1
2
La Inteligencia Lógica matemática: capacidad deductiva y habilidades cognitivas
Josefina Arimatea García Cruz, Mónica Beatriz La Chira Loli, Manuel Abelardo Alcántara
Ramirez, Aquiles Arauco Benavides, Jenny Maria Ruiz Salazar, Fidencio Ore Cabrera
© Josefina Arimatea García Cruz, Mónica Beatriz La Chira Loli, Manuel Abelardo Alcántara
Ramirez, Aquiles Arauco Benavides, Jenny Maria Ruiz Salazar, Fidencio Ore Cabrera, 2023
Jefe de arte: Yelitza Sánchez
Diseño de cubierta: Yelitza Sánchez
Ilustraciones: Ysaelen Odor
Editado por: Editorial Mar Caribe de Josefrank Pernalete Lugo
Jr. Leoncio Prado, 1355 – Magdalena del Mar, Lima-Perú. RUC: 15605646601
Libro electrónico disponible en http://editorialmarcaribe.es/?page_id=1863
Primera edición – octubre 2023
Formato: electrónico
ISBN: 978-612-5124-14-2
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°: 202309732
3
La Inteligencia Lógica matemática: capacidad deductiva y
habilidades cognitivas
Josefina Arimatea García Cruz, Mónica Beatriz La Chira Loli, Manuel Abelardo
Alcántara Ramirez, Aquiles Arauco Benavides, Jenny Maria Ruiz Salazar, Fidencio
Ore Cabrera
2023
4
Tabla de contenido
Prólogo .............................................................................................................................................5
Capítulo 1 .........................................................................................................................................7
La lógica matemática .......................................................................................................................7
Desarrollo de la inteligencia lógica matemática .................................................................. 14
Las herramientas de comunicación en la inteligencia lógica matemática ............................ 17
Valoración de la inteligencia lógica matemática .................................................................. 20
Capítulo 2 .......................................................................................................................................27
Matemáticas y capacidad deductiva...............................................................................................27
Conocimientos ...................................................................................................................... 27
Matemáticas: el problema didáctico filosófico .................................................................... 43
Capítulo 3 .......................................................................................................................................53
Matemáticas y habilidades cognitivas ...........................................................................................53
El desarrollo del pensamiento lógico matemático ............................................................... 53
Las Teorías de Piaget y de Vygotsky para el desarrollo cognitivo ..................................... 53
Capítulo 4 .......................................................................................................................................77
Perspectivas de Vigotsky y Piaget en el pensamiento lógico y las habilidades cognitivas ...........77
Las habilidades cognitivas y sociales para la resolución de problemas matemáticos .......... 80
Cognición: estrategias .......................................................................................................... 84
Conclusión .....................................................................................................................................89
Referencias bibliográficas ..............................................................................................................91
5
Prólogo
La inteligencia lógica, se refiere a la capacidad de usar habilidades cognitivas para
manipular proposiciones. Implica utilizar conocimientos o creencias existentes para navegar hacia
territorios desconocidos que probablemente tengan similitudes o equivalencias. Es de enfatizar
que esta capacidad juega un papel crucial en la resolución de problemas y es vital para mejorar el
razonamiento, la deducción y el pensamiento abstracto en su conjunto
Según Antunes (2004), las matemáticas no son el único campo, sino uno destacado, donde
la experimentación y el desarrollo del pensamiento lógico van de la mano. Esta fuerte conexión
entre el pensamiento lógico y el desempeño matemático ha sido reconocida por mucho tiempo. De
manera similar, Gardner destaca que los estudiantes que sobresalen en matemáticas muestran una
profunda fascinación por los números, particularmente cuando se trata de realizar operaciones,
combinarlas y aplicar fórmulas. Estos estudiantes también poseen una curiosidad natural y
obtienen placer al involucrarse en problemas sin resolver que despierten su interés, explorándolos
y experimentando activamente con ellos.
El objetivo principal de este libro es exponer la correlación que existe entre la inteligencia
lógico-matemática, la capacidad de deducción, las habilidades cognitivas y los logros académicos
de los estudiantes. Se profundizará en la intrincada y compleja relación entre la capacidad
cognitiva para razonar lógica y matemáticamente y su impacto en el rendimiento académico
general de los estudiantes. Al explorar exhaustivamente esta conexión, el libro pretende arrojar luz
sobre la importancia, las implicaciones y los beneficios potenciales que una inteligencia lógico-
matemática mejorada puede tener en los logros académicos .
El libro consta de tres capítulos distintas que organizan eficazmente su contenido. El primer
capítulo está centrado en la lógica matemática, incluyendo su caracterización y formulación. De
igual forma se desarrollan puntos como: Las herramientas de comunicación en la inteligencia, las
concepciones y fundamentación de la inteligencia lógica matemática entre otros. El segundo
capítulo, trata sobre las matemáticas y la capacidad deductiva, poniendo especial énfasis en la
lógica matemática, su propósito y utilidades
El tercer capítulo relaciona la inteligencia lógica matemática, con las habilidades
cognitivas que son cruciales para asegurar resultados confiables y válidos. Entre los puntos tocados
en este capítulo se encuentran: Problemas matemáticos y el desarrollo de habilidades, se hace la
exposición de una experiencia de investigación en el ámbito ecuatoriano y se desarrolla
ampliamente las teorías cognoscitivas: Piaget y Vygotsky.
La teoría del desarrollo de Piaget proporciona información valiosa sobre cómo los niños
entienden e interpretan el mundo a medida que crecen. Su trabajo ha tenido un profundo impacto
en nuestra comprensión del desarrollo infantil, desafiando la noción de que los niños son seres
pasivos formados únicamente por su entorno. La teoría de Piaget enfatiza que los niños son
6
participantes activos en su propio aprendizaje, comportándose como "pequeños científicos"
mientras buscan dar sentido al mundo. Tienen sus propias formas únicas de pensar y saber, que
siguen patrones predecibles de desarrollo a medida que maduran e interactúan con su entorno. A
medida que los niños forman representaciones mentales, se relacionan activamente con su entorno
e influyen en él, lo que lleva a una interacción recíproca. Esto significa que los niños buscan
activamente el conocimiento a través de sus interacciones con el mundo, y su propia lógica y
medios de conocimiento evolucionan con el tiempo.
Jean Piaget fue una figura pionera en el campo de la psicología, particularmente conocido
por sus contribuciones a la teoría constructivista. Según Piaget, los niños no son receptores pasivos
de conocimiento, sino participantes activos en la construcción de su comprensión del mundo que
les rodea. Este proceso implica utilizar su conocimiento existente e interpretar nueva información
y experiencias. La extensa investigación de Piaget se centró principalmente en investigar las
formas en que los niños adquieren conocimientos y se desarrollan cognitivamente. En lugar de
simplemente examinar lo que saben los niños, Piaget estaba profundamente intrigado por cómo
piensan y abordan los problemas, ya que creía que el desarrollo cognitivo está estrechamente
relacionado con la capacidad de un niño para razonar y dar sentido a su entorno.
Asimismo en el tercer capítulo, existe un aparte sobre Vygotsky, una figura destacada en el
campo de la psicología rusa, quien presentó una teoría sobre el desarrollo infantil que estuvo
fuertemente influenciada por los acontecimientos históricos que tuvieron lugar durante su época.
Él creía firmemente que para comprender verdaderamente el desarrollo de un niño, uno debe tener
una comprensión de la cultura en la que se cría. Según él, los patrones de pensamiento y las
habilidades cognitivas de un individuo no están determinados únicamente por factores innatos,
sino que están fuertemente moldeados por las instituciones culturales y las actividades sociales a
las que están expuestos. Además, Vygotsky creía que es responsabilidad de la sociedad adulta
impartir su conocimiento y sabiduría colectivos a los miembros más jóvenes y menos avanzados
para fomentar y estimular su crecimiento intelectual.
7
Capítulo 1
La lógica matemática
En la cultura occidental se han valorado mucho las inteligencias lógico-matemáticas y
lingüísticas. La educación tradicional típicamente ha categorizado a los estudiantes en dos grupos:
aquellos inclinados hacia las ciencias y aquellos inclinados hacia las humanidades. Gardner (1983)
reconoce la importancia de ambas inteligencias en la educación formal y las incorpora a su modelo
de Inteligencias Múltiples (IM). Sin embargo, Gardner amplía su tipología para incluir un total de
ocho amplias áreas de conocimiento, con el objetivo de brindar a los educadores un conjunto
completo de herramientas para evaluar y fomentar las capacidades individuales.
Cuando nos enfocamos en la inteligencia lógico-matemática, es crucial notar, según la
teoría de Piaget, que el desarrollo de la comprensión matemática comienza cuando un niño
interactúa por primera vez con objetos y comienza a relacionarse con ellos. A medida que el niño
avanza, su comprensión se vuelve más abstracta, desconectándose gradualmente del mundo
tangible que le rodea (Piaget, 1969). Este desarrollo del pensamiento lógico-matemático se puede
observar a través de varias etapas:
La primera etapa del desarrollo, conocida como etapa sensoriomotora, ocurre desde el
nacimiento hasta alrededor de los dos años de edad. Durante esta etapa, los niños pueden imitar
las acciones que observan de los demás, así como combinar acciones simples para crear otras
nuevas. Además, hay indicios de que su comportamiento está impulsado por la intencionalidad, lo
que sugiere una conciencia y un propósito crecientes detrás de sus acciones.
Por ejemplo, un niño de tres años puede demostrar esto por su comportamiento cuando se
le presenta un juego de dulces. Inicialmente, cuando los dulces se distribuyen en un área grande,
el niño puede elegir una mayor cantidad de dulces. Sin embargo, su juicio y decisión pueden
cambiar cuando se agrupa la misma cantidad de dulces en un área más pequeña. Esto ejemplifica
su comprensión en desarrollo de la cantidad, pero también destaca su falta de razonamiento lógico
consistente en esta etapa del desarrollo cognitivo. Durante el período preoperatorio, que
generalmente ocurre entre las edades de 2 y 7 años, los niños experimentan un desarrollo cognitivo
significativo a medida que pasan de ser bebés a la primera infancia. Durante esta etapa, comienzan
a desarrollar una comprensión intuitiva de varios conceptos, como números y causalidad. Aunque
pueden aplicar estos conceptos en situaciones prácticas, su uso aún no es sistemático ni lógico.
Durante la etapa de operaciones concretas, que generalmente ocurre entre los 7 y los 11
años, los niños desarrollan la capacidad de comprender y aplicar relaciones causales y
cuantitativas. Por ejemplo, pueden reconocer que la cantidad de dulces en una pila sigue siendo la
misma siempre que no se agreguen o quiten dulces. Esta capacidad de pensar de forma reversible
permite a los niños captar conceptos abstractos necesarios para la inteligencia lógico-matemática.
8
Finalmente, a medida que el niño llega a la edad de 11 o 12 años y entra en la etapa de
operaciones formales, se produce un importante desarrollo cognitivo. Esta etapa marca el
surgimiento de la capacidad del niño para involucrarse con conceptos abstractos y emplear el
pensamiento hipotético-deductivo. A través de esta habilidad cognitiva recién descubierta, el niño
adquiere la capacidad de formular y validar hipótesis. Este hito cognitivo crucial, identificado por
Piaget en 1965, significa un salto sustancial en la capacidad cognitiva del niño y significa su
progresión hacia habilidades avanzadas de razonamiento y procesamiento cognitivo.
Según algunos expertos, Piaget creía que la inteligencia lógico-matemática se desarrolla a
través de la manipulación de objetos y la capacidad de pensar sobre ellos mediante el pensamiento
concreto y formal. El trabajo de Piaget ha proporcionado una sólida base teórica para la inteligencia
lógico-matemática y ha sido respaldado por numerosos estudios empíricos, lo que ha dado lugar a
valiosas aplicaciones e implicaciones educativas.
Si bien la contribución de Piaget al desarrollo cognitivo es ampliamente reconocida, es
importante señalar que su explicación se centra principalmente en el pensamiento lógico-
matemático, sin abordar completamente otros tipos de inteligencias, como las habilidades
artísticas, sociales y emocionales, que también juegan un papel en el rendimiento académico. . La
evaluación del razonamiento lógico-matemático en niños pequeños a menudo se ha realizado a
través de medidas psicométricas tradicionales, que tienen sus limitaciones, particularmente para
niños de minorías étnicas o con dificultades de lenguaje.
Estas medidas están descontextualizadas y dependen en gran medida del lenguaje, lo que
pone a ciertos niños en desventaja. Aunque ha habido numerosas experiencias escolares utilizando
la metodología de inteligencias múltiples (IM) con estudiantes jóvenes, hay relativamente pocos
estudios empíricos que hayan examinado específicamente su eficacia con niños. Por ejemplo,
Ferrándiz realizó un análisis factorial para validar el modelo de evaluación de las inteligencias
múltiples, mientras que Ballester analizó más a fondo los factores y encontró apoyo para el modelo
teórico de Gardner, que enfatiza la existencia de capacidades distintas e independientes.
Por lo tanto, según el modelo IM, el objetivo es evaluar las habilidades cognitivas en varias
inteligencias, incluidas la lingüística, la lógico-matemática, la espacial, la musical, la naturalista y
la corporal-kinestésica. Estas inteligencias abarcan una gama de habilidades y competencias que
son inherentemente parte del currículo escolar, como lo describe Gardner (1983). En el marco de
la IM, la inteligencia lógico-matemática se define como la capacidad para desarrollar soluciones y
resolver problemas, organizar elementos para derivar deducciones lógicas y sustentarlas con
argumentos sólidos.
Los estudiantes que exhiben sólidas habilidades de razonamiento matemático no solo
disfrutan de la maravilla de los números y sus combinaciones, sino que también tienen un gran
interés en aplicar fórmulas más allá de los límites de un entorno de laboratorio. Obtienen placer al
9
experimentar, plantear preguntas y resolver problemas lógicos. Estos estudiantes poseen una
inclinación natural por la exploración y el pensamiento profundo, a menudo utilizando materiales
y objetos científicos para la manipulación.
Poseen la capacidad de identificar y establecer conexiones entre objetos que pueden pasar
desapercibidos para los demás. Prosperan cuando se les presentan problemas desafiantes que
requieren un pensamiento crítico y divergente, demostrando habilidades excepcionales de
razonamiento inductivo y deductivo. Además, disfrutan la oportunidad de aportar soluciones y
superar desafíos lógico-matemáticos complejos. Estos estudiantes se complacen en aplicar sus
habilidades matemáticas excepcionales a situaciones de la vida real. Poseen una naturaleza
inquisitiva, buscan constantemente el conocimiento y son incansables en su búsqueda de
respuestas. Los juegos de estrategia, que requieren una meticulosa planificación y anticipación de
los movimientos, resultan muy atractivos para personas con una extraordinaria inteligencia lógico-
matemática. Sin embargo, es importante señalar que poseer una inteligencia lógico-matemática
excepcional no garantiza un alto rendimiento académico en matemáticas.
Los seres humanos que poseen una fuerte aptitud para el razonamiento matemático y lógico
tienen la capacidad de resolver eficientemente problemas que involucran múltiples variables. A
través de su evolución cognitiva, desarrollan la capacidad de generar teorías, que luego son
evaluadas y aceptadas o rechazadas según el contexto específico o el problema en cuestión. Este
proceso requiere diversas habilidades cognitivas, como identificar patrones y modelos, realizar
cálculos, formular y probar hipótesis y emplear con rigor el método científico.
No obstante, la inteligencia no se limita solo a las habilidades matemáticas y lógicas.
Howard Gardner, profesor de la Universidad de Harvard, ha identificado otras seis inteligencias
fundamentales que son inherentes pero que también pueden nutrirse dentro de un contexto
histórico y social. Esta teoría ha provocado cambios en los escenarios educativos, ya que reconoce
la individualidad de cada alumno en el desarrollo de diferentes inteligencias, que a su vez influyen
en su proceso de aprendizaje.
Por otra parte, el avance de los sistemas informáticos presenta un desafío en la creación de
software que se adapta a una amplia gama de actividades humanas. El aula y otros entornos de
innovación tecnológica proporcionan una plataforma ideal para desarrollar los recursos necesarios
para fomentar altos niveles de competencia. Es en este contexto que el desarrollo de la inteligencia
para la producción de software se vuelve crucial.
En el siglo XXI, hay un énfasis en el cultivo de habilidades fundamentales de pensamiento
y habilidades personales en la educación de las personas. Estas habilidades priorizan su
competencia en lectura, escritura, aritmética, matemáticas y razonamiento. Otra habilidad crucial
que desarrollar es la resolución de problemas, junto con la capacidad de aprender y aplicar nuevos
conocimientos de manera efectiva. Es evidente que los estudiantes en proceso de formación deben
10
poseer una fuerte mentalidad analítica para el abordaje de problemas, que les permita construir
estrategias para la resolución de algoritmos. Este proceso comienza con la identificación precisa
del problema, seguido de un análisis exhaustivo para determinar posibles rutas de solución y
construir estructuras viables que faciliten la resolución de problemas.
Para examinar a fondo el concepto de inteligencias múltiples, es crucial establecer una
comprensión clara de la inteligencia en sí misma. La inteligencia se puede definir como la
capacidad inherente que diferencia a los humanos de los animales, abarcando las facultades de
razonamiento y pensamiento lógico. Estas habilidades cognitivas sirven como base para la
adquisición de habilidades de resolución de problemas, particularmente en el ámbito de la
tecnología y la ingeniería de software.
A través de la exploración de este tema, podemos profundizar en la comprensión de cómo
se manifiesta la inteligencia en los individuos, fomentando el desarrollo de procesos de
pensamiento más refinados y sofisticados. Esto implica perfeccionar las habilidades de análisis,
argumentación y razonamiento, que son esenciales para construir algoritmos altamente eficientes.
Estos algoritmos, a su vez, permiten la resolución sistemática y eficiente de problemas siguiendo
una secuencia lógica de pasos, adaptados para abordar desafíos específicos.
Con el reconocimiento de que existen múltiples formas de inteligencia en lugar de una sola,
y que el intelecto humano se desarrolla a través de una progresión lineal y acumulativa, la
enseñanza de algoritmos enfrenta importantes desafíos. Una de las inteligencias que posee el ser
humano es la Lógica matemática, que se refiere a la capacidad de resolver problemas cumpliendo
requisitos específicos encaminados a encontrar una solución. En consecuencia, las prácticas
pedagógicas deben modificarse significativamente para ayudar a los estudiantes a desarrollar
habilidades de pensamiento abstracto y utilizar la lógica y los números para establecer conexiones
entre diferentes conjuntos de datos. Esta transformación es necesaria para que los estudiantes se
destaquen en la resolución de problemas, realicen cálculos matemáticos complejos y empleen el
razonamiento lógico, y adquieran las siguientes habilidades:
• Conectar conceptos y teorías.
• Razón deductiva e inductiva.
• Análisis de conceptos abstractos que presentan cosas concretas.
Para adquirir estas habilidades, el estudiante, junto con el profesor, debe realizar diversas
prácticas y actividades que le permitan:
• Extraer reglas y conceptos del material escrito a través del razonamiento deductivo.
• Conectar los conocimientos adquiridos con sus experiencias de la vida diaria.
11
• Utilizar efectivamente el marco de mapas conceptuales para construir teorías mediante la
integración de conceptos interconectados que validan una definición o regla dada.
• Mejorar su capacidad de visualizar conceptos abstractos a través de ejercicios,
desarrollando así una fuerte aptitud para la abstracción. Además, esta aptitud se perfecciona
aún más a través de la participación en intrincados talleres de competencia lógica y
racional, donde el estudiante adquiere la capacidad de resolver con soltura algoritmos
complejos en su organización.
¿Qué diferencia a los que poseen dones matemáticos? Por lo general, los matemáticos no
sobresalen en campos como las finanzas o el derecho. En cambio, su rasgo definitorio es su pasión
por trabajar con conceptos abstractos. Gardner argumenta que está claro que los seres humanos
aprenden de varias maneras, por lo que es ilógico esperar que todos los estudiantes aprendan de la
misma manera. Identificar sus inteligencias únicas, determinar cuáles están más desarrolladas y
utilizarlas para encontrar soluciones es crucial para el autodescubrimiento y la búsqueda de un
proyecto de vida significativo.
Cada individuo posee una multitud de inteligencias, cada una distinta y evolucionando a
su manera. Estas inteligencias están influenciadas por una combinación de factores biológicos,
interacciones con el medio ambiente y el significado cultural derivado de las experiencias
personales. Se entrelazan y coexisten dentro de cada persona, siendo utilizados de diversas
maneras y con distintos grados de intensidad, pero siempre de una manera única y específica para
ese individuo. En consecuencia, se vuelve imperativo desarrollar un concepto novedoso y un
sistema de evaluación que reconozca la naturaleza multifacética de la inteligencia humana.
Continuar evaluando las capacidades intelectuales de una persona basándose únicamente en una
inteligencia es insuficiente, ya que no reconoce la naturaleza holística e intrincada de los seres
humanos. Esta realización amanece sobre nosotros en el día de hoy.
En todo emprendimiento existe una serie de pasos que se deben dar para revolucionar el
proceso de adquisición de conocimientos. El paso inicial implica comprender la teoría de las
inteligencias múltiples, un elemento crucial que deben comprender los educadores que estén
dispuestos a participar activamente en este viaje transformador. En un sentido más amplio, se
vuelve imperativo elegir cuidadosamente y preparar adecuadamente a los individuos involucrados
en el proceso educativo, particularmente a aquellos que tienen la responsabilidad de impartir
conocimientos sobre algoritmos. Estas personas deben poseer un conocimiento profundo de que
la enseñanza de algoritmos requiere involucrar a los estudiantes con conceptos abstractos e
intrincados y argumentos intrincados, al mismo tiempo que los alienta a construir marcos mentales,
identificar conexiones lógicas y formular declaraciones y proposiciones.
Los docentes también deben centrarse en desarrollar estrategias didácticas y crear nuevos
métodos de evaluación. Una vez establecido un plan de enseñanza y evaluación, es importante que
12
los estudiantes de algoritmos potencien su inteligencia lógico-matemática a través de actividades
que involucren objetos y la capacidad de medir y cuantificar cosas, partiendo de conceptos
concretos y progresando hacia ideas más abstractas. Es crucial que los estudiantes desarrollen su
capacidad mental para usar números de manera efectiva y pensar lógicamente. En esencia, los
docentes deben esforzarse por estimular acciones pedagógicas utilizando un enfoque sociocrítico
que enfatice la capacidad de razonar con complejidad, resolver problemas matemáticos desafiantes
y formular hipótesis utilizando una estrategia de enseñanza y aprendizaje inductiva.
Este proceso sirve como base para la capacidad de un estudiante para reconocer patrones
lógicos y las conexiones formadas dentro de ellos, lo que finalmente permite que el individuo
genere declaraciones y proposiciones. Asimismo, facilita el desarrollo de relaciones abstractas
entre patrones abstractos, como la capacidad de contar de dos en dos o realizar cálculos cotidianos
rápidos y precisos. Además, empodera a los estudiantes para establecer conexiones y relaciones
entre piezas de información aparentemente dispares o no relacionadas, fomentando sus habilidades
cognitivas generales.
El desarrollo de habilidades de pensamiento lógico-matemático en la clase de Algoritmos
es motivo de preocupación ya que no todos los estudiantes son capaces de captar el nivel de
abstracción necesario para resolver problemas en una secuencia lógica. Esto ha llevado a la
necesidad de nuevos enfoques en el plan de estudios, incluidos cambios en el contenido, los
métodos de enseñanza y los estilos de aprendizaje de los estudiantes, para satisfacer las demandas
de la materia.
Como resultado, la enseñanza de algoritmos es vista como un proceso donde los estudiantes
construyen marcos lógicos y niveles de abstracción a través de su actividad cognitiva. A pesar de
los numerosos intentos de mejorar el desempeño de los estudiantes en este módulo, existe una
dificultad creciente para identificar dónde se encuentra el potencial de los estudiantes y cuál es su
estilo de aprendizaje preferido. Esto se vuelve problemático cuando un estudiante con fuertes
habilidades manuales está estudiando un curso técnico que requiere razonamiento abstracto. Es
importante abordar este tema, considerando que el actual modelo instruccional utilizado para la
enseñanza de algoritmos ya no satisface las necesidades de los estudiantes ni el perfil deseado de
un ingeniero o tecnólogo.
El enfoque tradicional del profesor que explica los problemas modelo y proporciona
ejercicios para que los estudiantes los resuelvan, a menudo seguido de evaluaciones de fuentes
desconocidas, ya no es efectivo. En cambio, el docente debe enfocarse en encontrar nuevos
modelos que garanticen un verdadero aprendizaje, evitando la desmotivación y la frustración de
los estudiantes que se esfuerzan intelectualmente pero no ven resultados exitosos. Para lograrlo,
es necesario planificar e implementar estrategias de aprendizaje que involucren la inteligencia
asociativa, racional e inductiva, alineadas con los intereses de los estudiantes.
13
Si bien existen consideraciones ciertamente importantes con respecto al concepto de
inteligencias múltiples en la educación, como lo destaca Howard Gardner, estas consideraciones
han tenido un profundo impacto en numerosos educadores, impulsándolos a cuestionar sus
métodos de enseñanza y mirar más allá de los estrechos límites de los estándares convencionales
como calificaciones, planes de estudio y evaluaciones.
Esto ha permitido establecer dinámicas que permiten a los educadores definir estrategias
de enseñanza y aprendizaje en función de cómo aprenden los estudiantes y en qué momentos
específicos se involucran en el aprendizaje. Esto es particularmente crucial en el ámbito del
desarrollo de algoritmos de aprendizaje. Para cultivar efectivamente la inteligencia lógico-
matemática en los estudiantes, es imperativo enfocarse en ciertas prácticas pedagógicas.
Estas prácticas implican el análisis de problemas que están vinculados a situaciones de la
vida real, fomentando el desarrollo del razonamiento deductivo e inductivo a partir de la
información existente, la construcción de mapas conceptuales para establecer reglas específicas
asociadas a la información disponible, la realización constante de ejercicios abstractos, la
organización de talleres que fomenten análisis complejos para llegar a soluciones efectivas,
realizando talleres lógico-matemáticos que potencien la agudeza mental y la utilización eficiente
de los números, y fomentando la retroalimentación periódica entre alumnos y profesores. A través
de este proceso de retroalimentación, los maestros obtienen información valiosa sobre los análisis
de situaciones específicas de los estudiantes, lo que les permite refinar y mejorar aún más el
proceso de enseñanza y aprendizaje.
Para fomentar el desarrollo de habilidades de análisis, habilidades de razonamiento lógico
y pensamiento abstracto, es imperativo, tanto desde el punto de vista pedagógico como de
conocimiento, que se aliente a los estudiantes a:
• Adquirir competencia en procedimientos de cálculo de varios pasos
• Ofrecer soluciones a problemas matemáticos
• Comprender el significado de las operaciones y las conexiones entre ellas
• Idear estrategias de resolución de problemas para diversas situaciones
• Aplicar la lógica matemática a contextos del mundo real al realizar cálculos
• Adoptar una mentalidad proactiva e intuitiva en el salón de clases para comprender
conceptos lógicos basados en matemáticas; todos los cuales son esenciales para la mejora
de las capacidades de abstracción necesarias para resolver problemas utilizando modelos
algorítmicos o prototipos
14
• Participar en talleres, ya que juegan un papel crucial en el abordaje de problemas no
rutinarios, lo que incita a los estudiantes a considerar qué conocimientos aplicar y cómo
aplicarlos durante el proceso de análisis.
Desarrollo de la inteligencia lógica matemática
En la sociedad moderna actual, las herramientas de comunicación web 2.0 juegan un papel
crucial para facilitar las conexiones y el intercambio de ideas entre los usuarios. Estas herramientas
brindan una plataforma para que las personas satisfagan su necesidad de conectividad a través de
Internet, lo que permite intercambios interactivos y resolución de problemas en diversos aspectos
de la vida diaria.
En este contexto, las inteligencias múltiples entran en juego a medida que los usuarios
acceden e interpretan el conocimiento de la realidad virtual que presentan estas herramientas de
comunicación. Los usuarios se convierten en participantes activos en la promoción del
conocimiento y la comprensión, ya que interactúan con diferentes páginas web y establecen
conexiones con otros. Este compromiso constante con las herramientas de comunicación web 2.0
conduce al desarrollo de nuevas experiencias y formas innovadoras de comunicación.
Por lo tanto, es esencial que los educadores y cualquier persona involucrada en la educación
reconozcan la importancia de estas herramientas. Los docentes, en particular, deben tener un
conocimiento profundo de las herramientas de comunicación de la web 2.0 para orientar y mediar
de manera eficaz en el desarrollo intelectual de sus alumnos. Esta mediación es crucial para dar
forma a los valores, creencias, actitudes y principios éticos que los individuos interiorizan y aplican
en su vida personal y social.
Según Gómez (2012), la utilización de las herramientas de navegación en Internet de la
web 2.0 ofrece numerosas ventajas para las personas que se comunican habitualmente. Estas
ventajas incluyen una mayor eficiencia en las actividades organizacionales, la facilitación de una
cooperación social dinámica, la reducción de las barreras para acceder a los mercados actuales y
la oportunidad de explorar nuevos dominios educativos.
Dados estos beneficios, es recomendable elegir un nombre de dominio de Internet que
refleje la necesidad de una comunicación e interacción efectiva con los demás. También es
preferible incluir la necesidad de acceso a las telecomunicaciones en el campo educativo, ya que
esto permite que los estudiantes se relacionen con las redes de información y las ideas innovadoras,
lo que les permite elaborar contenidos de manera efectiva utilizando los recursos que brindan estas
redes.
Además, el concepto de inteligencias múltiples juega un papel crucial en la educación y
sirve como base para la comunicación social. Las herramientas de la web 2.0 están diseñadas para
facilitar la máxima interacción entre los usuarios, fomentando el desarrollo de las redes sociales
15
donde los individuos pueden expresarse libremente, buscar y recibir información relevante,
colaborar, y crear conocimiento.
En el contexto educativo, las redes de información y las herramientas web 2.0 han
establecido pautas esenciales para el uso y manejo efectivo de la información en Internet. Estas
herramientas permiten una comunicación e innovación en línea eficientes para cerrar las brechas
entre las personas que participan en la comunicación diaria y el intercambio de información. Relpe
(2010) señala que en América Latina, incluso los usuarios sin amplios conocimientos técnicos
pueden convertirse en creadores de contenidos, generando flujos de información,
redistribuyéndolos a través de diversas redes y generando debates y conversaciones a partir de los
intereses que generan.
Las herramientas web 2.0 se consideran uno de los medios de comunicación y aprendizaje
más efectivos para las personas que poseen una gran competencia en la comunicación y la
interacción a través del intercambio de ideas. Estas herramientas permiten a los usuarios ir más
allá de ser receptores pasivos de comunicación y, en cambio, crear y compartir activamente
información y opiniones con otros usuarios de Internet.
La adopción de tecnologías web 2.0 puede tener un profundo impacto en la forma en que
las personas trabajan e interactúan con colegas y clientes en cualquier tipo de organización,
incluidas las empresas. Además, el Ministerio del Poder Popular para la Educación de Venezuela
ha promovido activamente el uso de herramientas web 2.0 entre los docentes para mejorar la
calidad de los servicios educativos.
Los docentes deben estar bien versados en estas aplicaciones web para sistematizar
efectivamente el trabajo educativo y mantener una comunicación efectiva con los estudiantes,
quienes dependen cada vez más de los navegadores, las plataformas de chat, la mensajería
instantánea y otras herramientas web. En Venezuela, diversas herramientas web 2.0 se han
convertido en parte integral de los sistemas de comunicación tanto en organizaciones públicas
como privadas. Estas herramientas se utilizan en numerosos formatos, como textos, sonido, video,
programas, enlaces e imágenes, aprovechando al máximo las oportunidades que brindan las
tecnologías de la información y la comunicación. La facilidad para llegar económicamente a una
amplia audiencia ha contribuido al uso generalizado de estas herramientas.
Además, Guzmán y Castro (2005), en su Revista de Investigación, afirman que cada
persona es una combinación única de inteligencias dinámicas. Todas estas inteligencias brindan
recursos alternativos y capacidades potenciales para el desarrollo humano, independientemente de
la edad o las circunstancias. En consecuencia, cada individuo evolucionará y desarrollará su
inteligencia a lo largo de su vida, con mayor énfasis en determinados tipos de inteligencia en
función de sus características biológicas y sociales. Este énfasis afecta sus preferencias y, en última
instancia, su aprendizaje.
16
Por lo tanto, para facilitar y potenciar el aprendizaje de los estudiantes es importante
observar y diagnosticar sus características, identificar sus necesidades y desarrollar su potencial.
Además, Luca (s/f) explica en la Revista Iberoamericana de Educación que todos nacen con ciertas
potencialidades determinadas por la genética. Sin embargo, el desarrollo de estas potencialidades
depende del entorno, las experiencias y la educación que se recibe. Por lo tanto,
independientemente de la controversia actual sobre si estas facultades deben ser consideradas
inteligencias, capacidades o fortalezas, los docentes encuentran muy beneficioso diagnosticarlas y
comprenderlas en los estudiantes.
Esta comprensión ayuda a orientar las actividades más adecuadas para cada estudiante con
el fin de maximizar sus beneficios. En los últimos años, el campo de la psicología y las ciencias
de la educación están viviendo una revolución gracias a las aportaciones de Howard Gardner y sus
estudios sobre las Inteligencias Múltiples. Este paradigma ha permitido una mejor comprensión y
apreciación de las cualidades y habilidades únicas de cada individuo, destacando sus
potencialidades específicas. Así, las inteligencias múltiples han permitido enfocarse en mejorar la
comunicación a través de la innovación tecnológica, tanto para estudiantes como para docentes.
Estas inteligencias se perciben a través del conocimiento de que una variedad de factores pueden
generar habilidades para abordar diversos conflictos, ya sean de carácter individual u
organizacional.
Las inteligencias múltiples han demostrado ser un elemento importante en la educación.
Sin embargo, muchos sistemas escolares actuales alientan a los maestros a atender una diversidad
de inteligencias a través de actividades prácticas, reconociendo que los estudiantes tienen
diferentes niveles de desarrollo en diferentes inteligencias. Gardner (2005) apoya esta idea al
afirmar que es absurdo insistir en que todos los alumnos aprendan de la misma manera cuando
existe un acervo de conocimientos sobre estilos de aprendizaje, tipos de inteligencia y estilos de
enseñanza.
La educación debe presentarse de varias maneras, permitiendo a los estudiantes asimilar la
información en función de sus habilidades y aprovechando sus fortalezas. El autor sugiere que
puede haber una correlación entre el uso de herramientas de comunicación y las inteligencias
múltiples. Las herramientas de comunicación sirven como base para la innovación y la
comunicación científica eficaces, lo que permite programas interactivos que facilitan el progreso
de los estudiantes hacia los objetivos de instrucción.
Por otro lado, algunas personas pueden tener dificultades con el uso de las herramientas de
comunicación, lo que dificulta su capacidad de adaptación a los cambios provocados por las nuevas
tecnologías. Aquí es donde el concepto de inteligencias múltiples se vuelve crucial, ya que permite
a las personas participar de manera efectiva en la comunicación tecnológica. Además, vale la pena
considerar si un sistema educativo que se centre únicamente en la inteligencia lingüística y lógica
es suficiente para preparar a los estudiantes para un mundo cada vez más complejo. Puede haber
17
otros tipos de inteligencia que deban tenerse en cuenta para garantizar una educación integral y
completa para todos los estudiantes.
Sin embargo, se observa que existen fallas de comunicación dentro del sistema educativo.
Muchos docentes parecen desinteresados en utilizar herramientas de comunicación y hay una falta
de comunicación efectiva con los estudiantes a través de sistemas de información virtual. Además,
es posible que los docentes no estén adecuadamente informados sobre el uso del correo electrónico,
blogs, wikis y otras plataformas de comunicación.
De manera similar, cuando se trata de inteligencias múltiples, los maestros pueden mostrar
falta de entusiasmo en la resolución de problemas, los cálculos mentales y el pensamiento lógico.
Según García (2008), la funcionalidad de las herramientas de comunicación es fundamental y se
representa a través de las tecnologías de la comunicación. Sin embargo, solo un pequeño número
de usuarios utiliza efectivamente esta información. Parece que las personas no están asumiendo
las responsabilidades asociadas con el acceso a los servicios de comunicación virtual. Además,
parece haber una falta de un entorno comunicativo, así como deficiencias en la comunicación entre
instituciones.
El uso de herramientas de comunicación y mensajería virtual rara vez se ve en las
instituciones educativas, lo que indica una comprensión y utilización limitadas de la mensajería
instantánea a través del correo electrónico institucional. En conclusión, si bien el uso de las
herramientas de comunicación y las TIC ha generado avances significativos en el sector educativo,
aún existen desafíos por abordar. El desinterés y conocimiento de los docentes respecto a las
herramientas de comunicación, así como las deficiencias en la comunicación entre instituciones,
dificultan el uso efectivo de estas tecnologías.
Es imperativo que las instituciones educativas prioricen la capacitación en comunicación
y creen un entorno de apoyo que fomente la utilización de herramientas de comunicación virtual.
Solo entonces se puede aprovechar todo el potencial de estas tecnologías en el proceso educativo.
En países como Venezuela, el uso de herramientas de comunicación ha contribuido en gran medida
al desarrollo de una plataforma tecnológica. Esto ha llevado a la digitalización de la información
en el sector educativo y un aumento significativo en las transacciones basadas en Internet. Y el
interior del país no está exento de esta tendencia, ya que las tecnologías de la información y la
comunicación (TIC) juegan un papel vital en el avance del proceso educativo. El concepto de
inteligencias múltiples también es muy valorado en la promoción de métodos de aprendizaje
efectivos.
Las herramientas de comunicación en la inteligencia lógica matemática
Las herramientas asíncronas son servicios que involucran la comunicación entre un emisor
y un receptor que no están operando en el mismo marco de tiempo. Estos servicios se consideran
18
"diferidos" porque la comunicación inmediata no es posible. Para acceder a estos servicios, los
usuarios necesitan una computadora con un módem. Por otro lado, en un entorno asincrónico, los
participantes tienen la libertad de interactuar cuando están listos o tienen el tiempo disponible.
Esto les permite tomarse todo el tiempo que necesiten para reflexionar y responder a los demás a
su propia discreción.
Asimismo las herramientas asincrónicas como un medio para abordar las limitaciones de
aprendizaje que pueden surgir cuando no existe un contacto personal entre los involucrados en el
proceso de formación. No obstante, los autores también reconocen que los retrasos en la
comunicación pueden tener un impacto negativo en la enseñanza y el aprendizaje. Estos desafíos
pueden generar sentimientos de frustración y soledad, que no conducen a un seguimiento, tutoría
y evaluación efectivos del aprendizaje.
Entre las herramientas se pueden encontrar las siguientes:
El correo electrónico
Este servicio tiene como objetivo facilitar el intercambio de información relacionada con
un tema específico, lo que permite a las personas participar en discusiones o buscar el consejo de
compañeros, educadores o expertos a nivel regional, nacional, o incluso a nivel internacional. La
importancia del correo electrónico, también conocido como e-mail, como uno de los inventos
innovadores de Internet. Su impacto en la comunicación ha sido tan profundo que se puede
argumentar que ha revolucionado la forma en que interactuamos con colegas, amigos e incluso
con nuestros propios familiares. Como resultado, el correo electrónico se ha convertido en uno de
los servicios más utilizados en Internet.
El correo electrónico sirve como un medio personal de comunicación entre educadores y
alumnos, funcionando como un método informal de interacción que ayuda a motivar a los alumnos
y hacer un seguimiento de su progreso. Este tipo de comunicación es de naturaleza asincrónica, lo
que significa que no requiere que los participantes estén en línea simultáneamente, lo que permite
flexibilidad en el momento de los intercambios. Además, el correo electrónico facilita la
correspondencia uno a uno, lo que permite un enfoque personalizado y específico para abordar las
necesidades e inquietudes individuales de los estudiantes. Es importante reflexionar sobre las
respuestas recibidas a través de este medio y extraer ideas significativas de ellas.
Asimismo, el correo electrónico es un sistema de comunicación basado en computadora
que permite a las personas intercambiar mensajes con múltiples destinatarios, lo que facilita un
flujo rápido y constante de información. Las ventajas del correo electrónico son innumerables, ya
que ofrece inmediatez al garantizar que los mensajes se reciban a los pocos minutos de ser
enviados. Además, es un modo conveniente de comunicación, que permite a las personas enviar y
recibir mensajes sin esfuerzo. Además, el correo electrónico es rentable ya que no depende de la
19
ubicación física del destinatario, lo que lo convierte en una opción asequible. Además, el correo
electrónico es muy dinámico, ya que permite que las personas reciban mensajes incluso cuando no
están físicamente presentes en su lugar habitual de uso.
Esta herramienta es vista como un medio de comunicación entre docentes y estudiantes
que favorece la conexión, fomenta el diálogo y fomenta el compromiso compartido para mejorar
la calidad de las relaciones interpersonales. En la perspectiva del investigador, el correo electrónico
sirve como una puerta de entrada conveniente a la información, lo que permite un fácil intercambio
de mensajes privados entre computadoras conectadas a Internet desde cualquier lugar del mundo.
Si bien puede considerarse un medio informal, resulta muy valioso para mantenerse actualizado
con la información y descubrir nuevos conocimientos.
El blog
Un blog es esencialmente un sitio web donde uno o varios autores comparten mensajes
sobre un tema específico en orden cronológico y los lectores pueden dejar sus comentarios. Sirve
como una especie de diario digital para el autor, permitiéndole incluir texto, imágenes, videos y
enlaces. Estas herramientas facilitan que los usuarios se conviertan en autores sin necesidad de
conocimientos técnicos complejos. Los blogs, se pueden describir como páginas web personales
que presentan publicaciones multimedia que se muestran en orden inverso, con las entradas más
recientes apareciendo primero.
El objetivo es recrear los aspectos sociales de este medio, ya que los blogs sirven como un
medio de comunicación colectivo que fomenta la reflexión personal y social sobre diversos temas.
Un blog es un sistema de edición y publicación simplificado, haciéndola accesible para que
cualquiera pueda crear contenido desde cualquier conexión a Internet sin conocimientos técnicos
específicos. Se ve como una herramienta asíncrona para uso personal que se puede compartir con
otros, se ordena cronológicamente con el contenido más reciente en la parte superior y se usa
principalmente con fines informativos.
Sin embargo, también se puede utilizar en la educación como un medio de comunicación
entre estudiantes y profesores. Desde la perspectiva del investigador, un blog es una herramienta
tecnológica diseñada para uso individual para compartir temas específicos con otros usuarios. Los
usuarios pueden actualizar los contenidos y participar activamente dejando sus opiniones, teniendo
cada uno un papel protagonista.
El wiki
Un wiki es una plataforma colaborativa donde múltiples autores pueden contribuir y
publicar contenido. Se considera que es un espacio web que utiliza una aplicación informática
colaborativa, que permite a los usuarios crear contenido de manera participativa, sujeto a la
20
aprobación de un editor. Alternativamente, se puede definir un wiki como un sitio web colaborativo
que se basa en los esfuerzos continuos de diferentes usuarios. Se asemeja a la estructura de un
blog, pero con la característica única de permitir que cualquier persona edite el contenido, incluso
si fue creado originalmente por otros.
Esto permite a los usuarios realizar un seguimiento y observar los cambios realizados en el
contenido. El wiki funciona como una comunidad virtual donde la colaboración colectiva es clave.
Otorga a los usuarios la capacidad de editar contenido existente, independientemente del creador.
Esencialmente, un wiki es un sitio web generado y mantenido por el usuario que fomenta la
conectividad entre sus miembros. Y ofrece importantes oportunidades de comunicación, como la
creación de un espacio de contenido administrado por una comunidad que aprovecha el
conocimiento colectivo y las experiencias de sus miembros. Asimismo, los wikis facilitan la
creación de una base de datos de contactos, lo que permite a los usuarios interactuar entre sí, y
compartir y mejorar el contenido a través de los esfuerzos colaborativos de la comunidad,
representando diversos puntos de vista sobre un tema específico.
Valoración de la inteligencia lógica matemática
Las inteligencias lógico-matemáticas y lingüísticas se han considerado durante mucho
tiempo como muy importantes en la sociedad occidental. La educación tradicional ha categorizado
tradicionalmente a los estudiantes en dos grupos: aquellos que sobresalen en ciencias y aquellos
que sobresalen en humanidades. Al reconocer la importancia de estas inteligencias, Gardner (1983)
las incorpora en su modelo de Inteligencia Múltiple (IM), que amplía la tipología para abarcar
ocho dominios principales de conocimiento. Este marco ampliado tiene como objetivo
proporcionar a los educadores un conjunto de herramientas completo para evaluar y fomentar el
desarrollo de las capacidades individuales.
Al examinar específicamente la inteligencia lógico-matemática, es crucial señalar, de
acuerdo con la teoría de Piaget, que la adquisición de la comprensión matemática comienza cuando
un niño interactúa con los objetos y comienza a manipularlos. A medida que el niño avanza, su
comprensión se vuelve más abstracta, desligada del mundo físico (Piaget, 1969). En consecuencia,
se pueden identificar varias etapas distintas en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático:
• Durante la etapa sensoriomotora, que ocurre típicamente desde el nacimiento hasta los dos
años de edad, los niños exhiben la notable habilidad de imitar los comportamientos de
quienes los rodean. Además, comienzan a combinar acciones simples que han aprendido
previamente para crear nuevas acciones. Esta etapa también está marcada por el
surgimiento del comportamiento intencional, ya que ya existe alguna evidencia observable
de que los niños actúan con propósito e intención.
21
• En el período preoperatorio, que generalmente ocurre entre las edades de 2 y 7 años, los
niños experimentan un desarrollo cognitivo significativo a medida que pasan de ser bebés
a la primera infancia. Esta es una etapa crucial en la que comienzan a comprender
conceptos intuitivos como números y causalidad, aunque su comprensión es
principalmente práctica en lugar de sistemática o lógica. Por ejemplo, un niño de tres años
puede demostrar su comprensión de la cantidad eligiendo una mayor cantidad de dulces
cuando están esparcidos en un espacio más grande. No obstante, su percepción puede
cambiar cuando se agrupa la misma cantidad de dulces en un área más pequeña.
• Durante la etapa de las operaciones concretas, que suele darse entre los 7 y los 11 años, los
niños desarrollan la capacidad de comprender y aplicar relaciones causales y cuantitativas.
Por ejemplo, pueden comprender que la cantidad de dulces en una pila seguirá siendo la
misma mientras no se agreguen o quiten dulces. Esta habilidad se atribuye al concepto de
reversibilidad, que permite a los niños manipular ideas abstractas necesarias para la
inteligencia lógico-matemática.
• Cuando el niño finalmente tiene acceso a las operaciones formales (a partir de los 11 o 12
años) entonces muestra la capacidad de trabajar con conceptos abstractos y por lo tanto
utiliza su razonamiento hipotético-deductivo para formular y probar hipótesis.
Según algunos expertos, Piaget creía que la inteligencia lógico-matemática se desarrolla a
través de la manipulación de objetos y la capacidad de pensar sobre ellos utilizando el pensamiento
formal concreto y posterior. El trabajo de Piaget ha proporcionado una sólida base teórica para la
inteligencia lógico-matemática y ha sido respaldado por numerosos estudios empíricos. Estos
estudios han arrojado valiosas aplicaciones e implicaciones educativas para este tipo de
inteligencia.
Sin embargo, es importante señalar que la explicación de Piaget sobre el desarrollo
cognitivo se centra principalmente en el pensamiento lógico-matemático y puede no considerar
completamente otros tipos de habilidades, como la inteligencia artística, social o emocional, que
también juegan un papel en el rendimiento académico. Además, la evaluación del razonamiento
lógico-matemático en niños pequeños se ha basado tradicionalmente en medidas psicométricas
que pueden tener limitaciones. Estas medidas a menudo están descontextualizadas y dependen en
gran medida del idioma, lo que puede perjudicar a los niños de minorías étnicas o aquellos con
dificultades lingüísticas.
Si bien ha habido numerosas experiencias escolares realizadas con la metodología IM con
alumnos de los primeros niveles de instrucción, faltan estudios empíricos que se hayan centrado
en los niños que utilizan esta metodología. Por ejemplo, Ferrándiz (2003, 2004) realizó un análisis
factorial para evaluar la validez estructural del modelo de evaluación de las inteligencias múltiples.
Posteriormente, Ballester (2004) realizó un segundo análisis factorial y los resultados indicaron la
22
presencia de seis factores distintos que se alinean con los supuestos teóricos del modelo de Gardner
(1983).
Estos factores incluyen la inteligencia visoespacial, la capacidad de observación, la
inteligencia lógico-matemática, la inteligencia corporal, la inteligencia lingüística, la inteligencia
musical y las capacidades relacionadas con la formulación de hipótesis y la experimentación. Esta
verificación empírica apoya el modelo teórico de Gardner, que propone la existencia de
capacidades separadas e independientes.
Según la propuesta del IM, la inteligencia lógico-matemática es la capacidad para resolver
problemas y construir soluciones, utilizando razonamientos lógicos y argumentos sólidos. Los
estudiantes que poseen fuertes habilidades de razonamiento matemático a menudo encuentran
alegría en las complejidades de los números y sus combinaciones. Están cautivados por la
aplicación de fórmulas, no solo dentro de los límites de un laboratorio, sino en varios escenarios
de la vida real.
Estos estudiantes tienen una inclinación natural hacia la experimentación, hacer preguntas
y abordar problemas lógicos. Tienen una profunda necesidad de explorar, pensar críticamente y
manipular materiales y objetos científicos. Lo que los diferencia es su capacidad para percibir y
establecer relaciones entre objetos que pueden pasar desapercibidos para los demás. Les encanta
enfrentarse a problemas que exigen un pensamiento crítico y divergente, sobresaliendo tanto en el
razonamiento inductivo como en el deductivo. Se complacen en brindar soluciones y conquistar
desafíos lógico-matemáticos complejos. Además, se enorgullecen de aplicar sus habilidades
matemáticas excepcionales a situaciones cotidianas. Poseen una curiosidad insaciable y un
compromiso inquebrantable con la investigación. Los juegos de estrategia, que requieren una
cuidadosa planificación y anticipación de los movimientos, tienen un gran atractivo para ellos. Sin
embargo, es importante señalar que poseer una inteligencia lógico-matemática excepcional no
garantiza el éxito académico en el campo de las matemáticas.
A continuación se muestra un trabajo de investigación que pretende crear un perfil
cognitivo completo o medir las habilidades matemáticas de un grupo de jóvenes estudiantes en sus
primeros años de formación. Esto se logrará empleando dos enfoques diferentes: uno es una
evaluación psicométrica y el otro una evaluación cualitativa y dinámica.
Los participantes
De la muestra inicial de 294 alumnos, el 51,7% asistía a centros privados concertados,
mientras que el 48,3% restante asistía a centros públicos. El desglose de los participantes según su
nivel educativo fue el siguiente: el 34% estaba en la etapa de Educación Infantil, mientras que la
mayoría, el 66%, estaba en Educación Primaria (con un 32,7% en 1º y un 33,3% en 2º). En cuanto
al sexo, el 48,3% de los alumnos eran chicos y el 51,7% chicas. Finalmente, al considerar las
23
provincias, el 51,7% del alumnado pertenecía a la provincia de Murcia, mientras que el 48,3%
restante pertenecía a la provincia de Alicante. El objetivo principal de este estudio es analizar los
perfiles cognitivos de los estudiantes en términos de inteligencia general, habilidades de
razonamiento analógico, capacidad de memoria, capacidad de atención y habilidades de relación
espacial.
Para evaluar las inteligencias múltiples, se utilizó un conjunto de siete actividades, el
propósito de estas actividades es medir las habilidades asociadas a cada tipo de inteligencia,
incluyendo lingüística, lógico-matemática, visual-espacial, corporal-cinestésica, naturalista y
musical. Cada actividad va acompañada de protocolos o escalas de observación tipo Likert, que
permiten a los observadores calificar la manifestación de cada inteligencia en una escala de 1
(nunca muestra la habilidad) a 4 (muestra la habilidad constantemente). Estas herramientas de
evaluación proporcionan un medio para evaluar objetivamente la presencia de cada inteligencia.
Para evaluar esta inteligencia se utilizan dos actividades: "descubrimiento" y "por qué unos
objetos flotan y otros se hunden". Ambas actividades están diseñadas para evaluar una variedad de
habilidades, incluida la observación precisa (la capacidad de prestar mucha atención a los detalles),
la identificación de relaciones (la capacidad de reconocer causa y efecto, así como similitudes y
diferencias entre objetos, lo que implica establecer clasificaciones), formulación y prueba de
hipótesis (capacidad de plantear problemas, identificar lagunas y resolverlos mediante el
razonamiento lógico), experimentación (capacidad de manipular objetos y explorar diversos usos
y posibilidades), e interés en actividades relacionadas con el medio natural. mundo (se valora
mucho el nivel de conocimiento y motivación por aprender sobre el mundo natural).
La evaluación de la inteligencia visoespacial consta de dos sesiones que incluyen
actividades específicas como esculpir, dibujar varios animales y personas e imaginar una criatura
ficticia. El propósito de estas actividades es evaluar las habilidades de representación de una
persona, que incluye su habilidad para crear símbolos reconocibles de objetos cotidianos como
animales, casas y personas, así como su capacidad para coordinar espacialmente estos elementos
para formar un todo cohesivo. Además, la evaluación tiene como objetivo medir las habilidades
de exploración del individuo, lo que implica reflexionar sobre diseños, dibujos representativos y
el uso de materiales artísticos, considerando también su flexibilidad, creatividad e inventiva. Por
último, la evaluación examina el talento artístico del individuo evaluando su capacidad para
utilizar diferentes elementos del arte para transmitir emociones, crear efectos específicos y
embellecer sus dibujos.
Para evaluar la inteligencia cinestésica, el método de evaluación empleado fue una forma
de expresión física conocida como "movimiento creativo". Esta actividad en particular otorga un
gran valor a una variedad de habilidades, que incluyen: la capacidad de discernir y adaptar los
movimientos de acuerdo con el ritmo, la capacidad de transmitir una amplia gama de estados
mentales y emocionales a través de la expresión corporal, la aptitud para mantener el equilibrio
24
empleando varios elementos como cuerdas o bancos, y la capacidad de generar ideas novedosas
para el movimiento y la navegación espacial.
Asimismo, en la inteligencia lingüística se utilizaron dos actividades: la actividad
"narrador" y la actividad "reportero". Estas actividades fueron diseñadas para evaluar una variedad
de habilidades relacionadas con el lenguaje, incluidas las funciones principales del lenguaje, como
la narración, la interacción con adultos, la investigación, la descripción y la categorización.
Además, tenían como objetivo evaluar habilidades narrativas específicas como la estructura
narrativa, la coherencia temática, el uso de la voz narrativa, el diálogo, las secuencias temporales,
la expresividad, el nivel de vocabulario y la estructura de las oraciones. También, las actividades
tenían como objetivo medir las habilidades de información, como el nivel de andamiaje, la
precisión del contenido, la estructura del argumento, la complejidad del vocabulario, el nivel de
detalle y la estructura de la oración. Para facilitar el análisis de los datos, estas habilidades se
clasificaron en tres variables: funciones del idioma principal, habilidades de narración y
habilidades para informar.
La inteligencia lógico-matemática se evalúa mediante el uso del "juego de dinosaurios".
Este juego se utiliza para evaluar varias habilidades, incluido el razonamiento numérico, el
razonamiento lógico y el razonamiento espacial. El razonamiento numérico implica la capacidad
de comprender, estructurar, organizar y resolver problemas utilizando operaciones y cálculos
apropiados. El razonamiento lógico implica la capacidad de determinar los mejores movimientos
de los dados para ganar el juego. El razonamiento espacial implica la capacidad de visualizar los
dados y comprender cómo se mueven para realizar conteos y cálculos precisos.
La inteligencia musical, por otro lado, se evalúa a través de la actividad de cantar. El
objetivo de esta actividad es evaluar diversas habilidades relacionadas con la inteligencia musical.
Estas habilidades incluyen sensibilidad de tono, ritmo y habilidad musical. La sensibilidad de tono
se refiere a la capacidad de distinguir entre notas cortas y largas y mantener un ritmo constante en
una canción o melodía. El ritmo implica expresar el número correcto de notas musicales, distinguir
entre notas cortas y largas, mantener un ritmo constante y cantar notas con claridad y ritmo
adecuado. Finalmente, la habilidad musical se refiere a la habilidad excepcional de cantar una
canción con la melodía y el ritmo correctos, mostrando un alto nivel de expresividad. Esta
habilidad sugiere una capacidad de expresión musical.
Los objetivos propuestos y el procedimiento seguido para este estudio implican
principalmente el uso de análisis descriptivo, análisis correlacional y, en algunos casos, análisis
diferencial. El análisis de datos consiste en examinar los puntajes totales para cada inteligencia,
incluidas las medias, las desviaciones estándar y el porcentaje de estudiantes que sobresalen o
tienen dificultades en diferentes inteligencias.
25
Este análisis tiene como objetivo crear un perfil intelectual de los participantes e identificar
las inteligencias en las que los estudiantes sobresalen o enfrentan dificultades. Esta información
ayudará a diseñar una instrucción que se alinee con las necesidades cognitivas de nuestros
estudiantes. Además, se realizan análisis de correlación para explorar las relaciones entre diversas
variables de la escala propuesta por Gardner para evaluar la inteligencia lógico-matemática y las
puntuaciones obtenidas en pruebas verbales, numéricas, espaciales, de razonamiento lógico y de
memoria.
El objetivo es comprender las asociaciones entre estas variables y determinar la validez
concurrente y discriminante de las escalas de evaluación de inteligencias múltiples. Por último, se
realizan análisis diferenciales mediante pruebas "t" de muestras independientes para comparar las
puntuaciones totales de inteligencia lógico-matemática en función de variables como el sexo y el
nivel educativo. Todos los análisis estadísticos se realizan utilizando el programa SPSS/PC versión
15.
Para empezar, es importante destacar que este estudio tuvo como objetivo profundizar en
el examen de la inteligencia lógico-matemática tanto desde la perspectiva psicométrica como
dinámica, la cual se enmarca en el marco de las inteligencias múltiples propuesto por Gardner.
Para lograr esto, llevamos a cabo una extensa investigación empírica para evaluar la consistencia
interna del modelo de Gardner y su relación con las pruebas de inteligencia tradicionales. Cabe
mencionar que los resultados de nuestro estudio indican que los alumnos de Educación Primaria
presentan puntuaciones más altas y estadísticamente significativas en comparación con los de
Educación Infantil. Esto implica que a medida que aumenta el nivel de educación, también lo hace
la capacidad intelectual de los individuos. Además, al considerar las diferencias de género,
nuestros hallazgos sugieren que los niños tienden a obtener puntuaciones más altas que las niñas
en las dimensiones de inteligencia lógico-matemática propuestas por Gardner. Sin embargo, es
importante señalar que estas diferencias no fueron estadísticamente significativas.
Se ha de reseñar que entre las ventajas que se obtiene cuando se utiliza el modelo de
evaluación de las IM, se encuentra:
• Las inteligencias, en general, y el razonamiento lógico matemático, en particular, se valora
con pruebas contextualizadas, con materiales ricos y evocadores, que incluyen un amplio
conjunto de dominios y actividades más abiertas que las recogidas en las evaluaciones
psicométricas y que además son menos prescriptivas.
• Este tipo de evaluación permite que los educadores conozcan mejor a sus alumnos,
reconociendo la gran diversidad de capacidades presentes en los más pequeños, se valoran
diversos estilos de aprendizaje, se aceptan diferencias de talentos, capacidades,
habilidades, actitudes y hábitos de trabajo.
26
• En las tareas de evaluación que propone Gardner el niño que piense de forma creativa e
imaginativa puede pararse a pensar más profundamente en una cuestión sin sufrir la presión
de no trabajar con la rapidez suficiente para terminar el test.
• Este modelo permite establecer conexiones o puentes entre el aula y la comunidad en
general.
• Asimismo, proporciona la posibilidad de ofrecer una respuesta educativa adecuada a los
alumnos evaluados mediante el diseño de currículos y enfoques de enseñanza. Los
educadores también pueden hallar formas de aprovechar los recursos de la escuela, la casa
y la comunidad con el fin de introducir a los alumnos en ámbitos poco conocidos y
estimulantes del saber.
• La filosofía de las inteligencias múltiples está resultando muy útil para alumnos con
necesidades educativas especiales y provenientes de ambientes desfavorables, estos
alumnos pueden ser brillantes, capaces y tener muchas ventajas cognitivas que los
programas educativos más tradicionales pasan por alto. Si se ofrece a estos niños
oportunidad de trabajar en las áreas en las que destacan, pueden adquirir nuevas destrezas
y mostrarse más competentes, tanto ante sí mismos como ante los demás.
Para proporcionar una comprensión integral del tema en cuestión, es importante reconocer
que las evaluaciones propuestas por Gardner no debe verse como un sustituto completo de las
pruebas estandarizadas que critican. Más bien, estas evaluaciones pueden ofrecer una perspectiva
adicional que destaca las fortalezas y habilidades únicas de cada niño en particular. La
implementación de este modelo requiere una importante inversión de tiempo, esfuerzo y cautela
en términos de planificación y ejecución, así como una colaboración frecuente con los docentes.
Es crucial señalar mencionar que en el trabajo de investigación citado, faltan datos longitudinales
que indiquen hasta qué punto un perfil válido a una edad sigue siendo válido a lo largo de varios
años.
27
Capítulo 2
Matemáticas y capacidad deductiva
Conocimientos
La inferencia lógica permite a los estudiantes sacar conclusiones válidas basadas en
premisas básicas. Requiere una sólida comprensión de los conceptos matemáticos y sus relaciones:
• El pensamiento crítico juega un papel vital en el pensamiento matemático, ya que implica
buscar características invariantes, discernir, debatir, evaluar hechos e identificar
contradicciones.
• El pensamiento analítico ayuda a los estudiantes a identificar las variables que son
relevantes para un problema. Se trata de razonamiento lógico inductivo o deductivo, que
permite una comprensión integral del todo, así como la interrelación de sus partes.
• El pensamiento matemático implica el uso de habilidades matemáticas para resolver
diversas situaciones de la vida real. Requiere una comprensión profunda de un campo
específico del conocimiento, incluidas habilidades como la abstracción, la validación
empírica, la inferencia lógica, el pensamiento crítico y el pensamiento analítico.
• La validación empírica es el proceso de comparar el modelo de representación con las
observaciones reales. Si bien todos los modelos son representaciones incompletas del
sistema que intentan representar, brindan un marco dentro del cual una proposición puede
considerarse verdadera y explicar la realidad. Es crucial cuestionar constantemente las
condiciones bajo las cuales funciona un modelo, su generalización y sus limitaciones. Al
responder estas preguntas, se puede deducir o inferir una solución o explicación a un
problema.
• La abstracción es la capacidad de comprender la relación entre un concepto y su aplicación
en un campo particular. Permite la creación de modelos que ayudan a representar
fenómenos, problemas y relaciones. Estos modelos se pueden probar con datos del mundo
real para validar su precisión.
• El pensamiento matemático abarca una variedad de habilidades que permiten a las personas
usar las matemáticas de manera efectiva para resolver situaciones cotidianas. Requiere la
capacidad de abstraer conceptos, validarlos empíricamente, hacer inferencias lógicas,
pensar crítica y analíticamente.
Durante la Edad Media, el razonamiento deductivo fue predominantemente empleado por
disciplinas como la lógica, la filosofía y las matemáticas. Posteriormente surgieron las ciencias
experimentales, aplicando el método inductivo para recolectar evidencia empírica. En el ámbito
28
de las ciencias humanas, particularmente en las ciencias sociales, donde los individuos se sitúan
dentro de un contexto observacional y experimental, se emplea comúnmente el método dialéctico.
Tanto el razonamiento deductivo como el inductivo juegan un papel fundamental en la
investigación. La deducción permite establecer un vínculo entre la teoría y la observación, lo que
permite deducir los fenómenos observados a partir de las teorías existentes. Por otro lado, la
inducción facilita la acumulación de diversos conocimientos e información aislados. En el ámbito
de la ciencia actual, existe una multitud de puntos de vista en conflicto. Muchos intelectuales
desafían los antiguos principios del razonamiento científico y su pretensión de poseer un
conocimiento universal sobre la realidad.
A medida que nuestra comprensión del mundo se vuelve más compleja, se construyen
nuevos paradigmas para capturar las complejidades de nuestro entorno. Esto ha dado lugar a una
nueva forma de racionalidad que abarca una perspectiva holística y ecológica de la filosofía de la
ciencia. Asimismo, los reinos natural y social están experimentando un aumento significativo en
la complejidad, lo que requiere el desarrollo de una epistemología compleja para abordar nuestro
conocimiento científico existente. El proceso de investigación se sustenta en una variedad de
fuentes de conocimiento, a las que se puede acceder a través del razonamiento deductivo o
inductivo. Estos métodos se implementan luego mediante el uso de un enfoque científico. Los
antiguos griegos fueron los primeros en contribuir a la evolución de este enfoque, utilizándolo
como un medio para descubrir la verdad. Cuando los individuos consolidan sus ideas, se enfrentan
a la realidad de las cosas, ya que este concepto establece una conexión entre las imágenes mentales
y los objetos tangibles. En consecuencia, se enfrentan al ámbito del conocimiento racional, lógico
y deductivo.
Antes de profundizar en la exploración del papel que juega la investigación científica en la
educación, es importante examinar las formas históricas en que la humanidad ha buscado
respuestas a sus preguntas. A lo largo de la historia ha habido cinco tipos de fuentes de
conocimiento: la experiencia, la autoridad, el razonamiento deductivo, el razonamiento inductivo
y el método científico.
La experiencia, al ser la fuente de conocimiento más familiar y actual, permite a las
personas descubrir las rutas más eficientes para viajar o las mejores soluciones a los problemas
cotidianos. A través de la experiencia personal, se pueden responder muchas preguntas y se
transmite mucha sabiduría de generación en generación. Sin embargo, la experiencia tiene sus
limitaciones como fuente de verdad, ya que es subjetiva y varía de persona a persona.
Lo que puede ser un santuario para un individuo puede ser una soledad aterradora para
otro. De similar forma, la experiencia personal no siempre puede proporcionar el conocimiento
necesario para ciertos temas o situaciones. Por ejemplo, un niño que intenta aprender aritmética
por su cuenta puede resolver la suma, pero tendrá dificultades para calcular raíces cuadradas. En
29
tales casos, las personas buscan la asistencia de autoridades o expertos en el campo que posean
conocimientos especializados o acceso a fuentes adicionales de información.
Estas autoridades son vistas como fuentes confiables de la verdad, y sus palabras y consejos
son aceptados como tales. Por ejemplo, para determinar la población de un país, se consultarían
los registros oficiales del censo. De manera similar, el director de una institución educativa podría
consultar a un abogado sobre asuntos legales relacionados con la escuela, y un maestro recién
graduado podría buscar sugerencias de un maestro con más experiencia que haya demostrado ser
eficaz. En resumen, si bien la experiencia personal es una fuente valiosa de conocimiento, es
importante reconocer sus limitaciones y buscar la guía de las autoridades cuando sea necesario.
A lo largo de la historia, ha habido numerosos casos en los que las personas confiaron
mucho en la credibilidad de las autoridades, particularmente durante la Edad Media. Figuras
estimadas como Platón, Aristóteles y los primeros padres de la iglesia eran muy apreciadas como
fuentes de la verdad, e incluso la observación directa se consideraba más válida que la experiencia
personal. Si bien la autoridad ha demostrado ser una fuente valiosa de conocimiento, es importante
preguntarse cómo adquieren exactamente estas autoridades su conocimiento.
En el pasado, las personas a menudo se consideraban correctas simplemente por su
posición, como ser rey, jefe o sumo sacerdote. No obstante, en los tiempos modernos, existe una
renuencia general a creer ciegamente en las habilidades de alguien únicamente en función de su
rango o posición. Las declaraciones hechas por las autoridades ahora solo se aceptan si están
respaldadas por experiencia u otras fuentes reconocidas de conocimiento.
La autoridad comparte algunas similitudes con la costumbre y la tradición en que los
educadores a menudo recurren a ellas para encontrar respuestas a varios problemas en su profesión
y vida diaria. A menudo se preguntan: "¿Cómo se ha hecho esto en el pasado?" y utilizar la
respuesta como guía para sus acciones. Tanto la autoridad como la tradición tienen una influencia
significativa en el ámbito de la educación, ya que los educadores con frecuencia se basan en
prácticas pasadas para abordar problemas actuales. Sin embargo, la historia de la educación ha
demostrado que muchas tradiciones antiguas finalmente demostraron ser incorrectas y tuvieron
que descartarse.
Por lo tanto, es crucial evaluar críticamente las ideas basadas en la costumbre y la tradición
antes de aceptar su validez. Aunque la autoridad se considera una fuente de verdad, no está exenta
de defectos. En primer lugar, los expertos pueden cometer errores ya que no son infalibles.
Además, es común que los expertos tengan desacuerdos sobre ciertos asuntos, lo que sugiere que
sus declaraciones a veces pueden ser opiniones subjetivas en lugar de hechos objetivos.
El razonamiento deductivo es otra valiosa fuente de conocimiento. Implica la capacidad de
conectar varias ideas y conceptos para establecer la verdad. Los antiguos filósofos griegos, en
particular Aristóteles y sus seguidores, contribuyeron en gran medida al desarrollo de un enfoque
30
sistemático para descubrir la verdad. Introdujeron el razonamiento deductivo como un proceso
cognitivo que se basa en la aplicación de reglas lógicas para derivar declaraciones específicas de
las generales.
En esencia, es un método para organizar hechos conocidos y llegar a conclusiones a través
de una serie de enunciados conocidos como silogismos. Un silogismo consta de tres componentes:
la premisa mayor, la premisa menor y la conclusión. Para ilustrar esto, considere el siguiente
ejemplo: todos los hombres son mortales (premisa mayor), Sócrates es un hombre (premisa
menor), luego Sócrates es mortal (conclusión). Como se demostró, el razonamiento deductivo
permite la progresión lógica desde principios amplios hasta resultados específicos.
Si las premisas del razonamiento deductivo son verdaderas, la conclusión resultante
también lo será. Este tipo de razonamiento permite estructurar las premisas en silogismos, que
actúan como prueba de fuego para determinar la validez de una conclusión. Normalmente, ante
una situación que no se comprende, se acostumbra a emplear el razonamiento deductivo. Sin
embargo, es importante reconocer que el razonamiento deductivo tiene sus limitaciones. Para
llegar a conclusiones válidas, uno debe comenzar con premisas verdaderas.
La conclusión de un silogismo nunca puede exceder la información proporcionada por las
premisas. Las conclusiones deductivas son siempre inferencias que se extraen del conocimiento
existente. Como resultado, no es posible confiar únicamente en el razonamiento deductivo al
realizar una investigación científica, ya que puede ser un desafío establecer la verdad universal de
muchas afirmaciones relacionadas con fenómenos científicos. El razonamiento deductivo puede
ayudar a organizar el conocimiento existente y revelar nuevas conexiones a medida que avanza de
lo general a lo específico, pero no puede generar verdades completamente nuevas.
El razonamiento deductivo es un proceso que utiliza el método deductivo, que involucra
tres etapas distintas de deducción:
• La primera etapa es axiomática, donde se comienza con axiomas que son verdades que no
requieren mayor demostración.
• La segunda etapa es la de postulación, que implica la incorporación o creación de doctrinas
que sirven como postulados.
• Por último, la tercera etapa es la demostración, que se refiere a las acciones científicas
realizadas por matemáticos, lógicos y filósofos.
Aunque el razonamiento deductivo tiene sus limitaciones, todavía tiene un gran valor en el
ámbito de la investigación, ya que proporciona un medio para conectar la teoría con la observación.
Además, permite a los investigadores inferir y derivar los fenómenos a observar a partir de las
teorías establecidas. De hecho, las deducciones hechas a partir de estas teorías pueden incluso
servir como hipótesis cruciales en el proceso de investigación científica.
31
La validez del razonamiento deductivo depende de la veracidad de sus premisas. Sin
embargo, determinar la precisión de estas premisas puede ser un desafío. En la Edad Media, la
confianza en el dogma y la fe a menudo condujo a la sustitución de premisas válidas por creencias
infundadas, lo que resultó en conclusiones erróneas. Fue durante este tiempo que Francis Bacon,
un destacado filósofo de los siglos XVI y XVII, introdujo un enfoque revolucionario para adquirir
conocimientos. Bacon abogó por que los pensadores se liberaran de las ataduras de aceptar
ciegamente las premisas dictadas por la autoridad como verdades absolutas. En cambio, alentó a
las personas a evaluar críticamente y cuestionar los cimientos sobre los que se construyó su
razonamiento. Al hacerlo, Bacon buscó promover un método de adquisición de conocimiento más
riguroso y basado en evidencia.
El investigador creía que era necesario analizar los datos recopilados a través de la
observación directa para llegar a conclusiones generales. Bacon recomendó observar la naturaleza
de primera mano, evitando sesgos y nociones preconcebidas a las que se refirió como ídolos. Según
Bacon, obtener conocimiento requiere observar activamente la naturaleza, recopilar información
específica y sacar conclusiones más amplias de esa información. Abogó por un nuevo enfoque para
descubrir la verdad: buscar activamente pruebas fácticas en lugar de aceptar ciegamente la
autoridad de los expertos o dedicarse a la mera especulación. Con el tiempo, esta mentalidad se
convirtió en la piedra angular de todas las disciplinas científicas.
De acuerdo con la perspectiva de Bacon, el proceso de razonamiento inductivo implica el
examen y análisis de instancias específicas dentro de una clase o grupo determinado, sobre la base
de los cuales se extraen conclusiones e inferencias generales sobre toda la clase. Este enfoque
contrasta marcadamente con el método deductivo, en el que se derivan conclusiones comenzando
con principios generales y luego aplicándolos a casos específicos. Evidentemente, la disimilitud
entre estos dos modos de razonamiento se hace evidente al examinar varios casos ilustrativos:
• El método deductivo es un enfoque de razonamiento lógico en el que se extraen
conclusiones basadas en premisas establecidas. Por ejemplo, al aplicar este método a la
afirmación "Todos los mamíferos tienen pulmones" y combinarlo con el hecho de que
"Todos los conejos son mamíferos", podemos deducir lógicamente que "Todos los conejos
tienen pulmones". Esto significa que si un animal se clasifica como mamífero, se garantiza
que posee pulmones, y dado que los conejos pertenecen a la categoría de mamíferos, se
puede inferir que todos los conejos también poseen pulmones.
• El método inductivo implica observar un grupo de conejos y notar que todos ellos poseen
pulmones. De esta observación se infiere que todos los conejos, independientemente de
que hayan sido observados o no, también poseen pulmones.
Es importante señalar que el razonamiento deductivo requiere que se conozcan las premisas
antes de poder llegar a una conclusión, mientras que el razonamiento inductivo implica llegar a
32
una conclusión examinando ejemplos y generalizando a partir de ellos. Si un investigador quiere
estar completamente seguro de una conclusión inductiva, debe analizar todos los ejemplos. Este
proceso, conocido como inducción perfecta en el sistema de Bacon, implica examinar cada
instancia del fenómeno. Por ejemplo, para confirmar que todos los conejos tienen pulmones, el
investigador tendría que observar todos los conejos vivos, así como los que han vivido en el pasado
y nacerán en el futuro. Sin embargo, en realidad, a menudo no es práctico observar todas las
instancias, por lo que se hace necesaria una inducción imperfecta basada en observaciones
incompletas:
• El método inductivo, también conocido como método experimental, consiste en una serie
de pasos que se siguen para llegar a conclusiones científicas. Estos pasos incluyen la
observación, la formulación de hipótesis, la verificación, el desarrollo de tesis, el
establecimiento de leyes y, en última instancia, el desarrollo de teorías.
• La teoría de la falsificación opera en el marco del método inductivo, lo que significa que
las conclusiones inductivas solo pueden considerarse absolutas cuando el tamaño de la
muestra es relativamente pequeño. Por ejemplo, si se hace una observación de que todos
los estudiantes con cabello rizado en un grupo escolar específico han logrado puntajes por
encima del promedio en ortografía, sería razonable inferir que todos los individuos con
cabello oscuro en ese mismo grupo también mostrarían puntajes por encima del promedio
-Habilidades ortográficas promedio. Sin embargo, sería incorrecto extrapolar estas
conclusiones para hacer suposiciones sobre las puntuaciones ortográficas de los individuos
pelirrojos en diferentes grupos o en grupos futuros.
Debido a las limitaciones de realizar inducciones perfectas solo en grupos pequeños, las
inducciones imperfectas se han convertido en una práctica común. Este sistema implica observar
un grupo de muestra y hacer inferencias sobre todo el grupo en función de lo que se observa. Un
ejemplo concreto de este tipo de deducción se puede ver en el razonamiento aplicado a los niños
muy inteligentes y sus características físicas. Tradicionalmente, prevalecía la creencia de que los
estudiantes excepcionales a menudo eran de baja estatura, como lo retratan en la cultura popular
los artistas de cómics a través de su representación de estos individuos como seres flacos con
anteojos gruesos.
Terman, una figura influyente en el campo de las pruebas mentales, desarrolló una
fascinación por las características de los niños muy inteligentes. Para profundizar en este tema,
realizó un estudio exhaustivo en el que participaron más de 1000 niños de California que
obtuvieron puntajes de coeficiente intelectual superiores a 140 en la prueba de coeficiente
intelectual de Stanford-Binet. Los resultados de este estudio revelaron que estos niños
excepcionalmente brillantes exhibían una altura, un peso y un bienestar físico general ligeramente
superiores a la media en comparación con sus compañeros. Este hallazgo intrigante llevó a la
deducción de que estos niños superdotados no son individuos frágiles o débiles, sino que poseen
33
un desarrollo físico ligeramente mayor en comparación con los niños con capacidades intelectuales
promedio. Si bien esta conclusión no se ha probado definitivamente, tiene una probabilidad
sustancial de ser fáctica.
Para garantizar la certeza total de esta conclusión, sería imperativo realizar mediciones
físicas en cada niño que obtuvo un puntaje de cociente intelectual (CI) de 140 o más en la prueba
de inteligencia Stanford-Binet. Sin embargo, incluso con tales medidas, todavía habría un nivel de
incertidumbre con respecto a las características futuras de los niños. Si bien esta deducción
imperfecta puede no permitir conclusiones infalibles, por lo general produce información confiable
que se puede usar para hacer deducciones válidas.
Se puede obtener una comprensión de las características de los eventos y fenómenos
utilizando varios métodos, a saber, la experiencia, el razonamiento y la investigación. Estos tres
enfoques para la adquisición de conocimientos están interconectados y trabajan juntos para
proporcionar una comprensión integral de la realidad. La experiencia, por ejemplo, implica
encontrar y observar eventos que suceden al azar, lo que permite una representación algo precisa
del mundo real.
Por otro lado, el razonamiento puede realizarse a través de métodos deductivos, inductivos
o hipotético-deductivos, lo que permite a las personas extraer conclusiones lógicas basadas en la
información existente. Por último, la investigación implica un proceso sistemático y empírico que
combina la experiencia y el razonamiento. Su objetivo es examinar y evaluar críticamente las
relaciones propuestas entre los fenómenos naturales, utilizando proposiciones hipotéticas como
base para la investigación. Al emplear estos tres enfoques complementarios, se puede obtener una
visión más profunda de la naturaleza de los eventos y fenómenos.
El uso de solo inducción conduce a una acumulación limitada de conocimiento e
información, lo que no contribuye significativamente al progreso científico. Además, se ha
descubierto que existen muchos problemas que no pueden resolverse únicamente mediante la
inducción. Como resultado, los académicos se dieron cuenta rápidamente de la necesidad de
incorporar aspectos importantes de los métodos inductivo y deductivo en un nuevo enfoque
conocido como método inductivo-deductivo o científico. Una de las primeras aplicaciones
conocidas de este método fue la de Sir Charles Darwin, quien la utilizó para desarrollar su teoría
de la evolución. Darwin observó extensamente los fenómenos biológicos con la esperanza de hacer
generalizaciones sobre la evolución. Durante este proceso, se adhirió a los principios de Francis
Bacon y recopiló hechos de varias fuentes sin ninguna teoría preexistente.
Inicialmente, Darwin luchó por progresar en su investigación utilizando solo la
observación. Sin embargo, después de profundizar en trabajos más académicos y participar en el
pensamiento lógico, pudo desarrollar una hipótesis preliminar que podría explicar potencialmente
los datos que había recopilado a través de la observación. Para probar su hipótesis, Darwin empleó
34
el razonamiento deductivo, haciendo deducciones lógicas y recopilando más datos para determinar
si se alineaba con su hipótesis inicial. Finalmente, a través de este riguroso proceso de
investigación, Darwin construyó con éxito su teoría de la evolución. Este enfoque, que utiliza tanto
el razonamiento deductivo como el inductivo, es ahora un sello distintivo de las investigaciones
científicas modernas, ampliamente reconocido como el método más confiable para adquirir
conocimiento.
El método científico se describe comúnmente como un enfoque sistemático empleado por
los investigadores para investigar y comprender el mundo natural. Implica una serie de pasos que
comienzan con observaciones cuidadosas, que conducen a la formación de conjeturas o hipótesis
educadas. Estas hipótesis se utilizan luego para hacer deducciones lógicas y anticipar los resultados
potenciales si la relación asumida es cierta. Para validar estas consecuencias anticipadas, se
recopilan y analizan datos empíricos. Con base en los hallazgos, las hipótesis son apoyadas o
refutadas. Este proceso cíclico asegura que el conocimiento científico se construya sobre una base
sólida de evidencia y se perfeccione continuamente a través de pruebas rigurosas.
La utilización de la hipótesis distingue de manera significativa al método científico del
razonamiento inductivo. Mientras que el razonamiento inductivo implica hacer observaciones
iniciales y luego organizar la información recopilada, el método científico implica el proceso de
razonamiento basado en los posibles resultados que se observarían si una hipótesis fuera cierta.
Después de esto, se realizan observaciones sistemáticas con el objetivo de confirmar la hipótesis
o refutarla.
Por lo tanto, el método científico se conceptualiza como una secuencia de etapas que
requieren adherencia, aunque la nomenclatura de estas etapas puede diferir entre los estudiosos, el
quid radica en transmitir la noción de que este método es un proceso de investigación organizado
que comprende componentes interconectados. Evolucionando a lo largo del tiempo, ha mantenido
su relevancia como un enfoque eficaz para comprender los intrincados reinos del mundo natural.
Las etapas constitutivas del método científico abarcan:
• identificación y aclaración del dilema en cuestión,
• formulación de hipótesis potenciales a través del razonamiento deductivo,
• recopilación y escrutinio meticulosos de datos,
• validación o negación de las hipótesis formuladas,
• presentación de hallazgos, y
• elaboración de conclusiones perspicaces.
La comprensión de la naturaleza de los fenómenos se puede lograr a través de varios
medios que incluyen la experiencia, el razonamiento y la investigación. Estos tres enfoques no se
35
excluyen mutuamente sino que se complementan en la búsqueda del conocimiento. La experiencia
implica comprometerse con los sucesos y eventos reales que suceden por casualidad, lo que
permite una aproximación más cercana a la realidad.
Por otro lado, el razonamiento puede tomar tres formas diferentes: deductivo, inductivo o
deductivo hipotético. El razonamiento deductivo, que tiene sus raíces en el silogismo aristotélico,
fue el método de razonamiento predominante hasta el Renacimiento. Sin embargo, en el siglo
XVII, Francis Bacon desafió esta confianza en el razonamiento deductivo y enfatizó la importancia
de la observación como base de la investigación científica. Bacon introdujo el método inductivo,
que consiste en estudiar casos individuales para extraer generalizaciones. Hizo hincapié en la
importancia de la evidencia empírica en la búsqueda del conocimiento.
La investigación científica implica la integración del pensamiento experimental y lógico.
Es un examen minucioso y metódico de enunciados hipotéticos sobre las conexiones potenciales
entre fenómenos naturales, empleando controles sistemáticos y evidencia empírica. La ciencia, por
otro lado, abarca un cuerpo estructurado de conocimiento que se ha acumulado a través de la
utilización del método científico. El método científico, siendo un aspecto integral de la
investigación científica, juega un papel fundamental en la adquisición de conocimientos dentro del
campo.
La existencia de la ciencia está impulsada principalmente por la necesidad de comprender
y explicar los fenómenos naturales. Esta búsqueda de conocimiento está alimentada por una
constante curiosidad por descubrir las leyes subyacentes que gobiernan el funcionamiento del
mundo. En consecuencia, surgen diferentes perspectivas y objetivos en cuanto al propósito de los
esfuerzos científicos.
Por otro lado, existen enfoques humanistas que abogan por una metodología cualitativa
que enfatiza la profundidad y la comprensión. La investigación-acción, por ejemplo, afirma que
las funciones de la ciencia pueden resumirse como "comprender para transformar". Desde este
punto de vista, el aspecto clave de la ciencia es su capacidad para contribuir a la mejora de las
condiciones de vida y efectuar un cambio positivo.
Contrariamente al positivismo, esta concepción de la ciencia permite un enfoque
ideográfico, que basa sus hallazgos en casos individuales y específicos en lugar de esforzarse por
establecer leyes generales. Los métodos cualitativos se emplean predominantemente en este
contexto. El debate entre la ciencia nomotética y la ideográfica, así como el choque entre las
perspectivas positivista y antipositivista, ha suscitado una discusión sobre la naturaleza
fundamental de la ciencia.
Existen diversas opiniones sobre el papel de la ciencia, y algunos argumentan que su
objetivo principal es contribuir al conocimiento teórico. Por ejemplo, se cree que el objetivo último
de la ciencia es el desarrollo de teorías que expliquen los fenómenos naturales. Otros académicos
36
también han destacado diferentes objetivos de la ciencia, como formular hipótesis, definir
términos, explicar la realidad, establecer leyes y generalizar. Estos objetivos se alinean con la
metodología científica clásica arraigada en el positivismo, que considera la ciencia como
nomotética, centrada en establecer leyes generales utilizando predominantemente métodos
cuantitativos. Según esta perspectiva, la ciencia tiene cuatro funciones principales: describir
fenómenos, explicar comportamientos, identificar relaciones entre fenómenos y predecir eventos
futuros en función de ciertas condiciones.
Método científico
El método científico juega un papel crucial en la formación del conocimiento científico.
Como afirma Bunge (1981), sin método científico no hay ciencia. Este método implica la
aplicación de procesos sistemáticos para resolver problemas, lo que lleva al desarrollo de la
investigación científica. Mediante la observación y la experimentación, los científicos pueden
obtener valiosos conocimientos. Sin embargo, la literatura sobre métodos de investigación revela
una diversa gama de perspectivas con respecto al método científico. Algunos autores argumentan
que existe un único método científico, aunque con variaciones, mientras que otros sostienen que
existen múltiples métodos.
Es importante comprender las fases clave del método científico con fines educativos.
Curiosamente, estas fases se alinean con el concepto de razonamiento hipotético-deductivo. En
este enfoque, los investigadores primero se involucran en el razonamiento inductivo mediante la
observación de casos específicos, que luego conducen a la formulación de hipótesis.
Posteriormente emplean el razonamiento deductivo para explorar las implicaciones de estas
hipótesis, combinando elementos del razonamiento deductivo de Aristóteles y la inducción de
Bacon.
Actualmente, la investigación en el campo de las ciencias sociales está generando
discusiones extensas y estimulantes. Los principios convencionales de la argumentación científica
y sus pretensiones de poseer una comprensión integral de la realidad han sido objeto de
cuestionamiento. Esto implica que la certeza y la objetividad asociadas al conocimiento científico
han sido cuestionadas. En cambio, muchos académicos argumentan que el conocimiento científico
debe verse como un concepto relativo, supeditado al reconocimiento y la aceptación por parte de
una comunidad científica particular en un momento dado. Además, se sugiere que el conocimiento
científico también puede verse como emergente de un contexto histórico dinámico o como
producto de un marco de influencia cultural que genera conocimiento. A la luz de estas
perspectivas, la naturaleza y validez del conocimiento científico dentro de las ciencias sociales
está siendo reevaluada y redefinida.
El surgimiento y la reconstrucción de paradigmas son el resultado de la existencia humana
dentro de la sociedad, influyéndose y siendo influenciados unos por otros. Esta interacción
37
conduce al desarrollo de una nueva racionalidad que percibe la realidad como un sistema complejo
e interconectado, conocido como "ontología sistémica" u "orden abierto". El holismo y la ecología
profunda abarcan esta perspectiva, reconociendo la interdependencia de varios fenómenos vitales
y sociales dentro del mundo. Este cambio filosófico ofrece un nuevo enfoque para comprender los
fenómenos universales y sirve como base para la investigación en ciencias sociales. A medida que
los paradigmas continúan evolucionando y se vuelven más diversos, contribuyen al avance del
conocimiento en estos campos.
Al considerar los hechos investigativos en las ciencias sociales, surgen varias cuestiones.
En primer lugar, hay una falta de integración entre la teoría y la práctica. En segundo lugar, es un
desafío generalizar los hallazgos y hacer predicciones precisas. En tercer lugar, faltan leyes
universales que puedan aplicarse en diferentes contextos. En cuarto lugar, la conexión entre la
observación y la teoría es compleja. Asimismo, los factores que se estudian suelen ser
multifacéticos e intrincados. Además, comprender las acciones cotidianas es difícil ya que la
autorreflexión de los actores siempre es incompleta. Además, existe una relación entre la
evaluación del conocimiento y la transformación de los discursos teóricos. También, la conexión
entre el conocimiento y el poder es una preocupación importante. Y por último, reconstruir la
realidad desde la perspectiva del actor es una tarea desafiante.
Como resultado, el potencial para utilizar la metodología científica en el ámbito de las
Ciencias Sociales ha sido un tema de debate. Si bien se reconocen las cualidades y limitaciones
únicas impuestas por el marco de investigación, el consenso general es que esta posibilidad es
factible. Los campos de las Ciencias Humanas y las Ciencias Sociales a menudo se cruzan, y la
elección de la terminología depende del enfoque específico del estudio de los individuos o de la
sociedad. Aunque, en la práctica, estos términos a menudo se usan indistintamente. De hecho, al
examinar la naturaleza de la humanidad, el concepto de sociedad está inherentemente entrelazado,
y viceversa.
El campo de las Ciencias de la Educación se clasifica en la categoría más amplia de
Ciencias Humanas y Sociales. Esta clasificación se basa en dos factores principales:
• La materia de las Ciencias de la Educación gira en torno al estudio de la educación en el
contexto tanto de los individuos como de la sociedad.
• Las metodologías empleadas en este campo se alinean con las comúnmente utilizadas en
Ciencias Humanas y Sociales.
Por lo tanto, es crucial reconocer el potencial de la metodología científica para ser aplicada
en el examen de los fenómenos educativos. A lo largo del siglo pasado, la extensa historia de
investigación en esta área ha demostrado consistentemente que no existen limitaciones inherentes
que impidan la aplicación de enfoques científicos y experimentales al campo de la pedagogía.
38
La pedagogía se considera un campo científico, ya que va más allá de la simple observación
y descripción de los hechos educativos. En cambio, su objetivo es proporcionar una comprensión
integral de estos fenómenos mediante el empleo del método científico. Los principios y teorías
derivados de la investigación pedagógica no deben ser vistos como absolutos o predeterminados,
sino más bien con un grado de probabilidad o aleatoriedad.
Debido al desarrollo relativamente reciente de las Ciencias de la Educación, actualmente
se las considera en un estado de protociencia, o ciencia embrionaria. Esto a veces puede llevar a
confusión, ya que a veces se confunde la Pedagogía con una pseudociencia. El concepto de
pseudociencia se refiere a una colección de creencias o ideologías que algunas personas perciben
como de naturaleza científica. No obstante, es importante señalar que muchos autores no han
logrado distinguir entre investigación educativa y pedagogía experimental.
En general, los estadounidenses tienden a referirse a la investigación educativa, mientras
que los europeos suelen hablar de pedagogía experimental. A lo largo de la historia de la
investigación educativa, ha habido un enfoque en la pedagogía experimental. Sin embargo, a
medida que el campo ha evolucionado, ha habido un cambio gradual hacia la discusión de los
métodos de investigación.
Algunos autores, como J. Simon, Th. Simon, Dottrens y Mialaret, han hecho una clara
distinción entre pedagogía experimental e innovación pedagógica. La pedagogía experimental
implica actividades científicas cuidadosamente planificadas, controladas y sistemáticas. Requiere
la medición, el control y el establecimiento de leyes. Por otro lado, la innovación pedagógica se
refiere a la introducción de nuevos métodos de enseñanza y aprendizaje a modo de prueba. Es más
un arte que una ciencia y se puede ver en las contribuciones de figuras influyentes como Comenio,
Rousseau, Pestalozzi, Reddie, Desmolins, Claparéde, Ferrière, Kerchensteiner, Parkhurst,
Washburne, Frienet, Carl Rogers y los no- enfoque de orientación directiva.
El concepto de investigación educativa es increíblemente complejo y expansivo, por lo que
es difícil proporcionar una definición concisa. Numerosos individuos han intentado definirlo,
dando como resultado una variedad de intentos de definición. Algunos ejemplos notables incluyen
la afirmación de Best en 1972 de que la investigación educativa es un "proceso formal, sistemático
e intensivo que aplica el método científico de análisis". Travers, en 1979, lo describió como una
actividad enfocada en desarrollar un cuerpo bien organizado de conocimiento científico sobre
temas que interesan a los educadores. Kerlinger, en 1985, la definió como una investigación
empírica, sistemática y controlada que examina críticamente proposiciones hipotéticas sobre las
relaciones entre fenómenos naturales. Hayman, en 1979, vio la investigación educativa como parte
de las ciencias del comportamiento que tiene como objetivo comprender, explicar, predecir y, en
cierta medida, controlar el comportamiento humano. Por último, Sánchez V. en 1998 afirmó que
la pedagogía experimental engloba cualquier cuestión pedagógica que pueda ser explorada a través
de la experiencia.
39
Teniendo en cuenta que una definición simple siempre resultará muy pobre para un
concepto tan amplio como el de método de investigación, se puede intentar expresar el concepto
actual de investigación educativa como "...conocimiento sistemático sobre métodos científicos
aplicados a la investigación educativa empírica". Naturaleza".
Quintiliano, figura destacada en el campo de la investigación pedagógica durante el siglo I
d.C., se destaca como uno de los primeros educadores que se dedicó al estudio sistemático de los
métodos de enseñanza. Su renombrado trabajo sobre las instituciones de oratoria demostró su
profundo conocimiento de los aspectos empíricos de la pedagogía. Avanzando hacia el período del
Renacimiento, nos encontramos con Luis Vives, un erudito importante que contribuyó aún más al
avance de la pedagogía. En su influyente tratado sobre la enseñanza, Vives enfatizó la importancia
de la observación, la experimentación y la inducción como pilares fundamentales de la educación.
Al destacar estas figuras clave y sus respectivas contribuciones, obtenemos una comprensión
integral de la evolución histórica de la investigación pedagógica y su profundo impacto en el
campo de la educación.
En el ámbito de la innovación educativa, es importante reconocer la importante revolución
que se produjo, marcada por una sucesión de movimientos iniciados por figuras influyentes como
Rousseau, Pestalozzi y Froebel. Un ejemplo notable de un movimiento de renovación en el siglo
XX es la Escuela Activa, en la que Maria Montessori creía firmemente. Montessori estaba
convencida de que educar a las generaciones en los principios y técnicas de una "pedagogía
científica" activa conduciría a mejoras en la vida humana y social. orden. Central a este enfoque
fue el reconocimiento del papel crucial que juegan los materiales didácticos y la personalidad del
maestro.
Montessori enfatizó el concepto de la "mentalidad absorbente" de los niños, destacando su
inmensa capacidad para beneficiarse de los "períodos sensibles" durante sus primeros años, que
moldearían su mundo interior e influirían en el desarrollo de su personalidad. Contribuyendo a la
innovación pedagógica, J. Dewey desempeñó un papel importante a través del movimiento New
School. Su obra, "Cómo pensamos", se convirtió en una referencia seminal en la metodología
científica, estableciendo los pasos del método de investigación. A principios del siglo XX comenzó
el surgimiento de trabajos sistemáticos sobre "pedagogía experimental", con contribuciones
notables de Rice, Lay, Meumann, Binet, Mann, Claparéde, Richard, McCall, Simon y otros. Se
consideró que la investigación educativa había surgido simultáneamente tanto en Europa como en
los Estados Unidos durante este tiempo. Inicialmente, el método experimental tomó protagonismo
en las investigaciones pedagógicas, haciendo prácticamente exclusiva la metodología cuantitativa.
En los últimos tiempos, ha habido un mayor énfasis en discutir y explorar la pedagogía
experimental en el campo de la educación. En el pasado, la historia de la investigación educativa
giraba principalmente en torno al desarrollo y la implementación de enfoques pedagógicos
experimentales. Sin embargo, el panorama ahora ha evolucionado y la experimentación
40
pedagógica se reconoce como solo una de las muchas metodologías empleadas en la investigación
educativa. Este cambio significa que se está utilizando una gama más amplia y diversa de
metodologías de investigación. En consecuencia, hay varias tendencias notables en la
investigación educativa que han surgido en respuesta a este enfoque ampliado. Estas tendencias
abarcan una multitud de aspectos, incluidas técnicas de enseñanza innovadoras, avances
tecnológicos y la exploración de estrategias educativas alternativas, entre otros:
• De la pedagogía experimental a los métodos de investigación educativa: El concepto
original de pedagogía experimental se ha ampliado a través de nuevos métodos de
investigación. El cambio de concepto refleja el cambio profundo de enfoque y contenido.
• Diseños cuasiexperimentales: Los diseños cuasiexperimentales con controles parciales,
típicos de los experimentos de campo, tienden a reemplazar los experimentos de laboratorio
con control máximo, pero carecen de validez ecológica.
• Estudios expostfacto: Cada vez hay más interés por este tipo de estudios, en los que no se
manipulan variables independientes, sino que se inician investigaciones “después del
hecho”.
• Análisis multivariado: En los métodos cuantitativos se observa la sustitución de la
estadística clásica por los métodos multivariados.
• Estadística informática: El advenimiento de las computadoras ha hecho posible la
aplicación de métodos multivariados en el análisis de datos a través de programas
informáticos. El proceso de cálculo mecánico ha pasado a un segundo plano.
• Metanálisis: El metanálisis se puede realizar en una gran cantidad de datos de múltiples
encuestas que se han realizado. Es un método cuantitativo.
• Metodología cualitativa: Se encuentra en la posición opuesta al método tradicional
cuantitativo característico. La investigación etnográfica y las técnicas de triangulación son
ejemplos ilustrativos de esta tendencia.
• Investigación acción: Investigación dirigida a la solución de problemas específicos sin
preocuparse demasiado por ampliar conocimientos teóricos.
• Investigación descriptiva: Describir y explicar hechos. Está interesado en las condiciones
o relaciones existentes; prácticas actuales; creencias, puntos de vista y actitudes actuales;
procesos que tienen lugar; efectos de fieltro; o desarrollar tendencias, con el objetivo
principal de indicar el statu quo.
• Investigación histórica. Es el proceso complementario de observación mediante el cual los
historiadores intentan verificar la precisión de los informes de observación de otros. Su
finalidad principal es decirnos qué es.
41
No existe una jerarquía definitiva entre estas tendencias, ya que cada una tiene sus propios
méritos. La elección de qué tendencia emplear en un estudio de investigación está influenciada por
el problema específico que se aborda y el tipo de datos requeridos. En ciertos casos, puede ser
lógico pasar de un tipo de investigación a otro. Alternativamente, se puede realizar inicialmente
un estudio histórico para obtener información sobre investigaciones previas realizadas sobre el
tema. Posteriormente, un estudio descriptivo puede ofrecer una instantánea del estado actual del
problema pedagógico. Armados con esta información, los investigadores pueden embarcarse en la
experimentación para descubrir las relaciones entre las variables que ya se han explorado en otros
tipos de estudios.
A pesar del uso extensivo del método científico y la acumulación de conocimiento
confiable en la educación, todavía no alcanza el nivel científico alcanzado por las ciencias
naturales. Las ciencias sociales, incluida la educación, se han esforzado por establecer
generalizaciones que posean el mismo poder explicativo y precisión predictiva que las teorías de
las ciencias naturales. Los sociólogos a menudo pasan por alto ciertos hechos que se dan por
sentados o brindan explicaciones que simplemente satisfacen la clarificación de esos hechos. No
está claro si las ciencias sociales alguna vez podrán cumplir plenamente los objetivos de la
investigación científica, como lo han hecho las ciencias naturales.
Es importante señalar que el método científico no garantiza un éxito constante, ya que su
aplicación en la educación y otras ciencias sociales enfrenta varias limitaciones. Un obstáculo
importante es la complejidad inherente del tema de las ciencias sociales. A diferencia de las
ciencias naturales, que se ocupan de los fenómenos físicos y biológicos, los sociólogos estudian el
comportamiento y el desarrollo humanos tanto a nivel individual como grupal. Las variables en
juego en estos estudios son numerosas y deben tenerse en cuenta para comprender la naturaleza
intrincada del comportamiento humano.
Cada individuo posee cualidades únicas en términos de su desarrollo, mentalidad,
comportamiento social y emocional y personalidad en general. Los sociólogos también deben
examinar el comportamiento colectivo y cómo las acciones de los miembros del grupo influyen en
los individuos. El comportamiento de un grupo de estudiantes de primer año, por ejemplo, puede
variar según la situación específica en la que se encuentren. Los estudiantes, los profesores y el
entorno contribuyen con variables que dan forma a los fenómenos de comportamiento observados,
por lo que es crucial que los investigadores sociales ejerzan precaución al hacer generalizaciones.
Los datos obtenidos de un grupo en una situación particular pueden no ser válidos para
otros grupos o situaciones. En contraste con las ciencias naturales, donde un químico puede
observar objetivamente las reacciones entre las sustancias en un tubo de ensayo y replicar
fácilmente sus observaciones, la reproducción de experimentos en las disciplinas sociales es
mucho más desafiante. Un educador estadounidense, por ejemplo, no puede replicar las
condiciones exactas del método de enseñanza experimental de un educador ruso con la misma
42
precisión que un químico podría replicar un experimento ruso. Incluso dentro de la misma escuela,
es casi imposible replicar una situación con precisión.
Otro tema que surge en el estudio de los fenómenos sociales es el potencial del acto mismo
de observación para causar cambios que de otro modo no habrían ocurrido. Los investigadores
pueden creer erróneamente que X es la causa de Y, cuando en realidad es su mera observación de
X la responsable de la aparición de Y. Este fenómeno se demostró en un experimento en el que los
cambios en el rendimiento de los estudiantes no se debieron realmente a cambios en el trabajo.
condiciones, sino más bien el hecho de que los estudiantes sabían que estaban siendo seleccionados
para una investigación.
La presencia de investigadores como observadores en una situación puede alterar el
comportamiento de los sujetos, aunque el uso de cámaras y grabadoras ocultas puede ayudar a
minimizar esta interacción. Sin embargo, gran parte de la investigación en ciencias sociales se basa
en las respuestas de los sujetos humanos a los observadores humanos, lo que dificulta eliminar por
completo esta influencia. A diferencia de las ciencias naturales, donde los experimentos se pueden
realizar con un control rígido de las condiciones en un entorno de laboratorio, los sociólogos a
menudo tienen que trabajar en condiciones menos precisas y estudiar múltiples variables
simultáneamente. Se esfuerzan por identificar y controlar tantas variables como sea posible, pero
la complejidad de este tipo de investigación presenta desafíos únicos para mantener el control.
Además, los instrumentos de medición utilizados en las ciencias sociales no son tan perfectos y
precisos como los de las ciencias naturales, ya que carecen de la precisión de herramientas como
reglas, termómetros e instrumentos de laboratorio.
Comprender el comportamiento humano se complica aún más por la multitud de variables
que actúan de forma independiente y en interacción. Las técnicas estadísticas empleadas en el
análisis de los datos de las ciencias sociales solo pueden dar cuenta de un número limitado de estos
factores que interactúan y solo pueden atribuir la variación a los factores presentes en el momento
de la medición. Los factores que han influido en el pasado no son medibles en el presente, a pesar
de su impacto significativo.
La complejidad de las interpretaciones derivadas de la investigación en las ciencias sociales
plantea un desafío y justifica una cuidadosa consideración por parte de los experimentadores
cuando intentan extraer generalizaciones. A menudo es necesario realizar múltiples estudios en un
área específica antes de hacer tales generalizaciones con seguridad. Solo cuando los hallazgos
iniciales se replican y validan consistentemente, estas generalizaciones pueden considerarse más
confiables. A pesar de las limitaciones antes mencionadas, ha habido un avance significativo en la
pedagogía y las ciencias sociales. Además, es razonable anticipar una mayor elevación en su rigor
científico y calidad a medida que la investigación y la metodología continúan evolucionando con
un enfoque más sistemático y riguroso.
43
Matemáticas: el problema didáctico filosófico
Maurice Fréchet, el renombrado matemático francés que vivió entre 1878 y 1973, es
ampliamente reconocido por sus importantes contribuciones al establecimiento de los conceptos
fundamentales de topología de conjuntos, espacios abstractos y análisis funcional. Sin embargo,
su destreza intelectual se extendió mucho más allá de estos ámbitos, ya que también hizo valiosas
contribuciones a otras disciplinas como la teoría de la probabilidad, la estadística, la geometría y
el análisis clásico.
Entre su generación de investigadores, Fréchet se destacó por su gran interés por
contemplar la enseñanza, la filosofía y la historia de las matemáticas, impulsado por su fascinación
por las aplicaciones prácticas de las matemáticas y sus manifestaciones tangibles. Su extenso
cuerpo de trabajo, particularmente sus publicaciones sobre la "desaxiomatización" de las
matemáticas, ofrece una visión profunda de esta área de interés. La perspectiva de Fréchet sobre
la relación entre las matemáticas y la experiencia se puede resumir de la siguiente manera: las
matemáticas son un producto de la construcción intelectual lograda a través de un proceso de
síntesis inductiva, donde las sucesivas esquematizaciones se derivan de los fenómenos del mundo
real.
En las diversas publicaciones donde expuso esta idea, Fréchet adoptó una postura crítica
frente a los desafíos asociados al método axiomático-deductivo tanto en la investigación como en
la educación matemática. Esta oposición formó la base de sus reflexiones filosóficas, históricas y
pedagógicas sobre las matemáticas. Si bien reconoció la utilidad del método axiomático para
establecer las matemáticas sobre un pequeño conjunto de principios fundamentales, Fréchet
enfatizó la necesidad de validar la definición lógica de un objeto a través de la representación
experimental, tanto en la enseñanza como en la investigación. Esta función crucial, que denominó
"desaxiomatización", subrayó la importancia de alinear los conceptos teóricos con la evidencia
empírica.
Sin embargo, el concepto de desaxiomatización no solo cumple un propósito pedagógico
para Fréchet, sino que también cumple una necesidad lógica en la verificación de una teoría
matemática integral. Al profundizar en un cautivador discurso histórico entre Fréchet y Bourbaki,
profundizaremos en las diferentes interpretaciones de "aplicación" y "verificación" en la
justificación de una teoría matemática, centrándonos específicamente en las investigaciones
pioneras de Fréchet sobre los espacios métricos. Esta exploración nos llevará en última instancia
a analizar críticamente el papel lógico que Fréchet atribuye a la desaxiomatización en el
establecimiento del conocimiento matemático, utilizando el diferencial abstracto de Fréchet como
caso de estudio, y a dilucidar su propuesta filosófica sobre la interacción entre las matemáticas y
la experiencia empírica.
Didáctica y la axiomática
44
La primera publicación de Fréchet, que transmitía sus puntos de vista didácticos y
filosóficos sobre las matemáticas y la experiencia, se pronunció como conferencia inaugural del
curso de análisis en la Universidad de Estrasburgo el 17 de noviembre de 1919. Esta conferencia
fue un momento significativo para Fréchet, ya que formaba parte de un equipo de profesores
encargado por el gobierno de organizar estudios superiores en Alsacia, tras el restablecimiento del
control político francés después de la devastadora guerra.
En esta conferencia inaugural, Fréchet asumió el papel de una persona encargada de una
misión académica crucial en un período políticamente desafiante. Para enfatizar su punto, Fréchet
hizo referencia al matemático alsaciano Louis-François-Antoine Arbogast, destacando su biografía
intelectual y sus contribuciones matemáticas. En particular, Fréchet se centró en las opiniones de
Arbogast sobre el plan general de instrucción pública adoptado por la Convención Nacional. Según
Arbogast, el método de descubrimiento del conocimiento es también la forma más eficaz de
comunicarlo, ya que permite a cualquier persona, independientemente de sus capacidades,
comprender la cadena de ideas que lleva a la invención de un concepto. Todo lo que los individuos
necesitan es un procedimiento que satisfaga su inteligencia, guiándolos a través de las ideas
intermedias que unen lo conocido y lo desconocido. Fréchet señaló que los métodos históricos no
deben usarse a ciegas, y si existe un enfoque más directo para introducir ciertos conocimientos,
sería innecesario hacer que los estudiantes se desvíen del método inicial. Arbogast creía que este
procedimiento directo se alineaba con el método de análisis.
Parece que el enfoque de Fréchet para la enseñanza de las matemáticas implica un
procedimiento específico. Primero se presenta brevemente el problema, luego se identifica la
dificultad principal y finalmente se guía al alumno a través de una serie de aproximaciones para
superar dicha dificultad. Fréchet cree que este método de exposición se alinea con los objetivos de
instrucción pública en la primera república, como defendía Arbogast.
Fréchet rechaza el enfoque que presenta la ciencia como una revelación divina, con lemas,
teoremas y corolarios perfectamente demostrados, siguiendo una ley misteriosa e inaccesible. En
cambio, enfatiza la importancia de comenzar con axiomas y conceptos que sean intuitivos para el
estudiante, en lugar de imponerlos como nociones o postulados abstractos. La reconstrucción del
trabajo de abstracción del autor es necesaria para mantener la confianza del estudiante en la teoría.
Fréchet sostiene que la enseñanza de las matemáticas debe reconocer que el enunciado axiomático
y la parte deductiva de una teoría son el resultado de un trabajo previo, lo que justifica el uso de
axiomas.
Por lo tanto, la exposición dogmática que se basa únicamente en axiomas no refleja la
realidad de la actividad matemática. En su conferencia sobre el origen de las matemáticas, Fréchet
afirma que la imposición de la aritmetización en una teoría axiomatizada no significa que queden
excluidas las representaciones intuitivas o las conexiones con el mundo físico. Él cree que las
45
matemáticas no pueden ser un ámbito autónomo al margen de las influencias externas, sino que
están influenciadas por nuestra comprensión y experiencias.
El concepto de número entero no es algo que exista independientemente de su contexto.
Más bien, es una forma de expresar una característica común que se puede encontrar en varias
colecciones. Esto es similar a cómo la masa es una característica que se puede encontrar en
diferentes cuerpos. Además, el concepto de número se considera una noción científica fundamental
porque se separó de las complejidades de las negociaciones humanas, no porque sea el concepto
más simple. Este mismo punto de vista también se aplica al concepto de infinito. Según Fréchet,
la idea de una sucesión infinita contable no es algo que surja de la intuición pura o de la inducción
matemática. En cambio, es todo lo contrario. Inicialmente, las secuencias infinitas de números
enteros se aceptan en la aritmética porque sirven como representaciones convenientes de objetos
concretos, de forma similar a como se aceptan las líneas euclidianas.
Durante una conferencia celebrada en Berna en 1925, Fréchet discutió el método más
efectivo para enseñar matemáticas. Si bien reconoció la importancia del enfoque axiomático-
deductivo, que había ganado prominencia debido a la escuela Hilbert en Göttingen, Fréchet
defendió el valor de un programa de desaxiomatización tanto en la enseñanza como en la
investigación. Aclaró que no se oponía a la tendencia imperante de basar los principios científicos
en un número mínimo de conceptos simples, ya que personalmente había empleado este método
de manera extensiva en sus trabajos de 1904 a 1925.
En sus investigaciones, Fréchet se centró en distinguir y extraer propiedades de la teoría de
conjuntos lineales (como partes de R y Rn) y la teoría de funciones reales que eran independientes
de la naturaleza de los objetos considerados. Si bien Fréchet no utilizó explícitamente el término,
podemos entender que propuso referirse a esta clase formal de propiedades o proposiciones
matemáticas como Teoría de los Espacios Abstractos.
Fréchet amplió su clase inicial y desarrolló una clase más compleja de proposiciones y
teorías denominada Análisis General, que incluía un capítulo específico sobre Análisis Funcional.
Fréchet creía que el método deductivo jugó un papel crucial en esta expansión al proporcionar una
selección de axiomas que podrían establecer una gama más amplia de conceptos matemáticos. Por
ejemplo, al introducir la axiomática de la métrica y sus propiedades topológicas asociadas, Fréchet
pudo estructurar la teoría de los espacios métricos. Esta teoría allanó el camino para el examen de
varias clases de espacios funcionales, como los compuestos por funciones continuas, funciones
analíticas y curvas. A pesar de sus diferencias, todos estos espacios funcionales compartían una
estructura común gracias a los avances realizados en la teoría del espacio métrico. El uso de
Fréchet de procedimientos axiomáticos y formales se empleó una vez más para definir la topología
del espacio, esta vez no en términos de métricas, sino estudiando la convergencia de secuencias
contables o familias de vecindarios. Este enfoque dio lugar a clases y teorías de espacios
topológicos aún más completas.
46
En la Introducción a Espaces Abstraits, Fréchet analiza el enfoque utilizado para establecer
las bases del análisis general. Este enfoque implica dos fases bien diferenciadas. En primer lugar,
implica formular un conjunto de definiciones que capturen las propiedades esenciales de los
conceptos tomados del análisis clásico en su forma más abstracta posible. En segundo lugar,
requiere extender los principios básicos del análisis clásico a partir de estas definiciones abstractas.
Fréchet reconoce que para ser considerado un objeto matemático válido en el ámbito del análisis
general, estas proposiciones generalizadas deben ser probadas dentro del nuevo marco teórico.
Sin embargo, sugiere que en ciertos casos, este requisito puede pasarse por alto y la
demostración puede considerarse "lista" si se alinea con los conceptos y propiedades establecidos
en el marco teórico anterior. En tales casos, basta con presentar los conceptos y propiedades
utilizados en la estrategia demostrativa anterior. Este tipo de razonamiento procede en la dirección
analítica tradicional basada en el sistema de definiciones. Un ejemplo de este enfoque se puede
ver en el argumento de la "prueba" de compacidad en espacios abstractos, que se examinará en la
siguiente discusión.
Aunque, hay casos en los que no es inmediatamente obvio si una proposición que se
sospecha que es generalizable se acepta lógicamente por extensión a un nuevo marco. En estas
situaciones, el proceso de razonamiento adopta un enfoque sintético, adaptando las definiciones
para que se ajusten a ciertas condiciones. En ambos casos, es necesario analizar y examinar
cuidadosamente las demostraciones conocidas para identificar las hipótesis esenciales y, si es
posible, expresarlas en forma abstracta. A veces, puede ser necesario abandonar una prueba que
era válida en un caso específico si no puede generalizarse, y debe buscarse una prueba
completamente diferente.
Este enfoque se puede observar en las primeras investigaciones de Fréchet sobre espacios
abstractos, como su publicación de 1904 sobre la generalización de un teorema de Weierstrass. En
este trabajo, Fréchet introduce un conjunto de conceptos fundamentales por primera vez en
matemáticas, incluyendo conjuntos abstractos, funciones u operaciones funcionales (uniformes),
continuidad de funciones (precedida por la introducción de la convergencia de sucesiones
contables en la topología del espacio), y conjuntos compactos. Si bien este sistema de definiciones
es innovador, también es bastante esquemático y se perfeccionará en los años siguientes.
El siguiente paso consiste en extender la propiedad de Weierstrass, que se aplica a
funciones continuas de valores reales, a espacios abstractos. Fréchet considera que se trata de una
cuestión puramente matemática y lógica. No obstante, no proporciona la prueba de este "teorema"
en su breve nota. En cambio, se centra en la importancia de su contribución, que radica en su
capacidad para caracterizar la compacidad en términos de la convergencia de secuencias,
demostrar propiedades interesantes de conjuntos compactos, establecer la equivalencia entre la
compacidad y la acotación y el cierre de intervalos en los números reales. , y mostrar la relevancia
del teorema de Weierstrass en varias dimensiones e incluso en espacios con dimensiones infinitas.
47
Fréchet enfatiza las amplias aplicaciones de estas proposiciones abstractas, a pesar de su naturaleza
aparentemente esotérica.
Espacios métricos
El concepto de "aplicación" o "verificación" de una teoría general juega un papel crucial
en la comprensión de la idea de "desaxiomatización" de Fréchet. Para profundizar en las diversas
modalidades que toma esta noción en las concepciones de Fréchet, relataremos una intrigante
discusión entre Fréchet y Bourbaki con respecto a las opiniones de este último sobre la
contribución de Fréchet a la topología general. Específicamente, nos interesa explorar cómo se
emplean las nociones de "aplicación" y "verificación" para justificar la teoría de los espacios
métricos. En un manuscrito que se cree que fue escrito en 1960, Fréchet expresa su descontento
con la evaluación de Bourbaki sobre su contribución a los espacios topológicos.
Destaca que en su Tesis de 1906, cuando introdujo el concepto de distancia o "écart" y
sentó las bases de la teoría de los espacios métricos, tuvo mucho cuidado en demostrar que no se
trataba de una generalización artificial. Logró esto proporcionando dos ejemplos simples pero
significativos (que fueron importantes en el análisis). Estos ejemplos son el espacio de funciones
holomorfas dentro de un dominio y el espacio de curvas de Jordan continuas:
• El primer concepto se refiere a un tipo específico de funciones complejas, denominadas f,
que se definen en una región plana fija llamada A. Estas funciones son holomorfas en A,
lo que significa que son analíticas y tienen derivadas complejas en cada punto de A.
• El segundo ejemplo se refiere a una clase de curvas continuas en R3. A diferencia del
primer ejemplo, estas curvas no se definen estrictamente como tripletes de funciones reales
continuas en un intervalo cerrado finito de reales. En cambio, se definen como un conjunto
de puntos ordenados linealmente en R3, resultantes de la representación paramétrica de la
curva en diferentes modalidades.
Fréchet introduce el concepto de distancia entre dos curvas continuas C1 y C2. Establece
una correspondencia biunívoca y bicontinua entre los respectivos puntos de las curvas,
determinando una distancia superior. La distancia se define entonces como el límite inferior
de esta distancia superior. En su Tesis, Fréchet resume sus ideas sobre la generalización y
demostración de nociones generalizadas, que desarrollará en otras publicaciones.
Menciona que la segunda parte de su Tesis pretende aplicar los resultados generales de la
primera parte a clases de determinada naturaleza. Sin embargo, reconoce la dificultad de
elegir estos ejemplos, ya que deben cumplir las condiciones generales necesarias para la
validez de los teoremas de la primera parte. Fréchet llama la atención sobre las modalidades
específicas de la definición de la métrica en los espacios de curvas y funciones holomorfas,
que le permitieron superar esta dificultad.
48
Estos elementos son la base de la referencia que hace Fréchet a los dos ejemplos de espacios
métricos en su manuscrito. Vale la pena señalar que Fréchet había expresado previamente
su reacción a las notas históricas en “Eléments de Mathématique” de Bourbaki, en
particular con respecto a la apreciación de su trabajo y la concepción de la historia de las
matemáticas. Según Fréchet, no se aclara ni menciona suficientemente que la mayoría de
las nociones matemáticas han sido inventadas para resolver problemas específicos
planteados por otras ciencias o técnicas.
La controversia tuvo lugar antes de la aparición de los “Elements d'histoire des
mathématiques”. Es probable que Fréchet haya enviado una comunicación a Dieudonné
expresando sus opiniones, a lo que Dieudonné respondió el 23 de septiembre de 1950. Dieudonné
resume la postura de Bourbaki sobre la obra de Fréchet con dos preguntas. En un trabajo separado,
hemos discutido los puntos de vista de Dieudonné Bourbaki sobre los espacios abstractos de
Fréchet con la topología de convergencia de secuencias, conocida como las clases (L). Dieudonné
enfatiza la idea de que el enfoque de Bourbaki a las teorías matemáticas es esencialmente
pragmático. Creen que el interés de una teoría está determinado por su variedad y alcance de
aplicaciones en otras áreas de las matemáticas. El nivel de generalidad de una teoría es de poca
importancia en comparación con su adaptabilidad a diferentes aplicaciones.
Independientemente de la perspectiva de Dieudonné-Bourbaki sobre el papel de Fréchet en
el desarrollo de la topología general y el análisis funcional, es crucial destacar que esta opinión,
con sus cambios y sutilezas posteriores, tiene sus raíces en la creencia de Fréchet en la practicidad
de una teoría como factor determinante. para su aceptación. Por supuesto, esta interpretación
supone que nuestra comprensión de las ideas de Fréchet es precisa.
En la actualidad, se está en una posición más ventajosa para definir una de las funciones
más fascinantes que Fréchet asigna al proceso de desaxiomatización en su filosofía de las
matemáticas. Para ello, hagamos un breve resumen de la descripción que hace Fréchet del método
axiomático. Esto involucra dos pasos principales:
• Crear conceptos matemáticos basados en objetos empíricos; o, como dice Fréchet, deducir
las definiciones de las ideas introducidas a través de la experiencia utilizando
procedimientos lógicos; y
• otro paso que puede verse como la formulación y prueba de proposiciones que afirman
propiedades de estos objetos a través de supuestos apropiados y modos específicos de
razonamiento (observación). Según Fréchet, este segundo paso consiste en "intentar
demostrar lógicamente las leyes de la observación a partir de hipótesis adecuadas". Por lo
tanto, la desaxiomatización implica comprometerse con campos científicos que han
alcanzado un alto nivel de axiomatización y realizar un proceso inverso al que hace la
mente cuando forma conceptos matemáticos a partir de objetos empíricos (no elementales).
49
Él cree que los científicos tienen la responsabilidad de contribuir al avance de la ciencia,
pero que también deben examinar el progreso realizado y evaluar el impacto de los esfuerzos
individuales. Esto es particularmente importante para prevenir los efectos negativos de la tradición
y las tendencias. Si bien esta perspectiva se aplica a menudo en el campo de las matemáticas, aún
no se considera una doctrina formal. En su conferencia de 1925, Fréchet aprovechó la oportunidad
para desarrollar sus ideas sobre la desaxiomatización, brindando algunos ejemplos básicos como
la definición de la longitud de un círculo, la definición geométrica de una tangente a una curva y
la definición de la diferencial de un función de variable real.
Centrémonos en el ejemplo de la definición de la longitud de un círculo. Intentaremos
comprender el pensamiento de Fréchet sobre los procesos de razonamiento que llevarían a alguien
a establecer la definición a partir de su comprensión de la realidad circundante. Aunque Fréchet
no lo menciona explícitamente en su conferencia, distingue entre las matemáticas como marco
teórico o conjunto de proposiciones, y las matemáticas como actividad cognitiva humana que sigue
modalidades y procedimientos lógicos específicos. Sugiere que los individuos se enfrentan a un
mundo de objetos tangibles, que perciben y forman representaciones mentales en función de sus
características espaciales y temporales. Es a través de su experiencia con estos objetos que las
personas encuentran el problema práctico de determinar la longitud de una placa de hierro
necesaria para asegurar una rueda de carruaje. Este proceso implica la utilización de varios
conceptos y principios.
Al tratar de comprender la perspectiva de Fréchet sobre la relación sujeto-objeto y su
conexión con el razonamiento, encontramos una falta de interpretación filosófica en sus
publicaciones. Vale la pena examinar de cerca esta ausencia. Imaginemos, contra toda evidencia,
que Fréchet sí proporciona una representación de esta circunferencia del objeto desconocido en
términos de las tesis kantianas sobre la percepción objetiva. Sin embargo, este conocimiento
básico, como la longitud de un plato que se ajusta alrededor de una rueda, solo puede ser posible
como el primer paso en una serie de actos subjetivos de constitución.
Más adelante quedará claro que Fréchet nunca estaría de acuerdo con una interpretación
como esta. En realidad, Fréchet cree que esta noción es "impuesta" al sujeto por la experiencia.
Esta experiencia, difícil de definir y anterior a toda conceptualización, tiene también la capacidad
intrínseca de proyectar esta noción experimental sobre el sujeto. Hasta ahora, hemos identificado
dos aspectos clave de la comprensión de la experiencia de Fréchet. Sin embargo, la explicación
filosófica también está ausente cuando se trata del segundo paso del método axiomático. Este paso
implica el acto del sujeto que conduce a la "definición lógica", que se encuentra comúnmente en
los libros de geometría. Esta definición establece que la longitud de la circunferencia es el límite
de la longitud total de un polígono regular convexo inscrito en la circunferencia, cuando la longitud
de los lados del polígono tiende a cero.
50
A diferencia de la definición física o experimental, la definición geométrica o lógica es una
combinación lógica de nociones anteriores. Fréchet, naturalmente, no piensa en esta combinación
en términos de juicios que conectan conceptos de objetos, propiedades y relaciones. Tampoco
considera los diversos actos de exhibición de estos objetos y clases de objetos, y las conexiones
entre ellos. Si lo hubiera hecho, habría necesitado pensar en los criterios que el sujeto cognoscitivo
debe activar en su conciencia para identificar objetos individuales y producir la definición de
longitud a través del razonamiento.
Para ello habría sido necesario tener en cuenta la intervención de la intuición pura, que
asegura la unidad de la conciencia objetiva en síntesis. Fréchet elude una vez más el problema del
a priori apoyándose en su idea de experiencia como instancia fundante. Según Fréchet, el único
objetivo de la definición geométrica es permitir la predicción de la evaluación física de la longitud.
Esto se debe a que no tiene una garantía lógica de que el número derivado de la definición
geométrica se alinee con el número que representa la definición física. El acuerdo entre ambos es
meramente probable.
En el entendimiento hay una serie de observaciones experimentales que han sido
almacenadas inconscientemente. El geómetra ya había descubierto que cuando usaba una cuerda
sobre ruedas ligeramente irregulares con el mismo diámetro, encontraría más o menos la misma
longitud. Este hallazgo apunta a la concepción de experiencia de Fréchet, que sugiere que es la
única garantía irrefutable de la validez de las proposiciones matemáticas. Según Fréchet, es
necesario volver a la experiencia para examinar la correspondencia entre la definición lógica
(geométrica) y la definición experimental. Esto implica la categoría de desaxiomatización, que
desempeña un papel en la verificación directa o indirecta de la consecuencia matemática de una
hipótesis física.
La verificación es particularmente importante en la educación, ya que ayuda a los
estudiantes a comprender que nuestro conocimiento científico solo proporciona una comprensión
aproximada de la realidad y que una teoría deductiva por sí sola no puede explicar completamente
el mundo físico. En resumen, Fréchet cree que las matemáticas están determinadas por la
experiencia de dos maneras. Los objetos matemáticos, ya sean diferenciales abstractos o integrales,
tienen un valor intrínseco dentro de una teoría axiomático-deductiva, pero también están
"determinados por la experiencia" a través de su construcción mediante síntesis inductiva y
mediante verificación experimental en aplicaciones teóricas y prácticas. Existe una
correspondencia entre estas dos operaciones, y se necesita una herramienta específica para
descifrar esta relación. Esta herramienta puede verse como un "vocabulario" que traduce la teoría
en experiencias, estableciendo una conexión entre nociones abstractas y realidades concretas. El
desciframiento de este vocabulario se hace evidente en el proceso de síntesis inductiva, cuando
buscamos comprender las razones para adoptar un sistema de axiomas y las condiciones que hacen
plausible la teoría.
51
Fréchet tomó prestada la frase "vocabulario para la traducción de teorías en experiencias"
del probabilista William Feller, quien creía que en el estudio de la relación entre las matemáticas
y la experiencia, era importante distinguir entre dos problemas. El primer problema es que la teoría
matemática puramente formal tiene como objetivo crear una representación de los fenómenos
externos que sea lo más similar posible.
El segundo problema es desarrollar un vocabulario que permita traducir las teorías en
experiencias y aplicarlas de manera práctica. En un comentario, Fréchet explica cómo adopta esta
noción de vocabulario y la distingue de otras concepciones populares de la época. Aclara que Feller
no pretende que este vocabulario sea fijo e invariable. En cambio, es una correspondencia entre
realidades concretas y conceptos abstractos que evolucionan con teorías científicas. El vocabulario
de Feller es específico de una teoría en particular y no puede verse como una correspondencia
permanente.
Sin embargo, es a través del examen de la teoría del diferencial abstracto de Fréchet que se
hace evidente su comprensión de la dialéctica síntesis-axiomatización-formalización-
desaxiomatización. Esta teoría, que introdujo en 1925, se considera una de sus contribuciones más
originales al campo del análisis. En su conferencia, Fréchet reconoce los desafíos que se han
encontrado en la definición original del diferencial, que se remonta a la época de Newton y Leibniz.
Con el tiempo, se han propuesto varios enfoques axiomáticos para superar estas
dificultades. Fréchet menciona específicamente un enfoque que es relevante para su propia
definición. El problema surge al representar el diferencial como la parte principal del incremento,
ya que se vuelve problemático cuando la primera derivada es cero. Para abordar este problema,
Fréchet redefine el diferencial como el producto de la derivada y el aumento de la variable. Sin
embargo, esta definición revisada sacrifica la naturaleza intuitiva de la definición original en favor
del rigor conceptual.
Fréchet explica que la intervención de procedimientos axiomáticos elimina cualquier
interpretación imaginativa y se basa únicamente en la noción de derivada, que es más difícil de
comprender. Sin embargo, cree que las ventajas de la primera definición se pueden recuperar
caracterizando el diferencial de una función como la función más simple del incremento de la
función. Este criterio es precisamente el que emplea Fréchet para determinar la propiedad
característica del diferencial en los espacios abstractos. Asimismo destaca en diversas
publicaciones que su intención desde un principio, a partir de 1911-1912 y 1914, fue generalizar
el principio que dio origen a la noción de diferencial en el cálculo infinitesimal. Según este
principio, la diferencial dF es la función más simple en relación con la variación ∆x de la variable
y la más cercana a la variación ∆F de la función.
Fréchet puso gran énfasis en la importancia epistemológica de verificar la teoría diferencial
abstracta, como lo demuestra su publicación hacia el final de su vida donde compara diferentes
52
definiciones de este concepto matemático. En relación con este tema, es importante señalar las
siguientes ideas en la comprensión de Fréchet de las diversas verificaciones:
• el proceso de Fréchet de introducir el diferencial abstracto difería del enfoque típico de
pasar de los casos específicos a lo general;
• el método de verificación que empleó, que implicaba volver del caso general de los
espacios abstractos al caso específico del plano, jugó un papel crucial para establecer la
definición del diferencial;
• Fréchet también utilizó otro método de verificación al aplicar las propiedades del
diferencial de un funcional a una transformación definida dentro de una clase de espacios
abstractos, en particular los espacios de Banach, que resultó ser muy útil y productivo; y
• finalmente, las sucesivas esquematizaciones que condujeron al diferencial de Fréchet
representaron un modo distintivo de generalización para este nuevo concepto matemático.
Estas esquematizaciones no deben verse simplemente como una serie de pasos que
conducen a la creación del objeto, sino más bien como una generalización de la clase de objetos
(diferencial clásico) a partir de la cual se originó el proceso de esquematización. Estas ideas son
parte de la concepción de Fréchet, como se expresa en la siguiente cita: "Llegamos a una definición
equivalente y similar (pertenecientes a la clase Stolz, Pierpont, Young, Fréchet) por un enfoque
completamente diferente, pero en una forma más adecuada para la generalización de funciones
abstractas.
A diferencia del proceso habitual de pasar de lo específico a lo general, derivamos esta
definición volviendo del caso general de los espacios abstractos al caso específico del plano.
Inicialmente, confiamos en el definiciones convencionales de esa época, pero nuestro enfoque
estaba en funciones abstractas. Al definir primero el diferencial de un funcional y luego
transformar un espacio abstracto en otro espacio abstracto, pudimos demostrar, en el caso de una
relación entre dos espacios de Banach, que esta diferencial conservaba las principales propiedades
de la diferencial de una función numérica con una variable numérica, sin embargo, fue en este
punto, cuando nuestro objetivo principal era el estudio de los espacios abstractos, que nos
cuestionamos si esta definición realmente constituía una generalización completa del diferencial
clásico. Nos dimos cuenta de que no era así y posteriormente obtuvimos una definición más
precisa..." [Fréchet se refiere a la expresión de di].
53
Capítulo 3
Matemáticas y habilidades cognitivas
El desarrollo del pensamiento lógico matemático
Pensar es un proceso intrincado que involucra la creación de representaciones mentales
para finalmente tomar acción. Este proceso requiere de diversas operaciones mentales, entre las
que se encuentran la identificación, el ordenamiento, el análisis, la síntesis, la comparación, la
abstracción, la generalización, la codificación, la decodificación y la clasificación, entre otras.
Estas operaciones son las que nos permiten desarrollar habilidades de pensamiento lógico
matemático, que son cruciales para comprender y utilizar el contenido de nuestras materias.
Es importante tanto para los educadores como para los estudiantes comprender y mejorar
estas habilidades de pensamiento a lo largo del proceso de enseñanza y aprendizaje. El
conocimiento se adquiere a través de la selección de información relevante y el rechazo de
información irrelevante, así como a través de la organización y centralización de pensamientos,
aunque no siempre seamos conscientes de estos principios subyacentes.
La cognición se refiere a las operaciones mentales involucradas en el procesamiento de la
información recibida, que ocurre en entornos académicos a través de varios canales, como la
comunicación verbal o escrita. Este proceso cognitivo implica atención, codificación y
recuperación, lo que lleva a un resultado final. La metacognición está estrechamente asociada con
la cognición y abarca las actividades, operaciones y funciones cognitivas que los individuos
utilizan para adquirir, producir y evaluar información. También permite la autoconciencia, el
control y la regulación del propio conocimiento.
Las Teorías de Piaget y de Vygotsky para el desarrollo cognitivo
El desarrollo cognitivo se refiere a la serie de cambios que tienen lugar en los procesos de
pensamiento y habilidades de un individuo, particularmente durante sus años de desarrollo, lo que
conduce a un aumento en el conocimiento y las habilidades relacionadas con la percepción, el
pensamiento, la comprensión y el autocontrol. Uno puede observar estas transformaciones en el
mundo real. Hay varias teorías que tienen como objetivo explicar el desarrollo cognitivo, pero a
los efectos de esta discusión, nos centraremos en dos importantes: las teorías de Piaget y las teorías
de Vygotsky. La teoría de Piaget proporciona información sobre cómo los niños interpretan y dan
sentido al mundo a medida que crecen. Por otro lado, la teoría de Vygotsky nos ayuda a comprender
los factores sociales que influyen en el desarrollo de las capacidades intelectuales de un niño.
Piaget
54
Piaget tuvo un profundo impacto en nuestra comprensión del desarrollo infantil. Antes de
su teoría, los niños eran comúnmente vistos como seres pasivos, moldeados únicamente por su
entorno. Sin embargo, Piaget desafió esta noción al enseñarnos que los niños son en realidad como
"pequeños científicos" que intentan activamente dar sentido al mundo que los rodea. Poseen su
propia lógica y formas de comprensión únicas, que siguen patrones consistentes a medida que
crecen e interactúan con su entorno. Esta interacción recíproca entre sus representaciones mentales
y el mundo influye en su desarrollo.
Piaget fue una figura influyente en el campo de la psicología constructivista, ya que creía
que los niños construyen activamente el conocimiento sobre su entorno basándose en lo que ya
saben e interpretando nueva información. En lugar de centrarse en el conocimiento específico que
adquieren los niños, Piaget estaba más interesado en cómo piensan y resuelven los problemas. Él
creía firmemente que el desarrollo cognitivo implica cambios en la capacidad de un niño para
razonar y dar sentido a su entorno.
Aunque las etapas generalmente se asocian con rangos de edad específicos, la duración de
cada etapa puede variar mucho. Esta variación está influenciada por diferencias individuales y
factores culturales. Según Piaget, el desarrollo cognitivo implica algo más que adquirir nuevos
hechos y habilidades. Implica profundas transformaciones en la forma de organizar y comprender
el conocimiento. Una vez que un niño avanza a una nueva etapa, no vuelve a una forma anterior
de razonamiento o funcionamiento.
Él argumentó que el desarrollo cognitivo sigue una secuencia fija, lo que significa que
todos los niños pasan por las cuatro etapas en el mismo orden. No es posible saltarse ninguna de
estas etapas. Piaget, un conocido teórico en el campo del desarrollo cognitivo, desarrolló un marco
que divide este proceso en cuatro etapas distintas: la etapa sensoriomotora, la etapa preoperacional,
la etapa de operaciones concretas y la etapa de operaciones formales. Cada una de estas etapas
representa un cambio hacia una forma de conocimiento más compleja y abstracta. En la teoría de
Piaget, se cree que la forma en que los niños piensan en cada etapa es fundamentalmente diferente
de la forma en que piensan en las demás.
Según Piaget, los individuos de todas las edades, incluidos los niños, tienen una tendencia
natural a organizar su comprensión del mundo a través de lo que él llamó esquemas. Los esquemas
pueden ser acciones físicas, procesos mentales, conceptos o teorías que nos ayudan a dar sentido
y recopilar información sobre nuestro entorno. En las primeras etapas de desarrollo, los niños
pequeños dependen principalmente de sus acciones físicas para navegar y comprender su entorno.
Sin embargo, a medida que crecen, comienzan a participar en operaciones mentales y
utilizan sistemas simbólicos como el lenguaje. Esta progresión en las habilidades cognitivas les
permite emplear esquemas más intrincados y abstractos, lo que mejora aún más su capacidad para
organizar y comprender el conocimiento. Es importante señalar que el desarrollo cognitivo no
55
implica únicamente la construcción de nuevos esquemas; implica también la reorganización y
diferenciación de los existentes.
Piaget identifica dos principios fundamentales, denominados funciones invariables, que
juegan un papel crucial en la configuración del desarrollo cognitivo de los niños. El primer
principio es la organización, que Piaget sugiere que es una inclinación inherente que se encuentra
en todas las especies. A medida que el niño crece y se desarrolla, incorpora gradualmente patrones
físicos básicos o esquemas mentales en sistemas más intrincados y sofisticados. El segundo
principio es la adaptación, que Piaget afirma que es una característica universal en todos los
organismos vivos. Pare él, los organismos poseen una capacidad inherente para modificar sus
marcos mentales o comportamientos para responder y adaptarse de manera efectiva a las diversas
demandas impuestas por el entorno que los rodea.
En consecuencia, Piaget introdujo los conceptos de asimilación y acomodación para
describir cómo los niños se adaptan a su entorno:
• La asimilación implica encajar nueva información en marcos o esquemas mentales
existentes. Por ejemplo, un niño pequeño podría etiquetar erróneamente a un burro como
un "caballo de orejas grandes". Este proceso activo de asimilación a menudo requiere
modificar o transformar nueva información para incorporarla a la base de conocimiento
existente. Cuando la nueva información es compatible con lo que ya se conoce, se logra un
estado de equilibrio y todas las piezas de información encajan perfectamente. Sin embargo,
si la nueva información no se alinea con el conocimiento existente, se hace necesario
ajustar la forma de pensar o tomar medidas para adaptarse. Este proceso de dar forma
activamente a la nueva información para que se ajuste a los esquemas existentes es la
asimilación.
• Por otro lado, la acomodación implica modificar los marcos mentales existentes para
acomodar nueva información que contradice levemente los esquemas existentes. Si la
nueva información contradice demasiado el conocimiento existente, puede que no sea
posible acomodarlo porque el niño carece de las estructuras mentales necesarias para
interpretarlo. La acomodación es el proceso de alterar esquemas existentes para incorporar
información nueva y discrepante.
Según Piaget, la asimilación y la acomodación son procesos estrechamente
interrelacionados que explican cómo evoluciona el conocimiento a lo largo de la vida de una
persona.
Si consideramos el desarrollo cognitivo como el proceso de alteración de la estructura o
esquemas cognitivos de un niño, es importante entender las razones detrás de estos cambios.
Piaget, un renombrado teórico interactivo, cree que el desarrollo está influenciado por una
combinación de habilidades innatas y factores ambientales, lo que lo convierte en un proceso
56
multifacético. Piaget identifica cuatro factores clave que juegan un papel importante en el
desarrollo cognitivo:
• El desarrollo y crecimiento de las características físicas que se transmiten de generación en
generación.
• Experiencias físicas con el medio ambiente.
• El proceso de compartir y difundir información y conocimiento entre los individuos de la
sociedad a través de las interacciones sociales y la comunicación. Esto incluye el
intercambio de ideas, experiencias, creencias y prácticas culturales entre las personas,
contribuyendo al aprendizaje y comprensión colectivos de diversos temas. A través de la
transmisión social, las personas tienen la oportunidad de adquirir nuevos conocimientos,
ampliar sus perspectivas y adaptarse a los cambios sociales. Facilita el desarrollo y la
evolución de las culturas, así como la acumulación de sabiduría y experiencia a lo largo
del tiempo. Al participar en conversaciones, contar historias, enseñar y otras formas de
interacción social, las personas no solo transmiten información, sino que también moldean
e influyen en las creencias, valores y comportamientos de los demás. La transmisión social
de información y conocimiento es, por tanto, un mecanismo esencial para el continuo
crecimiento y desarrollo de las sociedades.
• El equilibrio
El concepto de equilibrio en la teoría de Piaget se refiere a la inclinación natural de los
humanos a mantener el equilibrio en sus estructuras cognitivas utilizando los procesos de
asimilación y acomodación. Por lo tanto postuló que cuando experimentamos un estado de
desequilibrio, es intrínsecamente insatisfactorio, lo que nos lleva a realizar ajustes en nuestro
marco cognitivo para recuperar el equilibrio. Al hacerlo, aseguramos la organización y estabilidad
de nuestro entorno. Además, el proceso de equilibrio nos permite lograr una mayor comprensión
y relación armónica con nuestro entorno.
Etapas del desarrollo
La teoría de Piaget postula que el conocimiento se desarrolla a través de una serie de etapas,
y cada etapa representa un cambio distinto y significativo en el pensamiento. Estas etapas siguen
un orden fijo, aunque los individuos pueden progresar a través de ellas a ritmos diferentes y no
todas las personas llegan a las etapas finales. Cada etapa tiene una estructura específica y Piaget
creía que el pensamiento de los niños experimenta cambios repentinos y rápidos durante estas
etapas, lo que da como resultado la aparición de nuevas estructuras cognitivas.
Estas estructuras cognitivas explican por qué las tareas que un niño es capaz de resolver
tienen un nivel de complejidad similar. Asimismo, las etapas son jerárquicamente inclusivas, lo
57
que significa que las estructuras de una etapa inferior se integran en la etapa siguiente. Por ejemplo,
el progreso realizado durante la etapa sensoriomotora se mantiene y se desarrolla en la etapa de
operaciones concretas. Finalmente, la transición entre etapas es gradual, cada etapa tiene una fase
de preparación y una fase en la que los logros de esa etapa se realizan y desarrollan por completo.
Estadio sensoriomotor
En el estadio sensoriomotor el bebé se relaciona con el mundo a través de los sentidos y de
la acción, pero, al término de esta etapa será capaz de representar la realidad mentalmente. El
período sensoriomotor da lugar a algunos hitos en el desarrollo intelectual. Los niños desarrollan
la conducta intencional o dirigida hacia metas (golpear un sonajero para que suene). También, los
niños llegarán a comprender que los objetos tienen una existencia permanente que es independiente
de su percepción (permanencia de objeto). Además, existen unas actividades que en este período
experimentarán un notable desarrollo: la imitación y el juego.
Piaget denominó reacción circular al mecanismo de aprendizaje más temprano. Consiste
en una nueva experiencia que es el resultado de la propia acción del sujeto. La reacción es circular
porque, debido a los efectos “interesantes”, el niño intenta repetir este evento una y otra vez. Hay
tres tipos de reacciones circulares que van apareciendo de forma progresiva: las primarias que
están centradas alrededor del cuerpo del niño (p.ej., sacar repetidamente la lengua); las secundarias
dirigidas hacia la manipulación de objetos (p.ej. golpear un objeto); y las terciarias, que tienen que
ver con la exploración de efectos novedosos en el mundo que le rodea (p.ej...,golpear un objeto de
formas distintas).
Piaget analiza el concepto de estructuras de acción y se refiere a ellas como esquemas, que
abarcan varias acciones habituales como mirar, agarrar y golpear. Inicialmente, los esquemas de
un niño consisten en reflejos innatos, que significan una cierta pasividad ya que el organismo
permanece inactivo hasta que es estimulado. Sin embargo, estos reflejos se transforman
gradualmente en actividades que el niño inicia de forma independiente. Por ejemplo, incluso en
los recién nacidos podemos observar movimientos de la boca que corresponden al reflejo de
succión, incluso cuando no tienen nada en la boca. Parece que realizan estos movimientos
simplemente por el placer de hacerlo. Según Piaget, una vez que se desarrolla un esquema de
acción, existe el deseo de utilizarlo. Si bien la asimilación es la principal actividad observada
durante esta etapa, también hay indicios de las primeras etapas de acomodación. Por ejemplo, los
bebés deben aprender a ajustar los movimientos de la cabeza y los labios para ubicar el pezón y
alimentarse. Estos ajustes, denominados adaptaciones, también demuestran las etapas iniciales de
organización a medida que la secuencia de movimientos se vuelve más estructurada, lo que
conduce a una alimentación más rápida y eficiente.
Una reacción circular ocurre cuando el bebé intenta replicar una ocurrencia fortuita. Un
buen ejemplo es el comportamiento de chuparse el dedo. Mientras realiza una actividad
58
espontánea, el bebé puede accidentalmente llevarse la mano a la boca, desencadenando el reflejo
de succión y llevándolo a chuparse el dedo. Dado que estos movimientos aún no están bajo el
control del bebé, es posible que se quite la mano de la cara y la boca, pero intentará repetir la
experiencia. Incluso si inicialmente falla, ya que el bebé no puede ajustar su mano para adaptarse
a la acción de succión, llega un punto en el que se repite la combinación necesaria de movimientos.
Esta repetición lleva al desarrollo de un nuevo patrón de acción que le permite al bebé volverse
hábil en chuparse el dedo. Similar a chuparse el dedo, la mayoría de las reacciones circulares
primarias implican la organización de dos patrones de movimiento corporal previos. Estas
reacciones circulares ejemplifican el concepto de desarrollo intelectual de Piaget como la
construcción del conocimiento. El bebé combina activamente diferentes movimientos y patrones
para crear un patrón de acción más complejo.
Durante una segunda subetapa, los desarrollos característicos se denominan reacciones
circulares "primarias" debido al hecho de que involucran la coordinación de movimientos dentro
del propio cuerpo del bebé. Por otro lado, las reacciones circulares "secundarias" ocurren cuando
el bebé descubre y replica un efecto interesante que tiene lugar fuera de sí mismo, dentro de su
entorno. Por ejemplo, mientras realiza una actividad, el bebé puede darse cuenta de que al sacudirse
o hacer un movimiento brusco, los juguetes que cuelgan de su cuna se mueven y hacen ruido. Al
observar este efecto, el bebé puede detenerse un momento, observándolo detenidamente.
Posteriormente, intentarán recrear la experiencia e incluso pueden expresar alegría cuando lo
logran. El bebé parece disfrutar de su propia capacidad para ejercer el poder y crear sucesos
repetidos.
En la tercera subetapa, el bebé realiza acciones básicas para lograr un resultado deseado,
como sacudir objetos para que se muevan. A medida que el niño avanza a la cuarta subetapa, sus
acciones se vuelven más diversas y aprende a combinar dos esquemas de acción para lograr un
resultado específico. Esto se vuelve particularmente evidente cuando el niño encuentra obstáculos.
Por ejemplo, si un juguete que le interesa al niño se coloca detrás de una caja, combinará la acción
de quitar la caja con la acción de recoger el juguete. En este escenario, uno de los esquemas de
acción (retirar la caja) se convierte en un medio para lograr el objetivo final de obtener el juguete.
Este logro aparentemente simple tiene implicaciones significativas. En primer lugar, demuestra la
intencionalidad del niño a través de su comportamiento orientado a objetivos, que se insinuó en la
subetapa anterior. En segundo lugar, significa el desarrollo temprano de conceptos relacionados
con el tiempo y el espacio, ya que el niño primero debe quitar la caja antes de poder levantar el
juguete y comprender la relación espacial entre los objetos.
En la subetapa 3, los niños se involucran en una acción simple para lograr el resultado
deseado. A medida que avanzan a la subetapa 4, comienzan a realizar dos acciones separadas para
lograr un resultado. Sin embargo, en la subetapa 5, que forma parte de las reacciones circulares
terciarias, comienzan a explorar y experimentar con varias acciones para observar diferentes
59
resultados. Por ejemplo, un niño puede golpear una mesa de juego y notar que los objetos vibran
o se caen. Luego pueden repetir esta acción varias veces, variando la intensidad o la fuerza, y
observar los diferentes efectos que tiene. Otro ejemplo podría ser un niño que observa el agua que
sale de un grifo y mete la mano en el chorro, lo que hace que el agua salpique. Luego pueden
comenzar a experimentar colocando repetidamente su mano a diferentes distancias del grifo y
observando cómo el agua salpica con diferentes niveles de fuerza. Es importante resaltar que con
este tipo de acciones, el niño se involucra activamente en “estudiar” y aprender sobre las diferentes
consecuencias o resultados de sus acciones en el medio ambiente. Este proceso les permite obtener
conocimiento y comprensión de causa y efecto.
Durante la subetapa 5, los niños asumen el papel de pequeños científicos y participan en
diversas acciones para observar los resultados. Sin embargo, sus descubrimientos se basan
únicamente en su manipulación directa de objetos. A medida que ingresan a la subetapa 6, los niños
comienzan a pensar de manera más crítica antes de actuar. Por ejemplo, cuando se enfrentan al
desafío de recuperar una cuenta de una caja parcialmente abierta sin que pase por la abertura,
pueden intentar diferentes enfoques, como insertar un dedo o girar la caja con la esperanza de que
la cuenta se caiga. Si estos métodos no tienen éxito, es probable que el niño se detenga y contemple
la situación, examinando cuidadosamente la apertura de la caja. Incluso pueden realizar ciertos
movimientos, como abrir y cerrar repetidamente la mano o la boca antes de decidir finalmente
abrir la caja y recuperar la canica. Si bien la prueba y el error pueden eventualmente conducir a
lograr el resultado deseado, el niño descubre una solución más rápida y eficiente al tomarse un
momento para "reflexionar" sobre la situación. En esta etapa, se puede suponer que dado que el
niño aún no ha desarrollado la capacidad de usar el lenguaje para simbolizar o representar las
acciones necesarias, se basa en movimientos motores (como abrir y cerrar las manos o la boca)
para representar mentalmente las acciones. actuarán posteriormente.
Piaget se refiere a otra instancia que ejemplifica las primeras etapas de los procesos
cognitivos y la capacidad de imitar ciertas acciones como "imitaciones diferidas". Durante esta
etapa, se observa con frecuencia que los niños realizan una acción que han observado previamente,
pero lo hacen después de un tiempo significativo, a veces incluso horas o días. Esta capacidad de
imitar acciones en un momento posterior solo se puede lograr si el niño conserva una
representación mental del comportamiento observado, a pesar de carecer de las habilidades
lingüísticas para articular las acciones en palabras. En consecuencia, se puede inferir que el niño
probablemente emplea una forma de representación motora, que sirve como base para el
pensamiento cognitivo.
Las habilidades básicas adquiridas
60
En el período sensoriomotor, que se da desde el nacimiento hasta alrededor de los dos años,
el niño atraviesa una importante etapa evolutiva en la que adquiere y desarrolla dos habilidades
fundamentales: la conducta orientada a objetivos y la permanencia del objeto.
El período sensoriomotor está marcado por una característica distintiva, que es el cambio
visible del comportamiento reflexivo a las acciones impulsadas por objetivos específicos en los
bebés. Cuando nacen, su comportamiento está controlado principalmente por reflejos. Poseen las
habilidades innatas para succionar, agarrar, llorar y mover sus cuerpos, lo que les permite asimilar
experiencias físicas. Por ejemplo, aprenden a diferenciar entre objetos que son duros o blandos
chupándolos. A medida que avanzan en sus primeros meses de vida, incorporan nuevos
comportamientos a estos esquemas reflexivos. Sin embargo, no todas las acciones entran en esta
categoría, como chuparse el dedo, que es un comportamiento aleatorio con el que tropiezan y
acaban repitiendo porque les proporciona una sensación placentera. Comienzan este
comportamiento con un objeto específico en mente, y Piaget se refiere a estas acciones
intencionales con un propósito como reacciones circulares. Hacia el final de su primer año, los
bebés comienzan a anticipar eventos y combinan efectivamente sus comportamientos ya
aprendidos para lograr los resultados deseados. Durante esta fase, ya no repiten eventos
accidentales, sino que inician y eligen una secuencia de acciones para alcanzar con éxito un
objetivo en particular.
Durante la etapa sensoriomotora, a medida que se desarrollan las habilidades cognitivas
del niño, comienza a explorar enfoques alternativos cuando sus formas existentes de resolver
problemas (como mirar, alcanzar y agarrar) fallan. Por ejemplo, si un juguete está fuera de su
alcance debajo de un sofá, pueden intentar acercarlo con un objeto largo o arrastrarse hasta la parte
posterior de los muebles. En lugar de persistir con sus estrategias actuales, el niño ahora puede
idear mentalmente nuevas soluciones para superar los desafíos. Piaget afirma que la capacidad de
inventar métodos novedosos para la resolución de problemas marca las primeras etapas de la
inteligencia genuina. Aunque los niños continúan confiando en el ensayo y error para resolver
problemas durante varios años más, parte de su experimentación ocurre internamente a través de
representaciones mentales de secuencias de acción y resultados deseados.
En el período sensoriomotor, otro hito importante que se alcanza es el desarrollo de la
permanencia del objeto, que se refiere a la comprensión de que los objetos continúan existiendo
incluso cuando ya no están a nuestro alcance visual o físico. A diferencia de los adultos que son
conscientes de que un objeto oculto todavía existe a pesar de estar fuera de la vista, los bebés
exhiben un comportamiento diferente cuando los objetos no son visibles. Tienden a actuar como
si los objetos hubieran desaparecido por completo.
El concepto de permanencia del objeto en los niños se puede estudiar a través de varios
métodos. Uno de estos métodos consiste en ocultar el juguete favorito del niño debajo de una
almohada o una sábana mientras el niño mira. En las primeras etapas de desarrollo (1 a 4 meses),
61
los niños pequeños seguirán el objeto con la mirada hasta que desaparezca, pero no son conscientes
de su existencia una vez que ya no es visible. Según Piaget, los objetos no tienen realidad ni
existencia para el niño a esta edad a menos que sean percibidos directamente. El niño solo puede
entender los objetos a través de sus acciones reflejas, por lo que si no puede chupar, tocar o ver el
objeto, no existe para él. Sin embargo, alrededor de los 4 a 8 meses, el niño comienza a mostrar
un atisbo de permanencia del objeto. Buscarán un objeto si es parcialmente visible, pero aún
requieren alguna pista perceptiva para recordar que no ha desaparecido. Entre los 8 y los 12 meses,
el comportamiento del niño indica que entiende que el objeto sigue existiendo aunque no sea
visible. En esta etapa, el niño buscará activamente objetos ocultos utilizando varios esquemas
sensoriomotores, como observar, gatear y alcanzar.
Etapa preoperacional
La etapa preoperacional se caracteriza por la capacidad de pensar en cosas, eventos o
personas que no están físicamente presentes. Esta etapa generalmente ocurre entre las edades de 2
y 7 años, durante la cual los niños muestran una mayor capacidad para usar símbolos como gestos,
palabras, números e imágenes para representar objetos reales en su entorno. Esta capacidad recién
descubierta les permite pensar y actuar de maneras que antes estaban fuera de su alcance. Por
ejemplo, ahora pueden usar palabras para transmitir sus pensamientos, contar objetos usando
números, participar en juegos imaginativos y expresar su comprensión del mundo a través de obras
de arte. A pesar de estos avances en la representación simbólica, el pensamiento preoperacional
todavía está sujeto a ciertas limitaciones. Piaget se refirió a esta etapa como la etapa preoperacional
porque los niños en edad preescolar no pueden realizar ciertas operaciones lógicas que observó en
niños mayores. Antes de profundizar en estas limitaciones, es importante explorar los principales
desarrollos cognitivos que tienen lugar durante esta etapa.
En la etapa preoperacional, hay otros ejemplos de pensamiento representacional. Esta
etapa, a la que a menudo se hace referencia como la "edad de oro" del juego de simulación, ocurre
durante los años preescolares. Los niños participan en juegos de simulación simples utilizando
objetos reales, como pretender beber de una taza o comer con un objeto parecido a una cuchara.
Cuando llegan a la edad de cuatro años, comienzan a inventar sus propios accesorios, crean guiones
y asumen diferentes roles sociales.
El juego de simulación a menudo se inspira en eventos de la vida real, como ir al patio de
recreo, visitar la tienda o hacer un viaje. Sin embargo, los niños también se sienten atraídos por los
personajes de fantasía y los superhéroes. Los expertos creen que este tipo de juego no solo
promueve el desarrollo del lenguaje sino que también mejora las habilidades cognitivas y sociales.
Fomenta la creatividad y la imaginación. Piaget argumentó que el desarrollo del pensamiento
representacional permite que los niños adquieran el lenguaje.
62
Los años preescolares son un período crucial para el desarrollo del lenguaje, ya que la
mayoría de los niños pronuncian sus primeras palabras a la edad de dos años y construyen un
vocabulario de casi 2000 palabras a la edad de cuatro años. Inicialmente, los niños usan palabras
para referirse a actividades, eventos y sus deseos inmediatos. Sin embargo, durante la etapa
preoperacional, comienzan a usar palabras de manera representacional. En lugar de centrarse
únicamente en el momento presente o en sus necesidades inmediatas, comienzan a usar palabras
para representar objetos ausentes y eventos pasados.
Piaget creía que el pensamiento representacional juega un papel crucial para facilitar el
desarrollo rápido del lenguaje durante la etapa preoperacional. En otras palabras, argumentó que
el pensamiento precede al desarrollo lingüístico. Durante la etapa de desarrollo preoperacional, los
niños comienzan a usar símbolos para reflexionar sobre su entorno. Esta capacidad de usar palabras
para referirse a objetos que no están físicamente presentes se conoce como funcionamiento
semiótico o pensamiento representacional. Piaget sugirió que una de las primeras formas de
pensamiento representacional es la imitación tardía, que ocurre hacia el final de la etapa
sensoriomotora. Esto implica poder repetir una secuencia de acciones o sonidos horas o incluso
días después de que se realizaron inicialmente.
Durante la etapa de desarrollo conocida como preoperacional, los niños comienzan a
expresar su comprensión del mundo a través de la creación de pinturas e imágenes mentales. Esta
capacidad de representar visualmente sus pensamientos y emociones ha llevado a los expertos a
referirse al arte infantil como una forma de "lenguaje silencioso". Al examinar sus dibujos,
podemos obtener información sobre sus procesos cognitivos y estados emocionales. Alrededor de
los 2 y 3 años, cuando se les pregunta sobre sus obras de arte, es probable que los niños respondan
con una explicación simple como "Solo estoy dibujando".
Sin embargo, a medida que se acercan a los 3 o 4 años, comienzan a combinar trazos y a
crear formas más complejas como cajas, cruces y círculos. Esto marca el comienzo de la etapa
representacional del dibujo. A medida que continúan desarrollándose, alrededor de los 4 o 5 años,
los niños comienzan a dibujar objetos reconocibles como casas, animales, personas e incluso
personajes de dibujos animados o historias que han encontrado. Estas figuras pueden representar
objetos reales de su entorno o seres imaginarios de sus fantasías. La progresión en sus dibujos
demuestra sus habilidades evolutivas. Además, a medida que los niños crecen, mejoran sus
creaciones artísticas con detalles más complejos e incluso incorporan palabras en sus obras de arte,
desarrollando así sus habilidades de escritura. Algunos niños pueden incluso escribir sus propios
nombres cuando ingresan al jardín de infantes. Es interesante notar que las palabras impresas, al
igual que las imágenes, también pueden servir como representaciones de objetos reales en el
entorno del niño.
En transcurso de los años preescolares, los niños comienzan a usar los números como una
herramienta para pensar junto con su creciente habilidad para usar palabras e imágenes como
63
símbolos. Piaget creía que los niños no captan completamente el concepto de números hasta la
etapa operativa concreta, donde comienzan a comprender las relaciones secuenciales y jerárquicas.
Sin embargo, investigaciones recientes sugieren que ciertos principios numéricos fundamentales
emergen durante la etapa preoperacional.
Los estudios realizados por Rochel Gelman y sus colegas demuestran que algunos niños
de 4 años pueden comprender los principios básicos de conteo, como el hecho de que se puede
contar cualquier arreglo de objetos, cada elemento debe contarse solo una vez, los números se
asignan en un orden consistente, el orden en que se cuentan los objetos no importa, y el último
número pronunciado representa el número total de elementos en el conjunto. Los niños en edad
preescolar también poseen una comprensión rudimentaria de las relaciones numéricas, como
reconocer que 3 es mayor que 2. Aunque los niños en edad preescolar están comenzando a
comprender algunos conceptos numéricos fundamentales, es importante señalar que a menudo
cometen errores al contar, como saltarse ciertos números (p. , 1, 2, 3, 5) o no incluir todos los
elementos al contar. Además, tanto los niños en edad preescolar como los de escuela primaria
suelen tener dificultades para contar grandes grupos de objetos desorganizados.
En los años preescolares, los niños pequeños muestran una curiosidad natural y un deseo
de comprender el mundo que los rodea. Durante este tiempo, comienzan a desarrollar teorías
intuitivas sobre los fenómenos naturales. Piaget (1951) realizó entrevistas con niños pequeños para
explorar sus explicaciones de varios hechos, como el origen de los árboles, el movimiento de las
nubes, la aparición del Sol y la Luna y el concepto de vida. A través de su investigación, Piaget
descubrió que la comprensión del mundo de los niños se caracteriza por el animismo. Esto significa
que no diferencian entre seres vivos y objetos inanimados, atribuyendo estados intencionales y
rasgos humanos a cosas no vivas. Por ejemplo, un niño de 3 años podría sugerir que el sol calienta
porque quiere calentar a las personas o que los árboles pierden sus hojas porque quieren cambiar
su apariencia. Creen que objetos como rocas, árboles, fuego, ríos, automóviles y bicicletas poseen
características vivas porque exhiben movimiento. Los niños construyen estas creencias en base a
sus propias experiencias y observaciones personales. El término "intuitivo" se usa a menudo para
describir esta etapa de desarrollo, ya que el razonamiento de los niños se basa principalmente en
experiencias inmediatas.
En los párrafos anteriores, cubrimos algunos avances significativos en el pensamiento de
un niño durante el período preoperatorio. Ahora, profundicemos en algunas de las limitaciones
asociadas con esta etapa. Entre las limitaciones más cruciales se encuentran el egocentrismo, la
centralización y la rigidez de pensamiento. El egocentrismo se refiere a la tendencia de percibir,
comprender e interpretar el mundo únicamente desde la propia perspectiva. Esta tendencia es más
evidente en las conversaciones de los preescolares quienes, debido a su incapacidad para
considerar el punto de vista de los demás, hacen poco esfuerzo por adaptar su discurso para
satisfacer las necesidades de sus oyentes. Un buen ejemplo de esto se observa en niños de tres años
64
que participan en monólogos colectivos, donde los comentarios hechos por diferentes participantes
no están conectados entre sí.
Sin embargo, a medida que los niños alcanzan las edades de 4 y 5 años, comienzan a
mostrar la capacidad de ajustar su comunicación según la perspectiva de sus oyentes. Hasta que
los niños adquieren ciertas operaciones mentales, como la reversibilidad, se inclinan a basar sus
juicios en aspectos perceptivos más que en la realidad real. Por ejemplo, si un vaso parece contener
más agua, el niño puede suponer que sí. Flavel y sus colegas realizaron un estudio sobre la
comprensión de los niños de las apariencias y la realidad y descubrieron que la capacidad de
diferenciar entre la apariencia y la realidad se adquiere típicamente entre los 3 y los 5 años.
El pensamiento es la centralización, que se refiere a la inclinación de los niños pequeños a
centrar su atención únicamente en un aspecto de un estímulo mientras ignoran otras características.
Este concepto de centralización ayuda a explicar los desafíos que enfrentan los niños cuando
intentan tareas relacionadas con la conservación. Por ejemplo, si mostráramos a un niño de 4 años
dos vasos con la misma cantidad de agua y luego vertiéramos uno en un vaso alto y delgado, y
luego le preguntáramos qué vaso contiene más agua, se concentraría únicamente en el altura del
agua y elige el vaso más alto, ignorando otras dimensiones como el ancho. El pensamiento de los
niños pequeños tiende a ser inflexible y rígido. Sin embargo, a medida que los niños crecen, su
pensamiento se vuelve menos rígido y comienzan a considerar la posibilidad de revertir las
transformaciones, como vaciar el contenido de un vaso en otro. La capacidad de revertir
operaciones mentalmente es una característica de la etapa posterior del desarrollo cognitivo
conocida como operaciones concretas.
Etapa de las operaciones concretas
En los años de primaria, los niños comienzan a utilizar operaciones mentales y pensamiento
lógico para analizar los hechos y objetos de su entorno. Por ejemplo, si le pedimos a un niño que
coloque cinco palos en orden de tamaño, los comparará mentalmente y sacará conclusiones lógicas
sobre la secuencia correcta sin manipular físicamente los palos. Esta capacidad de aplicar la lógica
y las operaciones mentales les permite abordar los problemas de una manera más sistemática en
comparación con los niños en la etapa preoperacional.
Según Piaget, hay varios avances que ocurren durante la etapa de operaciones concretas.
En primer lugar, su pensamiento se vuelve menos rígido y más flexible. El niño comprende que
las operaciones pueden invertirse o negarse mentalmente. Esto significa que pueden devolver un
estímulo, como el agua que se vierte en un cántaro, a su estado original simplemente invirtiendo
la acción. En consecuencia, su pensamiento se vuelve menos egocéntrico y más distribuido.
El niño de primaria puede concentrarse en múltiples características de un estímulo
simultáneamente. En lugar de concentrarse únicamente en estados estáticos, ahora son capaces de
65
hacer inferencias sobre la naturaleza de las transformaciones. Por último, en esta etapa, sus juicios
ya no se basan únicamente en las apariencias. Desarrollan tres tipos de operaciones mentales o
esquemas para organizar e interpretar el mundo: serialización, clasificación y conservación.
La serialización se refiere a la capacidad de organizar objetos en una progresión lógica,
como ordenarlos del más pequeño al más alto. Este concepto es crucial para comprender los
números, el tiempo y las medidas. Los niños en edad preescolar suelen tener un concepto limitado
del tiempo, donde su percepción del tiempo no es precisa. Sin embargo, los niños de primaria
pueden ordenar conceptos de tiempo basados en una magnitud creciente o decreciente. Para ellos,
20 minutos es menos de 200 minutos pero más de 2 minutos.
Piaget realizó un experimento en el que pidió a los niños que dispusieran una serie de palos,
similares a los que se muestran en la figura. A los 3 y 4 años, los niños pueden identificar los palos
más largos y los más cortos. Parecen comprender la regla lógica del cambio progresivo, donde los
objetos pueden organizarse de acuerdo con su tamaño creciente o decreciente. Sin embargo, les
cuesta construir una secuencia ordenada de tres o más palos. Para lograr esto, deben realizar
simultáneamente dos operaciones mentales: seleccionar el palo adecuado en función de su longitud
en relación con los ya utilizados y los restantes. Los preescolares no pueden completar esta tarea
debido a su enfoque en una dimensión a la vez, lo que indica que su pensamiento está centralizado.
La capacidad de coordinar dos piezas de información simultáneamente se desarrolla gradualmente
durante los primeros años de la escuela primaria, cuando el pensamiento de un niño se vuelve
menos centrado.
Para abordar los problemas de serialización, es crucial que los niños también comprendan
y apliquen el concepto de transitividad. Uno de los desafíos que enfrentan los estudiantes más
jóvenes es su falta de comprensión de que los objetos en el medio de una serie pueden ser más
cortos y más largos que otros. Por otro lado, los niños mayores poseen la capacidad de establecer
mentalmente conexiones entre objetos y pueden deducir la relación entre dos objetos en función
de su relación con un tercer objeto. Por ejemplo, si saben que el traje A es más corto que el traje B
y el traje B es más corto que el traje C, pueden concluir lógicamente que el traje A debe ser más
corto que el traje C. Esta deducción se hace usando la regla de transitividad (A < B y B < C; por
lo tanto, A < C). Según la teoría de Piaget, esta comprensión de la transitividad suele desarrollarse
entre los 7 y los 11 años.
Piaget y sus colegas identificaron tres etapas de desarrollo en el dominio de la clasificación.
La primera etapa, denominada "colecciones figurativas", es propia de niños menores de 5 años. En
esta etapa, los niños no clasifican los objetos en función de sus similitudes, sino que los utilizan
para crear dibujos. Por ejemplo, un niño puede colocar un triángulo encima de un cuadrado y
llamarlo casa. La segunda etapa se conoce como "colecciones no figurativas".
66
Durante esta etapa, los niños agrupan objetos en función de una sola dimensión, como el
color o la forma. Sin embargo, tienen limitaciones. Luchan por cambiar sus criterios de
clasificación una vez que se han establecido y tienen dificultades con las clasificaciones múltiples.
La clasificación es el proceso mediante el cual las personas aprenden a agrupar objetos en función
de sus similitudes y establecen relaciones entre los objetos y los conjuntos a los que pertenecen.
Según Piaget, hay tres tipos principales de clasificación: clasificación simple, clasificación
múltiple e inclusión de clase.
La inclusión de clases implica comprender las relaciones entre clases y subclases. Por
ejemplo, a los niños se les puede dar una serie de objetos y pedirles que determinen si hay más o
menos elementos pertenecientes a una clase o subclase, como animales y mamíferos. En
conclusión, la clasificación es un proceso cognitivo que involucra agrupar objetos en base a
similitudes y comprender las relaciones entre clases y subclases. La investigación de Piaget
identificó tres etapas en el desarrollo de las habilidades de clasificación, comenzando desde una
etapa en la que los niños usan objetos para dibujar en lugar de clasificarlos, hasta una etapa en la
que agrupan objetos en función de una sola dimensión, pero luchan con criterios cambiantes y
clasificaciones múltiples.
La clasificación múltiple, por otro lado, requiere organizar objetos simultáneamente en dos
dimensiones. Por ejemplo, a los niños se les puede presentar un problema de matrices y pedirles
que completen una tabla de doble entrada seleccionando objetos que se ajusten a dos requisitos de
clasificación, como filas y columnas. Para dominar la clasificación, se deben cumplir varios
requisitos. Primero, el niño debe entender que un objeto no puede pertenecer a dos clases opuestas.
En segundo lugar, deben desarrollar un criterio de clase, como la forma, y comprender que los
miembros de una clase son similares de alguna manera. En tercer lugar, deben saber que una clase
puede describirse enumerando todos los elementos que le pertenecen. Por último, deben
comprender los diferentes niveles de una jerarquía. La clasificación simple implica agrupar objetos
en función de una característica específica. Por ejemplo, a los niños se les pueden mostrar formas
geométricas y pedirles que las agrupen según su color, forma o tamaño. Esta tarea requiere que el
niño junte objetos similares de manera ambigua.
En esta etapa, los niños no comprenden cómo se relacionan las diferentes clases entre sí.
Esto significa que cuando se le presenta un grupo de cinco perros y tres gatos, y se le pregunta cuál
hay más (perros o animales), el niño suele responder diciendo que hay más perros. Sin embargo,
en la tercera etapa, los niños comienzan a captar el concepto de clasificaciones múltiples y las
relaciones entre clases. Esta comprensión no se desarrolla completamente hasta alrededor de los
siete u ocho años. Antes de esta edad, los niños pueden saber que Madrid es la capital de España,
pero no comprenden las conexiones entre estos dos conceptos. No entienden que todos los
madrileños son españoles y que sólo algunos españoles son madrileños. Como resultado, los niños
en esta etapa aprenden la expresión verbal sin comprender las implicaciones lógicas que conlleva.
67
Para evaluar la comprensión de conservación de un niño, Piaget les mostraría dos conjuntos
de objetos idénticos, como filas de monedas, cantidades de arcilla o vasos de agua. Entonces, uno
de los conjuntos se transformaría en apariencia, mientras que la dimensión básica que se prueba
permanece sin cambios. Por ejemplo, en una tarea que prueba la conservación del número, se
puede acortar o alargar una fila de monedas. Luego se le preguntará al niño si la cantidad sigue
siendo la misma. Los niños en la etapa de operaciones concretas responderían que los objetos no
han cambiado, a pesar de su apariencia alterada. Entienden que un objeto puede parecer diferente
en tamaño, longitud o peso, pero sus características fundamentales permanecen constantes.
Piaget creía que los niños en la etapa de operaciones concretas utilizan dos operaciones
mentales fundamentales para resolver tareas de conservación: la negación, la compensación y la
identidad. Estas operaciones mentales se demuestran en la forma en que un niño de 8 años podría
explicar por qué la cantidad de agua en dos vasos sigue siendo la misma. Podrían decir cosas como:
"Puedes verterlo de nuevo y será lo mismo" (negación), "El nivel del agua sube, pero es porque el
vaso es más estrecho" (compensación), o "Acabas de verterlo, nada fue añadido o quitado"
(identidad). Entre los 7 y los 11 años, los niños adquieren las operaciones mentales necesarias para
reflexionar sobre las transformaciones representadas en los problemas de conservación. Pueden
razonar lógicamente sobre el número, la masa y el volumen sin verse influenciados por las
apariencias físicas. Esto les permite distinguir entre las características constantes de los estímulos
(como peso, número o volumen) y la forma en que aparece el objeto. Según la teoría de Piaget, la
capacidad de comprender y razonar sobre problemas de conservación es una característica clave
de la etapa de operaciones concretas.
La conservación se refiere a la comprensión de que un objeto sigue siendo el mismo,
incluso si cambia su forma o apariencia física. En esta etapa, los niños ya no se basan únicamente
en la apariencia de los objetos para emitir juicios. Reconocen que un objeto que ha sido
transformado puede parecer que tiene más o menos cierto atributo, pero en realidad sigue siendo
el mismo. En otras palabras, las apariencias pueden ser engañosas. Piaget identificó cinco
dimensiones diferentes de conservación en las que los niños desarrollan conocimiento: número,
líquido, sustancia (masa), longitud y volumen. Aunque estas dimensiones difieren, el concepto
subyacente de conservación sigue siendo el mismo.
Etapa de las operaciones formales
Una vez que los niños alcanzan la edad de 11 o 12 años, comienzan a desarrollar una
comprensión más sofisticada de la resolución de problemas, incluidas tareas como serialización,
clasificación y conservación. A medida que avanzan en el período de operaciones concretas,
adquieren las habilidades cognitivas necesarias para resolver varios problemas lógicos,
comprender las conexiones conceptuales entre las operaciones matemáticas (p. ej., comprender
que 15 + 8 es lo mismo que 10 + 13) y organizar y categorizar el conocimiento.
68
Durante la adolescencia, los procesos mentales que se establecieron en etapas anteriores se
vuelven más complejos, lo que lleva al desarrollo de un sistema más avanzado de lógica y
pensamiento abstracto. El cambio más significativo durante la etapa de operaciones formales es
que el pensamiento pasa de centrarse en lo que es real a lo que es posible. Si bien los niños más
pequeños pueden razonar lógicamente, su pensamiento se limita a personas, lugares y objetos
concretos. Por el contrario, los adolescentes son capaces de contemplar conceptos desconocidos
(p. ej., imaginar cómo era ser un esclavo en la década de 1850 mientras leen un cuento), generar
ideas sobre hechos que no ocurrieron (p. ej., especular sobre el resultado si Alemania hubiera
ganado Segunda Guerra Mundial), y hacer predicciones sobre situaciones hipotéticas o futuras
(por ejemplo, considerar el impacto en las tasas de criminalidad si un país aboliera la pena de
muerte).
Los adolescentes mayores pueden participar en debates sobre temas sociopolíticos
complejos, profundizando en conceptos abstractos como los derechos humanos, la igualdad y la
justicia. También pueden abordar tareas que involucran analogías y relaciones proporcionales,
resolver ecuaciones algebraicas, proporcionar pruebas geométricas y evaluar la validez lógica de
los argumentos. La capacidad de pensar de manera abstracta y reflexiva es un sello distintivo de la
etapa de operaciones formales, que abarca cuatro características clave del pensamiento: lógica
proposicional, razonamiento científico, razonamiento combinatorio y razonamiento sobre
probabilidad y proporción.
La lógica proposicional es esencial en varias situaciones de resolución de problemas. Por
ejemplo, al resolver problemas algebraicos, es necesaria la capacidad de reflexionar sobre las
proposiciones. De manera similar, cuando se razona sobre problemas científicos, como la
clasificación de animales o plantas, la lógica proposicional es crucial. Profesionales como
escritores, abogados, políticos y profesores utilizan la lógica proposicional cuando quieren hacer
un punto persuasivo.
Los adolescentes que dominan esta habilidad no solo participan en argumentos más
efectivos, sino que también poseen la capacidad de identificar falacias en el razonamiento y
contrarrestarlas con argumentos apropiados. David Moshman y Bridge Franks realizaron un
estudio en 1986 que encontró que los niños de primaria tienden a evaluar la validez de tales
conclusiones basándose en la verdad objetiva en lugar del razonamiento lógico. Sin embargo, a
medida que los individuos alcanzan la etapa de operaciones formales, comienzan a considerar la
validez intrínseca de los argumentos. Durante esta etapa, la validez de un argumento está más
estrechamente relacionada con la forma en que se interconectan las proposiciones que con la
veracidad del contenido. Piaget creía que el razonamiento implica reflexionar sobre las relaciones
lógicas entre las proposiciones.
En la medida que el adolescente se vuelve más competente en la lógica proposicional,
adopta un enfoque más sistemático para la resolución de problemas. Desarrollan la capacidad de
69
formular hipótesis, determinar cómo compararlas con los hechos y eliminar aquellas que se
demuestren falsas. Piaget se refirió a este tipo de pensamiento como pensamiento hipotético-
deductivo, que implica generar y probar hipótesis de manera lógica y sistemática. Para examinar
la adquisición de este estilo de pensamiento, Piaget realizó el experimento del péndulo, que se
describe en detalle en la figura adjunta. El experimento involucra a un niño al que se le presenta
un palo del que cuelgan cuerdas de diferentes longitudes, con diferentes pesos que se pueden unir
a cada cuerda. Al niño se le muestra cómo se balancea el péndulo y luego se le pide que determine
cuál de los cuatro factores (longitud de la cuerda, peso, fuerza impulsiva o altura de caída) influye
en la velocidad de la oscilación del péndulo. Antes de dar una respuesta, se le permite al niño
manipular el aparato para encontrar una solución.
¿Cuál cree que es la respuesta correcta a este problema? ¿Cómo te acercarías a resolverlo?
El primer paso es formular una hipótesis o hacer una predicción. Durante la etapa de operaciones
concretas, el niño es capaz de emplear esta estrategia de resolución de problemas. El siguiente
paso es probar las hipótesis, y este paso generalmente distingue la etapa de operaciones concretas
de la etapa de operaciones formales. La clave es alterar uno de los factores o variables del problema
mientras se mantienen constantes los demás. En la etapa de operaciones concretas, el niño
inicialmente aborda el problema correctamente, pero puede fallar al considerar todas las
combinaciones posibles. A veces pueden cambiar más de una variable a la vez, como la longitud
y el peso de la cuerda.
Sin embargo, debido a que no abordan el problema de manera sistemática, a menudo llegan
a conclusiones incorrectas cuando se deben tener en cuenta múltiples variables. Por otro lado, un
niño en la etapa de operaciones formales normalmente considera todas las combinaciones posibles.
En este ejemplo específico, hay 16 combinaciones que deben examinarse para llegar a la
conclusión correcta. La respuesta correcta es que la longitud de la cuerda afecta la velocidad del
péndulo. Una cuerda más corta hace que el péndulo oscile más rápido, independientemente de los
demás factores. Entonces, ¿qué factor influye en la velocidad del péndulo? Los cuatro factores en
cuestión son la longitud de la cuerda, el peso del péndulo, la altura desde la que se suelta y la fuerza
con la que se lanza.
Por otro lado, cuando se trata de razonar sobre probabilidades y proporciones, los niños de
primaria generalmente tienen un conocimiento limitado en esta área. La teoría de Piaget puede
ayudar a explicar esta limitación. Por ejemplo, consideremos un dispensador de chicle que contiene
30 bolas de chicle rojas y 50 amarillas. Si un niño pusiera una moneda en la máquina, ¿de qué
color sería más probable que saliera una bola de chicle? Un niño en la etapa de operaciones
concretas diría "amarillo" porque hay más bolas amarillas que rojas.
Sin embargo, alguien en la etapa de operaciones formales abordaría el problema de manera
diferente. Representarían mentalmente el problema enfocándose en la diferencia absoluta entre las
cantidades de bolas rojas y amarillas, reflexionando sobre la proporción entre ellas. En
70
consecuencia, es más probable que digan que es más probable obtener una bola amarilla, ya que
hay una mayor proporción de ellas en comparación con las bolas rojas. En resumen, el
razonamiento no es algo que se pueda observar directamente; más bien, es una relación inferida
entre dos cantidades.
El ejemplo anterior demuestra que ambos tipos de pensadores llegarían a la misma
respuesta a la pregunta, pero lo harían utilizando sistemas lógicos cualitativamente diferentes. El
Razonamiento Combinatorio, que es una característica de las operaciones formales, involucra la
habilidad de considerar múltiples causas. Por ejemplo, si le diera a un grupo de estudiantes de
primaria y secundaria cuatro fichas de plástico de diferentes colores y les pidiera que las
combinaran de tantas maneras como fuera posible, la mayoría probablemente solo combinaría dos
fichas a la vez y sin un método sistemático. acercarse. Sin embargo, los adolescentes en la etapa
de operaciones formales son más propensos a inventar un método para representar todas las
combinaciones posibles, que van de tres a cuatro fichas, y generar estas combinaciones de manera
sistemática.
La teoría del desarrollo cognitivo de Piaget es ampliamente reconocida y ha suscitado un
importante debate. Su perspectiva revolucionó el estudio del desarrollo infantil, desafiando la
creencia de que los niños son seres pasivos formados únicamente por su entorno. Sin embargo, en
los últimos años, la teoría de Piaget ha enfrentado fuertes críticas y controversias. Los detractores
han expresado su preocupación por varios aspectos de su trabajo, incluidos sus métodos de
investigación, la naturaleza incremental del pensamiento de los niños, la aplicabilidad de los
modelos de equilibrio para explicar los cambios evolutivos y la universalidad de las etapas de
Piaget.
Muchos teóricos contemporáneos argumentan que Piaget subestimó las capacidades de los
niños pequeños, sugiriendo que sus tareas eran excesivamente complejas y requerían habilidades
cognitivas y verbales avanzadas. Los críticos sostienen que los niños pueden poseer habilidades
cognitivas superiores, pero carecen de las habilidades verbales para demostrar su competencia. En
consecuencia, cuando se emplean medidas no verbales para evaluar conceptos básicos, los
resultados divergen de los hallazgos de Piaget. El aspecto cualitativo del desarrollo cognitivo
propuesto por Piaget también ha sido muy analizado. Algunos teóricos cuestionan si los cambios
en los sistemas cognitivos de los niños son realmente tan fundamentales, decisivos, cualitativos y
graduales como sugirió Piaget. Además, el modelo de equilibrio, que enfatiza la asimilación, la
acomodación y el equilibrio, no logra explicar adecuadamente el progreso en el desarrollo
cognitivo. Estas actividades cognitivas no se abordan explícitamente en la teoría de Piaget, lo que
alimenta aún más las críticas.
Vygotsky
71
Lev Vygotsky, una figura influyente en la psicología rusa de 1896 a 1934, propuso una
teoría del desarrollo infantil que estuvo muy influenciada por los acontecimientos históricos de su
época. Tras el éxito de la Revolución de Octubre en 1917, los líderes de la sociedad soviética recién
formada enfatizaron la importancia de la contribución de cada individuo a la transformación social
a través del trabajo y la educación. En respuesta a este nuevo contexto social, Vygotsky desarrolló
una teoría psicológica que se centró en las relaciones entre los individuos y la sociedad. Argumentó
que comprender el desarrollo de un niño requiere el conocimiento del entorno cultural en el que se
crían. Vygotsky creía que los patrones de pensamiento de un individuo no son innatos, sino
moldeados por instituciones culturales y actividades sociales. Afirmó que es responsabilidad de la
sociedad adulta compartir su conocimiento colectivo con los miembros más jóvenes y menos
avanzados para estimular su desarrollo intelectual.
El desarrollo cognitivo del niño está muy influenciado por su participación en actividades
sociales, lo que les permite incorporar diversas herramientas culturales como el lenguaje, los
sistemas de conteo, la escritura, el arte y otras invenciones sociales en su proceso de pensamiento.
A medida que el niño participa en interacciones sociales, internaliza los resultados de estas
interacciones, lo que lleva al crecimiento cognitivo. De acuerdo con la teoría de Vygotsky, es
esencial considerar tanto la historia cultural más amplia como la historia individual del niño al
examinar el desarrollo cognitivo. Este principio propuesto por Vygotsky destaca la importancia de
una perspectiva histórico-cultural para comprender el proceso de desarrollo.
Vygotsky es ampliamente reconocido como uno de los primeros críticos de la teoría del
desarrollo cognitivo de Piaget. Mientras que Piaget argumentó que el conocimiento lo construyen
los individuos, Vygotsky enfatizó que el conocimiento en realidad es co-construido a través de
interacciones sociales. Él creía que la forma principal en que se produce el desarrollo intelectual
es a través de la interacción con compañeros y adultos más informados. Según Vygotsky, el
conocimiento no puede atribuirse únicamente al entorno o al propio niño; más bien, se sitúa dentro
de un contexto cultural y social específico. En términos más simples, sostuvo que los procesos
mentales como la memoria, la resolución de problemas y la planificación tienen sus raíces en las
experiencias sociales.
Según Vygotsky, cuando nace un niño, posee habilidades mentales básicas como la
percepción, la atención y la memoria. Sin embargo, es a través de sus interacciones con
compañeros y adultos más informados que estas habilidades innatas experimentan una
transformación, lo que lleva al desarrollo de funciones mentales superiores. En otras palabras,
Vygotsky creía que el desarrollo cognitivo implica internalizar las funciones que inicialmente
tienen lugar en el ámbito social.
Para Vygotsky, hay cinco conceptos clave que juegan un papel crucial en la comprensión
del desarrollo humano y la cognición: funciones mentales, habilidades psicológicas, la zona de
72
desarrollo próximo, herramientas de pensamiento y mediación. Vygotsky profundiza en cada uno
de estos conceptos para brindar una explicación integral.
Vygotsky, reconoce que hay dos tipos distintos de funciones mentales: inferior y superior.
Las funciones mentales inferiores son innatas y predeterminadas por nuestra genética. Son las
habilidades naturales con las que nacemos y tienen un comportamiento limitado, ya que están
condicionadas por lo que somos capaces de hacer. Por otro lado, las funciones mentales superiores
se adquieren y desarrollan a través de la interacción social. Estas funciones están influenciadas por
la sociedad y la cultura específicas de las que un individuo forma parte. Están mediados
culturalmente y permiten una gama más amplia de posibilidades en el comportamiento. El
conocimiento se ve como el resultado de la interacción social, donde tomamos conciencia de
nosotros mismos y aprendemos a usar símbolos, lo que nos permite pensar de manera más
compleja. Vygotsky enfatiza que el grado de interacción social afecta directamente el nivel de
conocimiento y la fuerza de las funciones mentales. Desde esta perspectiva, los humanos somos
ante todo seres culturales, y esto es lo que nos distingue de otros seres vivos, incluidos los primates.
El aspecto clave de esta diferenciación entre funciones mentales inferiores y superiores es que los
individuos no solo interactúan directamente con su entorno sino también a través y con otros
individuos.
Según Vygotsky, las funciones mentales superiores o habilidades psicológicas se
desarrollan en dos etapas. Inicialmente, estas habilidades se observan en el contexto social y luego
emergen dentro del individuo. Él afirma que cada función psicológica en el desarrollo cultural de
un niño aparece dos veces: primero a nivel social y luego a nivel individual. Estas funciones se
originan en las relaciones interpersonales, como lo demuestra la expresión de dolor de un niño a
través del llanto. Inicialmente, el llanto es una reacción básica al entorno, pero evoluciona a una
forma de comunicación para llamar la atención, que es una función mental superior
interpsicológica que solo puede ocurrir en la interacción con los demás.
Posteriormente, el llanto se vuelve intencional y sirve como herramienta de comunicación,
representando una función mental superior intrapsicológica que el niño posee dentro de su propia
mente. Esta transición de una etapa a otra es crucial en el desarrollo de los conceptos, ya que
implica un cambio de una forma precategórica a una forma categórica de clasificar las experiencias
y un movimiento hacia la categorización abstracta. Este proceso se conoce como internalización,
que se refiere a la construcción de representaciones internas de acciones externas u operaciones
mentales. Se puede ver un ejemplo de internalización cuando un adulto lee a un niño pequeño y el
niño comienza a señalar objetos en la página y trata de contarlos de forma independiente. En
opinión de Vygotsky, el niño está interiorizando el uso de los números para comprender un
conjunto de objetos. A medida que el niño se vuelve capaz de contar sin ayuda, la operación de
contar se convierte en parte de su organización interna. En última instancia, el desarrollo del
73
individuo alcanza su máximo potencial cuando se apropia e interioriza las habilidades
interpsicológicas como propias.
Vygotsky argumentó que cada cultura tiene su propio conjunto único de herramientas
técnicas y psicológicas que se transmiten a los niños a través de las interacciones sociales. Estas
herramientas culturales, a su vez, dan forma al desarrollo de la mente. La sociedad juega un papel
crucial en la formación del pensamiento de un niño al influir en las herramientas a las que están
expuestos. Por ejemplo, a principios del siglo XX, las madres les enseñaban a sus hijas a hacer
mantequilla y a hilar cuando llegaban a la pubertad, pero hoy en día estas habilidades se enseñan
con menos frecuencia.
De manera similar, antes de la disponibilidad generalizada de calculadoras, los estudiantes
tenían que memorizar hechos aritméticos, mientras que hoy en día a menudo se les permite usar
calculadoras en las clases de matemáticas y ciencias. El surgimiento de las computadoras como
herramienta tecnológica también ha planteado preguntas sobre cómo afectarán el desarrollo
cognitivo y social de los niños en la era moderna. A medida que los educadores y maestros
consideran las implicaciones, se enfrentan a los efectos potenciales de las computadoras en el
pensamiento y el aprendizaje de los niños. Vygotsky, como Piaget, creía que el desarrollo cognitivo
implica cambios significativos en los procesos de pensamiento.
Sin embargo, Vygotsky tomó un enfoque diferente al enfocarse en las herramientas técnicas
y psicológicas que los niños usan para interpretar el mundo que los rodea. Estas herramientas
pueden modificar objetos y controlar el entorno u organizar y regular el pensamiento y el
comportamiento. Por ejemplo, cuando un adulto lee a un niño, el niño aprende a usar un sistema
de conteo para ordenar objetos, que es un ejemplo de una herramienta psicológica. Otras
herramientas psicológicas incluyen números, palabras, símbolos, sistemas lógicos, normas
sociales, conceptos teóricos, mapas, géneros literarios y dibujos. Por otro lado, las herramientas
técnicas son instrumentos físicos como lápices y papel, transportadores geométricos, máquinas,
reglas y martillos.
Durante la etapa del habla social, los niños utilizan principalmente el lenguaje como medio
de comunicación. En este punto, sus pensamientos y lenguaje cumplen funciones separadas.
Aunque, a medida que avanzan hacia la etapa del habla egocéntrica, los niños comienzan a utilizar
el habla para regular su propio comportamiento y pensamientos. Pueden hablar en voz alta consigo
mismos mientras realizan tareas.
Es importante señalar que durante esta etapa, los autoinformes del niño se consideran
discurso privado ya que no están destinados a la comunicación con los demás. Sin embargo, el
habla comienza a jugar un papel importante en los aspectos intelectuales y comunicativos de su
desarrollo. Según Vygotsky, el lenguaje juega un papel importante en el desarrollo cognitivo.
Sostiene que el crecimiento intelectual de un niño se basa en su dominio del lenguaje y su entorno
74
social. Vygotsky identifica tres etapas distintas en el uso del lenguaje: habla social, habla
egocéntrica y habla interna.
En resumen, Vygotsky enfatiza el papel crucial del lenguaje en el desarrollo cognitivo.
Identifica las tres etapas del habla social, el habla egocéntrica y el habla interna, demostrando
cómo el lenguaje evoluciona de una herramienta para la comunicación a una herramienta para la
autorregulación y los procesos cognitivos. En la etapa final del desarrollo del habla, conocida como
habla interna, los niños interiorizan su habla egocéntrica. Usan este lenguaje internalizado para
guiar su pensamiento y comportamiento. Durante esta fase, pueden reflexionar sobre la resolución
de problemas y la secuencia de acciones manipulando el lenguaje internamente, dentro de sus
mentes.
El concepto de zona de desarrollo próximo, que fue introducido por Vygotsky, tiene un
valor significativo en los campos de la psicología y la educación. El enfoque principal de Vygotsky
estaba en el crecimiento potencial y el desarrollo intelectual de los niños, en lugar de considerar
únicamente su nivel actual de habilidades. La zona de desarrollo próximo engloba las funciones
que están en proceso de desarrollo pero que aún no han alcanzado su plena madurez. Significa
funciones que se encuentran actualmente en un estado embrionario, pero que se espera que
maduren en el futuro. Vygotsky enfatizó que estas funciones en desarrollo deben considerarse
como "botones" o "flores" del desarrollo, en lugar de sus resultados finales. Mientras que el nivel
actual de desarrollo proporciona una comprensión retrospectiva, la zona de desarrollo próximo
ofrece una visión prospectiva.
En términos prácticos, la zona de desarrollo próximo representa la brecha entre lo que un
niño puede lograr de forma independiente y lo que puede lograr con ayuda. Por ejemplo, un niño
de 6 años puede tener dificultades para armar un modelo de avión por su cuenta, pero con la guía
y el apoyo de un hermano mayor que tiene más experiencia, puede completar la tarea con éxito.
Vygotsky creía que las interacciones con adultos y compañeros dentro de la zona de desarrollo
próximo juegan un papel crucial para ayudar a los niños a alcanzar niveles más altos de
funcionamiento.
Visión sociocultural
La cultura juega un papel fundamental en la configuración del desarrollo cognitivo de los
seres humanos. Influye en la forma en que las personas aprenden y desarrollan sus funciones
mentales superiores. Las diferentes culturas ofrecen diversos enfoques para el razonamiento y la
resolución de problemas, todos los cuales son valiosos y adaptables en sus contextos específicos.
El aprendizaje colaborativo, guiado por personas con experiencia, mejora el crecimiento cognitivo
y permite que los niños internalicen el conocimiento y regulen su propio desempeño. Para ilustrar
el concepto de aprendizaje colaborativo, considere el escenario de Annie, de cuatro años, que
recibe un rompecabezas como regalo. Inicialmente, Annie lucha por resolver el rompecabezas
75
hasta que su padre interviene y ofrece orientación. Él sugiere que ella comience conectando las
piezas de las esquinas. Cuando Annie se siente frustrada, su padre demuestra colocando dos piezas
que encajan muy juntas, para que pueda observar el enfoque correcto. Una vez que Annie completa
con éxito el rompecabezas, su padre la alienta y la felicita.
A través de este proceso, Annie comprende gradualmente el método de resolución de
acertijos y se vuelve más independiente en sus esfuerzos. En resumen, la cultura juega un papel
importante en el desarrollo cognitivo de los seres humanos, ya que moldea e influye en su
crecimiento mental. Cuando los humanos nacen, poseen habilidades mentales básicas que luego
se transforman a través de la exposición a diferentes culturas. Por ejemplo, si comparamos dos
niños, uno de cultura occidental y otro de cultura oriental, observaremos que exhiben distintos
enfoques de aprendizaje que contribuyen al desarrollo de sus funciones mentales superiores.
Es importante tener en cuenta que cuando nos referimos a culturas, nos referimos a una
multitud de ellas, cada una con sus propias características y variaciones únicas. En consecuencia,
el desarrollo de la inteligencia no es un proceso uniforme sino un producto de contextos culturales
diversos. En este sentido, es vital comprender que ningún conjunto de habilidades cognitivas puede
considerarse inherentemente superior a otro. En cambio, estas habilidades representan formas
alternativas de razonamiento o "herramientas de adaptación" que han evolucionado para permitir
que los niños se adapten con éxito a los valores y tradiciones de sus respectivas culturas.
Los niños pequeños son curiosos por naturaleza y participan activamente en el aprendizaje
y el descubrimiento de nuevos conceptos. Sin embargo, Vygotsky, un destacado psicólogo, pone
menos énfasis en el descubrimiento por iniciativa propia y destaca la importancia de las
interacciones sociales en el crecimiento cognitivo. Muchos "descubrimientos" significativos
hechos por niños ocurren en el marco de diálogos cooperativos o colaborativos entre un tutor
experto y un estudiante novato. En estos diálogos, el tutor modela la actividad y proporciona
instrucciones verbales, mientras que el alumno intenta comprender e interiorizar esta información
a lo largo del tiempo, utilizándola para regular su propia actuación.
Vygotsky argumenta que la presencia del lenguaje juega un papel vital en el desarrollo de
las habilidades cognitivas. El lenguaje sirve como un medio para que las personas expresen sus
ideas, hagan preguntas y establezcan conexiones entre experiencias pasadas y proyectos futuros.
Cuando nos involucramos en la resolución de problemas, es común que pensemos en términos de
palabras y oraciones incompletas. Vygotsky enfatiza la importancia del lenguaje en el desarrollo
cognitivo, particularmente a través del habla privada, que es cuando los individuos se hablan a sí
mismos para guiar su propio pensamiento. Afirma que esta forma de hablar no es egocéntrica, sino
que ocurre cuando los niños pequeños encuentran obstáculos o dificultades y expresan sus
esfuerzos para superarlos.
76
Asimismo, existe una correlación entre el pensamiento lógico y la competencia lingüística,
ya que el desarrollo lingüístico se entrelaza con las representaciones abstractas. Esta conexión
permite la internalización de operaciones lógicas, lo que a su vez facilita la comprensión y
manipulación de otras relaciones abstractas. Dado que el habla privada ayuda a regular el proceso
de pensamiento de uno, es razonable permitir e incluso fomentar su uso en entornos educativos.
Imponer silencio absoluto a los jóvenes estudiantes mientras abordan problemas desafiantes puede
en realidad obstaculizar su progreso.
La auto instrucción cognitiva es una técnica que enseña a los estudiantes cómo participar
en el aprendizaje autodirigido a través del diálogo interno. Por ejemplo, aprenden a recordarse a sí
mismos que deben abordar las tareas con calma y atención. El habla interna no solo es importante
durante los años escolares, sino incluso en la edad preescolar, ya que los niños pasan un tiempo
considerable hablando consigo mismos. Esta práctica permite la formación de nuevas conexiones
y relaciones entre funciones cognitivas que inicialmente no estaban presentes. Como hemos
observado, Vygotsky otorga un gran valor al aspecto sociocultural del desarrollo cognitivo. Al
considerar este aspecto, reconocemos que el lenguaje, como elemento crucial en el aprendizaje, se
desarrolla gradualmente con el tiempo. Además, Vygotsky enfatiza la importancia de los adultos y
los compañeros en el desarrollo cognitivo, ya que cree que las conversaciones e intercambios
significativos con personas más informadas dentro de la cultura, ya sean adultos o compañeros
más capaces, contribuyen al crecimiento de las habilidades cognitivas.
Otro concepto significativo que considerar es el del aprendizaje guiado. En varias
sociedades, los niños no reciben educación en entornos escolares tradicionales o mediante
lecciones formales impartidas por sus padres sobre habilidades específicas como tejer o cazar. En
su lugar, se involucran en una participación guiada, participando activamente en actividades
culturalmente relevantes junto con compañeros más experimentados que ofrecen el apoyo y la
motivación necesarios.
La participación guiada es un método informal de "aprender a pensar" en el que los
procesos de pensamiento de los niños se moldean a medida que participan activamente en tareas
cotidianas que son culturalmente significativas, como cocinar, lavar la ropa, cuidar los cultivos o
participar en discusiones sobre el mundo que los rodea. a ellos. Según Vygotsky, un niño
normalmente aprende en situaciones en las que un guía, a menudo sus padres, les presenta tareas
cognitivas. Esto resalta la importancia de las interacciones interpersonales, a las que Piaget, por
ejemplo, no le da el mismo nivel de importancia.
77
Capítulo 4
Perspectivas de Vigotsky y Piaget en el pensamiento lógico y las habilidades
cognitivas
Piaget y Vygotsky: comparación
Piaget y Vygotsky tienen diferentes perspectivas sobre los supuestos fundamentales de sus
teorías. Si bien ambos reconocen la importancia de la construcción mental del conocimiento de un
niño, Vygotsky pone un mayor énfasis en el papel de las interacciones sociales en este proceso.
Según Vygotsky, la construcción del conocimiento no es un esfuerzo individual sino social, donde
las funciones mentales superiores se desarrollan a través de actividades socialmente mediadas.
El aprendizaje colaborativo y la resolución de problemas son los principales medios a
través de los cuales se produce el cambio cognitivo. Vygotsky también cree que la cultura juega
un papel importante en la configuración del desarrollo cognitivo. A medida que un niño crece y
madura, aprende a utilizar las herramientas del pensamiento que son muy valoradas en su cultura
específica. Esto resalta el hecho de que no existen patrones universales de desarrollo, ya que las
diferentes culturas priorizan varios tipos de herramientas, habilidades intelectuales y normas
sociales. Por ejemplo, las habilidades intelectuales necesarias para prosperar en una sociedad
tecnológicamente avanzada diferirán de las requeridas en una sociedad predominantemente
agrícola.
Una distinción significativa adicional entre Piaget y Vygotsky radica en sus perspectivas
sobre el aprendizaje. Piaget argumenta que el desarrollo cognitivo establece limitaciones sobre lo
que los niños pueden aprender de las experiencias sociales, lo que sugiere que el aprendizaje no
puede acelerarse a través de experiencias educativas. Por otro lado, Vygotsky reconoce que el
aprendizaje y el desarrollo no son idénticos, pero enfatiza que el aprendizaje es un componente
esencial y universal del proceso de adquisición de funciones psicológicas humanas y culturalmente
organizadas.
El punto de vista de Vygotsky afirma que la instrucción, ya sea de compañeros o de adultos
con más conocimientos, es la base fundamental para el desarrollo cognitivo, y el aprendizaje
precede al desarrollo. Además, el concepto de zona de desarrollo próximo de Vygotsky presenta
una perspectiva contrastante sobre la madurez en comparación con la teoría de Piaget. En la teoría
de Piaget, la madurez del aprendizaje está determinada por el nivel de competencia y conocimiento
del niño. Sin embargo, si un maestro intenta enseñar un concepto u operación antes de que el niño
esté mentalmente preparado, Piaget se refiere a esto como "aprendizaje vacío". En contraste,
Vygotsky argumenta que la instrucción debe enfocarse en el nivel potencial de desarrollo, que el
78
niño demuestra con la ayuda y guía de otros. Vygotsky afirma que el único aprendizaje eficaz es
el que se anticipa al desarrollo del alumno.
Con respecto al papel del lenguaje en el desarrollo, Vygotsky y Piaget sostuvieron
perspectivas contrastantes. Piaget creía que el habla egocéntrica de los niños pequeños era un
reflejo de su incapacidad para ver las cosas desde la perspectiva de los demás y, por lo tanto, no
tenía ningún propósito significativo en su desarrollo. Según Piaget, los procesos cognitivos se
derivaban de las acciones involucradas en la manipulación de objetos, más que del habla.
En resumen, mientras Piaget consideraba que el lenguaje egocéntrico carecía de propósito
en el desarrollo, Vygotsky enfatizó su importancia como mecanismo intelectual y de
autorregulación en los niños pequeños. Por otro lado, Vygotsky vio el discurso egocéntrico como
un fenómeno evolutivo crucial. Él creía que cuando los niños se involucran en un discurso
egocéntrico, están organizando y regulando activamente su propio pensamiento. Al hablar solos,
los niños intentan resolver problemas y pensar de forma independiente. Vygotsky se refirió al habla
egocéntrica como habla privada y la consideró como una herramienta fundamental para que los
niños pasen de ser regulados por influencias externas a ser autorregulados por sus propios
pensamientos.
• Las teorías del desarrollo cognitivo de Piaget y Vygotsky sentaron las bases psicológicas
de los enfoques constructivistas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Según los
constructivistas, el niño debe adquirir su propio conocimiento del mundo en el que vive.
Los adultos guían este proceso proporcionando estructura y apoyo.
• Las teorías de Piaget y Vygotsky se centran en cambios cualitativos en el pensamiento del
niño. Piaget argumentó que el desarrollo cognitivo consiste en cambios importantes en la
forma en que se organiza el conocimiento. Vygotsky creía que representaba cambios en las
herramientas culturales que usa el niño para interpretar el mundo.
• Piaget propuso dos principios básicos que rigen el desarrollo intelectual: organización y
adaptación. A medida que el niño madura, sus sistemas de conocimiento se integran y
reorganizan, creando sistemas más complejos y ambientalmente adaptables. La adaptación
de los esquemas ocurre a través de la asimilación y la acomodación. En el primer proceso,
el niño da forma a la información para que se ajuste a sus estructuras de conocimiento
actuales. En el segundo proceso, modifica sus esquemas para restaurar un estado de
equilibrio. La asimilación y la acomodación explican los cambios en la cognición en todas
las edades.
• Piaget sostuvo que la evolución sigue un orden inmutable. Los primeros años de la infancia
se caracterizan por dos fases. En la etapa sensoriomotora (de 2 a 7 años), comienza a utilizar
palabras, números, gestos e imágenes para representar objetos de su entorno. También
comienzan a formular teorías intuitivas para explicar los fenómenos ambientales que
79
pueden tener un impacto a largo plazo en el aprendizaje. Las principales limitaciones del
pensamiento preoperacional son el egocentrismo, la centralización y la rigidez del
pensamiento.
• Los años de la escuela primaria y secundaria se caracterizan por dos fases más. Durante el
período de operaciones concretas (7 a 11 años), el niño comienza a utilizar operaciones
mentales para reflexionar sobre los fenómenos y objetos que le rodean. Durante este
período ocurren las siguientes operaciones mentales: clasificación, serialización y
conservación. Solo se aplican a estímulos concretos que están presentes en el entorno. En
la etapa final del desarrollo cognitivo, la de las operaciones formales (desde los 10 años
hasta la edad adulta), los adolescentes y adultos pueden razonar sobre objetos, eventos y
conceptos abstractos. Adquieres la capacidad de aplicar la lógica proposicional, la
inducción, la deducción y el razonamiento combinatorio. Durante este tiempo podemos
reflexionar sobre nuestros propios procesos de pensamiento.
• Las teorías no piagetianas intentan concretar la teoría Piaget conservando los principios
básicos de que el desarrollo es cualitativo y gradual. Exploran cómo el procesamiento de
la información explica el cambio evolutivo.
• La teoría de Piaget inspiró reformas curriculares de gran alcance y continúa teniendo un
gran impacto en la práctica docente contemporánea. Entre sus principales contribuciones a
la educación se encuentran las ideas de que a) el niño debe acumular conocimientos
activamente; b) los educadores deben ayudarlo a aprender a aprender; c) las actividades de
aprendizaje deben adaptarse al nivel de desarrollo conceptual d) la comunicación con los
compañeros contribuye al desarrollo cognitivo. La teoría de Piaget enfatiza el papel del
docente en el proceso de aprendizaje como organizador, colaborador estimulante y mentor.
• En comparación con Piaget, Vygotsky concede más importancia a las interacciones
sociales. El conocimiento no se construye individualmente, sino que se construye en
conjunto entre dos personas. La memorización, la resolución de problemas, la planificación
y el pensamiento abstracto tienen un origen social.
• En la teoría de Vygotsky, las funciones cognitivas elementales se transforman en
actividades de origen superior a través de la interacción con adultos y compañeros más
informados. La internalización es un proceso que consiste en construir una representación
interna (cognitiva) de acciones físicas u operaciones mentales que surgen inicialmente en
las interacciones sociales. Los niños aprenden elementos de este último y así aprenden a
regular su comportamiento y pensamiento.
• Vygotsky describió los cambios evolutivos en el pensamiento del niño como una función
de las herramientas culturales con las que interpreta su mundo. Las herramientas técnicas
suelen servir para cambiar objetos o controlar el entorno, mientras que las herramientas
80
psicológicas sirven para organizar el comportamiento o el pensamiento. De acuerdo con la
teoría de Vygotsky, la sociedad moldea la conciencia del niño brindándole las herramientas
ideales para funcionar en él. La historia cultural y las experiencias de la infancia son
importantes para comprender el desarrollo cognitivo.
• Según Vygotsky, el lenguaje es la herramienta psicológica que influye más profundamente
en el desarrollo cognitivo de un niño. Identificó tres etapas de su uso. En el primero, el
niño lo utiliza principalmente en la comunicación (discurso social). En el segundo,
comienza a utilizar un discurso egocéntrico o privado para regular su pensamiento. Hablar
en voz alta o susurrar mientras se hace una tarea entra en esta categoría. En la tercera etapa,
el niño usa el habla interior (pensamientos verbales) para controlar su pensamiento y sus
acciones.
• Piaget y Vygotsky, dos destacados teóricos en el campo del desarrollo infantil, tienen
puntos de vista contrastantes sobre la importancia del lenguaje y el aprendizaje en el
desarrollo del niño. Piaget argumenta que el lenguaje egocéntrico, o la tendencia de los
niños a hablarse a sí mismos, no influye en su desarrollo general. Por otro lado, Vygotsky
sostiene que esta forma de autoexpresión es fundamental para ayudar a los niños a
organizar y regular sus pensamientos y acciones. De manera similar, cuando se trata de
aprender, Piaget afirma que el desarrollo de un niño impone limitaciones a lo que puede
adquirir de sus interacciones sociales. Por el contrario, Vygotsky enfatiza el papel crucial
de la instrucción proporcionada por compañeros o adultos informados, ya que es esta guía
la que fomenta el desarrollo cognitivo en los niños. Estas diferencias fundamentales de
perspectiva resaltan los diversos enfoques adoptados por Piaget y Vygotsky para
comprender las complejidades del desarrollo infantil.
Las habilidades cognitivas y sociales para la resolución de problemas matemáticos
Durante la última década, ha habido un énfasis creciente en la adopción de un enfoque más
social y colaborativo para la enseñanza y el aprendizaje con el fin de mejorar la calidad y los
resultados educativos en varios niveles. Este cambio hacia la colaboración ha sido reconocido
como una habilidad clave a desarrollar en el siglo XXI. En respuesta a esto, la resolución
colaborativa de problemas (RCP) ha surgido como un nuevo enfoque que desafía los métodos de
aprendizaje individualistas tradicionales dentro de los sistemas educativos. Esto es particularmente
relevante ya que se requiere cada vez más que las personas resuelvan problemas de manera efectiva
a través de la colaboración en diversas áreas de la vida, como el trabajo, las interacciones sociales
y los entornos familiares, donde la combinación de conocimientos y habilidades es esencial.
En el campo de la educación matemática, la RCP se ha incorporado principalmente en
pruebas estandarizadas internacionales como PISA, con el objetivo de medir y mostrar la
capacidad de los individuos para aplicar conocimientos y habilidades en la resolución colaborativa
81
de problemas. Esto se debe a que existe evidencia sustancial que indica una fuerte correlación entre
las contribuciones de las ideas matemáticas y la participación activa en el trabajo colaborativo.
Dicha participación no solo implica contribuciones individuales para comprender y desarrollar
estrategias iniciales, sino que también abarca la construcción de ideas matemáticas a través de la
comunicación, el diálogo, la crítica, la explicación y la argumentación entre pares. Estos aspectos
se enfatizan y especializan particularmente cuando la RCP se integra sistemáticamente en los
procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
La colaboración surge cuando un conjunto de personas se encuentran incapaces de abordar
una situación por sí mismos, o cuando la colaboración aumenta la probabilidad de lograr objetivos
y propósitos con mayor eficiencia en términos de recursos y tiempo. Por lo tanto, se puede inferir
que la RCP es una habilidad multifacética ya que combina tanto el acto de resolución de problemas
como la participación de dos o más personas trabajando juntas para su resolución. Este proceso
requiere la utilización de habilidades tanto cognitivas como sociales, lo que lo convierte en un
esfuerzo complejo e intrincado.
En entornos de RCP, los individuos interactúan y autorregulan su aprendizaje aclarando
sus propios enfoques y propuestas. También se esfuerzan por comprender y desarrollar los
pensamientos propuestos por sus compañeros. Esto crea un proceso bidireccional que está
influenciado por las características individuales y los objetivos de aprendizaje de la organización.
Además, la corregulación se observa en entornos de RCP cuando los individuos perciben, refutan
o aceptan las contribuciones de los demás. Reflexionan y evalúan la coherencia y relevancia de las
contribuciones de sus pares en relación con las propias.
Las capacidades de autorregulación y corregulación en entornos de RCP se facilitan a
través de interacciones entre pares, que involucran comunicación tanto oral como escrita. Esta
comunicación tiene como objetivo comprender ideas, valorar diferentes perspectivas, desarrollar
declaraciones y, en última instancia, lograr una comprensión compartida del problema. En esta
comunicación se utilizan dos tipos de discurso: explicativo y argumentativo. El discurso
explicativo implica presentar conjeturas, ideas, opiniones, explicaciones, asentimientos,
evaluaciones y descripciones, sin necesariamente validarlos o refutarlos.
Por otro lado, el discurso argumentativo tiene como objetivo determinar la verdad o
falsedad de un enunciado o idea. Ambos tipos de discurso se consideran habilidades sociales
esenciales en la RCP, ya que contribuyen a la participación, la toma de perspectiva y la regulación
social. Esto destaca la relación bidireccional entre las habilidades cognitivas y sociales en la RCP,
que a veces puede ser difícil de diferenciar. Las habilidades cognitivas involucradas en la RCP
abarcan varias habilidades, como la planificación, la ejecución, el seguimiento, la evaluación y el
aprendizaje.
82
Si bien estas habilidades pueden parecer similares a las que se usan individualmente, la
naturaleza colectiva de la RCP permite la organización y coordinación de las contribuciones de
cada individuo. El proceso de resolución colectiva y cooperativa de problemas comienza con la
visualización proyectiva durante la fase de planificación. Esto implica analizar el problema y
comprender las perspectivas individuales o colectivas sobre el tema. También incluye establecer
un objetivo común o múltiples subobjetivos para guiar las estrategias. Luego se usa un monitoreo
efectivo para ajustar estas estrategias hasta que se llega a una solución y se produce el aprendizaje
posterior. Todo este proceso requiere procesos metacognitivos de autorregulación y corregulación
en todas las habilidades.
Según Mayer (1992), la resolución de problemas se puede dividir en dos pasos esenciales:
representar el problema y encontrar una solución. Al representar el problema, las personas deben
transformar la descripción dada en una representación mental interna, incorporando varios tipos
de información, como señales visuales o semánticas, así como conocimientos de disciplinas
relevantes. Este proceso implica integrar y organizar la información, establecer conexiones lógicas
y crear un contexto que permita generar una estrategia para resolver el problema.
Participar en la resolución de problemas dentro de este espacio de trabajo colaborativo
provoca emociones positivas como el disfrute, la felicidad, el interés y la satisfacción. Estas
emociones están íntimamente ligadas al uso de estrategias avanzadas de autorregulación como la
planificación, el seguimiento, la colaboración y el pensamiento crítico. Por el contrario, confiar en
estrategias superficiales como la memorización y el recuerdo simple genera emociones negativas.
En el contexto del espacio de trabajo colaborativo conocido como RCP, se establece una
representación compartida. Esta representación consta de los marcos mentales individuales
utilizados por los participantes, las normas matemáticas específicas del entorno RCP y los métodos
de razonamiento empleados dentro del grupo. Los tipos esperados de representación abarcan
conexiones contextuales con experiencias cotidianas, elementos manipulables concretos que
tienen un significado matemático, ayudas visuales como diagramas o esquemas conceptuales,
explicaciones o argumentos verbales y representaciones simbólicas asociadas con el lenguaje
matemático. Estas diversas formas de representar el problema están influenciadas por los objetivos
planteados por el grupo y su uso, creación o modificación de la representación.
Las habilidades sociales dentro del contexto de la RCP abarcan una gama de procesos que
facilitan la coordinación de acciones entre los miembros del grupo. La comunicación es un
componente destacado de estas habilidades, ya que es necesaria para la interacción y colaboración
continua dentro del grupo. La comunicación efectiva permite que las personas articulen sus
pensamientos e ideas, al mismo tiempo que descifran los significados detrás de las expresiones de
los demás. Esto incluye no solo el conocimiento, sino también los valores, las actitudes y las
intenciones.
83
El nivel de comunicación dentro de un grupo puede variar, y algunos grupos ponen más
esfuerzo y tiempo para mejorar la calidad de su interacción. Se ha descubierto que la medida en
que los grupos se involucran en la comunicación predice su desempeño general en la RCP. Otro
aspecto importante de la comunicación en este contexto es la toma de perspectiva, que implica
entender un problema desde el punto de vista de un colaborador.
Esta subhabilidad es particularmente relevante para la regulación social, que se relaciona
con cuestiones estratégicas dentro del grupo. En la regulación social, los participantes utilizan su
conocimiento de las fortalezas y debilidades de cada uno para resolver diferencias de opiniones,
intereses y estrategias. La resolución de conflictos y desacuerdos entre los miembros del equipo
se considera evidencia de estrategias de negociación efectivas, que abarcan la capacidad de
comunicarse, explicar ideas, llegar a acuerdos y participar en la argumentación. En última
instancia, la comunicación exitosa dentro de RCP implica compartir información y establecer una
comprensión compartida del problema, la estrategia o la solución.
Se ha demostrado que la práctica sistemática y sin control de resolver problemas
matemáticos en colaboración tiene un impacto positivo en las habilidades sociales y cognitivas.
Esto incluye habilidades relacionadas con la comprensión, la planificación, la ejecución, el
seguimiento y la evaluación. Durante la etapa de comprensión, los individuos combinan sus
habilidades cognitivas con habilidades de comunicación social para establecer una comprensión
compartida del problema.
Este proceso implica que cada individuo contribuya con sus propias perspectivas e
información únicas. Al principio, esto puede observarse solo en pocos estudiantes, pero a medida
que avanza la intervención, el resto del grupo comienza a desarrollar la capacidad de identificar y
establecer sus propias representaciones del problema. Esta coordinación y creación conjunta de
conocimiento a través de la comunicación es un aspecto importante de la resolución de problemas.
Como resultado, el grupo se vuelve más eficiente en el desarrollo de planes iniciales y en
la evaluación de estrategias o soluciones para cada problema. Esto sugiere que la resolución
colaborativa de problemas también tiene un impacto en las habilidades cognitivas individuales y
colectivas. Esto se alinea con investigaciones previas que sugieren que el uso de métodos
colaborativos de resolución de problemas puede mejorar el aprendizaje en áreas temáticas
específicas y desarrollar estrategias y habilidades especializadas. El proceso de negociación que
ocurre entre los estudiantes durante la resolución de problemas permite el intercambio de ideas y
el refinamiento de su propio razonamiento.
Durante las etapas iniciales de un plan, las habilidades sociales se observan principalmente
en un estudiante que comparte ideas conceptuales y procedimentales completas e incompletas, así
como representaciones concretas. Esto se alinea con los hallazgos que enfatizan la importancia del
conocimiento individual y la autoconciencia para identificar y comprender la información
84
relacionada con el problema en cuestión. Además, estas contribuciones individuales se
complementan con la negociación y discusión colectiva, como lo destaca el concepto de capacidad
de regulación. Esta dinámica facilita el desarrollo de estrategias individuales y colaborativas.
Además, este proceso demuestra que el proceso RCP (Regulación, Planificación y Control)
sistemático tiene un impacto significativo en la creatividad, ya que influye en la elaboración y
comunicación de ideas. Esta creatividad está impulsada por la regulación social y cognitiva
establecida durante las discusiones.
Cognición: estrategias
En general, las estrategias cognitivas juegan un papel crucial para ayudar a las personas a
centrar su atención en los aspectos importantes de una tarea. Estas estrategias nos alientan a hacer
conexiones, procesar información en profundidad y reorganizarla de manera significativa. Así es
como opera la mente humana, formando representaciones mentales a las que se pueden aplicar
procesos cognitivos para obtener conocimiento. Estos procesos facilitan la codificación y el
almacenamiento de la información, su posterior recuperación y su aplicación en la resolución de
problemas.
En el ámbito específico de las matemáticas, las estrategias cognitivas se definen como los
procesos que emplean los individuos cuando se enfrentan a tareas matemáticas para mejorar su
adquisición, almacenamiento y utilización de información y conocimiento. Existen varias
clasificaciones para las estrategias cognitivas, pero cuando se trata de resolver problemas
matemáticos, existe consenso en que las estrategias fundamentales incluyen la organización, la
formulación, la selección y la memorización:
• La organización implica leer cuidadosamente las declaraciones del problema, identificar el
problema, organizar los datos, establecer prioridades y buscar relaciones.
• La formulación implica explorar diferentes opciones de solución, desarrollar un plan y
ejecutarlo.
• La selección se refiere a la elección del individuo de qué tipo de razonamiento aplicar, lo
que implica la diferenciación entre y dentro de las fuentes de información en función de la
importancia y relevancia de los criterios.
• Por último, la memorización abarca el proceso de recuperar información de la memoria.
El estudio de las estrategias para la resolución de problemas matemáticos ha sido
fuertemente influenciado por los trabajos de Polya (1987). Según Polya, la experiencia previa de
una persona y su observación de cómo otros resuelven los problemas juegan un papel crucial en la
resolución de problemas. Asimismo, argumenta que las heurísticas utilizadas en el proceso de
resolución de problemas no dependen del contenido específico del problema.
85
En su modelo, propuesto en 1965, Polya describe cuatro pasos para resolver problemas de
manera efectiva:
• El primer paso es comprender a fondo el problema. Esto implica leer y analizar
cuidadosamente el enunciado del problema, identificando los componentes clave, como las
incógnitas, los datos y las condiciones. También puede ser útil crear una representación
visual, si corresponde, y establecer la notación adecuada. Adicionalmente, es importante
considerar si el problema tiene una solución viable. En resumen, las influyentes
contribuciones de Polya al estudio de las estrategias de resolución de problemas enfatizan
la importancia de comprender el problema, diseñar un plan, ejecutar el plan y reflexionar
sobre el proceso. Al seguir estos pasos, las personas pueden mejorar sus habilidades de
resolución de problemas matemáticos y abordarlos con confianza y eficiencia.
• El segundo paso es concebir un plan. Esto implica determinar los cálculos, el razonamiento
o las construcciones que deben emplearse para encontrar la solución. Durante esta etapa,
puede ser beneficioso considerar si hay problemas similares que se hayan encontrado
anteriormente, si el problema se puede reformular o si fuera ventajoso resolver primero un
problema relacionado más simple.
• El tercer paso es la ejecución del plan. Esto requiere no solo conceptualizar la idea, sino
también aprovechar el conocimiento previo, la concentración, los hábitos de pensamiento
y la paciencia. La implementación del plan puede conducir directamente a la solución o
requerir el desarrollo de una nueva estrategia.
• El paso final es la visión retrospectiva. Una vez ejecutado el plan y determinada y
documentada la solución, se recomienda revisar el trabajo realizado. Este paso asegura que
se haya obtenido la respuesta correcta y permite la consideración de enfoques alternativos
para resolver el problema.
Las habilidades de razonamiento matemático
El razonamiento matemático se dividen en varias categorías:
• La capacidad de resolver problemas es una habilidad crucial que requiere que el examinado
aplique su conocimiento fundamental, diseñe e implemente un enfoque sistemático para
encontrar una solución. La resolución de problemas implica participar en un proceso
creativo y cognitivamente complejo, donde los estudiantes deben desarrollar su propio
método para resolver el problema a partir de su conocimiento existente y establecer nuevas
conexiones entre diferentes conceptos. Asimismo, la resolución de problemas implica el
empleo de una variedad de estrategias, que incluyen técnicas algorítmicas que siguen un
conjunto específico de pasos y métodos heurísticos que involucran razonamiento intuitivo
y enfoques de prueba y error.
86
• El razonamiento deductivo, es un proceso lógico que involucra el uso de procedimientos
matemáticamente bien definidos para derivar ciertas consecuencias o la necesidad de
evidencia de apoyo. Con el razonamiento deductivo, uno progresa metódicamente de un
conjunto de proposiciones a otro conjunto de proposiciones. Este tipo de razonamiento
permite un enfoque sistemático y lógico para llegar a conclusiones.
• El razonamiento inductivo implica la creación de nuevos conceptos mediante el análisis de
similitudes o diferencias. Este tipo de razonamiento se hace evidente a través de varias
operaciones como clasificar, completar series, hacer analogías y comparar diferentes tipos
de símbolos. Estas operaciones nos permiten hacer inferencias y definir estos nuevos
conceptos, que luego pueden ser aplicados y evaluados. El razonamiento inductivo amplía
la información inicial y asegura la validez de la nueva información.
• El pensamiento probabilístico implica examinar situaciones que aún no han sucedido y
tienen múltiples resultados potenciales. Este tipo de razonamiento permite a los individuos
considerar la probabilidad de diferentes resultados, lo que resulta altamente beneficioso a
la hora de tomar decisiones en diversos aspectos de la vida cotidiana. Al emplear el
pensamiento probabilístico, las personas pueden evaluar las probabilidades asociadas con
diferentes escenarios, ayudándolos a tomar decisiones y juicios más informados. Este
proceso cognitivo permite a las personas considerar diferentes resultados potenciales y
sopesar la probabilidad de cada uno, lo que les permite anticipar riesgos y beneficios
potenciales. Además, el pensamiento probabilístico permite a las personas evaluar las
incertidumbres y las posibles consecuencias de sus decisiones, lo que conduce a estrategias
más eficaces para la resolución de problemas y la toma de decisiones. Permite a las
personas reconocer que existen varios resultados potenciales y que cada resultado conlleva
una cierta probabilidad. Por lo tanto, al incorporar el pensamiento probabilístico en sus
procesos de toma de decisiones, las personas pueden navegar mejor por situaciones
complejas e inciertas en su vida cotidiana.
• La visualización espacial es una habilidad cognitiva que involucra la capacidad de percibir
diferentes formas y manipularlas mentalmente. Abarca la capacidad de percibir
visualmente los objetos, conceptualizarlos y manipularlos mentalmente a partir de la
información percibida. Esta habilidad va más allá de la capacidad visual básica o la
memoria, ya que implica la transformación y manipulación activa de objetos en la mente
en lugar de simplemente reproducir o recordar información visual.
Conocimiento científico
Los presocráticos pudieron diferenciar entre dos formas de conocimiento, a saber, doxa y
episteme. Doxa, también conocida como conocimiento vulgar, se refiere a las opiniones personales
y subjetivas que tienen los individuos sobre un tema específico. Esta forma de conocimiento a
87
menudo se basa en creencias, figuras de autoridad o intuición. Por otro lado, episteme representa
el conocimiento universal que puede ser demostrado y verificado. Es el tipo de conocimiento que
se espera que todo individuo reconozca como verdadero. Vale la pena señalar que el concepto de
episteme ha dado lugar a los campos de la epistemología y la teoría del conocimiento científico.
El conocimiento científico es el resultado alcanzado a través de la aplicación sistemática
del Método Científico dentro del ámbito de la ciencia. Esta definición enfatiza el papel central del
método científico en la adquisición de conocimiento. Es ampliamente reconocido entre los
investigadores que el conocimiento científico posee ciertas características distintas, que son
comúnmente acordadas. Así, las características delinean la naturaleza única del conocimiento
científico y contribuyen a su credibilidad y validez:
• El origen empírico se origina en la observación como su fuente inicial, pero supera la mera
base fáctica.
• El valor de los resultados radica en la estricta adherencia al método científico.
• El enfoque analítico para comprender la realidad implica examinar cuidadosamente los
diversos elementos de un fenómeno particular y luego sintetizarlos para obtener una
comprensión integral. Este método implica desglosar los componentes del tema y estudiar
a fondo cada aspecto para formar un análisis cohesivo y holístico. Al profundizar en los
elementos fundamentales de los fenómenos, este enfoque permite un examen e
interpretación más profundos de la realidad. A través de este proceso de análisis, se puede
lograr una comprensión y una comprensión más profundas del tema.
• El resultado del análisis es la especialización que se centra en aspectos específicos de la
realidad. Esta especialización reduce el alcance del estudio para incluir solo ciertos
aspectos, lo que permite un examen más detallado de esos elementos particulares.
• La duda metódica implica cuestionar y dudar sistemáticamente hasta obtener evidencia
empírica concreta, al mismo tiempo que se consideran los defectos inherentes a nuestros
sentidos y la naturaleza subjetiva de las opiniones individuales. Es imperativo abordar
todos los conocimientos y creencias con escepticismo, escudriñándolos cuidadosamente
para llegar a una comprensión más confiable y objetiva.
• El conocimiento científico se caracteriza por un nivel de incertidumbre e hipótesis. Es un
ámbito en el que uno está constantemente lidiando con la naturaleza esquiva de la verdad,
nunca confiando plenamente en sus conclusiones o conformándose con la certeza absoluta.
Es importante señalar que la seguridad y la certeza son conceptos distintos dentro de este
contexto.
88
• La validación de hipótesis generalmente se lleva a cabo utilizando un enfoque
probabilístico, basándose en la evaluación de la probabilidad en lugar de la certeza
absoluta.
• La autocorrección tiene la capacidad de identificar sus propias deficiencias y rectificar
cualquier error que pueda haber cometido por su cuenta.
• La medición implica el desarrollo de métodos y enfoques específicos que se utilizan para
medir y documentar con precisión diversos fenómenos.
• En el ámbito del conocimiento científico de precisión, el objetivo final es lograr el más alto
nivel de precisión. Este objetivo sólo puede lograrse utilizando un lenguaje adecuado,
suficiente, unívoco, meticuloso y decidido.
• Al profundizar en la comprensión que va más allá del nivel superficial, se busca descubrir
las razones y motivaciones subyacentes detrás de varios fenómenos. Esta búsqueda del
conocimiento va más allá de lo superficial y, en cambio, se enfoca en comprender la
intrincada red de causalidad que gobierna el mundo. Está impulsado por una curiosidad
genuina y el deseo de desentrañar los misterios que nos rodean, brindándonos una
comprensión más profunda del porqué de las cosas. Al explorar las complejidades de la
causa y el efecto, podemos captar la verdadera esencia y la explicación detrás de los sucesos
y sucesos que dan forma a nuestra realidad.
• Para lograr la objetividad, es necesario que haya acuerdo entre los observadores. Este
acuerdo no solo asegura la confiabilidad sino también la consistencia entre diferentes
observadores, posibilitando la posibilidad de realizar comparaciones entre experiencias
subjetivas.
• El concepto de imparcialidad se refiere a un estado de ser imparcial y justo, donde las
decisiones y acciones de uno no están influenciadas por ideologías personales, prejuicios
o apegos emocionales. En otras palabras, la imparcialidad implica la capacidad de
mantener una perspectiva objetiva, desprovista de inclinaciones subjetivas que puedan
nublar el juicio o dificultar el logro de la verdadera equidad y justicia.
Es un principio fundamental que sustenta varios aspectos de nuestras vidas, desde el
sistema legal hasta la administración pública, y es crucial para garantizar que todas las
personas reciban un trato equitativo y sin ningún tipo de discriminación. La imparcialidad
se logra cuando las personas pueden dejar de lado sus creencias personales, nociones
preconcebidas y sesgos emocionales, lo que les permite evaluar las situaciones de manera
objetiva y tomar decisiones basadas únicamente en los méritos y la evidencia disponible.
Este compromiso con la imparcialidad es esencial para fomentar la confianza, mantener la
armonía social y defender los principios de igualdad y justicia en la sociedad.
89
• La precisión y la credibilidad de los resultados se pueden confirmar realizando el
experimento nuevamente para garantizar que se obtengan los mismos resultados. Este
proceso de verificación se puede lograr a través de la repetibilidad, que implica realizar
exactamente el mismo experimento varias veces, o la replicación, que implica realizar un
experimento similar utilizando diferentes métodos o configuraciones para validar los
hallazgos originales. Al emplear estas medidas, los investigadores pueden establecer la
confiabilidad de sus resultados y mejorar la confiabilidad de sus investigaciones científicas.
• Un aspecto clave a considerar es la relación de la información, que implica la capacidad de
conectar e integrar varios hechos en sistemas cohesivos. Esto significa que las personas
que poseen fuertes habilidades de relacionabilidad son expertas en encontrar conexiones
entre diferentes piezas de información, lo que les permite crear entendimientos completos
y completos. Al relacionar hechos e integrarlos en sistemas más grandes, estas personas
pueden dar sentido a conceptos complejos y proporcionar análisis perspicaces. Esta
habilidad es particularmente valiosa en campos como la investigación, donde la capacidad
de sintetizar información de varias fuentes es esencial para generar ideas innovadoras y
lograr avances significativos.
• El enfoque sistemático se caracteriza por una forma metódica y estructurada de tratar y
comprender las complejidades de la realidad
• La comunicación ofrece el resultado de la investigación de forma comprensible y
comunicativa.
• Esto es explicación racional y predicción.
Conclusión
Las Teorías de Piaget y de Vygotsky para el desarrollo cognitivo se refiere a la serie de
cambios que tienen lugar en los procesos de pensamiento y habilidades de un individuo,
particularmente durante sus años de desarrollo, lo que conduce a un aumento en el
conocimiento y las habilidades relacionadas con la percepción, el pensamiento, la comprensión
y el autocontrol. Él creía firmemente que el desarrollo cognitivo implica cambios en la
capacidad de un niño para razonar y dar sentido a su entorno. En la teoría de Piaget, se cree
que la forma en que los niños piensan en cada etapa es fundamentalmente diferente de la forma
en que piensan en las demás. Según Piaget, los individuos de todas las edades, incluidos los
niños, tienen una tendencia natural a organizar su comprensión del mundo a través de lo que
él llamó esquemas.
90
Es importante señalar que el desarrollo cognitivo no implica únicamente la construcción
de nuevos esquemas; implica también la reorganización y diferenciación de los existentes. En
consecuencia, Piaget introdujo los conceptos de asimilación y acomodación para describir
cómo los niños se adaptan a su entorno, en relación a la asimilación que implica encajar nueva
información en marcos o esquemas mentales existentes. Este proceso de dar forma activamente
a la nueva información para que se ajuste a los esquemas existentes es la asimilación. La teoría
de Piaget postula que el conocimiento se desarrolla a través de una serie de etapas, y cada etapa
representa un cambio distinto y significativo en el pensamiento. Piaget creía que el
pensamiento representacional juega un papel crucial para facilitar el desarrollo rápido del
lenguaje durante la etapa preoperacional. En otras palabras, argumentó que el pensamiento
precede al desarrollo lingüístico. Esta capacidad de usar palabras para referirse a objetos que
no están físicamente presentes se conoce como funcionamiento semiótico o pensamiento
representacional.
91
Referencias bibliográficas
Acosta Triviño, G., Rivera Acevedo, L. y Acosta Triviño, M. (2009). Desarrollo del
Pensamiento Lógico Matemático. FUNDACIÓN PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR SAN
MATEO.
Arboleda, L. C., (2002). El problema didáctico y filosófico de la desaxiomatización de las
matemáticas. Revista Colombiana de Filosofía de la Ciencia, 3(7), 59-84.
Antunes, C. (2004). Las Inteligencias múltiples como estimularlas y desarrollarlas.
México: Alfaomega.
Ballester, P. (2004). Evaluar y atender la diversidad de los alumnos desde las inteligencias
múltiples. Tesis doctoral (no publicada). Universidad de Murcia.
BARCELÓ ASPEITIA, A. A. (2003). ¿Qué tan matemática es la lógica matemática?.
Diánoia, XLVIII(51), 3-28.
Berdonneau, C. (2008). Matemáticas activas (2-6 años). Barcelona: Graó.
Briceño Díaz, F. A., & Bonilla Botia, I. (2006). El punto "C" de los Algoritmos. Los
Algoritmos y la Inteligencia Lógico Matemáticas. PROSPECTIVA, 4(1), 9-14.
Chandía, E., Huencho, A., Pérez, C., Ortiz, A., & Cerda, G. (2022). Habilidades cognitivas
y sociales en la resolución de problemas matemáticos de forma colaborativa. Uniciencia, 36(1), 1-
26.
Dávila Newman, G. (2006). El razonamiento inductivo y deductivo dentro del proceso
investigativo en ciencias experimentales y sociales. Laurus, 12(Ext), 180-205.
Defaz Cruz, G. (2017). El desarrollo de habilidades cognitivas mediante la resolución de
problemas matemáticos. Journal Of Science And Research: Revista Ciencia E Investigación, 2(5),
14-17.
Doria, L. A. P., & Nisperuza, E. P. F. (2022). El aprendizaje basado en problemas (ABP)
en la educación matemática en Colombia. Avances de una revisión documental. Revista Boletín
Redipe, 11(2), 318-328.
Escamilla González, A. (2014). Las inteligencias múltiples: Claves y propuestas para su
desarrollo en el aula. Barcelona: Graó.
Espinosa, D., (2008). La formación matemática en la educación superior. El Hombre y la
Máquina, (31), 52-63.
92
Ferrándiz, C. (2003). Evaluación y desarrollo de la competencia cognitiva: un estudio
desde el modelo de las inteligencias múltiples. Murcia: Servicio de Publicaciones: Universidad de
Murcia.
Ferrándiz, C., Bermejo, R., Sainz, M., Ferrando, M., & Prieto, M. D. (2008). Estudio del
razonamiento lógico-matemático desde el modelo de las inteligencias múltiples. Anales de
Psicología, 24(2), 213-222.
Gardner, H. (1983). Frames of mind. New York: Basic Books. (Traducción castellano,
Estructuras de la mente. La teoría de las Inteligencias Múltiples. México: Fondo de Cultura
Económica, 1987. Última Edición 2001).
GÓMEZ, R. 2012. La web 2.0 como herramienta didáctica de apoyo en el proceso de
enseñanza aprendizaje. Tesis doctoral. Universidad Complutense de Madrid. España.
GUZMÁN y CASTRO. 2005. La Red Universal Digital. Ed. Ramón Areces, Madrid.
Kramer, E.E. (1982). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton
University Press, Princeton.
Laínez Mora, K. (2017). Incidencias de las estrategias metodológicas activas en el
desarrollo del pensamiento lógico matemático de la básica Media de la Escuela de Educación
Básica Dr. Carlos Camacho Navarro. [Proyecto de grado, Universidad de Guayaquil].
Larreal Bracho, A. J. (2015). Herramientas de comunicación para el desarrollo de la
inteligencia lógica matemática. Opción, 31(3), 715-734.
LUCA, H. (s/f). La formación del profesorado como docentes en los espacios virtuales de
aprendizaje. Revista Iberoamericana de Educación, 36(1).
Mayer, R. E. (1992). Thinking, problem solving, cognition. WH Freeman. Times
Books/Henry Holt & Co.
Morado, R. (1984). La rivalidad en lógica. Diánoia, Fondo de Cultura Económica/UNAM,
México.
Piaget, J. (1969). Science of Education and the Psychology of the Child. Paris: Editions
Denoel.
Polya, G. (1987). Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas.
Quiridumbai, M. N. T., & Fernández-Reina, M. (2022). Concepciones sobre el
pensamiento lógico matemático: una revisión teórica. Impacto Científico, 17(1), 123-138.
RELPE. 2010. Aprendizaje cooperativo e interacción asíncrona textual en contextos
educativos virtuales. Pixel-Bit. Revista de Medios y Educación, 36.
93
Sánchez Huete, J. C. (2014). La inteligencia lógico matemática: Las matemáticas no se
aprenden, se hacen razonando. Educación y futuro: revista de investigación aplicada y
experiencias educativas.
Valbuena-Duarte, S., Padilla-Escorcia, I., & Rodríguez-Bossio, E. (2021). Reconocer la
inteligencia lógico-matemática en estudiantes con capacidades excepcionales. Tecné, Episteme y
Didaxis: TED, (49), 53-72.
Zapatera, A. (2018). Cómo alumnos de educación primaria resuelven problemas de
generalización de patrones. Una trayectoria de aprendizaje. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, 21(1), 87-115.
95
