, si
bien los métodos de Euler son herramientas útiles, existen otros métodos
numéricos más avanzados, como el método de Runge-Kua, que pueden
ofrecer mayor precisión y estabilidad en ciertos contextos. Por lo tanto, es
recomendable evaluar el problema especíco y considerar la posibilidad de
explorar alternativas si la precisión es un factor crítico en el análisis.
Los métodos de Euler proporcionan un enfoque accesible para la
resolución de ecuaciones diferenciales y su implementación en R es un gran
recurso para estudiantes y profesionales. Con las recomendaciones
adecuadas y una comprensión clara de sus limitaciones, estos métodos
pueden ser utilizados de manera efectiva en una amplia variedad de
aplicaciones cientícas y de ingeniería.
1.3 Métodos Predictor-Corrector y Runge-Kua en R:
Implementación y Comparación para la Resolución de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Los métodos numéricos son herramientas fundamentales para
resolver problemas matemáticos complejos que no pueden abordarse de
24
manera analítica. En el contexto de las ecuaciones diferenciales ordinarias
(ODEs), estos métodos condescienden aproximar soluciones en situaciones
donde las soluciones exactas son inviables. R, un lenguaje de programación
ampliamente utilizado en estadística y análisis de datos, ofrece un entorno
poderoso para implementar y resolver ODEs con la ayuda de varios métodos
numéricos (Pérez et al., 2022).
Las ODEs son comunes en diversas disciplinas, incluyendo la física, la
ingeniería, la biología y la economía, ya que modelan el comportamiento
dinámico de sistemas en un período determinado. Sin embargo, muchas
ODEs no tienen soluciones exactas, o estas son difíciles de encontrar. Los
métodos numéricos ofrecen aproximaciones a estas soluciones, permitiendo
a académicos y profesionales realizar simulaciones y análisis trascendentales
para la toma de decisiones. Gracias a su capacidad para manejar problemas
complejos, los métodos numéricos se han vuelto esenciales en la práctica y la
investigación.
Dentro del ámbito de los métodos numéricos, los métodos predictor-
corrector y los métodos de Runge-Kua son dos enfoques prominentes para
resolver ODEs. Los métodos predictor-corrector utilizan un enfoque en dos
etapas: primero, se calcula una predicción inicial de la solución, y luego se
realiza una corrección para mejorar la precisión de esta estimación. Este
enfoque proporciona un balance entre rapidez de cálculo y precisión. Por otro
lado, los métodos de Runge-Kua, especialmente los de orden superior, son
conocidos por su capacidad para ofrecer soluciones precisas con un número
relativamente bajo de pasos de integración. Estos métodos son valorados en
la resolución de ODEs debido a su robustez y facilidad de implementación.
Los métodos predictor-corrector son técnicas numéricas utilizadas
para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) mediante un
enfoque iterativo que combina una predicción inicial de la solución con una
corrección posterior para obtener resultados más precisos (Varona, 1996).
Este enfoque es especialmente útil en situaciones donde es necesario
equilibrar precisión y eciencia computacional.
La base de los métodos predictor-corrector es simple: primero, se
realiza una estimación (predicción) de la solución en un punto futuro
25
utilizando información de puntos anteriores. A esta estimación inicial se le
conoce como "predicción". Posteriormente, se utiliza esta predicción para
calcular un valor corregido que se considera más preciso. Este paso de
corrección implica generalmente el uso de la derivada de la función en el
punto predicho, permitiendo ajustar la solución de acuerdo con el
comportamiento real de la función.
Existen diversas variantes de métodos predictor-corrector, siendo los
más comunes el método de Euler hacia adelante como predictor y el método
de Euler hacia atrás como corrector. Otros métodos más sosticados, como el
método de Adams-Bashforth y Adams-Moulton, también pertenecen a esta
categoría y ofrecen mayor precisión al interpolar entre los puntos calculados.
Para implementar un método predictor-corrector en R, es fundamental seguir
ciertos pasos, que incluyen la denición de la ODE, la elección de un método
de predicción y corrección, y la iteración sobre los pasos de tiempo.
Supongamos que queremos resolver la ODE:
\[ \frac{dy}{dt} = f(t, y) \]
donde \( f(t, y) = y - t^2 + 1 \) con la condición inicial \( y(0) = 0.5 \).
R
Denimos la función f
f <- function(t, y) {
return(y - t^2 + 1)
}
Implementación del método predictor-corrector
predictor_corrector <- function(f, y0, t0, tf, h) {
n <- as.integer((tf - t0) / h) Número de pasos
26
t <- seq(t0, tf, by = h) Vector de tiempos
y <- numeric(n + 1) Vector de soluciones
y[1] <- y0 Condición inicial
for (i in 1:n) {
Predicción usando el método de Euler
y_pred <- y[i] + h f(t[i], y[i])
Corrección utilizando el método de Euler hacia atrás
y[i + 1] <- y[i] + h f(t[i + 1], y_pred)
}
return(data.frame(t = t, y = y))
}
Llamada a la función con los parámetros deseados
resultados <- predictor_corrector(f, y0 = 0.5, t0 = 0, tf = 2, h = 0.1)
Visualización de los resultados
plot(resultados$t, resultados$y, type = "l", col = "blue", xlab = "t", ylab = "y",
main = "Método Predictor-Corrector")
Este código implementa un método predictor-corrector básico en R,
donde calculamos la solución de la ODE en un intervalo de tiempo denido.
La gráca resultante mostrará la evolución de la solución, permitiendo
observar el comportamiento del sistema modelado. Los métodos predictor-
corrector presentan varias ventajas. En primer lugar, ofrecen buena precisión
sin necesidad de un alto número de pasos de tiempo, lo que es especialmente
útil en problemas donde la evaluación de la función es costosa. Así, su
estructura iterativa faculta la adaptación a diferentes tipos de problemas y
condiciones iniciales.
27
Sin embargo, también presentan desventajas. La implementación
puede ser más compleja en comparación con métodos más simples y, en
algunos casos, la convergencia puede ser lenta, especialmente si la función
tiene un comportamiento altamente no lineal. La elección inadecuada de los
métodos de predicción y corrección puede llevar a inestabilidades numéricas.
Total, los métodos predictor-corrector son herramientas poderosas en la
resolución de ODEs, pero su aplicación efectiva requiere un conocimiento
profundo de la naturaleza del problema a resolver y de las características de
los métodos utilizados.
Los métodos de Runge-Kua son una familia de técnicas ampliamente
utilizadas para resolver ODEs, ofreciendo una forma ecaz de aproximar
soluciones con precisión controlada a partir de su orden de aproximación, los
métodos de Runge-Kua se pueden clasicar en diferentes órdenes, siendo
el más común el método de cuarto orden (RK4) (Segarra, 2020). Este método
es popular debido a su equilibrio entre complejidad computacional y
precisión. En términos generales, un método de Runge-Kua de orden \( n
\) utiliza una combinación de evaluaciones de la función derivada en
múltiples puntos dentro del intervalo de integración para calcular una
aproximación más precisa a la solución de la ODE. Para una ODE de la forma
\( \frac{dy}{dt} = f(t, y) \), el método RK4 calcula la siguiente aproximación
para \( y(t + h) \) como:
\[
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
\]
donde:
- \( k_1 = f(t_n, y_n) \)
- \( k_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_1) \)
28
- \( k_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_2) \)
- \( k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3) \)
Esta fórmula faculta una aproximación de orden cuatro, lo que
signica que el error global decrece a una tasa proporcional a \( h^4 \)
cuando se reduce el tamaño del paso \( h \). Supongamos que queremos
resolver la ODE simple \( \frac{dy}{dt} = -2y \) con la condición inicial \(
y(0) = 1 \).
R
Denimos la función que representa la ODE
f <- function(t, y) {
-2 y
}
Implementación del método de Runge-Kua de cuarto orden
runge_kua_4 <- function(f, y0, t0, tf, h) {
n <- ceiling((tf - t0) / h)
y <- numeric(n + 1)
t <- seq(t0, tf, by = h)
y[1] <- y0
for (i in 1:n) {
k1 <- f(t[i], y[i])
k2 <- f(t[i] + h / 2, y[i] + h / 2 k1)
k3 <- f(t[i] + h / 2, y[i] + h / 2 k2)
k4 <- f(t[i] + h, y[i] + h k3)
y[i + 1] <- y[i] + (h / 6) (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)
}
29
return(data.frame(t = t, y = y))
}
Ejecutamos la función
resultados <- runge_kua_4(f, y0 = 1, t0 = 0, tf = 5, h = 0.1)
Gracamos los resultados
plot(resultados$t, resultados$y, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
main = "Solución de la ODE usando Runge-Kua de 4to orden",
xlab = "Tiempo", ylab = "y(t)")
Este código dene una función para el ODE, implementa el método
RK4 y graca la solución. Los resultados muestran cómo la solución se
comporta en el tiempo, permitiendo visualizar la dinámica del sistema. Los
métodos de Runge-Kua, especialmente el de cuarto orden, ofrecen ventajas
signicativas sobre los métodos tradicionales, como el método de Euler. Aun
cuando el método de Euler tiene un orden de convergencia de uno, los
métodos de Runge-Kua proporcionan una convergencia mucho más rápida,
lo que se traduce en menos pasos de integración necesarios para alcanzar un
nivel deseado de precisión. Esto es especialmente valioso en aplicaciones
donde la precisión es crítica y se requiere un uso eciente del tiempo
computacional.
Sin embargo, es importante considerar que los métodos de Runge-
Kua pueden ser más costosos computacionalmente en términos de
evaluaciones de la función, ya que requieren múltiples cálculos por paso. Así,
la elección entre estos métodos dependerá del problema especíco a resolver
y de las restricciones de tiempo y recursos computacionales disponibles. Es
decisivo resaltar que la elección del método adecuado para la solución de
ODEs depende en gran medida del contexto especíco del problema, así
como de los requisitos de precisión y eciencia. La comprensión de las
características de cada método faculta a los usuarios de R tomar decisiones
informadas que mejoren la calidad de sus resultados.
30
Se anticipa un crecimiento continuo en el uso de R para métodos
numéricos, impulsado por la mejora constante en algoritmos y la integración
de bibliotecas más sosticadas. Este avance permitirá a los académicos
abordar problemas más complejos y obtener soluciones aún más precisas en
diversas aplicaciones cientícas y tecnológicas. La combinación de R con
métodos numéricos innovadores promete abrir nuevas fronteras en el análisis
y modelado matemático.
Capítulo II
Método predictor-corrector de tercer y cuarto orden de
Adams
El método predictor-corrector es una técnica fundamental en el campo
de la resolución numérica de ecuaciones diferenciales, que faculta obtener
soluciones aproximadas de manera eciente y precisa. Este enfoque combina
dos pasos esenciales: un paso de predicción, donde se estiman los valores
futuros de la solución, y un paso de corrección, donde se ajustan esos valores
utilizando información adicional para mejorar la precisión.
El método predictor-corrector se basa en una estrategia iterativa que
utiliza fórmulas derivadas de métodos numéricos, como los de Adams, para
predecir y luego corregir la solución de un problema de valor inicial. En la
fase de predicción, se generan valores tentativos de la solución en puntos
avanzados, pese a que en la etapa de corrección, estos valores son renados
mediante la evaluación de la función en los puntos predichos y sus derivadas
(Marrero y Baguer, 2004). Esta dualidad faculta que el método sea adaptativo
y capaz de manejar una variedad de situaciones en las que la precisión es
crucial.
El desarrollo del método predictor-corrector se remonta a los trabajos
pioneros en el siglo XIX sobre ecuaciones diferenciales y la búsqueda de
soluciones numéricas. Uno de los hitos signicativos en la evolución de estos
31
métodos fue el desarrollo de las fórmulas de Adams, que sirvieron como base
para la creación de técnicas más avanzadas.
La capacidad de resolver ecuaciones diferenciales es crucial en
numerosas disciplinas, incluidos la física, la ingeniería, la biología y la
economía. Los métodos predictor-corrector, especialmente los de mayor
orden, posibilitan abordar problemas complejos que no pueden resolverse
analíticamente. Su exibilidad y adaptabilidad los convierten en
herramientas valiosas para los ingenieros y cientícos que buscan modelar
fenómenos del mundo real. Al ofrecer un balance entre precisión y eciencia
computacional, estos métodos se han vuelto esenciales en la simulación y el
análisis numérico moderno, impulsando avances signicativos en la
investigación y la aplicación práctica.
2.1 Descripción del método de tercer y cuarto orden de Adams
El método de tercer orden de Adams, conocido como el método de
Adams-Bashforth, es un enfoque de integración numérica que se utiliza para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Este método se basa en la idea
de utilizar una serie de valores previamente calculados de la función para
predecir el valor futuro de la solución. En particular, el método de tercer
orden emplea un esquema de interpolación polinómica que utiliza tres
puntos anteriores para estimar el punto siguiente. La fórmula general se
puede expresar como:
\[
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{12} \left( 23f_n - 16f_{n-1} + 5f_{n-2} \right)
\]
donde \( y_n \) es la aproximación en el tiempo \( t_n \), \( h \) es el tamaño
del paso de tiempo, y \( f_n \) representa la evaluación de la función en \(
y_n \).
32
El método de tercer orden de Adams es ampliamente utilizado en
diversas disciplinas de la ciencia y la ingeniería. Su aplicabilidad se extiende
a la simulación de sistemas dinámicos, como en la mecánica de uidos, donde
las ecuaciones diferenciales representan el comportamiento del ujo. Así, se
emplea en la modelización de procesos biológicos, como la difusión de
sustancias químicas en un medio, y en la resolución de problemas de control
en sistemas eléctricos.
Una de las ventajas del método es su capacidad para manejar
problemas que presentan condiciones iniciales difíciles, donde se requiere
una aproximación precisa desde el inicio. Para ilustrar, en la simulación de
sistemas donde las condiciones cambian rápidamente, el método de tercer
orden puede proporcionar resultados más ables en comparación con
métodos de primer o segundo orden. Entre las ventajas del método de tercer
orden de Adams, se destaca su mayor precisión y eciencia en comparación
con métodos de menor orden, lo que faculta obtener soluciones más exactas
con menos pasos de tiempo. Esto es especialmente valioso en problemas
donde la precisión es crítica y el costo computacional es una consideración
importante.
Sin embargo, el método de tercer orden de igual manera presenta
limitaciones. Una de las principales desventajas es su dependencia de
condiciones iniciales adecuadas; si los valores iniciales no se eligen
correctamente, la precisión de las soluciones puede verse comprometida. Así,
el método puede ser ineciente en situaciones donde se requiere un alto
grado de adaptabilidad en el tamaño del paso, ya que mantener un tamaño
de paso constante puede no ser óptimo para todos los intervalos del
problema. Por ende, el método de tercer orden de Adams es una herramienta
poderosa en la resolución de ecuaciones diferenciales, ofreciendo un
equilibrio entre precisión y eciencia, si bien su aplicación efectiva depende
de una cuidadosa consideración de las condiciones iniciales y la naturaleza
del problema a resolver.
El método de cuarto orden de Adams, también conocido como el
método de Adams-Bashforth de cuarto orden, es una técnica de integración
numérica que faculta resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de
la forma \( y' = f(t, y) \). Este método se basa en la idea de extrapolar el
33
comportamiento futuro de la solución utilizando una combinación de los
valores de la función en puntos anteriores (Segarra, 2020). En particular, el
método de cuarto orden implica el uso de cuatro puntos previos para calcular
una aproximación más precisa de la solución en el siguiente paso. La fórmula
general del método de Adams-Bashforth de cuarto orden se expresa como:
\[
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}(9f(t_{n+1}, y_{n+1}) - 19f(t_n, y_n) + 5f(t_{n-1}, y_{n-
1}) - f(t_{n-2}, y_{n-2}))
\]
donde \( h \) es el tamaño del paso y \( f(t_i, y_i) \) representa la evaluación
de la función en los puntos correspondientes. Es fundamental que se
disponga de los valores de \( y \) en los tres pasos anteriores para poder
aplicar este método.
El método de cuarto orden de Adams ofrece ventajas signicativas en
comparación con su contraparte de tercer orden. En tanto que el método de
tercer orden utiliza solo tres puntos previos en sus cálculos, el método de
cuarto orden incorpora un cuarto punto, lo que resulta en una mayor
precisión. Esto se traduce en que el error de truncamiento del método de
cuarto orden es signicativamente menor, lo que faculta que la solución
converja más rápidamente hacia el valor real, especialmente en problemas
donde la función \( f(t, y) \) cambia rápidamente.
Sin embargo, es importante destacar que, si bien el método de cuarto
orden puede ser más preciso, al igual requiere un mayor esfuerzo
computacional, ya que se debe calcular y almacenar un mayor número de
puntos. Por lo tanto, la elección entre el método de tercer y cuarto orden debe
basarse en una evaluación cuidadosa de las necesidades especícas del
problema a resolver.
El método de cuarto orden de Adams es particularmente efectivo en
casos donde se requiere una alta precisión en la solución de EDOs, como en
34
simulaciones de fenómenos físicos, modelado de sistemas dinámicos y en la
ingeniería, donde la exactitud es crucial. En efecto, en la modelación de
sistemas biológicos o en la ingeniería de control, donde se busca prever el
comportamiento futuro de un sistema, el uso de un método de mayor orden
como el de cuarto orden de Adams puede ser determinante para obtener
resultados conables.
Además, este método se puede combinar con técnicas de adaptación
de pasos, lo que faculta ajustar dinámicamente el tamaño del paso \( h \) en
función de las características de la solución a medida que se avanza en el
tiempo. Esto no solo mejora la precisión, sino que todavía optimiza el uso de
recursos computacionales, haciendo que el método de cuarto orden de
Adams sea una herramienta valiosa en la resolución numérica de ecuaciones
diferenciales.
Los métodos predictor-corrector de Adams, tanto en su forma de tercer
como de cuarto orden, han sido fundamentales en el campo de la resolución
numérica de ecuaciones diferenciales. El método de tercer orden, no obstante
más sencillo, ofrece una base sólida para problemas que no requieren una
precisión extrema, aun cuando que el método de cuarto orden, con su mayor
complejidad, proporciona resultados más exactos y es preferido en
situaciones donde la precisión es crucial. Ambos métodos han demostrado
ser herramientas valiosas para ingenieros, cientícos y matemáticos,
facilitando la aproximación de soluciones en situaciones donde los métodos
analíticos son inviables.
Para trascender, es posible que veamos integraciones de estos métodos
con algoritmos de inteligencia articial y técnicas de machine learning, lo que
podría mejorar aún más su eciencia y precisión. Además, la investigación en
métodos híbridos que combinan los enfoques predictor-corrector con otras
técnicas numéricas podría abrir nuevas posibilidades para la resolución de
ecuaciones diferenciales complejas. La creciente demanda de simulaciones
precisas en campos como la física, la biología computacional y la ingeniería
estructural asegurará que los métodos de Adams sigan siendo relevantes y se
adapten a nuevas necesidades.
35
Para aquellos que deseen implementar los métodos de Adams en sus
proyectos, es crucial considerar tanto la naturaleza del problema a resolver
como los recursos computacionales disponibles. Se recomienda comenzar
con el método de tercer orden para familiarizarse con los conceptos básicos y
la estructura del algoritmo. Una vez dominado, se puede avanzar al método
de cuarto orden para problemas que requieran mayor precisión. A su vez, es
fundamental realizar un análisis de los errores y la estabilidad de las
soluciones obtenidas, garantizando así la validez de los resultados. Así,
mantenerse actualizado con la literatura reciente y participar en
comunidades de investigación puede proporcionar escenarios valiosos y
nuevas estrategias para mejorar la implementación de estos métodos en
diversas aplicaciones.
2.2 Correctores de Adams-Moulton en ecuaciones diferenciales
ordinarias
En el ámbito de las matemáticas aplicadas, las ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDOs) juegan un papel fundamental en la descripción de
fenómenos naturales y en la modelación de sistemas complejos. Desde la
dinámica de partículas hasta la propagación de enfermedades, las EDOs
posibilitan representar de manera precisa y ecaz una amplia variedad de
situaciones reales. Sin embargo, la resolución de estas ecuaciones no siempre
es directa, lo que ha llevado al desarrollo de múltiples métodos numéricos
que facilitan su tratamiento.
Entre estos métodos, los correctores de Adams-Moulton se destacan
por su capacidad para proporcionar soluciones precisas y estables a las EDOs,
estos métodos, que pertenecen a la categoría de integración implícita, son
especialmente útiles en la simulación de sistemas donde la estabilidad es
crucial, como en problemas de dinámica de uidos o en la modelación de
sistemas biológicos (Sánchez, 2020). Las ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO) son una rama fundamental de las matemáticas que se ocupa del
estudio de las relaciones entre funciones y sus derivadas.
Estas ecuaciones son esenciales para describir fenómenos que implican
tasas de cambio, y su comprensión es crucial en diversas disciplinas, como la
física, la ingeniería, la biología y la economía. Una ecuación diferencial
36
ordinaria se precisa como una ecuación que relaciona una función
desconocida de una variable independiente y sus derivadas. Generalmente,
se puede expresar en la forma:
\[ F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0, \]
donde \( y \) es la función desconocida, \( y', y'', \ldots, y^{(n)} \) son sus
derivadas de diferentes órdenes, y \( F \) es una función dada. Las EDO se
clasican comúnmente según su orden (el mayor número de derivadas
presentes en la ecuación) y su linealidad.
- Orden: Una EDO de primer orden involucra solamente la primera
derivada de la función desconocida, mientras que una de segundo
orden involucra hasta la segunda derivada, y así sucesivamente
- Linealidad: Una EDO es lineal si puede expresarse de forma lineal
respecto a la función desconocida y sus derivadas. En cambio, es no
lineal si incluye términos que son productos de la función y/o sus
derivadas.
Las EDO son herramientas clave en la modelación matemática, ya que
facultan representar una amplia variedad de sistemas dinámicos. Desde el
movimiento de partículas bajo la inuencia de fuerzas hasta la dinámica de
poblaciones en biología, las EDO proporcionan un marco para formular y
analizar problemas reales. Conviene destacar, la ley de enfriamiento de
Newton, que describe cómo un objeto se enfría en un ambiente, está
modelada mediante una EDO de primer orden. La capacidad de las EDO para
capturar la esencia de cambios dinámicos las hace indispensables en campos
como la física, la ingeniería y las ciencias sociales. Dada la complejidad de
muchas EDO, se han desarrollado numerosos métodos para su solución.
Algunos de los métodos más comunes incluyen:
i. Métodos analíticos: Estos métodos buscan soluciones exactas a las
EDO y son aplicables en casos donde la ecuación faculta una
37
solución cerrada. Ejemplos incluyen la separación de variables, la
integración por partes y el método de variación de parámetros.
ii. Métodos numéricos: Para muchas EDO, especialmente las no lineales
o aquellas que no tienen soluciones analíticas, se utilizan métodos
numéricos. Estos métodos admiten aproximar soluciones mediante
algoritmos que iteran sobre valores discretos. Ejemplos de métodos
numéricos son el método de Euler, el método de Runge-Kua y,
por supuesto, los métodos de Adams-Moulton, entre otros.
Ahora bien, las ecuaciones diferenciales ordinarias son herramientas
fundamentales en la matemática aplicada, proporcionando un marco para la
comprensión y modelación de fenómenos dinámicos en una variedad de
contextos. Su estudio y resolución, ya sea a través de métodos analíticos o
numéricos, son esenciales para avanzar en la investigación y la aplicación en
múltiples disciplinas. Los métodos de Adams-Moulton son un conjunto de
técnicas de integración numérica que se utilizan para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDOs). Estos métodos pertenecen a la categoría de
métodos multistep, que se caracterizan por utilizar múltiples puntos de datos
anteriores para calcular el valor de la solución en el siguiente paso.
Los métodos de Adams-Moulton son métodos de integración
implícitos que pueden ser considerados como un enfoque de predicción-
corrección. A diferencia de los métodos de Adams-Bashforth, que son
explícitos, los métodos de Adams-Moulton requieren resolver una ecuación
que involucra el valor desconocido de la solución en el paso siguiente
(Suescún et al., 2013). Esto signica que, para aplicar estos métodos, se debe
utilizar un procedimiento iterativo para despejar la incógnita. El método más
básico de Adams-Moulton es el primer método, que se puede expresar como:
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left( f(t_{n+1}, y_{n+1}) + f(t_n, y_n) \right) \]
donde \( h \) es el tamaño del paso, \( t_n \) y \( t_{n+1} \) son los puntos
de tiempo actuales y siguientes, respectivamente, y \( f(t, y) \) es la función
que dene la EDO.
38
Uno de los aspectos más signicativos de los métodos de Adams-
Moulton es su estabilidad. En general, los métodos implícitos, como los de
Adams-Moulton, tienden a ser más estables que sus contrapartes explícitas,
especialmente en problemas rígidos donde las soluciones pueden
experimentar cambios bruscos. Esta estabilidad hace que los métodos de
Adams-Moulton sean particularmente adecuados para la simulación de
sistemas donde se espera que ocurran tales comportamientos.
En cuanto a la convergencia, los métodos de Adams-Moulton son
convergentes para problemas bien planteados. Esto signica que, al aumentar
el número de pasos de integración (es decir, al reducir el tamaño del paso \(
h \)), la solución numérica se acercará a la solución exacta de la EDO. Sin
embargo, es importante tener en cuenta que la convergencia puede verse
afectada por la elección de los pasos iniciales y la calidad de la aproximación
inicial.
Los métodos de Adams-Moulton se pueden comparar con otros
métodos de integración, como los métodos de Runge-Kua y los métodos de
Adams-Bashforth. Aun cuando los métodos de Runge-Kua son conocidos
por su simplicidad y facilidad de implementación, especialmente en
problemas no rígidos, los métodos de Adams-Moulton ofrecen ventajas en
términos de estabilidad y son preferibles en contextos donde se requiere
mayor precisión en intervalos de tiempo más largos.
Los métodos de Adams-Bashforth, aunque son más simples al ser
explícitos, pueden enfrentar problemas de estabilidad en situaciones críticas,
lo que limita su aplicación en ciertos problemas. En contraste, la naturaleza
implícita de los métodos de Adams-Moulton les faculta abordar un rango
más amplio de problemas, incluyendo aquellos que presentan rigidez. En
síntesis, los métodos de Adams-Moulton son herramientas potentes y
versátiles en la solución de EDOs, ofreciendo un equilibrio entre precisión,
estabilidad y aplicabilidad en diversos contextos. Los métodos de Adams-
Moulton son herramientas poderosas en la resolución numérica de
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), y su aplicabilidad se extiende a
una amplia variedad de campos.
39
En la física, muchos fenómenos pueden ser descritos mediante EDOs,
desde el movimiento de partículas hasta la dinámica de uidos. Los
correctores de Adams-Moulton son particularmente valiosos en la simulación
de sistemas donde la precisión es crucial, como en la modelación del
movimiento de cuerpos en campos gravitacionales o la simulación de
oscilaciones en sistemas mecánicos. Su capacidad para manejar problemas
rígidos, donde las soluciones pueden cambiar rápidamente, los hace ideales
para modelar sistemas que requieren un control meticuloso del error y la
estabilidad. Esto faculta a los académicos predecir el comportamiento de
estos sistemas bajo diversas condiciones iniciales y perturbaciones.
En el ámbito de la biología, los correctores de Adams-Moulton se
utilizan para modelar una variedad de procesos, desde el crecimiento de
poblaciones hasta la propagación de enfermedades. Es decir, en modelos de
crecimiento poblacional, las EDOs pueden describir cómo las poblaciones de
diferentes especies interactúan entre sí y con su entorno. Los métodos de
Adams-Moulton facultan simular estas interacciones de manera eciente,
proporcionando resultados precisos que son fundamentales para la toma de
decisiones en conservación y gestión de recursos. A su vez, en epidemiología,
estos correctores son útiles para modelar la dinámica de enfermedades
infecciosas, ayudando a predecir brotes y evaluar el impacto de
intervenciones sanitarias.
En el campo de la ingeniería, los correctores de Adams-Moulton son
ampliamente utilizados en el análisis y diseño de sistemas dinámicos, como
estructuras, circuitos eléctricos y sistemas de control. Estos métodos
consienten a los ingenieros modelar el comportamiento de sistemas
complejos que cambian con el tiempo, proporcionando herramientas para la
optimización y mejora del rendimiento. Es decir, en la ingeniería civil, se
pueden aplicar para simular la respuesta de edicaciones ante cargas
dinámicas, como terremotos o vientos fuertes, asegurando que se cumplan
los estándares de seguridad. Asimismo, en ingeniería electrónica, son útiles
en la simulación de circuitos transitorios, donde se requiere un seguimiento
preciso de las variaciones en el tiempo para garantizar la funcionalidad del
sistema.
40
En síntesis, los correctores de Adams-Moulton ofrecen una
versatilidad notable en la resolución de EDOs en diversas disciplinas,
permitiendo una mejor comprensión y análisis de fenómenos complejos en
física, biología e ingeniería. Su capacidad para proporcionar soluciones
precisas y estables los convierte en una herramienta indispensable para
académicos y profesionales que buscan modelar y simular la realidad de
manera efectiva.
Los métodos de Adams-Moulton, con su enfoque implícito, ofrecen
ventajas signicativas en términos de estabilidad y convergencia, lo que los
convierte en una elección preferida para una amplia gama de aplicaciones en
diversas disciplinas. Desde la simulación de sistemas físicos hasta el
modelado de fenómenos biológicos y la resolución de problemas en
ingeniería, estos correctores han demostrado ser herramientas valiosas que
admiten a los académicos y profesionales abordar problemas complejos con
mayor ecacia.
En general, los correctores de Adams-Moulton no solo son un
componente esencial en la caja de herramientas de los matemáticos aplicados,
sino que también representan un puente entre la teoría matemática y su
aplicación práctica en el mundo real. Con su capacidad para mejorar la
precisión y la estabilidad en la resolución de EDOs, estos métodos seguirán
siendo relevantes en el ámbito de la investigación y la ingeniería.
2.3 Predictores de Adams-Bashforth: Fundamentos,
Implementación y Aplicaciones en Métodos Numéricos
Los predictores de Adams-Bashforth son una clase de métodos
numéricos utilizados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDOs). Estos métodos, que forman parte del enfoque de predicción-
corrección en la integración numérica, son especialmente valorados por su
capacidad para abordar problemas donde la precisión y la eciencia son
esenciales.
Los métodos de Adams-Bashforth fueron desarrollados en el siglo XIX
por el matemático y astrónomo John Adams y el ingeniero y matemático
Francis Bashforth, estos métodos se basan en la idea de utilizar valores
anteriores de la solución para predecir el siguiente valor de la función,
41
permitiendo así la integración de EDOs de manera eciente (Segarra, 2020).
La formulación de estos métodos se deriva de la serie de Taylor, que
proporciona una aproximación polinómica de una función en torno a un
punto dado.
El primer método de Adams-Bashforth, de primer orden, se introdujo
en 1856 como parte de los esfuerzos por mejorar la precisión de los cálculos
en astronomía. Desde entonces, la familia de métodos ha crecido, incluyendo
variantes de orden superior que posibilitan un mayor grado de precisión, lo
que ha contribuido signicativamente al campo de las simulaciones
numéricas.
La relevancia de los predictores de Adams-Bashforth en el ámbito de
los métodos numéricos radica en su simplicidad y ecacia. Estos métodos
condescienden realizar pronósticos rápidos de soluciones a EDOs sin
requerir la evaluación de derivadas de orden superior, lo que los hace
computacionalmente atractivos. Entonces, su capacidad para ser
implementados de manera eciente en algoritmos de predicción-corrección
ha llevado a su adopción en diversas aplicaciones cientícas y de ingeniería.
Los predictores de Adams-Bashforth son especialmente útiles en
situaciones donde se requiere una integración continua y precisa de sistemas
dinámicos, tales como en simulaciones de sistemas físicos, estudios de
dinámica de uidos y modelado de poblaciones en biología. Los métodos de
Adams-Bashforth tienen un amplio espectro de aplicaciones en la resolución
de ecuaciones diferenciales (Sierociński et al., 2025). Desde la simulación de
fenómenos naturales, como la propagación de ondas y el movimiento de
cuerpos celestes, hasta problemas en ingeniería, como la dinámica estructural
y el análisis de circuitos eléctricos, estos métodos se utilizan para resolver
problemas que requieren una aproximación precisa y eciente.
Además, los predictores de Adams-Bashforth se combinan a menudo
con métodos correctores, como el método de Adams-Moulton, lo que faculta
mejorar aún más la precisión de las soluciones. Esta combinación de métodos
hace que los predictores de Adams-Bashforth sean una herramienta
fundamental en la caja de herramientas de los cientícos e ingenieros que
trabajan en el ámbito de la simulación numérica. Los predictores de Adams-
42
Bashforth son métodos numéricos que se utilizan para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDOs) mediante la aproximación de la solución en
puntos discretos. Para entender su funcionamiento, es fundamental explorar
los conceptos matemáticos que subyacen a su desarrollo.
El teorema de Taylor es una herramienta clave en el análisis de
métodos numéricos. Este teorema establece que cualquier función que sea
sucientemente suave puede ser aproximada localmente por un polinomio.
En el contexto de los predictores de Adams-Bashforth, utilizamos la
expansión en serie de Taylor para aproximar la solución de una EDO.
Supongamos que tenemos una función \( y(t) \) que es la solución de la
ecuación diferencial \( y' = f(t, y) \). La expansión de Taylor de \( y(t) \)
alrededor de un punto \( t_n \) se expresa como:
\[
y(t_{n+1}) = y(t_n) + h y'(t_n) + \frac{h^2}{2} y''(t_n) + \frac{h^3}{6} y'''(t_n) +
O(h^4)
\]
donde \( h \) es el tamaño del paso. Al sustituir la derivada \( y' \) por \(
f(t_n, y(t_n)) \) y al evaluar las derivadas sucesivas, podemos construir una
serie de aproximaciones que son la base para los métodos de Adams-
Bashforth.
Los métodos de Adams-Bashforth son, en esencia, métodos multistep
que utilizan información de pasos anteriores para predecir el valor futuro de
la solución. El método más simple, conocido como el método de primer
orden, se puede expresar como:
\[
y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)
43
\]
Siempre que aumentamos el orden del método, incorporamos más
evaluaciones de \( f \) en pasos anteriores. Para ilustrar, el método de
segundo orden se reduce a:
\[
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} (f(t_n, y_n) + f(t_{n-1}, y_{n-1}))
\]
En general, el método de \( k \)-ésimo orden se puede expresar como:
\[
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{k!} \sum_{j=0}^{k-1} b_j f(t_{n-j}, y_{n-j})
\]
donde los coecientes \( b_j \) son determinados por la fórmula del método
y están relacionados con las derivadas sucesivas de la función. Este enfoque
nos faculta obtener soluciones más precisas al utilizar información de
múltiples pasos previos.
Como en cualquier método numérico, es crucial considerar los errores
y la estabilidad, el error de truncamiento de un método de Adams-Bashforth
se puede dividir en error local y error global. El error local se reere a la
discrepancia entre la solución exacta y la aproximación en un solo paso,
mientras que el error global se acumula en múltiples pasos. La estabilidad del
método depende de la elección del tamaño del paso \( h \) y de la naturaleza
de la función \( f(t, y) \). Es importante tener en cuenta que los métodos de
Adams-Bashforth son explícitos y pueden volverse inestables si el paso es
44
demasiado grande o si la ecuación diferencial presenta características duras.
Por lo tanto, el análisis de estabilidad, como el criterio de von Neumann, es
esencial para garantizar que el método proporcione resultados conables.
En síntesis, los fundamentos matemáticos detrás de los predictores de
Adams-Bashforth son esenciales para comprender su implementación y
efectividad en la resolución de ecuaciones diferenciales. Desde la expansión
en serie de Taylor hasta el análisis de errores y estabilidad, estos conceptos
proporcionan el marco necesario para aplicar estos métodos en diversas
aplicaciones cientícas y de ingeniería.
La implementación de los predictores de Adams-Bashforth en Python
es relativamente sencilla gracias a la versatilidad del lenguaje y las bibliotecas
disponibles. Ahora bien, se presenta un ejemplo básico que ilustra cómo se
puede utilizar el método de Adams-Bashforth de primer orden para resolver
una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de la forma \( \frac{dy}{dt} = f(t, y)
\). Consideremos la EDO \( \frac{dy}{dt} = -2y + 1 \) con la condición inicial
\( y(0) = 0 \).
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Denición de la función f(t, y)
def f(t, y):
return -2 y + 1
Método de Adams-Bashforth de primer orden
def adams_bashforth(f, y0, t0, tn, h):
n = int((tn - t0) / h) + 1
t = np.linspace(t0, tn, n)
y = np.zeros(n)
45
y[0] = y0
Primer paso de Euler
y[1] = y[0] + h f(t[0], y[0])
Iteración de Adams-Bashforth
for i in range(1, n - 1):
y[i + 1] = y[i] + (h / 2) (f(t[i], y[i]) + f(t[i - 1], y[i - 1]))
return t, y
Parámetros
t0 = 0.0
tn = 5.0
h = 0.1
y0 = 0.0
Llamada al método
t, y = adams_bashforth(f, y0, t0, tn, h)
Gráca de los resultados
plt.plot(t, y, label='Predicción (Adams-Bashforth)')
plt.title('Solución de EDO usando el método Adams-Bashforth')
plt.xlabel('Tiempo')
plt.ylabel('y(t)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
Este código resuelve la EDO y visualiza los resultados, permitiendo a
los usuarios observar cómo el método de Adams-Bashforth aproxima la
46
solución. Es vital comparar el rendimiento del método de Adams-Bashforth
con otros métodos de resolución de EDOs, como el método de Euler y los
métodos de Runge-Kua. Aun cuando el método de Euler es simple y fácil de
implementar, su precisión es limitada, especialmente para pasos grandes. Por
otro lado, los métodos de Runge-Kua, como el RK4, ofrecen una mayor
precisión, pero a menudo son más costosos computacionalmente.
Si bien Adams-Bashforth es menos preciso que los métodos de Runge-
Kua de orden superior, su ventaja radica en su eciencia en términos de
cálculo, especialmente para problemas donde se requiere una serie de
evaluaciones en un plazo establecido. Los métodos multistep, como Adams-
Bashforth, pueden ser más apropiados en situaciones donde la evaluación de
la función es costosa y se dispone de valores anteriores. Al implementar los
predictores de Adams-Bashforth, hay varias consideraciones que pueden
mejorar la eciencia y precisión del método:
i. Elegir un tamaño de paso adecuado: Un tamaño de paso demasiado
grande puede llevar a resultados imprecisos, en tanto que un
tamaño de paso muy pequeño puede incrementar el tiempo de
cómputo. Es recomendable realizar pruebas preliminares para
encontrar un equilibrio.
ii. Controlar el error: Implementar un método de control de error
puede ser útil para ajustar dinámicamente el tamaño del paso en
función de la precisión deseada.
iii. Combinación con métodos de corrección: Para mejorar la estabilidad y
precisión, se puede considerar utilizar un método de corrección
tras la predicción inicial, como el método de Adams-Moulton.
iv. Aprovechar las bibliotecas numéricas: Existen bibliotecas en Python,
como SciPy, que implementan métodos avanzados para la
resolución de EDOs y pueden ser más ecientes que una
implementación manual.
Siguiendo estas recomendaciones, se puede maximizar el rendimiento
y la aplicabilidad de los predictores de Adams-Bashforth en la resolución de
problemas en ciencia e ingeniería. Los predictores de Adams-Bashforth son
herramientas poderosas que han permitido a cientícos e ingenieros
enfrentar una amplia gama de problemas, su capacidad para ofrecer
47
soluciones precisas y ecientes a ecuaciones diferenciales los convierte en un
componente esencial en el arsenal de métodos numéricos (Sánchez et al.,
2024). La comprensión y correcta implementación de los predictores de
Adams-Bashforth no solo dignicará nuestro conocimiento teórico, sino que
incluso tendrá un impacto signicativo en la práctica de la modelización
matemática en el mundo real.
2.4 Modelo de Lotka-Volterra
El modelo presa-depredador, también conocido como el modelo
Lotka-Volterra, se ha convertido en un punto de partida para desarrollar
nuevos métodos y teoría matemáticas. El modelo antes del extracto es para la
interacción entre los dos tipos, de los cuales uno de ellos tiene muchos
alimentos y otros tipos con solo el suministro de alimentos para causar daños.
También se cree que durante el proceso durante el tiempo, el medio ambiente
no debe cambiar en la dirección que sea beneciosa para cualquier especie y
cada adaptación genética es bastante lenta.
En general, el modelo Lotka-Volterra muestra que las presas están
aumentando exponencialmente en caso de que no haya depredadores y la
tasa de mortalidad de los depredadores en ausencia de sacricios
proporcionales a su población Y(t) con cada muerte debido a la falta de
alimentos, la tasa biológica de los animales de carne depende del número de
daños en cada reunión. Es por eso que en el modelo clásico de Lotka-Volterra,
se considera un entorno de vida que incluye dos tipos de interacción entre sí.
Los tipos de X(t) se llamarán víctimas y no tendrán fuentes de poder
competitivas; otras especies Y(t) llamaremos a los depredadores, tiene X(t) en
su cadena alimenticia
i. Estudio de caso de un modelo Lotka-Volterra (RPubs, 2024):
R
LVmod <- function(Time, State, Pars) {
with(as.list(c(State, Pars)), {
Ingestion <- rIng * Prey * Predator
48
GrowthPrey <- rGrow * Prey * (1 - Prey/K)
MortPredator <- rMort * Predator
dPrey <- GrowthPrey - Ingestion
dPredator <- Ingestion * assE - MortPredator
return(list(c(dPrey, dPredator)))
})
}
Se han determinado los parámetros del modelo (pars) y las
condiciones iniciales (yini), el vector de tiempo (times) está indicado para
modelar las ecuaciones diferenciales realizadas mediante el uso de funciones
ode en el paquete deSolve. Los resultados se almacenan en la instalación,
incluida una breve presentación de los resultados (summary(Out)) (RPubs,
2024):
R
pars <- c(rIng = 0.2, # /day, rate of ingestion
rGrow = 1.0, # /day, growth rate of prey
rMort = 0.2 , # /day, mortality rate of predator
assE = 0.5, # -, assimilation eciency
K = 10) # mmol/m3, carrying capacity
yini <- c(Prey = 1, Predator = 2)
times <- seq(0, 200, by = 1)
out <- ode(yini, times, LVmod, pars)
summary(out)
49
El modelo Lotka-Volterra describe la competencia y las extensiones
multidisciplinarias como el tema de un rico estudio teórico. Ahora bien, su
pronóstico es difícil porque sus parámetros deben medirse en experimentos
competitivos; además, el modelo descrito en el sentido literal de la mejor
competencia con la intervención directa. El reconocimiento de estas
limitaciones ha llevado al desarrollo de una serie de modelos mecánicos
interactivos entre recursos y consumidores, así como otras interacciones,
hasta el día de hoy (Yamauchi, 2025).
El modelo de Lotka–Volterra (LV) es un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias que describe interacciones entre especies,
históricamente célebre por el caso depredador–presa, pero hoy ampliamente
generalizado a competencia, mutualismo, redes trócas y comunidades
grandes. A continuación se presenta una síntesis rigurosa que cubre:
formulación básica, estabilidad y ciclos, puntos de equilibrio,
generalizaciones (multiespecie, competencia en espacio de nicho,
retroalimentación no lineal), efectos de la estructura de interacciones y
discretizaciones consistentes.
Los modelos LV competitivos donde la intensidad de interacción
depende de la distancia en un espacio de nicho, a través de un “kernel” de
interacción, exhiben cambios cualitativos drásticos cuando la transformada
de Fourier del kernel no es positiva denida: emerge una inestabilidad
formadora de patrones, con “clustering” de especies y espaciamientos
característicos en el estado estacionario. Este fenómeno se ha demostrado
analítica y numéricamente para kernels exponenciales estirados y constantes,
con estimaciones del número de especies y sus separaciones en el equilibrio
(Pigoloi et al., 2007). Complementariamente, en sistemas competitivos con
retardo no local y difusión, pueden surgir patrones de Turing (manchas y
franjas). Se han establecido condiciones de bifurcación de Turing y ecuaciones
de amplitud mediante métodos de escalas múltiples, corroboradas con
simulaciones numéricas (Han y Zhi, 2018).
50
Capítulo III
Método de Taylor para resolver ecuaciones
diferenciales
El Método de Taylor es una técnica matemática fundamental utilizada
para aproximar funciones y resolver ecuaciones diferenciales. Esta
metodología se basa en la premisa de que una función puede representarse
como una serie innita de términos, derivados de sus derivadas en un punto
especíco. Con la ayuda de esta representación, es posible obtener una
aproximación de la función en torno a ese punto, lo que resulta especialmente
útil en el contexto de las ecuaciones diferenciales, donde a menudo se buscan
soluciones a problemas que no pueden resolverse de manera analítica.
La importancia del Método de Taylor en la resolución de ecuaciones
diferenciales radica en su capacidad para ofrecer soluciones precisas y
prácticas. En muchos casos, las ecuaciones diferenciales no tienen soluciones
exactas, o estas son difíciles de encontrar. El Método de Taylor faculta a los
académicos y cientícos obtener aproximaciones que pueden ser utilizadas
en la práctica, facilitando así el análisis y la comprensión de fenómenos
complejos en diversas disciplinas, desde la física hasta la biología.
El desarrollo del Método de Taylor se remonta al siglo XVIII, con
contribuciones signicativas de matemáticos como Brook Taylor, quien
formalizó este enfoque en su obra. En el plazo, el método ha evolucionado y
se ha integrado en una amplia gama de aplicaciones, su versatilidad y
efectividad lo han consolidado como una herramienta esencial en el análisis
numérico y en la resolución de problemas matemáticos en general.
3.1 Fundamentos del Método de Taylor
El Método de Taylor es una técnica fundamental en el análisis
numérico que faculta aproximar funciones y resolver ecuaciones diferenciales
mediante el uso de series de potencias. Se basa en la idea de que cualquier
función suave (es decir, que tiene derivadas de todos los órdenes en un
intervalo) puede ser aproximada mediante una serie innita de términos,
51
cada uno de los cuales involucra las derivadas de la función en un punto
especíco (Liebeck, 2016). Esta serie, conocida como serie de Taylor, se
expresa matemáticamente como:
\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots
\]
donde \( a \) es el punto alrededor del cual se realiza la expansión. La
convergencia de esta serie depende de la función en cuestión y de la distancia
entre \( x \) y \( a \).
Para aplicar el Método de Taylor en la resolución de ecuaciones
diferenciales, es esencial calcular las derivadas de la función objetivo. Las
derivadas son fundamentales, ya que cada término de la serie de Taylor
incluye un factor que representa la derivada de la función en el punto \( a \).
Conviene destacar, al resolver una ecuación diferencial del tipo:
\[
\frac{dy}{dx} = f(x, y)
\]
se requiere conocer \( f \) y sus derivadas respecto a \( y \) para construir la
serie que permitirá aproximar la solución \( y(x) \). La serie de Taylor de una
función \( y(x) \) en un punto \( x_0 \) puede ser escrita como:
\[
52
y(x) \approx y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) + \frac{y''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots
\]
Esto faculta obtener valores aproximados de \( y \) en puntos cercanos
a \( x_0 \). El Método de Taylor es una herramienta poderosa, pero su ecacia
depende de ciertas condiciones. En primer lugar, se requiere que la función a
aproximar tenga derivadas continuas hasta el orden necesario en el intervalo
considerado. Además, la serie de Taylor debe converger a la función original
en el rango de interés. Otro aspecto a considerar es la elección del punto de
expansión \( a \). Un punto más cercano al valor donde se desea calcular la
aproximación generalmente proporcionará mejores resultados. Sin embargo,
si la función presenta comportamientos complicados o discontinuidades, el
método puede fallar o proporcionar resultados imprecisos.
Total, los fundamentos del Método de Taylor se basan en la
aproximación de funciones por medio de series de potencias derivadas, lo
que faculta resolver ecuaciones diferenciales de manera efectiva.
Comprender la teoría detrás del método y las condiciones de su aplicabilidad
es esencial para su correcta implementación en problemas matemáticos y
aplicados. La implementación del Método de Taylor en R faculta a los
académicos y estudiantes resolver ecuaciones diferenciales de manera
efectiva, aprovechando la potencia de este lenguaje de programación
orientado a datos (Vergel et al., 2022).
Antes de comenzar con la implementación del Método de Taylor, es
fundamental asegurarse de que tenemos instalados los paquetes necesarios.
Para la mayoría de las aplicaciones de ecuaciones diferenciales, el paquete
deSolve es una opción robusta, aunque también se pueden utilizar otros
paquetes que facilitan la manipulación de funciones y derivadas. Para instalar
deSolve, así como cualquier otro paquete que consideres útil, puedes utilizar
el siguiente comando en la consola de R:
R
53
install.packages("deSolve")
Una vez que el paquete esté instalado, es importante cargarlo en tu
sesión de R:
R
library(deSolve)
El Método de Taylor se basa en la aproximación de funciones mediante
series de Taylor. En el contexto de R, normalmente se usa para resolver
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). La sintaxis básica para
implementar el método implica denir la función que representa la EDO y
luego utilizar la función ode() del paquete deSolve, que faculta integrar
numéricamente la ecuación, se presenta un esquema básico de cómo
estructurar el código:
a. Denir la función que describe la EDO.
b. Especicar las condiciones iniciales.
c. Denir el intervalo de tiempo para la solución.
d. Llamar a la función ode() para obtener la solución.
Un ejemplo de esta estructura sería:
R
Denición de la EDO
modelo <- function(t, y, parms) {
dy <- y Ejemplo simple: dy/dt = y
return(list(dy))
54
}
Condiciones iniciales
y0 <- 1 Valor inicial
tiempo <- seq(0, 5, by = 0.1) Intervalo de tiempo
Integración
solucion <- ode(y = y0, times = tiempo, func = modelo, parms = NULL)
Visualización de resultados
plot(solucion[, "time"], solucion[, "y"], type = "l", xlab = "Tiempo", ylab = "y(t)",
main = "Solución de la EDO usando el Método de Taylor")
Para ilustrar la aplicación del Método de Taylor en R, consideremos la
ecuación diferencial sencilla:
\[
\frac{dy}{dt} = -2y
\]
Con la condición inicial \( y(0) = 1 \). La solución analítica de esta
ecuación es \( y(t) = e^{-2t} \). Sin embargo, utilizaremos el Método de Taylor
para aproximar esta solución. El código para resolver esta EDO utilizando el
Método de Taylor sería:
R
Denición de la EDO
modelo <- function(t, y, parms) {
dy <- -2 y dy/dt = -2y
55
return(list(dy))
}
Condiciones iniciales
y0 <- 1 Valor inicial
tiempo <- seq(0, 5, by = 0.1) Intervalo de tiempo
Integración
solucion <- ode(y = y0, times = tiempo, func = modelo, parms = NULL)
Visualización de resultados
plot(solucion[, "time"], solucion[, "y"], type = "l", xlab = "Tiempo", ylab = "y(t)",
main = "Solución de la EDO usando el Método de Taylor")
lines(tiempo, exp(-2 tiempo), col = "red", lty = 2) Solución analítica
legend("topright", legend = c("Método de Taylor", "Solución Analítica"), col =
c("black", "red"), lty = c(1, 2))
En este ejemplo, la línea negra representa la solución aproximada
obtenida mediante el Método de Taylor, pese a que la línea roja muestra la
solución analítica. Como se puede observar, ambas soluciones son bastante
cercanas, lo que valida la efectividad del método. Con esta implementación
básica, puedes adaptar y expandir el uso del Método de Taylor en R para
resolver ecuaciones diferenciales más complejas, lo que te permitirá
profundizar en el análisis y la simulación de diversos fenómenos en la
investigación.
El Método de Taylor tiene diversas aplicaciones en la investigación
cientíca y en la ingeniería. Su capacidad para proporcionar aproximaciones
precisas lo convierte en un recurso valioso en campos como la física, la
biología matemática y la economía, donde las ecuaciones diferenciales son
comunes. Mediante la utilización de este método, los académicos pueden
modelar fenómenos naturales, optimizar sistemas y realizar simulaciones
que requieren un alto grado de precisión. Además, su implementación en
56
entornos computacionales como R faculta un análisis más eciente y
accesible, lo que amplía su uso en la comunidad cientíca.
Las investigaciones en profundidad deben centrarse en el desarrollo
de algoritmos más ecientes que integren el método con técnicas modernas
de aprendizaje automático y análisis de datos. Esto podría abrir nuevas
posibilidades en la resolución de ecuaciones diferenciales complejas,
facilitando su aplicación en áreas emergentes como la inteligencia articial y
la modelización de sistemas dinámicos. En denitiva, el Método de Taylor no
solo es una técnica fundamental en matemáticas y ciencias aplicadas, sino que
de igual manera promete seguir siendo relevante en el corto plazo,
adaptándose a las necesidades cambiantes de la investigación
contemporánea.
3.2 Método de Ralston: Resolución de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias con R
El método de Ralston se ha consolidado como una herramienta
fundamental en el ámbito de la resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDO). Su desarrollo histórico, junto con sus aplicaciones
prácticas, lo convierten en un tema relevante tanto para estudiantes como
para profesionales en diversas disciplinas. Ralston en la década de 1960. Su
creación se enmarca dentro de un contexto más amplio de búsqueda de
técnicas numéricas ecientes para resolver EDO, un tema que ha captado la
atención de matemáticos y cientícos desde hace siglos. Historicamente,
diversos métodos han sido desarrollados, pero el enfoque de Ralston se
destacó por su simplicidad y ecacia. Este método se basa en la idea de
aproximar la solución de una EDO utilizando un esquema de Runge-Kua
de segundo orden, lo que faculta obtener resultados precisos con un menor
número de evaluaciones de la función.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son fundamentales en la
modelización de fenómenos naturales y en la descripción de sistemas
dinámicos en campos como la física, la ingeniería y la biología. Sin embargo,
muchas de estas ecuaciones no pueden resolverse analíticamente, lo que hace
que los métodos numéricos sean esenciales. El método de Ralston se ha
convertido en una opción popular debido a su capacidad para ofrecer
57
soluciones aproximadas de manera eciente y con un error controlado. Como
resultado, su uso se ha expandido en diversas aplicaciones prácticas que
requieren soluciones rápidas y conables.
El método de Ralston es un procedimiento numérico diseñado para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de la forma \( y' = f(x, y)
\). Fue propuesto por el matemático Robert Ralston en 1963 como una
variante de los métodos de Runge-Kua. Este método se categoriza como un
método de orden dos, lo que signica que proporciona una aproximación que
es más precisa que los métodos de primer orden, como el método de Euler.
La esencia del método de Ralston radica en la elección de dos puntos en el
intervalo de integración para calcular una aproximación de la solución. Estos
puntos se determinan mediante la fórmula:
- \( k_1 = f(x_n, y_n) \)
- \( k_2 = f(x_n + \frac{3h}{4}, y_n + \frac{3h}{4} k_1) \)
donde \( h \) es el tamaño del paso y \( k_1 \) y \( k_2 \) son las pendientes
calculadas en los puntos seleccionados. La aproximación de la solución se
obtiene luego mediante la fórmula:
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{4} k_1 + \frac{3h}{4} k_2 \]
Este enfoque faculta que el método de Ralston logre un equilibrio entre
la precisión y la eciencia computacional. Al comparar el método de Ralston
con otros métodos numéricos, como el método de Euler y el clásico método
de Runge-Kua de cuarto orden, se pueden observar diferencias
signicativas en términos de precisión y tasa de convergencia.
- Método de Euler: Es un método de primer orden que, no obstante es
simple y fácil de implementar, tiende a ser inexacto para intervalos de
integración grandes o funciones altamente no lineales. Su
58
aproximación es lineal y, por lo general, requiere pasos más pequeños
para obtener resultados aceptables.
- Método de Runge-Kua de cuarto orden: Este método proporciona
una mayor precisión, ya que utiliza cuatro evaluaciones de la función
por paso. Sin embargo, al igual es más computacionalmente costoso,
lo que puede ser un factor limitante en problemas que requieren
muchas iteraciones.
El método de Ralston, al ser un método de segundo orden, se sitúa en
un punto intermedio, ofreciendo un compromiso favorable entre precisión y
eciencia, esto lo hace especialmente útil en situaciones donde se necesita una
solución rápida, pero con una precisión razonable; presenta varias ventajas,
así como algunas desventajas que es importante considerar al elegir un
método para la resolución de EDOs (Devia et al., 2020).
La implementación del método es relativamente sencilla, lo que lo hace
accesible para aquellos que están comenzando a trabajar con métodos
numéricos. Al ser un método de segundo orden, faculta obtener resultados
con una precisión razonable sin la necesidad de múltiples evaluaciones de la
función en cada paso. Comparado con métodos de mayor orden, como el de
Runge-Kua de cuarto orden, el método de Ralston requiere menos cálculos
por paso, lo que puede ser benecioso en términos de tiempo de ejecución.
Si bien es más preciso que el método de Euler, puede no ser suciente
para problemas donde se requieren altos niveles de precisión, especialmente
en intervalos de integración grandes. La calidad de la solución depende en
gran medida del tamaño del paso \( h \). Pasos demasiado grandes pueden
llevar a errores signicativos, aun cuando pasos demasiado pequeños
pueden aumentar el tiempo de cálculo sin una mejora proporcional en la
precisión. Existen casos especícos, como problemas rígidos, donde este
método puede no ser la mejor opción debido a su estabilidad.
En teoría, el método de Ralston es una herramienta poderosa en el
arsenal de los métodos numéricos para la resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias, ofreciendo un buen equilibrio entre simplicidad y
efectividad. La implementación del método de Ralston en el lenguaje de
programación R faculta a los académicos y profesionales resolver ecuaciones
59
diferenciales ordinarias (EDO) de manera eciente y ecaz. Antes de
comenzar a implementar el método de Ralston, es importante asegurarse de
que se tienen instalados los paquetes necesarios en R. La mayoría de las
funciones esenciales para la manipulación de datos y la visualización se
encuentran en los paquetes base, pero es recomendable instalar y cargar
algunos paquetes adicionales para facilitar el proceso. En este caso, se
utilizará el paquete ggplot2 para la visualización gráca de los resultados.
R
Instalación de ggplot2 si no está ya instalado
if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
install.packages("ggplot2")
}
Cargar el paquete
library(ggplot2)
El método de Ralston se basa en un esquema de dos pasos que utiliza
un valor intermedio para obtener una aproximación más precisa de la
solución de una EDO.
R
Función para implementar el método de Ralston
ralston_method <- function(f, y0, x0, h, n) {
Inicializamos vectores para almacenar los valores de X y Y
x_values <- numeric(n + 1)
y_values <- numeric(n + 1)
Asignamos los valores iniciales
60
x_values[1] <- x0
y_values[1] <- y0
Aplicamos el método de Ralston
for (i in 1:n) {
x <- x_values[i]
y <- y_values[i]
k1 <- h f(x, y)
k2 <- h f(x + 0.5 h, y + 0.5 k1)
y_values[i + 1] <- y + (k1 + 2 k2) / 3
x_values[i + 1] <- x + h
}
return(data.frame(x = x_values, y = y_values))
}
En esta función, f es la función que dene la EDO, y0 es el valor inicial
de la variable dependiente, x0 es el valor inicial de la variable independiente,
h es el tamaño del paso y n es el número de pasos a realizar. Para ilustrar la
implementación del método de Ralston, consideremos la EDO simple:
\[
\frac{dy}{dx} = y
\]
con la condición inicial \(y(0) = 1\). Queremos aproximar la solución en el
intervalo [0, 1] con un tamaño de paso \(h = 0.1\).
61
R
Denimos la función que representa la EDO
f <- function(x, y) {
return(y)
}
Parámetros iniciales
y0 <- 1
x0 <- 0
h <- 0.1
n <- 10
Ejecutamos el método de Ralston
result <- ralston_method(f, y0, x0, h, n)
Visualizamos los resultados
ggplot(result, aes(x = x, y = y)) +
geom_line(color = "blue") +
labs(title = "Solución de la EDO usando el método de Ralston",
x = "x",
y = "y") +
theme_minimal()
Este código genera una gráca que muestra la solución aproximada de
la EDO en el intervalo especicado. A partir de este ejemplo, podemos ver
cómo el método de Ralston se implementa de manera efectiva en R,
proporcionando una herramienta poderosa para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias en diversas aplicaciones. El método de Ralston, como
técnica numérica para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
62
(EDO), ha encontrado un amplio espectro de aplicaciones en diversas
disciplinas. En el campo de la ingeniería, el método de Ralston se utiliza
frecuentemente para modelar y resolver problemas relacionados con
sistemas dinámicos. En efecto, en la ingeniería mecánica, se puede aplicar
para analizar el movimiento de cuerpos bajo la inuencia de fuerzas externas.
Un caso típico es el estudio del movimiento de un péndulo, donde las
ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento pueden ser
resueltas ecientemente utilizando el método de Ralston, permitiendo a los
ingenieros predecir la posición y velocidad del péndulo en cualquier instante
de tiempo.
A su vez, en la ingeniería eléctrica, el método se utiliza en el análisis
de circuitos eléctricos que involucran componentes como resistores,
capacitores e inductores. Las ecuaciones diferenciales que representan el
comportamiento de estos circuitos pueden ser complejas, pero el método de
Ralston faculta obtener soluciones numéricas de manera rápida y precisa,
facilitando la optimización de diseños y la simulación de respuestas a
diferentes condiciones de entrada.
El ámbito de la economía y las nanzas también se benecia del
método de Ralston, particularmente en la modelización de fenómenos
dinámicos como el crecimiento económico o la uctuación de precios. En
particular, en modelos de crecimiento, se pueden emplear ecuaciones
diferenciales para describir cómo varía la producción en función del tiempo
en respuesta a inversiones o cambios en la mano de obra. El método de
Ralston faculta a los economistas simular diferentes escenarios y proyectar el
impacto de políticas económicas.
Asimismo, en la evaluación de opciones nancieras y derivados,
donde los precios de los activos siguen dinámicas complejas, se pueden
utilizar ecuaciones diferenciales estocásticas. Con la ayuda del método de
Ralston, es posible aproximar soluciones que permitan a los analistas tomar
decisiones informadas sobre la compra o venta de activos, maximizando así
sus retornos.
Para ilustrar la versatilidad del método de Ralston, se pueden
considerar estudios de casos en los que este ha sido implementado con éxito.
63
Un ejemplo notable es el modelado de la propagación de enfermedades
infecciosas, donde se utilizan ecuaciones diferenciales para describir la
dinámica entre la población susceptible, infectada y recuperada. La
aplicación del método de Ralston faculta a los académicos realizar
simulaciones que ayudan a predecir la evolución de brotes y evaluar la
efectividad de intervenciones de salud pública.
Otro caso es el análisis de sistemas ecológicos, donde se modelan
interacciones entre especies y su entorno. Las ecuaciones que rigen estos
sistemas a menudo son no lineales y difíciles de resolver analíticamente. El
método de Ralston proporciona una herramienta numérica robusta para
obtener soluciones aproximadas, lo que facilita la comprensión de la
dinámica ecológica y la planicación de estrategias de conservación.
Ahora bien, el método de Ralston se ha consolidado como una técnica
valiosa en diversas disciplinas, desde la ingeniería y las ciencias físicas hasta
la economía y la ecología. Su capacidad para proporcionar soluciones
numéricas efectivas a ecuaciones diferenciales complejas lo convierte en una
herramienta esencial para académicos y profesionales en múltiples campos.
El método de Ralston se presenta como una herramienta valiosa para aquellos
que enfrentan la tarea de resolver ecuaciones diferenciales de forma
numérica. Su capacidad para generar soluciones precisas y su relativa
simplicidad lo convierten en una opción atractiva para académicos y
profesionales. Sin embargo, es crucial considerar sus limitaciones y evaluar si
es el enfoque más adecuado en función de las características del problema
especíco a tratar.
Entonces, sería interesante explorar versiones adaptativas del método
que permitan una mayor exibilidad en la selección de pasos, lo que podría
resultar en una optimización de los recursos computacionales utilizados.
Total, el método de Ralston no solo es una herramienta establecida, sino que
incluso representa un campo fértil para nacientes exploraciones en la
resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
3.3 Ecuaciones explicitas de primer orden
Las ecuaciones explícitas de primer orden constituyen una de las
formas más fundamentales y utilizadas en el ámbito de las matemáticas y la
64
ciencia aplicada. Estas ecuaciones son esenciales para comprender el
comportamiento de diversos fenómenos en la naturaleza y en múltiples
disciplinas, desde la física hasta la economía. En términos generales, una
ecuación explícita de primer orden se puede expresar en forma de una
función que relaciona una variable independiente con una variable
dependiente, sin involucrar derivadas de orden superior (Herrera, 2024). Esto
signica que la ecuación se puede escribir de manera que la variable
dependiente esté aislada en uno de los lados de la igualdad, permitiendo una
interpretación directa y sencilla de la relación entre las dos variables.
El estudio de las ecuaciones explícitas de primer orden es crucial, ya
que no solo proporciona las bases para resolver problemas matemáticos, sino
que también faculta modelar situaciones del mundo real de una manera que
se puede analizar y predecir. Conviene destacar, en física, estas ecuaciones
pueden describir el movimiento de un objeto bajo ciertas condiciones, en
tanto que en economía pueden utilizarse para modelar la relación entre oferta
y demanda.
Una ecuación explícita de primer orden es una relación matemática
que expresa de forma directa una variable dependiente en función de una o
más variables independientes. Generalmente, tiene la forma \( y = f(x) \),
donde \( y \) representa la variable dependiente y \( f(x) \) es una función
bien denida que describe cómo \( y \) varía con respecto a \( x \). Esta
claridad en la representación faculta que los valores de \( y \) puedan
calcularse fácilmente para cualquier valor dado de \( x \).
Las ecuaciones explícitas de primer orden presentan varias
propiedades características que son fundamentales para su estudio y
aplicación. En primer lugar, pueden ser lineales o no lineales, dependiendo
de la forma de la función \( f(x) \). Las ecuaciones lineales son aquellas en
las que la función es de primer grado, como \( y = mx + b \), mientras que las
no lineales pueden incluir términos cuadráticos, cúbicos o cualquier otro tipo
de función que no siga esta forma lineal (Varona, 1996).
Otra propiedad importante es que estas ecuaciones pueden ser
unidimensionales, donde una sola variable independiente se relaciona con
una variable dependiente, o multidimensionales, donde múltiples variables
65
independientes interactúan para determinar el valor de \( y \). A su vez, las
ecuaciones explícitas facultan derivar fácilmente la pendiente de la función,
lo cual es esencial en el análisis de tasas de cambio y en la comprensión de la
relación entre las variables. Para ilustrar mejor el concepto de ecuaciones
explícitas de primer orden, consideremos algunos ejemplos prácticos:
i. Ecuación lineal: \( y = 2x + 3 \). En este caso, para cada valor de \(
x \), podemos calcular rápidamente el correspondiente valor de \(
y \). La pendiente de la función es 2, lo que indica que por cada
unidad que aumenta \( x \), \( y \) todavía aumenta en 2
unidades.
ii. Ecuación cuadrática: \( y = x^2 - 4x + 5 \). Aunque es una ecuación
no lineal, sigue siendo explícita, ya que \( y \) está expresado
directamente en función de \( x \). Podemos encontrar los valores
de \( y \) para diferentes \( x \) y analizar la forma de la parábola
resultante.
iii. Ecuación exponencial: \( y = e^{0.5x} \). Este ejemplo muestra cómo
las ecuaciones explícitas pueden incluir funciones exponenciales,
que son comunes en diversos contextos, como el crecimiento
poblacional o la acumulación de intereses.
Estos ejemplos demuestran la versatilidad y utilidad de las ecuaciones
explícitas de primer orden en diferentes contextos matemáticos y cientícos,
proporcionando una base sólida para el análisis y la resolución de problemas
en diversas disciplinas. El método gráco consiste en representar la ecuación
en un plano cartesiano y observar las intersecciones con los ejes o entre las
curvas. Para resolver una ecuación explícita de primer orden, se puede
gracar la función que representa la ecuación y analizar cómo se comporta
en diferentes intervalos.
Este método es particularmente útil para visualizar soluciones y
entender la naturaleza de la función. Para ilustrar, si tenemos una ecuación
lineal como \( y = mx + b \), podemos trazar la recta y encontrar fácilmente
la solución en los puntos donde esta cruza el eje \( x \) o \( y \). Sin embargo,
este método puede ser limitado en precisión y es menos efectivo para
ecuaciones más complejas o no lineales.
66
El método algebraico implica manipular la ecuación para despejar la
variable dependiente, este proceso puede incluir operaciones como la suma,
resta, multiplicación y división, así como la aplicación de propiedades
algebraicas. En particular, para una ecuación explícita simple como \( y = 2x
+ 3 \), se puede despejar \( x \) si se necesita encontrar el valor de \( x \) en
función de \( y \). Este enfoque es más directo y puede proporcionar
resultados más precisos, especialmente cuando se utilizan técnicas de
factorización o sustitución. Sin embargo, algunas ecuaciones pueden ser más
complicadas y requerir más tiempo y esfuerzo en su resolución.
En la era digital, el uso de software para resolver ecuaciones explícitas
de primer orden se ha vuelto cada vez más común. Existen diversas
herramientas y programas, como MATLAB, Python con bibliotecas como
NumPy y SciPy, o incluso calculadoras grácas avanzadas, que consienten a
los usuarios ingresar ecuaciones y obtener soluciones de manera rápida y
eciente. Estas herramientas son especialmente valiosas para ecuaciones que
son difíciles de resolver a mano o que requieren cálculos extensos. El uso de
software no solo acelera el proceso de resolución, sino que todavía minimiza
errores humanos y faculta realizar análisis más complejos, como la
simulación de diferentes escenarios o el estudio de la sensibilidad de las
soluciones ante variaciones en los parámetros.
Por ende, la elección del método de resolución de ecuaciones explícitas
de primer orden dependerá del tipo de ecuación, la complejidad del
problema y la preferencia del usuario. Cada uno de estos métodos ofrece
herramientas valiosas para abordar y resolver ecuaciones en diversos
contextos. Las ecuaciones explícitas de primer orden son herramientas
matemáticas fundamentales que encuentran aplicaciones en diversas
disciplinas. Su capacidad para modelar relaciones simples y directas entre
variables las convierte en un recurso valioso en campos como la física, la
economía y la ingeniería.
En la física, las ecuaciones explícitas de primer orden son utilizadas
para describir fenómenos que involucran relaciones lineales. En efecto, en la
cinemática, la ecuación de posición de un objeto en movimiento rectilíneo
uniforme puede expresarse como \( x(t) = x_0 + vt \), donde \( x(t) \) es la
posición en el tiempo \( t \), \( x_0 \) es la posición inicial y \( v \) es la
67
velocidad constante. Estas ecuaciones facultan predecir el comportamiento
de los objetos en movimiento y son esenciales en la resolución de problemas
relacionados con la trayectoria y el desplazamiento.
En el ámbito económico, las ecuaciones explícitas de primer orden son
frecuentemente utilizadas para modelar relaciones entre variables
económicas. Un ejemplo clásico es la función de demanda, que puede
representarse como \( D(p) = a - bp \), donde \( D \) es la cantidad
demandada, \( p \) es el precio del bien, y \( a \) y \( b \) son constantes
que reejan la relación entre precio y cantidad. Estas ecuaciones posibilitan a
los economistas analizar el comportamiento del mercado y facilitan la toma
de decisiones sobre precios y producción.
La ingeniería de igual manera se benecia de las ecuaciones explícitas
de primer orden, especialmente en áreas como la ingeniería eléctrica y
mecánica. Así como, en circuitos eléctricos, la ley de Ohm puede expresarse
como \( V = IR \), donde \( V \) es la tensión, \( I \) es la corriente y \( R \)
es la resistencia. Esta relación es fundamental para el diseño y análisis de
circuitos. En la ingeniería mecánica, las ecuaciones que describen la relación
entre fuerza, masa y aceleración, como \( F = ma \), son ejemplos de cómo
estas ecuaciones se aplican para resolver problemas prácticos.
En contexto, las ecuaciones explícitas de primer orden son
herramientas versátiles que se aplican en múltiples disciplinas para modelar
y resolver problemas de manera efectiva. Su capacidad para representar
relaciones directas entre variables las hace indispensables en la física, la
economía y la ingeniería, contribuyendo así al avance de estas áreas del
conocimiento.
3.4 Crecimiento logístico
El término correcto en dinámica de poblaciones es “crecimiento
logístico” (no “logit”). El “logit” es una transformación estadística usada en
regresión logística, el término logístico aparece como autorregulación
intraespecíca en modelos de comunidades. Es decir, en sistemas de Lotka–
Volterra generalizados, la autorregulación aii<0 induce estabilización y
reemplaza las oscilaciones neutrales del caso depredador–presa ideal por
atracción a estados estacionarios, bajo condiciones de estabilidad global. Esto
68
justica añadir términos “logísticos” (densodependencia negativa) al
modelar interacciones multiespecie para obtener dinámica realista y
estable (Gopalsamy, 1986).
Además, cuando la interacción entre especies y la retroalimentación
ecológica son no lineales y saturantes, la estabilidad y diversidad del
equilibrio aumentan respecto al caso lineal clásico, mitigando inestabilidades
en comunidades complejas; en términos prácticos, respuestas saturantes
pueden desempeñar un papel análogo a una “capacidad efectiva” que acota
el crecimiento y estabiliza la comunidad (Sidhom y Galla, 2019). El
crecimiento logístico se recomienda en los siguientes casos:
• Si analizas series temporales de una sola población con claro límite de
recursos, comienza con el modelo logístico clásico y evalúa residuales.
• Si observas asimetría marcada o punto de inexión, prueba una
sigmoide generalizada tipo Birch para conservar el régimen
exponencial inicial y mejorar el ajuste.
• Si el sistema exhibe agregación espacial o dispersión local, emplea una
formulación logística espacial o de momentos; el modelo no espacial
puede sesgar tasas y capacidades efectivas.
• En comunidades, incorpora autorregulación (términos “logísticos”) y
considera no linealidades saturantes para robustecer la estabilidad del
equilibrio.
El crecimiento logístico clásico ignora la estructura espacial, con
dispersión y competencia local, pues, el crecimiento efectivo puede desviarse
fuertemente del modelo no espacial: tasas máximas a densidades distintas,
densidades asintóticas mayores o menores, e incluso extinción bajo ciertos
patrones espaciales. Estos efectos emergen al modelar momentos espaciales
o mediante modelos individuales con clausuras apropiadas. En consecuencia,
si hay agregación o repulsión espacial, conviene emplear una versión
logística espacial o aproximaciones de momentos para obtener predicciones
realistas (Calvo et al., 2025).
El crecimiento exponencial solo es posible cuando hay un recurso natural
interminable; esto no sucede en el mundo real, así, Charles Darwin se dio
69
cuenta de esta realidad en la descripción de su "lucha por la existencia", que
declaró que las personas competirían (con miembros de su especie u otras)
por recursos limitados. Las personas exitosas existirán para transmitir sus
propias características y características (que ahora sabemos que son
transmitidas por genes) en una generación más alta a una velocidad mayor:
un proceso llamado selección natural, y ara simular los recursos reales, el
entorno ha desarrollado un modelo de desarrollo logístico.
El modelo de logística muestra que todos en la población tendrán el
mismo acceso a los recursos y, por lo tanto, sobrevivientes similares, pues, la
diferencia de fenotipos en las personas muestra que algunas se adaptarán
mejor al entorno que otras, da la capacidad de los resultados entre los
miembros de la misma población para recursos (capacidad). La competencia
interna en los recursos puede no afectar a la población mucho más baja que
su carga, porque los recursos son ricos y todos pueden obtener lo que
necesitan. No obstante, a medida que aumentó la población, esta competencia
se fortaleció, por lo que la acumulación de residuos puede reducir la carga
del entorno.
70
Capítulo IV
Ecuaciones en las que la derivada aparece
implícitamente
Las ecuaciones implícitas son una parte fundamental del estudio del
cálculo y la geometría analítica. A diferencia de las ecuaciones explícitas,
donde una variable se expresa claramente en función de otra, las ecuaciones
implícitas presentan una relación más compleja entre las variables, lo que
puede dicultar su análisis y representación gráca. En este contexto, la
capacidad de trabajar con derivadas implícitas se convierte en una
herramienta esencial para matemáticos y estudiantes, ya que faculta extraer
información valiosa sobre el comportamiento de funciones que no pueden ser
fácilmente descritas de manera directa.
En las ecuaciones implícitas, generalmente se tiene una relación de la
forma \( F(x, y) = 0 \), donde \( F \) es una función que involucra tanto a \(
x \) como a \( y \). Esta forma de expresar relaciones entre variables es
común en diversas aplicaciones de la matemática, incluyendo la física, la
economía y la ingeniería. La derivación implícita surge como un método
poderoso para encontrar la tasa de cambio de una variable respecto a otra en
el contexto de estas ecuaciones, este enfoque no solo amplía nuestra
comprensión de las funciones, sino que incluso facilita la solución de
problemas en los que no es posible despejar una variable de manera directa
(Nova, 2016).
Las ecuaciones implícitas son aquellas que no expresan directamente
una variable en términos de otra; en vez de ello, relacionan dos o más
variables Por medio de una igualdad, en efecto, la ecuación de un círculo,
\(x^2 + y^2 = r^2\), se considera implícita porque no podemos despejar \(y\)
de forma sencilla para expresar \(y\) como una función de \(x\). Esta forma
de representar relaciones entre variables es fundamental en diversas áreas de
las matemáticas, especialmente en el cálculo y la geometría.
71
4.1 Ecuaciones explícitas e implícitas
El concepto de ecuaciones implícitas se centra en la idea de que las
relaciones entre las variables pueden ser más complejas y no siempre se
prestan a una forma explícita. Una ecuación implícita puede contener
múltiples variables y puede describir curvas, supercies, y otras formas
geométricas que no se pueden representar fácilmente en una forma \(y =
f(x)\). Estas ecuaciones brindan un marco para la comprensión de fenómenos
que no se pueden descomponer en una única función.
La diferencia principal entre ecuaciones explícitas e implícitas radica
en la forma en que se presenta la relación entre las variables. En una ecuación
explícita, como \(y = mx + b\), la variable dependiente \(y\) se aísla y se
expresa directamente en función de la variable independiente \(x\). Por otro
lado, en una ecuación implícita, como \(F(x, y) = 0\), ambas variables están
interrelacionadas de manera más compleja, lo que puede dicultar el
aislamiento de una variable sobre la otra.
En geometría, las ecuaciones implícitas son esenciales para describir
formas y curvas que no se limitan a funciones lineales o polinomiales simples.
Para ilustrar, muchas supercies en el espacio tridimensional se describen
mediante ecuaciones implícitas, lo que faculta una representación más rica y
diversa de la geometría. Además, el estudio de estas ecuaciones abre la puerta
a la exploración de conceptos más avanzados, como las variedades y las
supercies diferenciables, que son fundamentales en campos como la
topología y la geometría diferencial.
Ahora bien, las ecuaciones implícitas son una herramienta poderosa
en el arsenal matemático, ofreciendo una forma de abordar problemas
complejos y enriqueciendo nuestra comprensión de las relaciones entre
variables. La derivación implícita es una técnica fundamental en el cálculo,
especialmente cuando se trabaja con ecuaciones en las que la variable
dependiente no está aislada.
La regla de la cadena es un principio esencial en la derivación, y su
aplicación en el contexto de ecuaciones implícitas nos faculta calcular
derivadas sin necesidad de despejar la variable dependiente (Jara, 2016).
Cuando se tiene una ecuación que relaciona dos o más variables, como \( F(x,
72
y) = 0 \), donde \( y \) es una función de \( x \), la derivada de esta ecuación
con respecto a \( x \) se puede calcular utilizando la regla de la cadena de la
siguiente manera:
- Derivamos \( F(x, y) \) con respecto a \( x \): esto implica usar la regla
de la cadena para la parte que involucra \( y \), ya que \( y \) es una
función de \( x \). Por lo tanto, al derivar \( F \) con respecto a \( x
\), se obtiene \( \frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} +
\frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \).
- Igualamos esta derivada a cero: ya que \( F(x, y) = 0 \) es constante.
Esto nos dará una ecuación que podemos resolver para \(
\frac{dy}{dx} \).
Este método es especialmente útil para ecuaciones complicadas donde
despejar \( y \) podría ser difícil o imposible. Veamos un par de ejemplos
para ilustrar el proceso de derivación implícita:
i. Ejemplo 1: Consideremos la ecuación \( x^2 + y^2 = 25 \), que
representa un círculo de radio 5. Para encontrar \( \frac{dy}{dx} \):
- Derivamos ambos lados con respecto a \( x \):
\[
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0
\]
- Despejamos \( \frac{dy}{dx} \):
\[
2y \frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
\]
ii. Ejemplo 2: Tomemos la ecuación \( e^x + y^2 = 3y \). Al derivar, obtenemos:
73
- Derivando:
\[
e^x + 2y \frac{dy}{dx} = 3 \frac{dy}{dx}
\]
- Reorganizando:
\[
e^x = 3 \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} \implies e^x = (3 - 2y) \frac{dy}{dx}
\]
- Finalmente:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{3 - 2y}
\]
Estos ejemplos muestran cómo la derivación implícita faculta
encontrar la derivada sin necesidad de expresar \( y \) en términos de \( x
\). La derivación implícita tiene numerosas aplicaciones prácticas en diversos
campos de la ciencia y la ingeniería. Algunas de estas aplicaciones incluyen:
- Modelado de fenómenos físicos: Muchas leyes de la física se expresan
como ecuaciones implícitas que describen la relación entre diferentes
variables. En particular, la ecuación de estado de un gas ideal puede ser
tratada de esta manera.
- Optimización: En problemas de optimización donde las variables están
interrelacionadas, como en la economía o la biología, la derivación implícita
faculta encontrar tasas de cambio que son esenciales para maximizar o
minimizar funciones.
- Geometría analítica: La derivación implícita se utiliza para determinar
pendientes de tangentes a curvas no necesariamente expresadas en forma
explícita, facilitando el estudio de sus propiedades geométricas.
74
La comprensión y aplicación de la derivación implícita no solo es
crucial para resolver problemas matemáticos, sino que también es
fundamental en la aplicación de conceptos en diversas disciplinas cientícas.
Uno de los errores más comunes al trabajar con derivadas implícitas es la falta
de atención a la regla de la cadena. Esto ocurre cuando los estudiantes no
consideran que una variable puede depender de otra. Así como, al derivar
una función como \( F(x, y) = 0 \), es crucial recordar que \( y \) es una
función de \( x \), lo que implica que al derivar \( y \) respecto a \( x \) se
debe aplicar la regla de la cadena.
Otro error frecuente es el descuido en el manejo de los signos, en
ocasiones, los estudiantes pueden olvidar cambiar el signo al trasladar
términos de un lado de la ecuación al otro, lo que puede llevar a resultados
incorrectos en la derivada nal. Para abordar las ecuaciones implícitas de
manera efectiva, es útil seguir un enfoque sistemático. Aquí hay algunos
consejos prácticos:
i. Identicar claramente la variable dependiente: Antes de comenzar a
derivar, asegúrate de saber cuál variable se considera dependiente
y cuál es independiente. Esto ayudará a aplicar correctamente la
regla de la cadena.
ii. Realizar pasos intermedios: No dudes en escribir cada paso de la
derivación de manera explícita. Esto facilitará la detección de
errores y permitirá comprender mejor el proceso de derivación.
iii. Vericar resultados: Después de obtener una derivada implícita, es
recomendable vericar los resultados sustituyendo valores
conocidos o utilizando otras técnicas de derivación, si es posible.
iv. Practicar con ejemplos diversos: La práctica es esencial para dominar
la derivación implícita. Trabajar con una variedad de ejemplos te
ayudará a familiarizarte con diferentes formas de ecuaciones y sus
derivadas.
Existen diversas herramientas y recursos que pueden facilitar el
aprendizaje y la práctica de las derivadas implícitas. Algunas de estas
incluyen:
75
i. Software de cálculo simbólico: Programas como Wolfram Alpha,
MATLAB o GeoGebra pueden ayudar a visualizar ecuaciones y
vericar derivadas. Estas herramientas son útiles para comprobar
el trabajo y explorar diferentes ecuaciones implícitas.
ii. Tutoriales en línea: Plataformas como Khan Academy y YouTube
ofrecen tutoriales detallados sobre la derivación implícita, lo que
puede ser especialmente útil para quienes preeren el aprendizaje
visual.
iii. Libros de texto y guías de estudio: Existen numerosos libros que
abordan el cálculo y la derivación implícita. Buscar textos que
incluyan ejemplos y ejercicios prácticos puede ser benecioso para
reforzar el aprendizaje.
iv. Grupos de estudio: Colaborar con compañeros de clase o unirse a
grupos de estudio faculta discutir problemas y soluciones, lo que
puede enriquecer la comprensión de las ecuaciones implícitas.
El uso de la derivación implícita faculta a matemáticos y cientícos
calcular derivadas de funciones que no están expresadas de manera directa.
Por medio de la regla de la cadena y ejemplos ilustrativos, hemos demostrado
que este método es no solo efectivo, sino también esencial en diversas
aplicaciones prácticas, como en la física y la ingeniería, donde las relaciones
entre variables a menudo son intrincadas y no lineales. La identicación de
estos errores y la discusión de estrategias para evitarlos son pasos
importantes para cualquier estudiante o profesional que se enfrente a este
tipo de ecuaciones. Con las herramientas y recursos adecuados, es posible
dominar la derivación implícita y aplicarla con conanza.
4.2 Ecuación de Lagrange y Clairaut: Teoría y Aplicaciones
Prácticas en R
Las ecuaciones diferenciales son herramientas fundamentales en la
matemática aplicada y teórica, utilizadas para modelar una amplia variedad
de fenómenos en física, ingeniería, economía y muchas otras disciplinas.
Entre las diferentes clases de ecuaciones diferenciales, las ecuaciones de
Lagrange y Clairaut ocupan un lugar destacado debido a su relevancia y
características particulares. La ecuación de Lagrange, conocida como
76
ecuación diferencial de primer orden, faculta resolver problemas donde la
derivada de una función depende de la función misma y de la variable
independiente. Este tipo de ecuación se presenta frecuentemente en
problemas de dinámica y en la descripción de sistemas físicos, donde las
relaciones entre variables pueden expresarse de forma explícita o implícita
(Moya y Rojas, 2020).
Por otro lado, la ecuación de Clairaut es una forma especíca de
ecuación diferencial que se presenta como una ecuación de primer orden en
la que la derivada de la función depende de la función misma de manera
lineal (Varona, 1996). Esta ecuación es especialmente interesante porque
faculta la existencia de soluciones múltiples, lo que la convierte en un caso de
estudio fascinante en el ámbito de las ecuaciones diferenciales. La ecuación
de Lagrange es un tipo de ecuación diferencial que juega un papel
fundamental en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. La ecuación
de Lagrange, o más formalmente conocida como la ecuación diferencial de
Lagrange, es una ecuación de la forma:
\[ y' = f(x, y) \]
donde \( y' \) representa la derivada de \( y \) respecto a \( x \), y \( f(x, y)
\) es una función continua y diferenciable. Esta ecuación se utiliza para
describir sistemas donde la tasa de cambio de la variable dependiente \( y \)
con respecto a la variable independiente \( x \) está relacionada de manera
directa con los valores de ambas variables.
El origen de la ecuación de Lagrange se remonta al trabajo del
matemático y físico Joseph-Louis Lagrange en el siglo XVIII, quien hizo
contribuciones signicativas al desarrollo de la mecánica analítica y la teoría
de funciones. Su enfoque en describir el movimiento de los cuerpos y las
trayectorias de las partículas llevó al establecimiento de esta ecuación como
un modelo para resolver problemas de dinámica y otras áreas de la física. La
ecuación de Lagrange se caracteriza por varias propiedades importantes que
facilitan su estudio y resolución:
77
i. Linealidad: La ecuación es lineal si la función \( f(x, y) \) puede
expresarse como una combinación lineal de \( y \) y sus derivadas,
lo que faculta aplicar métodos algebraicos más simples para
encontrar soluciones.
ii. Superposición de soluciones: En el caso de ecuaciones lineales, si \(
y_1 \) y \( y_2 \) son soluciones de la ecuación de Lagrange,
entonces cualquier combinación lineal de estas soluciones también
será una solución.
iii. Existencia y unicidad: Bajo ciertas condiciones de continuidad y
diferenciabilidad, la teoría de la existencia y unicidad garantiza
que para cada valor inicial dado, existe una única solución de la
ecuación de Lagrange en un intervalo alrededor de dicho valor
inicial.
iv. Métodos de resolución: Existen múltiples métodos para resolver
ecuaciones de Lagrange, incluyendo el método de separación de
variables, el uso de factores integrantes y la transformación a un
sistema de ecuaciones más manejables.
La ecuación de Lagrange se utiliza en una amplia variedad de campos,
incluyendo la física, la ingeniería y las ciencias sociales. Algunos ejemplos de
aplicaciones son:
- Modelado de sistemas dinámicos: Se utiliza para describir el
movimiento de partículas y cuerpos en diferentes contextos, como en
mecánica clásica y en la teoría de control
- Problemas de crecimiento poblacional: Puede modelar el crecimiento
de poblaciones en ecología, donde la tasa de cambio de una población está
relacionada con su tamaño actual y otros factores ambientales.
- Economía: En economía, se aplica para modelar el comportamiento de
variables económicas, como la oferta y la demanda, donde la tasa de cambio
de una variable económica depende de otras variables del sistema.
Total, la ecuación de Lagrange es una herramienta poderosa en el
análisis matemático y sus aplicaciones prácticas son numerosas. Su
comprensión es esencial para abordar problemas en diversas disciplinas que
involucran relaciones dinámicas entre variables. La ecuación de Clairaut es
78
un tipo particular de ecuación diferencial que juega un papel fundamental en
el estudio de los sistemas dinámicos y en la resolución de problemas
matemáticos en diversas áreas. La ecuación de Clairaut se puede expresar en
la forma general:
\[ y = ax + f'(y) \]
donde \( y \) es la variable dependiente, \( x \) es la variable independiente,
\( a \) es una constante y \( f'(y) \) representa la derivada de una función \(
f \) con respecto a \( y \). Esta ecuación se caracteriza por ser de primer orden
y tiene la particularidad de que la variable dependiente \( y \) aparece de
manera lineal en la ecuación.
El origen de esta ecuación se remonta al trabajo del matemático francés
Alexis Clairaut en el siglo XVIII, quien la utilizó para abordar problemas de
mecánica y dinámica. La simplicidad de su forma faculta una amplia
variedad de aplicaciones, desde la física hasta la ingeniería, las soluciones de
la ecuación de Clairaut son bastante interesantes, ya que se pueden clasicar
en dos tipos: las soluciones generales y las soluciones particulares (Sánchez y
García, 2019).
i. Soluciones generales: Estas son las soluciones que se obtienen al
resolver la ecuación diferencial sin imponer condiciones iniciales.
Para una ecuación de Clairaut, la solución general a menudo se
presenta en forma de una función que puede incluir un parámetro
arbitrario.
ii. Soluciones particulares: Estas son soluciones especícas que se
obtienen al aplicar condiciones iniciales o restricciones adicionales
a la solución general. En el caso de las ecuaciones de Clairaut, se
pueden encontrar múltiples soluciones particulares que satisfacen
las mismas condiciones iniciales, lo que reeja la naturaleza no
única de estas ecuaciones.
Para ilustrar la aplicación de la ecuación de Clairaut, consideremos un
ejemplo práctico. Supongamos que queremos resolver la ecuación:
79
\[ y = 2x + C \]
donde \( C \) es una constante. En este caso, la solución general está dada
por la familia de líneas rectas con pendiente 2. Para obtener una solución
particular, podemos jar \( C = 1 \), lo que nos dará la línea \( y = 2x + 1 \).
Ahora, presentaremos ejemplos de cómo implementar la resolución de
ecuaciones de Clairaut en R, lo que permitirá a los lectores visualizar y
comprender mejor estas soluciones en un contexto práctico y computacional.
Para resolver ecuaciones diferenciales en R, podemos utilizar varias
bibliotecas que proporcionan funciones especícas. A continuación, ejemplos
de resolución de Lagrange y Clairaut en R:
i. Ejemplo 1: Ecuación de Lagrange
Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial de
Lagrange de la forma:
\[ y' = xy + y^2 \]
Podemos denir esta ecuación en R y utilizar la función ode de la
biblioteca deSolve para encontrar la solución.
R
Cargar la biblioteca
library(deSolve)
Denir la función del modelo
lagrange_eq <- function(t, y, parameters) {
80
dy <- y[2] t + y[1]^2
return(list(c(dy)))
}
Valores iniciales
yini <- c(y = 1) valor inicial de y
times <- seq(0, 5, by = 0.1) rango de tiempo
Resolver la ecuación
output <- ode(y = yini, times = times, func = lagrange_eq, parms = NULL)
Gracar los resultados
plot(output[, 1], output[, 2], type = "l", col = "blue", xlab = "Tiempo", ylab =
"y(t)", main = "Solución de la Ecuación de Lagrange")
Este código dene la ecuación, establece condiciones iniciales y utiliza
la función ode para resolver la ecuación diferencial, generando una gráca de
la solución.
ii. Ejemplo 2: Ecuación de Clairaut
La ecuación de Clairaut tiene la forma general:
\[ y = xy' + f(y') \]
Para ilustrar su solución en R, consideremos una función especíca.
Supongamos que queremos resolver la ecuación:
\[ y = xy' + (y')^2 \]
81
Podemos utilizar un enfoque similar al anterior. En seguida se muestra
un ejemplo de código:
R
Denir la función para la ecuación de Clairaut
clairaut_eq <- function(t, y, parameters) {
Suponiendo que y' = 2
y_prime <- 2
return(list(c(y = y_prime)))
}
Condiciones iniciales
yini_clairaut <- c(y = 0) valor inicial de y
times_clairaut <- seq(0, 5, by = 0.1)
Resolver la ecuación
output_clairaut <- ode(y = yini_clairaut, times = times_clairaut, func =
clairaut_eq, parms = NULL)
Gracar los resultados
plot(output_clairaut[, 1], output_clairaut[, 2], type = "l", col = "red", xlab =
"Tiempo", ylab = "y(t)", main = "Solución de la Ecuación de Clairaut")
En este caso, hemos denido un valor constante para \( y' \) y
gracado la solución de la ecuación de Clairaut. Estos ejemplos ilustran cómo
se pueden implementar y resolver las ecuaciones de Lagrange y Clairaut en
R de manera efectiva, permitiendo a los usuarios explorar y aplicar estas
importantes herramientas matemáticas en sus proyectos y estudios. La
ecuación de Lagrange, con su enfoque en la forma canónica, ha demostrado
82
ser una herramienta poderosa en la resolución de problemas que requieren
una formulación adecuada de las variables involucradas.
Por otro lado, la ecuación de Clairaut nos ha permitido apreciar la
belleza y complejidad de las soluciones que pueden surgir a partir de una
simple formulación. La distinción entre soluciones generales y particulares
resalta la rica estructura que subyace a las ecuaciones diferenciales y su
capacidad para modelar fenómenos del mundo real. La implementación de
estas ecuaciones en R ha sido un aspecto crucial de nuestro análisis, dado que
el software proporciona un entorno accesible para llevar a cabo cálculos
complejos y visualizar resultados de manera efectiva. Los ejemplos de código
presentados no solo ilustran la aplicabilidad práctica de las teorías discutidas,
sino que todavía empoderan a los lectores para que experimenten y
profundicen en su comprensión de las ecuaciones de Lagrange y Clairaut.
4.3 Integrales Indenidas en R: Métodos Básicos y Aplicaciones
Prácticas
Las integrales indenidas son un concepto fundamental en el campo
del cálculo y el análisis matemático. En términos simples, una integral
indenida representa el conjunto de todas las funciones antiderivadas de una
función dada. Esto signica que, si tenemos una función \( f(x) \), la integral
indenida de \( f(x) \) se denota como \( F(x) + C \), donde \( F(x) \) es una
función cuya derivada es \( f(x) \) y \( C \) es una constante arbitraria. Este
concepto no solo es crucial para resolver problemas matemáticos, sino que
incluso tiene aplicaciones prácticas en diversas disciplinas, como la física, la
ingeniería y la economía.
La importancia de las integrales indenidas radica en su capacidad
para permitirnos calcular áreas bajo curvas, resolver ecuaciones diferenciales
y modelar fenómenos en el mundo real. Conviene destacar, en física, la
integral de la velocidad nos da la posición de un objeto en movimiento, aun
cuando en economía, las integrales se utilizan para calcular el costo total a
partir de la función de costo marginal. Así, dominar el cálculo de integrales
indenidas es esencial para cualquier estudiante o profesional que desee
profundizar en el análisis matemático.
83
En la actualidad, el uso de software de programación y análisis de
datos, como R, ha facilitado enormemente el proceso de cálculo de integrales.
R proporciona herramientas y paquetes que admiten realizar integraciones
de manera eciente, lo que no solo ahorra tiempo, sino que de igual manera
reduce la posibilidad de errores en los cálculos manuales. Para Jácome (2022),
el método de integración por sustitución es una técnica fundamental en el
cálculo de integrales indenidas, que faculta simplicar la integral en
situaciones donde la función a integrar es compleja. Este método se basa en
la idea de realizar un cambio de variable que facilite el proceso de integración,
transformando la integral original en una forma más manejable. La
integración por sustitución se fundamenta en la regla básica de la derivada,
que establece que si \( u = g(x) \) es una función derivable, entonces \( du =
g'(x)dx \). Al aplicar esta técnica, se elige una función \( u \) de tal manera
que la integral se simplique. El proceso general implica los siguientes pasos:
i. Elegir la sustitución: Identicar una parte de la integral que se puede
reemplazar por \( u \).
ii. Calcular \( du \): Derivar la función elegida para obtener \( du \).
iii. Reescribir la integral: Sustituir \( u \) y \( du \) en la integral
original.
iv. Integrar: Resolver la nueva integral en términos de \( u \).
v. Volver a la variable original: Sustituir \( u \) de nuevo por la
expresión original al nal.
Este método es especialmente útil en integrales que presentan
funciones compuestas, donde la derivada de la función interna está presente
en la integral. Para ilustrar la aplicación del método de integración por
sustitución en R, consideremos la integral indenida:
\[
\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx
\]
84
i. Elegir la sustitución: En este caso, podemos elegir \( u = x^2 \).
Entonces, \( du = 2x \, dx \).
ii. Reescribir la integral: Reemplazamos en la integral:
\[
\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du
\]
iii. Integrar: La integral de \( e^u \) es simplemente \( e^u + C \),
donde \( C \) es la constante de integración.
iv. Volver a la variable original: Sustituyendo \( u \) de nuevo:
\[
e^{x^2} + C
\]
En R, podemos realizar esta operación utilizando el paquete Ryacas
para el cálculo simbólico. Aquí está el código que podríamos utilizar:
R
library(Ryacas)
Denir la función a integrar
f <- expression(2 x exp(x^2))
Calcular la integral
integral_result <- yacas(paste("Integrate(", deparse(f), ", x)"))
integral_result
85
El resultado debería mostrar \( e^{x^2} + C \) como la integral
calculada. No obstante el método de integración por sustitución es poderoso,
tiene sus limitaciones. No todas las integrales pueden ser resueltas mediante
este método; a veces, la elección de la función \( u \) puede no ser obvia, es
esencial que el cambio de variable mantenga la relación funcional entre la
variable original y la nueva.
Es importante también recordar que algunas integrales pueden
requerir múltiples pasos de sustitución o incluso la combinación de diferentes
métodos de integración. Por lo tanto, es recomendable practicar con una
variedad de funciones y situaciones para familiarizarse con las mejores
estrategias a emplear. Por ende, la integración por sustitución es una
herramienta valiosa en el cálculo de integrales indenidas y es fundamental
dominarla para abordar problemas más complejos en análisis matemático. El
método de integración por partes es otra técnica fundamental en el cálculo de
integrales indenidas, derivada de la regla del producto de la derivación. Este
método se basa en la siguiente fórmula:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
donde \( u \) y \( dv \) son partes de la función que estamos integrando.
Elegir adecuadamente \( u \) y \( dv \) es clave para facilitar el proceso de
integración.
El teorema de integración por partes establece que si \( u \) es una
función diferenciable y \( dv \) es una función integrable, entonces podemos
transformar la integral de un producto de funciones en una combinación de
integrales que pueden ser más sencillas de resolver. Esta técnica es
especialmente útil cuando la integral original es complicada, pero el
resultado de una de las integrales resultantes es más simple. La elección de
86
\( u \) y \( dv \) se puede guiar por la regla de LIATE (Logaritmos, Inversas,
Álgebra, Trigonométricas, Exponenciales), que sugiere el orden en que
deberíamos elegir \( u \) y \( dv \).
Para implementar el método de integración por partes en R,
utilizaremos la función integrate() que forma parte del paquete base.
Consideremos un ejemplo clásico: la integral de \( x e^x \).
i. Denimos la función a integrar:
R
f <- function(x) x exp(x)
ii. Aplicamos la integración por partes usando la fórmula mencionada: En
este caso, vamos a elegir \( u = x \) (de donde \( du = dx \)) y \(
dv = e^x dx \) (de donde \( v = e^x \)).
iii. Ahora, aplicamos la fórmula:
\[
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx
\]
iv. En R, podemos calcularlo así:
R
integral_result <- function(x) {
x exp(x) - exp(x)
87
}
integrate(integral_result, lower = 0, upper = Inf)$value
Al igual que con otros métodos de integración, la integración por
partes tiene sus limitaciones; a veces, la elección de \( u \) y \( dv \) puede
no ser evidente y puede llevarnos a integrales que no son más simples que la
original. En tales casos, puede ser útil aplicar el método varias veces o
combinarlo con otros métodos de integración. Es recomendable practicar con
diferentes tipos de funciones para familiarizarse con la selección de \( u \) y
\( dv \). La práctica constante permitirá reconocer patrones y situaciones
donde este método es el más adecuado.
En síntesis, el método de integración por partes es una herramienta
poderosa en el cálculo de integrales indenidas, su correcta aplicación y
conocimiento de sus limitaciones hacen que sea esencial en el análisis
matemático, especialmente al utilizar R para resolver problemas complejos.
La integración por fracciones parciales es un método poderoso y muy
utilizado en el cálculo de integrales indenidas, especialmente aquellas que
involucran funciones racionales (Jara, 2017). Este método se basa en la
descomposición de una fracción racional en una suma de fracciones más
simples, lo que facilita su integración.
El primer paso en el método de fracciones parciales es asegurarse de
que el grado del polinomio en el numerador sea menor que el grado del
polinomio en el denominador. Si este no es el caso, se debe realizar una
división polinómica para simplicar la fracción. Una vez que se tiene una
fracción donde el numerador tiene un grado menor que el denominador, se
procede a descomponerla en fracciones parciales. En efecto, dado un
polinomio de la forma:
\[
\frac{P(x)}{Q(x)}
\]
88
donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son polinomios, podemos expresar \(
\frac{P(x)}{Q(x)} \) como la suma de fracciones más simples, es decir:
\[
\frac{A}{(x - a)} + \frac{B}{(x - b)} + \ldots
\]
Una vez que se determina esta descomposición, cada término puede
integrarse de forma independiente. Los coecientes \( A, B, \ldots \) se
determinan resolviendo un sistema de ecuaciones que resulta de igualar las
dos expresiones (la original y la descompuesta). Para ilustrar el método de
integración por fracciones parciales en R, consideremos la integral de la
siguiente función racional:
\[
\int \frac{2x + 3}{(x^2 - x - 2)} \, dx
\]
Primero, descomponemos el denominador:
\[
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
\]
Por lo tanto, podemos escribir:
89
\[
\frac{2x + 3}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{(x - 2)} + \frac{B}{(x + 1)}
\]
Multiplicamos ambos lados por el denominador común \((x - 2)(x +
1)\) y resolvemos para \(A\) y \(B\). Al hacerlo, llegamos a un sistema de
ecuaciones que podemos resolver:
R
library(pracma)
Denimos los coecientes
A <- 2
B <- 5
Descomponemos la fracción
numerador <- function(x) { 2x + 3 }
denominador <- function(x) { (x - 2)(x + 1) }
integral <- function(x) { A/(x - 2) + B/(x + 1) }
Integramos
resultado <- integrate(integral, lower = -Inf, upper = Inf)
resultado$value
Este código en R nos permitirá calcular la integral de la función
descompuesta. Recuerda que, al integrar cada fracción, obtenemos:
90
\[
\int \frac{A}{(x - 2)} \, dx + \int \frac{B}{(x + 1)} \, dx = A \ln|x - 2| + B \ln|x
+ 1| + C
\]
Al utilizar el método de fracciones parciales, es fácil cometer algunos
errores comunes, entre los cuales destacan:
i. No simplicar correctamente el polinomio: Asegúrate de que el
numerador sea de menor grado que el denominador antes de
aplicar la descomposición.
ii. Olvidar resolver el sistema de ecuaciones: A menudo, los coecientes
\(A, B, \ldots\) se obtienen de manera incorrecta o incluso se
omite este paso crítico.
iii. Mala integración de los términos: Revisa que cada término se integre
correctamente, ya que la forma de cada integral dependerá del tipo
de fracción.
iv. Descuido con los logaritmos: No olvides que al integrar fracciones de
la forma \(\frac{1}{x}\), resultará en un logaritmo natural, lo que
es fundamental en la respuesta nal.
Dominar el método de fracciones parciales no solo mejora nuestra
habilidad para resolver integrales, sino que también proporciona una base
sólida para abordar problemas más complejos en el ámbito del cálculo. El
dominio de los métodos básicos para calcular integrales indenidas es
fundamental para cualquier estudiante o profesional en el campo del análisis
matemático. R, como lenguaje de programación y entorno para el análisis
estadístico y matemático, ofrece potentes capacidades para llevar a cabo estos
cálculos de manera eciente. La familiaridad con la sintaxis y las funciones
especícas de R facilita la implementación de los métodos de integración por
sustitución, por partes y por fracciones parciales, lo que faculta a los usuarios
realizar análisis más profundos y precisos (Ruiz y Puga, 2016).
Dominar estos métodos en R no solo incrementa la comprensión
teórica, sino que también mejora la habilidad práctica para aplicar conceptos
91
matemáticos en situaciones del mundo real. La programación en R faculta
realizar simulaciones, visualizar resultados y realizar análisis de sensibilidad,
lo que enriquece el proceso de aprendizaje y la aplicación de las matemáticas.
En consecuencia, al enfrentar problemas matemáticos complejos,
contar con una sólida base en los métodos de integración y su
implementación en R se traduce en una ventaja competitiva. La integración
de estos conocimientos en la práctica diaria no solo fomenta una mayor
conanza en la resolución de problemas, sino que al igual abre puertas a
nuevas oportunidades de investigación y desarrollo en diversas disciplinas.
Por lo tanto, invertir tiempo en dominar estos métodos y sus aplicaciones en
R es un paso esencial para cualquier aspirante a matemático, estadístico o
cientíco de datos.
92
Conclusión
Se presentó un libro conciso y práctico para resolver EDOs en R con
sintaxis clara, cubriendo casos típicos (no rígidos), sistemas, rigidez,
problemas altamente oscilatorios, ajuste de parámetros a datos y control de
error, y se incluyeron fragmentos de código reproducibles y
recomendaciones informadas por la literatura numérica, con paquete
principal para EDOs de valor inicial: deSolve (métodos explícitos e implícitos;
con LSODA (esto signica que el usuario no tiene que determinar si el
problema es rígido o no, y el solucionador elegirá automáticamente el método
adecuado), es decir, que detecta rigidez automáticamente).
De la evidencia se deduce que una EDO rígida requiere pasos muy
pequeños si se usan métodos explícitos; conviene métodos implícitos como
BDF/Backward Dierentiation o LSODA que alterna entre modos
explícito/implícito. En tanto, deSolve, puede forzar BDF con method = "bdf",
o usar lsoda y dejar la detección automática. Por lo que escalar variables para
mejorar la condición numérica y la estabilidad del método, es especialmente
útil en sistemas con múltiples escalas. Es decir, si se observa inestabilidades
o necesidad de pasos excesivamente pequeños, pruebe un método implícito
y ajuste tolerancias rtol, atol.
Por otra parte, sistemas altamente oscilatorios pueden exigir pasos
extremadamente pequeños si el método no preserva adecuadamente la
dinámica. Por ende, seleccionar el integrador con cuidado y controlar el paso
es decisivo. Para EDOs no suaves, métodos implícitos tipo Runge–Kua e
implementaciones con Newton “slanting” logran convergencia y eciencia.
Ente sentido, si el término del campo vectorial depende de procesos
estocásticos no suaves en el tiempo, los esquemas clásicos pierden orden;
existen esquemas de mayor orden basados en expansiones de Taylor
implícitas para convergencia “pathwise”. Ahora bien, para EDOs de orden
superior, hay métodos de bloques de múltiples pasos que evitan reescritura
a sistemas de primer orden y mejoran eciencia en problemas lineales y no
lineales. Entonces, marcos híbridos con redes neuronales y métodos en
bloque buscan robustez y precisión incluso en problemas
93
rígidos/oscillatorios. Aunque R no es el entorno principal para “neural
ODEs”, la literatura moderna sobre rigidez, reparametrización temporal y
esquemas implícitos informa buenas prácticas de modelado y selección de
integradores en cualquier plataforma.
Entre otros resultados de investigación, la dinámica compleja con especies
adicionales o mecanismos de defensa: la inclusión de un carroñero que
depreda y consume al depredador original puede inducir cascadas de
duplicación de período y trayectorias acotadas, lo que ofrece un banco de
pruebas pedagógico para análisis numérico y bifurcaciones. Miedo/defensa
en la presa y difusión: modelos con defensa inducida, taxis indirecta y
difusión exhiben inestabilidades. Así, la simulación requiere solvers estables
y análisis de estabilidad lineal/no lineal cuidadosos. Los autores recomiendan
ampliar la literatura con respuestas funcionales de interferencia (la forma
Beddington–DeAngelis), que puede ajustar mejor datos experimentales que
Runge-Kua en presencia de interferencia entre depredadores, motivando su
uso en aplicaciones.
Por otra parte, el método de Ralston, al ser un método de segundo orden,
se sitúa en un punto intermedio, ofreciendo un compromiso favorable entre
precisión y eciencia, esto lo hace especialmente útil en situaciones donde se
necesita una solución rápida, pero con una precisión razonable; presenta
varias ventajas, así como algunas desventajas que es importante considerar al
elegir un método para la resolución de EDOs.
En conclusión, como en cualquier método numérico, es crucial considerar
los errores y la estabilidad, el error de truncamiento de un método de Adams-
Bashforth se puede dividir en error local y error global. El error local se reere
a la discrepancia entre la solución exacta y la aproximación en un solo paso,
mientras que el error global se acumula en múltiples pasos. En consecuencia,
comparar el rendimiento del método de Adams-Bashforth con otros métodos
de resolución de EDOs, como el método de Euler y los métodos de Runge-
Kua es fundamental, pues, aun cuando el método de Euler es simple y fácil
de implementar, su precisión es limitada, especialmente para pasos grandes.
94
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De esta edición de “Ecuaciones diferenciales ordinarias con sintaxis
en R: Crecimiento exponencial, logístico y modelo depredador-
presa”, se terminó de editar en la ciudad de Colonia del Sacramento
en la República Oriental del Uruguay el 20 de julio de 2025
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