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El pensamiento lógico matemático: Concepciones y enseñanza en el aula de clases
María Maura Cámac Tiza, Marisol Paola Delgado Baltazar, Teodulo Aquilino Reyes
Santos, Edith Silva Rubio, Robert Angel Urbina Medina, Angelino Abad Ramos
Choquehuanca
© María Maura Cámac Tiza, Marisol Paola Delgado Baltazar, Teodulo Aquilino Reyes
Santos, Edith Silva Rubio, Robert Angel Urbina Medina, Angelino Abad Ramos
Choquehuanca, 2023
Jefe de arte: Yelitza Sánchez
Diseño de cubierta: Yelitza Sánchez
Ilustraciones: Ysaelen Odor
Editado por: Editorial Mar Caribe de Josefrank Pernalete Lugo
Jr. Leoncio Prado, 1355 – Magdalena del Mar, Lima-Perú. RUC: 15605646601
Libro electrónico disponible en http://editorialmarcaribe.es/?page_id=1911
Primera edición – octubre 2023
Formato: electrónico
ISBN: 978-612-5124-21-0
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°: 202310620
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El pensamiento lógico matemático: Concepciones y enseñanza
en el aula de clases
María Maura Cámac Tiza
Marisol Paola Delgado Baltazar
Teodulo Aquilino Reyes Santos
Edith Silva Rubio
Robert Angel Urbina Medina
Angelino Abad Ramos Choquehuanca
República de Perú, Año 2023
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Tabla de Contenido
Prólogo ............................................................................................................................. 4
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................... 7
El pensamiento lógico matemático: concepciones ........................................................... 7
Las etapas y estadios del pensamiento lógico matemático ......................................... 10
Fundamentación de la inteligencia lógica matemática en el proceso de enseñanza-
aprendizaje .................................................................................................................. 14
Cerebro y procesos psicológicos ................................................................................. 27
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................. 31
La lógica matemática ...................................................................................................... 31
El realismo lógico ....................................................................................................... 31
La objetividad y el realismo ........................................................................................ 33
Propósito de la lógica y las utilidades matemáticas .................................................... 35
Matemáticas y educación superior .............................................................................. 45
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................. 50
La cognición y la metacognición .................................................................................... 50
Las habilidades cognitivas y las funciones matemáticas ............................................ 56
Problemas matemáticos y desarrollo de habilidades cognitivas ................................. 58
Experiencia ecuatoriana .............................................................................................. 60
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................. 65
Enseñanza de las matemáticas y sus aspectos fundamentales ........................................ 65
El trabajo con la lógica ............................................................................................... 67
Metodología para enseñanza de las matemáticas........................................................ 69
Conclusiones ................................................................................................................... 78
Referencias bibliográficas .............................................................................................. 80
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Prólogo
El proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en los espacios de
aprendizaje, especialmente en la educación primaria y secundaria, se ha convertido en los
últimos años en una tarea sumamente compleja y fundamental en todo sistema educativo.
Probablemente no exista sociedad que no cuente en su estructura educativa con un
currículo relacionado con la educación matemática. Los profesores de matemáticas y las
ciencias exactas a menudo enfrentan demandas de enseñanza innovadoras y
transformadoras, que requieren una mayor atención por parte de quienes participan en la
investigación en educación matemática y, sobre todo, el desarrollo de módulos de
enseñanza para el tratamiento de líneas de investigación en matemáticas aplicadas.
Si bien es cierto que la mayor parte de los escritos sobre educación matemática se
ocupan de la enseñanza, dejando poco espacio para la reflexión sobre la enseñanza,
también es cierto que muchas ideas didácticas se han desarrollado y consolidado en los
últimos años. Por ejemplo, incluyen la resolución de problemas, el aprendizaje basado en
proyectos, la enseñanza en el aula, los juegos en educación matemática, los experimentos
matemáticos, las demostraciones, las aplicaciones y sus procesos de modelado. La
fundamentación teórica de cada uno de estos conceptos de enseñanza y por supuesto de
aprendizaje es muy amplia y se nutre principalmente de diversas disciplinas relacionadas
con la pedagogía, la didáctica y los campos relacionados con las matemáticas.
Los educadores matemáticos creen que los estudiantes deben adquirir diferentes
formas de conocimiento matemático en diferentes situaciones y para diferentes
situaciones, tanto para su posterior aplicación como para reforzar estrategias didácticas
en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Por supuesto, esto requiere una búsqueda
profunda de métodos de enseñanza adecuados y métodos especialmente adecuados para
mejorar la calidad de la enseñanza. Los métodos y técnicas mencionados se pueden
dividir en grandes grupos, lo que será uno de los objetivos de este trabajo.
Las matemáticas se aprenden de muchas maneras y a través de muchos medios,
cada uno con su propia función; uno de ellos, el lenguaje más frecuente y directamente
utilizado, es el lenguaje natural. Hoy en día, la computadora y sus programas relacionados
se han convertido en el entorno artificial más popular para tratar diversos temas
matemáticos, desde juegos y actividades en educación matemática elemental hasta teorías
y el concepto matemático es complejo, especialmente en el campo de aplicación. Estas
herramientas ayudan a los docentes a lograr buenos resultados en el desarrollo del proceso
educativo y pedagógico.
La educación puede caracterizarse como un proceso activo que no solo requiere
el dominio de la disciplina, en nuestro caso, el conocimiento matemático básico que
debería funcionar con los estudiantes y aquellos que apoyan o explican los conceptos
pequeños y estrictos necesarios para comprender el mundo de las matemáticas. El
dominio suficiente de un conjunto de habilidades y habilidades necesarias para el buen
trabajo de nuestro trabajo como maestros de matemáticas.
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En este sentido, trataremos de presentarnos la ayuda de varios autores, algunos de los
cuales están dedicados a los pensamientos sobre la didáctica de las matemáticas y otros
para trabajar en aspectos generales relacionados con la metodología de enseñanza y la
pedagogía, algunos aspectos de la enseñanza de las matemáticas , sin olvidar la
importancia del aprendizaje que se consideró ampliamente en otro trabajo sobre este
tema: los fundamentos en la educación matemática. Aquí nos dedicaremos al desarrollo
de algunos conceptos destacados en la enseñanza de las matemáticas, principalmente los
modelos y herramientas básicos para el aprendizaje de las matemáticas en las escuelas y
las competencias básicas que deben tener los profesores de matemáticas, según las últimas
investigaciones desarrolladas en este campo.
Desde la implementación integral de los valores prescritos para los maestros, hasta
el desarrollo del pensamiento lógico matemático entre los estudiantes de los primeros
ciclos educativos, una contribución que el maestro controla como una idea. Comentarios
sobre la lógica matemática y el desarrollo humano. En este sentido, aunque el guía asigna
el gran valor de la observación sistemáticamente por el proceso cognitivo, de motivación,
juego y de innovación de los niños en el campo del desarrollo matemático del
pensamiento lógico en los niños, la realidad es que todo esto se generaliza mediante la
realización de actividades con niños, niñas y adolescentes, como operaciones básicas de
cálculo, representación analítica y lenguaje matemático, fuera del contexto sociocultural
del estudiante y que dista del logro de objetivos para el desarrollo efectivo del
pensamiento matemático.
El profesorado se muestra crítico, admitiendo que muchas de las barreras que
plantean para acceder a estos contenidos se deben a la falta de recursos materiales para
llevar a cabo una mediación efectiva, así como a graves deficiencias en el proceso de
formación inicial o profesional en este campo. Aún queda mucho trabajo por hacer en
términos de formación continua y profunda de los docentes en esta área para liderar
verdaderamente el proceso de organización y mejora efectiva de la enseñanza,
especialmente en lo que respecta al desarrollo de los conceptos de lógica y matemática
en la edad preescolar. No cabe duda de que la calidad de la formación docente en sinergia
con la voluntad y la creatividad, determinará el éxito de las actividades pedagógicas
encaminadas a alcanzar el acoplamiento de las inteligencias múltiples.
La filosofía del pensamiento lógico sobre lo que constituye la actividad
matemática tienen una fuerte influencia, a veces más dinámica de lo que se imagina, en
actitudes profundas hacia la educación matemática. La reforma matemática moderna del
siglo XXI es la continuidad en el apogeo del movimiento del formalismo matemático. No
es arriesgado pensar a priori en la causalidad y, de hecho, algunas personas
particularmente influyentes en el movimiento de Dieudonné, desempeñaron papeles
importantes en el trabajo matemático.
La actividad científica implica generalmente el estudio de determinadas
estructuras de la realidad, entendida en sentido amplio como la inteligencia espacial
asociada con las inteligencias múltiples. La actividad matemática encuentra un cierto tipo
de estructura que está sujeta a tratamientos simbólicos especiales y adecuados que
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permiten una representación efectiva desde el punto de vista de la actividad racional
estricta que requiere el consentimiento de quienes están sujetos a lo cultural, es decir, la
etnomatemática; pues controla eficazmente la realidad a la que se dirige, primero un
modelo mental adecuadamente construido y luego, si es necesario, una realidad con
investigación acción participativa de docentes y estudiantes.
Según este punto de vista, el conocimiento que tienen los docentes sobre el
desarrollo del pensamiento matemático y lógico en los estudiantes en edades tempranas
es relevante al considerar que este es precisamente una parte del todo, agentes que
intervienen en el desarrollo de este pensamiento. Además de mantener un enfoque crítico
en la elección de formas y estrategias de enseñanza, que según los autores de este libro,
deben ser creativas y motivadoras para el aprendizaje.
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CAPÍTULO 1
El pensamiento lógico matemático: concepciones
A lo largo de la historia humana, el uso del pensamiento lógico matemático ha
jugado un papel crucial en el crecimiento intelectual. Esto se debe a que las ciencias
matemáticas son ampliamente reconocidas como un código y lenguaje universal, lo que
permite una comunicación efectiva entre diversas comunidades y culturas. Mediante el
empleo de principios matemáticos, las personas de diversos orígenes pueden unirse en su
búsqueda de una comprensión científica e integral de numerosos fenómenos globales.
Es crucial centrarse en el desarrollo de habilidades lógico-matemáticas en los
bebés, ya que juega un papel importante para ayudarlos a resolver conflictos de manera
efectiva y hacer uso de herramientas prácticas. Al fomentar estas habilidades, los niños
pueden pensar críticamente y tomar decisiones basadas en criterios técnicos. También
pueden realizar cálculos matemáticos, clasificar objetos, conceptos abstractos,
comprender números y establecer conexiones entre diferentes objetos o ideas. Asimismo,
el desarrollo del pensamiento lógico en los bebés se apoya mediante actividades como
agrupar elementos, ordenarlos, contar y analizar aspectos espaciales y temporales.
Cuando se habla del pensamiento lógico involucrado en las matemáticas, a
menudo se hace referencia al uso deliberado de ciertos aspectos de la personalidad de una
persona (Oliver y Cerecedo, 2008). Esto significa que cada individuo tiene la opción de
elegir un método particular para emplear su capacidad de calcular, medir y percibir el
espacio. Además, tienen la capacidad de articular y debatir eventos utilizando un marco
matemático.
Desde sus inicios, el concepto de pensamiento lógico matemático ha suscitado
numerosas discusiones sobre su origen, lo que ha tenido importantes implicaciones para
las prácticas docentes de los educadores matemáticos. Estos debates han llamado la
atención sobre las limitaciones de las estrategias de enseñanza tradicionales que a menudo
dificultan el desarrollo óptimo de este estilo de pensamiento en los estudiantes. A medida
que surgen diversas perspectivas en torno a la definición del pensamiento lógico
matemático, se vuelve fundamental identificar los enfoques más eficientes para fomentar
su adquisición y comprensión en el campo de la educación matemática.
El pensamiento lógico matemático va más allá del ámbito de las matemáticas y
extiende su influencia a otras áreas del conocimiento. Sirve como base para el aprendizaje
en materias como ciencias naturales, ciencias sociales y lenguaje. La capacidad de pensar
lógica y matemáticamente permite a los estudiantes analizar e interpretar datos, hacer
conexiones entre diferentes conceptos y formular argumentos lógicos. Esto no solo
mejora su desempeño académico, sino que también los equipa con habilidades valiosas
que se pueden aplicar en diversas situaciones de la vida real.
En el currículo escolar, el pensamiento lógico matemático está integrado en
diferentes materias, lo que permite a los estudiantes ver la interconexión del
conocimiento. Al enfatizar la importancia del razonamiento lógico y el pensamiento
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matemático en todas las disciplinas, los educadores tienen como objetivo fomentar las
habilidades de pensamiento crítico y promover el aprendizaje holístico. Este enfoque
reconoce que el pensamiento lógico matemático no se limita a resolver ecuaciones o
realizar pruebas geométricas, sino que es una habilidad cognitiva fundamental que
permite a las personas navegar y dar sentido al mundo que les rodea.
El pensamiento lógico matemático juega un papel crucial en la adquisición y
consolidación de diversas habilidades matemáticas. Este tipo de pensamiento sirve como
eje transversal, lo que permite a las personas desarrollar diferentes tipos de pensamientos
matemáticos, incluido el pensamiento aritmético, algebraico, geométrico, numérico y
variacional (Bolaño, 2020). Al aplicar este conjunto de habilidades, los estudiantes
pueden mejorar sus habilidades para resolver problemas y profundizar su comprensión de
los conceptos matemáticos.
Por lo tanto, el pensamiento lógico matemático sirve como eje transversal en el
aprendizaje y consolidación de diversas habilidades matemáticas. Su aplicación conduce
al desarrollo de diferentes tipos de pensamiento matemático y mejora la capacidad de
resolución de problemas. Además, el pensamiento lógico matemático constituye la base
para la adquisición de conocimientos en otras áreas del currículo escolar, como las
ciencias naturales, las ciencias sociales y el lenguaje. Al nutrir este tipo de pensamiento,
los educadores tienen como objetivo cultivar habilidades de pensamiento crítico y equipar
a los estudiantes con herramientas valiosas para el aprendizaje permanente.
Asimismo, la capacidad de pensar lógica y matemáticamente no es solo una
habilidad simple, sino una competencia crucial que permite a las personas navegar y
funcionar de manera efectiva dentro de la sociedad. Esta competencia faculta a las
personas para enfrentar los diversos desafíos y obstáculos que se encuentran en la vida
cotidiana mediante el empleo de procesos analíticos para analizar, comprender, deducir y
tomar decisiones informadas. La capacidad de pensamiento lógico matemático se
extiende más allá de los meros cálculos numéricos o conceptos matemáticos y abarca una
amplia gama de conocimientos y contextos de la vida diaria. Por lo tanto, es importante
reconocer que este tipo de pensamiento debe entenderse de manera integral, ya que
impregna casi todos los aspectos de las acciones humanas.
El concepto de pensamiento lógico matemático se basa en la creencia de que los
bebés participan en diversas actividades mentales que implican el cálculo como una
herramienta clave para la toma de decisiones y la resolución de problemas en situaciones
específicas. Para que un niño se adapte eficazmente a su entorno y analice datos o evalúe
medidas, magnitudes, pesos, cantidades o cualquier otra variable relevante, es importante
diferenciar los diferentes componentes de este tipo de pensamiento.
El pensamiento lógico-matemático consta de ocho componentes que forman la
base para el aprendizaje de las matemáticas en el desarrollo de la primera infancia:
• La comparación: La capacidad de pensar lógica y matemáticamente permite a las
personas reconocer y analizar similitudes y diferencias entre varios aspectos de su
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entorno. Esto implica comparar y contrastar diferentes variables, lo que requiere
considerar las propiedades y atributos que exhiben los elementos que se observan.
• La clasificación: Este aspecto particular del pensamiento matemático se refiere a
la habilidad de formar asociaciones entre diferentes elementos basados en criterios
específicos que son relevantes para cada situación individual.
• La correspondencia uno a uno: Otra actividad mental que se realiza cuando se
aplica el pensamiento lógico matemático implica el emparejamiento preciso de
elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto. El propósito de este
procedimiento es establecer una correspondencia biunívoca entre las variables. Al
hacerlo, podemos analizar y comprender las relaciones y conexiones entre los
elementos dentro de los conjuntos de manera más integral. Este proceso requiere
una consideración cuidadosa y un pensamiento sistemático para garantizar que
cada elemento de un conjunto coincida con precisión con un elemento
correspondiente del otro conjunto.
A través de este ejercicio, podemos profundizar en los patrones y estructuras
intrincados que existen dentro de los conjuntos, lo que nos permite obtener
información valiosa y sacar conclusiones significativas. En general, el
emparejamiento puntual de conjuntos es un aspecto fundamental del pensamiento
lógico matemático, facilitando la exploración y comprensión de conceptos
matemáticos complejos.
• La seriación: Este elemento en particular está íntimamente relacionado con la
aptitud para identificar patrones o semejanzas dentro de una colección de datos.
En otras palabras, por medio de la serialización, el individuo es capaz de
establecer un arreglo sistemático de los elementos que se analizan, dependiendo
del descubrimiento de un patrón distinto que debe descubrirse.
• El conteo verbal: Este método particular de contar implica el acto de recitar una
secuencia específica de números únicamente de memoria. En esencia, requiere la
capacidad de almacenar y recordar mentalmente una serie de datos, así como
articularlos verbalmente.
• El conteo estructurado: Este proceso cognitivo implica asignar una etiqueta a cada
componente individual de un conjunto de información y, al mismo tiempo,
contarlos.
• El conteo resultante: Esta etapa ocurre cuando el alumno asigna etiquetas
específicas a un conjunto determinado, y la etiqueta final representa la cantidad
correcta de todo el conjunto.
• El conocimiento general de los números: El aspecto final sugiere que el aprendiz
posee la capacidad de aplicar las habilidades que ha adquirido en diversas
situaciones o contextos prácticos donde se le requiere abordar problemas
directamente relacionados con los cálculos numéricos.
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En contraste, el pensamiento lógico matemático comprende varios elementos que
permiten a las personas utilizar estas habilidades de manera efectiva en tareas como
cálculos, ordenar y hacer conexiones entre conjuntos. Estos componentes juegan un papel
crucial en la configuración del proceso de pensamiento y el establecimiento de relaciones
entre los objetos. Además, la inclusión de factores adicionales como la autorregulación,
la asunción de roles y la distinción de símbolos contribuye aún más al desarrollo integral
de las funciones cognitivas en los niños. Estos factores también juegan un papel vital para
facilitar la adquisición de conocimientos matemáticos fundamentales durante los
primeros años de la educación de un niño.
Desde una perspectiva amplia, las teorías desarrolladas por Jean Piaget sugieren
que los infantes deben adquirir conocimientos específicos para desarrollar el pensamiento
lógico matemático. Esto incluye comprender conceptos como clasificación, comparación,
seriación y correspondencia uno a uno entre conjuntos de datos. La comprensión de estos
conceptos es crucial para la formación y refuerzo del concepto de números. Por lo tanto,
se vuelve aún más beneficioso para los estudiantes cuando están expuestos a una
estimulación temprana y adecuada para mejorar sus habilidades de cálculo individuales y
el uso eficaz de las operaciones lógicas.
Las etapas y estadios del pensamiento lógico matemático
La mirada clásica respecto a la forma en la que se produce y desarrolla el
pensamiento lógico matemático deriva la concreción de una serie de etapas secuenciales
que suceden en diversos estadios del crecimiento de los infantes (Mora, 2003). En efecto,
Piaget indicaba la presencia de cuatro etapas básicas del pensamiento lógico matemático
infantil: la primera etapa correspondía con la actividad sensoriomotoras, comprendida
entre los 0 y 2 años de edad en la que las estructuras cognitivas del niño se correspondían
con la acción sensorial y aprehensión de destrezas motoras.
Seguidamente, el niño se introduce en la etapa preoperacional entre los 2 y 7 años,
donde se enaltece una mayor actividad interactiva entre los sujetos en función de los
objetos del entorno, luego, durante los 7 y 9 años el niño experimenta la etapa operacional
concreta, donde su conocimiento se flexibiliza y demuestra su capacidad para hacer
abstracciones en torno a los símbolos y representaciones mediante las cuales asocia los
contenidos; por último, a partir de los 11 años el niño comienza a actuar en una etapa
operacional formal, y es cuando puede aplicar pensamiento lógico en diferentes
situaciones de convivencia. con relación a estos antecedentes, las perspectivas más
actuales acerca de las etapas o estadios del pensamiento lógico matemático coinciden en
la concepción de que el aprendizaje y conocimiento de elementos matemáticos en el niño
se va produciendo de acuerdo con la fase evolutiva en la que se encuentre el infante, dado
que, paulatinamente a medida que el niño crece, su conocimiento se va enriqueciendo y
ajustando para percibir el contexto de una forma cada vez más compleja.
Según Laínez (2017), existen cuatro etapas clave que se pueden observar en el
desarrollo del pensamiento lógico matemático:
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• La alineación es el posicionamiento y disposición de un grupo de objetos en una
dimensión específica, donde los objetos se eligen de manera diversa y variada.
• Los objetos colectivos son agrupaciones de elementos de dos o tres dimensiones
que comparten similitudes geométricas, formando una colección basada en estas
consideraciones.
• En este punto, tres objetos pueden clasificarse como complejos cuando comparten
similitudes en cuanto a las formas o figuras que representan, lo que indica una
gama de variaciones.
• En el ámbito de las colecciones no figurativas, profundizamos ahora en el examen
de los momentos diferenciales que se relacionan principalmente con la disposición
de los objetos en pares, así como las intrincadas agrupaciones formadas entre
conjuntos, que posteriormente dan lugar a más subagrupaciones.
Estas cuatro etapas de desarrollo están organizadas en una secuencia natural
basada en cómo un niño percibe los estímulos en su entorno. Inicialmente, el niño
comienza alineando objetos de dimensiones específicas, luego progresa a agrupar objetos
colectivos con dimensiones más grandes, incorporando asociaciones geométricas y
espaciales. Posteriormente, el niño pasa a manipular objetos complejos, enfocándose en
representar diversas formas y figuras de forma independiente. Por último, el niño avanza
a la etapa de colección no figurativa, donde genera grupos con mayor dificultad en
comparación con sus representaciones anteriores en etapas anteriores.
Además, en el contexto de Zapatera (2018), el cultivo del pensamiento lógico
matemático se facilita a través de una progresión secuencial de tres etapas distintas. Estas
etapas son fundamentales para fomentar la capacidad del bebé para reconocer y extrapolar
patrones. Sin embargo, es crucial que el bebé navegue con éxito a través de las etapas
posteriores para desarrollar completamente esta habilidad cognitiva:
• Durante la etapa inicial del desarrollo cognitivo, los niños son capaces de
identificar patrones específicos dentro de una serie de información, pero aún no
son capaces de integrar estructuras numéricas o espaciales en sus representaciones
mentales.
• Hay una segunda etapa de desarrollo en los infantes donde comienzan a reconocer
no solo los patrones cuantitativos que han observado antes, sino también los
aspectos numéricos y espaciales que les ayudan a comprender mejor la
información que reciben de su entorno.
• En este tercer nivel cognitivo, el niño desarrolla la capacidad de realizar
operaciones mentales que implican la capacidad de revertir ciertos procesos. Esta
nueva reversibilidad del pensamiento permite que el niño se convierta en un
individuo más adaptable y versátil, capaz de responder con eficacia a las distintas
situaciones que se le presenten.
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A través de estos argumentos, podemos observar el crecimiento y desarrollo
gradual de la comprensión de un niño. Comienza con su comprensión inicial del mundo
físico que los rodea y luego progresa hacia la participación en interacciones sociales
dentro de su entorno. Eventualmente, llegan a una etapa en la que su conocimiento se
expande para incluir la aplicación de conceptos matemáticos y lógicos. Esto les permite
distinguir entre diferentes variables, construir modelos mentales y realizar cálculos o
manipulaciones utilizando asociaciones numéricas o métricas.
Similar al proceso de desarrollo mental individual, el pensamiento lógico
matemático progresa desde momentos operativos básicos hasta niveles más altos de
pensamiento en términos de cantidades o medidas. Este enfoque del pensamiento está
estrechamente relacionado con el uso del razonamiento lógico y la aplicación de
estrategias numéricas para resolver diversos problemas. El desarrollo del pensamiento
lógico matemático, además que mejora la inteligencia matemática de un individuo,
también juega un papel crucial en su viaje académico y experiencial. No solo mejora sus
habilidades numéricas, sino que también les ayuda a comprender conceptos, establecer
relaciones lógicas, utilizar cuantificadores y proporciones y formular hipótesis. Así, se
puede argumentar que este enfoque de pensamiento sirve como marco mental para el
pensamiento esquemático y técnico.
El desarrollo del pensamiento lógico matemático involucra varios subprocesos,
que se pueden clasificar en diferentes tipos, cada uno de los cuales abarca elementos
específicos para un pensamiento eficaz. Un aspecto importante es el desarrollo del
pensamiento espacial, que implica actividades cognitivas que crean representaciones
mentales de objetos en un entorno espacial y la comprensión del conocimiento
geométrico.
Otro aspecto crucial es el desarrollo del pensamiento sobre los sistemas
numéricos, que se centra en la comprensión, el uso y el significado de los números, así
como en la aplicación de operaciones matemáticas y su conexión con los números.
Además, el desarrollo del pensamiento métrico es esencial para evaluar y probar
magnitudes, valores y sistemas métricos. El pensamiento métrico no solo contribuye al
pensamiento lógico matemático sino que también mejora las habilidades ciudadanas del
estudiante y su interacción con el colectivo.
El desarrollo del pensamiento aleatorio, por otro lado, implica aplicar el azar y
lidiar con situaciones que carecen de patrones específicos. Se basa en conceptos de teorías
de probabilidad y estadísticas inferenciales para encontrar soluciones a dilemas
ambiguos. Por último, el desarrollo del pensamiento variacional implica la manipulación
de sistemas algebraicos y analíticos dentro del pensamiento matemático. Reconocer y
caracterizar la variación o el cambio en diferentes contextos es un componente crucial del
pensamiento lógico matemático. Para fomentar este tipo de pensamiento, es importante
involucrar a los estudiantes activamente en situaciones en las que describen, modelan
datos y los representan utilizando diferentes formas simbólicas, como descripciones
verbales, íconos, gráficos o símbolos algebraicos.
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La progresión de estos subprocesos contribuye a la consolidación del
razonamiento matemático, lo que, en términos de educación, requiere una comprensión
más profunda de las estrategias de instrucción empleadas por los maestros para mejorar
este razonamiento en los niños. A lo largo de la historia, los enfoques educativos para la
enseñanza de conceptos matemáticos han enfatizado consistentemente el uso de
actividades lúdicas como un medio para que los docentes faciliten la adquisición de
conocimientos en estas materias y fomenten el crecimiento del razonamiento matemático.
Sin embargo, incluso hoy en día, los educadores continúan lidiando con el desafío de
encontrar nuevas vías o marcos más flexibles que apoyen de manera efectiva el desarrollo
intelectual de los estudiantes.
En relación con este tema, es importante señalar que el desarrollo del pensamiento
lógico matemático de los niños se puede potenciar a través de enfoques constructivistas
en la educación. Estos enfoques implican diversas tácticas para la enseñanza de las
matemáticas, como el uso de estrategias de gestión.
Estas estrategias implican motivar el aprendizaje de ciertas operaciones
matemáticas mediante la incorporación de materiales como papel, piedras, canicas y otros
objetos tangibles. Asimismo, se emplean estrategias de control para facilitar la
comprensión de los estudiantes de los contenidos impartidos por los profesores,
fomentando la autorregulación. Además, se implementan estrategias de procesamiento
que implican la repetición de contenidos, ejercicios en clase y la integración de
herramientas innovadoras como software de aplicaciones específicas, computadoras,
juegos y otros dispositivos. También se utilizan estrategias de apoyo, empleando sistemas
de recompensas que motivan a los estudiantes a revisar y comprender conceptos
matemáticos. Finalmente, se emplean estrategias de personalización, lo que permite a los
docentes desarrollar sus propias estrategias didácticas que resuelvan efectivamente los
problemas de una manera sencilla y comprensible para sus alumnos.
El estudio del pensamiento lógico matemático se ha convertido en una parte
integral de la educación y campos relacionados, ya que es una habilidad crucial que las
personas necesitan desarrollar a lo largo de sus vidas. Esta habilidad tiene numerosas
aplicaciones en varios contextos, por lo que es esencial que las personas la posean. Por
tanto, fomentar el desarrollo del pensamiento lógico matemático es vital para potenciar
la inteligencia matemática en los estudiantes.
Al estimular este enfoque mental, los estudiantes pueden comprender términos,
razonar sobre explicaciones y hacer sus propias deducciones sobre las relaciones entre
diferentes sistemas. Fomentar el pensamiento lógico matemático desde una edad
temprana es importante porque apoya la actividad creativa y la curiosidad de los
estudiantes sobre el mundo que les rodea. Permite que los niños pequeños se sientan
capaces de encontrar soluciones a problemas simples y desempeñen un papel en la
exploración de su entorno inmediato.
A partir de la adquisición de habilidades lógico-matemáticas, los estudiantes
pueden construir una base sólida para resolver situaciones cotidianas más complejas y
ejecutar funciones cognitivas avanzadas. A través de intervenciones educativas que se
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enfocan en involucrar a los estudiantes con la materia, se promueve el desarrollo de
habilidades de pensamiento matemático y lógico.
Fundamentación de la inteligencia lógica matemática en el proceso de enseñanza-
aprendizaje
Desde hace un tiempo, se defiende la idea de que las matemáticas no son algo que
simplemente se aprende, sino algo que se hace activamente. Esta perspectiva, se conoce
como matematización, que enfatiza la importancia de participar en actividades
matemáticas en lugar de solo memorizar hechos y fórmulas. Reconoce que cada individuo
tiene su propia forma única de abordar y comprender las matemáticas, y que esto puede
variar mucho de una persona a otra.
La idea está respaldada por la teoría de las Inteligencias Múltiples, que sugiere la
existencia de diferentes tipos de inteligencia y que los individuos pueden sobresalir en
diferentes áreas de habilidad matemática. Por ejemplo, algunas personas pueden ser
particularmente rápidas para resolver nuevos problemas, mientras que otras pueden
sobresalir en la búsqueda de soluciones sin necesidad de seguir todos los pasos. De
manera similar, algunas personas pueden disfrutar siguiendo un enfoque sistemático y
completando todos los pasos, mientras que otras pueden tener talento para estimar
cantidades de manera eficiente.
Cuando reconocemos que cada individuo posee fortalezas intelectuales únicas y
que ciertas habilidades pueden estar más avanzadas que otras, se vuelve imperativo
explorar métodos que permitan a cada estudiante comprender y generar conocimiento. Es
fundamental garantizar que todos los alumnos tengan la oportunidad de descubrir el
enfoque más eficaz adaptado a sus necesidades individuales para alcanzar los mismos
objetivos.
De acuerdo con Gardner, se reconoce ampliamente que cada individuo nace con
un potencial inherente que está formado por una combinación de factores genéticos e
influencias externas como el medio ambiente, la cultura, la educación y las experiencias
personales. Para ilustrar mejor este punto, consideremos una anécdota: imaginemos que
un maestro hace una pregunta a una clase de primer grado, preguntando si un niño todavía
podría escribir si le quitaran cinco de sus lápices. En respuesta, un niño de 6 años sugiere
ingeniosamente que depende de si el niño tiene herramientas de escritura alternativas
como bolígrafos o marcadores. Si bien la maestra no considera que la respuesta sea
correcta, reconoce que el razonamiento del niño refleja una perspectiva de sentido común.
Curiosamente, cuando el maestro revive la anécdota cuatro años después y le recuerda al
niño su respuesta inicial, él descarta el problema como algo trivial y ahora comprende
que sin lápices o instrumentos de escritura adecuados, escribir sería imposible.
El niño de seis años estaba profundamente absorto reflexionando sobre un
desconcertante problema matemático, su mente completamente inmersa en el reino de los
números y los cálculos. Sin embargo, parecía que en algún lugar dentro de la vasta red de
influencias que comprende el sistema educativo, el maestro y posiblemente incluso su
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familia, se había producido una divergencia. Durante un lapso de cuatro largos años, había
estado expuesto a un conjunto diferente de principios matemáticos, cambiando
gradualmente su percepción de lo que constituía una solución válida. Como consecuencia,
la respuesta intuitiva y lógica derivada de su sentido común innato se había vuelto
obsoleta: ya no se alineaba con los rígidos estándares impuestos por el plan de estudios
académico diseñado para impartir el arte de aprender Matemáticas.
Naturalmente, una de las sugerencias que surge como resultado de la reflexión
sobre estos conceptos es la incorporación de la educación matemática en el aprendizaje
de la primera infancia, tal como lo propone Berdonneau (2008). Este enfoque enfatiza el
cultivo de habilidades de razonamiento lógico, promoviendo una expedición cautivadora
a través del reino de las matemáticas.
En su libro, Escamilla (2014) detalla los diversos indicadores que pueden
utilizarse para identificar la presencia de Inteligencia Lógico-Matemática. Estos
indicadores juegan un papel crucial en el fomento del desarrollo de habilidades de
razonamiento, que Escamilla apoya firmemente. Al comprender y reconocer estos
indicadores, las personas pueden aprovechar eficazmente su inteligencia lógico-
matemática y mejorar su capacidad para pensar críticamente y resolver problemas,
favoreciendo:
• La capacidad de realizar cálculos rápidamente en la mente, implica ser capaz de
resolver problemas matemáticos sin el uso de ayudas o dispositivos externos.
• Resolver situaciones problemáticas que manipulan números y aritmética.
• Manipular diferentes tipos de materiales con fines de cuantificación,
comparación, serialización, clasificación, pesaje, medición y representación.
• Comprender y aplicar símbolos matemáticos.
• Identificar situaciones problema que requieran diferentes tipos de operaciones
para su solución.
• Elaborar y resolver acertijos y juegos de estrategia.
• Analizar e identificar diferentes tipos de declaraciones, funciones y otros
conceptos relacionados.
• Desarrollar una comprensión profunda y competencia en los principios y teorías
relacionadas con la cantidad, el tiempo y la relación causa-efecto.
• Interpretar datos estadísticos y presenta su información en forma de varios tipos
de gráficos.
• Identificar los elementos causales en varios tipos de fenómenos y eventos.
• Establecer relaciones entre los factores causales de fenómenos y eventos.
• Reconocer las consecuencias de varios tipos de fenómenos y eventos.
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• La capacidad para reconocer y comprender elementos significativos es crucial
cuando se emprenden procedimientos como el análisis y la síntesis, la inducción
y la deducción. Esto se aplica no solo a varias situaciones, objetos, personas,
conceptos, principios y teorías, sino también a cualquier otro aspecto relevante
que pueda encontrarse. Al perfeccionar estas habilidades, las personas pueden
navegar y comprender de manera efectiva las complejidades de diferentes
escenarios, lo que facilita sus procesos de toma de decisiones y sus habilidades
generales para resolver problemas.
• Pensar lógica y matemáticamente reuniendo evidencia, formulando hipótesis,
formulando modelos, desarrollando contraejemplos y construyendo argumentos
sólidos.
• Demostrar una actitud crítica, negándose a aceptar hechos que no pueden ser
verificados empíricamente.
Las matemáticas y el razonamiento están interconectados y forman la base de una
estructura sistemática. En otras palabras, las matemáticas permiten el razonamiento y el
razonamiento mejora nuestra comprensión de las matemáticas. Sin embargo, el desarrollo
de conceptos matemáticos a menudo se ve como un proceso de abstracción y
generalización, desconectado de factores socioculturales. Es crucial reconocer que los
procesos matemáticos no están confinados a los reinos abstractos de la mente, sino que
están influenciados por procesos socioculturales más amplios.
Esta precaución nos lleva a reconocer las aplicaciones prácticas de las
matemáticas en nuestra vida diaria. También presenta el concepto de enseñar y estudiar
matemáticas como dos actividades distintas pero interconectadas. La enseñanza implica
la guía experta y la colaboración con los estudiantes, mientras que el estudio es un proceso
gradual de crecimiento y maduración. Aprender matemáticas va más allá de simplemente
encontrar respuestas a preguntas; implica desarrollar el pensamiento matemático, apreciar
sus principios, expresar ideas y manipular conceptos generales.
El aprendizaje efectivo en matemáticas es complejo. Requiere algo más que la
suma de los componentes individuales; requiere el análisis y la síntesis de las relaciones.
Es importante recordar uno de los indicadores de la inteligencia lógico-matemática, que
enfatiza la capacidad de reconocer elementos significativos y aplicar procedimientos
analíticos y sintéticos a diversas situaciones, objetos, personas, conceptos, principios y
teorías.
En resumen, las matemáticas y el razonamiento están entrelazados, formando el
marco de una estructura sistemática. Si bien se debe tener precaución al comprender las
influencias socioculturales en el desarrollo matemático, las matemáticas siguen siendo
invaluables en nuestra vida diaria. La enseñanza y el estudio de las matemáticas son
procesos interconectados, con énfasis en el desarrollo del pensamiento matemático y la
comprensión de la generalidad. El aprendizaje eficaz de las matemáticas implica aceptar
la complejidad y analizar las relaciones.
17
Debido a esta lógica, está altamente justificado y es esencial brindar una
comprensión amplia y completa de las pautas, tanto en términos de sustancia como de
metodología, descritas en el documento del Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas (NCTM) publicado en 2000. El enfoque pretende establecer una conexión
entre estos estándares y los indicadores de la inteligencia lógico-matemática, al mismo
tiempo que reconoce y fomenta el desarrollo de otras inteligencias diversas. La intención
detrás de este análisis es reconocer la importancia de las inteligencias múltiples en el
contexto de la educación matemática y explorar cómo estas inteligencias pueden
integrarse efectivamente en los procesos de enseñanza y aprendizaje:
• El componente de Números y Operaciones de la educación matemática se enfoca
en desarrollar una comprensión profunda de los números, las operaciones
matemáticas y la capacidad de calcular con fluidez. Abarca varios aspectos, como
comprender el significado de las operaciones matemáticas, comparar cantidades
y obtener una comprensión sólida de la estructura del sistema decimal utilizando
números enteros. A medida que los estudiantes progresan, aumenta la importancia
de las fracciones y los números enteros. Además, es fundamental poder realizar
cálculos utilizando diferentes métodos, incluidas las técnicas de cálculo mental y
estimación, además de los cálculos tradicionales de lápiz y papel. Dominar este
componente también requiere la utilización de la inteligencia visoespacial y,
particularmente durante las etapas iniciales del aprendizaje, la inteligencia
corporal-kinestésica.
• El álgebra ha tenido un impacto significativo en el desarrollo de las matemáticas
a lo largo de la historia al introducir símbolos algebraicos y los procedimientos
para manipularlos. Para comprender verdaderamente el álgebra, es crucial verla
como una colección de conceptos y técnicas que pertenecen a la representación
de relaciones cuantitativas. Asimismo, sirve como un estilo de pensamiento
matemático que permite la formalización de patrones, funciones y
generalizaciones. A pesar de la creencia común de que el álgebra es más adecuado
para estudiantes de secundaria y preparatoria, los niños pequeños también pueden
emplear el razonamiento algebraico cuando estudian números, operaciones y
exploran patrones y relaciones entre conjuntos de números. Además, el álgebra se
puede aplicar a las ideas geométricas, destacando la importancia de la inteligencia
lógico-matemática y visual-espacial en su estudio.
• La geometría involucra la exploración y comprensión de las propiedades,
clasificaciones y razonamiento de formas y figuras. Para comprender realmente
el tema, los estudiantes deben participar en actividades de pensamiento y
prácticas, lo que les permite crear, visualizar y medir relaciones geométricas. Es
fundamental incorporar el uso de materiales didáctico interactivos, así como
actividades como plegado y construcción, para ayudar a los estudiantes a
desarrollar una comprensión concreta de los conceptos. Estas actividades también
aprovechan la inteligencia visoespacial y, particularmente durante las etapas
iniciales del aprendizaje, la inteligencia cinestésica corporal.
18
• El campo de la medición abarca la comprensión de varios componentes, como
atributos de medición, unidades, sistemas y procesos. Además, implica la
utilización de técnicas, herramientas y fórmulas para determinar las medidas, lo
que tiene una importancia inmensa debido a su amplio alcance y relevancia en
numerosos aspectos de la vida. La medición sirve como un medio para integrar
diferentes principios matemáticos, ya que brinda oportunidades para adquirir y
aplicar conocimientos en otras disciplinas, como números, geometría y
estadística. Su avance se cultiva a través de la estimulación de las inteligencias
visoespacial, corporal-kinestésica y lógico-matemática.
• El análisis de datos y probabilidad no solo es valioso por sí solo, sino que se
potencia cuando se integra con otras áreas de conocimiento. Al incorporar un
enfoque de "enseñar a pensar", estas actividades pueden contribuir en gran medida
al desarrollo de la inteligencia lingüística, las habilidades verbales, las habilidades
interpersonales y las habilidades intrapersonales. Este enfoque alienta a los
estudiantes a hacer preguntas que invitan a la reflexión sobre diversos temas y
recopilar, organizar y presentar de manera efectiva datos relevantes para encontrar
respuestas. También, enfatiza la importancia de aprender métodos estadísticos
apropiados para el análisis de datos, hacer inferencias y predicciones informadas
basadas en los datos y obtener una comprensión sólida de los principios
fundamentales de probabilidad.
• Las representaciones son esenciales para comprender y utilizar ideas matemáticas.
Estas representaciones pueden tomar varias formas, como imágenes, tablas,
gráficos, números, letras y hojas de cálculo. Han evolucionado con el tiempo a
través del refinamiento cultural. Al tener acceso a estas representaciones
matemáticas y poder crear las suyas propias, mejora su capacidad para analizar e
interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos. Esto, a su vez, contribuye
al desarrollo de la inteligencia interpersonal, intrapersonal y naturalista.
• La resolución de problemas es un aspecto crucial de las matemáticas y juega un
papel importante en estimular la reflexión sobre el razonamiento utilizado durante
el proceso de resolución de problemas. Nos permite aplicar y modificar estrategias
desarrolladas para resolver otros problemas. A través de la resolución de
problemas, no solo desarrollamos habilidades de pensamiento crítico, sino que
también cultivamos hábitos como la perseverancia, la curiosidad y la confianza
para enfrentar nuevas situaciones. Estas habilidades y rasgos adquiridos son
invaluables en escenarios de la vida real. Además, la resolución de problemas está
relacionada con la toma de decisiones dentro de contextos sociales y culturales
específicos que se basan en la comunicación verbal. Esta cooperación contribuye
en última instancia a potenciar la inteligencia intrapersonal, interpersonal y
lingüístico-verbal.
• El razonamiento matemático proporciona formas efectivas de desarrollar y
articular la comprensión de varios fenómenos. Las personas que se involucran en
el pensamiento y el razonamiento analítico tienden a identificar patrones,
19
estructuras y regularidades en escenarios matemáticos, así como en el mundo
físico. Asimismo, construyen y exploran conjeturas matemáticas, emplean y
evalúan argumentos y pruebas matemáticas como medios sistemáticos para
transmitir formas específicas de razonamiento y justificación.
• La comunicación juega un papel crucial en el intercambio y la clarificación de
ideas matemáticas. Permite que las ideas se transformen en objetos tangibles de
reflexión, discusión y rectificación. El proceso de comunicación no solo facilita
el desarrollo de conceptos matemáticos, sino que también depende en gran medida
de la aplicación de las inteligencias interpersonal y lingüístico-verbal. Estas
inteligencias contribuyen activamente al intercambio efectivo de conocimientos y
comprensión matemáticos.
• Hacer conexiones entre ideas matemáticas mejora la comprensión y asegura que
el conocimiento adquirido se retenga por un período de tiempo más largo.
Tomando en consideración una perspectiva integradora, se hace evidente que hay
dos formas adicionales de inteligencia que, cuando se combinan con ciertos estándares
matemáticos, no deben pasarse por alto. Estos tipos particulares de inteligencia, a saber,
la inteligencia visoespacial y la inteligencia cinestésica corporal.
La inteligencia visoespacial se puede definir como la capacidad innata para
percibir, comprender y manipular información visual y espacial. Abarca la capacidad de
reconocer, descifrar y codificar datos visuales, así como la aptitud para interpretar,
navegar y ordenar el espacio físico. Esta habilidad cognitiva permite a los individuos
comprender, retener, articular e identificar diversos objetos, distancias, recorridos y
trayectorias dentro de su entorno. Al considerar su conexión con las matemáticas, hay
varios indicadores que destacan la correlación entre la inteligencia visoespacial y la
competencia matemática:
• Rompecabezas fáciles de resolver.
• Considerar aspectos como la forma, el tamaño y la proporción en sus
representaciones.
• Diseñar mapas y planos de manera precisa, ordenada y rigurosa.
• Una habilidad importante es poder identificar y comprender patrones que existen
tanto en nuestro entorno como en diversas formas de creaciones artísticas. Esto
implica ser capaz de detectar e interpretar formas recurrentes como líneas,
rectángulos, cuadrados y círculos. Al reconocer estos patrones, podemos obtener
una comprensión y una apreciación más profundas del mundo que nos rodea.
La inteligencia corporal-kinestésica, se refiere al potencial de un individuo para
utilizar todo su cuerpo o partes y segmentos específicos del cuerpo para mejorar sus
habilidades de pensamiento y expresar de manera efectiva sus ideas y emociones, así
como manipular, transformar, y crear diversos objetos y materiales. Es de enfatizar que
la estimulación de la inteligencia corporal-kinestésica es crucial para mejorar la
20
representación y la comunicación en otros dominios de la inteligencia. Mediante la
adquisición de conocimientos, el desarrollo de la conciencia y la puesta en práctica de
habilidades perceptivo-motoras, las personas pueden fomentar el desarrollo de su
inteligencia lógico-matemática. Esto está respaldado por varios indicadores que están
estrechamente relacionados con las habilidades y destrezas matemáticas:
• Captura experiencias manipulativas y las representa mentalmente.
• Acople y separe objetos fácilmente.
• Creación de diferentes tipos de obras escultóricas representando formas,
dimensiones y volúmenes
El Informe Pisa 2012 ofrece una definición completa del área de evaluación de
matemáticas, que se centra en la capacidad de un individuo para aplicar conceptos
matemáticos en diversas situaciones del mundo real. Esto incluye no solo la capacidad de
resolver problemas matemáticos, sino también la capacidad de comprender e interpretar
datos matemáticos y usar herramientas matemáticas de manera efectiva.
Al examinar las habilidades matemáticas básicas descritas en el Pensamiento y la
Acción Matemáticos propuestos por el Informe Pisa, se puede identificar claramente la
fuerte correlación con las habilidades significativas asociadas con la Inteligencia Lógico-
Matemática. Estas habilidades no solo equipan a las personas con las habilidades
necesarias para sobresalir en matemáticas, sino que también les permiten pensar
críticamente, razonar lógicamente y predecir resultados basados en principios
matemáticos. Así, es evidente que el desarrollo de la competencia matemática está
íntimamente ligado al cultivo de la Inteligencia Lógico-Matemática:
• El proceso de serializar, clasificar, sintetizar y desarrollar un esquema implica una
serie de pasos para organizar y estructurar la información de manera sistemática.
• Identificar elementos y relaciones causa/efecto.
• Una de las tareas clave es reconocer y discernir patrones, ya sea que se relacionen
con comportamientos humanos, sistemas complejos u objetos tangibles. Esto
implica observar y analizar cuidadosamente varios elementos y conectarlos entre
sí para identificar secuencias recurrentes, similitudes o regularidades que existen
dentro de ellos. Al comprender estos patrones, podemos obtener información y
perspectivas valiosas, lo que nos permite tomar decisiones más informadas,
predecir resultados futuros o incluso desarrollar soluciones innovadoras.
Reconocer patrones nos permite comprender mejor el mundo que nos rodea y
descubrir los principios subyacentes que rigen el funcionamiento de diferentes
aspectos de nuestras vidas. Nos empodera para hacer conexiones, dibujar
asociaciones y, en última instancia, profundizar nuestra comprensión de las
complejidades inherentes a los diversos fenómenos que encontramos.
• Una forma de resolver situaciones problemáticas es manipulando números y
realizando operaciones matemáticas sobre ellos.
21
• Participación en actividades de resolución de problemas y juegos estratégicos.
• Determinar proposiciones, funciones y otras abstracciones relacionadas.
Al examinar cómo se manifiestan estas acciones en las diversas actividades dentro
del ámbito de las matemáticas, es importante reconocer el poder inherente de las
matemáticas como lenguaje. De hecho, podría decirse que las matemáticas podrían
considerarse el lenguaje más potente de todos, debido a su notable capacidad para
transmitir información sin ambigüedades y de manera concisa. Este lenguaje es
consistente y aplicable a través de todas las fronteras, lo que lo convierte en una
herramienta verdaderamente universal. Para ilustrar esta universalidad, basta comparar
los contenidos curriculares de tres países distintos, como Brasil, Australia y España. Tras
una inspección más cercana, se hace evidente que los conceptos matemáticos que se
enseñan en estas naciones son esencialmente idénticos, lo que enfatiza aún más la
naturaleza universal del conocimiento matemático.
El lenguaje universal tiene una ventaja significativa, y es su capacidad para
facilitar la aplicación práctica de las matemáticas en nuestra vida cotidiana. Esto se logra
a través de la comprensión compartida y la referencia a los mismos conceptos,
independientemente de las diferencias culturales o las barreras del idioma. Además, este
lenguaje universal trasciende las diversas formas en que se utilizan los números y las
medidas, lo que permite una comunicación y colaboración fluidas en diferentes contextos.
A lo largo de la historia, los humanos han desarrollado diversos sistemas para
contar y expresar valores numéricos. Uno de esos sistemas que se ha mantenido constante
durante miles de años es el uso de signos o símbolos numéricos para representar números.
Cuando contamos y recitamos números, ya sea en inglés, portugués o cualquier otro
idioma, confiamos en estos signos para transmitir el valor numérico. Estos signos, a los
que comúnmente nos referimos como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, se han arraigado
profundamente en nuestra conciencia colectiva y se entienden universalmente como
representaciones de cantidades específicas. Esta convención ha permitido una
comunicación y comprensión fluidas de los conceptos numéricos, lo que nos permite
realizar cálculos complejos y navegar nuestra vida diaria con facilidad. Desde las
civilizaciones antiguas hasta los tiempos modernos, el uso de estos signos numéricos ha
trascendido las fronteras culturales y se ha convertido en una parte integral de la
civilización humana.
Es realmente notable que hayamos logrado la capacidad de enviar sondas no
tripuladas, conocidas como Voyager, para explorar los confines del universo. Estas sondas
fueron lanzadas al espacio en 1977 y actualmente se encuentran a más de 18.000 millones
de kilómetros del Sol. Lo que es aún más sorprendente es que estas sondas llevan un
mensaje de la humanidad, destinado a cualquier ser extraterrestre potencial que puedan
encontrar. Dentro de este mensaje, una parte significativa de la información está
codificada en lenguaje matemático. Por ejemplo, incluye la edad de un feto humano
medida en segundos junto con su longitud correspondiente, el momento preciso de la
concepción y varias unidades físicas. Estos códigos matemáticos contienen siglos de
22
conocimiento y comprensión que esperamos que otros seres inteligentes puedan descifrar,
tal como se ha hecho a lo largo de la historia en nuestro mundo diverso y lingüísticamente
rico.
Cuando se trata de construir cantidades numéricas, nos encontramos con una
situación compleja porque los números son fundamentales en la comunicación
matemática y son construcciones inherentemente subjetivas formadas dentro de nuestras
mentes en lugar de propiedades inherentes de los objetos. Al referimos a que un niño en
el jardín de infantes sabe contar, en realidad nos referimos a su capacidad para recitar
números. Sin embargo, es solo cuando comienzan a conectar cada número con su cantidad
respectiva que realmente comienzan a contar.
Uno de los aspectos intrigantes de los números es su complejidad, ya que están
representados por el mismo símbolo a pesar de representar cantidades muy diferentes.
Esto se puede observar al contar dos ovejas o dos mosquitos, donde se emplea el número
2 en ambos escenarios. Aunque, este símbolo numérico carece de significado inherente
por sí mismo, lo que requiere el conocimiento de la serie numérica para comprender que
dos es una unidad mayor que uno y una unidad menor que tres.
La representación simbólica de un número pertenece a un sistema de numeración
utilizado para expresar cantidades. En nuestra existencia cotidiana, nos encontramos con
tres sistemas de numeración distintos:
• El sistema de numeración oral se refiere a la forma en que expresamos y
articulamos verbalmente los nombres de los valores numéricos. Este sistema
abarca varias prácticas lingüísticas y culturales que se han desarrollado a lo largo
del tiempo para facilitar la comunicación y la comprensión efectivas de los
números. Implica el uso de palabras específicas, sonidos fonéticos y patrones de
entonación para representar diferentes cantidades o valores numéricos. El sistema
numérico oral juega un papel crucial en la vida cotidiana, ya que nos permite
expresar cantidades, contar objetos y realizar cálculos matemáticos a través del
lenguaje hablado. Además, este sistema puede variar entre diferentes idiomas y
culturas, lo que refleja las diversas formas en que los números se conceptualizan
y expresan en todo el mundo. Comprender y utilizar el sistema numérico oral es
fundamental en la adquisición del lenguaje, el aprendizaje matemático y la
competencia comunicativa en general.
• Un método eficaz de representar números mediante el uso de números arábigos
en forma escrita.
• Un método alternativo de representación numérica es mediante la utilización de
números romanos en forma escrita.
En términos de numeración oral, los dieciséis números iniciales se nombran
individualmente, desde cero hasta quince. Posteriormente, al incorporar ocho términos
adicionales (como veinte, treinta, cuarenta, etc.), junto con ciertas reglas de combinación,
podemos expresar todos los números entre dieciséis y noventa y nueve. Además,
23
introduciendo la palabra "cien" y combinándola con términos previamente establecidos
(como dos, tres, cuatro, etc.), podemos nombrar novecientos números adicionales.
De manera similar, la palabra "mil" se puede combinar con términos existentes
(como dos, tres, etc.) para representar más de novecientos mil números. Este patrón
continúa indefinidamente, extendiéndose hacia el infinito. Estos conceptos abarcan tanto
un aspecto numérico, que denota valores mayores que cualquier cantidad específica,
como un aspecto geométrico, que indica la distancia desde la ubicación actual del
hablante.
Cuando se trata de representar números a través de símbolos, es importante señalar
que el arte de la caligrafía juega un papel importante en la Educación Infantil. Enseñar a
los niños cómo escribir números usando gestos gráficos específicos es crucial para su
desarrollo y comprensión de los conceptos numéricos. Esto significa que las familias, que
son las principales educadoras de los niños pequeños, deben participar activamente en la
enseñanza y el refuerzo de estas técnicas caligráficas. Al hacerlo, los niños pueden
aprender a reconocer y apreciar la belleza y precisión de la representación numérica,
estableciendo una base sólida para sus habilidades y destrezas matemáticas:
• Los cuatro números que comienzan en la parte superior y tienen una forma curva
que gira en sentido antihorario son 0, 6, 8 y 9.
• Los números que comienzan a mitad de camino, ascendiendo ya sea de forma
lineal como 1 o de forma curva similar a 2 o 3.
• Los números que se obtienen al levantar dos veces el lápiz son 4, 7 y 5 (el último
se puede expresar de dos formas diferentes).
Los números brindan la base para el cálculo y, en la educación infantil, el objetivo
es ayudar a los niños a comprender el concepto de transformar o modificar cantidades
mediante la suma y la resta. En estas operaciones matemáticas iniciales, es crucial
asegurarse de que los niños entiendan la conexión entre las acciones de la vida real y las
representaciones simbólicas. Para lograrlo, se utiliza la manipulación, que implica
interactuar físicamente con los objetos. La introducción de conceptos matemáticos
comienza con las propias experiencias prácticas del estudiante (la fase manipulativa), se
refuerza aún más a través de representaciones visuales (la fase gráfica) y finalmente
culmina en la capacidad de comprender símbolos abstractos (la fase simbólica).
Durante la fase de manipulación, se exploran y examinan ideas y conceptos a
través de actividades prácticas y experimentos. Esta fase implica involucrarse
activamente con materiales y herramientas para obtener una comprensión más profunda
del tema. A través de este proceso, los alumnos pueden manipular objetos y manipular
variables para observar relaciones de causa y efecto, desarrollar hipótesis y sacar
conclusiones. La fase manipulativa es crucial para promover el aprendizaje activo y
proporcionar a los estudiantes una experiencia de aprendizaje tangible e inmersiva.
• Mediante la manipulación activa de objetos y la participación en actividades
prácticas, los alumnos pueden internalizar y aplicar su conocimiento de una
24
manera práctica y significativa. Esta fase fomenta el pensamiento crítico, las
habilidades para resolver problemas y el desarrollo de una base sólida en el tema.
• Durante la fase gráfica, se esboza una representación ilustrada para representar
visualmente las cantidades matemáticas.
• La fase simbólica de la estructuración de algoritmos implica el uso de signos y
símbolos matemáticos para representar e interpretar experiencias de la vida real.
Dentro del ámbito de la inteligencia lógico-matemática, existe una multitud de
indicadores que están estrechamente asociados con este enfoque particular:
• Resolver situaciones problemáticas mediante la manipulación.
• La manipulación permite el manejo de diversos materiales, independientemente
de su tipo o composición.
• El individuo es capaz de comprender y aplicar símbolos matemáticos en varios
contextos. Pueden interpretar efectivamente el significado detrás de estos
símbolos y utilizarlos para resolver problemas matemáticos o comunicar
conceptos matemáticos.
• Las situaciones presentadas plantean desafíos que solo pueden resolverse
mediante el uso de varios tipos de operaciones.
• Crea y resuelve acertijos y juegos estratégicos.
• Define operadores, funciones y otras abstracciones relacionadas.
• Reconoce las consecuencias de diferentes tipos de fenómenos y eventos.
• El individuo es capaz de identificar y reconocer componentes importantes para
realizar de manera efectiva los procesos de análisis y síntesis, así como participar
en el razonamiento lógico a través de la inducción y la deducción.
• Piensa lógica y matemáticamente.
Exploremos dos tipos diferentes de materiales que ayudan en la introducción de
conceptos matemáticos a través de la manipulación práctica. Estos materiales incluyen
las reglas de Cuisenaire y el geoplano. Las reglas de Cuisenaire son barras de madera que
vienen en varios colores, representando diferentes números, cada barra tiene una sección
de 1 cm2 y una longitud que va de 1 cm a 10 cm. Por otro lado, el geoplano es un tipo
diferente de manipulativo que permite a los estudiantes explorar visual y tácticamente
conceptos geométricos.
Las pautas otorgan a los estudiantes la libertad de participar en una variedad de
acciones, como observar, analizar, reflexionar, discutir y crear, lo que les permite
desarrollar activamente habilidades de pensamiento crítico y procesos cognitivos
esenciales. Al fomentar la interacción con sus compañeros, los estudiantes pueden
trabajar en colaboración para perfeccionar sus habilidades para pensar de manera crítica
y profunda sobre diversos temas:
25
• El concepto, que muestra claramente signos significativos de una determinada
acción o comportamiento, es evidente y se puede observar.
• El juicio es el acto de tomar una decisión o formarse una opinión sobre los objetos,
ya sea afirmando o negando algo.
• La razón detrás de esto es que al pasar por el proceso de juicio, uno puede llegar
a conclusiones justificadas y sólidas.
Las reglas no solo nos ayudan con los números y las operaciones, sino también
con otras áreas de las matemáticas, como el álgebra, la geometría, la medición y el análisis
de datos. En esencia, nos involucramos en un estudio integral de las matemáticas. Sin
embargo, un aspecto que representa un desafío para muchos docentes es la enseñanza de
la resta, ya que implica representar el sustraendo como una cantidad distinta, cuando en
realidad significa la acción que se realiza sobre la cantidad total. Es la opinión de muchos
docentes que herramientas como las reglas pueden ayudar a paliar estos conflictos
cognitivos y facilitar la enseñanza de la resta.
El uso de reglas permite implementar diversas estrategias que no solo mejoran la
inteligencia lógico-matemática sino que también potencian otras formas de inteligencia:
• Las habilidades visoespaciales implican la capacidad de ordenar y organizar la
información visual de manera sistemática y estratégica, tomando en consideración
diversos factores como el propósito, el momento, la justificación, los
colaboradores, los recursos, las metodologías y las normas involucradas.
• La inteligencia corporal-kinestésica implica la capacidad de manipular y
manipular objetos reconociendo y comunicando sus propósitos, las sensaciones
experimentadas y los resultados obtenidos. También implica organizar los
procesos de representación gráfica de acuerdo con un plan que incluye
comprender qué, cuándo, por qué, para qué, con quién, con qué herramientas,
cómo y bajo qué reglas. Además, las personas con inteligencia corporal-
kinestésica son capaces de desmontar y montar objetos, describiendo su
experiencia e identificando la posición y función de cada componente.
El geoplano demuestra ser una herramienta valiosa para examinar y comprender
varias formas y patrones geométricos:
• Propiedades de cada figura (número de lados, diagonales, etc.).
• Relaciones que se establecen entre diferentes figuras (composición y
descomposición, etc.).
• El estudio de las relaciones espaciales mediante la geometría de coordenadas
implica la comprensión de la posición, la distancia y otros conceptos relacionados.
• Transformación de unas formas en otras.
Se conoce tres clases de geoplanos:
26
• El geoplano cuadrado es una herramienta versátil que se utiliza para explorar
varios conceptos matemáticos. Nos permite visualizar y comprender segmentos,
líneas poligonales abiertas y cerradas, polígonos, ángulos, así como calcular áreas,
perímetros y superficies. Para crear un geoplano cuadrado, necesitaremos una
lámina de madera de 20 x 20 cm, con un grosor de 1 cm. Además, necesitaremos
100 clavos pequeños y una variedad de bandas elásticas en diferentes tamaños y
colores. Al utilizar esta herramienta, podemos profundizar en el mundo de la
geometría y mejorar nuestra comprensión de estos principios matemáticos
fundamentales.
• Un tipo de geoplano que se puede utilizar para crear figuras o formas
tridimensionales con la ilusión de profundidad y perspectiva.
• Otro para explorar conceptos geométricos es el geoplano circular. Este dispositivo
permite a los usuarios crear una variedad de figuras, como formas inscritas y
circunscritas, así como polígonos regulares. Al usar el geoplano circular, las
personas pueden desarrollar una comprensión más profunda de términos
geométricos importantes como radio, diámetro y cuerda. Este enfoque práctico
del aprendizaje ayuda a reforzar estos conceptos y fomenta una mayor exploración
en el campo de la geometría.
El geoplano es una herramienta que permite el desarrollo de diversas inteligencias,
entre ellas la lógico-matemática, así como otras inteligencias múltiples:
• El aspecto visoespacial del aprendizaje implica la capacidad de diseñar y construir
modelos, como usar un geoplano, e identificar con precisión posiciones,
distancias, rutas y direcciones dentro de ellos. Asimismo, implica la habilidad de
buscar y reconocer diversas figuras, formas geométricas y patrones tanto en el
entorno físico como en las obras artísticas, como líneas, rectángulos, cuadrados,
círculos, hexágonos, cubos y esferas. Además, este aspecto del aprendizaje
incluye la capacidad de explicar la funcionalidad y el propósito de estas formas y
patrones. Por último, engloba la habilidad de organizar los procesos de
representación gráfica de acuerdo a un plan predeterminado, considerando
factores como qué se debe representar, cuándo se debe realizar, por qué es
importante, para quién es, qué herramientas o recursos se requieren. , cómo se
debe hacer y las reglas o pautas que se deben seguir.
• La inteligencia corporal-kinestésica implica la capacidad de manipular y manejar
objetos, así como reconocer y comunicar sus propósitos, las sensaciones
experimentadas y los resultados obtenidos al interactuar con ellos. Esta
inteligencia también incluye organizar los procesos de representación gráfica en
base a un plan, considerando factores como qué, cuándo, por qué, para qué, con
quién, con qué recursos, cómo y bajo qué reglas. Además, las personas con
inteligencia cinestésica corporal son expertas en desmontar y montar objetos o
figuras, describir sus experiencias al hacerlo e identificar la posición y función de
cada componente.
27
Cerebro y procesos psicológicos
Es crucial reconocer y comprender los cuatro procesos psicológicos
fundamentales que están íntimamente involucrados en el acto de manipulación. Al
reconocer y comprender estos procesos, podemos obtener una visión más profunda de la
mecánica detrás de la manipulación y desarrollar estrategias efectivas para protegernos
de sus efectos negativos:
• La sensación es el proceso por el cual los estímulos físicos se transforman en
señales neuronales que pueden ser procesadas por el sistema nervioso. Esta
conversión permite que nuestro cuerpo perciba e interprete los diversos estímulos
presentes en nuestro entorno.
• La percepción juega un papel crucial en el proceso cognitivo humano, ya que
ayuda en la organización e interpretación de la información sensorial recibida de
nuestro entorno.
• La atención es la capacidad cognitiva de elegir y enfocarse en información
sensorial específica mientras también guía nuestros procesos mentales. Existe una
correlación entre la atención y la curva de olvido, que sirve como representación
visual de la disminución de nuestra capacidad para retener información a medida
que pasa el tiempo. Por lo general, en cuestión de días, aproximadamente la mitad
del conocimiento que hemos adquirido se olvida a menos que participemos
activamente en revisarlo y reforzarlo.
• La memoria permite capturar, salvaguardar y evocar experiencias pasadas.
En términos de consumo de energía, el cerebro humano utiliza aproximadamente
250-300 kilocalorías por día, lo que representa aproximadamente el 10% de la ingesta
calórica de una persona normal. Este consumo de energía equivale a operar a 15 watts de
potencia, comparable a la energía consumida por una afeitadora eléctrica durante 10
minutos. Tales hechos resaltan la increíble eficiencia y complejidad de las operaciones
del cerebro.
El cerebro, que es un órgano notable y misterioso, es responsable de varios
procesos psicológicos esenciales. Al utilizar principios matemáticos, podemos
profundizar en algunas características intrigantes de este órgano complejo. Por ejemplo,
un cerebro humano adulto promedio pesa alrededor de 1300 a 1400 gramos. Además, un
sorprendente 80 % de su composición es agua, lo que enfatiza la importancia de mantener
una hidratación adecuada para una función cerebral óptima.
Intentando comprender la inmensidad de la red neuronal del cerebro, podemos
estimar que contiene alrededor de 100.000.000.000 de neuronas. Esta asombrosa cifra es
similar a la cantidad de estrellas presentes en nuestra galaxia, la Vía Láctea. Para contar
realmente cada neurona individual, a razón de una por segundo, se necesitaría una vida
útil de más de 3.000 años. Esta noción enfatiza aún más la alucinante complejidad y la
gran magnitud del cerebro humano.
28
El lóbulo parietal, en particular las secciones adyacentes a los lóbulos temporales,
alberga una notable capacidad para las matemáticas. Además, estos lóbulos parietales
ayudan a las personas a percibir el posicionamiento de varias partes de sus cuerpos y
orientarse dentro del ámbito espacial. Esto abarca una variedad de habilidades, como
colocar con precisión las figuras de un dibujo en el centro o en los extremos, utilizar
efectivamente el espacio dentro de un salón de clases o en un patio de recreo, así como
posicionarse correctamente en relación con un objeto (ya sea a la derecha, a la izquierda,
delante o detrás).
Asimismo, implica la capacidad de situarse en relación con un círculo dibujado
en el suelo o de posicionar adecuadamente un objeto encima o debajo de otro. el lóbulo
temporal cumple un papel crucial en la interpretación de las imágenes, procesando la
información fáctica almacenada en la memoria y permite recordar situaciones
previamente memorizadas. Es importante resaltar que cualquier deterioro del hemisferio
derecho puede afectar negativamente la memoria de las formas, particularmente en el
ámbito de las figuras geométricas planas en matemáticas.
Dentro de la intrincada estructura del cerebro humano, encontramos un
componente importante conocido como lóbulos. La teoría de las Inteligencias Múltiples
ha profundizado en el examen de la localización cerebral de la inteligencia matemática.
Reputados investigadores como Escamilla (2014), basándose en las ideas de Gardner
(1983), han afirmado que esta inteligencia matemática se sitúa principalmente en el lóbulo
parietal izquierdo, así como las áreas de asociación temporal y occipital. Vale la pena
señalar que el hemisferio derecho también juega un papel en ciertas operaciones
matemáticas.
Nos encontramos en un campo de estudio que debe despertar el interés de los
educadores: la neurociencia. Este campo es particularmente relevante ya que el cerebro
participa activamente en el proceso de aprendizaje, y sería un error pasar por alto su
importancia. Esto es especialmente importante para evitar que surjan posibles dificultades
de aprendizaje. Además, obtener una comprensión de cómo se manipula el cerebro es
crucial en el desarrollo del pensamiento matemático. Existe una conexión directa entre la
neurociencia y el concepto de inteligencias múltiples, lo que hace aún más pertinente
explorar el papel del cerebro en las funciones cotidianas. Muchas de estas funciones
ocurren dentro del entorno escolar, pero a menudo pasan desapercibidas para los
maestros.
A lo largo de nuestras vidas, nos involucramos en una multitud de experiencias de
aprendizaje que requieren varios niveles de complejidad. Por ejemplo, al enseñar el
concepto de cero, es importante no introducirlo como el primer número. En cambio, debe
percibirse como la ausencia de elementos. Sin una conciencia previa de la existencia de
los elementos, uno no puede comprender completamente el concepto de su ausencia. En
matemáticas, el cero es el resultado de restar 'algo' de sí mismo. En otras palabras, si
igualamos 'algo' a todo, entonces restando todo de todo resulta en nada, o cero.
Cuando se trata de operaciones aritméticas, es fundamental que empecemos por
manipular. Antes de sumergirnos en los cálculos, es muy recomendable utilizar nuestras
29
manos para practicar la suma. A todos nos han enseñado a sumar con los dedos, pero
también hay otras herramientas disponibles, como las reglas de Cusinaire, que pueden
ayudarnos a mejorar nuestra comprensión de la suma. De manera similar, cuando se trata
de medir cantidades continuas, confiamos en la comparación. Es un proceso continuo en
el que los niños valoran y evalúan continuamente cantidades comparándolas entre sí.
Estas expresiones cotidianas implican el uso del pensamiento abstracto, lo que
significa poder cambiar entre diferentes situaciones, dividir ideas complejas en partes más
pequeñas y analizar varios aspectos de un mismo concepto simultáneamente. La habilidad
nos permite establecer conexiones y relaciones que se extienden más allá de la realidad
física. Dentro del ámbito de la Inteligencia Lógico-Matemática, ciertas habilidades nos
permiten involucrarnos en el razonamiento matemático, particularmente en el contexto
de la medición. Estas habilidades incluyen organizar y categorizar información,
identificar relaciones de causa y efecto, resolver problemas usando números y
operaciones, y comprender conceptos abstractos como proposiciones y funciones. Al
emplear estas habilidades, podemos pensar más allá del mundo tangible y considerar ideas
abstractas.
En el contexto de la medición, por ejemplo, podemos comparar tamaños y
reconocer que la noción de "más pequeño" no es inherente a los objetos en sí mismos
(como un pingüino, un rinoceronte o un mosquito), sino más bien a nuestra percepción
de ellos. Podemos reconocer que un pingüino puede ser más grande que un mosquito pero
más pequeño que un rinoceronte. Esta comprensión del tamaño relativo se puede aplicar
a otros pares de objetos, lo que nos permite desarrollar un lenguaje más abstracto y
sofisticado para describir las relaciones.
En el estudio del movimiento se ha establecido como modelo el tiempo y se trata
como una variable numérica, tomando sus valores del conjunto de los números reales.
Cada valor numérico representa un instante, mientras que un intervalo numérico
representa una duración, similar a un segmento de la línea de tiempo. Mientras que los
instantes solo se pueden observar, las duraciones son magnitudes medibles. Por ejemplo,
en un reloj de arena, podemos observar el instante en que la arena cae de un lado al otro,
pero para determinar la duración de la caída, necesitamos representarla usando unidades
como segundos o minutos.
El tiempo es una magnitud que tiene un significado especial, especialmente para
los niños que necesitan situarse en relación con él. Esto requiere algo más que una simple
relación entre dos objetos; requiere el uso de puntos de referencia y el establecimiento de
múltiples relaciones interconectadas. Las estructuras cíclicas que organizan el tiempo,
como la mañana, la tarde y la noche, así como los días de la semana y las estaciones del
año, se derivan de una estructura común de antes, ahora y después.
Sin esta estructura no sería posible un pensamiento coherente sobre el tiempo, y
éste sólo surge a través de la coordinación de diversas relaciones. Volviendo a las ideas
de Piaget, es importante señalar que el aprendizaje matemático requiere la consolidación
de estructuras mentales. Piaget se refirió a esto como pensamiento preoperatorio, que
aporta previsibilidad y orden al mundo. Un aspecto clave del pensamiento preoperatorio
30
es la ausencia de nociones de conservación hasta alrededor de los 7-8 años de edad. El
desarrollo del pensamiento preoperatorio se puede dividir en dos fases: el razonamiento
que va de particular a particular, sin ser puramente inductivo o deductivo, y el
razonamiento intuitivo. Durante esta etapa, los niños aún no poseen las operaciones
necesarias para resolver problemas a un nivel representativo, y sus operaciones se basan
en un esquema de conservación.
Es importante tener en cuenta los conceptos discutidos anteriormente sobre los
cuatro procesos psicológicos fundamentales, particularmente la sensación y la
percepción. Profundicemos más en estas tareas:
• Conservación de cantidades continuas (líquidos): Al transferir líquido de A a C y
de B a D, el niño no logra comprender que la cantidad de líquido en C es la misma
que la cantidad en A. El mismo concepto erróneo se aplica a B y D.
• Conservación de cantidades discontinuas (número): El niño se esfuerza por
comprender el concepto de que el número de elementos sigue siendo el mismo
incluso cuando se altera el arreglo y los elementos están más separados.
• Conservación de cantidades discontinuas (sólidos): Cuando se le presentan dos
masas iguales de plastilina, A y B, el niño no logra comprender la transformación
que ocurre cuando estas bolas se deforman de diferentes maneras.
• Conservación de cantidades discontinuas (longitud): El niño es incapaz de crear
dos longitudes idénticas utilizando unidades diferentes.
Es crucial fomentar estructuras mentales que faciliten el aprendizaje y prevengan
dificultades, al mismo tiempo que brindan oportunidades para que los niños trabajen de
forma independiente en la consolidación de aspectos esenciales como el razonamiento.
Lo más importante es que se implemente un enfoque sistemático para el desarrollo de las
habilidades antes mencionadas propuestas por la Inteligencia Lógico-Matemática a través
de actividades que requieran serialización, clasificación, síntesis, identificación de
elementos, resolución de problemas, así como rompecabezas y juegos de estrategia.
31
CAPÍTULO 2
La lógica matemática
La pregunta de cómo es la lógica matemática se puede responder fácilmente. La
lógica matemática se considera matemática de la misma manera que otras disciplinas
científicas como la mecánica newtoniana. Aunque el método utilizado en la lógica
matemática es matemático, el tema que investiga pertenece a una realidad separada. El
grado de independencia de esta realidad depende de la perspectiva que se tenga sobre la
objetividad de la lógica.
Al comprender esta naturaleza, también podemos comprender los aspectos
formales y simbólicos de la lógica matemática. Para lograrlo, estableceré una conexión
histórica entre el desarrollo de lo formal y lo simbólico en las matemáticas y el origen y
progresión de la lógica moderna. Si bien el contenido presentado en las dos primeras
secciones de este artículo refleja el consenso entre la mayoría de los lógicos filosóficos
contemporáneos, el objetivo de la sección final es desacreditar ciertos conceptos erróneos
sobre la naturaleza formal y simbólica de la lógica matemática.
El realismo lógico
El realismo lógico se ocupa de dos ideas principales. En primer lugar, establece
que la verdad o falsedad de los enunciados lógicos se puede determinar como una cuestión
de hecho. Esto también se puede expresar diciendo que las verdades lógicas son
verdaderas o falsas. En segundo lugar, los valores de verdad de los enunciados lógicos,
no están influenciados por nuestras características psicológicas individuales, nuestras
convenciones lingüísticas o nuestras formas de razonar. En esencia, el realismo lógico
afirma que los asuntos de la lógica son hechos objetivos que no dependen de nosotros ni
de nuestras prácticas.
Sin embargo, es importante reconocer que la representación de la lógica como
completamente separada del lenguaje, el pensamiento y las prácticas inferenciales es una
representación inexacta de su objetividad. La lógica no asume una independencia
completa de estos aspectos, incluso bajo supuestos realistas. Por lo tanto, es necesario
aclarar más sobre cómo la lógica es independiente del pensamiento, el lenguaje y nuestras
prácticas inferenciales concretas.
Si la lógica no fuera objetiva, no dejaría de ser una forma de conocimiento, sino
que sus verdades pasarían a ser relativas a factores como la psicología humana, las
convenciones lingüísticas y las prácticas inferenciales. Esto significa que la lógica, como
campo de estudio, se ocupa de propiedades como la validez lógica y relaciones como la
equivalencia, la consecuencia y la incompatibilidad lógica entre entidades como teorías,
proposiciones y conceptos (Bueno, 2005).
El realismo lógico, por lo tanto, abarca la existencia objetiva de estas relaciones y
propiedades. Esto implica un compromiso con la objetividad de los hechos lógicos, que
se manifiesta en su independencia de las convenciones lingüísticas, la psicología humana
32
y las prácticas inferenciales de agentes racionales específicos. Aunque, es importante
señalar que este compromiso con la objetividad y la independencia no exige un
compromiso con la objetividad y la independencia absoluta de los objetos involucrados
en los hechos lógicos. Por ejemplo, el realismo lógico afirma que ciertas proposiciones
se derivan objetivamente de otras, pero no afirma que estas proposiciones existan de
manera completamente independiente de las características específicas de nuestro
lenguaje, procesos de pensamiento o prácticas inferenciales. En general, el realismo
lógico no defiende la existencia objetiva e independiente de objetos como teorías,
proposiciones, conceptos o modelos. Permanece indiferente a su estatus ontológico.
Este escenario es aplicable a todas las disciplinas científicas que buscan la
objetividad. La lingüística, por ejemplo. No pierde su estatus como ciencia objetiva
simplemente porque examina objetos y fenómenos que están fuertemente influenciados
por nuestras convenciones lingüísticas. Asimismo, la psicología y la sociología también
mantienen su carácter objetivo a pesar de centrarse en objetos que están muy
influenciados por nuestra psicología y los comportamientos humanos. En estos casos, la
esencia de la objetividad reside en otro aspecto.
En contraste, mientras que el realismo lógico permanece neutral con respecto a la
existencia de objetos lógicos, los filósofos en el campo a menudo operan bajo el supuesto
de que estos objetos no solo existen lógicamente sino que también tienen presencia en
otras dimensiones de la realidad. La mayoría de los lógicos sostienen la creencia de que
las proposiciones, conceptos y otras entidades lógicas poseen aspectos adicionales más
allá de los examinados dentro de nuestra disciplina.
Muchos mantienen la opinión de que los enunciados expresan proposiciones
dentro de un contexto específico de comunicación asertiva, o que constituyen el contenido
de nuestros pensamientos, o que juegan un papel en los procesos de inferencia. De manera
similar, este punto de vista se extiende a los conceptos y otros objetos estudiados dentro
de la lógica, con el entendimiento de que poseen propiedades más allá de nuestro examen.
Esta creencia en la existencia y aplicabilidad más amplias de las entidades lógicas
nos permite tener confianza en la relevancia de nuestros esfuerzos científicos. Sin la
creencia, por ejemplo, de que poseemos un mecanismo cognitivo que nos permite
comprender las conexiones lógicas entre los contenidos de nuestros pensamientos,
seríamos incapaces de afirmar que la lógica tiene alguna relación con la validez de nuestro
razonamiento. Además, sin asumir la capacidad de nuestro lenguaje para transmitir
proposiciones, seríamos incapaces de aplicar la lógica a argumentos y declaraciones en
lenguaje natural. Por lo tanto, mientras que la aplicabilidad de la lógica desafía la noción
de total independencia de los objetos lógicos, no socava la objetividad de los hechos que
los rodean.
Si estamos de acuerdo en que hay hechos objetivos en psicología, lingüística y
sociología, y que los conceptos lógicos pueden ser representados por objetos en estos
campos, ¿cómo se relaciona la objetividad lógica con la independencia de la realidad?
¿Cuál es la conexión entre objetividad e independencia? La respuesta es sencilla. La
lógica se considera objetiva porque sus hechos son autónomos. Su objetividad se basa en
33
la independencia de su conjunto de hechos, más que en la independencia de su conjunto
de objetos. En términos más simples, la lógica es objetiva porque sus hechos no pueden
reducirse a hechos psicológicos, sociales o lingüísticos.
La objetividad y el realismo
Uno de los argumentos más sólidos a favor del realismo lógico es la objetividad
de la lógica. Sin embargo, presentarlo de esta manera puede ser engañoso porque apoyar
el realismo lógico simplemente significa reconocer la objetividad de la lógica. El mismo
Resnik lo reconoce al diferenciar entre la explicación realista de la objetividad de la lógica
y la posición antirrealista, que sólo intenta explicar su aparente objetividad.
Shapiro también hace una conexión similar entre el realismo y la objetividad en
las matemáticas en su "Manifiesto Realista". En ese artículo, Shapiro presenta
implícitamente el realismo como el único punto de vista que se alinea con la objetividad
de las matemáticas. Según él, los antirrealistas no pueden explicar la objetividad del
conocimiento, sino simplemente su aparente objetividad.
Al aceptar la objetividad al pie de la letra, uno ya está adoptando una postura
realista. Sin embargo, es importante señalar que adoptar el realismo lógico no requiere un
compromiso con el monismo lógico, que es la creencia de que solo hay una lógica
verdadera y una respuesta correcta a las preguntas de validez deductiva. El realismo
lógico no se opone al pluralismo, como reconocen Beall y Restall, quienes afirman que
muchas apelaciones a la "Validez Real" se refieren a la validez real pero no a la única
validez real.
Por lo tanto, mientras que el pluralismo lógico puede ser una forma de relativismo
al rechazar la validez absoluta, no está reñido con el realismo y la objetividad de los
hechos lógicos porque no relativiza la validez a factores externos como convenciones
lingüísticas o marcos psicológicos. El pluralismo lógico únicamente reconoce que la
validez solo puede atribuirse en función de ciertas condiciones lógicas. En este sentido,
el pluralismo lógico es una forma de relativismo interno y, por tanto, es compatible con
el realismo.
La crítica de Resnik plantea una cuestión importante para el realismo lógico, a
saber, el problema de la normatividad. Sin embargo, la posición realista se enfrenta a un
desafío mayor en comparación con las posiciones antirrealistas rivales. No solo debe
explicar la existencia de hechos lógicos, sino también cómo estos hechos están conectados
con nuestros valores lógicos (Olivé et al., 2011). Por ejemplo, la posición realista necesita
explicar por qué un argumento se considera erróneo, lo que involucra cuestiones de valor,
incluso si sus premisas no implican lógicamente su conclusión, que supuestamente es una
cuestión de hecho. Para abordar esta crítica, es necesario considerar la distinción entre
lógica formal e informal.
En su artículo "¿Qué tan filosófica es la lógica informal?", John Woods establece
un paralelo entre esta distinción y la diferencia entre la comprensión de la lógica de
Aristóteles y la comprensión de la lógica desde Gottlob Frege. Woods argumenta que la
34
lógica silogística de Aristóteles era solo una parte de su proyecto lógico más amplio, cuyo
objetivo era establecer una teoría de las refutaciones.
Aristóteles valoraba la lógica por su papel dentro de una teoría más completa de
la argumentación. La teoría de los silogismos sirvió como núcleo lógico de esta teoría
más amplia, pero Aristóteles no pretendía equiparar los dos. Él deseaba una teoría de la
refutación que pudiera diferenciar entre refutaciones válidas y aquellas que solo parecían
válidas, o lo que él denominó refutaciones genuinas versus sofismas.
En contraste, el esfuerzo lógico de Frege se centró en la construcción de una teoría
de la validez. Según Woods, "lógica" en el sentido aristotélico se refiere a una teoría de
la argumentación, mientras que en el entendimiento de Frege, "lógica" significa una teoría
de la validez o consecuencia lógica. Woods sugiere además que esta distinción entre teoría
de la argumentación y teoría de la validez todavía está presente en la división
contemporánea entre lógica formal e informal. Si bien la lógica formal ha evolucionado
y se ha diversificado significativamente desde la época de Frege, puede considerarse un
sucesor directo de su teoría de la validez. Por otro lado, la lógica informal continúa la
tradición aristotélica y tiene sus raíces en la teoría de la argumentación.
En la concepción formal, un argumento es una colección de proposiciones, siendo
una la conclusión y el resto premisas. Es un error común ver la conclusión como la
proposición que se infiere de las premisas. Sin embargo, como se desprende del estudio
de las inferencias abductivas, la inferencia puede fluir tanto de las premisas a la
conclusión como de la conclusión a las premisas. En consecuencia, el resultado de la
inferencia es la construcción o finalización de un argumento.
Este argumento resultante puede luego evaluarse utilizando las reglas de la lógica
formal para determinar si es válido o no. En el ámbito de la teoría de la argumentación,
existe una distinción entre la lógica formal y la lógica informal. La lógica formal, que cae
dentro de la categoría general de lógica, se enfoca en las propiedades de las proposiciones
y series de proposiciones, como la verdad lógica y la consistencia. También abarca
propiedades que se encuentran en la metateoría correspondiente, como la decidibilidad.
La distinción entre lógica formal e informal es crucial para comprender el concepto de
argumento.
El argumento, en el sentido de lógica informal, se refiere a una práctica humana,
mientras que en el sentido de lógica formal, se refiere a una secuencia de proposiciones.
Es importante señalar que el realismo lógico que se defiende aquí se limita a los objetivos
y propiedades de la lógica formal. Por lo tanto, cuando se hace referencia a la lógica, se
da a entender que se está haciendo referencia a la lógica formal a menos que se indique
explícitamente lo contrario.
Otra distinción importante que hacer es entre inferencia y consecuencia lógica. La
inferencia es un proceso cognitivo que consiste en obtener nueva información a partir de
información existente. En el contexto de las entidades computacionales, se dice que
ciertas proposiciones se infieren de otras en el proceso de inferencia. Sin embargo, es
crucial diferenciar esta concepción de la inferencia de los argumentos en el sentido lógico
35
formal. Es importante recordar que un argumento se considera válido si la conclusión se
deriva lógicamente de las premisas. Por extensión, una inferencia se considera
lógicamente válida si conduce a un argumento válido.
El significado normativo de la lógica se explica por el hecho de que uno de los
objetivos del razonamiento es captar relaciones de consecuencias lógicas. Por lo tanto,
podemos evaluar el razonamiento en términos de si captura con éxito esta relación. Una
inferencia es válida si establece un argumento válido, es decir, una inferencia que lleva
lógicamente a una conclusión a partir de premisas. En este sentido, podemos entender el
razonamiento como un predicado de relaciones lógicas entre proposiciones. Un predicado
es verdadero o verdadero si la relación de predicado entre los objetos se cumple. Decir
que es un misterio, como parece sugerir Resnick, es creer que hay un misterio en el
corazón del concepto mismo de la verdadera predicación. Sin embargo, no hay confusión
ni misterio entre las dimensiones normativa y descriptiva del concepto de verdad (Resnick
et al., 2010).
En este sentido, la efectividad es completamente similar. No obstante, no podemos
llevar demasiado lejos la analogía entre predicción e inferencia. Debemos tener cuidado
de no pensar que la validez es algún tipo de verdad, o que las inferencias implican algún
tipo de afirmación (de validez). Al hacer una inferencia, se admite su validez, pero no se
afirma la existencia de tal relación. Así, una inferencia no describe alguna relación lógica
entre proposiciones, sino que la postula. Por lo general, términos como "razonamiento",
"argumento", "inferencia" y "convencimiento" se reservan para la teoría de la lógica
informal, mientras que el vocabulario de la lógica formal está lleno de cosas como
"proposición", "implicación" y "consecuencia".
Propósito de la lógica y las utilidades matemáticas
Introducir el concepto de realismo lógico, proporciona una comprensión más clara
de la naturaleza matemática de la lógica. Sin embargo, es importante notar que esto no
significa que la única forma de comprender el carácter matemático de la lógica sea a
través de un punto de vista realista. La intención aquí no es adoptar una postura definitiva
sobre el realismo, sino abordar el tema desde una perspectiva de realismo metodológico.
El realismo metodológico se centra en la práctica de las matemáticas y no se
preocupa por las cuestiones filosóficas que surgen de ella. No tiene implicaciones
significativas para la semántica, la ontología o la aplicación de las matemáticas en las
ciencias. La versión más fuerte del realismo metodológico sugiere que las matemáticas
pueden llevarse a cabo como si sus objetos de estudio fueran entidades eternas, abstractas
y existentes de forma independiente, pero no va más allá.
El realismo metodológico es compatible con el antirrealismo. Esencialmente,
cualquiera que no esté buscando activamente cambiar el estado actual de las matemáticas
puede ser considerado un realista metodológico hasta cierto punto. La perspectiva de
Shapiro se aplica principalmente a las matemáticas, pero también se puede aplicar a la
lógica. El realismo lógico metodológico es una tesis descriptiva que explica cómo los
36
filósofos abordan el trabajo lógico. Argumenta que los lógicos operan como si los objetos
y las conexiones lógicas que estudian existieran objetivamente. Así como el realismo
matemático metodológico es la posición predominante entre los matemáticos de hoy, el
realismo lógico metodológico es la posición estándar en la lógica contemporánea.
Desde una perspectiva realista, la lógica se ve como una disciplina separada de
las matemáticas, centrándose en el estudio de las propiedades y relaciones lógicas de
varias entidades como conceptos, proposiciones, argumentos, teorías y modelos. Estas
propiedades y relaciones se consideran independientes de los sistemas lógicos utilizados
para analizarlas, haciendo de la lógica filosófica una ciencia teórica. El éxito de los
sistemas lógicos formales radica en su capacidad para explicar y describir con precisión
hechos objetivos.
Entre las relaciones y propiedades lógicas fundamentales, la incompatibilidad
lógica, la verdad, la falsedad y la equivalencia se consideran las más básicas o clásicas.
Sin embargo, la validez y la consecuencia lógica se consideran la propiedad y la relación
fundamentales en un sentido más amplio. Estas propiedades y relaciones básicas se
aplican a conceptos y proposiciones, mientras que también existen propiedades y
relaciones lógicas derivadas o meta lógicas que pertenecen a objetos más complejos como
definiciones, teorías, modelos y lenguajes. Estas propiedades y relaciones derivadas se
derivan de su conexión con las propiedades y relaciones lógicas básicas. La consistencia,
por ejemplo, es crucial en lógica ya que nos permite distinguir entre proposiciones. En
una teoría inconsistente, todas las proposiciones serían lógicamente equivalentes,
haciendo trivial la relación de consecuencia lógica. Sin embargo, la conexión entre las
propiedades lógicas básicas y derivadas puede no ser siempre clara, lo que requiere una
comprensión más amplia del intrincado campo de la lógica matemática.
Las propiedades lógicas derivadas se pueden clasificar en tres tipos principales en
función de su asociación con diferentes áreas de la lógica matemática (Hurtado, 2017).
Estos tipos incluyen la teoría del modelo, la teoría de la prueba y la teoría de la recursión.
La teoría de modelos se centra en examinar las conexiones matemáticas fundamentales
entre las declaraciones dentro de una teoría, generalmente en el ámbito de las
matemáticas, y las estructuras matemáticas que validan su veracidad.
Como resultado, se hace evidente su fuerte correlación con los principios
fundamentales de la lógica formal. Vale la pena señalar que una de las definiciones
tradicionales de consecuencia lógica afirma que una proposición puede ser considerada
la consecuencia lógica de otra si todo modelo que valida la primera proposición también
valida la segunda. Además, conceptos aún más abstractos como compacidad o ultra
producto adquieren su significado lógico en virtud de su relevancia directa para el
propósito antes mencionado dentro de la lógica matemática.
La razón por la que la teoría de modelos puede parecer diferente de la lógica
formal tal como se practica fuera de los departamentos de matemáticas es porque se basa
en gran medida en el lenguaje y las herramientas del álgebra. Sin embargo, esto no debe
confundirnos. El álgebra ha sido una herramienta crucial en la lógica formal desde el
37
desarrollo de la lógica algebraica de Boole en 1847, que fue el primer ejemplo de lógica
no numérica y lógica formal.
Esto ha jugado un papel importante en el desarrollo tanto del álgebra abstracta
como de la lógica matemática. Aunque estas disciplinas se desarrollaron por separado
durante mucho tiempo, desde mediados de la década de 1930 se ha establecido una clara
equivalencia entre el lenguaje asertivo favorecido por la mayoría de los lógicos en
filosofía y el lenguaje relacional del álgebra abstracta. Por ejemplo, mientras que los
lógicos no algebraicos prefieren discutir los sistemas deductivos, los algebristas prefieren
usar el término "filtro".
De manera similar, algunos se refieren a interpretaciones mientras que otros usan
el término "homomorfismos". Con estas equivalencias terminológicas, el lenguaje
algebraico de la teoría de modelos moderna se vuelve menos esotérico y más orientado
lógicamente. La teoría de la prueba, por otro lado, es el estudio matemático del concepto
lógico de derivación, que es una herramienta esencial en el estudio formal de la validez
lógica. La teoría de la recursión también puede verse como el estudio de un aspecto
importante de las derivaciones y definiciones, a saber, su computabilidad.
La frase "lógica matemática" se puede entender de tres maneras distintas:
• En primer lugar, puede referirse a la lógica que ha sido matematizada, lo que
significa que en su aplicación se utilizan métodos y herramientas matemáticas.
• En segundo lugar, puede referirse específicamente al aspecto matemático de la
lógica dentro del marco más amplio de la lógica matematizada.
• Por último, puede referirse a la rama de la lógica que se enfoca en el estudio de la
lógica utilizada en el razonamiento y la argumentación matemática. Además, esta
frase a veces se usa para describir la tradición lógica que prioriza este tipo de
argumento y razonamiento, considerándolos como formas ejemplares o clásicas
de lógica.
El enfoque principal es el concepto de lógica matemática, específicamente en su
forma matematizada. Es dentro de este ámbito que surge una gran cantidad de confusión,
que pretendo aclarar en el siguiente texto. La causa raíz de esta confusión proviene de la
utilización de métodos matemáticos dentro de la lógica formal. Para mitigar esta
confusión, es crucial tener cuidado al diferenciar entre el ámbito de la ciencia (lógica) y
los métodos empleados (matemáticas). La lógica, en esencia, es una ciencia filosófica,
con una parte de su metodología arraigada en las matemáticas.
En consecuencia, la lógica matemática puede considerarse matemática de la
misma manera que la mecánica newtoniana, por ejemplo. En ambos casos, los métodos
empleados son matemáticos, aunque los temas en sí mismos no son enteramente de
naturaleza matemática. Es importante señalar que las teorías dentro de ambas ciencias
tienen un peso significativo y son verificables. Sus resultados no dependen únicamente
de los principios que exponen, sino más bien de su capacidad para explicar
científicamente fenómenos que existen externa e independientemente de ellos.
38
Otra diferenciación crucial que debe enfatizarse en relación con el enfoque
matemático, que abarca la ciencia como un todo y la lógica específicamente, se refiere a
los sistemas lógicos formales, comúnmente denominados teorías formales, y teorías
filosóficas que son de naturaleza lógica. Un sistema lógico formal es una construcción
matemática muy compleja. Convencionalmente, se compone de un alfabeto, una
colección de fórmulas bien formadas, un conjunto de reglas para la inferencia y,
potencialmente, un conjunto de axiomas. Dada su naturaleza de entidad matemática, todo
sistema lógico formal posee ciertas características matemáticas.
Hay dos tipos de propiedades en los sistemas formales: propiedades sintácticas y
propiedades semánticas. Las propiedades sintácticas son internas al sistema, mientras que
las propiedades semánticas son externas y solo son aplicables en relación con otro sistema
matemático conocido como su modelo. Algunas propiedades matemáticas de los sistemas
formales pueden describirse como propiedades de ciertos elementos dentro del sistema,
en relación con el sistema mismo.
Por ejemplo, cuando alguien se
dice es un axioma del sistema lógico de primer orden L, que puede entenderse tanto como
una propiedad del sistema formal L (que tiene esta fórmula como una de sus premisas)
como de la fórmula anterior (que es un axioma ) relativo en L. En este contexto particular,
se puede afirmar que los sistemas lógicos formales tienen la capacidad de afirmar o,
idealmente, demostrar conclusiones sobre sus expresiones simbólicas, que comúnmente
se denominan "fórmulas" en la terminología contemporánea.
Este tipo de propiedades se pueden categorizar como locales, es decir, pertenecen
específicamente a las propias expresiones simbólicas, mientras que las propiedades
globales son aquellas que solo pueden expresarse como características de todo el sistema
lógico formal. Las propiedades locales ejemplares incluyen la clasificación como un
teorema o un axioma, mientras que características como la compacidad, la decidibilidad
y otras son ilustrativas de las propiedades globales inherentes a los sistemas lógicos
formales.
En esta aplicación lógica, las propiedades matemáticas locales de los sistemas
formales actúan como modelos de las propiedades lógicas fundamentales, mientras que
las propiedades globales representan las propiedades meta lógicas. El objetivo de los
sistemas lógicos formales es establecer una correspondencia entre propiedades lógicas y
matemáticas. Esta correspondencia se logra desarrollando un mecanismo, muchas veces
bastante complejo, para representar entidades lógicas a través de algún tipo de entidades
matemáticas que componen el sistema formal.
El mecanismo, comúnmente denominado "formalización" o "simbolización",
permite que las entidades matemáticas formalicen o simbolicen las entidades lógicas que
representan. De manera similar, es necesario establecer un mapeo correspondiente a nivel
de propiedad, que represente las propiedades lógicas de acuerdo con las propiedades
matemáticas. Esto normalmente se logra estableciendo una correspondencia uno a uno
entre la propiedad matemática de ser un teorema y la propiedad lógica de ser lógicamente
verdadero, o entre la propiedad matemática de deducibilidad y la propiedad lógica de
39
validez, entre otras. Los términos "formalización" y "simbolización" también se utilizan
para discutir esta correspondencia.
Es crucial evitar confundir las propiedades matemáticas de los sistemas formales
con las propiedades lógicas apropiadas. El enfoque de la lógica está en las relaciones
como la consecuencia lógica y la verdad lógica, que no son simplemente propiedades
matemáticas dentro de un sistema formal, sino relaciones y propiedades reales que existen
entre entidades lógicas como conceptos, proposiciones y teorías (Alchourrón, 1995). Si
bien los sistemas formales son inherentemente matemáticos, solo se vuelven lógicos
cuando se utilizan para estudiar propiedades y relaciones lógicas reales. Estas dos
correspondencias crean una aplicación lógica del sistema formal. Una vez que se han
establecido estas correspondencias, podemos referirnos a una teoría lógica verdadera
(matematizada). En este contexto, una teoría lógica matematizada abarca tanto el propio
sistema formal como su aplicación lógica. Por tanto, una teoría de la lógica matemática
es esencialmente un sistema formal aplicado al estudio de la lógica.
Idealmente, la relación entre la lógica y los sistemas formales debería ser tal que
si tenemos una entidad lógica representada por 'a' y una propiedad lógica representada
por 'P', entonces 'a' posee la propiedad 'P' sí y solo si la entidad lógica representa posee la
propiedad lógica simbolizada por 'P'. Por ejemplo, en los sistemas lógicos formales
tradicionales, una fórmula se considera un teorema si y solo si la proposición que
representa es una verdad lógica dentro del mismo lenguaje.
Lo que nos esforzamos por evitar es la existencia de relaciones matemáticas donde
no hay relaciones lógicas correspondientes, o la posibilidad de que una propiedad lógica
no se tenga en cuenta en nuestro modelo matemático. La distinción actual entre un sistema
formal puramente matemático, sus propiedades meta lógicas y su aplicación lógica es
similar a la que hace Raymundo Morado en su obra "La rivalidad en lógica" (1984) entre
un "sistema lógico" y "filosofía de la lógica".
Morado explica que una "lógica X" se refiere a un conjunto específico que incluye
un sistema lógico (que abarca tanto la sintaxis como la semántica), una meta lógica que
se ocupa de los meta teoremas sobre el sistema y una filosofía de la lógica que apunta a
aclarar las relaciones entre los sistema lógico, pensamiento y realidad. Es crucial, aunque
desafiante, diferenciar la realidad lógica como objeto de nuestro estudio de la teoría lógica
que empleamos para estudiarla y la herramienta matemática que usamos para construirla,
especialmente al considerar las propiedades meta lógicas. Por ejemplo, cuando evaluamos
la consistencia de una teoría T1 mediante la creación de un modelo adecuado dentro de
una teoría matemática T2, estamos trabajando esencialmente con cinco teorías distintas:
la teoría del objeto T1, una teoría meta lógica T3 y tres teorías matemáticas.
Estas tres teorías matemáticas juegan un papel crucial al proporcionar las
herramientas matemáticas necesarias para llevar a cabo una demostración formal. Para
comenzar, utilizamos una teoría metodológica T3, que es un marco general basado en
modelos tipo Tarski. Esta teoría establece que la existencia de un modelo para una teoría
dada sirve como prueba de su consistencia. Para formalizar la relación lógica entre una
teoría y su modelo, T3 se basa en otra teoría matemática llamada T4, que es la teoría de
40
conjuntos. Para aplicar este marco matemático a T1, T3 emplea un modelo matemático
conocido como T5, que es una formalización de T1μ. A través de T4μ se establece una
relación matemática entre T2 y T5, formalizándose como modelo la relación lógica entre
T2 y T1. Este proceso demuestra efectivamente la consistencia lógica de T1.22.
Ahora, profundicemos en la distinción que mencionamos anteriormente con
respecto a los tres significados diferentes de la frase "lógica matemática". Cuando nos
referimos a la lógica matemática en el segundo sentido, nos referimos específicamente a
la lógica que se aplica en el campo de las matemáticas. Esta rama de estudio se enfoca en
explorar las relaciones lógicas y las propiedades que existen dentro de las teorías, pruebas,
modelos, proposiciones y conceptos matemáticos.
Por otro lado, la lógica matemática en el tercer sentido es en realidad un subcampo
de las matemáticas en sí mismo, en lugar de estar estrictamente relacionado con la lógica.
En este contexto, la lógica matemática se ocupa principalmente de investigar sistemas
formales de lógica como construcciones matemáticas, en lugar de centrarse en sus
aspectos lógicos. El objetivo es examinar las propiedades formales de estos sistemas
matemáticos que se utilizan actualmente o que podrían utilizarse potencialmente en el
ámbito de la lógica. En consecuencia, esta comprensión particular de la lógica matemática
se concentra únicamente en los dos primeros componentes de la clasificación de Morado.
En contraste, la lógica matemática en el primer sentido abarca los tres aspectos
simultáneamente.
Para argumentar que la lógica no es matemática, no es suficiente afirmar
simplemente que su objetivo es el estudio de relaciones tales como consecuencias lógicas,
derivabilidad y consistencia. También es importante enfatizar que estas relaciones no se
consideran matemáticas. Como mencioné anteriormente, el factor distintivo entre las
propiedades lógicas objetivas y las matemáticas es que las primeras no solo son
independientes de nuestra arquitectura cognitiva y convenciones lingüísticas, sino
también del aparato formal utilizado para estudiarlas. Por el contrario, las matemáticas se
basan en gran medida en este aparato formal para construir y definir fenómenos.
Los objetos matemáticos y sus propiedades pueden determinarse completamente
utilizando los mecanismos lógicos y lingüísticos de la teoría. En matemáticas, tanto la
indiscernibilidad de los idénticos como la identidad de los indiscernibles son principios
aceptados. Esta idea ha sido extensamente discutida por Stewart Shapiro y es apoyada por
otros filósofos contemporáneos de las matemáticas. Shapiro introduce el concepto de
relatividad lógica-lenguaje-ontología, que establece que en una teoría matemática T con
un lenguaje L y bajo una lógica £s, la igualdad de x e y es verdadera si y solo si para cada
expresión bien formada p en L, la expresión p x y (obtenida sustituyendo y por x en p) es
£-equivalente a p. En términos más simples, la identidad de los objetos matemáticos está
completamente determinada por las propiedades que se les pueden atribuir en el lenguaje
de la teoría y su papel inferencial según su lógica.
Con base en la comprensión de las propiedades lógicas, es evidente que no se
consideran matemáticas. El principio de relatividad de Shapiro no se aplica a las
propiedades lógicas. Si la lógica fuera matemática, entonces dos objetos lógicos serían
41
lógicamente equivalentes, lo que significa que poseerían las mismas propiedades lógicas,
solo si estuvieran simbolizados de la misma manera dentro de cualquier sistema formal.
Sin embargo, es posible que dos objetos lógicos, x e y, tengan propiedades lógicas
distintas que no pueden ser capturadas por ningún sistema formal.
En términos más simples, las propiedades lógicas no están completamente
determinadas por la herramienta formal utilizada para estudiarlas. Se podría argumentar
que incluso si una diferencia lógica no se ha incorporado a ningún sistema formal actual,
no significa que no pueda formalizarse en teoría. Desde esta perspectiva, incluso si se
descubriera un contraejemplo similar al mencionado anteriormente, aún sería posible
crear un nuevo sistema formal que abarque la distinción problemática. Sin embargo, esta
respuesta en realidad fortalecería el argumento de que las propiedades lógicas no son
matemáticas. El hecho de que podamos identificar una propiedad lógica antes de
formalizarla demuestra la naturaleza objetiva de tal propiedad. Esto nos ayuda a
comprender hasta qué punto la lógica matemática es verdaderamente matemática y no
únicamente matemática.
Si consideramos que la naturaleza de la lógica matemática es simbólica, es
evidente que el uso de símbolos es la característica definitoria. Sin embargo, no todos los
usos de los símbolos dentro del campo de las matemáticas pueden considerarse
verdaderamente simbólicos. En el estudio de la historia de las matemáticas, se suele hacer
una distinción entre un uso sincopado de los símbolos y un uso propiamente simbólico,
también conocido como formal o analítico. Esta distinción se introduce en la historia de
las matemáticas para diferenciar el uso de símbolos en álgebras antiguas y modernas.
En el álgebra antigua, incluida el álgebra clásica posterior a Diofanto, el álgebra
árabe y la cósica occidental, no existía el concepto de variable tal como lo entendemos
hoy. Las letras se usaban junto con las constantes, pero eran simplemente abreviaturas o
ayudas para la memoria en lugar de mecanismos para expresar cálculos en general. El
formalismo algebraico de la época solo consistía en símbolos constantes, lo que limitaba
su capacidad para expresar cualquier cosa más allá de cálculos específicos.
Los conceptos generales se transmitieron a través de casos específicos que
sirvieron como ejemplos o paradigmas. Este tipo de uso de símbolos se denomina
sincopado ya que no constituye un lenguaje simbólico propiamente dicho. En su libro "La
naturaleza y el crecimiento de las matemáticas modernas", Edna E. Kramer (1982)
introduce esta distinción al explicar que el simbolismo literal algebraico moderno, que se
remonta a Diofanto, no se generalizó hasta el siglo XVI. Fue François Viète, también
conocido como Vieta, quien primero utilizó letras para representar incógnitas.
Antes de Diofanto, el álgebra se basaba en argumentos verbales sin abreviaturas
ni símbolos. No fue hasta el trabajo de Viète y Descartes, al mismo tiempo, que las
variables se introdujeron en las matemáticas, dando lugar al álgebra moderna. La
inclusión de variables en lenguaje algebraico marcó dos avances significativos en la
historia de las matemáticas. Primero, permitió la expresión de formas generales,
ampliando el alcance de la representación matemática. En segundo lugar, y quizás aún
más crucial, permitió realizar cálculos con estas variables. El álgebra sincopada, como se
42
la conoce, puede verse más como una forma de taquigrafía que como un simbolismo
totalmente abstracto. Sin embargo, se considera un paso significativo en la dirección
correcta. Diofanto es reconocido como el primer matemático de la historia en
proporcionar un sustituto de las expresiones verbales largas.
Una de las principales distinciones entre el álgebra moderna y la antigua radica en
la incorporación de variables, lo que permitió la expresión de varios cálculos específicos
en una forma más abstracta y generalizada (Mora, 2003). En contraste con las fórmulas
abreviadas con letras utilizadas en el álgebra antigua para representar cálculos
específicos, la introducción de variables en el álgebra moderna revolucionó el campo al
permitir que los matemáticos expresaran y manipularan formas generales de cálculo. Este
lenguaje simbólico recién descubierto proporcionó a los matemáticos capacidades sin
precedentes para manipular y trabajar con formas generales que eran extremadamente
difíciles de lograr utilizando el lenguaje algebraico anterior.
Además, la introducción de las nuevas fórmulas permitió su integración en un
nuevo enfoque para calcular formas generales. Es en este punto cuando verdaderamente
podemos discutir la existencia de un lenguaje simbólico adecuado. En este contexto, un
lenguaje simbólico no es simplemente uno que emplea símbolos, sino uno que utiliza
símbolos con fines de cálculo. Entonces, si bien es exacto decir que la introducción de
variables permitió la expresión de un cierto nivel de generalidad o estructura en las
matemáticas, su mayor logro fue la creación de un tipo novedoso de cálculos formales.
En términos más simples, lo que marca el comienzo del álgebra moderna, y por qué
significa una revolución significativa en el avance de las matemáticas, es la capacidad de
realizar cálculos que involucran formas.
Desafortunadamente, los matemáticos europeos de su época no comprendieron de
inmediato la importancia de esta nueva herramienta. En cambio, una feroz batalla entre
dos enfoques contrastantes de las matemáticas, el paradigma formal del álgebra y el
paradigma constructivo de la geometría, se prolongó durante los siguientes dos siglos en
las matemáticas occidentales. La intensidad de este conflicto fue tan flagrante y profunda
que es imposible comprender la historia de las matemáticas, e incluso del conocimiento
científico en general, durante estos siglos sin reconocer el papel central que jugó esta
lucha. Del mismo modo, es sencillo rastrear la evolución de los ideales formales en
matemáticas a medida que se extendieron desde Francia hasta Inglaterra y finalmente, en
el siglo XIX, encontraron su camino hacia la lógica con las influyentes contribuciones de
De Morgan y Boole a través de la guía de la Sociedad Analítica.
La introducción del carácter formal por parte de los primeros lógicos puede
parecer relacionada con el debate filosófico entre forma y materia. Sin embargo, es
importante tener en cuenta que este no es el caso. Por el contrario, es evidente que los
algebristas como De Morgan no vieron su formalización de la lógica como un aislamiento
de una forma puramente abstracta separada de cualquier contenido material. En cambio,
su objetivo era establecer patrones de invariancia entre fórmulas lógicas. Esta distinción
se hace aún más evidente cuando examinamos el debate que se produjo entre De Morgan
y Mansel a mediados del siglo XIX.
43
En el comentario de Mansel sobre Lógica formal (De Morgan 1847), criticó a De
Morgan por no comprender correctamente la distinción entre forma y materia. Sin
embargo, es claro que ambos pensadores tuvieron diferentes interpretaciones del concepto
de forma. Inicialmente, De Morgan intentó conciliar sus puntos de vista, pero pronto se
dio cuenta de la divergencia fundamental entre ellos. En 1847, De Morgan ya no
consideró la noción de forma en oposición a la materia como relevante para su análisis
lógico, descartándolo como un concepto "metafísico".
Es crucial diferenciar entre el concepto de forma versus materia y el concepto de
forma algebraica empleado en la lógica matemática. El lenguaje formal de la lógica
moderna surge en el marco de la tradición algebraica. Como resultado, el lenguaje
simbólico de la lógica matemática, que se originó a fines del siglo XIX y principios del
XX, no solo es conciso sino también formal. Emplea fórmulas con variables para articular
la estructura lógica de enunciados, y también posee un sistema de cómputo para
manipulación.
Estos dos aspectos son fundamentales para la esencia matemática de la lógica. El
fundamento de la lógica matemática se basa en la formalización y el cálculo. La lógica
simbólica contemporánea se considera matemática precisamente porque abarca ambas
dimensiones. Si el lenguaje simbólico de la lógica no incorporara un cálculo formal, no
sería verdaderamente simbólico; simplemente existiría en un nivel condensado. Del
mismo modo, si sus fórmulas no expresaran formas generales, no podríamos referirnos a
él como un lenguaje o una lógica formal.
La naturaleza formal de la lógica simbólica juega un papel crucial en su uso
práctico. Es necesario que cualquier sistema lógico tenga ciertas características para ser
aplicable. Una de esas características es la capacidad de simbolizar o formalizar
declaraciones y argumentos a partir del lenguaje natural. En casos más simples, un
sistema lógico formal requiere un mecanismo para traducir entre lenguaje artificial y
expresiones de lenguaje natural. Para demostrar su aplicabilidad, es suficiente
proporcionar una traducción del formalismo al lenguaje natural conservando sus
propiedades lógicas. Sin embargo, este requisito de aplicación del lenguaje natural suele
ser demasiado restrictivo. Si tuviéramos que adoptarlo, la aplicación de la lógica se
limitaría a los límites del lenguaje natural. Esto excluiría importantes desarrollos de la
lógica, como la lógica infinita o la lógica compleja, que tienen mayor poder expresivo
que el lenguaje natural.
Es importante recordar que los sistemas lógicos formales son modelos científicos.
Esto significa que no siempre son directamente aplicables o simples de aplicar, sino que
requieren idealizaciones que los separen del mundo real. Un buen ejemplo de esto se
puede ver en la teoría de los gases ideales en la física. A pesar de que los gases ideales en
realidad no existen en el mundo físico, esto no niega los resultados y descubrimientos de
la termodinámica.
De manera similar, la potencial inexistencia de infinitos argumentos o expresiones
en lenguaje natural no invalida la lógica infinita. Si bien muchos sistemas formales de
lógica matemática pueden no tener aplicaciones directas al lenguaje natural, aún cumplen
44
su propósito como modelos científicos del universo lógico. La aplicabilidad de un sistema
lógico o teoría debe entenderse en un sentido amplio, como cualquier teoría o modelo
científico es aplicable a la realidad. Si descartáramos avances importantes dentro de la
lógica matemática, estaríamos limitando nuestra comprensión y progreso en el campo.
El término "formal" ha tenido un impacto significativo en el campo de la lógica
matemática, particularmente a través de su asociación con la escuela formalista en la
filosofía de las matemáticas. Sin embargo, el significado de "formal" en relación con el
proyecto filosófico de Hilbert y el giro "formalista" de la lógica es distinto del sentido
que hemos discutido hasta ahora. Los orígenes de este segundo uso de "formal" se
remontan a Thomae, quien consideraba los números como signos tangibles no
interpretados, que representan un "punto de vista formal". Es importante señalar que
Hilbert no habría adoptado esta perspectiva y, por lo tanto, su proyecto filosófico no
debería considerarse un formalismo en el sentido de Thomae. Como resultado, en el
discurso contemporáneo, la naturaleza formal de un sistema o teoría matemática se define
en términos de su adhesión a los principios axiomáticos propuestos por Hilbert.
Esta definición de formalismo se expresa explícitamente en el libro de texto
Introducción a la lógica matemática, utilizado para la enseñanza de la lógica matemática
en la Universidad de Letonia. De acuerdo con esta definición, una teoría se considera
formal si proporciona un algoritmo, un método procesal computacionalmente aplicable,
para verificar la corrección del razonamiento basado en los principios de esa teoría. Por
lo tanto, cuando alguien afirma haber probado un teorema dentro de una teoría T y publica
un "texto matemático" que lo respalda, el texto debe ser verificable mecánicamente para
confirmar que se alinea con los cánones de razonamiento aceptados en T.
En consecuencia, en las teorías formales, los principios del razonamiento deben
estar definidos con precisión para permitir la verificación de las pruebas a través de
programas informáticos. La conexión entre el término "formalismo" y las ideas de Hilbert
surgió debido a las críticas de L.E.J. Brouwer, quien se refirió al proyecto de Hilbert como
tal, probablemente con el objetivo de asociarlo con el enfoque ingenuo y desacreditado
de Thomae. La disputa entre Brouwer e Hilbert ganó una atención significativa, incluso
más allá de los ámbitos de la filosofía y las matemáticas, lo que llevó a la asociación
duradera entre el "formalismo" y el pensamiento de Hilbert. A pesar de que Hilbert difería
explícitamente del punto de vista de Thomae desde su charla en el Congreso Internacional
de Matemáticos de 1904, y a pesar de que él mismo nunca usó el término, la palabra
"formalismo" se ha vinculado permanentemente al renombrado filósofo y matemático.
Aunque las teorías lógicas formales a menudo se consideran "formales" en otro
sentido, es crucial aclarar que la lógica no necesariamente tiene que ser axiomática y
algorítmica para ser considerada formal. El aspecto formal de la lógica surge de su
utilización de un lenguaje simbólico que permite la manipulación de formas generales
(Jaramillo y Puga, 2016). En consecuencia, para comprender la naturaleza formal de la
ciencia lógica, se vuelve imperativo captar el significado de su lenguaje simbólico.
Al igual que otros lenguajes formales, los símbolos lógicos se pueden clasificar
en constantes y variables. En secciones anteriores, hemos explorado la importancia de las
45
variables en la lógica formal. Las constantes, por otro lado, tienen un papel diferente.
Entre estas constantes lógicas, los operadores lógicos ocupan una posición destacada ya
que distinguen el lenguaje lógico de otros lenguajes simbólicos. Son los que dan al
lenguaje lógico su carácter lógico. Para simplificar, podemos decir que el aspecto
matemático de la lógica simbólica se basa en variables, mientras que su verdadera
naturaleza lógica se encuentra en los operadores. La lógica simbólica es formal por la
utilización de variables y lógica por la naturaleza de sus operadores.
La lógica matemática se considera formal porque emplea herramientas
matemáticas que se desarrollaron originalmente en el ámbito de las matemáticas
"formales". Estas herramientas se crearon inicialmente para ayudar en el desarrollo de la
lógica, pero finalmente extendieron su influencia a otras ramas de las matemáticas, como
el álgebra y la geometría. Estas herramientas se denominan formales no solo en el sentido
contemporáneo popularizado por Hilbert, sino también porque permiten realizar cálculos
utilizando formas generales.
Matemáticas y educación superior
¿Qué significa que un estudiante dedique una cantidad importante de tiempo a
estudiar Matemáticas? ¿Hasta dónde se debe seguir para asegurarse de que no profundice
en las profundidades de las matemáticas puras, pero aún permita la comprensión en
contextos de conocimiento de alto nivel? Son interrogantes que surgen en todo discurso,
sea formal o informal, respecto a la incorporación de las matemáticas en la formación de
economistas o ingenieros. Cada uno de nosotros cree que posee la respuesta a estas
preguntas. Es fácil escuchar a un ingeniero o economista que no es profesor hablar sobre
su profesión y sus logros económicos sin necesidad de resolver ecuaciones matemáticas
complejas. Por otro lado, algunos, incluidos los educadores, abogan por utilizar las
matemáticas únicamente con fines prácticos, viéndolas simplemente como una
herramienta en la caja de herramientas, una perspectiva que ha demostrado ser ventajosa
para el mercado de las calculadoras.
A menudo, la pedagogía general se adapta a la ocasión, coqueteando con el autor
o abrazando ideas de moda. Por el contrario, quienes practican las ciencias
matematizadas, los científicos, exigen profundidad y rigor en su enfoque. De ahí que el
concepto de formación matemática se vuelva como un virus, adaptándose constantemente
al discernimiento y conveniencia o intenciones de la audiencia. Esta ocurrencia común de
un significante que conduce a diferentes interpretaciones se exacerba en sus
consecuencias para la comunicación efectiva, particularmente cuando no hay un registro
escrito que describa lo que debería implicar la formación matemática para economistas e
ingenieros. Hablar de ello puede ser fácil, pero comprometerlo por escrito plantea
desafíos.
El lector astuto ya habrá notado los intentos deliberados que se hacen aquí para
provocar la contemplación. Es crucial reconocer que justificar la presencia y didáctica de
contenidos matemáticos específicos en un curso de servicio para la enseñanza de
economía o ingeniería no es tarea sencilla. Estas dificultades surgen por diversas razones
46
que deben ser cuidadosamente analizadas y ponderadas para llegar a una conclusión que
se traduzca en una adecuada implementación curricular. Una de ellas es la innegable
ausencia de una cultura científica y tecnológica en nuestro país, que nos convierte en
meros espectadores de los avances científicos. Esta realidad alimenta argumentos en
contra del poder del método y la lógica de las llamadas ciencias básicas en la preparación
adecuada de los profesionales que nuestra sociedad necesita.
En los últimos años, las discusiones en torno a la enseñanza y el aprendizaje de
las matemáticas en la ingeniería y las ciencias económicas y sociales se han centrado en
la búsqueda de un "saber hacer" práctico denominado "competencia". Esta perspectiva
sobre la competencia se ha desviado de su potencial didáctico original, como lo enfatiza
Chomsky, y en cambio se ha reducido a una mera búsqueda de utilidad y aplicabilidad
inmediatas.
En consecuencia, este enfoque ha allanado el camino para el dominio de las
industrias extranjeras de software y hardware educativo. Como resultado, el énfasis en la
demostración de resultados comunes, procedimientos algorítmicos y la construcción de
curvas y superficies ha sido descartado en la educación matemática. Si bien no es
necesario probar todo, existe una necesidad crucial de distinguir claramente entre lo que
se puede demostrar y lo que se debe suponer desde el principio debido a su naturaleza
primitiva. Esta diferenciación es fundamental para identificar lo que se postula, el
enunciado de una propiedad, y lo que se demuestra, así como lo que constituye un axioma,
una definición o establecimiento de un objeto, y las propiedades que posee este nuevo
objeto.
La relación entre las matemáticas y el mundo físico ha sido durante mucho tiempo
un tema central en los ámbitos de la filosofía matemática y la historia de la ciencia. Una
figura notable en esta exploración es el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912),
quien ponderó los fenómenos de la intuición numérica y la intuición geométrica. Como
muchos otros, Poincaré se vio obligado a reflexionar sobre el enigma de cómo la
deducción matemática se alinea con la realidad física. Su doble papel como creador en
matemáticas puras e inventor en física matemática lo llevó continuamente a preguntarse
cómo las construcciones en el primer campo estaban conectadas con las experiencias en
el segundo. La frecuente comparación de números con espacios de Poincaré lo llevó a
indagar sobre la existencia de varias geometrías, al mismo tiempo que percibía la
aritmética como una disciplina singular. Buscó comprender cómo se aplicaban estas
geometrías a las experiencias físicas, considerando la necesaria alineación entre los
números o el análisis y su aplicación.
El misterio que rodea la adecuación de las matemáticas se vuelve aún más
pronunciado cuando se consideran ciertos hechos de los que Poincaré no fue testigo
personal. Un ejemplo de ello es la geometría no euclidiana de Riemann, que inicialmente
fue descartada como un ejercicio intelectual sin sentido en el momento del nacimiento de
Poincaré. Sin embargo, más tarde demostró ser una valiosa herramienta predictiva en la
teoría de la relatividad. El propio Poincaré consideraba la geometría no euclidiana como
un mero juego filosófico sin ningún uso práctico para los matemáticos.
47
Otro ejemplo es Gauss, quien optó por no publicar sus hallazgos sobre geometrías
no euclidianas debido a su temor a la incomprensión del público. Eugen Duhring llegó
incluso a afirmar que la geometría no euclidiana era una creación de las "partes
degeneradas" de la mente de Gauss. Lord Kelvin expresó de manera similar su
escepticismo hacia los cuaterniones, presentados por William Hamilton, y su desarrollo
de vectores, sugiriendo que eran más un obstáculo que un beneficio. Kelvin creía que los
vectores no tenían ningún uso práctico. Vale la pena señalar que la cuestión de la
adecuación de las matemáticas para describir la realidad física, como la discutieron
Poincaré y sus contemporáneos, surgió poco después del Renacimiento.
Esto coincidió con el surgimiento de una comprensión categórica de varios objetos
matemáticos, tanto nuevos como existentes, gracias a los avances en la representación
simbólica. Antes del siglo XVIII, por ejemplo, el término x^2 se expresaba en el lenguaje
cotidiano. Sin embargo, comenzó a producirse una separación percibida entre los objetos
geométricos y físicos de la representación matemática, lo que llevó al desarrollo del
método axiomático moderno introducido por David Hilbert. En su trabajo "Los
fundamentos de la geometría", Hilbert abandonó conceptos intuitivos de primer nivel
como puntos, líneas y planos, centrándose únicamente en las relaciones entre estas
entidades.
El hecho de que la mencionada adaptación pareciera natural antes de la
axiomatización o clasificación estructural de los objetos matemáticos se evidencia con
varios ejemplos que se pueden elegir entre una amplia gama. El concepto de relación, que
precede al concepto de números naturales, surge en el contexto de la actividad económica
más básica: contar. A medida que las actividades comerciales se vuelven más complejas,
los números enteros entran en juego.
El estudio de la geometría y sus propiedades tiene su origen en los problemas
prácticos de la topografía. Los orígenes del cálculo se remontan a la antigüedad, donde
ya estaban presentes los problemas relacionados con la medición y manipulación de
figuras geométricas, como el cuadrado, la curvatura, la rectificación y la determinación
de los centros de masa de cuerpos hipotéticos (Camacho et al., 2011).
En el siglo XVII, Newton introdujo un marco simbólico para matematizar varios
fenómenos naturales y representar su variación y cambio. Fue durante este tiempo que la
noción de función se introdujo y exploró de varias maneras. La cinemática, por ejemplo,
se basó en una comprensión intuitiva y algo experimental de las cantidades variables en
el tiempo a las que Newton se refirió como "fluidos". La idea de "cualquier curva" se
mencionó a menudo en un contexto cinemático, aunque aún no se había caracterizado
analíticamente por completo para fines de razonamiento. Sin embargo, con los aportes de
Cauchy a la enseñanza de los objetos matemáticos, se estableció la definición de función
tal como la conocemos hoy.
Antes del siglo XVII, prevalecía la creencia de que las matemáticas y el mundo
físico estaban inherentemente vinculados, producto del diseño de un poder superior. Esta
conexión se vio reforzada por el avance de las matemáticas en paralelo con el desarrollo
de la intuición física y geométrica, lo que confirma esta noción. Sin embargo, se produjo
48
un cambio en el que esta conexión comenzó a evocar asombro y a convertirse en tema de
investigaciones filosóficas debido a ciertos avances matemáticos que se separaron de la
comprensión física. A pesar de este desapego, estos desarrollos matemáticos siguieron
siendo una herramienta confiable para predecir y explicar fenómenos.
Las geometrías no euclidianas, que surgieron como un modelo matemático para
la teoría de la relatividad de Einstein, llegaron antes. El álgebra de Boole, que se originó
a principios del siglo XX, tuvo que esperar al avance de las computadoras para encontrar
su aplicación en la teoría de los lenguajes. Esta aplicación comenzó en 1930 con la
investigación de Alan Turing sobre el concepto de máquina pensante, lo que llevó a una
definición matemática de computación.
De manera similar, la teoría de las curvas elípticas y otros conceptos de álgebra
abstracta y teoría de números encontraron su realización "tardía" en métodos
criptográficos desarrollados después de 1960. La geometría fractal, que utiliza la medida
y dimensión de Hausdorff establecida en 1919, ahora se emplea en el estudio de sistemas
dinámicos complejos. como el pronóstico del tiempo y la dinámica de la población.
Los avances recientes en la investigación de operaciones para la toma de
decisiones implican el uso de mecanismos de prueba de teoremas lógicos para validar el
proceso de toma de decisiones. La aplicación de elementos finitos, que se vio inicialmente
en el diseño aeronáutico en la década de 1950, ahora se encuentra con menos frecuencia
en los libros de texto debido a sus numerosas aplicaciones. Por último, la teoría de las
categorías apenas comienza a aplicarse en las teorías generales de los lenguajes de
programación.
Inicialmente percibidas como meros ejercicios mentales, como jugar al ajedrez
sin piezas físicas, estas actividades en realidad han llevado al desarrollo de poderosas
teorías y sistemas prácticos que tienen una gran importancia tanto en la tecnología como
en las ciencias sociales. Esta realización desafía la creencia de que estos conceptos
complejos están separados de la realidad y solo existen en el ámbito de la abstracción. De
hecho, los matemáticos han logrado mantenerse más cerca de la realidad a través de su
razonamiento lógico, incluso más que los físicos apoyándose en representaciones
prácticas.
Esta convergencia de pesimismo histórico y escepticismo hacia la utilidad de las
construcciones matemáticas independientes de un contexto "real" refleja la crítica a la
educación matemática rigurosa y axiomática desde varias perspectivas académicas. Si
bien la introducción de las "matemáticas modernas" en las escuelas secundarias ha
resultado ser un error, implementarlas a nivel universitario tiene sus ventajas. Ayuda a
organizar y dar significado a las experiencias matemáticas algo caóticas que los
estudiantes han encontrado hasta ahora, alineando cada fase del desarrollo mental con su
nivel apropiado de rigor.
Asimismo, la naturaleza cada vez más matematizada de los avances tecnológicos
requiere el cultivo de habilidades de pensamiento formal en los futuros profesionales, lo
que les permite comprender y navegar estos desarrollos. Es importante notar que cuando
49
se habla de axiomática y rigor, el foco está en presentar definiciones y teoremas de manera
racional y ordenada, sirviendo para clarificar la intuición. Sin embargo, el verdadero
desafío en la educación matemática no radica en el rigor, sino en construir una
comprensión significativa y marcos ontológicos para los objetos matemáticos.
El rigor sirve como herramienta, cuya eficacia en la enseñanza puede demostrarse
a través de la evidencia histórica y la práctica pedagógica. La experiencia y el sentido
común sugieren que en el proceso de matematización, alcanzar niveles más altos de
intuición requiere un período de compresión formal; primero se debe comprender la
esencia de un concepto antes de aprender a aplicarlo con eficacia.
La integración de las matemáticas en la economía es un desarrollo relativamente
reciente, que ocurre en la segunda mitad del siglo XIX. A diferencia de otras ciencias
sociales, los economistas clásicos no emplearon enfoques o razonamientos matemáticos
en sus análisis (Enríquez, 2016). Si se usaban expresiones matemáticas o numéricas, por
lo general eran recursos externos más que herramientas para el análisis. Sin embargo, esto
comenzó a cambiar con la publicación de la Investigación sobre los principios
matemáticos de la teoría de la riqueza de Agustín Cournot en 1838.
En esta obra pionera, Cournot expresó los conceptos de oferta y demanda de
manera funcional, abordando los desafíos encontrados en la lógica literaria. Otro hito
importante ocurrió en 1854 cuando Hermann Heinrich Gossen, un economista alemán,
utilizó la representación geométrica en su obra Exposición de las leyes del intercambio y
reglas derivadas para el comportamiento humano. A través de este trabajo, Gossen sentó
las bases de la teoría de la utilidad marginal.
Ya desde 1920, hubo esfuerzos iniciales para incorporar las matemáticas en la
investigación económica en la Unión Soviética. Los ejemplos incluyen los notables
modelos de demanda creados por E. Slutsky y A. Konjus, los modelos de crecimiento
pioneros desarrollados por G. Feldamn y el análisis de balance de "ajedrez" realizado en
el Departamento Central de Estadística, que luego evolucionó con la participación de
matemáticos y economistas como W. Leontief, que utilizó datos de la economía
norteamericana. Además, los esfuerzos de L. Jushkov para determinar la eficiencia de la
tasa de inversión allanaron el camino para una mayor exploración por parte de V.
Novojilov. Vale la pena señalar que estas investigaciones compartían ciertas
características con el enfoque matemático adoptado en la ciencia económica occidental
durante el mismo período, como lo demuestran los trabajos de R. Harrod, E. Domar, F.
Ramsey, A. Wald, J. Von Neumann , J. Hicks, Samuelson y muchos otros.
Sin embargo, los intentos iniciales de cuantificar la economía se encontraron con
la resistencia de los pensadores económicos clásicos como Smith, Ricardo y Malthus.
Esta resistencia se puede atribuir al hecho de que la economía se desarrolló para
proporcionar soluciones racionales a los desafíos planteados por el orden social posfeudal
en evolución. A medida que este orden social se volvió cada vez más complejo con el
surgimiento del estado moderno y la economía de mercado, el conocimiento económico
tenía como objetivo servir para fines prácticos y ofrecer orientación a académicos,
políticos y empresarios por igual. Sin embargo, la introducción de las matemáticas en la
50
economía las hizo menos accesibles al público en general, lo que provocó una creciente
desconexión entre los conceptos teóricos y sus aplicaciones prácticas. Esto se puede
observar en el debate en curso entre Marshall y Cuningan, que destaca el conflicto
perpetuo entre las orientaciones teóricas y políticas en economía.
Curiosamente, la desconfianza histórica de las matemáticas en su capacidad para
explicar y predecir fenómenos económicos todavía está presente en las facultades de
economía, a veces reconocida abiertamente. Quienes han impartido cursos de
matemáticas en departamentos de ciencias sociales pueden confirmar que los estudiantes
muestran menos entusiasmo por el conocimiento matemático en comparación con la
ingeniería. Además, existe un intento evidente en estas instituciones por simplificar y
suavizar el rigor y la complejidad de los conceptos matemáticos.
CAPÍTULO 3
La cognición y la metacognición
Los orígenes del estudio de la cognición humana se remontan a septiembre de
1956, cuando Noam Chomsky introdujo el concepto de "Gramática transformativa", un
modelo cognitivo para comprender el lenguaje humano. Este documento innovador sentó
las bases para varios campos de estudio que adoptaron un enfoque cognitivo. La
cognición se refiere a los procesos mentales involucrados en la recepción y procesamiento
de información.
En entornos académicos, la cognición ocurre cuando nos relacionamos con la
información a través de diferentes canales, como la comunicación verbal o escrita.
Implica varias etapas, incluida la atención, la codificación y la recuperación, que
finalmente conducen al resultado deseado. La metacognición, por otro lado, se refiere a
51
nuestra capacidad para regular y gestionar nuestro propio aprendizaje. Implica planificar
y elaborar estrategias sobre qué enfoques utilizar en diferentes situaciones, monitorear el
proceso de aprendizaje y evaluar su eficacia. Al hacerlo, podemos identificar posibles
deficiencias y aplicar estos conocimientos a futuras actuaciones.
La metacognición abarca una gama de actividades y funciones cognitivas que
emprenden los individuos, utilizando mecanismos intelectuales interiorizados. Esto nos
permite recopilar, generar y evaluar información, al mismo tiempo que nos permite
comprender, controlar y regular nuestro propio conocimiento (Osses y Jaramillo, 2008).
La línea entre cognición y metacognición a veces puede ser borrosa, ya que están
interconectadas.
Por tanto, la metacognición se define como el conocimiento que poseen los
individuos sobre su propia cognición y su capacidad para regularla. Para participar en la
metacognición, las personas primero deben tener una comprensión de su propia cognición
y participar en procesos mentales que exploren cómo funcionan sus funciones cognitivas.
Por ejemplo, está claro que el conocimiento de los procesos de la memoria influye en
cómo funciona la memoria.
La capacidad metacognitiva es un rasgo del pensamiento humano que está
vinculado a la capacidad de una persona para:
• Adquirir los conocimientos.
• Planificar estrategias para el manejo de la información
• Prestar atención a sus propios pensamientos mientras están involucradas en el
proceso de resolución de problemas. Deben ser conscientes de sus propios
procesos cognitivos y tener en cuenta las diversas actividades mentales en las que
se involucran cuando intentan encontrar soluciones a los problemas.
• Darse tiempo para pensar en la forma en que se resolvieron los problema.
• Evaluar y medir la eficacia y eficiencia de sus propias habilidades cognitivas.
A medida que nuestra comprensión de la metacognición se profundiza, hemos sido
testigos del surgimiento de numerosos términos nuevos que encapsulan específicamente
los diversos procesos mentales involucrados en este complejo fenómeno:
• La meta atención se refiere a la comprensión de los diversos componentes
involucrados en el acto de prestar atención, como identificar a qué se debe prestar
atención, emplear estrategias mentales para mejorar la atención, manejar y
minimizar las distracciones y ejercer control sobre ellas. Cuando las personas no
han desarrollado sus habilidades meta atencionales, se vuelve evidente en los
estudiantes que luchan por mantener la atención enfocada. Estos individuos
luchan por diferenciar entre estímulos relevantes e irrelevantes, lo que los lleva a
prestar atención a todo sin poder concentrarse en nada específico.
• Meta memoria: lo que cada uno sabe sobre su propia memoria; sus capacidades,
sus limitaciones, lo que se debe hacer para recordar y recordar, factores que
52
bloquean la memoria, diferentes formas de memoria visual y auditiva; lo que
debes hacer para recordar Vive lo que ves u oyes.
• Meta lectura: Es el conocimiento que se tiene de la lectura y la manipulación
mental que la acompaña. Qué hay que hacer para leer, qué no se lee bien, cuál es
la diferencia entre una frase y otra. Saber leer es meta-conferencia.
• La meta escritura se refiere a la comprensión integral que uno posee sobre el arte
de escribir y la capacidad de controlar y regular los procesos cognitivos
involucrados en la comunicación escrita. Esto abarca conocer el propósito
previsto de la pieza, manejar hábilmente la expresión de ideas y evaluar
críticamente la efectividad y la medida en que se cumple el objetivo deseado.
• La meta comprensión se refiere a la comprensión de nuestra propia comprensión
y los procesos cognitivos involucrados en su consecución. Esto incluye
comprender el concepto de lo que significa comprender algo, evaluar el alcance
de nuestra comprensión, identificar los pasos necesarios para lograr la
comprensión y reconocer el propósito detrás de esto. Es distinta de otras
actividades mentales como memorizar, deducir o imaginar. Sin la conciencia de
nuestra meta comprensión, seríamos ajenos al hecho de que no hemos
comprendido realmente un tema o tema en particular. Esta es precisamente la
razón por la cual la meta comprensión tiene una importancia inmensa en el ámbito
del aprendizaje y la educación.
Adicionalmente a la autoconciencia del individuo sobre sus procesos
metacognitivos, es imperativo, poseer un fuerte sentido de la motivación. Esto se debe a
que el desarrollo del autoconcepto de uno mismo está fuertemente influenciado por
conocimientos metacognitivos específicos, como la formación de la propia percepción
con respecto a sus habilidades y capacidades.
El aprendizaje es el resultado de estos diversos procesos. Para comprender
verdaderamente un tema específico, los estudiantes deben asignarle un significado,
construir una imagen mental o usar declaraciones verbales para crear una representación,
o desarrollar una teoría o modelo mental que sirva como marco para explicar los
conocimientos adquiridos. Este proceso es esencial para un aprendizaje efectivo.
La modificación cognitiva
Reuven Feuerstein, el creador de esta teoría, era originario de Rumania. Completó
su educación en la Universidad de Ginebra, donde obtuvo una licenciatura en psicología.
Luego se especializó en Psicología General y Clínica en la misma universidad antes de
obtener un doctorado en Psicología del Desarrollo en la renombrada Universidad de la
Sorbona en París. Uno de los principios fundamentales de esta teoría es que no existen
condiciones irreversibles que no puedan ser manejadas y tratadas. Investigaciones
recientes sobre la inteligencia respaldan esta noción y revelan que la inteligencia es un
rasgo complejo y multifacético que puede modificarse e influirse.
53
Esta teoría reconoce que la inteligencia no es fija y depende de varios factores. El
desarrollo de esta teoría surgió de la amplia experiencia del Dr. Feuerstein trabajando con
personas que mostraban un bajo rendimiento debido a diversas formas de privación. Su
objetivo era potenciar sus capacidades de aprendizaje y desarrollo cognitivo. La teoría de
la modificabilidad cognitiva se fundamenta en la creencia de que el organismo humano
es un sistema abierto capaz de modificarse a sí mismo, siempre que exista un acto humano
mediador. En resumen, la teoría del Dr. Feuerstein enfatiza el potencial de los individuos
para mejorar sus habilidades cognitivas a través de la intervención y la mediación. Desafía
la noción de inteligencia fija y destaca la importancia de nutrir y desarrollar el potencial
cognitivo de uno.
La inteligencia es un concepto multifacético que abarca varios procesos
cognitivos. No es una entidad singular sino más bien un sistema jerárquico compuesto
por componentes interconectados (Pino y Arán, 2019). Cada nivel dentro de este sistema
contribuye a una estructura más grande mientras funciona simultáneamente como una
unidad completa. Todo el sistema se caracteriza por su capacidad de autorregulación y
adaptación, lo que permite el surgimiento de una complejidad creciente y un pensamiento
innovador. A diferencia de los rasgos innatos, la inteligencia no está predeterminada al
nacer; en cambio, se forma y desarrolla a través de la participación activa y la
participación del individuo:
• La inteligencia es un concepto complejo que abarca varios elementos, incluidos
diferentes componentes, estructuras interconectadas y dimensiones
interdependientes. Esta complejidad surge de la interacción entre la herencia
genética, la organización del cerebro y las diversas vías de desarrollo
experimentadas por individuos y grupos.
• La inteligencia está indudablemente influenciada por la genética, pero también se
ve muy afectada por el compromiso de un individuo con su entorno. Si se
modifican las circunstancias en las que se encuentra una persona, se abre la
posibilidad de que la inteligencia se altere y mejore.
• La inteligencia está intrincadamente entrelazada con varios factores, como la
personalidad y las circunstancias de un individuo. La capacidad del hombre para
pensar abarca una miríada de enfoques, ya que existen innumerables formas en
las que uno puede participar en una actividad inteligente. Además, la inteligencia
sirve como indicador y como resultado de los rasgos de personalidad únicos de
cada uno. Por lo tanto, comprender y desentrañar el comportamiento inteligente
de un individuo requiere un examen exhaustivo de su personalidad, motivación,
actitudes e historia personal.
Según el Dr. Feuerstein, la razón del bajo rendimiento académico es la utilización
ineficaz de las funciones cognitivas necesarias. En un esfuerzo por abordar este problema,
ha desarrollado un programa que tiene como objetivo mejorar, cultivar, refinar y
solidificar los requisitos previos fundamentales de los procesos cognitivos. El concepto
de modificabilidad busca guiar a los individuos hacia un nuevo estado del ser que
54
actualmente es inexistente o imprevisible. Este programa abarca un enfoque dinámico
para el desarrollo de la inteligencia, teniendo en cuenta la totalidad del ser humano en
lugar de centrarse únicamente en los aspectos intelectuales.
El enfoque de la modificabilidad cognitiva es fomentar el crecimiento y la
adaptación de las funciones cognitivas y los procesos mentales, con la intención de
aumentarlos o modificarlos según sea necesario. A través del proceso de mediación, las
personas pueden identificar y corregir cualquier deficiencia en sus funciones cognitivas.
El mediador humano actúa como intermediario entre el individuo y los estímulos que
encuentra, proporcionando estímulos y transformándolos, además de considerar las
predisposiciones, necesidades y percepciones del individuo que influyen en sus
capacidades cognitivas.
El mediador asegura que se establezcan condiciones favorables para la
interacción. El Dr. Feuerstein se refiere a este proceso como la "Experiencia de
Aprendizaje Mediado" (EAM), que puede entenderse como un tipo de interacción entre
el individuo y su entorno. Ciertos estímulos ambientales son interceptados por un
mediador que los selecciona, organiza, reorganiza y agrupa de manera que se alineen con
un objetivo específico. Según Feuerstein, la Experiencia de Aprendizaje Mediado se
puede ofrecer a personas de todas las edades, siendo el factor clave la utilización de una
modalidad adecuada. Para facilitar esta experiencia, se deben cumplir ciertos requisitos:
• La reciprocidad enfatiza la importancia de un intercambio mutuo y colaboración
entre el mediador y los participantes. El mediador actúa como representante de la
conciencia cultural colectiva, facilitando no solo la recepción de estímulos sino
también involucrando activamente a los individuos en un desafío compartido. Este
esfuerzo colaborativo fomenta un sentido de propiedad e inversión en el proceso
de mediación, lo que permite que tanto el mediador como los individuos
contribuyan y se beneficien de la experiencia compartida.
• La intencionalidad y la reciprocidad juegan papeles cruciales en el proceso de
mediación, ya que involucran una interacción deliberada y con un propósito entre
el mediador y las personas involucradas. El mediador tiene en cuenta las metas y
objetivos que se han establecido de antemano, que sirven como principios rectores
en la selección y organización de la información y los materiales pertinentes. Este
enfoque intencional asegura que la sesión de mediación esté enfocada y dirigida
hacia el logro de los resultados predeterminados. En resumen, la intencionalidad
y la reciprocidad son componentes vitales de una mediación eficaz. Establecen un
propósito claro y una dirección para la interacción, asegurando que se cumplan
los objetivos. Al mismo tiempo, fomentan una experiencia colaborativa y
compartida, lo que permite el crecimiento y el enriquecimiento mutuo. Al adoptar
la intencionalidad y la reciprocidad, los mediadores pueden crear un entorno
significativo e impactante que promueva el aprendizaje, el desarrollo y el logro de
objetivos predeterminados. A través de este enfoque intencional y recíproco, el
proceso de mediación se convierte en un viaje dinámico y transformador. Va más
allá de la mera difusión de información y la recepción pasiva, ya que fomenta la
55
implicación y participación activa de todas las partes implicadas. Este
compromiso mutuo sirve como catalizador para la adquisición de conocimientos,
el desarrollo personal y el enriquecimiento tanto del mediador como de los
individuos.
• El concepto de mediación de significado gira en torno a la idea de que es crucial
generar interés y conciencia en el individuo con respecto a la tarea en cuestión,
asegurando que comprenda su significado y relevancia para su proceso de
aprendizaje. Para lograrlo, el mediador debe establecer y potenciar una fuerte
conexión emocional con el individuo, creando un ambiente que fomente la
aceptación y apertura hacia la recepción y procesamiento de los estímulos. Esto
permite que los estímulos se integren efectivamente en el sistema de significados
existente del individuo, facilitando una comprensión y asimilación más profunda
de la información.
• La meditación de trascendencia se refiere a una forma de mediación que va más
allá de abordar el problema inmediato en cuestión. Implica conectar varias
actividades del pasado con el futuro y, en última instancia, lograr una comprensión
y una aplicación más amplias de la información disponible.
Para Feuerstein, la mayoría de las características que son fundamentales para la
mente humana no son naturalmente inherentes, sino que requieren influencia externa y
comunicación con otros para su desarrollo. Al explicar los distintos niveles de desarrollo
cognitivo de los individuos, Feuerstein introduce dos modalidades. Estas modalidades
sirven como métodos o enfoques que dan forma y determinan el crecimiento cognitivo de
un individuo:
• El concepto de exposición directa de los organismos a los estímulos ambientales
se refiere a la idea de que a medida que los organismos crecen y se desarrollan,
sus características psicológicas determinadas genéticamente se moldean y alteran
continuamente por la exposición directa a los diversos estímulos que presenta el
medio ambiente. En otras palabras, esto significa que las experiencias e
interacciones de un organismo con el medio ambiente juegan un papel crucial al
influir y moldear la estructura psicológica y el comportamiento del individuo a lo
largo de su vida.
• La experiencia de aprendizaje mediado es crucial para promover la
modificabilidad en los individuos. Para que esta modificabilidad tenga lugar, debe
haber una interacción dinámica y activa entre la persona y las fuentes de
estimulación tanto internas como externas. Esta interacción se facilita a través de
lo que se conoce como Experiencia de Aprendizaje Mediado (E.A.M). La
experiencia de aprendizaje mediado implica la participación de un mediador,
como un padre, educador, tutor o cualquier otra persona relacionada con el
individuo. El mediador juega un papel vital en la selección, organización y
transmisión de estímulos específicos de su entorno, ayudando así a la persona a
comprender, interpretar y utilizar estos estímulos de manera efectiva. Además, el
56
mediador también actúa como transmisor de cultura, ayudando a impartir
importantes conocimientos y valores culturales al individuo.
Asimismo, destaca la presencia de dos categorías distintas de factores que
contribuyen al proceso de desarrollo cognitivo:
• Las causas distales abarcan una amplia gama de factores que tienen un impacto
duradero en los individuos, incluidas las predisposiciones genéticas, las
influencias orgánicas, los desencadenantes ambientales, los cambios relacionados
con la maduración y varios otros elementos que dan forma permanente a la
existencia humana.
• Las causas próximas se refieren a factores relacionados con la ausencia de
aprendizajes estructurados y un entorno socioculturalmente desfavorecido, entre
otros. Es importante señalar que Feuerstein rechaza la noción de que las causas
distales pueden conducir a un declive irreversible en las personas, y tampoco cree
que las causas proximales puedan tener un impacto significativo y permanente en
una persona.
Las habilidades cognitivas y las funciones matemáticas
Como se discutió anteriormente, la modificabilidad cognitiva es un concepto que
enfatiza principalmente la mejora y el refinamiento de las funciones cognitivas y los
procesos mentales. Estas funciones cognitivas abarcan una amplia gama de habilidades y
destrezas que contribuyen a nuestras capacidades generales de pensamiento y resolución
de problemas. Incluyen, entre otros, la memoria, la atención, la percepción, el
razonamiento y la comprensión del lenguaje.
Al participar activamente en la modificabilidad cognitiva, las personas pueden
trabajar activamente para mejorar y expandir estas funciones cognitivas, lo que en última
instancia conduce a un sistema cognitivo más eficiente y efectivo. Este proceso implica
desafiar y estimular activamente la mente a través de diversas actividades y ejercicios que
se enfocan en funciones cognitivas específicas, lo que permite el desarrollo y
fortalecimiento de conexiones y vías neuronales. En consecuencia, las personas que
participan activamente en la modificabilidad cognitiva pueden experimentar mejoras
significativas en sus capacidades cognitivas, lo que lleva a un mejor aprendizaje,
resolución de problemas, toma de decisiones y rendimiento cognitivo general:
• La identificación se refiere a la capacidad de un individuo para asignar significado
o comprensión a un evento o situación en particular. Esto implica el proceso de
reconocer y reconocer información o conocimiento relevante que ya se posee
antes de emprender cualquier exploración o investigación adicional. Para ilustrar,
al abordar un material de lectura, es fundamental identificar y tener en cuenta
cualquier conocimiento previo o familiaridad con el tema en cuestión para
establecer una base sólida para la comprensión e interpretación.
57
• La evocación: la capacidad de recordar experiencias previas. Por ejemplo, integrar
elementos, relaciones, propiedades o partes dentro de la información para resolver
un problema.
• La habilidad de comparar implica el acto de contrastar dos o más elementos,
permitiéndonos establecer tanto similitudes como diferencias entre ellos. Esta
habilidad es fundamental para reconocer atributos que normalmente no se notan.
Para ilustrar esto, consideremos los términos descubrimiento e invención y
comparémoslos para resaltar las características distintivas de cada uno.
• El análisis es la habilidad de descomponer una entidad completa en sus
componentes individuales. Nos permite examinar las propiedades, funciones,
propósitos, conexiones, estructuras y procesos del todo mediante el estudio de sus
partes. Un ejemplo de esto podría ser un ejercicio de orientación espacial donde
articulamos y evaluamos lo que observamos.
• La síntesis se refiere a la capacidad de combinar efectivamente varios
componentes, conexiones, características o elementos para crear entidades
completamente nuevas y significativas. Esta habilidad permite a los estudiantes
eliminar información irrelevante o sin importancia, condensar grandes conjuntos
de datos e identificar patrones o principios generales que abarcan grandes
cantidades de información. Para ilustrar, un estudiante puede emplear la síntesis
creando una tabla completa, construyendo un mapa conceptual o generando un
resumen conciso para capturar la esencia de un tema o tema complejo.
• La clasificación: La capacidad de organizar los elementos en varias categorías y
subcategorías en función de criterios o características específicas. Esto implica el
proceso de categorizar una colección de individuos, como clasificarlos por edad,
sexo, puesto de trabajo, nivel de experiencia y otros factores relevantes.
• El concepto de representación mental se refiere a la capacidad de un individuo de
utilizar símbolos o significantes para evocar mentalmente o convocar aspectos de
la realidad. Una forma práctica de observar esta habilidad en acción es pedirle a
un estudiante que exprese sus pensamientos o asociaciones cuando se le presente
una palabra específica, como "automóvil". Este ejercicio alienta al alumno a
aprovechar su reserva mental de conocimientos y experiencias relacionados con
los automóviles, mostrando así su capacidad para representar y evocar
mentalmente el concepto de un automóvil.
• La deducción es un proceso de razonamiento lógico donde uno saca conclusiones
o identifica consecuencias específicas basadas en lo que ya se sabe. Esto se puede
hacer aplicando generalizaciones o principios explícitos a la información dada.
Por ejemplo, se le puede pedir a un estudiante que reconozca las conclusiones o
resultados que resultan de una declaración general.
• La inducción, también conocida como razonamiento inductivo, se refiere al
proceso lógico de sacar conclusiones basadas en observaciones repetidas de
58
fenómenos u objetos de conocimiento para identificar relaciones esenciales. Su
objetivo principal es descubrir leyes, principios o generalizaciones. Para ilustrar,
considere el escenario donde se identifican atributos específicos dentro de un
individuo, lo que lleva a una conclusión particular.
• El razonamiento divergente, es la capacidad de generar ideas o soluciones
diferentes y creativas para un problema presentado. Ejemplo: Permita que los
estudiantes muestren todas las posibles respuestas a una pregunta.
• El razonamiento hipotético se refiere a la capacidad cognitiva de ensayar
mentalmente y explorar diferentes opciones para interpretar y resolver un
problema. Esto implica participar en actividades como enseñar el concepto de
declaraciones "si... entonces", o participar en ejercicios que fomenten la
consideración de diversas posibilidades y posibles resultados. Al perfeccionar esta
habilidad, las personas pueden mejorar sus capacidades de resolución de
problemas imaginando diferentes escenarios y evaluando las posibles
consecuencias de cada opción.
• El razonamiento inferencial se refiere a la capacidad cognitiva para hacer
predicciones o dibujar generalizaciones sobre el comportamiento de ciertos
hechos o fenómenos basados en situaciones específicas o experiencias personales.
Esta habilidad consiste en recopilar información fáctica de una situación dada y
combinarla con conocimientos o creencias existentes para formar conclusiones.
Por ejemplo, nos permite comprender por qué alguien puede haber respondido de
una manera específica o cómo se desarrolló un evento en particular. Al emplear
efectivamente el razonamiento inferencial, las personas pueden dar sentido al
mundo que les rodea y mejorar su comprensión de las relaciones de causa y efecto.
Problemas matemáticos y desarrollo de habilidades cognitivas
En Latinoamérica, la enseñanza de las matemáticas juega un papel fundamental
en la Educación. El currículo se enfoca en actualizar y fortalecer la educación matemática,
incorporando fundamentos científicos, psicológicos y epistemológicos. El objetivo es
fomentar procesos de pensamiento creativo y generativo entre los estudiantes. El
concepto de enseñar matemáticas en este contexto enfatiza la importancia de involucrar
a los estudiantes en actividades significativas que se derivan de problemas de la vida real
(Mora, 2003). Estas actividades requieren pensamiento creativo, lo que permite a los
estudiantes hacer conjeturas, aplicar información y comunicar sus ideas a través de la
reflexión crítica y la argumentación.
La enseñanza de las matemáticas tiene una gran importancia en nuestra sociedad,
ya que se considera uno de los pilares de la educación obligatoria. El dominio de esta
materia contribuye significativamente al perfil educativo integral del estudiante al
culminar la Educación General Básica y el Bachillerato. Puesto que, a través de las
matemáticas, los estudiantes adquieren la capacidad de razonar, abstraer, analizar, tomar
decisiones informadas, sistematizar información y resolver problemas.
59
Estas habilidades también contribuyen a su desarrollo personal, fomentando la
equidad, la innovación y el apoyo. Además, el conocimiento matemático brinda a los
estudiantes una comprensión cultural fundamental, ya que las matemáticas sirven como
medio de comunicación entre las personas. Lo implica que se anime a los estudiantes a
tomar iniciativas creativas, ser proactivos, perseverantes, organizados y trabajar en
colaboración para resolver problemas. De acuerdo con las actualizaciones curriculares en
América Latina, el currículo de matemáticas pone un fuerte énfasis en el desarrollo de
competencias dentro de un contexto bien definido. Se alienta a los estudiantes a resolver
problemas relacionados con su vida diaria, basándose en una sólida comprensión de los
conceptos matemáticos y estrategias efectivas para resolver problemas. Este enfoque le
da al aprendizaje un significado práctico y funcional para los estudiantes.
El diseño del currículo de matemáticas siempre se ha arraigado en un punto de
vista filosófico que enfatiza la importancia de que los estudiantes se involucren y
resuelvan problemas de la vida real usando conceptos y herramientas matemáticas. Este
enfoque comienza con la presentación de un problema o situación genuina, lo que permite
a los estudiantes interpretarlo utilizando el lenguaje, proponer acciones, aplicar conceptos
y acciones y, en última instancia, resolver el problema e interpretar los resultados.
Además, así como las matemáticas tienen una perspectiva epistemológica, también
adoptan una visión pedagógica que debe ser considerada en el proceso de enseñanza y
planificación de lecciones.
En este enfoque, los estudiantes están en el centro de los procesos educativos y
matemáticos, participando en actividades de resolución de problemas que conducen a
posibles soluciones, modelando escenarios del mundo real, desarrollando estrategias y
aplicando técnicas. Enseñar matemáticas con un enfoque en la resolución de problemas
no solo facilita el aprendizaje activo, sino que también brinda oportunidades valiosas para
que los estudiantes planteen, exploren y aborden desafíos importantes.
La representación es un aspecto esencial de las matemáticas, ya que nos permite
comprender y trabajar con conceptos matemáticos que no son directamente observables.
Esta representación puede tomar la forma de descripciones verbales, símbolos o gráficos,
y juega un papel crucial en la traducción y conversión de ideas matemáticas. Cuando nos
comunicamos sobre matemáticas, ya sea a través del lenguaje hablado o escrito, estamos
utilizando estas representaciones para transmitir nuestras interpretaciones y soluciones a
los problemas (Puga et al., 2016). Este lenguaje de las matemáticas nos ayuda a reconocer
conexiones entre conceptos relacionados y aplicar el pensamiento matemático a
situaciones del mundo real, a menudo con la ayuda de la tecnología.
La comunicación es un componente vital del desarrollo de las matemáticas. A
través del diálogo y la discusión entre estudiantes y profesores, se pueden compartir y
reflexionar ideas, lo que conduce a una comprensión más profunda y mejora del
razonamiento matemático. Este proceso de comunicación permite la generación de
nuevas ideas y la realización de procesos matemáticos.
La justificación es otro aspecto importante de las matemáticas, ya que proporciona
el razonamiento lógico y la evidencia necesaria para respaldar el conocimiento
60
matemático. Ya sea a través de argumentos inductivos o deductivos, el razonamiento y la
demostración sirven como poderosas herramientas en matemáticas. Al explorar
fenómenos, formular conjeturas y justificar resultados, podemos apreciar verdaderamente
el significado y el valor de las matemáticas. El objetivo final en la educación matemática
es cultivar el razonamiento matemático como un hábito, asegurando que se pueda aplicar
de manera efectiva en varios contextos.
La conexión entre las ideas y los objetos matemáticos permite una comprensión
profunda y duradera del tema, lo que permite a los estudiantes relacionarlo con otras
disciplinas o áreas de su propio interés. Esta conexión se establece a través de la
institucionalización de estructuras lógicas globales, que forman un sistema conceptual
lógico entrelazado con la realidad cultural. Los objetos matemáticos se utilizan en el salón
de clases o durante los momentos de instrucción como un medio para facilitar esta
conexión.
Los profesores juegan un papel crucial en el establecimiento de los actos
necesarios para este desarrollo, con el objetivo de crear las principales habilidades y
alinearlas con los criterios de desempeño y los objetivos de aprendizaje. El foco de la
orientación docente-estudiante debe estar en nutrir todas las potencialidades de los
estudiantes, promoviendo la formación de personas íntegras que posean tanto
conocimientos como habilidades prácticas. Para lograr esto, es importante comprender
cómo los estudiantes aprenden y emplean estrategias que mejoran la aplicación del
currículo, haciendo que el aprendizaje sea significativo y no una mera réplica de procesos
matemáticos.
El interaprendizaje de las matemáticas se reconoce cada vez más como esencial
en la formación de los individuos, ya que estimula el razonamiento deductivo y sirve
como estructura fundacional para otras ciencias debido a su carácter interdisciplinario.
Además, las matemáticas proporcionan procedimientos adecuados para el desarrollo de
habilidades esenciales como el razonamiento, el pensamiento lógico, el pensamiento
crítico, la argumentación razonada y la resolución de problemas. El proceso de
aprendizaje en matemáticas es constructivo, se inicia con nociones y conceptos
elementales que no estaban definidos en la antigüedad y se avanza paulatinamente hacia
conjuntos más complejos y de diversa naturaleza. Así, el desarrollo de las matemáticas se
basa en cuatro ejes importantes: lógica matemática, conjuntos, números reales y
funciones.
Experiencia ecuatoriana
De acuerdo con los datos proporcionados por el Ministerio de Educación, en una
muestra de 41.702 estudiantes de diversos tipos de instituciones educativas, entre ellas
públicas, municipales, fiscales, misioneras y privadas, se reveló que entre los estudiantes
de cuarto año, el 25% no alcanzó los estándares mínimos en matemáticas. Pasando a los
estudiantes de séptimo año, los resultados arrojaron que el 30% obtuvo un puntaje
considerado insuficiente, mientras que el 54,5% alcanzó el nivel elemental en
matemáticas. Asimismo, el 13,3 % obtuvo una puntuación satisfactoria y solo el 2,2 %
61
obtuvo la calificación de excelente. Los niveles de desempeño de los estudiantes de
décimo año indicaron que el 42,8% tuvo un nivel insuficiente, mientras que el 45,9%
alcanzó el nivel elemental en matemáticas. En el tercer año de secundaria, el 31% de los
estudiantes todavía se consideraba con un nivel insuficiente en esta materia.
En el desempeño de los estudiantes de cuarto grado en el programa de Educación
General Primaria, donde el plan de estudios incluye contenido articulado de manera
sistemática y coherente, los criterios de desempeño de habilidades específicas no son
considerados adecuadamente, lo que dificulta el crecimiento continuo y dinámico en el
nivel elemental. En cambio, en el subnivel de bachillerato dentro del programa de
Educación General Básica, estos criterios se abordan implícitamente dentro del campo de
las relaciones lógico-matemáticas.
En el desempeño en matemáticas, el nivel excelente se mantiene en estándares
bajos para mostrar la eficacia, la eficiencia, la contextualización, el respeto y la
transferibilidad de aplicar el conocimiento científico para resolver problemas. Esto se
logra mediante la utilización flexible de reglas y modelos matemáticos para comprender
los aspectos, conceptos y dimensiones matemáticos del mundo social, cultural y natural.
Además, implica la creación de modelos matemáticos utilizando todos los datos
disponibles para abordar problemas cotidianos y fomentar actitudes de orden,
perseverancia y capacidad de investigación, cultivando en definitiva la pasión por las
Matemáticas sin descuidar el desarrollo del entorno social y natural.
Dentro del nivel elemental, se mantiene consistente al reconocer funciones
lineales a través del análisis de su tabla de valores, gráficas o ecuaciones. Al comprender
uno de los tres modelos antes mencionados, uno puede determinar los otros dos y obtener
información sobre las variaciones constantes con patrones en funciones lineales y sus
valores pertinentes al resolver problemas de la vida real. Se puede afirmar que el
pensamiento lógico asegura que el conocimiento se alinee con la realidad que representa
y aplica la corrección lógica como único criterio para evaluar la validez de un
pensamiento. Los procedimientos deductivos válidos, que garantizan la exactitud del
razonamiento, están presentes en todas las ciencias e incluso en todas las actividades
humanas.
El bloque de Álgebra y Funciones en Principios Básicos se enfoca en identificar
regularidades y utilizar patrones para predecir valores, lo que lleva a la conclusión de que
el estudio de funciones involucra conceptos relacionados con estos principios. El estudio
de conjuntos numéricos, a saber, naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) y reales (R),
progresa dentro del álgebra. Esto incluye el examen de las operaciones de suma y
multiplicación, sus propiedades algebraicas y la solución de ecuaciones. Se emplean
materiales concretos para mejorar el pensamiento crítico y las habilidades de resolución
de problemas de los estudiantes en su vida diaria.
En el bloque de geometría y medidas, los estudiantes comienzan descubriendo
formas y figuras durante los primeros años de Educación General Básica, explorando las
dimensiones presentes en su entorno para determinar sus características y analizar sus
atributos. Este proceso permite a los estudiantes comprender los conceptos básicos de
62
geometría. A medida que los estudiantes avanzan a través de niveles básicos superiores,
su conocimiento se entrelaza con la lógica proposicional. Esto los equipa con la capacidad
de razonar y brindar demostraciones, que finalmente culminan en el estudio de espacios
vectoriales, líneas paralelas, líneas perpendiculares y aplicaciones geométricas. Este
enfoque fomenta una actitud de orden, perseverancia y capacidad de investigación.
En el segmento del módulo de estadística y probabilidad, los datos recopilados
del entorno del estudiante se recopilan cuidadosamente y se examinan meticulosamente
mediante el uso de ayudas visuales como pictogramas, diagramas circulares y gráficos de
barras poligonales. Estas representaciones gráficas permiten una comprensión visual de
la información disponible. A medida que avanza el módulo, el enfoque cambia hacia la
estadística descriptiva, que abarca un estudio exhaustivo de las probabilidades. Este
estudio se vuelve más completo y complejo a medida que los estudiantes avanzan en la
escuela secundaria, profundizando en las medidas de dispersión y posición. Al explorar
estos conceptos, se alienta a los estudiantes a participar en el razonamiento lógico-
matemático y cultivar sus habilidades de pensamiento creativo cuando se trata de
interpretar los datos y sacar conclusiones significativas. El proceso fomenta un sentido de
compromiso y responsabilidad al expresar sus hallazgos.
El enfoque moderno de las matemáticas pone un fuerte énfasis en el desarrollo del
pensamiento lógico, que se considera una característica crucial. Este enfoque también
aboga por la integración de las matemáticas con otras materias en la Educación General
Básica. Al enseñar matemáticas, es importante proporcionar a los estudiantes una sólida
comprensión de los conceptos matemáticos básicos, así como la capacidad de aplicar
estos conceptos en situaciones de la vida real. Además, se debe alentar a los estudiantes
a pensar de manera crítica y creativa, utilizando métodos heurísticos y de resolución de
problemas.
Desafortunadamente, muchos estudiantes creen que las matemáticas no son
importantes para el desarrollo del razonamiento lógico y el pensamiento creativo. Sin
embargo, es ampliamente reconocido que las matemáticas son en realidad una ciencia que
contribuye en gran medida a la formación intelectual de los individuos. Por ello, es
fundamental que los docentes diseñen actividades que estén alineadas con el currículo y
promuevan el desarrollo de competencias. Deben evitarse las prácticas de enseñanza
tradicionales, que se centran en la memorización y la repetición de algoritmos, ya que no
permiten la reflexión, el análisis y otras habilidades importantes. En su lugar, se debe
alentar a los estudiantes a que vayan más allá de simplemente proporcionar una respuesta
correcta a un problema y, en cambio, se centren en analizar, discutir, argumentar y
demostrar los procedimientos utilizados para llegar a sus respuestas.
La metodología se centra en el análisis e identificación de sus componentes, con
el objetivo de incentivar el uso sistemático del pensamiento reflexivo que formula con
claridad y precisión el texto problema. Esto implica leer el problema varias veces hasta
que se identifiquen los datos, las incógnitas y las posibles relaciones. Se proponen
posibles soluciones, se formulan operaciones matemáticas y se ejecutan operaciones para
trasladar la situación concreta a la solución del problema. Luego, los resultados se
63
comparan con otros problemas similares que se han resuelto o el problema propuesto se
divide en problemas parciales más pequeños. Existe una perspectiva matemática
específica sobre el papel de los problemas en la vida de quienes se dedican a las
matemáticas.
Esta perspectiva enfatiza la importancia de que los docentes investiguen y utilicen
nuevos recursos, materiales, herramientas y prácticas innovadoras para desarrollar
efectivamente objetivos, conocimientos, aplicaciones, perspectivas, alternativas
metodológicas y evaluación. Este enfoque permite a los estudiantes desarrollar
plenamente sus habilidades de razonamiento y habilidades de pensamiento creativo.
Pólya introduce el término "heurística" en su texto "Cómo resolverlo", que se refiere a la
habilidad que permite a los estudiantes elaborar conceptos y representarlos estableciendo
relaciones entre ellos. En el caso del sistema numérico, esta habilidad se manifestaría al
adquirir una comprensión de los números, su composición, valor posicional y establecer
relaciones de orden entre los números.
Una vez que tienen una base sólida en la fase concreta, los estudiantes pasan a la
fase gráfica. Aquí, desarrollan aún más su comprensión al asociar lo que han manipulado
con su respectiva representación en gráficos y dibujos. Esta representación visual les
ayuda a visualizar y solidificar su comprensión de los conceptos. Es importante tener en
cuenta que estas fases de aprendizaje basadas en la resolución de problemas fueron
propuestas por Díaz Barriga Arceo en 2003. Este marco proporciona un enfoque
estructurado para el aprendizaje, lo que permite a los estudiantes construir gradualmente
su comprensión y aplicar su conocimiento de manera efectiva.
Finalmente, en la fase de aplicación, los conceptos abstractos se afirman a través
de ejercicios y aplicaciones prácticas. Esta fase permite a los estudiantes poner en práctica
sus conocimientos y reforzar aún más su comprensión. Al aplicar lo que han aprendido
en situaciones de la vida real, los estudiantes pueden solidificar su comprensión de los
conceptos abstractos. La siguiente fase es la fase simbólica, donde los estudiantes
comienzan a elaborar conceptos abstractos. A través de un proceso de construcción mental
gradual, van haciendo conexiones entre lo manipulado en la fase concreta, su
representación gráfica y los símbolos correspondientes. En última instancia, esta fase
lleva a los estudiantes a ser capaces de comprender y manejar completamente estos
símbolos.
El estudio de las matemáticas constituye la base de nuestra capacidad para pensar,
observar, usar la intuición y la imaginación, y participar en el razonamiento lógico. Nos
permite establecer conexiones, hacer inferencias, sacar conclusiones y aplicar significado
a los símbolos, todo lo cual contribuye al desarrollo de nuestras habilidades cognitivas.
El método de resolución de problemas es una herramienta eficaz para la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas, ya que permite diversas formas de practicar y reflexionar
sobre procesos como la inducción, la deducción, la generalización y la particularización,
que son fundamentales para el pensamiento heurístico. La enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas a través de la resolución de problemas se sustenta en fundamentos teóricos
y metodológicos, particularmente el enfoque socio-histórico-cultural. Este enfoque
64
enfatiza la importancia de considerar el contexto social, histórico y cultural en el que se
presentan y resuelven los problemas matemáticos. Guía el tratamiento de estos problemas
enfocándose en el desarrollo de habilidades cognitivas, el uso de procedimientos
específicos y la comunicación efectiva de conclusiones, hallazgos o soluciones.
65
CAPÍTULO 4
Enseñanza de las matemáticas y sus aspectos fundamentales
En los centros de educación superior, el propósito de la enseñanza de las
matemáticas es dotar a los estudiantes de las habilidades para comprender numerosos
artículos profesionales publicados en revistas de renombre como American Economic
Review, Quarterly Journal of Economics, Journal of Political Economy, Review of
Economics and Statistics y Diario Económico. Asimismo, vale la pena mencionar la
amplia gama de recursos disponibles en Internet que mejoran aún más la comprensión de
los principios matemáticos en el campo de la economía.
No se puede ignorar la naturaleza empírica de las matemáticas durante su creación
y uso, así como su capacidad para globalizar y organizar pensamientos, lo que en última
instancia conduce a una comprensión más estructurada y formalizada de las experiencias
iniciales. Además, es innegable que existe un aumento constante de la abstracción en las
representaciones simbólicas de los resultados teóricos resultantes de la aplicación de las
matemáticas a la economía. Por tanto, con base en la evidencia histórica, es claro que la
educación matemática debe abarcar tanto los aspectos empíricos como los abstractos,
considerando también los aspectos instrumentales y formales que han ido surgiendo a lo
largo de su desarrollo.
En la descripción de los programas de capacitación introductorios, a menudo se
enfatiza que el objetivo principal es establecer y desarrollar un marco cognitivo particular
en áreas como matemáticas, física, lenguaje, informática y más. Este énfasis en el diseño
de estos cursos nos impulsa a profundizar en el concepto de una "estructura cognitiva
matemática" y definir cuidadosamente lo que implica. Vale la pena señalar que el uso del
artículo indefinido "uno" en este contexto implica que existen múltiples opciones a
considerar a la hora de seleccionar la estructura cognitiva más adecuada.
Para situar adecuadamente este concepto, es esencial considerar el pensamiento
algorítmico como el nivel fundamental de comprensión requerido para que los estudiantes
se involucren de manera independiente y crítica con textos de orientación matemática.
Esta habilidad no solo es necesaria para tener éxito en los cursos de nivel superior dentro
de su campo de estudio elegido, sino que también se vuelve invaluable para sus futuros
estudios de posgrado. Para comprender completamente la importancia de esta elección,
es crucial reconocer y aceptar el consenso entre la comunidad científica de que las
matemáticas operan en un marco lógico-deductivo. Esto significa que las premisas en
matemáticas están interconectadas de manera que cada premisa sirve como conclusión de
la anterior y como requisito previo para la siguiente. En otras palabras, el valor de verdad
en matemáticas se deriva de sus definiciones fundamentales y se basa en ellas a través de
teoremas hasta llegar a las premisas finales.
Para elevar nuestro sentido común, es crucial profundizar en los ámbitos de la
historia y la epistemología de las matemáticas. Al comprender su pasado y sus
aplicaciones actuales en campos como la economía y la ingeniería, podemos desarrollar
66
el marco conceptual esencial necesario para analizar críticamente y sugerir mejoras para
la educación matemática. Este proceso debe ocurrir dentro de un contexto más amplio de
discusión académica horizontal, fomentando el intercambio de diversas perspectivas y,
en última instancia, promoviendo un mayor nivel de profesionalismo en este campo.
Es esencial que los estudiantes de educación superior reconozcan el valor práctico
de las matemáticas, ya que posee conceptos abstractos y aplicaciones de la vida real. Al
exponer a los estudiantes a varios escenarios no matemáticos que presentan problemas
reales, pueden obtener una comprensión más profunda de los principios involucrados en
el trabajo matemático (Costa, 2022). Esto se puede lograr a través de un conjunto de
ejemplos cuidadosamente seleccionados que introducen de manera efectiva a los
estudiantes a los aspectos fundamentales de la práctica matemática.
En las universidades latinoamericanas, no es raro encontrar estudiantes de
economía e ingeniería que carecen de la base matemática necesaria para comprender
incluso artículos básicos de economía que involucran matemáticas de nivel secundario.
Como resultado, se vuelve imperativo establecer equipos interdisciplinarios compuestos
por matemáticos y economistas para diseñar cursos de matemáticas que incorporen el
razonamiento meticuloso inherente al pensamiento matemático. Estos cursos deben
profundizar en el tema con suficiente profundidad para permitir a los estudiantes
participar en trabajos publicados recientemente y alcanzar el nivel de competencia
necesario para hacer que los conceptos y las técnicas matemáticas sean indispensables en
cursos avanzados de economía como microeconomía, macroeconomía, desarrollo y
economía ambiental, mano de obra. economía, organización industrial y finanzas.
El proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas1 en el ámbito escolar,
especialmente en el nivel primario (en tres ciclos) y en el nivel secundario, se ha
convertido en los últimos años en una tarea sumamente compleja y fundamental en todo
sistema educativo. Probablemente no exista sociedad que no cuente en su estructura
educativa con programas relacionados con la educación matemática (Bishop, 1988; Mora,
2002). Los profesores de matemáticas y otras ciencias a menudo enfrentan requisitos de
enseñanza innovadores y en constante cambio, que requieren mayor atención por parte de
quienes participan en la investigación en educación matemática y, sobre todo, en la mejora
del aprendizaje. Las unidades cubren una variedad de temas dentro y más allá de las
matemáticas.
Si bien es cierto que la mayor parte de los escritos sobre educación matemática se
ocupan de la enseñanza, dejando poco espacio para la reflexión sobre la enseñanza,
también es cierto que muchas ideas didácticas se han desarrollado y consolidado en los
últimos años. Por ejemplo, incluyen la resolución de problemas, el aprendizaje basado en
proyectos, en la estación, juegos en educación matemática, experimentos, demostraciones
matemáticas, aplicaciones y modelización de sus procesos. Los conceptos de enseñanza
y por supuesto aprendizaje son muy amplios y se basan principalmente en diferentes
disciplinas relacionadas con la pedagogía, la didáctica y los campos relacionados con las
matemáticas. Los educadores matemáticos creen que los estudiantes deben adquirir
diferentes formas de conocimiento matemático en diferentes situaciones y para diferentes
67
situaciones, tanto para su posterior aplicación como para reforzar estrategias didácticas
en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Por supuesto, esto requiere una búsqueda
profunda de métodos de enseñanza adecuados y métodos especialmente adecuados para
mejorar la calidad de la enseñanza. Los métodos y técnicas mencionados se pueden
dividir en grandes grupos, lo que será uno de los objetivos de este trabajo.
Las matemáticas se aprenden de muchas maneras y a través de muchos medios,
cada uno con su propia función; uno de ellos, el más frecuente y directamente utilizado,
es el lenguaje natural. Hoy en día, la computadora y sus programas relacionados se han
convertido en el medio artificial más popular para tratar diversos temas matemáticos,
desde juegos y ejercicios educativos de matemáticas elementales hasta teorías y
conceptos matemáticos complejos, especialmente en el campo de aplicación. Estas
herramientas ayudan a los docentes a lograr buenos resultados en el desarrollo del proceso
educativo y pedagógico. El aprendizaje se puede describir como un proceso activo que
requiere no sólo el dominio de una determinada materia, en nuestro caso los
conocimientos matemáticos básicos que adquirirá el estudiante, sino también
conocimientos que prueben o expliquen los conceptos más refinados y rigurosos
necesarios para comprender el mundo. . matemáticas, pero debe dominar plenamente las
habilidades y destrezas necesarias para desempeñarse bien como profesor de
matemáticas.
El trabajo con la lógica
El sistema educativo no nos ha enseñado a pensar crítica y creativamente. Nos
hemos vuelto tan dependientes de los algoritmos, como la suma, la resta, la multiplicación
y la división, para resolver problemas cotidianos que nos cuesta aplicar el sentido común
en las situaciones de resolución de problemas. Estamos restringidos de ser innovadores
en la búsqueda de soluciones, ya que constantemente se nos presentan problemas que
pueden resolverse utilizando estos algoritmos. Incluso cuando estos algoritmos están
automatizados, tendemos a caer en la rutina y cometer errores sin darnos cuenta. Nos
obsesionamos con el resultado final y pasamos por alto la importancia de representar los
datos con precisión, lo que dificulta nuestra comprensión del problema. Por ejemplo, si
un dibujo de un edificio no representa con precisión la información dada en el problema,
el maestro debe considerarlo una mala representación que agrega poco o ningún valor.
Es preocupante que los maestros parezcan más preocupados por presentar los
problemas de una manera que se adapte a nuestras preferencias en lugar de asegurarse de
que realmente entendamos el problema. Esto crea dificultades innecesarias en la
enseñanza y el aprendizaje. La resolución de problemas es un área que a menudo genera
controversia, pero es crucial reconocer su valor educativo. Como afirma Pólya, cada
problema resuelto conduce a un descubrimiento, y la resolución de problemas requiere
que el alumno incorpore conocimientos previos. Por lo tanto, la resolución de problemas
no solo ayuda a encontrar soluciones sino que también facilita el aprendizaje. Un
problema de matemáticas es una tarea que individuos o grupos quieren o necesitan
68
encontrar una solución, pero carecen de un procedimiento accesible y adecuado para
hacerlo.
Los problemas estándar implican principalmente la resolución de operaciones
aritméticas. Su objetivo principal es reforzar la comprensión de las operaciones básicas y
su aplicación práctica en situaciones cotidianas. Por otro lado, los problemas de proceso
van más allá del simple uso de algoritmos y requieren la implementación de varias
estrategias y procedimientos de resolución de problemas. Este tipo de problema promueve
el desarrollo de habilidades de razonamiento y fomenta la discusión entre los estudiantes.
En los libros de texto se suelen presentar varios tipos de problemas, una
clasificación común de estos problemas obedece a la distinción que hacen entre
"problemas estándar" y "problemas de proceso". Sin embargo, también existen otros tipos
de problemas que son reconocidos por diferentes autores, que los categorizan además
como "ejercicios de reconocimiento", "ejercicios algorítmicos", "problemas de
aplicación", "problemas de búsqueda abierta" y "situaciones problemáticas".
Resolver un problema requiere la utilización de varias habilidades cognitivas.
Estos incluyen leer, identificar, comparar, clasificar, observar, analizar, sintetizar,
reflexionar, planificar el proceso de resolución, representar mentalmente, aplicar
(transferir), codificar, recopilar información, inferir, establecer y razonar estrategias y
procedimientos, y revisar y modificar los planificar si es necesario. Finalmente, el
solucionador de problemas debe verificar la solución y comunicar efectivamente los
resultados.
Pólya introdujo un enfoque de cuatro pasos para la resolución de problemas,
basado en sus observaciones como profesor de matemáticas. El primer paso es
comprender el problema, lo que implica recopilar información sobre el problema e
identificar qué se desconoce y qué datos y condiciones se dan. El segundo paso es hacer
un plan, donde el solucionador de problemas trata de encontrar un método de solución
basado en sus experiencias pasadas (Valverde et al., 2022). Este paso implica reformular
el problema o reorganizar los datos para relacionarlos con experiencias previas. El tercer
paso es ejecutar el plan siguiendo cada paso y comprobando si la solución es correcta.
Finalmente, el cuarto paso es analizar el plan y reflexionar sobre su efectividad. El
solucionador de problemas puede tratar de verificar el resultado utilizando otro método o
considerar cómo se puede aplicar la solución a otros problemas.
En última instancia, el objetivo principal de la educación debe ser estimular el
pensamiento crítico y las habilidades de razonamiento. Este principio es válido en
cualquier entorno educativo y cultura. Para ilustrar la importancia de las matemáticas,
reflexionemos sobre una actividad sencilla en la que no necesitamos aplicar ningún
algoritmo sino usar el sentido común. Por ejemplo, al darnos cuenta de que todos los
números mencionados en la actividad comienzan con la letra "d", podemos deducir que
el siguiente número será doscientos: dos, diez, doce, dieciséis, diecisiete, dieciocho,
diecinueve, doscientos. Este mismo concepto se aplica a Brasil y Portugal, donde los
números dois, dez, doze, dezesseis, dezessete, dezoito, dezenove y duzentos siguen el
69
mismo patrón. Esto destaca la importancia de las matemáticas en diversas culturas y
sistemas educativos.
A pesar de que las matemáticas son un lenguaje universal sin ambigüedades,
siguen siendo un tema que plantea desafíos para muchos estudiantes en las escuelas. Esto
puede atribuirse a explicaciones inadecuadas de los maestros, lo que contradice nuestros
intentos de comunicar nuestro planeta a través de las matemáticas a otros seres
inteligentes. Es crucial reconocer que la grandeza y las limitaciones de la humanidad se
pueden entender gracias a las matemáticas.
Las matemáticas juegan un papel importante en nuestras vidas, ya que sirven
como representación, explicación y predictor de la realidad. A menudo es necesario
utilizar ayudas visuales, como mapas conceptuales o gráficos, junto con explicaciones
verbales para simplificar conceptos complejos que pueden ser difíciles de comprender
para las personas. El proceso de aprendizaje de las matemáticas debe centrarse en
promover el pensamiento lógico-matemático e incorporar diversos recursos y
experiencias didácticas. Al hacerlo, fomenta la participación de diferentes inteligencias,
incluidas las inteligencias visoespacial, cinestésica corporal, musical, lingüístico-verbal,
naturalista, interpersonal e intrapersonal, ya que todas contribuyen al desarrollo de
habilidades para la toma de decisiones.
Metodología para enseñanza de las matemáticas
La enseñanza de las matemáticas es un área en la que muchas personas están
interesadas en investigar. La sociedad moderna exige conocimientos matemáticos, es
difícil encontrar áreas del conocimiento donde las matemáticas no penetren. Los estudios
(Lapinkte, Mead y Philips, 1989) muestran la mayoría
Aquellos que no alcanzan el nivel mínimo del alfabeto para operar en la sociedad
moderna, encuentran matemáticas aburridas y complejas y se sienten inseguros al resolver
problemas aritméticos simples; Por otro lado, la presencia de conocimiento matemático
se convierte en un filtro selectivo importante del sistema educativo. Esta situación está
aumentando y actualmente estudiando la educación matemática se centrará en crear y
desarrollar estructuras
Las actividades oficiales crean la relación entre la cultura matemática que
experimenta un niño, más transparente antes de comenzar la educación obligatoria y el
conocimiento matemático sobre la naturaleza oficial transmitida por la institución. Una
comprensión completa y profunda de los conceptos básicos de la disciplina requiere el
conocimiento de su historia, ya que muestra el proceso dinámico de la actividad científica
como un desarrollo constantemente abierto y así despertar el pensamiento lógico en el
sujeto que adquiere las actitudes y sobre todo las habilidades metodológicas
correspondientes al método científico; es por tanto necesario partir del desarrollo
histórico y epistemológico de las matemáticas como ciencia (Bunge, 1969).
La historia de las matemáticas es una herramienta cultural que enriquece su
enseñanza, este enfoque de la historia de las matemáticas como ciencia nos dice que la
70
evidencia visual es la base para aceptar nociones de que las fórmulas informales e
intuitivas preceden y sirven al servicio detrás de las matemáticas y la forma precisas; Sin
embargo, esta trayectoria no está establecida en cómo enseñarlo, pues existe una fuerte
tendencia hacia la deducción lógica en la enseñanza de las matemáticas que deriva en el
conocimiento matemático a través de una serie de características que no se corresponden
con la naturaleza dinámica y evolutiva de la perspectiva.
Las matemáticas son una de las materias científicas más difíciles para los
estudiantes. Esta es la razón por la que las carreras que requieren que los estudiantes
utilicen las matemáticas tienen la menor matrícula de estudiantes. En la mayoría de los
casos, aparece una indiferencia generalizada hacia la fobia a las matemáticas, que implica
llevar a los estudiantes a su espacio de aprendizaje. El razonamiento analítico requiere
que el cerebro domine muchos niveles de pensamiento (Juncosa, 2004). Sin alcanzar la
madurez en los niveles anteriores de pensamiento, la tarea de alcanzar un nivel analítico
de pensamiento se vuelve más difícil.
La pedagogía reflexiva de la educación se ocupa del sujeto y de otras personas, de
la enseñanza, el aprendizaje y la escuela. Los autores explican que la pedagogía es una
filosofía sin escuelas, por tanto preocupada por las relaciones sociales de carácter
científico, aprendiendo como resultado del aprendizaje de los conocimientos
desarrollados en la sociología. La educación primaria en nuestro país está regulada y
orientada en el currículo de cada país, basándose en un currículo con un enfoque
educativo humanista e intercultural, en el que se considera al individuo con capacidades
cognitivas, su cultura social y emocional como centro de atención. Otra característica es
que el colegio considera como uno de sus principios el aprendizaje holístico, enfocado en
el desarrollo del cuerpo y el mantenimiento de la salud física y mental, es decir, que los
estudiantes demuestren una actitud positiva a través de actividades que promuevan un
aprendizaje físico, integral y saludable. como espíritu. mental y físicamente.
principalmente social y emocional.
La responsabilidad de comprender lo que se menciona en las líneas anteriores, son
básicas en diferentes sistemas educativos del mundo y amenazan con crear niveles y
métodos de integrar estos sistemas. En los últimos cuarenta años, los trabajos
matemáticos han podido desarrollarse significativamente y se han convertido en un tema
de gran importancia para la investigación en el campo de la educación, promover el diseño
y la aplicación de políticas educativas. Los resultados de los resultados detallados entre
la conciliación de los maestros. Los profesores tienen un papel especial en la enseñanza
de las matemáticas porque deben organizar el aprendizaje individual o grupal y la
determinación, la responsabilidad y la actitud tienen un gran impacto para garantizar que
los resultados y el logro de los estudiantes sea óptimo.
Esta disposición y motivación para enseñar matemáticas proviene de las
habilidades, experiencias, conceptos, ideas y habilidades del docente relacionadas con
este proceso. Por lo tanto, conocer y comprender la visión que el docente tiene sobre la
educación matemática es un factor importante a la hora de analizar las distintas variables
involucradas y afectadas. Por lo tanto, los autores pretenden lograr un enfoque
71
fenomenológico centrado en examinar el significado de las experiencias afectivas en la
enseñanza de los profesores de matemáticas. Las matemáticas didácticas ofrecen muchas
definiciones diferentes; Pero su principal característica es la complejidad. El objetivo
específico de este estudio es examinar los aspectos que determinan los procesos de
enseñanza y aprendizaje en este campo, así como desarrollar programas dirigidos a
mejorar estos procesos.
Es importante que la teoría de la educación matemática desarrolle un enfoque
integrador de la educación matemática que debería verse de manera integral como un
sistema interactivo que incluye investigación, desarrollo y práctica. Por lo tanto, el
docente juega un papel fundamental y protagonista en este proceso, porque depende de
su determinación, intereses y, sobre todo, de sus capacidades personales y profesionales
en todos los aspectos que principalmente posee. Además, cuando se trata de involucrar a
los estudiantes durante el proceso de enseñanza, primero se debe responder a la pregunta:
¿cuál es la mejor manera de enseñar matemáticas?, demostrando que la experiencia del
docente en este proceso es importante.
El docente es el factor más importante en el proceso de transformación del
conocimiento en conocimiento, y además juega un papel clave porque es el docente quien
transmite directamente los contenidos, principios y valores que forman la base de la
educación. Es importante que los docentes sean conscientes de la gestión emocional,
principalmente en las interacciones diarias con los estudiantes, por lo que es necesario
practicar estrategias de automotivación, gestión del estado de ánimo, expresión de
empatía y habilidades de escucha resolutiva y gestión de conflictos que tienen lugar en el
aula.
El trabajo del docente en el aula, caracterizado por la planificación didáctica de la
enseñanza y la innovación pedagógica, se ha convertido en uno de los pilares que explican
la interacción en el aula. Sin embargo, la historia muestra la existencia de prácticas que
sólo pueden entenderse en términos de las orientaciones y conceptos que las guían y el
entorno en el que se desarrollan. El aspecto afectivo de las matemáticas muestra que no
sólo el componente de conocimiento de una determinada materia sino también la
presencia de varios elementos como las cogniciones, emociones, creencias, actitudes y
valores sobre la materia; juega un papel esencial en el éxito de los estudiantes (Martínez,
2005).
Este constructo se ha desarrollado y explorado, al igual que direcciones de
investigación en educación matemática, como los aspectos afectivos de las matemáticas
y las contribuciones educativas de enfoques teóricos implícitos o subjetivos. Un concepto
es una estructura mental general que incluye creencias, significados, conceptos, imágenes
mentales, preferencias y gustos. En este sentido, para un docente, los conceptos incluyen
una estructura en la que cada docente da su conocimiento y luego enseña o imparte ese
conocimiento a sus alumnos.
Se cree que los conceptos pueden estar determinados por la percepción o visión
que tiene el docente. él debe tenerlos. Así, las creencias sobre el valor de los contenidos
y procesos del aula conducirán a interpretaciones, decisiones y acciones; Por lo tanto,
72
estos factores se considerarán al tomar decisiones sobre textos, estrategias de enseñanza
y evaluaciones.
El diálogo es un elemento muy importante de este método, porque gracias a él, las
personas pueden participar en los centros del estudio de las actividades, el diálogo
significa hablar de él no solo en el intercambio de información laboral, sino también en
el intercambio de emociones y valores, el diálogo es un Manera de aprender, cómo se
proporciona el problema y cómo se relacionan la vida y las cosas básicas de las
actividades.
Además de participar en las reuniones de diálogo como parte de la participación,
la investigación, incluidas todas las personas tradicionales para personas altamente
calificadas en la investigación tradicional, incluidas las preguntas de desarrollo de tabla,
la gestión de datos y la recopilación, uso, uso y uso de estas herramientas se analizan
documentos para encontrar Una medición del problema, las acciones colectivas realizadas
en TI, todos los participantes del proyecto conocen los objetivos y la lógica de los
problemas y, por lo tanto, pueden compartir este conocimiento con los demás. Este último
enfoque de investigación introduce varios atributos defendidos por los educadores,
incluida la educación emancipadora, las relaciones de poder, la validación del
conocimiento y el conocimiento ancestral.
En epistemología, la dirección de la investigación en pedagogía matemática,
utilizando métodos como la investigación-acción, está asociada con un modelo empirista-
idealista que niega la neutralidad, la independencia y la objetividad del conocimiento.
Basado en algunos puntos metafísicos mencionados anteriormente, se puede considerar
no solo un estudio de investigación basado en la descripción y la explicación del
conocimiento matemático, que aparece en las instalaciones culturales o la práctica social,
sino que también puede ser un estudio de la educación social y la educación de la
legalidad. y democratización del conocimiento en la comunidad.
El propósito de una metodología innovadora es presentar sus características,
capacidades y limitaciones en cada una de estas categorías, de igual manera se espera que
la comunidad académica sistematice las investigaciones realizadas en este campo según
estas categorías en cada país, ya que esto puede mostrar la historia y desarrollo de este
campo de estudio en cualquier contexto, lo que arroja luz sobre sus predicciones y su
futuro.
En la escuela moderna, se enseñan patrones repetidos y comprender su estructura
tiene un impacto positivo en el desarrollo matemático temprano al proporcionar una base
importante para el pensamiento algebraico. Desarrollar un concepto de patrón implica
reconocer el principio subyacente e identificar consciente y funcionalmente la unidad que
se repite (Gatti, 2014). Es necesario centrarse en realizar tareas según modelos que
brinden a los estudiantes la oportunidad de pasar del pensamiento recursivo al
pensamiento funcional, es decir, observar la conexión secuencial de elementos que
forman una cadena para lograr la abstracción de manera dirigida, acompañante y corporal.
la estructura interna de su núcleo.
73
¿Qué significa representación en matemáticas? La creciente evolución de la
representación de ideas y procesos matemáticos va de lo concreto a lo abstracto, de modo
que puede adoptar muchas formas diferentes a través de objetos físicos, lenguajes
naturales, figuras, imágenes y símbolos comunes. Por lo tanto, se debe respetar y fomentar
el proceso de representación para aprender cómo los símbolos representan un objeto,
situación o idea matemática. Por esta razón, se cree que no se sabe que un individuo puede
movilizarse sin una actividad representativa. De manera similar, en términos de
representación como proceso matemático que demuestra la comprensión del estudiante,
este proceso juega un papel fundamental en la adquisición y procesamiento del
conocimiento por parte de cada individuo.
Con base en este modelo, nos esforzamos por enseñar matemáticas que
establezcan conexiones entre representaciones para conectar de manera efectiva la
comprensión conceptual y procedimental. Partiendo de esta base, conceptualizamos la
representación en matemáticas como un proceso interconectado que nos permite captar
de manera concreta, mediante el uso de símbolos, gráficos y/o lenguaje, diferentes
lenguajes naturales, conocimientos y procedimientos matemáticos que poseen los
estudiantes. De esta manera, es posible organizar, comprender y comunicar la naturaleza
matemática de actividades realizadas previamente a nivel educativo y social.
Lenguaje matemático: concepciones docentes desde una perspectiva de la formación
La formación de profesores de matemáticas competentes comienza
necesariamente con el dominio y la comprensión del contenido que enseñan, la capacidad
de gestionarlo y aplicarlo adecuadamente y la capacidad de comunicar, a menudo sobre
el contenido matemático. En América Latina, el porcentaje de estudiantes que se están
preparando para convertirse en docentes de matemáticas, no tienen suficientes
habilidades matemáticas que deberían desarrollarse durante la capacitación y son
necesarios para la educación superior: comprensión del lenguaje matemático, el
pensamiento estratégico, las oportunidades de comunicación, la lógica formal y la
etnomatemática.
Por lo tanto, durante la capacitación inicial de los docentes de matemáticas, tanto
la contribución al conocimiento sobre el contenido como el desarrollo de las
competencias para la gestión, la aplicación y la comunicación son relevantes. Sin
embargo, la capacidad de comunicación no solo está relacionada con la implementación
efectiva de las estrategias de aprendizaje en el proceso de práctica profesional, sino que
también es capaz de mostrar el dominio correcto del concepto de las inteligencias
múltiples.
La educación matemática se desarrolla con frecuencia en centros de capacitación
iniciales que no se integran con la capacitación científica, la investigación, la evaluación
continua y la sistematización de experiencias docentes. De hecho, las estrategias de
evaluación son una oportunidad valiosa para demostrar la capacidad pedagógica que
tienen y desarrollar experiencias y debates socializados para transferir el conocimiento
que tienen a sus estudiantes. De hecho, la comunicación de contenidos matemáticos hoy
74
en día se considera una parte esencial de la enseñanza y una competencia profesional
indiscutible en la formación docente.
Dado que la comunicación en el dominio de contenidos matemáticos es un factor
valioso que determina el éxito de la enseñanza en el aula, ciertamente existe la necesidad
de fortalecer este aspecto en el proceso de enseñanza inicial. La comprensión del lenguaje
matemático, así como el resto de los procesos matemáticos básicos en la preparación de
un estudiante en el arte de resolver problemas matemáticos, debe incluirse en el currículo
docente. El plan de estudios a través del lenguaje continuo y el desarrollo simbólico, le
permitirá comunicarse de acuerdo con las ideas matemáticas. Por lo que los programas
de capacitación iniciales de los docentes deberían incluir estos procesos, tanto desde el
punto de vista de las habilidades de contenido como de la capacidad analítica de procesar
la información. La investigación acción participativa en matemáticas y enseñanza de las
aplicaciones, incluye el conocimiento del lenguaje matemático, el uso de conceptos y
procedimientos matemáticos en la comunicación, el reconocimiento de su significado, la
expresión, interpretación y evaluación de ideas, construir, interpretar y combinar métodos
alternativos y tradicionales (Quintana y Hermida, 2020).
Todos estos procesos cognitivos y reflexivos forman la base para gestionar las
actividades de instrucción en el aula. No obstante, la orientación del Departamento amplía
y profundiza el desarrollo de competencias en esta área, explicando que deben: utilizar
diferentes representaciones o simbologías para crear, representar y expresar ideas
matemáticas; utilizar y transformar estas ideas desde distintas perspectivas.
Uno de los mayores desafíos en la enseñanza de matemáticas es lograr que los
estudiantes utilicen lo que han aprendido de manera efectiva, por ejemplo para resolver
problemas. Teniendo esto en cuenta, los investigadores han intentado explicar cómo
piensan los estudiantes sobre el procesamiento de la información y han intentado
responder a esta pregunta desde una perspectiva metacognitiva. El mensaje se centra en
el fenómeno de la metacognición en el aula y toma la continuidad como base de elementos
teóricos, marcos interpretativos y métodos restaurativos.
¿Cómo los docentes utilizan el lenguaje matemático en el aula? El lenguaje es una
herramienta fundamental que permite la comunicación efectiva entre docente y
estudiante. En este libro, se examinan las concepciones docentes del lenguaje matemático
desde una perspectiva de la formación. El lenguaje matemático es el sistema de signos y
símbolos que utilizamos para expresar conceptos y relaciones en matemáticas. Es esencial
para la resolución de problemas y la comprensión de los principios matemáticos. Los
docentes deben ser conscientes de su rol como mediadores entre los conceptos abstractos
y los estudiantes, utilizando el lenguaje matemático de manera clara y precisa.
Como docentes, se debe mediar el lenguaje matemático para que los estudiantes
puedan comprender los conceptos de manera adecuada. Esto implica adaptar el lenguaje
a las necesidades y niveles de los estudiantes, evitando el uso de términos técnicos o
conceptos abstractos que puedan ser confusos. El uso del lenguaje matemático en el aula
no se limita a explicar los conceptos, sino que también implica la práctica constante. Los
docentes deben promover la resolución de problemas, el trabajo en equipo y la
75
comunicación entre los estudiantes, utilizando el lenguaje matemático como herramienta
para desarrollar el pensamiento crítico y la capacidad de razonamiento. Es común que los
estudiantes encuentren barreras en el lenguaje matemático, ya sea por dificultades de
vocabulario o por la falta de comprensión de los conceptos. Los docentes deben ser
conscientes de estas barreras y buscar estrategias para superarlas. Pueden utilizar
analogías, metáforas o ejemplos cotidianos que faciliten la comprensión de los conceptos
matemáticos.
La formación docente es fundamental para desarrollar las habilidades necesarias
en el uso del lenguaje matemático. Los docentes deben estar actualizados en los
contenidos y las metodologías de enseñanza de las matemáticas, y deben recibir
formación específica en el uso del lenguaje matemático. Esta formación les permitirá ser
más efectivos en la enseñanza de los conceptos matemáticos y en la comunicación con
los estudiantes (Casasola, 2020).
En este contexto, el lenguaje matemático es una herramienta fundamental en la
enseñanza de las matemáticas. Los docentes deben ser conscientes de su importancia y
tener claras concepciones sobre su uso en el aula, mediante la práctica constante y la
formación docente, es posible superar las barreras del lenguaje y facilitar la comprensión
de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes. Un lenguaje matemático claro
y preciso contribuye a desarrollar el pensamiento crítico y la capacidad de razonamiento
de los estudiantes, preparándolos para enfrentar los desafíos de la sociedad actual.
Pensar es un proceso complejo que implica crear las representaciones mentales
necesarias para actuar. Este proceso requiere una variedad de actividades mentales, que
incluyen, entre otras, identificar, organizar, analizar, sintetizar, comparar, abstraer,
generalizar, codificar, decodificar y clasificar. Estas clases nos permiten desarrollar las
habilidades de pensamiento lógico matemático necesarias para comprender y utilizar el
contenido de la materia.
Tanto los profesores como los estudiantes necesitan comprender y mejorar estas
habilidades de pensamiento a lo largo del proceso de enseñanza y aprendizaje. El
conocimiento se adquiere seleccionando información relevante y eliminando información
innecesaria, así como organizando y enfocando nuestros pensamientos, aunque no
siempre seamos conscientes de los principios subyacentes a esta versión.
La cognición se refiere a las actividades mentales involucradas en el
procesamiento de la información recibida que ocurre en un entorno académico a través
de diversos canales, como la comunicación oral o escrita. Este proceso cognitivo incluye
atención, codificación y recuperación de información, lo que conduce a resultados. La
metacognición está estrechamente relacionada con la cognición e incluye las actividades,
operaciones y funciones cognitivas que los humanos utilizan para adquirir, crear y evaluar
información (Barca-Lozano, 2012). También permite el autoconocimiento, el
seguimiento y la adaptación de los propios conocimientos.
En los primeros ciclos de la educación, los estudiantes comienzan a utilizar
actividades mentales y el pensamiento lógico para analizar eventos y objetos de su
76
entorno. Esta capacidad de utilizar la lógica y el razonamiento les permite abordar los
problemas de forma más sistemática que los niños en la etapa preoperacional. Según
Piaget, en la fase de operación concreta tienen lugar una serie de acontecimientos.
Primero, tu pensamiento se vuelve menos rígido y más flexible. El niño comprende que
las actividades se pueden revertir o deshacer mentalmente. Esto significa que pueden
devolver un estímulo, como el agua vertida en un frasco, a su estado original simplemente
cambiando la acción. Como resultado, tus pensamientos se vuelven menos egoístas y más
difusos. Un niño en la escuela primaria puede centrarse en varias características de un
estímulo al mismo tiempo. En lugar de centrarse únicamente en estados estáticos, ahora
pueden sacar conclusiones sobre la naturaleza de las transformaciones.
Para Piaget (1975), el proceso lógico y el lenguaje matemático se enfatizan en la
construcción del concepto de conocimiento, dividido por la relación entre los objetos y
los resultados del desarrollo del tema. Esto significa que los niños crean conocimiento,
coordinan con relaciones simples que se han creado entre objetos, verlos desde ese
momento, lograr la unión del aprendizaje de mandarín. Peso, integración, autonomía,
integral. Por lo tanto, Ausubel et al. (1998) se le ocurrió una idea interesante cuando
afirmó que el entrenamiento se basaba en la reestructuración positiva de los procesos
espirituales que surgen en su estructura cognitiva. Esto significa que la interacción entre
la información, los conocimientos previos y las características personales de una persona
hace que su aprendizaje sea autónomo y mantenga conexión con los objetos y el entorno
donde trabaja.
Cabe señalar que Vygotsky y Suberman (2012), en su teoría sociocultural basada
en el aprendizaje significativo, sostienen que todo aprendizaje escolar está fundamentado.
Por tanto, el niño, al interactuar con el entorno, formará naturalmente las ideas y
estructuras cognitivas que se desarrollan durante la educación escolar. Así, el proceso de
enseñar y aprender matemáticas desde un contexto no matemático, como señala Bolaño
(2020), debemos pensar en cómo abordar situaciones problemáticas de un cierto nivel de
complejidad en las que los estudiantes trabajarán durante un período determinado de
tiempo. tiempo y con diferentes estrategias de aprendizaje, como proyectos o
aplicaciones. Las etapas de trabajo de la asignatura cubren las complejidades de la vida
cotidiana de los niños y permiten el desarrollo de una amplia gama de contenidos
matemáticos y no matemáticos, especialmente en otras áreas como el lenguaje, las
ciencias, entre otras.
De esta manera, además de conocimientos específicos, los estudiantes pueden
adquirir conexiones y unificaciones entre conocimientos así como dominar procesos para
resolver problemas complejos que suelen surgir en la vida del aula. En este caso, los
contenidos matemáticos juegan un papel fundamental a la hora de explicar fenómenos y
conectar conceptos de diferentes disciplinas científicas.
En este sentido, la educación matemática se ha vuelto concreta y en gran medida
consciente de sí misma. Durante las últimas tres décadas, ha habido un crecimiento y
consolidación de grupos en todo el mundo dedicados a estudiar problemas en la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas, así como a desarrollar productos de investigación en
77
matemáticas aplicadas, que puedan contribuir a resolver situaciones de aula en el contexto
de la realidad social y cultural del educando. El enfoque estructural en matemáticas, ha
dejado un rastro fuerte para la autoafirmación de la disciplina en sí misma, que es mostrar
lo que la diferencia de otras disciplinas, para definir su propia identidad también debe
mostrar sus relaciones inherentes. Soporte y desarrollo junto con otras materias. El
término “educación matemática” nos recuerda continuamente que estamos ante una
disciplina que tiene un pie en la educación y otro en las matemáticas. Esto, aunque parezca
trivial, en realidad le da sentido a la acción y, como los conceptos básicos de la vida, es
tan claro que tendrás que recordarlo a menudo para recordarlo siempre.
78
Conclusiones
A lo largo de la historia de la humanidad, el uso del pensamiento lógico-
matemático ha jugado un papel crucial en el crecimiento intelectual. Asimismo, el
desarrollo del pensamiento lógico en los bebés se apoya en actividades como agrupar y
ordenar elementos, contar y analizar aspectos espaciales y temporales. Desde su
introducción, el concepto de razonamiento matemático ha suscitado numerosas
discusiones sobre sus orígenes, que han tenido importantes implicaciones para las
prácticas docentes de los profesores de matemáticas. Dado que existen diferentes
perspectivas respecto a la definición del pensamiento matemático-lógico, es importante
identificar los enfoques más eficientes para promover su adquisición y comprensión en el
campo de la educación matemática.
El pensamiento matemático-lógico trasciende el ámbito de las matemáticas y
extiende su influencia a otras áreas del conocimiento. El plan de estudios escolar integra
el pensamiento matemático y lógico en varias materias para que los estudiantes puedan
reconocer las conexiones entre el conocimiento. Al enfatizar la importancia del
razonamiento lógico y matemático en todas las disciplinas, los educadores pretenden
fomentar las habilidades de pensamiento crítico y promover el aprendizaje holístico. Este
enfoque reconoce que el pensamiento matemático lógico no se limita a resolver
ecuaciones o realizar pruebas geométricas, sino que es una capacidad cognitiva
fundamental que permite a las personas navegar y comprender el mundo que las rodea.
El pensamiento matemático-lógico juega un papel crucial en la adquisición y
consolidación de diversas habilidades matemáticas. Este tipo de pensamiento sirve como
eje transversal y permite a las personas desarrollar diferentes tipos de pensamiento
matemático, incluyendo el pensamiento aritmético, algebraico, geométrico, numérico y
variacional (Bolaño, 2020). Por tanto, el pensamiento matemático-lógico sirve como eje
transversal en el aprendizaje y consolidación de diversas habilidades matemáticas. Su
aplicación conduce al desarrollo de diferentes tipos de pensamiento matemático y mejora
las habilidades de resolución de problemas. Al fomentar este tipo de pensamiento, los
educadores pretenden fomentar las habilidades de pensamiento crítico y proporcionar a
los estudiantes herramientas valiosas para el aprendizaje permanente.
La capacidad de pensar lógica y matemáticamente va más allá de meros cálculos
numéricos o conceptos matemáticos y abarca una amplia gama de conocimientos y
contextos de la vida cotidiana. El concepto de pensamiento matemático-lógico se basa en
la creencia de que los bebés realizan diversas actividades mentales en las que los cálculos
son una herramienta clave para la toma de decisiones y la resolución de problemas en
determinadas situaciones. Por el contrario, el razonamiento matemático incluye varios
elementos que permiten a las personas utilizar estas habilidades de manera efectiva en
tareas como cálculos, ordenar y establecer conexiones entre conjuntos.
En el ámbito académico, la cognición ocurre cuando interactuamos con
información a través de diversos canales, como la comunicación oral o escrita. Consta de
varios pasos que incluyen atención, codificación y recuperación que, en última instancia,
79
conducen al resultado deseado. Por otro lado, la metacognición se refiere a la capacidad
de regular y gestionar nuestro propio aprendizaje. Implica planificar y diseñar estrategias
para el uso de enfoques en diferentes situaciones, monitorear el proceso de aprendizaje y
evaluar su efectividad. De esta manera, podemos identificar posibles deficiencias y
aplicar este conocimiento a actividades futuras.
La metacognición abarca una amplia gama de actividades y funciones cognitivas
que los humanos llevan a cabo utilizando mecanismos mentales internos. Nos permite
recopilar, crear y evaluar información, así como comprender, monitorear y regular nuestro
propio conocimiento (Osses y Jaramillo, 2008). La línea entre cognición y metacognición
a veces puede volverse borrosa porque están relacionadas, la última se define como el
conocimiento que tenemos los humanos sobre su propia cognición y la capacidad de
regularla. En conclusión, para participar en la metacognición, las personas primero deben
comprender sus propios procesos cognitivos y participar en procesos mentales para
aprender cómo funcionan sus funciones cognitivas.
80
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