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La educación matemática realista y su aplicación en el aula de clases
Ruben Dario Mendoza Arenas, Víctor Edgardo Rocha Fernández, Rubén
Orlando Arbañil Rivadeneira, José Farfán García, Benito Armando Larroche
Cueto, José César Piedra Isusqui
Adaptado por: Ruben Dario Mendoza Arenas
Compilador: Ysaelen Odor
© Ruben Dario Mendoza Arenas, Víctor Edgardo Rocha Fernández, Rubén
Orlando Arbañil Rivadeneira, José Farfán García, Benito Armando Larroche
Cueto, José César Piedra Isusqui, 2023
Jefe de arte: Yelitza Sánchez
Diseño de cubierta: Josefrank Pernalete Lugo
Ilustraciones: Ruben Dario Mendoza Arenas
Editado por: Editorial Mar Caribe de Josefrank Pernalete Lugo
Jr. Leoncio Prado, 1355 – Magdalena del Mar, Lima-Perú
RUC: 15605646601
Libro electrónico disponible en http://editorialmarcaribe.es/?page_id=1152
Primera edición – marzo 2023
Formato: electrónico
ISBN: 978-612-49240-2-6
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°: 202302233
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ÍNDICE
Prólogo .................................................................................................. 4
CAPÍTULO I .......................................................................................... 8
LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA: ESTRATEGIAS PARA EL
APRENDIZAJE ...................................................................................... 8
1.1 La Enseñanza de la Matemática: Significado ......................................................... 11
1.2 El Proceso de Enseñanzas: Etapas .......................................................................... 18
1.3 La Enseñanza de Las Matemáticas: Métodos y Contenidos Específicos ................ 28
1.4 Principios Didácticos en la Educación Matemática ................................................ 37
1.5 Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas: Algunas Concepciones. ................. 41
CAPÍTULO II ...................................................................................... 59
ESEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL ANÁLISIS ELEMENTAL ............. 59
2.1 Las Dificultades de Los Estudiantes en el Campo Conceptual Del Análisis .......... 59
2.2 Dificultades Ligadas a los Objetos Básicos ............................................................ 60
2.3 Los Números Reales................................................................................................ 60
2.4 Las Funciones .......................................................................................................... 61
2.5 El Concepto de Límite............................................................................................. 63
2.6 Las Aproximaciones Intuitivas................................................................................ 66
2.7 Dimensión de la Aproximación Del Análisis .......................................................... 68
2.8 La Falta de Estructuración....................................................................................... 68
CAPÍTULO III ..................................................................................... 71
LAS MATEMÁTICAS REALISTAS ....................................................... 71
3.1 Fundamentos de la Teoría de la Educación Matemática Realista ........................... 72
3.2 La Transición Del Conocimiento Informal al Formal ............................................. 78
3.3 El Proceso Didáctico Desde la Educación Matemática Realista ............................. 81
CAPÍTULO IV ..................................................................................... 82
POSICIONES REALISTA DE LA EDUACIÓN MATEMÁTICA ............... 82
4.1 El Realismo de Las Matemáticas ............................................................................ 84
4.2 El Platonismo: Caracterización ............................................................................... 86
4.3 Los Otros Realismos en Las Matemáticas .............................................................. 88
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CAPITULO V ..................................................................................... 100
LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA: APLICACIÓN EN ACTIVIDADES
COTIDIANAS .................................................................................... 100
5.1 Selección Cuidadosa de Ejemplos Prácticos ......................................................... 101
5.2 La Investigación y la Exploración ......................................................................... 103
5.3 Tipos de Tareas ..................................................................................................... 107
CAPITULO VI ................................................................................... 110
EL FUTURO DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA .............................. 110
6.1 Educación Matemática: Historia ........................................................................... 110
6.2 La Educación Matemática: Relación Con la Historia ........................................... 111
6.3 Incorporación de la Historia en la Educación Matemática: Algunas Dificultades
Teóricas ....................................................................................................................... 115
6.4 Casos Ilustrativos Para Aplicación en Las Aulas .................................................. 116
6.5 El Futuro de la Historia de la Matemática en la Educación Matemática .............. 124
CONCLUSIÓN ................................................................................... 128
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................. 130
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Prólogo
Tal vez, en algunas oportunidades escuchamos la frase: ¡Para enseñar,
basta con saber matemáticas!" y en contraposición aquella que dice: ¡No
basta solo saber matemáticas para enseñar! Por tanto, no es fácil responder
a la pregunta ¿Qué debe saber un docente para que los alumnos puedan
aprender Matemáticas? Hoy en día, existen dos acuerdos claros en la
comunidad educativa: saber Matemáticas en un campo amplio es una
condición necesaria, y saber Matemáticas por sí solo no es suficiente.
Al considerar todas las visiones, sobre las tareas y roles que deberían
tener los profesores de matemáticas ahora y en el futuro, podríamos
asegurar que poseen una infinidad de tareas y responsabilidades. Un nuevo
comportamiento profesional, una nueva actitud hacia los estudiantes
requiere el profesor de matemáticas; conocimientos y habilidades
pedagógicas flexibles de acuerdo con diferentes situaciones y contextos
educativos; conocimiento de la materia en sí y de la información didáctica
relacionada.
Del mismo modo, se requiere que sea posible promover y estimular el
trabajo de los estudiantes, para orientarlos a la reflexión, manejando los
aspectos sociales y emocionales; ser capaz de crear entornos de aprendizaje
matemáticamente diversos y enriquecedores; diseñar modelos que se
adapten a las condiciones de aprendizaje inciertas y cambiantes en las
clases de matemáticas y preparar a sus estudiantes para la integración y
participación laboral o para continuar con la educación superior.
Sin duda podríamos continuar con una lista interminable de aspectos,
habilidades, actitudes y comportamientos que deben estar presentes en el
rol del docente, los cuales se evidencian en los resultados de muchos
investigadores que revelan su deseo de encontrar un prototipo ideal de
trabajo de referencia. Por ejemplo, diferentes autores del campo de la
Educación Matemática: Ball, Lubienski & Mewborn-2001; Godino, Rivas,
Castro & Konic-2008; Hill, Ball & Schilling-2008; Schoenfeld &
Kilpatrick-2008; Ponte & Chapman-2006; Shulman-1986; Sullivan-2008;
entre otros, proponen modelos de conocimiento didáctico-matemático
docente y su medición.
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La conceptualización generalizada de Shulman (1986) introduce los
conceptos de conocimiento del contenido, conocimiento del currículo y
conocimiento del contenido pedagógico. Hill y otros (2008) ampliaron estos
conceptos, en particular, lo referente al conocimiento de contenido
compartido que corresponde a la conceptualización de conocimiento de
contenido de Shulman (1986). La versión de Hill et al (2008) se resume
esquemáticamente de la siguiente manera: Si no consideramos el
conocimiento sobre el currículo, el cual debemos saber porque somos
docentes o alumnos de docentes, que es un tema de la educación
profesional, aún debemos entender ¿Qué se refiere con los otros
conocimientos? Para ello presentamos una breve descripción:
Conocimiento común del contenido, se refiere a los conocimientos
que se ponen en juego para resolver problemas matemáticos, para lo
cual está capacitado un matemático o incluso un adulto con
conocimientos suficientes.
Conocimiento especializado de contenido, se refiere, por ejemplo, a
la disposición de secuencias que podrían utilizarse para desarrollar
diferentes aspectos de un determinado contenido.
Conocimiento en el horizonte matemático, el conocimiento da
perspectiva al docente en su trabajo. Es un conocimiento más preciso
que lleva a plantearse preguntas como ¿Lo que se afirma directa o
indirectamente puede tener consecuencias matemáticas
contradictorias? ¿Es interesante e importante desde un punto de vista
matemático? ¿Hay desviaciones en las ideas matemáticas discutidas?
Conocimiento del contenido y los estudiantes, se refiere al
conocimiento del contenido que está entrelazado, sobre cómo los
estudiantes piensan, saben o aprenden ese contenido en particular.
Esto incluye el conocimiento de ideas erróneas y dificultades
comunes, estrategias utilizadas, la capacidad de evaluar la
comprensión de los estudiantes y saber cómo se desarrolla su
razonamiento matemático.
Conocimiento del contenido y la enseñanza, proviene de vincular el
contenido matemático con el conocimiento de la enseñanza de ese
contenido. Esto incluye la capacidad de crear procesos apropiados
basados en el razonamiento de los estudiantes y las estrategias que
utilizan para abordar y corregir sus errores e ideas erradas.
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Si prestamos atención a la descripción de este tipo de información
solicitada por el docente, que se mezcla con las propias matemáticas, surge
otra interrogante: ¿Cómo accedemos a ella? En este sentido, la formación
de los profesores de matemáticas hoy se enriquece con el aporte de
investigadores de diversas partes del mundo, quienes, de acuerdo a la
particularidad de su contexto, intereses, proponen estudios y logran
resultados relativamente fáciles.
La comodidad y practicidad de las revistas electrónicas o
publicaciones internacionales disponibles en Internet permite, simplemente,
a los profesores interesados en la ubicación de información para sus clases,
accediendo a las obras más recientes y con la finalidad de utilizarlos para
su beneficio.
Esta característica de la comunicación actual obliga al docente o
educador a disponer de medios para comprender el planteamiento teórico
que enmarca la obra a la que tiene acceso. En la actualidad, la diversidad de
enfoques teóricos que influyen en la formación docente es importante. Al
retroceder en el tiempo, necesariamente no fue de esa forma. El inicio de la
contribución de la didáctica matemática se da centralmente en torno a la
teoría de las situaciones didácticas.
Este marco teórico se utilizó en la reforma de la educación primaria y
secundaria, además de la formación docente. Muchos investigadores han
trabajado consistentemente en esta línea, tanto en la aplicación del enfoque
como en la expansión de su alcance teórico.
Al mismo tiempo, se desarrollaron otras perspectivas en varias partes
del mundo, por lo que con el tiempo un gran número de ellas comenzaron a
compartir el espacio del conocimiento útil tanto en la formación docente
como en la educación matemática, que en la actualidad tiene luz propia y ha
recibido diferentes nombres: Educación Matemática, Didáctica Matemática,
Matemática Educativa, Educación Matemática, entre otras. En esta obra nos
enfocaremos en la Educación Matemática Realista, que aporta nuevas
perspectivas a la tarea del docente.
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Partiendo de una visión adaptada a las actividades cotidianas, con el
objetivo de abrir los márgenes de las perspectivas actuales, presentamos un
método pedagógico, donde encontramos los productos y aportes al
mejoramiento de las matemáticas en los diferentes niveles escolares. Este
enfoque tiene sus propias características, incluso conceptos. Algunos de
ellos podrían considerarse como un acercamiento teórico a la didáctica
matemática, además puede ser considerado como direcciones de
investigación en educación matemática.
En este análisis y comprensión exhaustiva de los procesos de
aprendizaje o enseñanza de las matemáticas, también la filosofía de las
matemáticas y la historia de las matemáticas tienen un lugar claro y natural.
Esperamos que el texto sea una herramienta útil para estudiantes de
matemáticas, maestros e instructores, además que las aportaciones le
presenten al lector elementos útiles para su labor profesional y académica,
acorde con los cambios educativos que naturalmente se dan en nuestra
sociedad.
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CAPÍTULO I
LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA: ESTRATEGIAS PARA EL
APRENDIZAJE
El aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en las instituciones
educativas, especialmente en la escuela primaria y en la educación
secundaria, se ha convertido en los últimos años en una tarea compleja y
fundamental en todos los sistemas educativos. Probablemente no haya
sociedad cuya estructura educativa carezca de currículos relacionados con
la enseñanza de las matemáticas (Bishop-1988; Mora-2002).
Los profesores de matemáticas y otras materias se enfrentan con
frecuencia a demandas didácticas cambiantes e innovadoras, lo que requiere
una mayor atención por parte de quienes se dedican a la investigación en el
campo de la didáctica de las matemáticas y, en particular, al desarrollo de
unidades de aprendizaje de refuerzo, sobre muchos temas diferentes dentro
y fuera de las matemáticas.
Si bien es cierto que la mayor parte de la literatura sobre educación
matemática está relacionada con la enseñanza, dejando poco espacio para el
aprendizaje, también es cierto que muchas ideas didácticas desarrolladas y
validadas no han sido puestas en práctica en los últimos años. Podríamos
mencionar, por ejemplo, la resolución de problemas (Schoenfeld-1985;
Guzmán-1993; Sánchez & Fernández-2003), la enseñanza basada en
proyectos (Mora-2003; Da Ponte, Brunheira, Abrantes & Bastos-1998), la
enseñanza basada en el puesto (Mora-2003), juegos en educación
matemática (Fernández & Rodríguez-1997), experimento matemático,
demostración (Serres-2002; Mora-2003), aplicaciones y su proceso de
modelado (Blum-1985; Mora.2002), entre otros.
Los fundamentos teóricos de estos enfoques de la enseñanza y el
aprendizaje natural son muy amplios y se nutren esencialmente de diversos
campos relacionados con la pedagogía, la didáctica y las propias
matemáticas. Las personas que se dedican a la didáctica matemática
consideran que los estudiantes deben adquirir diferentes conocimientos
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matemáticos en diversas situaciones tanto para sí mismos como para su
posterior aplicación y para fortalecer las estrategias didácticas en el
aprendizaje y la enseñanza. Por supuesto, esto requiere un estudio profundo
de los métodos de enseñanza relevantes y técnicas de desarrollo de la
enseñanza especialmente apropiadas.
Las matemáticas se enseñan de varias maneras y con la ayuda de
muchas herramientas, cada una tiene sus propias tareas; una de ellas, la más
utilizada y más inmediata, es el lenguaje natural (Beyer-1994; Skovsmose-
1994; Serrano-2003). La computadora y sus programas se han convertido en
la actualidad en la herramienta artificial más común para tratar diversos
temas matemáticos, desde juegos y actividades en la educación matemática
elemental hasta teorías y conceptos matemáticos muy complejos, estas
herramientas ayudan a los maestros a tener éxito en el desarrollo del
aprendizaje y la enseñanza.
La enseñanza se puede caracterizar como un proceso activo que
requiere no sólo el dominio de la disciplina, sino en este caso
conocimientos matemáticos básicos para trabajar con los estudiantes y
quienes apoyen o expliquen los conceptos más finos y rigurosos necesarios
para la comprensión de los estudios del mundo de las matemáticas, sino el
correcto dominio de las destrezas y habilidades que son fundamentales para
la acción de los profesores.
En este sentido, con la ayuda de varios autores, algunos dedicados a
pensar la didáctica de las matemáticas y otros en aspectos generales
relacionados con la metodología de la enseñanza y la pedagogía, se busca
presentar algunos aspectos de la enseñanza, sin olvidar la importancia del
aprendizaje.
El enfoque principal es el desarrollo de ideas comunes sobre la
enseñanza de las matemáticas, principalmente en los modelos y métodos
básicos para el manejo de las matemáticas escolares, y también en las
competencias básicas que deben tener los profesores, según las últimas
investigaciones en este campo (Mora-2003; Leuders-2001; Federico- 2001).
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Por ejemplo en países como Nicaragua, Venezuela, Bolivia y
Alemania se comprueba en la Figura 1, que el modelo A prevalece al
modelo B (Mora-1998) en el desarrollo de las aulas de matemáticas. Por
ello se considera necesario crear un tercer modelo adaptado a los principios
didácticos y pedagógicos críticos, así como a las visiones de las
matemáticas realistas y la teoría cognitiva crítica.
Figura 1. Modelos didácticos en clases de matemáticas.
Fuente: Mora -2003
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Durante muchos años se ha creído que las matemáticas que se enseñan
en las escuelas deben ser parte del desarrollo integral de una persona, el
cual debe estar presente constantemente desde edades tempranas,
independientemente del nivel escolar y actividades durante toda su
existencia. Las personas, y aquí parece existir un acuerdo tácito entre
grandes partes de la población de diferentes culturas (Bishop-1988), pueden
y deben adquirir conocimientos matemáticos y pensar cada vez
matemáticamente, especialmente en situaciones de la vida.
Esta facultad se puede aprender no solo a través de la exposición a
las matemáticas escolares, sino especialmente a través de experiencias
matemáticas interesantes e importantes. Solo son posibles si las actividades
de aprendizaje se desarrollan de acuerdo con las necesidades, intereses,
habilidades y motivación de los participantes, la unidad debe estar diseñada
para tener en cuenta no solo la competencia matemática específica
propuesta para la edad y la educación, sino también la importancia y
utilidad de este conocimiento matemático. De igual forma, la complejidad
de la enseñanza de las matemáticas exige inevitablemente una preparación
didáctica y metodológica de los docentes, acorde a las propuestas
pedagógicas desarrolladas en los últimos años (Arnold & Pätzold-2002).
1.1 La Enseñanza de la Matemática: Significado
La escuela generalmente les da a los estudiantes la responsabilidad de
su propio aprendizaje e implementación de una disciplina en particular.
Ahora sabemos que el aprendizaje no se trata solo de quien aprende, sino
también de quien tiene el trabajo de enseñar, en su mayoría los docentes. A
los estudiantes se les dio el papel y la responsabilidad de aprender, lo que
contribuyó a que recientemente le dieran muy poca importancia al
aprendizaje en el contexto de los conceptos generales de enseñanza
ampliamente discutidos en educación, pedagogía y didáctica.
Los estudiantes pueden aprender solo si están en contacto directo y
activo con el objeto de aprendizaje, en nuestro caso con un objeto
matemático interno y externo, en el que podrían asumir cierta
responsabilidad en su aprendizaje, de esta manera podrían asumir cierta
responsabilidad por su aprendizaje, debido que el mismo no es un hecho
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separado de los métodos de aprendizaje. En este sentido, aún falta
profundizar en algunos aspectos básicos de la educación matemática que
tienen un impacto significativo en el aprendizaje.
Se desarrolla una relación dialéctica entre alumnos y docentes
(Freire-1973), que permite revelar la dualidad en el curso del aprendizaje y
la enseñanza, donde el proceso es mutuo y compartido. Por lo tanto, existe
un acuerdo predeterminado entre los miembros involucrados en el
aprendizaje y la práctica docente. Algunos ahora llaman a este acuerdo un
"acuerdo didáctico". El contrato pedagógico y didáctico fue desarrollado
por grandes filósofos y educadores como Rousseau (1968), Pestalozzi
(1803), Simón Rodríguez (1975), Dewey (1998) y Freire (1996).
El contrato didáctico no suele ser tan silencioso como muchos
piensan, donde se garantiza la responsabilidad del alumno por el
aprendizaje; por el contrario, en prácticamente todos los sistemas
educativos se impone una cultura explícita del acuerdo didáctico, que se
manifiesta a través de la evaluación de los aprendizajes (Mora-2003).
La evaluación del aprendizaje ha creado una especie de
responsabilidad artificial de los estudiantes durante la enseñanza, por un
lado, que es ajena a los principios y objetivos de la enseñanza y
especialmente de la educación matemática. El interés por aprender
matemáticas de forma independiente ha desaparecido en gran medida; esto
significa que la responsabilidad del aprendizaje de las matemáticas y, en
muchos casos, del aprendizaje en general, se reduce considerablemente.
El éxito del proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas
está influido decisivamente tanto por los alumnos como por los profesores.
Ambos son responsables del desarrollo y resultados de la práctica didáctica,
los anteriores deben aceptar sus fortalezas y debilidades, respetándose
mutuamente en sus formas de trabajar, aprender y enseñar. La
responsabilidad por el propio aprendizaje y la libre enseñanza no significa
la existencia y aceptación de un desorden didáctico; por el contrario,
requiere más atención por parte de estudiantes y profesores.
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La didáctica crítica y progresiva requiere más actividad en el proceso
y una mejor significación de los contenidos, especialmente en los
contenidos matemáticos. Las dificultades en el aprendizaje de las
matemáticas se relacionan en su mayoría con el hecho de que los
estudiantes tienen poca actividad en la realización de actividades
matemáticas. Estamos, pues, ante un problema didáctico que puede ser
resuelto por el concepto de pedagogía progresiva, como bien lo señaló
Paulo Freire (1973).
Debido a la estructura de nuestro sistema didáctico, los profesores
dedican poco tiempo a los alumnos. Esto significa que el docente
experimentado no está presente durante gran parte del tiempo necesario
para lograr las metas establecidas en los planes de estudio. Por tanto,
además del tratamiento didáctico de determinados contenidos matemáticos,
la tarea de los docentes es desarrollar métodos de aprendizaje autónomo
basados en la investigación y la reflexión fuera del aula. El desarrollo de
métodos de estudio independiente brinda a los estudiantes la oportunidad de
recuperar el tiempo perdido o simplemente completar y ampliar el contenido
matemático cubierto superficialmente en lecciones o clases anteriores.
Temas de estudio como las fracciones, donde los estudiantes suelen
tener problemas permanentes, pueden ser autodidactas a través de un breve
proceso de aprendizaje y enseñanza con métodos y estrategias
suficientemente desarrollados por parte de los profesores. En muchos casos,
los estudiantes son más capaces en un área de las matemáticas que en otra,
como geometría, álgebra, probabilidad o estadística. Las estrategias de
aprendizaje independiente adquiridas en la escuela pueden ayudar
significativamente a superar las dificultades que aún existen después de
evaluaciones estándar similares.
Aprender y enseñar matemáticas implica casi siempre desarrollar
conocimientos matemáticos, aunque hayan sido creados o inventados hace
más de cuatro mil años (Wussing-1998). Los profesores de matemáticas
hacen matemáticas con sus alumnos al punto de crear definiciones y
conceptos matemáticos, aunque sean muy básicos. Aquí encontramos mucha
magia y mitos de las matemáticas, se pueden reinventar cada vez. En lugar
de memorizar fórmulas o demostraciones, los estudiantes están interesados
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y motivados para construir estas fórmulas, demostrando enunciados o
teoremas, preferiblemente si son de gran importancia para ellos.
El miedo de los docentes a desarrollar conocimientos matemáticos ha
hecho que se valore más el trabajo algorítmico que la construcción de
conceptos matemáticos. Debemos abandonar la idea de que los conceptos
matemáticos permanentes son los que se memorizan; por el contrario, un
hombre recuerda más a menudo y más fácilmente las ideas que ha elaborado
por sus propios medios. Las ideas básicas son aquellas que forman el centro
importante del aprendizaje matemático (Bruner-1980; Mora-2003). Los
estudiantes pueden construir sobre estas ideas a través de métodos y la
presencia constante de profesores.
Podemos afirmar que el aprendizaje de las matemáticas tiene lugar
fuera o dentro de las instituciones sólo cuando los estudiantes están
realmente comprometidos con el desarrollo de conceptos e ideas
matemáticas. Las matemáticas se enseñan, como otras materias del
conocimiento científico, de acuerdo con los enfoques psicopedagógicos de
Lev Vygotsky (1978) en colaboración con otras materias que participan en
el proceso de enseñanza y aprendizaje (Röhr-1997).
Por lo general, la enseñanza de las matemáticas comienza con una
breve introducción motivacional que posibilita el interés y la actividad de
los estudiantes de acuerdo con sus métodos de aprendizaje conocidos como
resultado de los conocimientos previos, la intuición personal y el proceso
de socialización matemática interna y externa (Mora-2002). Los docentes
ahora pueden tener muchos recursos, ideas y formas de iniciar actividades
de matemáticas con los estudiantes.
Para comenzar el tema de la simetría por ejemplo, podríamos citar la
introducción de “Whipala”, animales como mariposas o murciélagos;
encontrar una ley que explique el comportamiento de una serie dada de
números; desarrollar un problema matemático basado en la descripción de
una situación compleja del mundo real, como sugieren Skovsmose (1994) o
Blum (1985); leer una historia o texto relacionado que contenga ideas y
conceptos matemáticos que puedan generar preguntas para los estudiantes y
crear actividades de aprendizaje y enseñanza basadas en discusiones
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similares; el trabajo matemático puede iniciarse presentando problemas y
situaciones propuestas en los libros de texto; discutir ejemplos resueltos en
estos u otros entornos de aprendizaje y enseñanza para iniciar nuevos
contenidos matemáticos. Se recomienda desarrollar tareas auténticas y
tareas realistas, porque las situaciones ficticias, crean cierto rechazo y
repulsión en los alumnos.
La elaboración de unidades de estudio en el campo de las matemáticas
requiere de suficientes conocimientos didácticos y especiales de
departamentos que puedan resolver problemas y situaciones dentro o fuera
de las matemáticas. La resolución de este tipo de tareas debe entenderse
siempre en el marco de los conocimientos matemáticos pertinentes, lo que
facilita enormemente el aprendizaje sin provocar frustraciones ni retrocesos
didácticos. Esto no quiere decir que no podamos apoyarnos en soluciones
generales y modelos previamente establecidos que faciliten la solución de
los problemas creados por el tema respectivo. También hay que tener en
cuenta que cada nueva situación conduce a soluciones aparentemente
inesperadas o desconocidas.
La tarea del docente es anticipar de cierta manera los hechos
didácticos que pueden ocurrir durante el aprendizaje. En este sentido, los
docentes requieren no sólo preparación y disciplina, conocimientos
didácticos y pedagógicos, sino básicamente tiempo y recursos didácticos
suficientes. Esta es una de las mayores dificultades por las que atraviesa
nuestro sistema educativo.
Una buena preparación profesional no es suficiente si los docentes no
cuentan con los medios, recursos y tiempo suficientes para preparar y
desarrollar sus actividades docentes, especialmente dentro de los conceptos
e innovaciones didácticas que se promueven en la actualidad. De esta
manera, los docentes claramente no son capaces de hacer un buen trabajo
didáctico y pedagógico, como sugieren cada vez más los planificadores
curriculares y los pedagogos. Una buena educación matemática requiere una
gran responsabilidad por parte de los estudiantes, así como buenas
condiciones ambientales y didácticas en toda institución educativa.
Aprender matemáticas requiere paciencia, tiempo y recursos.
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Según algunos estudios relacionados con las interacciones socio-
matemáticas y la realidad de las prácticas matemáticas en el aula, incluso
en los países industrializados domina la presencia de los libros de texto
(Bauersfeld, Krummheuer & Voigt-1988; Voigt-1995; Krummheuer-1997;
Mora-1998), cuyo concepto didáctico no se corresponde con principios
pedagógicos y didácticos dirigidos al trabajo activo y colectivo de los
estudiantes. Los libros de texto en la mayoría de las materias y desde el
primer período de la escuela primaria hasta la escuela secundaria superior
están diseñados para un enfoque rígido, sistemático y de primera línea de la
educación matemática.
Tratar las matemáticas en la escuela significa, en lugar de repetir
matemáticas ya hechas y contextualizadas, lograr un estrecho contacto entre
los participantes del trabajo didáctico y la actividad matemática. Esta
relación sólo es posible si las situaciones didácticas que se trabajaron
dentro o fuera de las matemáticas se relacionan con actividades de gran
importancia para los niños y jóvenes. Esto no significa, desde un punto de
vista metodológico, que los profesores deban tratar de presentar con
elegancia las matemáticas existentes en los libros de texto.
La calidad de las matemáticas escolares está relacionada
fundamentalmente con las situaciones internas o externas (Mora-2003). Este
requerimiento didáctico exige una adecuada elaboración de unidades
didácticas y de aprendizaje, que pueden resultar de una reflexión colectiva
de los docentes en las respectivas escuelas. Para ello, es fundamental la
formación continua de los profesores de matemáticas y otras materias en los
diferentes niveles del sistema educativo. Alcanzar tales metas requiere
también de la participación de los padres, de toda la sociedad, y de una
nueva actitud de los alumnos hacia el aprendizaje (Medina, Mora &
Riobueno-2003).
El proceso de enseñanza y aprendizaje de las instituciones educativas
debe tener en cuenta las diferencias en las materias correspondientes (Mora-
2003). La enseñanza tiene como objetivo el aprendizaje grupal y a través de
la interacción social. Cada miembro de este grupo tiene importantes
diferencias individuales que surgen de sus propias experiencias; tales
diferencias se manifiestan a través de diversas disposiciones e incluso
destrezas o habilidades en una disciplina o tema en particular. Para que los
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docentes puedan participar adecuadamente en el desarrollo del aprendizaje
y la enseñanza en las diferencias de cada participante y las fuerzas
influyentes del grupo, los docentes necesitan una amplia flexibilidad
didáctica, especialmente en el campo de las matemáticas. Los docentes en
general, y los de matemáticas en particular, deben aceptar que en nuestras
aulas hay alumnos muy diversos que también deben ser atendidos con
delicadeza y flexibilidad.
Ahora sabemos, gracias a diversos estudios en el campo de la
educación matemática, que muchas niñas y jóvenes tienen dificultades con
las matemáticas, en algunos casos muchas, a pesar de lo importantes que
son para el desarrollo general de la sociedad en su conjunto. Sin embargo,
pueden solucionarse desarrollando un trabajo didáctico en el aula a través
de métodos de enseñanza y aprendizaje colectivos e individuales, siempre
adaptados a las diferencias y características específicas del grupo.
Es importante señalar que no solo aquellos alumnos que tienen
mayores dificultades necesitan ayuda. También debemos considerar a
aquellos que están muy interesados en las matemáticas, que requieren
cuidados especiales, que pueden consistir en alentarlos a resolver
situaciones problemáticas más complejas (Krippner-1992). La flexibilidad
en la enseñanza de las matemáticas no debe limitarse principalmente a estos
dos casos; También es importante considerar las preguntas y el desarrollo
de su trabajo, independientemente de si sus soluciones son correctas o
parcialmente correctas.
Elogiar y reconocer las iniciativas de los estudiantes y las estrategias
creativas de solución también pertenece a la flexibilidad didáctica. Al
desarrollar una lección, tanto el aprendizaje como la enseñanza deben
encontrar un equilibrio suficiente. Por un lado, la enseñanza debe adaptarse
a las características de aprendizaje de los alumnos, y la enseñanza del grupo
y de cada alumno debe adaptarse a los métodos de enseñanza utilizados por
los profesores. Solo cuando se logra esta armonización, es posible vincular
adecuadamente el aprendizaje con la enseñanza y viceversa, evitando así la
falta de coordinación entre ambos procesos.
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1.2 El Proceso de Enseñanzas: Etapas
Diversos estudios relacionados con la interacción socio-matemática
en el aula (Yackel & Cobb-1996; Mora-1998), que aplican la observación
como método básico de investigación, han demostrado que las clases de
matemáticas en diferentes países pueden caracterizarse por la existencia de
siete fases claramente diferenciadas. En algunos casos, algunos de ellos
tienen más peso o importancia en la enseñanza que otros. Todos ellos están
relacionados con el punto de vista de los docentes de esta profesión sobre la
didáctica y el aprendizaje práctico de las matemáticas en el aula.
A continuación, se presenta una breve descripción de cada uno de
esos momentos didácticos que han sido reflejados en muchos estudios
internacionales sobre el desarrollo de las aulas de matemáticas. Además de
mencionar y describir algunos de los elementos característicos de estas
siete etapas, tratamos de incluir ideas que puedan contribuir a la
implementación de una educación matemática útil y muy importante para
todos los estudiantes.
En este análisis, consideramos un diagrama que muestra los dos
modelos más comunes utilizados en las aulas de matemáticas, informados
en varios estudios como TIMSS (Third International Science and
Mathematics Study), PISA (Programme for International Student
Assessment), PIRLS (Progress in International Reading Literacy Study) y
LLECE (Laboratorio Latinoamericano para la Evaluación de la Calidad de
la Educación) durante los últimos diez años.
1.2.1 Presentación Didáctica
Además del ritual de iniciar cada lección de matemáticas o de
cualquier otro campo, esta etapa se refiere a una breve mención del tema
tratado durante el período de estudio. Hay diferentes formas de iniciar este
proceso. En algunos casos, se comenta brevemente el contenido tratado, en
otros se recuerda el tema tratado en lecciones anteriores, o simplemente se
hacen algunas preguntas preliminares a los estudiantes para iniciar una
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discusión y reflexión sobre un problema matemático específico o tareas
adicionales de matemáticas.
En otros casos, los profesores de matemáticas se ayudan de
determinadas historias, información de prensa reciente relacionada con la
materia, fenómenos naturales o sociales, situaciones conocidas por los
alumnos, juegos o temas propios de otras materias. La vida cotidiana está
llena de fenómenos que se pueden utilizar para introducir diferentes temas
matemáticos en varias clases, desde el primer período hasta la escuela
secundaria e incluso en las llamadas matemáticas universitarias.
Observamos a los docentes utilizando diferentes estrategias de este tipo,
como medir el peso, la longitud y el tiempo.
Figura 2. Etapas Básicas del Proceso de Enseñanza de la Matemática.
Fuente: Mora -2003.
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Es importante señalar que el tema de la alimentación aparece muy a
menudo como una estrategia didáctica, especialmente cuando se trata del
uso de fracciones. La idea de una mesa de pastel o chocolate aparece en
casi todos los libros de texto de matemáticas diseñados para introducir a los
estudiantes al concepto de división y las fracciones. En la perspectiva
didáctica de resolución de problemas, aprendizaje y enseñanza a través de
proyectos, aplicaciones y juegos, la tendencia a utilizar es la "realidad
imaginada" (Nesher-2000) solo para presentar lecciones matemáticas es
muy cuestionable, aunque la contextualización de algunos contenidos
matemáticos, como por ejemplo las fracciones cuyo dominio permite que
todos los ciudadanos del mundo actual se desarrollen adecuadamente.
En consecuencia, se tiende a una introducción didáctica orientada a
tratar situaciones y/o problemas matemáticos domésticos o externos y/o
problemas de cierta complejidad didáctica, en torno a los cuales se
desarrolla toda una unidad de aprendizaje. Este tipo de presentación
didáctica permite a los estudiantes combinar el lenguaje natural, la
visualización, la manipulación de objetos concretos, la simbolización de
hechos y especialmente el proceso de actividad e indagación (Skovsmose-
1994; Stenhouse-1998). Esta visión de la educación matemática dentro de
TIMSS (Mora-2001) contempla ejemplos muy concretos de aprendizaje y
enseñanza de las matemáticas, iniciados con la formulación de un problema
realista, cuya complejidad requiere una participación cuidadosa y activa
tanto de alumnos como de docentes.
1.2.2 El Desarrollo Del Material Matemático
Por lo general, los profesores de matemáticas toman el control total
de la clase y desarrollan nuevos contenidos matemáticos a través de
preguntas y respuestas (a menudo estas respuestas no provienen
directamente de los participantes del curso), sin la participación de los
estudiantes en esa etapa del proceso. En otros casos, aunque muy raramente,
aparecen uno o más problemas, las llamadas situaciones problema, cuyas
soluciones se encuentran a través de diversas estrategias didácticas. Uno de
ellos, el más habitual hasta el momento, es el propuesto por los propios
profesores, lo que deja muy poco espacio y tiempo a los alumnos para
pensar en posibles soluciones.
21
Durante este proceso de búsqueda de soluciones adecuadas, se
introducen nuevos términos matemáticos, se evalúan algunas posibilidades
explicativas y se formulan reglas o propuestas que podrían resolver de
manera definitiva y adecuada los respectivos problemas. Luego se
desarrollan un conjunto de contenidos matemáticos internos o externos
esenciales que todos los estudiantes del curso deben dominar de acuerdo
con los objetivos de enseñanza. El objetivo central de esta etapa es casi
siempre lograr que los estudiantes aprendan nueva información o dominen
nuevos procedimientos matemáticos.
Desafortunadamente, en nuestra realidad educativa, los estudiantes
difícilmente adoptan algún algoritmo sin comprender su significado y
menos aún su estructura, lo que debería ser una de las tareas de las
matemáticas escolares. En este punto, algunos profesores dejan que sus
alumnos trabajen solos, en grupos o en parejas durante un tiempo y que
propongan algunas soluciones parciales o finales. Los maestros o
estudiantes pueden escribir estas ideas en la pizarra. Son el punto de partida
para el procesamiento de nuevos contenidos matemáticos. En otros casos,
los libros de texto pueden utilizarse de forma intensiva si tienen un enfoque
didáctico progresivo y son compatibles con ideas didácticas orientadas al
estudiante.
1.2.3 La Relación Con Otros Conocimientos Matemáticos
Aunque esta fase rara vez se describe en estudios como TIMSS y
PISA, en muchos casos está implícita en el desarrollo de otras fases. Las
matemáticas por excelencia crean un mundo formado por una infinidad de
partículas que están íntimamente relacionadas y que podrían ser
representadas por un árbol con infinitas ramas. Se ha observado que los
docentes intentan de forma intencionada o automática conectar diferentes
ideas matemáticas, independientemente de su complejidad, a la hora de
explicar un determinado concepto matemático.
Esta idea de la conectividad del conocimiento matemático se
relaciona con el concepto de ideas centrales en la educación matemática
(Bruner-1980; Mora-2003; Schweiger-1992). Por ejemplo, muchas ideas de
geometría se pueden trabajar dentro del concepto de triángulo, incluida la
22
geometría sólida y el contenido trigonométrico u otros conceptos
matemáticos más amplios. Las perspectivas didácticas basadas en la
resolución de problemas, proyectos y aplicaciones requieren mayor énfasis
en la conectividad de los conceptos matemáticos.
Suele ocurrir que el tratamiento y resolución de un problema requiere
de varios contenidos matemáticos, muchas veces de diferente complejidad y
diferentes campos matemáticos (Orton-1998). Modelar una situación
realista puede requerir conceptos de geometría plana, así como el desarrollo
de una ecuación cuadrática. Para los docentes, esta actividad es obvia; sin
embargo, es difícil que los estudiantes adquieran esta cualidad de conceptos
matemáticos y estrategias didácticas complejas como la resolución de
problemas, proyectos y aplicaciones en un corto período de tiempo y con
pocos ejemplos.
Los profesores de matemáticas deben explicar esta característica de
las matemáticas en el curso del aprendizaje y la enseñanza. Por lo tanto, es
apropiado presentar este paso de forma independiente, porque como parte
de los objetivos de la enseñanza de las matemáticas, los estudiantes deben
tener claro que combinar información matemática diferente en la resolución
de problemas fuera o dentro de las matemáticas es necesario e importante.
1.2.4 La Consolidación de los Nuevos Conocimientos
Matemáticos
La mayoría de los conceptos matemáticos se pueden aprender, con el
apoyo de los profesores trabajando en las estrategias de enseñanza, también
influye la importancia y el significado del contenido matemático de los
estudiantes en el tema, fortalecido por la repetición y práctica de
procedimientos y reglas de trabajado en clases de matemáticas similares.
Esto denota que el aprendizaje de matemáticas requiere paciencia, práctica
y repetición constante.
Otros temas, como aquellos que los estudiantes practican antes de una
evaluación, probablemente se puedan dominar con una breve preparación.
En matemáticas esto no es suficiente, y parece que la falla más importante
23
que se reporta constantemente en el estudio de las matemáticas es
precisamente que hay poco o ningún conocimiento de la matemática nueva y
antigua. Se sabe que tanto los niños y jóvenes como los adultos pierden lo
aprendido con bastante rapidez si no se practica, repite o aplica durante
mucho tiempo.
A menudo enfatizamos que, al comenzar un nuevo contenido escolar,
es muy importante considerar el conocimiento previo de los estudiantes. Sin
embargo, resulta que casi todas las pruebas diagnósticas muestran que tales
conocimientos previos no son suficientes en función de las metas que la
formación básica del estudiantado pretendía alcanzar. La razón de este
déficit es precisamente la poca consolidación de los contenidos matemáticos
estudiados en la escuela.
A menudo, los profesores o el público en general afirman que la
repetición y la práctica son las claves del aprendizaje. Por eso los libros de
texto tienen muchos ejercicios, muchos de los cuales son repetitivos. Sin
embargo, resolver 500 problemas de sistemas de ecuaciones no es suficiente
si los estudiantes no entienden su propósito y significado. Entender y
reflexionar sobre el trabajo matemático es la clave para consolidar el
conocimiento. Es mejor trabajar de manera inteligente y exhaustiva en 5 o 6
problemas para resolver una ecuación cuadrática que resolver
mecánicamente 30 o 40 ecuaciones.
La calidad de las tareas y ejercicios de consolidación tiene un
impacto significativo en el buen aprendizaje matemático. En la práctica
diaria de la enseñanza de las matemáticas, se suelen hacer ejercicios
intensivos antes de los cálculos; pero cuando tales juicios pasan, el
conocimiento matemático cae en el olvido. Ya no se utilizan, ni siquiera
como información de fondo.
La curva de olvido es ampliamente conocida, se acentúa cuando los
conocimientos matemáticos no están consolidados o cuando ya no se
utilizan en la vida cotidiana. Las matemáticas puramente algorítmicas y
mecánicas dejan de ser interesantes y útiles al cabo de unas cuatro o cinco
semanas. En este sentido, la consolidación del conocimiento matemático
está relacionada con la calidad del contenido matemático utilizado en la
24
escuela, con las estrategias didácticas aplicadas y, sobre todo, con la
relación entre las matemáticas y la realidad (Nesher-2000; Blum-1985;
Mora-2002).
1.2.5 La Profundización Del Conocimiento Matemático
Después de la fase de consolidación, cada escuela tiene una
profundización de los nuevos conocimientos adquiridos. No solo los
estudiantes avanzados en matemáticas u otras materias necesitan
profundizar en los conocimientos matemáticos desarrollados durante cada
lección. Por el contrario, los alumnos con mayores dificultades deben
familiarizarse con algunos aspectos básicos y necesarios, siempre de
acuerdo con sus inquietudes e intereses. Algunos estudiantes no siempre
quieren trabajar con todo el contenido de matemáticas cubierto en la clase
de matemáticas; sin embargo, los docentes tienen el deber y la tarea de
investigar quiénes podrían ser los estudiantes que necesitan una
comprensión más profunda de algún contenido matemático.
Además, se deben elegir aquellos temas matemáticos que puedan ser
de interés para uno u otro alumno, que faciliten la profundización según las
diferencias de cada individuo (Krippner-1992). En algunos casos, no es
suficiente que los estudiantes, por ejemplo, entiendan que 4/5 es menos que
9/4 usando ciertas estrategias de aprendizaje. Habría que profundizar más
haciendo una segunda ronda de argumentos, por ejemplo, haciendo
operaciones aritméticas en ambas fracciones para mostrar que una fracción
es en realidad más pequeña o grande que la otra (Mora-2003). También
puedes convertir ambas fracciones a decimales y comprobar claramente las
diferencias entre ellas. Se podría profundizar aún más definiendo, por
ejemplo, la existencia de otras fracciones entre 4/5 y 9/4. Habría mucha más
demanda de esta actividad, quizás para aquellos alumnos que tienen un
mayor interés por las matemáticas.
25
1.2.6 La Supervisión de Los Nuevos Conocimientos
Matemáticos
Todos sabemos que el objetivo principal de la enseñanza es el
aprendizaje. ¿Cómo saber si los alumnos realmente han alcanzado los
objetivos fijados en los planes de estudios? Esta es una tarea muy difícil,
para la cual la didáctica matemática aún no tiene una respuesta
completamente satisfactoria. Hay algunas ideas y referencias (Salinas-2002;
Mosquera & Quintero-1997; Amigues & Zerbato-Poudou-1999; Leuders-
2002; Mora-2003) que todavía están lejos de una solución definitiva al
problema de la evaluación del aprendizaje de la educación matemática en
diversas áreas del sistema educativo.
El caso es que actualmente los docentes siguen utilizando como
estrategia evaluaciones cortas, parciales, trimestrales, entre otras, e incluso
existen muchos tipos de evaluaciones, la mayoría de las cuales se
desarrollan individualmente y por escrito en el aula. La supervisión o el
seguimiento del proceso de enseñanza y aprendizaje en la tradición de la
evaluación proporcionan a los profesores información sobre la eficacia de la
enseñanza. Lamentablemente, en nuestros países latinoamericanos, este
control no cumple con este propósito, sino que, por el contrario, pretende
seleccionar y separar a los estudiantes de acuerdo a las condiciones y
requerimientos de cada sistema educativo.
Es muy importante recordar que el éxito de la enseñanza y el
aprendizaje no dependen de las características de la evaluación en sí, sino
más aún del trabajo didáctico y pedagógico realizado en el aula. Cuantas
más actividades, requisitos motivacionales y buenas estrategias didácticas
haya en el aprendizaje y la enseñanza, mejores serán los resultados de
comprobar los conocimientos matemáticos de los alumnos. En este caso, la
docencia cumple su verdadera función de promover el aprendizaje y la
enseñanza. La evaluación del aprendizaje matemático es una forma
adecuada de retroalimentar el proceso, no una forma declarada de aceptar,
rechazar, elegir, asignar clases o lugares en la educación superior.
Los últimos estudios internacionales, como TIMSS, PISA y PIRLS,
muestran claramente la importancia de la gestión del conocimiento
26
matemático como estrategia para mejorar la enseñanza y promover
conceptos metodológicos en los diferentes niveles de los sistemas
educativos. Este debe ser el objetivo principal de gestionar los
conocimientos adquiridos durante el desarrollo del aprendizaje y la
enseñanza; de esta forma, el control se convierte en otro aspecto realmente
importante de la didáctica.
Los conocimientos matemáticos adquiridos por los estudiantes pueden
verificarse mediante preguntas que se les hacen antes, durante y después del
desarrollo del estudio. La evaluación de las respuestas dadas por los
estudiantes da inmediatamente la información correcta sobre el éxito del
aprendizaje. El control del proceso y los resultados de un aprendizaje
complejo permite dirigir ayudas o sugerencias de otras maneras para
continuar el trabajo individual o colectivo.
También podemos monitorear el aprendizaje a través de la
supervisión independiente del trabajo grupal de los estudiantes. Los
docentes también pueden determinar el éxito del aprendizaje a través de
tareas de investigación, exposiciones, discusiones colectivas, entre otras, lo
que reduce la presentación de pruebas escritas, que requieren mucho tiempo
y esfuerzo del docente para comprender, preparar y aprender, lo que no
siempre se refleja en mejores resultados en el aprendizaje de las
matemáticas.
1.2.7 Corrección, Eliminación de Errores y Concepciones
Erróneas
Lamentablemente, una noción de educación matemática centrada en el
formalismo matemático redujo la construcción del conocimiento matemático
y, por lo tanto, prácticamente eliminó los errores como elemento clave del
aprendizaje de las matemáticas en la escuela. La tradición didáctica exige
que los estudiantes respondan siempre correctamente a las preguntas orales
de los profesores durante el desarrollo del aprendizaje y la enseñanza de las
matemáticas en el aula, así como a las evaluaciones escritas.
27
Los errores de los estudiantes y los malentendidos del pasado no se
utilizan como punto de partida para una buena enseñanza; por el contrario,
son severamente castigados, provocando frustración, rechazo e impotencia
en los estudiantes. Es ampliamente conocido (Radatz-1980) que todas las
personas cometemos muchos errores todos los días y constantemente, pero,
por otro lado, también hemos construido una cultura de castigo por los
errores. Quizás esta actitud esté relacionada con la necesidad humana de
justicia; lo anterior no tiene el mismo significado desde una perspectiva
didáctica que desde una perspectiva jurídica.
Aparentemente solo los estudiantes cometen errores en matemáticas,
no los maestros o matemáticos profesionales. Este malentendido de quién
comete o no errores al resolver un problema de matemáticas ha contribuido
a la “mistificación” del aprendizaje de las matemáticas. Suele decirse que
saber matemáticas es resolver problemas o ejercicios matemáticos de forma
independiente sin compartir con los demás y sin cometer errores. Esta
posición extrema, que muchos matemáticos y profesores de matemáticas
toman todos los días, limita severamente el aprendizaje y provoca que los
estudiantes abandonen la disciplina en gran escala.
Diversas conversaciones con adultos de algunas profesiones, muchas
de ellas relacionadas con las matemáticas, reportadas en algunos estudios
sobre actitudes hacia las matemáticas (Heymann-1996), muestran
claramente cómo sufren en su formación matemática en ambientes escolares
debido al rechazo de sus maestros o profesores, sancionados por los errores
cometidos en el desempeño de sus funciones. Esta actitud antipedagógica
debe cambiar si realmente queremos que la población valore y disfrute las
matemáticas en todos los niveles del sistema educativo.
En su obra Qué edad tiene el capitán, Stella Baruck (1989) enfatizó la
necesidad de reorientar los puntos de vista de los maestros, sobre los
errores de los estudiantes y los malentendidos previos antes de comenzar
cualquier materia especial de matemáticas. Cita como ejemplo que los
errores son, por supuesto, parte del trabajo matemático y, por lo tanto,
deben tenerse en cuenta al desarrollar el proceso de aprendizaje, porque
contribuyen mucho al éxito del aprendizaje de las matemáticas. En cierto
modo, los errores matemáticos son parte del motor que impulsa a los
28
estudiantes de matemáticas a explorar el razonamiento detrás de muchos
conceptos matemáticos.
Por el contrario, los profesores deben proporcionar a los estudiantes
suficiente autocrítica constructiva para que confíen en sus errores para
mejorar su aprendizaje matemático. Finalmente, debemos enfatizar que
todos los malentendidos humanos que se le pueden atribuir al mundo de las
matemáticas son parte de la habilidad humana que les permite aprender con
mayor éxito. Se trata de intuición.
Como bien ha dicho Paulo Freire (1973), la respuesta intransitiva de
las personas a sus muchas preguntas es parte de su capacidad intuitiva para
encontrar soluciones a problemas, muchos de los cuales son muy complejos.
Como parte de estas respuestas, y debido a la falta de explicaciones
"racionalmente correctas", las personas desarrollan explicaciones que no
siempre se adecuan al conocimiento que las ciencias confirman en cada
caso.
Los niños en particular están constantemente desarrollando este tipo
de construcciones mentales, que con el tiempo se convierten en
malentendidos. Son muy comunes en matemáticas y muchos profesores de
matemáticas los castigan como errores. La idea es entonces utilizarlos como
punto de partida para desarrollar estrategias de enseñanza y aprendizaje que
favorezcan su transformación en conceptos matemáticos válidos y
específicos.
1.3 La Enseñanza de Las Matemáticas: Métodos y Contenidos
Específicos
Al enseñar matemáticas en la escuela, no es necesario aprender solo
ciertos contenidos matemáticos en una clase. Uno de sus objetivos es
garantizar que los estudiantes también construyan métodos para resolver
problemas matemáticos internos y externos y situaciones complejas en la
vida cotidiana. A veces los profesores olvidan que, de hecho, las estrategias
y métodos desarrollados en la escuela permanecen en la memoria de una
persona durante mucho tiempo.
29
Si alguna materia realmente ayuda a estructurar y construir métodos
en las personas, son las matemáticas y, más aún, las estrategias didácticas
prácticas como la resolución de problemas, el aprendizaje basado en
proyectos y las aplicaciones. Durante el desarrollo del aprendizaje y la
enseñanza, los profesores de matemáticas y otras materias introducen
constantemente diferentes métodos y estrategias, que también deben
enfatizarse como parte de los objetivos de aprendizaje y enseñanza. En este
sentido, elaboramos a continuación algunos puntos relacionados con la
enseñanza de los contenidos y métodos de la educación matemática en la
escuela.
1.3.1 La Terminología Matemática: Dominio
Las matemáticas, a diferencia de otras materias, se basan
fundamentalmente en conceptos, términos y definiciones. Los términos
matemáticos en realidad constituyen su esencia (Kline-1985). Sin ellos,
tanto la sistematicidad como las estructuras, así como el significado del
contenido matemático, tendrían muy poco sentido. Los términos
matemáticos se pueden organizar jerárquicamente y cada uno tiene un
contenido característico que lo identifica y lo distingue de los demás.
Muchos de los términos con los que trabajan los matemáticos representan la
realidad o se utilizan correctamente en el lenguaje común de la población.
Por ejemplo, el término "límite" se usa a menudo en el idioma nativo
y, al mismo tiempo, significa un concepto muy importante en toda la
estructura matemática. De manera similar, el término "derivada" está
estrechamente relacionado en significado con el verbo "derivar", que
también se usa en diferentes idiomas. Pero el lenguaje cotidiano no siempre
se habla matemáticamente, y cuando lo usamos queremos expresar otras
ideas, no necesariamente conceptos o mensajes matemáticos. No es que los
términos adquieran diferentes significados, sino que el significado
matemático que los describe está claramente definido y limitado al
contenido o pensamiento matemático.
Entonces estamos presentes con el uso del mismo término en dos
formas diferentes de lenguaje; por un lado, en lenguaje coloquial y por otro
30
lado en una especie de lenguaje especial. Es tarea de los profesores
descubrir y explicar estas diferencias durante el desarrollo de las lecciones
de matemáticas. Desde el punto de vista de la educación matemática, sería
muy útil que la población utilizara con más frecuencia muchos términos con
el mismo significado en matemáticas. Dominar y manejar los términos
matemáticos a diario ayuda mucho a comprender los conceptos
matemáticos.
Hay diferentes formas de asociar un término matemático con símbolos
que se convierten en sinónimos de esos términos. Entonces, por ejemplo, la
palabra cuadrado es un término que se usa en un sentido matemático casi
todos los días para describir cosas que tienen la propiedad de ser un
cuadrado. Mesa cuadrada, papel cuadrado, caja cuadrada, entre otros, se
convierten en sinónimos simbólicos de la palabra cuadrado. Sin embargo,
no sucede lo mismo con el término rectángulo, aunque en la vida cotidiana
puede haber más rectángulos que cuadrados.
Otro aspecto importante a tener en cuenta al referirse a términos
matemáticos es la idea de conjunto que describen la mayoría de ellos. Así,
por ejemplo, las palabras triángulo, negativo, números racionales, función,
entre otros, se componen de elementos con propiedades similares. De
manera similar, la mayoría de los términos matemáticos, además de su
orden estructural y jerárquico, están relacionados entre sí por ciertas leyes
de ordenación, similares a los principios de ordenación que mantienen
diferentes idiomas en un sistema compacto. Los docentes deben hacer ver a
los estudiantes la importancia de los términos matemáticos, su uso correcto
y el dominio del significado. Si se logra este objetivo en las clases de
matemáticas, ciertamente habremos abonado el suelo para seguir trabajando
con nuestros alumnos en matemáticas.
1.3.2 Las Definiciones y su Importancia
Los profesores suelen presentar definiciones matemáticas al comienzo
de un tema matemático en particular. Esta velocidad está relacionada con la
visión de aprender y enseñar matemáticas. Puede ser un error pensar que
después de anunciar el tema a tratar durante la lección, inmediatamente se
debe comenzar a dictar o copiar en la pizarra las definiciones que se
31
utilizarán en el desarrollo de esta unidad. Esta filosofía de enseñanza de las
matemáticas es muy formal y va en contra de los principios de la didáctica
basada en actividades y la construcción del conocimiento matemático.
Los matemáticos profesionales utilizan este método únicamente para
redactar sus apuntes, artículos para ser publicados en revistas profesionales,
o simplemente para desarrollar un curso de maestría en matemáticas en
alguna facultad de ciencias naturales puras. Desde una perspectiva
didáctica, los profesores de matemáticas deben enfocar la enseñanza de tal
manera que los estudiantes participen en la creación de definiciones. Esta
tarea no es fácil y requiere tiempo, trabajo y paciencia. La idea es que las
definiciones sean parte de los resultados del proceso de matematización.
Los miembros de la clase trabajan a través de las definiciones, de la
reflexión y la discusión colectiva. De esta manera, los estudiantes no solo
aprenden definiciones de manera adecuada, sino que también aprenden
cómo se definen a menudo los conceptos. Esto significa que a través del
desarrollo de conceptos matemáticos también aprendemos los métodos para
crear definiciones, porque no son el resultado de la espontaneidad de
científicos, filósofos o escritores, sino el resultado del trabajo creativo
realizado por personas sobre un tema determinado.
Las definiciones no son absolutas, ni propiedad de ninguna persona o
libro de texto. Surgen de una larga reflexión sobre los objetos y hechos que
caracterizan los fenómenos, ya sean sociales o naturales, como lo señala
Hans Freudenthal (1983) en su libro Didactical phenomenology of
mathematical structures. Todos los días trabajamos en definiciones en
matemáticas, ciencias u otras clases de conocimientos científicos. De
acuerdo con los deseos de los profesores, deben ser escritos con las propias
palabras de los estudiantes. Eso no es suficiente, lo más importante es la
asimilación de definiciones a través de su construcción y de la colaboración
(Röhr-1997).
32
1.3.3 Las Proposiciones Matemáticas y Sus Afirmaciones
Los términos y definiciones matemáticas están directamente
relacionados con enunciados y proposiciones matemáticas expresadas en
reglas o teoremas, cuya verdad debe probarse. Usualmente se discuten
propiedades o relaciones de términos matemáticos, cuyas definiciones
permiten combinar y sistematizar estas propiedades. Las proposiciones
matemáticas y la resolución de problemas son en realidad el núcleo de esta
disciplina. Al igual que ocurre con las definiciones matemáticas, en nuestra
cultura didáctica, las reglas y oraciones se presentan de acuerdo con el
modelo de enseñanza lineal que se muestra en la Figura 1, directamente sin
reflexión y construcción.
Sin embargo, los profesores de matemáticas saben que crear una
oración o proposición matemática requiere un largo proceso de
investigación, reflexión y discusión. Para los estudiantes, las reglas
matemáticas y los teoremas se escriben en la pizarra sin deambular por la
historia y el contexto de su desarrollo. Tampoco se discute su significado
matemático interno y externo, y mucho menos la naturaleza de su
significado. Los matemáticos las presentan como proposiciones mandadas
por los dioses, cuyo único recurso es aceptarlas, y quien no esté de acuerdo
con ellas debe demostrarlas. Por el contrario, si la educación matemática se
orienta a la construcción del conocimiento matemático a través del trabajo
activo y la discusión colectiva, se pueden desarrollar reglas o sentencias a
través de preguntas, evaluaciones, dudas, pruebas de casos individuales.
Este procedimiento puede llevar a los estudiantes a delinear algunas
características o ver patrones que pueden garantizar una prueba un poco
más formal de tales declaraciones matemáticas. Sin embargo, los
estudiantes ya están acostumbrados a la aceptación pasiva de enunciados
matemáticos desde los primeros años escolares. Para ellos, al igual que para
muchos profesores, todo lo relacionado con las matemáticas es indiscutible,
por lo que no es necesario demostrar enunciados y teoremas, basta con
asumir que son ciertos. Como resultado de esta pedagogía, tenemos
profesores que prueban estas reglas o teoremas solo cuando el estudiante lo
exige o expresa su disconformidad con el enunciado.
33
Hay quienes de alguna manera creen que la prueba objetiva de los
hechos, especialmente en matemáticas y ciencias, es un pilar importante en
la formación crítica de los sujetos en el proceso social. Realmente es una
oportunidad para introducir a niños y jóvenes en el mundo del pensamiento
científico. Las reglas matemáticas (y los teoremas) pueden ser más
interesantes para los estudiantes si comprenden las razones y justificaciones
que aseguran que tales afirmaciones son verdaderas.
Se cree que los niños, incluso los más pequeños, a menudo preguntan
por qué se comportan ciertos objetos y cómo surgen ciertas afirmaciones
matemáticas, incluso si son muy rudimentarias. Una forma de promover esta
actitud positiva en los estudiantes es construir y/o demostrar tales reglas.
Sabemos que este es un camino largo y muchas veces difícil, pero también
es realmente cierto su gran valor didáctico, pedagógico y científico.
1.3.4 Las Demostraciones Matemáticas
Aunque este tema es mucho más profundo y complejo, requiriendo
más espacio y compromiso (Mora-2003; Serres-2002), es importante, por
ser un componente clave de la enseñanza de las matemáticas, agregar
brevemente algunas opiniones de la formulación reflexiva de las reglas
matemáticas, teoremas y proposiciones expresadas en general. Según
diversos estudios, lamentablemente las demostraciones de matemáticas
escolares han dejado de existir en los currículos, libros de texto y lecciones
de matemáticas.
Hace unos años se consideró importante demostrar ciertas cosas,
como los teoremas de Tales y Pitágoras, que la raíz cuadrada es un número
irracional, las identidades trigonométricas, la construcción de fórmulas
como regla o prueba que permita resolver una ecuación cuadrática de la
aplicación de cualquier orden al método de inducción completa. Estas
manifestaciones ya no se realizan; supuestamente fueron eliminados del
plan de estudios porque eran demasiado difíciles y los estudiantes no
podían entenderlos.
34
Sin embargo, las matemáticas escolares están llenas de reglas,
muchas de las cuales deben explicarse, construirse y demostrarse en las
lecciones de matemáticas. El valor formativo del certificado obliga a los
profesores de matemáticas a dedicar más tiempo a esta importante parte de
las matemáticas escolares. La buena educación matemática debe
caracterizarse por la inclusión de estrategias didácticas en el aprendizaje y
la enseñanza, que permitan a los estudiantes participar en la exposición de
reglas y teoremas.
Esto significa que la demostración realmente tiene que convertirse en
una parte integral del proceso de aprendizaje. En este sentido, es muy
importante crear y fomentar en los estudiantes el deseo y la necesidad de
llamar la atención sobre cosas que incluso suscitan inquietudes sobre las
afirmaciones de libros de texto o docentes. Más que cualquier otra materia,
las matemáticas consisten en reglas, teoremas y enunciados, y
demostraciones de problemas en general. Por ejemplo, según Polya (1978),
Schoenfeld (1985) y Guzmán (1993), la necesidad de probar un enunciado
matemático se convierte en un problema o varios problemas matemáticos.
En otras palabras, la necesidad de probar conduce a la formulación de una o
más tareas, cuya solución requiere un método ciertamente sistemático y
cierta precisión. Esta debería ser también una de las tareas de la enseñanza
de las matemáticas.
1.3.5 Los Procedimientos y Algoritmos Matemáticos
Los métodos matemáticos juegan un papel muy importante en las
matemáticas escolares, más que en las matemáticas profesionales, aunque al
demostrar un teorema o desarrollar un concepto matemático, desarrollamos
un procedimiento caracterizado por una determinada lógica y secuencia de
pasos. Los procedimientos son en realidad soluciones esquemáticas de una
tarea determinada y también podemos verlos como algoritmos; sin embargo,
hay una ligera diferencia entre los dos.
Los procedimientos son más complejos y pertenecen al trabajo
cotidiano de las matemáticas, mientras que los algoritmos se centran
específicamente en seguir indicadores secuenciales para resolver cierto tipo
de problemas matemáticos muy concretos de forma estrictamente prescrita y
35
mecánica. La educación matemática escolar está saturada de métodos y
algoritmos, lo que ha llevado a que en varios niveles del sistema educativo,
incluidas las universidades, la educación matemática se centre
principalmente en el aprendizaje de algoritmos. No es grave, también
promueve el aprendizaje de las matemáticas, los estudiantes deben usarlas
correctamente, incluso aprender a construirlas. Esta es una tarea importante
en la enseñanza de las matemáticas, sin embargo, hemos reducido el
aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas a meros algoritmos, lo que,
según algunos profesores de matemáticas, ha perjudicado la educación
matemática.
Tanto Blum (1985) como Skovsmose (1994) señalan, entre otras
cosas, que desde el punto de vista de la educación matemática para la
resolución de problemas, los proyectos y aplicaciones, los procedimientos
matemáticos y los algoritmos forman parte de una conexión matemática que
se encuentra en una determinada conexión específica mucho más complejo,
compacto y profundo que una simple implementación de un algoritmo
matemático.
La Figura 3 muestra una combinación de las propuestas de ambos
autores. Entre los cinco momentos clave del modelo de enseñanza
matemática, que surgieron de la combinación de estas propuestas, la
aplicación de algoritmos es solo una parte del complejo proceso que
involucra la enseñanza de las matemáticas escolares. La Figura 2 muestra
que la mayor parte de nuestra educación matemática ignora otros aspectos
de un problema matemático que son tan o más importantes que la aplicación
de procedimientos o algoritmos.
Mora (2002) detalla el trabajo propuesto por Blum (1985) mediante
un ejemplo concreto. Se enfatiza la necesidad de profundizar la educación
matemática en una perspectiva didáctica conocida como aplicaciones y su
proceso de modelado. Es muy importante señalar a partir de nuestras
observaciones en el aula que no es fácil para los estudiantes seguir la
secuencia del algoritmo paso a paso. A medida que adquiere experiencia y
habilidad, la aplicación de procedimientos matemáticos o algoritmos se
vuelve automática. No es así con los estudiantes que aparentemente tienen
que aprender un nuevo algoritmo matemático cada semana.
36
Figura 3. Proceso de Modelación Matemática
Fuente: Mora & García (2003).
Los estudiantes a menudo posponen la implementación de un
algoritmo porque incluso cuando saben, no están seguros de qué hacer a
continuación. Desarrollan cierta ansiedad porque siempre quieren hacerlo
bien. Esta dificultad se agrava cuando les exigimos que lo hagan a ciegas
sin comprender realmente los elementos que componen los respectivos
algoritmos. Una de las razones por las que las matemáticas escolares se han
convertido en una lista de algoritmos está relacionada con la comprensión
didáctica de que estos procedimientos compactos ayudan a simplificar la
solución de muchos problemas matemáticos.
37
Esta aparente ventaja tiene como consecuencia negativa, no solo que
los estudiantes cometan muchos errores en la aplicación del algoritmo, sino
que también tiende a sacrificar gran parte de los objetivos de la enseñanza
de las matemáticas. La solución didáctica, por tanto, no es suprimir los
algoritmos o procedimientos de enseñanza matemática, sino verlos como
parte del proceso de trabajo matemático en la resolución de tareas,
proyectos y aplicaciones con su correspondiente modelado matemático. El
desarrollo del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas escolares,
desde el preescolar hasta los primeros semestres de la universidad, es
mucho más complejo de lo que pensamos en los profesores de matemáticas,
los matemáticos profesionales y el público en general.
1.4 Principios Didácticos en la Educación Matemática
1.4.1 Constante Transformación de la Educación Matemática
Antes de introducir los conceptos progresistas sobre el desarrollo del
aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas escolares, es importante
destacar algunos hechos históricos en el campo de la pedagogía y en
especial de la enseñanza de las matemáticas, que presentaron un impacto
significativo en el desarrollo de tales conocimientos metodológicos. Uno de
ellos es por ejemplo el concepto de aprendizaje abierto, que está más
relacionado con otras materias además de las matemáticas, pero que
actualmente juega un papel central en el campo del aprendizaje y la
enseñanza de las matemáticas. El impulso por el "pensamiento funcional" y
las "ideas conectadas" son, en cambio, conceptos de las matemáticas que
recientemente se han incorporado en general a otras disciplinas.
La escuela como institución y la enseñanza como parte de una
actividad educativa específica es característica de la adhesión a las
tradiciones. Los cambios ocurren muy lentamente, y la práctica educativa
acepta solo cambios individuales, a pesar de muchos estudios y trabajos,
que constantemente y en muchos casos proponen cambios fundamentales en
la filosofía educativa y los conceptos didácticos y pedagógicos que
prevalecen en la escuela. También la didáctica general y especial avanzó
significativamente, desarrollaron propuestas específicas, muchas de las
38
cuales ya han sido implementadas o aprobadas por amplios grupos de
docentes y estudiantes.
Esto se refiere, por ejemplo, a la enseñanza abierta y al uso de las
últimas tecnologías, como computadoras e Internet, en la enseñanza. Mucho
se ha escrito sobre ambas corrientes didácticas en los últimos diez años. Sin
embargo, el impulso de estas dos principales tendencias recibió muy poca
resonancia en los sistemas educativos de nuestro continente, a pesar de las
altas expectativas creadas en las reformas educativas. Desde la época de
Comenius (1592-1670), describe los fines de la educación y los métodos
didácticos mediante los cuales se enseña a los alumnos a adquirir
conocimientos científicos.
Juan Enrique Pestalozzi (1764-1827), seguidor de las ideas
presentadas por Jacobo Rousseau (1712-1778), señaló que la educación
humana debe incluir todas las fuerzas internas del sujeto. Pestalozzi insistió
que la escuela debe ser una institución de "formación del pueblo". Estas
ideas influyeron mucho en las preocupaciones pedagógicas originales del
gran maestro latinoamericano Simón Rodríguez (1771-1836). Ofreció
educación de calidad para los campesinos, los pobres y los olvidados.
John Dewey (1859-1952) fundó la llamada "escuela democrática" en
los Estados Unidos. Él y su colega William Kilpatrick (1871-1965)
desarrollaron el método de proyectos desde una perspectiva didáctica y
pedagógica (Mora-2003), que ahora es ampliamente conocido en el campo
del aprendizaje y la enseñanza. Durante el siglo pasado nacieron muchas
ideas y experiencias pedagógicas muy interesantes, que sería demasiado
grande describir en este trabajo.
Algunos nombres notables incluyen, entre muchos otros, María
Montessori (1870-1952) y su pedagogía centrada en el niño, Hugo Gaudig
(1860-1923) y George Kerschensteiner (1854-1932). Pavel Blonskij (1884-
1941), quien trató de dar un sentido didáctico pedagógico a los principios
de producción y enseñanza propuestos originalmente por Carlos Marx;
Anton Makarenko (1888-1939) con escuelas para niños trabajadores y
huérfanos; Célestin Freinet (1896-1966), quien insistió en la relación entre
juego, trabajo y escuela. Paulo Freire (1921-1996), célebre pedagogo del
39
siglo XX es discutido en la pedagogía libertaria, cuya influencia fue
significativa en el fortalecimiento y continuidad de experiencias
pedagógicas ampliamente conocidas como el jardín de infancia en Alemania
y las escuelas comunitarias en Inglaterra.
Finalmente, dos importantes educadores que abogaron por una
educación humanista y orientada a la ciencia son Lawrence Stenhouse
(1998) y Harmut von Hentig (2002). En cuanto a la educación matemática,
el siglo pasado vio reformas muy importantes en el escenario internacional,
la más famosa de las cuales fue la reforma conocida como "educación
matemática" impulsada desde finales de la década de 1950 hasta principios
de la de 1960. Esta reforma y otros impulsos posteriores como los estudios
PIMSS, SIMSS, TIMSS, PISA y PIRLS fueron impulsados por la OCDE
(Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico) y tienen un
impacto significativo en importantes cambios y planes de estudio y
conceptos de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, el lenguaje y las
ciencias.
Antes de la década de 1980, las reformas de la educación matemática
estuvieron significativamente influenciadas por dos posiciones relacionadas
con la educación matemática, por un lado, quienes creían que la educación
matemática debía orientarse hacia el desarrollo profesional del
conocimiento matemático, y por otro lado, la profesionalización de la
educación matemática, quienes pensaban que la pedagogía, la psicología y
la didáctica debían jugar un papel importante en la enseñanza de las
matemáticas (Gómez-Granell & Fraile-1993). Ya se está discutiendo la
didáctica de las matemáticas como disciplina (Kilpatrick-1994 y Mora-
2002).
Por otro lado, la educación matemática está en constante cambio.
Estos cambios se deben a la influencia del desarrollo de ideas y conceptos
pedagógicos, el crecimiento del conocimiento matemático, las necesidades
de la población y los intereses y objetivos políticos, pedagógicos y
didácticos. Así, debido a la presión internacional del NTCM (National
Council of Teachers of Mathematics), el Currículo Matemático
Internacional tiende a convertirse en el estándar; en la década de 1980 se
dio un paso muy importante en relación con la ampliamente conocida
“educación abierta” en los distintos niveles del sistema educativo.
40
En la década de 1990, la computadora y varios software nacieron con
grandes expectativas en el campo de la educación matemática,
especialmente en el campo del álgebra y la geometría. De igual manera, en
la década de 1990 se realizaron una gran cantidad de estudios comparativos
internacionales no solo sobre habilidades matemáticas y lingüísticas, sino
también sobre factores relacionados con el aprendizaje y la enseñanza de
matemáticas, lenguas y ciencias. Los resultados y características de tales
estudios muestran que es necesario, casi obligatorio, cambiar radicalmente
la cultura de enseñanza de las matemáticas en las escuelas (Mora-2000).
Como hemos visto, la educación matemática sufre muchos cambios, que
están influenciados ya sea por el desarrollo de las matemáticas mismas, o
por el desarrollo vertiginoso de departamentos tales como pedagogía,
didáctica, psicología, informática, entre otros.
1.4.2 Preceptos Didácticos y Pedagógicos en la Educación
Matemática
Debido a que la enseñanza es sumamente compleja, los docentes en
general y los de matemáticas en particular deben considerar reiteradamente
las consecuencias de las decisiones y acciones tanto en la preparación de la
enseñanza como en el desarrollo del proceso. Para evitar de alguna manera
tales consecuencias, los docentes deben con razón seguir lineamientos
didácticos y pedagógicos que han sido aceptados nacional o
internacionalmente por la comunidad de profesores de matemáticas.
Quizás el temor de los docentes a las consecuencias de sus
innovaciones didácticas y pedagógicas puede ser una de las razones más
importantes por las que existe cierta resistencia a los cambios y
transformaciones deseadas por los pedagogos y didácticas progresistas en
diferentes épocas y momentos históricos. Algunos de estos principios
didácticos se describen en la siguiente Figura 4.
41
Figura 4. Principios Didácticos y Pedagógicos de la Matemática.
Fuente: Mora & García (2003).
.
Los ocho principios didácticos descritos, no son los únicos que
determinan el aprendizaje y la enseñanza, especialmente en matemáticas.
Muchos autores han elaborado listas de instrucciones didácticas muy bien
escritas; Desde Comenius (1640/1993) en su conocido libro Didáctica
Magna hasta trabajos sobre didáctica en general, como Meyer (1998), quien
repasa aportaciones muy concretas al campo de la didáctica matemática,
como el excelente trabajo de Wittmann (1997), quien en su obra Preguntas
básicas de la enseñanza de las matemáticas define claramente el conjunto de
principios didácticos y pedagógicos de esta materia.
El autor señala que los lineamientos didácticos están determinados en
gran medida por las experiencias de los profesores de matemáticas y se
adaptan a las experiencias didácticas y especialización de los docentes que
han estado en proceso de formación docente y renovación didáctica. Los
comandos didácticos antes mencionados están generalmente presentes en
todas las estrategias de enseñanza y aprendizaje, especialmente cuando se
trata de matemáticas escolares. Su presencia en cada concepto didáctico
tiene un cierto peso según cada uno.
1.5 Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas: Algunas
Concepciones.
Especialmente en el campo de la didáctica general y la educación
matemática, se está desarrollando un conjunto muy importante de conceptos
42
de aprendizaje y enseñanza, que incide directamente en todos los aspectos
del conocimiento de las ciencias naturales que se procesa en las escuelas, lo
que ha tenido una gran aceptación por parte de los pedagogos matemáticos.
Durante más de 55 años, las contribuciones de Polya (1978) y luego,
a principios de la década de 1960, Hans Freudenthal (1967) con su famoso
libro "Matemáticas para la vida cotidiana" estimularon discusiones y el
desarrollo de nuevos conceptos en el campo del aprendizaje y la enseñanza
de las matemáticas. Los más excelentes se pueden nombrar: educación
matemática desde el nacimiento, educación matemática dirigida a la
resolución de problemas, educación matemática orientada a la educación,
educación matemática desde el punto de vista de la aplicación y el
modelado, proyecto de educación matemática; aprender y enseñar
matemáticas según el horario semanal, estudio libre y trabajo en las
estaciones, y finalmente enseñar matemáticas usando la computadora.
Estos siete conceptos suelen estar interrelacionados, y los docentes
pueden aplicarlos alternativamente durante el año escolar en el desarrollo
del aprendizaje y la enseñanza. Muchos autores (Guzmán-1993) utilizan
otras estrategias como los juegos, la historia o los experimentos
matemáticos. Cada concepto didáctico requiere de un profundo desarrollo
teórico, que forma parte de nuestra actividad de acuerdo a reflexiones sobre
la enseñanza de las matemáticas escolares.
1.5.1 Enseñanza de las Matemáticas Desde su Propia Génesis
Muchos autores han enfatizado la necesidad de enseñar matemáticas
desde la perspectiva de las matemáticas mismas. Esto significa que el
núcleo de la educación matemática debe estar en sí mismo y en su
desarrollo histórico (Kline-1985; Wittmann-1997). Además de los
matemáticos profesionales que insisten en la autenticidad de la enseñanza
de las matemáticas, los psicólogos involucrados en la educación matemática
(Nesher-2000; Abreu-2000; Bishop-2000; Reverand-2003) creen que las
matemáticas y su enseñanza deben adaptarse al desarrollo cognitivo de los
estudiantes. Esto significa que enseñar matemáticas debe romper con la
larga tradición de enseñar matemáticas a un mundo axiomático.
43
Se considera que un enfoque axiomático de la educación matemática
asume esta disciplina como una construcción lista, donde se olvida o se deja
de lado el proceso de creación y aplicación de las matemáticas, así como el
papel de los factores socioculturales (Reverand-2003). Este punto de vista
sólo es posible si se practica con personas que ya son maduras en su
experiencia matemática (Davis & Hersh-1986). Los niños y jóvenes que
aprenden matemáticas no dominan ni se interesan por el comportamiento
axiomático de esta disciplina, a pesar de su belleza, coherencia y
significado matemático intrínseco.
Wittmann (1997) señala que la enseñanza de las matemáticas en el
aula debe hacerse de acuerdo con las habilidades y cosmovisiones del niño,
siempre teniendo en cuenta el núcleo de la disciplina matemática. Esta
perspectiva llevó a Erich Christian Wittmann y sus colaboradores, luego de
más de 25 años de continua investigación didáctica, a desarrollar una
preparación didáctica muy importante para los primeros seis grados de la
escuela primaria. A principios del siglo pasado, la idea central de enseñar
matemáticas desde la perspectiva de su nacimiento dividió a matemáticos y
psicólogos.
Las matemáticas deben planificarse y enseñarse en función de las
capacidades intelectuales de las personas, no en función de la naturaleza
sistemática de las matemáticas en sí. Esto significa que las matemáticas
escolares deben ser pensadas de acuerdo al desarrollo natural de los niños y
jóvenes, y no a partir de las estructuras abstractas y complejas que
conforman el gran árbol de las matemáticas. Estas opiniones expresadas
hace casi cien años han sido reforzadas hoy por enfoques constructivistas
(Ernest-1994; Glasersfeld-1991).
El trabajo con los niños en matemáticas debe pensarse de tal manera
que descubran y construyan las matemáticas desde edades tempranas de
acuerdo con su potencial intelectual y las actividades didácticas brindadas
por los docentes. Esto no significa que los estudiantes deban tener las
mismas experiencias que aquellos que históricamente han dedicado muchos
años de su vida al trabajo matemático. Pero desde el punto de vista de las
matemáticas en sí, es posible desarrollar trabajos donde los estudiantes
puedan encontrar y conocer una buena parte de las matemáticas escolares
desde edades tempranas en cada momento y en cada lección.
44
Es importante no confundir las tres cosas principales sobre las
matemáticas y su historia. Por otro lado, se debe tener en cuenta que el
desarrollo histórico de las matemáticas estuvo sujeto a los intereses,
inquietudes y necesidades de las personas, lo que significa que debemos
concienciar a los estudiantes del contexto y momento histórico en el que se
desarrolló (Wussing-1998).
En segundo lugar, se puede utilizar la historia como estrategia
didáctica para aprender y enseñar matemáticas, y en tercer lugar, recordar
que trabajar con las matemáticas desde su nacimiento siempre significa
recrear conceptos matemáticos, aunque sean muy simples, como en la
historia trabajó el hombre a ellos; es decir, a través de la intuición, el
ensayo y error, la investigación, la evaluación y la formulación de
enunciados matemáticos desde lo específico y concreto hasta lo general y
abstracto.
1.5.2 Enseñanza de las Matemáticas Orientada a la Resolución
de Problemas
Nos encontramos en problemas cuando necesitamos razonar y
considerar una tarea o actividad desconocida para encontrar una solución
consistentemente satisfactoria. La educación matemática en particular está
llena de situaciones inesperadas, lo que podría llamarse un mundo
desconocido lleno de preguntas, no de soluciones o respuestas. No es
frecuente que los estudiantes de casi todas las materias simplemente
ofrezcan soluciones directas a los problemas que surgen constantemente en
clase. Cuando esto sucede, es porque los estudiantes están capacitados para
resolver los problemas o reciben sugerencias o consejos o materiales de
trabajo de los maestros para ayudarlos a idear una estrategia para
finalmente resolver el problema.
Todavía no podemos afirmar que las lecciones de matemáticas puedan
desarrollarse plenamente dentro de esa perspectiva didáctica, aunque de
hecho se han hecho muchos intentos para crear una cultura de resolución de
problemas en las aulas; para ello mencionamos a Polya (1978), Schoenfeld
(1985), Sánchez y Fernández (2003) y Guzmán (1993) quienes abordaron el
problema de la resolución de problemas desde diferentes perspectivas. La
45
brevedad y al mismo tiempo el alcance temático de este trabajo no permite
presentar varios elementos que caracterizan el concepto de resolución de
problemas de la educación matemática. Sin embargo, alimenta la creación
de algunos temas de discusión.
El valor didáctico y pedagógico de la resolución de problemas radica
precisamente en la oportunidad que brinda esta orientación, de que los
estudiantes puedan dedicarse de manera autónoma e independiente a la
búsqueda de ideas y estrategias innovadoras para obtener una solución
adecuada al problema planteado inicialmente. Los estudiantes deben
aprovechar la oportunidad del tiempo y los recursos de aprendizaje
proporcionados por los profesores para llegar a una solución final al tipo de
problema correcto en el momento adecuado, aunque es organizacionalmente
difícil para los profesores desarrollar un contenido programado de varios
problemas preseleccionados de los libros de texto recomendados por los
propios profesores, como han sugerido algunos autores.
Incluso antes de Euclides, los griegos anunciaron un conjunto de
pasos heurísticos que podrían ayudar a resolver varios problemas en
ciencias y matemáticas. En su momento se dijo que los pasos debían ser:
misión, rumbos, tesis, construcción, demostración y conclusiones. Este
conjunto de indicadores necesarios para resolver problemas matemáticos es
ampliamente utilizado en la actualidad, por ejemplo, en diversos
paradigmas metodológicos de investigación. Esta estructura ha sufrido una
serie de modificaciones, las más recientes gracias por ejemplo a John
Dewey (1998) o George Polya (1978).
Cada vez se crean o inventan más nuevos planes, pero se basan en
ideas de hace más de dos mil años. Sin embargo, como han demostrado
estudios como TIMSS y PISA, muy pocos problemas se han resuelto en las
aulas de matemáticas. También parece que las personas no siguen patrones
generales al resolver problemas matemáticos internos o externos, como se
pensaba anteriormente (Reverand-2003). A esta conclusión también llegaron
otros investigadores en estudios internacionales como TIMSS y PISA
(Mora-2003).
46
1.5.3 Enseñanza de las Matemáticas Orientada a Los Objetivos
Formativos
En 1997, el profesor Hans Werner Heymann presentó su excelente
tesis doctoral, un trabajo extremadamente voluminoso y extenso, que luego
suscitó un gran debate sobre los objetivos de la educación matemática e
incluso ganó popularidad entre una gran parte de la población y criticado
por los matemáticos profesionales, quienes sintieron que sus declaraciones
y conclusiones socavaban la enseñanza de las matemáticas formales.
En su análisis, el profesor Heymann encuentra que la enseñanza de
las matemáticas escolares debe cambiar fundamentalmente y reformular sus
objetivos, porque las matemáticas que se utilizan actualmente en las
escuelas y la forma de desarrollar el proceso de enseñanza y aprendizaje en
las escuelas no tienen realmente un efecto de formación integral de los
ciudadanos. Este punto de vista, sabiamente argumentado por el autor, se
manifestó al máximo en la década de 1970, cuando los pedagogos y la
didáctica exigieron una nueva reforma en el campo de la educación
matemática ante el fracaso de las matemáticas modernas (Winter-1991
Zumpe-1984).
Esta reforma no debe centrarse únicamente en los objetivos de
aprendizaje de las matemáticas y los cambios curriculares. Debe orientarse
fundamentalmente por un lado a los aspectos teóricos y epistemológicos de
la educación matemática y por otro lado a la restauración de los contenidos
de la matemática escolar y la inclusión de nuevas tendencias en la
educación matemática que existe desde hace más de 25 años. Hasta el
momento, esta importante reforma aún no se ha llevado a cabo en aquellos
países donde el debate didáctico es común.
Los estudios comparativos transnacionales como TIMSS, PISA y
PIRSL, así como muchos estudios regionales o nacionales individuales, han
identificado oportunidades que pueden contribuir a estos cambios. Además,
el progreso de la investigación en el campo de la educación matemática y la
implementación de ideas innovadoras en las escuelas condujo al hecho de
que la posibilidad de cambios fundamentales relacionados con la educación
47
matemática fue más ampliamente comprendida a nivel internacional que
antes.
El objetivo es reformular la orientación de la educación matemática
hacia fines formativos y la enseñanza de las matemáticas para que los
estudiantes, docentes y toda la población vean las matemáticas como parte
de su formación escolar, lo que les puede ser útil a ambos para desarrollar
su aprendizaje, además del potencial mental del individuo para una mejor y
más eficaz desarrollo de la sociedad.
No se trata de reescribir el currículo como didáctica basada en
objetivos funcionales, lo que ha sido muy criticado desde principios de los
años 80 (Gimeno-1998), que pretendía racionalizar unos objetivos
educativos que buscaban redactar funcionalmente los objetivos actuales de
los planes de estudios. Tal artificialidad del cambio propuesto causó serios
problemas en el campo especial de la educación matemática. Uno de los
críticos más fuertes de esta tendencia fue Hans Freudenthal (1978), quien
creía que el problema no era la forma en que se redactaban los objetivos
didácticos, sino la importancia y utilidad del contenido matemático para la
población.
En la actualidad, afortunadamente se reemplaza la visión de metas
funcionales, tanto en la discusión teórica como en la práctica docente, y la
tarea es, como sugieren Heymann (1997), Keitel (1997) y Damerow (1989)
en la planificación de la educación matemática, cuyo objetivo principal es
la participación activa de todos en el desarrollo integral de las personas.
Por supuesto que estamos de acuerdo en la necesidad de estrategias
efectivas de aprendizaje de matemáticas. Este es el deseo y objetivo general
de todo docente y de todos los sistemas educativos. Sin embargo, la calidad
de la enseñanza no se logra mediante una formación matemática artificial y
sin sentido de las personas. La educación matemática enfatizada desde el
punto de vista del logro de metas funcionales se limita exclusivamente a la
superficialidad del aprendizaje de las matemáticas.
48
Por el contrario, la educación matemática encaminada a la formación
integral de todos los ciudadanos aspira a que la educación matemática se
convierta en parte permanente del bagaje intelectual de las materias de
aprendizaje además de sus importantes ventajas. Esta última comprensión
de la educación matemática también requiere cambios profundos en la
evaluación del aprendizaje. Tampoco podemos asumir que los resultados de
las reformas educativas, especialmente los cambios para mejorar el
aprendizaje en el aula y las estrategias de enseñanza pueden ser fácilmente
detectados por instrumentos basados en preguntas simples o de opción
múltiple que reflejan una comprensión cuestionable de la educación
centrada en el maestro y de los objetivos de la operación.
La evaluación de la calidad del aprendizaje es mucho más compleja e
integral, lo que requiere la aplicación de métodos, estrategias e
instrumentos de investigación modernos, profundos e innovadores en el
campo de la educación (Mora-2003). Si bien la idea de la educación
matemática nacida en la visión de objetivos de acción ya pasó de moda y se
prescribe la educación matemática, cuyo objetivo principal es la educación
general básica, hay que tener cuidado porque es una de las pocas
consecuencias negativas. En los estudios comparativos internacionales, se
desea que muchos países sean los primeros en términos de rendimiento
escolar, lo que puede conducir a una reformulación de la enseñanza de las
matemáticas según metas funcionales.
1.5.4 Enseñanza de las Matemáticas Basadas en Aplicaciones y
Modelación
Ha sido una de las tendencias más importantes en la enseñanza de las
matemáticas desde la antigüedad debido a la variedad de problemas
prácticos que casi siempre requieren la aplicación de conceptos
matemáticos, desde matemáticas elementales hasta teorías matemáticas muy
complejas. En este sentido, los profesores de matemáticas han prestado
atención recientemente a la inclusión de aplicaciones y modelos
matemáticos correspondientes en su aprendizaje y enseñanza (Freudenthal-
1973; Blum-1985; Skovsmose-1994; Winter-1991; Mora-2002).
49
Tradicionalmente, los problemas prácticos relacionados con la
realidad se presentan en forma de problemas verbales, esto no es un
capricho de los profesores de matemáticas o, por ejemplo, de los creadores
de materiales educativos como los libros de texto. Forman la esencia de las
aplicaciones, pues según Ole Skovsmos y Hans Freudenthal, la realidad está
escrita en un lenguaje natural, complejo y fenomenológico, por citar a dos
autores muy reconocidos en el campo de las aplicaciones y la modelación
matemática, la cual necesariamente debe ser expresada en el idioma nativo
de los participantes en los cursos de matemáticas.
Sabemos que la enseñanza de las matemáticas, que requiere el
procesamiento de varios lenguajes, desde la construcción verbal de la tarea
en una situación real hasta el correcto procesamiento del lenguaje escrito,
es poco conocida entre docentes y alumnos, además del dominio adecuado
del lenguaje algorítmico del contenido matemático necesario para resolver
la tarea inicial y presentación de los resultados finales en varios idiomas.
El propósito de la enseñanza de las matemáticas es específicamente
desarrollar las habilidades y talentos de los estudiantes para que puedan
operar con éxito en los diversos idiomas que están directa o indirectamente
presentes en la resolución de una tarea realista. Ahí vemos que realmente es
un proceso de cambio o traducción entre distintos lenguajes o formas. Esta
tarea no es fácil, requiere un mayor esfuerzo de estudiantes y docentes para
desarrollar el proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas
escolares.
No es suficiente presentar situaciones realistas complejas en las
lecciones de matemáticas; se requiere un extenso trabajo preparatorio y de
reflexión didáctica antes y durante el desarrollo de cada unidad de
aprendizaje. Se sabe que las matemáticas se aplican de diversas formas en
diversas áreas y situaciones de la vida cotidiana. Algunos sugieren que en
realidad hay dos formas de pensar sobre las aplicaciones matemáticas desde
una perspectiva didáctica. Hablamos de aplicaciones internas de las
matemáticas, cuando las tareas de aprendizaje conciernen exclusivamente a
las matemáticas, sin relación con fenómenos reales.
50
Aunque tenemos aplicaciones externas de las matemáticas si están
incluidas en las cinco condiciones anteriores. Las aplicaciones y procesos
de la modelación matemática tienen una mayor riqueza didáctica cuando las
situaciones problemáticas están relacionadas con problemas sociales o
naturales. En este sentido, apoyamos la educación matemática, cuyos
problemas son en su mayoría no matemáticos. Las aplicaciones en
educación matemática y su proceso de modelado recibieron un importante
impulso gracias a la contribución de Hans Freudenthal (1978), iniciador y
creador del concepto de fenomenología didáctica.
En su libro Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas
(Freudenthal-1983), señala que el núcleo de la enseñanza matemática está
precisamente en el procesamiento de contenidos que consideran los
fenómenos sociales o naturales importantes para los estudiantes como parte
de su integral básico. Los participantes del curso pueden observar
directamente los fenómenos, discutirlos en clase y realizar investigaciones
matemáticas. Aquí juegan un papel muy importante diversas formas de
lenguaje, pasando del lenguaje hablado a un lenguaje especial expresado a
través de métodos matemáticos de cierta complejidad.
Para iniciar el trabajo didáctico, se debe tratar de elegir un problema
que deba estar relacionado con algún fenómeno social o natural. De acuerdo
con el uso de aplicaciones y el proceso de modelado como estrategia
didáctica (Mora-1998), la mayoría de los docentes ven en esta tendencia
didáctica una oportunidad para utilizar los conocimientos matemáticos
aprendidos en momentos didácticos anteriores, para resolver "ejercicios"
internos o externos. Este punto de vista de los docentes está directamente
relacionado con la idea del concepto de aplicaciones, que se presenta en la
mayoría de los libros de texto.
Muchas de las aplicaciones que se presentan en los materiales
didácticos para la consolidación y profundización de los conocimientos
matemáticos son muy artificiales, hasta el punto de que la información
contenida en ellos es modificada, inventada o preparada de tal forma que
los estudiantes pueden utilizar automática y mecánicamente esta
información sin; complicaciones y didáctica, no es que la actividad sea fácil
o difícil, sino que la situación didáctica sea lo más real posible y refleje,
51
según Freudenthal (1978), un fenómeno interesante para un estudiante en
particular.
A menudo encontramos situaciones de la "vida cotidiana" que son
ideales para dedicarse a la educación matemática en este enfoque didáctico;
aunque el contenido de la situación que presentan los profesores o los libros
de texto está relacionado con cosas de la realidad, lamentablemente esas
situaciones poco tienen que ver con los fenómenos de la realidad.
Un ejemplo típico que funciona tanto en física como en matemáticas
es el que se refiere de dos vehículos a motor que parten de dos puntos
distintos y acaban en un lugar determinado después de un tiempo
determinado. Dentro de este problema hay muchas preguntas que contienen
diferente información matemática y física. Sin embargo, las condiciones y
la información relacionada con el problema no son realistas, pero se han
preparado de tal manera que su manejo y solución no sea difícil. Estamos en
presencia de las llamadas aplicaciones artificiales (De Lange-1987; Nesher-
2000).
Las situaciones realistas a menudo no proporcionan directamente
información precisa. Se debe desarrollar un proceso de indagación para
obtener la información requerida. En el modelo desarrollado por Werner
Blum (1985), este trabajo se conoce como el proceso de idealización que
conduce al desarrollo de un modelo real. Un error muy común en esta
concepción de la enseñanza de las matemáticas es iniciar el trabajo
matemático en algún punto o etapa que constituye el esquema básico del
proceso de modelación, olvidando su estructura global y conectividad
(Mora-2002).
1.5.5 Enseñanza de las Matemáticas Basadas en Proyectos
Desde el punto de vista de la pedagogía actual y acorde a las
crecientes exigencias de las sociedades inevitablemente dependientes de la
tecnología, el trabajo por proyectos aparece como un método de enseñanza
necesario y orientado al trabajo y centrado en la actividad del estudiante.
La razón principal de la visión didáctica de Paulo Freire (1973),
52
ampliamente presentada, es transformar la enseñanza y destruir la idea de
que los estudiantes son sólo receptores pasivos de información.
Esta idea didáctica preocupa a los estudiantes que pueden pensar en
diferentes temas y desarrollar estrategias de solución para hacer frente a
ciertas situaciones problemáticas difíciles. Podemos definir brevemente el
método del proyecto como la búsqueda de respuestas organizadas a un
conjunto de preguntas sobre un problema o tema importante en la sociedad
en colaboración entre estudiantes, profesores, padres, expertos, miembros
de la comunidad extraescolar, entre otros, una perspectiva individual y
colectiva que se puede trabajar dentro o fuera del aula.
Las actividades de trabajo que surgen de la idea general del proyecto
y organizadas son tan importantes como los resultados de las diferentes
actividades o el producto obtenido al final del desarrollo de todas las etapas
del proyecto. La idea del método de proyectos está íntimamente relacionada
con los trabajos de Johannes desde un punto de vista didáctico y
pedagógico. Sin embargo, la bibliografía existente dice que Juan Enrique
Pestalozzi dijo ya en 1815 que la enseñanza debe basarse en la acción y que
el aprendizaje debe hacerse con la cabeza, el corazón y las manos.
Este legado pedagógico también lo practicó otro gran educador
latinoamericano, Simón Rodríguez, también a principios del siglo XIX.
John Dewey vio la enseñanza basada en proyectos como una parte muy
importante de la socialización de niños y jóvenes en una sociedad
democrática. El aprendizaje basado en proyectos ha tenido sus altibajos en
el ámbito internacional durante casi un siglo, con muy poca aplicación
sostenida y grandes perspectivas teóricas.
Los proyectos pueden estar incluidos en el desarrollo de la educación
escolar regular o planificados para que toda la institución educativa
participe en proyectos gratuitos durante una semana como parte de diversas
actividades escolares. Buscando un tema adecuado como fuente de
información, tenemos la vida cotidiana, diversas actividades de las
personas, medio ambiente, información de revistas profesionales,
bibliotecas, programas educativos, Internet, opiniones de expertos,
contenido de otros temas, ciencias naturales y sociales.
53
Muchos autores señalan que los temas elegidos para el trabajo en
clase deben cubrir la mayor cantidad posible de aspectos de la vida diaria,
que sean ricos en contenido y que aborden todos los temas. Se enfatiza que
los estudiantes deben estar en el centro de la enseñanza, mientras que los
docentes junto con otros participantes se convierten en moderadores y
facilitadores del proceso. Esto permite que prevalezca el carácter dominante
del profesorado, que suele practicarse en la modalidad de enseñanza
presencial, y da cabida a la participación de los alumnos.
Tal cambio de responsabilidad en el proceso de aprendizaje y
enseñanza promueve significativamente la creatividad e independencia de
los participantes, lo que aumenta la motivación y alegría en las escuelas.
Finalmente, queremos enfatizar que el método de proyectos ha sido muy
practicado en varios países. Forma parte de los requerimientos didácticos y
pedagógicos de diversas reformas educativas internacionales,
independientemente del nivel de industrialización de cada país.
Figura 5. Etapas del Método de Proyectos.
Fuente: Mora & García (2003)
54
En el campo de las matemáticas, existe una selección muy importante
de ejemplos de proyectos ya elaborados e incluso prácticamente validados
en los tres períodos o etapas tanto de primaria como de secundaria (Mora-
2003). La intención no es proporcionar a los estudiantes libros de texto y
proyectos listos para usar que puedan implementar.
En todo caso, es importante que los docentes, tanto en su formación
profesional en instituciones pedagógicas universitarias como en mejora
continua, reciban ejemplos concretos que puedan facilitar el trabajo en cada
una de las seis etapas que deben caracterizar a los proyectos.
1.5.6 Enseñanza de las Matemáticas Con la Ayuda de Las
Computadoras
Actualmente, el uso de las computadoras en varias partes del mundo,
en el desarrollo del aprendizaje y la enseñanza, y especialmente en las
matemáticas, está tan extendido que es imposible describir en unas pocas
líneas la multitud de aspectos relacionados con ella a este tema. Solo
estamos tratando de resaltar algunos elementos que caracterizan a la
informática, más precisamente la influencia de las computadoras en el
campo de la educación matemática.
Muchos autores en diferentes idiomas se dedican tanto a la reflexión
teórica como a diversos estudios empíricos para optimizar y fortalecer su
uso en el trabajo diario en diversas instituciones educativas. Hace unos
treinta años aparecieron en el mercado los primeros ordenadores, que los
particulares podían adquirir a un precio muy elevado. Estas computadoras
fueron diseñadas para que pudieran programarse en el llamado lenguaje de
máquina.
Las instituciones de investigación, especialmente las universidades,
ya contaban con este importante recurso tecnológico. Algunos centros de
investigación trabajaron rápidamente para aumentar su eficiencia, eficacia y
ventas masivas, como sucedió unos años después (Fauser & Schreiber-1989;
Metz-Göckel-1991; Sinhart-Pallin-1990). Con estas primeras máquinas
personales se pudieron realizar algunos procesos de aproximación
55
matemática incluso durante la enseñanza de esta materia en aquellas
instituciones educativas donde se dispusiera de dichas herramientas.
Poco después, aparecieron algunos lenguajes de programación
conocidos desde hace mucho tiempo, como "Basic" y "Pascal". A pesar de
este desarrollo acelerado, no fue sino hasta principios de la década de 1990
que las computadoras se usaron de manera más efectiva y eficiente en las
escuelas, y especialmente en la educación matemática.
Esta década supuso un salto cualitativo y cuantitativo en el uso de los
ordenadores personales. Comenzaron a aparecer en el mercado
computadoras de alto rendimiento capaces de ejecutar varios programas,
especialmente procesadores de texto (Hoelscher-1994; Hentig-2002).
A fines del siglo pasado, los ministerios de educación de los países
industrializados iniciaron una campaña para la introducción masiva de la
computadora como herramienta de aprendizaje y enseñanza en todos los
niveles del sistema educativo, incluidos los primeros grados de la escuela
primaria.
Lamentablemente, estas actividades aún no se han implementado en
su totalidad en nuestros países latinoamericanos, a pesar de los
requerimientos sociales, científicos y tecnológicos actuales. Algunas
instituciones de educación superior no cuentan con laboratorios ni centros
de cómputo, y los centros de primaria y secundaria poseen deficiencias con
este recurso básico y fundamental para el desarrollo de una educación
actualizada, moderna y técnicamente pertinente.
La escasez se ve agravada por las dificultades asociadas a la
educación, formación y mejora continua de los docentes en este campo. Los
primeros programas implementados en las universidades y en la educación
secundaria integral y vocacional estuvieron relacionados con la resolución
de problemas de análisis y álgebra lineal.
56
Tal desarrollo tecnológico ha llevado a un replanteamiento de las
actividades, problemas y ejercicios de aprendizaje, especialmente en los
últimos años de secundaria y los primeros semestres de estudios
universitarios. De igual forma, existen cambios importantes en el enfoque
de las matemáticas escolares correspondientes al tercer período o nivel de
educación básica.
Aparecen a través de programas diseñados específicamente para el
aprendizaje y la enseñanza de la geometría. Entonces habrá una nueva
comprensión del trabajo de esta importante área de las matemáticas, que ha
sido olvidada como resultado de la aplicación de las llamadas "matemáticas
modernas". La geometría es probablemente más avanzada que los programas
informáticos de matemáticas escolares. No solo se puede usar para hacer
estructuras geométricas muy precisas y complejas, sino que también se
pueden resolver más fácilmente algunas demostraciones de teoremas
geométricos clásicos.
Gracias a su estructura dinámica, dichos programas promueven de
manera efectiva el aprendizaje motivador e independiente deseado por los
estudiantes. De la misma forma, la implementación de estos programas
podría alcanzar un objetivo aún muy lejano de la educación matemática,
como es el llamado aprendizaje por descubrimiento propuesto por Jerónimo
Bruner (1980). Actualmente conocemos programas que tienen una enorme
capacidad para resolver analítica y gráficamente la mayoría de los
problemas trabajados en las clases de matemáticas desde primer grado hasta
la universidad.
Esta alta eficiencia provocó una pérdida de interés por la
programación en las escuelas, como sucedió en la década de 1980 y
principios de la de 1990. Lo más importante en la aplicación de estos
programas a la enseñanza de las matemáticas es su uso adecuado y eficaz
para comprender los conceptos matemáticos. El único propósito de
encontrar una solución aplicando un algoritmo no es ni interesante ni
importante en este punto.
La idea es utilizar estos programas para una visualización más precisa
y conveniente de las estructuras matemáticas, no solo en geometría, para
57
entender más fácil y motivado algunas etapas y pruebas de construcción de
estructuras matemáticas, para aplicar estrategias heurísticas en la
resolución de problemas y fomentar la independencia y la creatividad de los
estudiantes.
El número y la selección de programas están creciendo tan
rápidamente que es muy difícil mantenerse actualizado y aprovecharlos al
máximo. Los programas están disponibles para profesores y estudiantes en
todos los idiomas y en todos los niveles. La principal fuente de adquisición
de estos programas es Internet, otra contribución importante de la
"informática" humana al desarrollo de la educación matemática (Hentig-
2002).
De cerca vemos largos conceptos matemáticos desplegados
dinámicamente en nuestras pantallas sin necesidad de activar ningún tipo de
programa ni saber cómo funciona. Estamos en medio de un desarrollo
exponencial de la tecnología que, si se maneja adecuadamente, puede
convertirse en un medio eficaz para aprender y enseñar matemáticas.
La interacción adecuada de los programas seleccionados, el papel de
los profesores, las actividades de los estudiantes y el aprendizaje específico
son ciertamente aspectos centrales y definitorios del aprendizaje basado en
computadora. Actualmente, encontramos muchas ofertas de software que
permiten una excelente interacción entre estos cuatro elementos; Tal
desarrollo técnico y didáctico de ninguna manera debe reemplazar la
presencia activa y desarrolladora de los docentes. Son ellos quienes tienen
la mayor responsabilidad pedagógica y didáctica, porque sin su presencia
formal no puede nacer una sociedad plenamente "educada".
Los estudiantes pueden adquirir conocimientos técnicos y
profesionales a través del autoaprendizaje con la ayuda de la tecnología,
pero la educación crítica y liberadora sólo es posible en la interacción y
discusión de los participantes en el complejo proceso de aprender, enseñar y
liberar.
58
Por otro lado, las expectativas creadas por el uso de las computadoras
en las instituciones educativas no siempre se corresponden con la realidad.
Principalmente en interés del mercado, se han desarrollado y distribuido
algunos programas que aparentemente facilitan el aprendizaje de
matemáticas u otros estudios; sin embargo, no pudieron establecerse como
soluciones alternativas a las dificultades de los estudiantes con ciertos
contenidos.
El fracaso de estos experimentos es que todavía se cree que las
personas aprenden, como señaló Skinner (1953), de una manera individual,
mecánica, algorítmica y programada que hace innecesaria la interacción con
otras personas. Afortunadamente, esta comprensión del uso de la
computadora ya fue notada y cuestionada a tiempo.
Ahora pensamos en esta herramienta técnica simplemente como un
importante recurso adicional, como una calculadora de bolsillo, calculadora
científica o programable para aprender y enseñar. En conclusión, se puede
decir que la computadora se ha convertido en un recurso o herramienta
indispensable en el adecuado desarrollo del aprendizaje y la enseñanza de
todas las materias, en especial de las matemáticas. Pero no debe, por ningún
motivo, sustituir la presencia y protagonismo de los docentes.
59
CAPÍTULO II
ESEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL ANÁLISIS ELEMENTAL
No es fácil para los estudiantes entrar en el terreno conceptual del
análisis elemental. Más de 15 años de investigación didáctica en esta área
lo demuestran claramente (Tall-1991, Artigue y Ervynck-1992, Farfán-
1993). Además, proporcionan una mejor comprensión de la naturaleza, las
dificultades y obstáculos que enfrentan los estudiantes y las razones del
fracaso de las estrategias de enseñanza estándar, tanto las que reducen el
análisis a cálculos algorítmicos algebraicos, como los enfoques teóricos y
formales que se desarrolló en relación con la reforma de las matemáticas
modernas.
En todo el mundo, se están definiendo nuevos programas, nuevos
currículos, tratando de encontrar una manera de entrar en este campo
conceptual que es a la vez rico y accesible. De hecho, parece que las
aproximaciones intuitivas basadas en el uso de tecnología de la
información, calculadoras y computadoras son las más preferidas ¿Cuáles
son sus posibilidades y límites? ¿Qué se puede aprender de las experiencias
de países que comenzaron con un enfoque similar hace algunos años?
En primer lugar, trata de sintetizar los principales resultados que se
pueden obtener de la investigación didáctica, no es exhaustivo; este
capítulo refleja solo una visión personal del "estado del arte" que se
relaciona con los procesos de aprendizaje en este campo. Luego se analizan
las prácticas docentes y su desarrollo, que describen tendencias muy
generales. Finalmente, a la luz de este estudio de caso, exploramos las
posibilidades y los límites de los enfoques intuitivos que dominan hoy.
2.1 Las Dificultades de Los Estudiantes en el Campo
Conceptual Del Análisis
Avanzados estudios didácticos han demostrado la existencia de
fuertes y duraderas dificultades. Son de diferente origen, pero están
60
relacionados y se refuerzan entre sí, formando redes complejas. Sin
embargo, para facilitar la síntesis, se agrupan en algunas categorías que no
pueden considerarse independientes. Estas categorías son las siguientes:
Dificultades relacionadas con la complejidad matemática de los objetos
básicos de este dominio conceptual: números reales, funciones y sucesiones,
objetos que siempre se construyen al inicio de un análisis educativo.
Dificultades relacionadas con la conceptualización del límite de término
central del campo y su manejo técnico. Dificultades relacionadas con la
necesaria desviación de las formas típicas de pensar en operaciones
algebraicas.
2.2 Dificultades Ligadas a los Objetos Básicos
No se puede establecer que los objetos básicos del análisis son
nuevos para los alumnos que empiezan a estudiar esta materia. En Francia,
por ejemplo, los números irracionales, las funciones lineales y afines se
introducen en los grados 8º y 9º y, en el grado 10º, la noción de función se
vuelve una noción central del programa de matemática. Sin embargo, no se
puede considerar que estos objetos sean ya estables; al contrario, el análisis
va a desempeñar un papel esencial en su maduración y conceptualización.
2.3 Los Números Reales
Diversos estudios demuestran que las concepciones de los números
reales que desarrollan los alumnos no son adecuadas para el aprendizaje del
Análisis (Robinet-1986). Sus criterios de distinción entre los diferentes
conjuntos de números quedan flojos y muy dependientes de las
representaciones semióticas elegidas (Munyazikwiye-1995). Además de
esto, el demasiado uso, además de poco controlado por la enseñanza de las
calculadoras, tiende a reforzar el pensamiento que el: número real es igual a
un número decimal, incluso a un número decimal con menos de 10
decimales.
Cuando se inicia la enseñanza del análisis, los números reales son
objetos algebraicos. Los alumnos tienen el conocimiento que su orden es
denso, pero, según el contexto, pueden conciliar esta propiedad con la
61
existencia de números precedente y sucesor de un real dado: por ejemplo,
0.999, se percibe a menudo como el predecesor de 1 y varias encuestas han
mostrado que más del 40% de los estudiantes que ingresan a la universidad
en Francia consideran que, si dos números A y B satisfacen la condición:
n>0 |A-B|<1/n, no son necesariamente iguales, sino solamente muy
próximos, infinitamente próximos, de cierta manera se consideran
sucesores.
La asociación entre los números y la recta reales carece también de
coherencia. Aun cuando a priori los estudiantes declaran aceptar el
principio de una correspondencia biyectiva entre R y la recta, no están
convencidos, por ejemplo, que tal o cual número preciso se puede colocar
en la recta (Castela-1996).
2.4 Las Funciones
En lo que se refiere a las funciones, hay una situación aún más
compleja y parece difícil resumir en unas frases los resultados, tan
numerosos y diversos, de las investigaciones didácticas. Este trabajo se
limitará a presentar sólo las grandes categorías de dificultades identificadas
en las investigaciones, categorías que, una vez más, no se pueden
considerar independientes.
Dificultades ligadas a la identificación de lo que es realmente una
función y al reconocimiento de que las sucesiones son también funciones.
Parece bien establecido que los criterios utilizados por los estudiantes para
comprobar el carácter funcional de un objeto matemático no corresponden
necesariamente a la definición formal de la noción de función, aun cuando
ellos pueden citar correctamente esta definición formal (Vinner & Dreyfus-
1989).
Estos criterios dependen más de los ejemplos que más frecuentemente
encuentran los estudiantes y que adquieren el estatuto de prototipos y de
asociaciones tales como la asociación función/fórmula o la asociación
función/curva. De aquí el hecho de que el mismo objeto matemático se
puede considerar como función o no, según la forma de su representación
62
semiótica: así, la función f: x f(x)=2, definida de esta manera, no se
reconocerá como función porque la expresión algebraica dada no depende
de x, pero si se introduce por la vía de su representación gráfica, será
reconocida como tal porque estará representada por una recta. Tales
fenómenos han conducido a algunos investigadores a diferenciar, por una
parte, lo que llaman la “definición del concepto” y, por otra, lo que llaman
la “imagen del concepto” (Tall & Vinner-1981).
Dificultades para sobrepasar una concepción puramente de tipo
proceso de la noción de función y llegar a ser capaz de relacionar con
flexibilidad sus dimensiones de proceso y de objeto para desarrollar una
concepción procedimental (Tall & Thomas-1991). En efecto, las
investigaciones muestran el salto cualitativo que existe entre dos niveles de
conceptualización de la noción de función: el nivel de proceso y el nivel de
objeto (Sfard-1992, Dubinsky-1991, Dubinsky & Harel-1992).
Se puede relacionar este salto con las dificultades encontradas por los
principiantes cuando tienen que considerar como iguales funciones
definidas por procesos equivalentes pero diferentes, o cuando tienen que
trabajar no con funciones particulares sino con funciones definidas por una
propiedad general cualquiera.
El trabajo en Análisis se vuelve muy difícil si los estudiantes sólo
pueden apoyarse en una concepción de tipo proceso. Este trabajo, en efecto,
necesita considerar a las funciones como objetos que se pueden incluir en
procesos más complejos (como, por ejemplo: integración y diferenciación),
y también considerar no sólo objetos particulares sino clases de funciones,
definidas por propiedades específicas: funciones continuas, Riemann
integrable, entre otros.
Dificultades para relacionar los diferentes registros semióticos
(Duval, 1995) que permiten representar y trabajar con funciones, estas
dificultades han sido muy investigadas (Romberg, Carpenter, Fennema,
1994), tanto las que resultan de los procesos de traducción de un registro
semiótico a otro, especialmente las dificultades de traducción del registro
gráfico al registro algebraico (Schoenfeld, Smith & Arcavi-1990; Dagher-
1996), como las dificultades ligadas al uso simultáneo de informaciones que
63
se refieren a nociones diferentes dentro de un mismo registro, como, por
ejemplo, en el registro gráfico la función y su derivada o sus primitivas.
Además, las investigaciones han explicado muy bien cómo, en este dominio,
las prácticas de enseñanza usuales tienden a reforzar las dificultades por su
manera de manejar las representaciones gráficas y el estatuto dado al
razonamiento gráfico.
2.5 El Concepto de Límite
Las dificultades que encuentran los estudiantes cuando entran en
contacto con el campo del Análisis no se reducen a las que acabamos de
mencionar. Las que están asociadas a la conceptualización de la noción de
límite han sido muy investigadas. En lo que se refiere a este dominio
específico, es necesario mencionar el papel desempeñado por la noción de
obstáculo epistemológico introducida por el filósofo G. Bachelard (Cornu-
1983, Sierpinska-1985, Sierpinska-1988, Schneider-1991).
Para G. Bachelard, el conocimiento científico no se desarrolla en un
proceso continuo, sino resulta del rechazo de formas previas de
conocimiento que se constituyen en obstáculos epistemológicos. Los
investigadores que se refieren a G. Bachelard formulan la hipótesis de que,
en matemáticas también, algunas dificultades de aprendizaje, y
especialmente las más persistentes, resultan de formas de conocimiento que
han sido, durante un tiempo, coherentes y efectivas en los contextos
culturales o escolares de los estudiantes.
Plantean también la hipótesis de que estos obstáculos epistemológicos
se encuentran a la vez en el desarrollo histórico del concepto y en el
aprendizaje actual, a pesar de diferencias cognitivas y culturales evidentes,
como si fuesen constitutivos de la génesis del concepto. De aquí, la amplia
utilización que hacen del análisis histórico.
En lo que se refiere a los límites, los diferentes autores parecen estar
de acuerdo por lo menos sobre los siguientes obstáculos epistemológicos:
64
El sentido común de la palabra límite, que induce concepciones
persistentes del límite como barrera infranqueable o como último
término de un proceso, o tienden a restringir la convergencia a la
convergencia monótona,
La sobre-generalización de las propiedades de procesos finitos a
procesos infinitos; en otros términos, la aplicación del principio de
permanencia de Leibniz.
La fuerza de una geometría de las formas que impide que se
identifiquen claramente los objetos involucrados en el proceso de
límite y su topología subyacente. Eso, además, hace difícil entender
la sutileza del juego entre el marco numérico y el marco geométrico
fundamental en este proceso.
La resistencia de tal obstáculo epistemológico está confirmada por las
dificultades que generalmente tienen los estudiantes, incluso los estudiantes
avanzados, cuando se les plantea la pregunta siguiente, muy poco familiar
¿Por qué el mismo método que consiste en recortar una esfera en sectores
transversales pequeñitos, aproximar cada sector por un cilindro, aproximar
la esfera por el conjunto de cilindros pequeñitos, y luego pasar al límite, da
una respuesta correcta cuando se emplea para calcular el volumen de la
esfera y da una repuesta errónea cuando se emplea para calcular su área?
Como la pila de cilindros se aproxima geométricamente a la esfera, la
mayoría de los estudiantes no puede entender ¡cómo es posible que las
diferentes magnitudes asociadas a la pila de cilindros no tengan como límite
las magnitudes correspondientes para la esfera!
Como han demostrado las investigaciones, todos estos obstáculos se
encuentran también en el desarrollo histórico del concepto, a pesar de las
diferencias cognitivas y culturales mencionadas antes.
En la literatura didáctica en torno a los límites, la búsqueda de
obstáculos epistemológicos ha desempeñado un papel importante, pero no se
puede pensar que las dificultades que tienen los estudiantes se reducen a
tales obstáculos epistemológicos. El concepto de límite, como el de
función, tiene dos dimensiones: una de proceso y una de objeto, la
posibilidad de manejar con eficacia estas dos dimensiones requiere procesos
cognitivos: la encapsulación (según la teoría elaborada por Dubinsky),
65
condensación y reificación (según la teoría elaborada por A. Sfard), cuya
complejidad está hoy en día muy bien evidenciada.
Este hecho contribuye a explicar por qué, en todos los países, los
estudiantes encuentran tantas dificultades para identificar 0.999... y 1: la
primera representación semiótica 0.999... es claramente de tipo proceso y la
segunda de tipo objeto. Para considerar las dos como iguales, es necesario
no caer en la trampa de estas diferencias semióticas y ser capaz de ver más
allá del proceso descrito por 0.999..., el número creado por este proceso y
distinto de él.
Otra categoría importante de dificultades viene de las características
de la definición formal del concepto de límite, por lo menos en el análisis
estándar que se enseña hoy en día: su complejidad lógica y el hecho de que
necesita invertir la dirección del proceso función que va de la variable x al
valor de la función f(x). Pero más allá de estas características formales, hay
un punto esencial: entre una concepción intuitiva de los límites y una
concepción formal, hay un salto cualitativo fundamental, también
atestiguado por la historia del concepto.
El concepto formal de límite es un concepto que, parcialmente, rompe
con las concepciones previas de esta noción. Cuando aparece en la escena
matemática, su papel como concepto unificador, como instrumento para
fundamentar el campo del Análisis, como “proof generated concept” en el
sentido de Lakatos (Lakatos, 1976), es quizás más importante que su papel
como instrumento productivo para resolver problemas. Encontramos aquí
una dimensión epistemológica del concepto cuya transposición didáctica en
la enseñanza no es evidente.
De hecho, investigadores como A. Robert (Robert & Robinet-1996)
tienen ahora la convicción de que tales características epistemológicas no
se pueden transponer mediante procesos didácticos (Brousseau-1986), es
decir enfrentando a los estudiantes con problemas apropiados por resolver.
Plantean la hipótesis de que una transposición eficaz necesita
mediaciones específicas, de naturaleza meta- matemática. Estos
66
investigadores no se refieren a Vygotsky, pero se pueden encontrar ciertas
semejanzas con las distinciones introducidas por este autor entre diferentes
tipos de conceptos, en cuanto a sus diferentes modos de formación.
2.6 Las Aproximaciones Intuitivas
Primero se deben apuntar algunos éxitos evidentes. Se limitará esta
exposición a tres de ellos que, al parecer, son particularmente importantes.
Las aproximaciones intuitivas han hecho accesible este campo, hasta cierto
punto, a todos los estudiantes. Este éxito no ha de considerarse como algo
de poca importancia, sobre todo cuando tomamos en cuenta el hecho de que,
hoy en día, la gran mayoría (aproximadamente 70%) de los estudiantes de
una generación entra en liceos, sea clásicos o profesionales, y tiene,
entonces, cursos de Análisis durante dos años.
Los estudiantes entran en contacto muy rápidamente con algunos
problemas centrales de este campo, como los de variación, los de
optimización y los de aproximación; el análisis que se enseña no se reduce
a su parte algebraica y, siguiendo los programas, los libros de texto tratan
de dar una importancia real a las dimensiones numérica y gráfica de los
conceptos y de las técnicas, a la dimensión cuantitativa del análisis.
Las calculadoras, e incluso las calculadoras gráficas, son
instrumentos usuales de los estudiantes, sin duda porque todo tipo de
calculadora se puede utilizar en los exámenes nacionales o regionales,
desde hace 15 años. El uso de las calculadoras ha permitido claramente
hacer viables las aproximaciones numéricas y gráficas preconizadas por los
programas.
Sin embargo, a pesar de estos éxitos, no se puede pensar que se ha
encontrado una vía real para el aprendizaje del Análisis. Algunos de los
problemas importantes no han sido resueltos y surgen problemas nuevos.
Una vez más, esta exposición se concentrará en algunos de los que son
particularmente sobresalientes.
67
El apoyo de las calculadoras tiene limitaciones evidentes y, además,
su integración efectiva en la vida real de las clases sigue siendo
insatisfactoria. Como ya se mencionó, las calculadoras, e incluso las
calculadoras gráficas, han tenido una gran difusión en la enseñanza
bachillerato. En 1981, el Ministerio de Educación tomó la decisión de
autorizar todo tipo de calculadora en los exámenes de bachillerato y esta
situación permanece vigente hoy en día.
Así, los estudiantes franceses pueden pasar el bachillerato con una
calculadora gráfica y aun con una TI-92. Los programas mismos precisan
que los alumnos de bachillerato deben tener calculadoras, los del liceo,
calculadoras programables y que deben aprender a utilizarlas, en particular
para estudiar funciones y sucesiones. Estas decisiones fueron tomadas para
promover la integración institucional de estos instrumentos y contribuir a
vencer ciertas resistencias previsibles de los profesores.
Pero ahora, 15 años después, no se puede considerar que se haya
logrado la anhelada integración a las prácticas de enseñanza. La mayoría de
los profesores siguen considerando las calculadoras como instrumentos
“privados” de los estudiantes y no se hacen cargo de los aprendizajes
instrumentales necesarios. Quince años después siguen siendo más sensibles
a las dificultades que les plantea esta integración que al apoyo que les
proporciona para su trabajo de profesor.
Las investigaciones recientes publicadas en los IREMs (Trouche-
1996) muestran los efectos negativos del uso no controlado en la enseñanza
sobre las concepciones desarrolladas por los estudiantes, por ejemplo, en lo
que concierne al concepto de límite, las aproximaciones numéricas o la
interpretación de las representaciones gráficas producidas por las máquinas.
Además, cada vez más nos damos cuenta de que una enseñanza eficaz
del Análisis con calculadoras necesita aprendizaje específico,
conocimientos específicos (Artigue-1996). El sistema educativo no
reconoce fácilmente este hecho y tiene pocas ganas de consagrar a estos
aprendizajes el tiempo y la energía necesarios.
68
2.7 Dimensión de la Aproximación Del Análisis
La evolución reciente ha mostrado también las dificultades que ha
tenido el sistema educativo con la dimensión de "aproximación" del
Análisis. Como he mencionado antes, para el desarrollo de esta dimensión
se necesita tomar cierta distancia con respecto a los modos usuales de
pensamiento e integrar técnicas complejas cuyo dominio se puede pensar
sólo a largo plazo.
Los profesores encuentran problemas evidentes para organizar y
preservar un “nicho ecológico” para tales prácticas matemáticas, ya que no
pueden evitar la competencia entre las técnicas de aproximación y las
técnicas algebraicas mucho más fáciles de aprender y manejar (Artigue,
1993). Por eso, a pesar de las exigencias formuladas en el texto de los
programas, se nota un desequilibrio creciente entre aproximación y
algebraización.
2.8 La Falta de Estructuración
Cada vez más, estas dificultades se notan con claridad al leer los
libros de texto recientes más difundidos. El estatuto de los objetos, de las
nociones, de las aserciones queda flojo. Las definiciones formales han sido
rechazadas, remplazadas por expresiones más o menos precisas en lenguaje
natural. En realidad, estas expresiones sólo tienen la apariencia de la lengua
natural: no tienen nada que ver con el lenguaje vernáculo de nuestros
estudiantes. Y no permiten un control eficaz de sus prácticas.
Además, como los cuantificadores están situados parcialmente al
principio de la frase, parcialmente al fin, estas formulaciones no ayudan
necesariamente a los estudiantes a comprender el juego sutil de las
cuantificaciones en las definiciones.
Los teoremas se aceptan sobre la base de unas exploraciones y no son
siempre mencionados como tales. Al leer estos libros de texto, se tiene la
impresión incómoda de que la coherencia inducida por las coerciones
69
lógicas del saber matemático ha desaparecido sin que otra forma de
coherencia sólida la reemplace.
Para muchos de nuestros estudiantes, lo que estamos desarrollando,
más allá de la parte algebraica estándar del Análisis, es quizás más un
mundo de bricolaje que el mundo matemático que queríamos empezar a
construir. Las investigaciones didácticas muestran con toda evidencia que
no es fácil para los estudiantes entrar en el campo conceptual del Análisis,
cuando éste no es reducido a su parte algebraizada, sino que pretende el
desarrollo de los modos de pensamiento y de las técnicas que están, hoy en
día, fundamentadas en él.
La introducción generalizada del Análisis, con la reforma de 1902,
dotó a la enseñanza bachillerato de instrumentos eficaces para resolver
problemas clásicos, tanto en matemáticas como en las ciencias físicas. Esta
introducción fue claramente un éxito, pero sus propósitos quedaban
limitados y lo que se enseñaba a esta época era esencialmente un cálculo
diferencial e integral, es decir la parte más accesible del Análisis.
Con las reformas de los años sesenta, el currículo en Análisis se dio
nuevos anhelos: el análisis se independizó del álgebra y su dimensión como
objeto emergió de su dimensión como instrumento. Poco después, la
reforma de las matemáticas modernas impuso una visión formal del campo
donde los planteamientos relativos a sus fundamentos tendían a volverse
dominantes.
Esta visión formal fue rechazada con la contrarreforma de 1982; una
nueva organización de este campo conceptual en torno a problemas de
variación y aproximación constitutivos de su historia emergió, y las
aproximaciones intuitivas y experimentales fueron preconizadas.
Estas aproximaciones intuitivas y experimentales se impusieron
progresivamente y hoy en día aparecen como la única puerta de entrada
razonable, tanto más que los cursos de análisis no están ya reservados a una
élite matemática o social. Pero se debe confesar que no han hecho
70
milagrosamente fácil el aprendizaje de los principios del Análisis, ni
tampoco su enseñanza satisfactoria completamente.
Han permitido resolver algunos problemas didácticos, pero, a largo
plazo, tienden a generar otros, como lo demuestra el estudio del caso
francés. Se tienen que controlar mejor estas aproximaciones intuitivas si no
se quieren ver las facilidades aportadas en los primeros contactos que
generan obstáculos serios a aprendizajes ulteriores. Las actuales
investigaciones didácticas en Francia se dedican más y más a estos
problemas que se están volviendo esenciales, 15 años después de la
contrarreforma y conciernen tanto al liceo como a la transición entre el
liceo y la universidad.
El estudio de los procesos de transposición didáctica en este campo
muestra también las dificultades encontradas cuando tratamos de aprovechar
resultados didácticos o experimentaciones que localmente han tenido éxito,
para organizar cambios curriculares sustanciales y más globales. Para tal
aprovechamiento, los enfoques cognitivos y epistemológicos dominantes
hoy en día, son claramente insuficientes. Es necesario integrar
aproximaciones al campo didáctico que nos permitan tomar en cuenta mejor
el papel desempeñado por las coerciones y fuerzas institucionales y
culturales en los problemas de aprendizaje y enseñanza.
71
CAPÍTULO III
LAS MATEMÁTICAS REALISTAS
La corriente conocida internacionalmente como Educación
Matemática Realista (EMR), fundada por Hans Freudenthal (1905-1990),
matemático y educador alemán que realizó la mayor parte de su trabajo en
los Países Bajos, apareció en la década de 1960 como reacción al enfoque
mecanicista de la enseñanza de la aritmética y la implementación de las
"matemáticas modernas" o "conjuntistas" en las aulas de ese país.
Encontramos que muchas de sus ideas originales ahora han sido
adoptadas y discutidas en teorías didácticas actuales y han formado la base
de planes de estudio en países como Estados Unidos, Japón, Indonesia,
Gran Bretaña, Alemania, Dinamarca, España, Portugal, Sudáfrica, Brasil,
Puerto Rico.
La idea central, y tal vez la más importante, de la EMR es que el
aprendizaje matemático debe estar conectado a la realidad, cercano a los
estudiantes y socialmente relevante para convertirse en valor humano.
Desde este punto de vista la imagen de las matemáticas se enmarca en la
percepción del mundo, la imagen de las matemáticas como persona y la
imagen de la enseñanza de las matemáticas en sociedad (Freudenthal-1991).
Para Freudenthal, frente a las realidades educativas y académicas de su
tiempo, una preocupación central era:
“Hay una cosa que debemos urgentemente decidir, si la imagen de las
matemáticas es para la élite o para todos, una imagen sobre las
matemáticas desde el punto de vista de la educación en su conjunto (1973”.
Para Freudenthal era importante que todos los estudiantes tengan
algún contacto con el trabajo matemático, viendo esto como una actividad
estructural u organizativa accesible a todas las personas (Freudenthal-1973)
y define esta actividad como “Matematizar”, que se refiera en organizar la
realidad por medios matemáticos, incluidas las matemáticas mismas (1973).
72
El término Matematizar es un proceso que incluye:
Identificar las propiedades esenciales de situaciones, problemas,
procedimientos, algoritmos, formulaciones, símbolos y sistemas
axiomáticos.
Encontrar características comunes, similitudes, analogías e
isomorfismos.
Presentar ideas generales.
Enfrentar situaciones problemáticas de forma paradigmática.
La perturbación repentina de nuevos objetos y funciones mentales.
Encontrar atajos, abreviar estrategias iniciales y símbolos para su
esquema, algoritmización, simbolización y formalización.
Reflexionar sobre la actividad matemática examinando los
fenómenos relevantes desde varias perspectivas (1991).
3.1 Fundamentos de la Teoría de la Educación Matemática
Realista
Los siguientes, representan un breve resumen de algunas de las ideas
claves que apoyan la Educación Matemática Realista, que Freudenthal llamó
las "herramientas conceptuales de la teoría de la educación matemática"
(Goffree-1993; Freudenthal-1991).
3.1.1 Los Contextos y Situaciones Problemáticas Realistas
Se refiere a los representables, el razonamiento, la imaginación de los
estudiantes, como generador de su actividad matemática. Para Freudenthal,
el contexto es esa esfera de la realidad que se le aparece matemáticamente
al estudiante, en algún proceso especial de aprendizaje (1991).
Considerando que las matemáticas han aparecido históricamente
principalmente como una herramienta para situaciones del medio natural y
73
social, este autor considera que su enseñanza también debe basarse en la
organización de este tipo de situaciones.
Sin embargo, no pretende limitarse a los fenómenos del mundo real
(perceptivo), ya que esto limitaría las oportunidades de los estudiantes de
aprender a funcionar dentro de las propias matemáticas. Se trata de
estudiantes que inicialmente carecen de herramientas matemáticas
suficientes para poder reinventarlas resolviendo problemas presentados en
contextos y situaciones realistas.
Un contexto es un evento, afirmación o situación de la vida real que
es relevante o imaginable para los estudiantes y que los motiva a usar
métodos matemáticos derivados de su experiencia. Proporciona significado
concreto y apoyo para relaciones y operaciones matemáticas relacionadas.
Se pueden tomar situaciones de experiencias cotidianas, como viajar
en autobús o ir de compras y administrar el dinero. Además de los contextos
que surgen de las experiencias de la vida cotidiana, se pueden encontrar
contextos en las propias matemáticas: el mundo de los números puros y los
problemas de las relaciones numéricas, como el contexto de los números
primos (van den Heuvel-Panhuizen-1994).
Existen varios contextos: real, artificial (fantasía), matemático o
virtual, que surgen de la realidad, pero contienen elementos irreales y se
utilizan para simplificar o simular situaciones (Dekker & Elshout-Mohr-
2001). En esta dirección, los contextos realistas juegan un papel importante
en el aprendizaje matemático de los estudiantes, en la medida en que:
• Son puntos de partida en el proceso de enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas y sus campos aplicados.
• Son bien elegidos, y de esta manera resultan interesantes para los
estudiantes.
• Se convierten en objetos de trabajo que brindan acceso a contenidos
matemáticos y permiten a los estudiantes trabajar en diferentes
niveles de conceptualización siempre que sea posible.
74
• Promueven el uso del sentido común y la movilización del
conocimiento informal y el modelado de los estudiantes.
• Son de mente abierta (aceptan diferentes estrategias y/o soluciones
múltiples) que generan discusiones matemáticas valiosas entre los
estudiantes.
• Son ampliamente utilizados (Zolkower, Bressan & Gallego-2006).
Para no generalizar o trivializar el concepto de contexto realista, es
importante considerar su naturaleza relativa. Que el contexto sea realista o
no dependa de la experiencia previa de los alumnos y/o de su capacidad
para imaginarlo o visualizarlo.
3.1.2 La Utilización de Modelos
Al referirse a los modelos, corresponde por ejemplo a: materiales,
esquemas lingüísticos, cuadros, diagramas, símbolos, entre otros, que
surgen de las propias actividades matemáticas de los estudiantes como
herramientas para representar y organizar sus contextos y situaciones. Un
modelo es simplemente un medio intermedio a menudo necesario mediante
el cual se idealiza o simplifica una realidad o teoría compleja para que
pueda ser tratada formalmente matemáticamente (Freudenthal-1991).
Cabe aclarar que, desde el punto de vista de la EMR, el término
modelo no significa modelos preconstituidos determinados a partir de las
matemáticas formales, sino modelos emergentes “in situ”, en las vías del
proceso enseñanza-aprendizaje, que típicamente giran en torno a preguntas
que surgen de situaciones problemáticas, donde los estudiantes organizan
actividades de creación de modelos.
Aunque inicialmente están muy relacionados con los contextos y
situaciones de los que surgen, se alejan gradualmente de la situación
concreta hasta adquirir el carácter de modelos formales y generales y, por
tanto, generalizables y aplicables a otros contextos y situaciones, pasando
así de un "modelo" relacionado con una situación particular, a un "modelo"
75
de razonamiento matemático en diversas situaciones fuera y dentro de las
matemáticas.
Los modelos de la EMR son tratados no sólo como representaciones,
sino también como objetos de trabajo y reflexión en sí mismos, con los que
se realizan y visualizan, explican, comparan, contrastan y controlan
acciones y operaciones. Para ello, estos modelos deben cumplir varias
condiciones importantes:
Están enraizados en contextos realistas e imaginados.
Poseen suficiente flexibilidad para aplicar a un nivel más
avanzado o general.
Cambian con el tiempo (son fijos en la didáctica tradicional). Esto
significa que el modelo debe apoyar el progreso de las matemáticas
verticales sin soslayar la posibilidad de volver a las situaciones que
dieron origen a la estrategia. Esto significa que los estudiantes
siempre deberían poder volver a los niveles inferiores, lo que hace
que los modelos sean muy efectivos.
Son viables, los modelos deben comportarse de forma natural.
Deben coincidir con las estrategias informales de los estudiantes
como si pudieran ser reinventadas por los mismos estudiantes, y
deben adaptarse fácilmente a otras situaciones.
La búsqueda de contextos y modelos que den lugar a la
matematización de forma más o menos natural corresponde a lo que
Freudenthal (1983) llama fenomenología didáctica, que alimenta la historia
de las matemáticas (Streefland-1991) y las producciones y actividades de
ocio de los estudiantes que emergen durante el aprendizaje (Streefland-
1991).
La fenomenología didáctica es un método que estudia primero las
diversas manifestaciones de un determinado objeto matemático, como
fracciones, proporciones, funciones, ángulos, como fenómenos de la vida
real, teniendo en cuenta sus referencias en el lenguaje cotidiano (lo que
decimos cuando hablamos de proporciones, fracciones, funciones, entre
otros) y construir a partir de ello la didáctica de esta materia.
76
Los modelos que la EMR ha probado personalmente en el aula y que
se destacan con igual facilidad en situaciones contextuales y en las
recreaciones de los estudiantes incluyen materiales didácticos manipulables
como fichas, dinero, collares de perlas de dos colores estructurados por
docenas. (Treffers-1991); situaciones paradigmáticas como un autobús (van
den Brink-1984), un restaurante de panqueques (Streefland-1991), una
conferencia de padres y maestros, una fábrica de dulces de 10 paquetes
(Gravemeijer-1994), una escena de incendio; sistemas como modelo
circular, barra doble o porcentual, tabla de razones (Middleton et al.-1995;
van den Heuvel-Panhuizen-2003), la rosa de los vientos; diagramas tales
como diagramas de árbol y de ruta; notación: lenguaje de flechas, cuaderno
y tabla de combinaciones para resolver sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas (van Reeuwijk-1997); y procedimientos cancelados
simbólicamente como algoritmos en columnas o fórmulas (Treffers-1987 ).
Como se mencionó, se debe centrar la atención en dar las soluciones
informales y de libre producción a los estudiantes como puntos de partida
de la enseñanza-aprendizaje, porque su trabajo con los problemas puede
resolverse de diversas formas:
“Puede provocar; el nivel de comprensión y habilidades numéricas
que tienen en un momento dado. Esta información es importante no solo
para decisiones micro-didácticas, sino también como guía para decisiones
macro-didácticas. Al mismo tiempo, la sección transversal de una clase (el
diferente nivel de comprensión de los estudiantes en un momento
determinado) es una sección transversal longitudinal del camino de
enseñanza-aprendizaje o parte de él. Juntas, las estrategias de solución de
los estudiantes individualmente resaltan elementos importantes del camino
a largo plazo que los estudiantes deben seguir. Lo que se ve en el aula en
el momento presente anticipa lo que está en el horizonte y más allá (van
den Heuvel-Panhuizen-2005).”
3.1.3 El Reconocimiento Del Papel Como Guía de la Interacción
en las Aulas
77
La enseñanza de las matemáticas en la EMR debe consistir en una
reinvención guiada (Freudenthal-1991), es decir, un proceso en el que los
estudiantes reinventan ideas y herramientas matemáticas mediante la
organización o estructuración de situaciones problemáticas en colaboración
con sus compañeros y la guía del profesor. La negociación explícita, la
intervención, la discusión, la colaboración y la evaluación son partes
esenciales del aprendizaje constructivo, donde se utilizan métodos
informales para lograr métodos formales.
En esta lección interactiva, se les pide a los estudiantes que
expliquen, justifiquen, estén de acuerdo o en desacuerdo, cuestionen y
consideren alternativas. El docente tiene un rol claramente definido como
mediador entre los estudiantes y las situaciones que formulan el problema,
los estudiantes mismos, las producciones informales de los estudiantes y las
herramientas formales ya institucionalizadas como disciplina matemática.
3.1.4 El Carácter Social Del Aprendizaje de Las Matemáticas
El aprendizaje de las matemáticas es visto como una actividad social
donde la reflexión colectiva conduce a niveles más altos de comprensión.
Las interacciones sociales verticales (profesor-alumno) y horizontales
(alumno-alumno) son centrales, y la forma en que el docente maneja estos
eventos es clave para maximizar las oportunidades de los alumnos para
generar, intercambiar y recibir ideas (Dekker et al.-2004; Elbers-2003;
Zolkower & Shreyar-2002).
No se refiere a una clase homogénea con sus trayectos de aprendizaje,
sino en individuos que siguen sus propios caminos. Sin embargo, esto no
conduce a la disgregación de la clase en grupos con procesos similares, sino
al mantenimiento de la clase general como unidad organizativa o
cooperación en grupos heterogéneos (Freudenthal-1983). Debido a que los
problemas se eligen para conducir a soluciones que apelan a diferentes
niveles de comprensión, todos los estudiantes pueden trabajar en ellos.
78
3.1.5 La Interrelación de Las Unidades Curriculares de Las
Matemáticas
Resolver situaciones de problemas realistas a menudo requiere hacer
conexiones y aplicar varios conceptos y herramientas matemáticas. En la
EMR, no se hace una distinción profunda entre los ejes del currículo, lo que
aumenta la coherencia de la enseñanza y permite diferentes formas de
matematizar situaciones con diferentes modelos y lenguajes, logrando así
un alto nivel de coherencia en todo el currículo (de Lange-1996;
Gravemeijer-1994).
Una razón es que es muy difícil aplicar las matemáticas cuando cada
eje se enseña por separado, negando estos enlaces cruzados, porque las
aplicaciones generalmente requieren más que aritmética, álgebra o
geometría simple para la solución de un problema.
3.2 La Transición Del Conocimiento Informal al Formal
El objetivo de Freudenthal y sus colaboradores era estudiar cómo el
estudiante pasa del conocimiento informal al preformado y de ahí al formal,
y cómo ayudarlo en ese punto. Sus aportes más importantes a la búsqueda
de unas matemáticas accesibles a todos están relacionados con la
organización matemática de situaciones cotidianas y la facilitación de
encuentros con las matemáticas formales, la profundización del proceso de
matematización y el diseño de secuencias didácticas adecuadas para las
distintas aulas de clases basadas en múltiples usos de la información
enseñada y las diferentes formas en que los estudiantes la absorben.
En este proceso de matematización progresiva, la EMR reconoce que
los estudiantes pasan por diferentes niveles de comprensión caracterizados
por diferentes funciones mentales y lingüísticas. Estos niveles son
situacionales, referenciales, generales, formales y se refieren al uso de
estrategias, modelos y lenguajes de diferentes categorías cognitivas y no
forman una jerarquía estrictamente definida (Freudenthal-1973;
Gravemeijer-1994).
79
La síntesis de este proceso se expresa la Figura 6 cuadro de niveles
de matemáticas, cuya realización se facilita reflejando los logros del nivel
anterior: El desarrollo entre niveles se produce cuando se analiza la
actividad de un nivel en otro, el tema operativo de un nivel se convierte en
el objeto del siguiente nivel (Freudenthal-1971).
Figura 6. Niveles de Matematización
Fuente: Bressan et al (1998)
La interpretación de la situación problemática y el uso de estrategias
están completamente relacionados con el contexto de la situación misma.
Con base en su conocimiento informal, sentido común y experiencia, el
estudiante puede identificar y describir las matemáticas en su contexto,
visualizar un problema, planificarlo y formularlo de diferentes maneras,
encontrar conexiones y regularidades, identificar analogías con otros
problemas, entre otros, proceso denominado matematización horizontal.
Los niveles restantes corresponden a la matematización vertical,
caracterizada por la "personalización" de los modelos, la forma esquemática
conceptual y la formalización progresiva. Las representaciones gráficas,
materiales, descripciones, conceptos y procedimientos personales que
describen un problema ocurren en el nivel de referencia. Así, los modelos
FORMAL
CONOCIMIENTO
FORMAL
REFLEXIÓN
GENERAL
“MODELO
PARA”
REFLEXIÓN
REFERENCIAL
“MODELO
DE”
REFLEXIÓN
SITUACIONAL
CONTEXTO
MATEMATIZACIÓN
HORIZONTAL
80
se consideran en la medida en que se relacionan con las situaciones
específicas que los produjeron.
El nivel general se desarrolla a través de la investigación, la reflexión
y la generalización del nivel anterior, pero fomentando un enfoque
matemático en estrategias que van más allá de la relación con el contexto.
En este nivel, considerando los conceptos, procedimientos, estrategias y
modelos utilizados en el nivel anterior, de ellos emergen aspectos
generalizables, que los estudiantes pueden concluir utilizar en conjuntos de
tareas homólogas a las estudiadas, creando modelos para sus soluciones.
A nivel formal, entiende y utiliza los conceptos, procedimientos y
notaciones comunes de esta área de las matemáticas. Estos niveles son
dinámicos y el estudiante puede operar en diferentes estratos de
comprensión de diferentes contenidos o aspectos de un mismo contenido.
Más que describir exactamente lo que un estudiante puede hacer, ayudan a
monitorear sus procesos de aprendizaje global. La idea es que los
estudiantes puedan regresar de un nivel a otro en cualquier momento,
mientras que nadie está completamente aislado y los estudiantes de los
niveles superiores contienen información de los niveles inferiores.
Basándose en la realidad, los estudiantes pueden superar de forma
independiente los límites de las matemáticas y aprender a estructurar,
organizar, simbolizar, visualizar, planificar y mucho más. En definitiva, la
estructuración del propio proceso matemático horizontal. Pero también al
mismo tiempo o más tarde, pueden progresar en el procesamiento del
material matemático dentro de las propias matemáticas, aumentando la
eficiencia de sus procesos, aplicando abreviaturas, reemplazando el
lenguaje por uno habitual de símbolos, variables, palabras, abstracción,
generalización, armonización y cuando es necesario especificar (Streefland-
1991).
Pensar en las propias acciones juega un papel crucial en la elevación,
porque puede traer perspectiva e incluso un cambio total. Freudenthal dice:
Así es como aprendes matemáticas. Los estudiantes primero deben saber lo
que están haciendo y, lo que es más importante, deben poder pensar en lo
81
que ellos y sus compañeros han hecho. Es un reflejo en el aprendizaje
(Freudenthal-1993).
3.3 El Proceso Didáctico Desde la Educación Matemática
Realista
Si la principal actividad de los estudiantes son las matemáticas, ¿cuál
es la principal actividad de los profesores? Según Freudenthal (1991), es la
enseñanza entendida también como una actividad organizativa que se
desarrolla tanto en horizontal como en vertical. Los docentes difunden
horizontalmente los fenómenos de enseñanza-aprendizaje que tienen lugar
en sus aulas y en las de los demás; verticalmente, reflexionan y generalizan
esas situaciones hasta reinventar su caja de herramientas didácticas para
facilitar la matematización. Por didáctica se entiende la organización de los
procesos de enseñanza-aprendizaje relacionados con la materia, la visión de
la didáctica refleja lo dicho sobre las matemáticas que nacen de las
matematización. Nótese que la prueba del paralelismo se extiende incluso a
la separación de didactización horizontal y vertical: por un lado, reconocer
la realidad didáctica y por otro paradigmatizarla (Freudenthal-1991).
La didáctica Freudenthal conduce no sólo a la transmisión de
saberes, sino también al desarrollo de saberes, normas y valores
relacionados con el “buen ciudadano”, lo que la distingue de una
perspectiva puramente profesional, instrumental o vocacional de la
educación, la didáctica se centra principalmente en las teorías sobre los
objetivos y contenidos de la enseñanza. Para Freudenthal, el concepto de
currículo significa un proceso, no un estándar predefinido, y su expresión
radica en desarrollos educativos (no los llama currículos), que no son
desarrollos de “académicos” y no se limitan a diseños curriculares, sino a
planes estratégicos que contienen una clara filosofía educativa e incluyen
todo tipo de materiales que se basan en las prácticas escolares y pretenden
“promover el cambio en la enseñanza actual del aula (Gravemeijer &
Terwel-2000).
82
CAPÍTULO IV
POSICIONES REALISTA DE LA EDUACIÓN MATEMÁTICA
La “Filosofía Analítica” del siglo XX fue desde un principio un
relativo privilegio de las Matemáticas (y de la Lógica), separándola de un
contexto empírico, dentro del cual la tendencia era tratar de adoptar un
criterio unificado a través de un criterio dominante, por ello los métodos
demostrativos de las ciencias formales, marcaron el estilo por el cual se
puede juzgar la eficacia de cualquier otra disciplina del tipo científico.
Ahora, argumentamos que la acción de la “demostrabilidad”, proceso
que, en matemáticas considerado como un concepto de justificación fuerte,
jugó un papel condicionante en la distinción “analítico-sintético” bajo el
enfoque original de la “Filosofía Analítica”, fue tanta la influencia, que se
considera imposible cualquier proposición holística para incluir la
Matemática como material verdaderamente científico. Además de todo lo
que implicaría esta propuesta, es representar a las matemáticas como un
campo de gran privilegio metodológico, a expensas de otros métodos en
otras disciplinas.
En este tipo de interpretación matemática, tiene una fuerte presencia
de fondo el estilo del realismo matemático, que algunas veces se trata de
reducir, pero no abandonar por completo, rescatando de él ciertas tesis que
se consideran esenciales para la expresión del sentido abstracto, así como
una entidad que tiene existencia en sí misma.
Por lo tanto, para no rechazar el universo realista de la filosofía de
las matemáticas, proyecto que requiere un fuerte compromiso ontológico,
pero al mismo tiempo debilita esta tesis para considerar la realidad de la
práctica matemática, ahora bien, se ofrece una alternativa al realismo
matemático, que estaría enraizada en la oposición de tesis realistas y
antirrealistas sobre las entidades matemáticas, sustentadas por diferentes
autores, y que conduciría a su extensión a otros campos de la ciencia. Eso
sería equivalente a tratar las matemáticas como una actividad pseudo-
empírica.
83
Las matemáticas están experimentando actualmente un desarrollo
multifacético, que incluye muchas áreas de interés para otras disciplinas.
Pero no siempre, y no todo lo que producen los matemáticos, se hizo para
prestar servicios a otros departamentos, sino sólo por el placer de la
inmersión en el mundo de los seres abstractos.
Pero una pregunta que se puede hacer es cuál es la realidad de tales
seres. Esta es una cuestión filosófica de ontología matemática. En la
historia de los fundamentos de las matemáticas, tratando de responder a esta
pregunta, aparecieron diferentes puntos de vista. Quizá la solución más
natural e intuitiva a esta cuestión sea la posición habitualmente denominada
"realismo platonista" o simplemente "platonismo (en matemáticas)". El
platonismo en su versión estándar postula la existencia real de un mundo de
objetos independiente de la mente de cualquier individuo o grupo social que
los haya imaginado o intuido. Yacen allí y el matemático solo tiene que
encontrarlos.
Hersh (1997), en su libro ¿Qué son las matemáticas realmente?
resume muy de manera clara en qué consiste generalmente esta posición:
El platonismo afirma que los objetos matemáticos son reales e
independientes de nuestro conocimiento. Las curvas de Peano y los
conjuntos infinitos, todos miembros del zoológico matemático, son objetos
sólidos con ciertas propiedades conocidas o desconocidas. Estos objetos
están más allá del tiempo y el espacio físico. Nunca fueron creados. Nunca
cambian. De acuerdo con la ley lógica de “tercero excluido”, cada uno
posee una respuesta a una pregunta importante, tengamos o no algún
conocimiento de ello.
Según la corriente del platonismo, el matemático es un científico
empírico, como el botánico. No puede inventar porque todo ya existe. Solo
puede encontrar. Nuestro conocimiento matemático es objetivo e inmutable
porque es conocimiento de objetos externos a nosotros, independientes de
nosotros, que de hecho son inmutables. El objetivo de este capítulo es
mostrar una posición realista alternativa a la posición platónica en la
búsqueda de un sentido de la propia práctica matemática fuera de aquellas
teorías que se alejan demasiado de la realidad, que experimenta el
84
investigador matemático en el proceso de creación de conocimiento en esta
esfera del discurso filosófico.
Esto daría como resultado una visión más amplia de la filosofía de las
matemáticas, lo que permitiría un enfoque de la enseñanza que aprovecharía
la fuerza teórica de cualquier posición filosófica y, por lo tanto,
contribuiría a la enseñanza misma. Este beneficio se puede ver a nivel de
ciertos temas, porque son fructíferos para brindar recursos didácticos a los
docentes, y estos temas pueden generalizarse a otros en el futuro.
4.1 El Realismo de Las Matemáticas
Muchos personajes, entre ellos historiadores y filósofos con fuerte
tendencia en las ciencias, realizan una comparación de las Matemáticas con
el de una “dama fiel” que posee todos los atributos que los caballeros
necesitan establecer una relación seria y comprometerse con ella, como por
ejemplo: una compañía muy convincente, en un cálido hogar, donde las
reglas quedan establecidas desde el inicio y todo fluye por correr por
carriles seguros, sin confusiones o traspiés, como si no pudieran surgir por
ningún lado proposiciones que no fuera posible demostrar, es decir
“indecidibles” .
La metáfora planteada, es algo así como una dama que no interfiere
en investigar que sucede en el exterior, en las situaciones verdaderamente
reales, pero luego de los recorridos de su esposo por el mundo de la
experiencia, le asegura un lugar capaz de proporcionar el tan buscado final
feliz ya preconcebido.
Ahora bien, es necesario proponer una imagen de la Matemática más
realista. Al momento de buscar respuestas a todas las interrogantes en el
campo de la Filosofía de la Matemática, ninguna teoría conforma
enteramente.
Un aspecto que se debe mencionar, el cual se considera importante,
originado desde la década del 30 en el siglo XX aproximadamente, preocupa
85
a los interesados en encontrar o rechazar un principio de la Matemática, lo
anterior tiene relacionado al lugar que tienen las oraciones indecidibles en
un programa que intente demostrar toda la verdad y de cuanto enuncia.
Aquellos puestos realistas de la Filosofía de la Matemática apoyan y
comparten tales enunciados, motivado que logran justificar la presencia de
una verdad que existe y penetra más allá de toda capacidad humana para
reconocerla, aspecto suficiente para postular la existencia de objetos
independientemente de todo conocimiento que los seres humanos podamos
poseer.
De tal forma, las pretensiones indecidibles no deben ser tratadas
como limitaciones que excluyen la existencia de la realidad objetiva, sino
como limitaciones lógicas en la realización de observaciones que deben ser
tenidas en cuenta a la hora de comprender los fenómenos relevantes.
Por eso es bueno detenerse aquí para recordar en qué consiste y sobre
todo cómo se inició el debate sobre la indecidibilidad en matemáticas, que
apareció como un efecto secundario de la resolución de un problema
formulado por David Hilbert en relación con la reunión del Congreso
Internacional de Matemáticas en París en 1900. Allí, Hilbert propuso la
solución a una larga lista de problemas matemáticos, una décima parte de
los cuales trataba con ecuaciones diofánticas, y la posibilidad de construir
un proceso a partir del cual pueda ser determinado por un número finito de
operaciones si la ecuación diofántica en cuestión es resoluble para números
racionales enteros (Hilbert-1902).
La respuesta a este problema es que no existe un método para
obtener un conjunto completo de soluciones, lo que significa que es
"indecidible". Es decir, el problema de decisión de Hilbert y lo que se ha
denominado "el décimo problema de Hilbert" consiste en encontrar un
procedimiento eficiente que nos permita decidir, en un número finito de
pasos (es decir, un algoritmo), si existe una ecuación polinomial con
coeficientes enteros (es decir, ecuación diofántica) tienen soluciones
enteras o no.
86
La solución de este problema produjo varios resultados durante
muchos años, comenzando con el trabajo de Julia Robinson, Martin Davis y
Hilary Putnam, y terminando con la presentación principal de Juri
Matiyasevich. Ninguno de esos pasos podría haberse logrado sin los
importantes avances de Kurt Gödel, Alonso Church y Alan Turing en el
concepto de recursividad, que se relaciona con la formalización del
concepto de computabilidad. Claramente, el problema de idiosincrasia
numérica se convirtió en el problema de la decidibilidad, un fenómeno
extraño y nuevo en ese momento.
Así termina la respuesta al problema, cuando Matijasevich (1993) lo
contestó negativamente en los años 70 del siglo XX, tal algoritmo no existe.
Esto significa demostrar que los conjuntos recursivos de números enteros
son diofantinos y, por lo tanto, la teoría de la existencia positiva de los
números enteros en el lenguaje de los anillos (0,1, +) es indecidible.
Pero mientras todos los diferentes tipos de realismo en matemáticas,
de los cuales el platonismo es un caso extremo: acepte la indecidibilidad de
las matemáticas en el buen sentido, como se dijo anteriormente, no todo se
manifiesta de la misma manera. Por ello se debe presentar una versión
realista alternativa del platonismo, denominada "realismo pluralista", esta
posición puede aportar una perspectiva diferente con elementos para
fortalecer la actividad docente.
4.2 El Platonismo: Caracterización
El platonismo se puede caracterizar como realismo extremo en
matemáticas con las siguientes características:
Es una realidad matemática.
Esta realidad consta de elementos (llamados objetos o entidades
matemáticas, proposiciones y relaciones matemáticas) que forman un
todo: el "mundo matemático".
87
Esta realidad es a priori, objetiva, externa a cualquier sujeto (y por
tanto a cualquier lenguaje, descripción y/o teoría). Llamamos a esta
tesis "la tesis de la autonomía de las matemáticas".
La realidad matemática es representada por el lenguaje a través de
una relación de referencia o de extensión, según se trate el término
constante o variable por un lado y de objeto por otro, o por una
relación de verdad si se trata de asociar proposiciones con oraciones
o fórmulas bien formadas.
El razonamiento objetivo tiene un criterio (o método) que determina
la existencia (o no) de un objeto matemático y la verdad (o falsedad)
de un enunciado, y determina si la expresión se refiere o no a
matemáticas bien formadas. si la afirmación o fórmula es verdadera o
no.
Existe una teoría matemática ideal que se puede utilizar para
proporcionar una descripción verdadera (aunque no necesariamente
actualizada) del "mundo matemático".
Debemos tener en cuenta que el platonismo tiene un poderoso método
de razonamiento gracias a su potencial deductivo lo convierte en un modelo
especial, que lo coloca en un pedestal sobre el cual se pueden establecer
estándares para todos los demás métodos de explicación, y no solo en
matemáticas, sino ganando así un amplio campo en todas las demás
materias.
Pero, por otro lado, sufre fuertes críticas a nivel descriptivo. De
hecho, y este es nuestro punto de ataque, que creemos que es el talón de
Aquiles del platonismo, hay situaciones en matemáticas que no pueden
caracterizarse de manera confiable por esta posición extrema. En este
sentido, los ejemplos son situaciones en las que los matemáticos operan en
un nivel heurístico más que a través de procedimientos deductivos
definitivamente axiomatizados.
Allí, en lugar de argumentos demostrativos, prima la búsqueda de
explicaciones. Lo más importante es responder a la pregunta "por qué" y no
tanto al "cómo", tratando de entender las formas de describir más que los
mecanismos de prueba que se intenta caracterizar.
88
Así, la tarea de creación matemática no depende necesariamente de
medidas axiomáticas, sino que utiliza cualquier cosa que permita tener en
cuenta los resultados deseados. Entonces parece que, en las primeras etapas
del desarrollo matemático, el nivel descriptivo más que el de razonamiento
toma el relevo. El platonismo no aceptaría este tipo de "realidad"
cambiante, que sólo tiene potencialidad y no existencia real.
4.3 Los Otros Realismos en Las Matemáticas
El realismo platónico no solo nos presenta un mundo autónomo de
objetos y proposiciones matemáticas, sino que también trata de explicar las
justificaciones de las afirmaciones matemáticas que sustentan cierto tipo de
concepto de verdad. El platonismo puede ser discutido desde al menos dos
perspectivas o niveles diferentes: la forma en que se construye la realidad
matemática (el nivel ontológico), el tipo de justificación (y por lo tanto el
tipo de presunta verdad) que garantiza las afirmaciones (nivel semántico-
epistemológico).
Se intenta defender una caracterización anti-platónica del realismo,
que no aceptaría una división tajante entre estos dos niveles. Veamos por
qué. Empecemos por el nivel ontológico: actualmente la relatividad
conceptual parece ser aceptada sin un rechazo masivo general. Pero si el
objetivo no es rechazar esta actitud, por un lado, sino mantener una
posición realista por el otro, entonces el camino elegido por Hilary Putnam
en la filosofía de las matemáticas es una síntesis de ambos aspectos.
¿Se puede llevar la relatividad conceptual a un extremo que suspenda
el juicio sobre cómo se caracteriza la realidad matemática en los objetos?
¿Es posible cuestionar conceptos considerados primitivos en la teoría de
conjuntos, es decir los conceptos "existencia", "pertenencia", "elemento"?
El platonismo responde claramente en forma negativa, porque sin
duda tenemos primero la materia prima a partir de la cual podemos hablar
de fórmulas conceptuales, teóricas, lingüísticas, que son todas
89
clasificaciones que cumplen los sujetos para alcanzar la realidad original ya
auto-identificada y clasificada de por sí en objetos.
La tarea epistemológica viene después y se limita a la representación
adecuada de la realidad externa a través de cualquier lenguaje
independiente del sujeto, eligiendo sucesivamente mejores descripciones
que correspondan a la realidad predeterminada. Las entidades matemáticas,
según el platonismo, son conjuntos, funciones, matrices, ecuaciones,
vectores, entre otros, objetos autónomos que existen separados de cualquier
sujeto. La tarea del matemático es entonces pegar los rótulos que
posibilitan el bautismo, sin ningún tipo de construcción.
El tema no tiene estructura; solo hay que hacer un poco de
arqueología: encontrarlos y etiquetarlos. El "realismo interno" de Putnam
sugiere una alternativa a ese punto de vista y responde afirmativamente a la
pregunta anterior. Supongamos que nos preguntamos cuáles son los
elementos que componen el plano euclidiano. Una posible respuesta es:
puntos. Así que los puntos son objetos tangibles según esto. Pero otra
opción sería: no, los puntos no son partículas elementales planas; esa tarea
la cumplen los círculos y los puntos, los puntos son estructuras abstractas
basadas en el primitivo concepto de círculo, los límites de una secuencia de
círculos concéntricos. O, si se quiere, también como intersecciones de haces
de líneas, en este caso línea es nuestro concepto primitivo.
¿Pero está todo bien? ¿Es la decisión actual un trato limpio? No, no
importa. Bueno, cada una de estas versiones se basa en una teoría diferente,
y dentro de la cosmovisión ya aceptada, la respuesta ya no es convencional.
No se puede evitar una descripción del plano euclidiano, que no se sustenta
en ninguna teoría. Pero si se acepta convencionalmente una de estas
versiones, la respuesta no es inevitable: es determinista y no está sujeta a
convenciones, opiniones o juicios culturales arbitrarios.
Hay una sub-definición teórica interna, una relativización con
contextos teóricos más amplios. Toda descripción del plano euclidiano
requiere, para comprenderlo, la capacidad de abrazar la teoría que lo
englobe. En Razón, Verdad e Historia, Putnam (1981) afirma:
90
“Los Objetos no existen independientemente de los esquemas
conceptuales. Dividimos el mundo en objetos cuando introducimos uno u
otro esquema descriptivo, y como tanto los objetos como los símbolos están
dentro del esquema descriptivo, es posible mostrar cómo se emparejan.”
Y en The Many Faces of Realism (y la misma cita en Representation
and Reality), Putnam (1987) dice:
“Podemos y debemos insistir en que algunos hechos existen para
descubrirlos, no sólo para regularlos. Pero eso hay que decirlo cuando una
persona ya ha adoptado la forma de hablar, el lenguaje, el “sistema
conceptual”. Hablar de lo "real" sin antes definir el lenguaje utilizado es
hablar de nada; el uso de la palabra "hecho" no está más determinado por
la realidad misma que la palabra "ser" o la palabra "objeto".
La perspectiva internalista permite responder, por ejemplo, de dos
maneras diferentes a la pregunta: ¿cuántos objetos hay en este conjunto?, si
hay tres individuos x1, x2, x3 en el "mundo lógico de Carnap".
Trivialmente, esta teoría tiene tres elementos. Sin embargo, si consideramos
las sumas de Lezniewski, decimos que sus elementos son todas las
combinaciones posibles de sumas en el rango x1, x2, x3.
Así, según esta versión de la lógica polaca, hay 23 = 8 elementos, a
saber: el individuo, x1, x2, x3, x1 + x2, x1 + x3, x1 + x2 + x3. Ninguna
teoría es correcta y la otra es una teoría falsa. Ambos pueden coexistir.
Ambos cumplen dos requisitos muy valiosos para cualquier realista: R1:
Consistencia interna. R2: Compatibilidad con nuestra experiencia cotidiana.
El realismo no significa que creamos que existe una teoría única
(incluso ideal) que puede describir lo que realmente es, o una teoría única
que no sea el isomorfismo. Nunca podemos describir sin caer en ciertas
formas de usar el lenguaje que presuponen la aceptación directa o implícita
de una o más teorías. Creer en objetos entonces es: creer en la realidad
objetiva y creer en teorías que clasifican esa realidad bajo esos objetos y no
en otros.
91
Así vemos que el Platonismo afirma: R1: Consistencia interna. R2:
Compatibilidad de la teoría con la experiencia. R3: La única
correspondencia de la experiencia con la teoría, es decir, para cada
situación hay una y única teoría que le corresponde en todos sus detalles.
Rechazamos esta última tesis R3 y aceptamos un realismo más débil que el
platonismo porque debe satisfacer sólo dos de sus tesis. ¿Y qué ganamos
con esta degradación? Además, ¿Seguimos siendo "realistas" al declarar
solo R1 y R2? Antes de responder a esta pregunta, pasemos ahora al nivel
semántico-epistemológico.
La introducción del razonamiento unificado en matemáticas después
de que las matemáticas mismas se establecieran como una disciplina
cognitiva resultó exitosa. ¡Qué mejor argumento que seguir aceptando la
propia posición epistemológica sin debate! La demostración se presenta en
matemáticas no solo como un método interno de razonamiento, que
proporciona argumentos deductivamente decisivos, sino también como un
método externo, es decir, como un método de razonamiento sobre el
conocimiento matemático. La demostración es un concepto epistémico
porque afirma más que una garantía de un resultado matemático consistente.
Afirma que es una garantía dentro de una creencia: una sostenida por todos
los sujetos que afirman tal resultado.
Si toda demostración sustenta una determinada creencia, se puede
decir que el método demostrativo mismo es generador de creencias
matemáticas; y no sólo de creencias, sino de creencias garantizadas, es
decir información matemática. El concepto de verdad matemática se
convierte así en un concepto epistémico, deriva de nuestras creencias,
depende de nuestras prácticas de verificación o justificación.
Quizá por eso las matemáticas se consideran una ciencia objetiva.
Este poder de convicción, esta aceptación universal, de superar las posibles
dudas de quien se encuentre con él, es una razón de peso para creer en la
existencia de la realidad matemática. Podríamos plantear la siguiente
objeción:
92
“Cualquier disciplina que evalúe sus resultados a partir de un único
criterio (en este caso demostrativo) o se encuadra en la circularidad (o,
más precisamente, en una cuestión de fondo) o la resuelve de antemano. En
efecto: si (como se dijo anteriormente) resulta que la demostración
matemática es tanto un método interno como externo de razonamiento
matemático, entonces, como externo, se dice que proporciona fundamento.
Y en ese caso no podría usarse para defender ninguna tesis antes de que
fuera aceptada, de lo contrario estaría abierta a objeciones de
insuficiencia; cualquier tesis anterior estaría sesgada, no la sustenta con
un método.”
Por otro lado, si se parte de algunas tesis (por ejemplo, supuestos
ontológicos y epistemológicos sobre el mundo matemático), se corre el
riesgo de ser acusado de circularidad, porque esas mismas tesis pueden ser
aprobadas por el método. En otras palabras: primero, confirmación de
supuestos básicos; segundo, aplicar el método; en tercer lugar, aplicar el
método para demostrar las primeras suposiciones. La crítica que aquí se
presenta sobre la singularidad del método proviene de la manifestación de
una situación real que efectivamente existe entre los matemáticos: en el
desarrollo de la investigación aparecen resultados parciales que parecen ser
muy convincentes y cuya aceptación no necesariamente pasa por cualquiera.
En tales casos se acostumbra a decir, oír decir o leer: "suena banal", "ver
esto pasar", "déjalo como ejercicio para el lector", entre otros.
Las razones que conducen a tal aceptación son a veces
incomprensibles. Ciertamente puede haber errores en ellos: es posible que
no se haya obtenido la confirmación teórica pertinente. Pero como
heurística, esta actitud es rápida y provechosa. En su introducción al
método, Arquímedes se dirige a Eratóstenes de la siguiente manera:
“Me ha parecido conveniente confiarte por escrito las propiedades
del método por el cual puedes abordar la investigación de ciertas
cuestiones matemáticas a través de la mecánica. Nada de lo que otros me
convenzan es menos útil para probar los teoremas mismos. Bueno, algunos
de ellos, que primero se me hicieron patentes por la Mecánica, fueron
introducidos después por la Geometría, porque la investigación por este
método está lejos de ser una demostración; porque es más fácil hacer una
93
demostración después de haber adquirido por este método algún
conocimiento de los problemas que busca, sin tener la menor idea de ello.”
Y continúa:
"Lo que presentamos ciertamente no prueba este resultado, pero da
crédito a la conclusión".
Esta institucionalización de un método único que produce un
razonamiento decisivo dominó la historia de las matemáticas hasta que sus
fundamentos fueron discutidos. Recién a partir del siglo XX se cuestiona la
verdadera naturaleza filosófica de los modelos justificativos de esta
disciplina. En general, esta controversia se aborda desde el punto de vista
de la naturaleza de los objetos matemáticos, y la cuestión de fondo no se
supone que esté relacionada con el lugar o el estado ontológico de la
representación matemática misma.
Si analizamos la cuestión desde este punto de vista, podemos afirmar
que el formalismo, una de las tres corrientes filosóficas que dominaron los
inicios de la filosofía de las matemáticas, junto con la lógica y el
intuicionismo, elimina la cuestión de la existencia de las matemáticas, y
destaca las virtudes de la coherencia como garante de la objetividad.
Más concretamente, el formalismo niega toda realidad matemática y
sigue siendo un concepto de existencia reducido a la mera continuidad
lógica. Por otra parte, la posición constructivista pone el método en el
centro, de modo que la segunda etapa dice lo que es: sólo hay aquello para
lo cual es posible una construcción final. El logicismo, el formalismo y el
intuicionismo rescataron del olvido (filosófico) el mayor tesoro que la
tradición euclidiana trató de preservar: el rigor que ofrece (en todo caso con
variaciones) un concepto matemático basado en la posibilidad de
axiomatización por reducción de esta disciplina en un conjunto de
definiciones, axiomas, teoremas y sus demostraciones que nos dan una
imagen de las matemáticas que no describe "realmente" las actividades
complejas del investigador.
94
El sueño de Hilbert de una formalización completa, así como el
intento de Brouwer de realizar el proceso de construcción de todas las
matemáticas existentes, o el intento de Russell de reducirlo todo a la lógica,
las anteriores alternativas se vieron frustradas en sus proyectos por las
razones teóricas de las matemáticas y causas o limitaciones humanas.
Quizás la verdadera gran revolución en el método de las matemáticas
ocurra cuando se introduzcan las computadoras en sus diversos procesos de
desarrollo. Hoy, su aparición tiene dos roles bien diferenciados: por un
lado, colaboran con el matemático en una formalización minuciosa,
llenando los vacíos de demostración anticipados del investigador, aunque
muchos de ellos son tediosos y lentos, acelera el proceso de la deducción.
Por otro lado, y quizás de mayor interés filosófico, trabajan con un
matemático que es quien los programa para lograr resultados que nadie ha
logrado antes, utilizando métodos y tiempos que están más allá de cualquier
capacidad física y comprensión. El caso más llamativo citado es la
demostración del "Teorema de los cuatro colores" de Apel, Haken y Koch
(1976), conjeturado hace casi un siglo. El teorema plantea la posibilidad de
colorear una superficie plana o esfera utilizando sólo cuatro colores, de
modo que dos áreas que comparten un punto común deben ser del mismo
color.
Aquí, entre otras cosas, surge el problema de que estamos en
presencia de la prueba del teorema antes mencionado, pero la propiedad
queda fundamentalmente incompleta, si consideramos que funciona en
ciertas etapas haciendo elecciones probabilísticas de los casos. El tiempo
necesario para comprobar todo el programa haría esta tarea humanamente
imposible.
Tanto el caso de Arquímedes de aplicar el método mecánico como el
teorema de los cuatro colores pueden considerarse buenas estrategias
heurísticas. Pero el propósito es interpretarlos como claros ejemplos de
procesos de creencia objetiva que los matemáticos aceptaron como pseudo-
demostraciones de ciertos teoremas, pero que en realidad podrían ser
considerados verdaderos argumentos si relajáramos las condiciones de la
garantía demostrativa.
95
No se trata de abandonar el concepto clásico de prueba matemática,
sino de extenderlo, por ejemplo, a las pruebas por ordenador (aunque no
permitan a los sujetos seguir paso a paso sus resultados) o, por ejemplo, a
la mecánica de Arquímedes, o cualquier tipo de autenticación gráfica o
analítica que permita convencer, aunque no necesariamente concluyente.
En el libro ¿Qué es la verdad matemática? Putnam da un ejemplo aún
más sorprendente, que ha estado en boca de todo matemático que se queja
de la falta de disciplina: el caso de la correspondencia biunívoca entre
números reales y puntos en una línea recta sin límites en ninguno de sus
extremos. Es sorprendente la naturalidad con la que esta pregunta ha sido
aceptada por tantas generaciones de matemáticos como si hubiera una
prueba perfecta para ello.
Las matemáticas nos parecen casi empíricas, más a menudo de lo que
parece, menos estable y más dividido de lo que suele subrayarse. Incluso el
mismo platonismo muestra la incertidumbre del método cuando aparecen
famosas proposiciones no resueltas. Estas oraciones solo muestran los
límites de la validez de una teoría particular. Pero no discuten la teoría.
Paradójicamente, tienden a reforzar la imagen de este tipo de
realismo, porque permite la manifestación de una existencia más allá del
alcance humano. Pero si este es el caso de las lagunas en el programa
propuesto por Apel y Haken, ¿por qué no creer en este tipo de resultado si
es realista? Davis y Hersh (1981) en su libro Mathematical Experience
fomentan la aceptación del matemático típico como platónista de lunes a
sábado y formalista el domingo. Dicen:
“Esto quiere decir que cuando (un matemático) hace matemáticas,
está convencido de que está tratando con una realidad objetiva cuyas
propiedades está tratando de determinar. Pero cuando se le desafía a dar
una imagen filosófica de la realidad, le result a más fácil pretender que,
después de todo, no cree en ella.”
96
El matemático típico es a la vez platónista y formalista: un platónista
secreto con una máscara formalista, que se pone cuando la ocasión lo
requiere (o cuando los filósofos lo acosan con preguntas incómodas, como
diría Dieudonné). Se propone adherirse a un realismo pluralista, donde cada
teoría tendría su propio alcance y forma de constituir y justificar la
existencia de sus objetos matemáticos característicos. Realista no significa
aferrarse a una teoría.
Si, como dijimos antes, las pruebas matemáticas nos permiten aceptar
creencias, esas creencias pueden variar de una cultura a otra y de un tiempo
a otro. Por lo tanto, sería prudente encontrar nuevas pautas epistémicas que
aseguren la confiabilidad a través de otros métodos. Mencionamos que hay
dos factores al analizar las fortalezas y debilidades de la elección de la
perspectiva teórica en la filosofía de las matemáticas: el potencial de
razonamiento y el potencial descriptivo. Así notamos que el platonismo
favorece el primero de estos dos factores a expensas del segundo.
Nuestra posición realista pluralista va en la otra dirección: nos
preocupa más la caracterización adecuada de los elementos relevantes que
la precisión probatoria. Después de todo, la aceptación de cualquier teoría
es esencialmente temporal y no definitiva, por mucho que la enfaticemos.
Eso sí, si partimos de cero con una teoría que es un arma contundente
contra posibles fracasos futuros, tanto mejor.
Pero lo más importante no es el éxito inicial, sino la construcción de
hipótesis plausibles, pero fundamentalmente sostenibles “mientras duren”.
Esta actitud heurística "heurística" es lo que llevó a sus practicantes a
posibles grandes resultados futuros: Arquímedes nos da un fuerte ejemplo
de tal situación cuando, en su obra "Método" para llamar brevemente a este
gran texto encontrado; ofrece un procedimiento preliminar y conjetural para
resolver el problema de encontrar patrones de superficies y volúmenes de
cuerpos geométricos.
Luego, utilizando el método de demostración garantizada del
agotamiento, logra obtener los mismos resultados que una vez trató de
lograr con un método heurístico improvisado, pero de una manera
hipotéticamente efectiva, como lo fue en realidad. Así, la apertura teórico-
97
plural permite considerar varias posibilidades al mismo tiempo, sin excluir
ninguna de ellas, debido a sesgos teóricos a priori. La alternativa, entonces,
es un realismo pluralista, democrático y benévolo cuando se trata de
suspender el juicio sobre la certeza, exactitud y precisión de una
proposición putativa como plausible.
Esto, a su vez, significa aceptar una ontología en la que parte de la
realidad es posible, no la clásica y tradicional ontología platonista, en la
que la única realidad es lo actual, lo efectivo, lo que realmente sucede. De
este modo, una epistemología que complete la ontología de lo posible busca
equiparar los aspectos representativos, que únicamente aborda el
platonismo, dado que la realidad existente puede y debe ser entendida, no
construida con los aspectos creativos, y de esta manera crear una hipótesis
plausibles, incluso si aún no están garantizadas.
Además de mencionar el potencial discursivo y el poder descriptivo
de la posición filosófica aquí propuesta, existe un tercer factor que favorece
fuertemente su aceptación y aplicación en el aula: cómo la enseñanza puede
beneficiarse desde una perspectiva realista pluralista. En este punto, vale la
pena mirar el siguiente ejemplo específico de una situación en el aula: un
tema que aparece a menudo en la enseñanza responde a una pregunta típica
de los estudiantes, es decir. ¿Cuál es la ventaja de aprender estas materias
de matemáticas? ¿Son válidos en la realidad?, ¿dónde se implementan?,
¿Qué objetos son? La naturaleza abstracta y formal de las entidades
matemáticas a menudo avergüenza a los estudiantes que no ven la necesidad
de expandir el mundo agregando objetos que nunca parecen tener un uso
práctico.
Todas estas preguntas podrían responderse con un punto de vista
extremadamente realista, que afirma que el mundo de las matemáticas es
independiente y autónomo del mundo del estudiante, un mundo de gran
valor, más completo y preciso. Como tal, este mundo es un modelo para
nuestro mundo incierto y nos guía por el camino de la máxima belleza, la
pureza de la disciplina y la perfección, el bastión de la infalibilidad. Qué
mejor modelo que un mundo sin grietas.
98
Por otro lado, un realista pluralista no busca necesariamente lo mejor
de todos los mundos, sino que crea mundos útiles para las tareas ordinarias
de la vida cotidiana. En este sentido, las abstracciones y formalismos
matemáticos nos permiten crear nuevas formas de observar la realidad, en
las que dejan de pertenecer solo al dominio de nuestro pensamiento, para
tener vida, y por tanto no son solo modelos de nuestros pensamientos, sino
también se involucran con todo aquello que nos hace individuos.
La capacidad de hacer cálculos prácticos con el apoyo de nuestros
conocimientos cambia el estatus ontológico de esas cosas, amplía los modos
de su realidad, las materializa y abre nuevos juegos de lenguaje y con ellos
diferentes formas de comportamiento adecuadas a las situaciones
cotidianas. Al adquirir una educación matemática, resulta curioso cómo
ubicar estructuras formales en hechos reales y, por el contrario, modelar
situaciones concretas con la ayuda de estructuras matemáticas.
Esta interacción se enriquece con una ontología posible, como la que
ofrece el realismo pluralista, que pretende trabajar no sólo con lo cierto e
indiscutiblemente verdadero, sino también con lo posible e hipotético, hasta
probar su verdad. Esta naturaleza hipotética muestra una apertura espiritual
que suele ser bloqueada por un realismo extremo. Así, el lema del realista
pluralista es: la oportunidad de abrir la puerta a la crítica; Por otro lado, la
seguridad no solo las abre, sino que también cierra aquellas puertas que
abren mal, aunque sean prometedoras.
Volviendo a la metáfora de la mujer matemática, Putnam ofrece una
interesante alternativa que pretende dar a la mujer un papel más activo en el
mundo real. Pero parece exigirle, al menos a la larga, adherirse a los
estrictos requisitos de presentar la verdad de acuerdo con los cánones más
estrictos, incluso si esa verdad se alcanza más tarde.
Pero entonces esta mujer todavía puede ser engañada: seducida a
participar en los problemas reales de la ciencia empírica, se la exige aún
más que a otras. ¿Por qué? Porque hasta ahora ha demostrado que puede;
que tenía un método casi infalible. Para no ser del todo inflexible, a pesar
de todas las dificultades, se portó mejor, porque respetó más que sus
planes, los cánones establecidos, todo lo que la teoría le permitía. ¿Cuál
99
sería una alternativa real a las matemáticas? ¿Cuál sería la verdadera
liberación para esta mujer?
Debe transitar por el mundo empírico y utilizar estas herramientas
para asegurar su participación productiva en el mundo matemático, en la
acumulación de conocimientos matemáticos. Aceptemos modelos de
razonamiento matemático que no se limiten a las pautas del cuadro
deductivo clásico proporcionado en la presentación. Los matemáticos, en
cambio, por lo general no son tan formalistas estrictos y extremos en su
trabajo diario.
Su forma de trabajar, en la mayoría (si no en todos) los casos, no
sigue el modelo euclideano en todas sus fases. Todavía hay una heurística
que los productos terminados y lanzados no reflejan. Si queremos pintar una
imagen más creíble de esta actividad humana, no lo haremos sólo desde el
realismo platónico, ni desde el otro extremo del nominalismo puro. Ninguna
de estas formas es o deben ser refutadas. Solo hay versiones mejores o
peores para ciertos propósitos. Y en la medida en que nos comprometemos
con una elección teórica, todo corre sobre rieles momentáneamente
aceitados hasta que las hipótesis que subyacen a esa posición caen en
errores inevitables.
100
CAPITULO V
LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA: APLICACIÓN EN
ACTIVIDADES COTIDIANAS
Crear situaciones de aprendizaje que involucren a los estudiantes en
el desarrollo de actividades matemáticamente ricas y productivas es uno de
los principales desafíos que enfrentan los docentes en la práctica
profesional. Dependiendo de la situación, siempre pueden formular muchas
tareas diferentes que sean accesibles o difíciles, abiertas o cerradas,
contextuales o no.
En general, el profesor no siempre ofrece las mismas tareas y no
siempre actúa de la misma manera en clase. Por el contrario, elige tareas y
actúa de acuerdo con el progreso de la lección y las reacciones de los
alumnos. Una buena estrategia de enseñanza suele consistir en diferentes
tipos de tareas, y por lo tanto uno de los mayores problemas para un
docente es encontrar la combinación adecuada de tareas para los alumnos.
Comenzamos observando la relación entre actividad y tarea y luego
presentamos diferentes tipos de tareas y discutimos su valor educativo.
Por lo general, los estudiantes aprenden sobre los factores clave: la
actividad que están haciendo y cómo pensar en ella. Esta perspectiva sobre
el aprendizaje es ahora ampliamente aceptada en la comunidad de educación
matemática. Como muestran Christiansen y Walther (1986), cuando se está
implicado en una actividad, se realiza una tarea específica.
En otras palabras, una tarea es una meta de una actividad. La tarea
puede ser formulada por el propio profesor y propuesta al alumno, puede
surgir de la propia iniciativa del alumno, e incluso puede ser negociada
entre profesor y alumno. En ambos casos, cuando un estudiante participa en
una actividad matemática, está realizando una tarea específica. El profesor
no dispone de medios para intervenir directamente en la actividad del
alumno, pero puede y debe ocuparse de formular tareas, presentar
propuestas y dirigir su ejecución en el aula.
101
5.1 Selección Cuidadosa de Ejemplos Prácticos
Iniciemos con la formulación de un problema, con la finalidad de
ilustrar que la noción de problema no es un concepto de hoy o de ayer, para
ello a continuación se muestra un examen para alumnos de educación
secundaria de 12 años:
Los estudiantes que no tenga la pericia y el conocimiento de la regla
de tres simple o la forma de trabajar con proporciones y, incluso, aquellos
que no comprendan el enunciando del problema, como por ejemplo que se
refiere el término “café mezcla”, tendrá muchas dificultades de encontrar
una solución a la situación. En contraposición, aquellos que lo conozcan,
poseen la facilidad de resolverlo, sin ningún tipo de inconvenientes, tanto
así, que puede catalogarse en un planteamiento del problema para
estudiantes de ciertas edades, mientras que para otros grupos corresponde
solo a un simple ejercicio.
En 20 kilogramos de café mezcla se encuentran 16 kilogramos de café
natural. ¿Qué cantidad de ese café existirá en 280 gramos de la misma
mezcla?
Este problema puede resolverse con la tradicional regla de tres simple:
El mismo problema puede ser resuelto con otro tipo de razonamiento, que
posee el mismo principio:
16
20
___
X= 280 x 16 =
20
224
20
16
=
280
X
X
=
280 x 16
20
=
224
102
El enunciado anterior, solo trata del típico enunciado de mezcla, cuyo
razonamiento comprende la siguiente lógica: mezclando una cantidad x de
un producto A cuyo coste unitario es m con una cantidad y de un producto
B de coste unitario n. Es necesario destacar que este tipo de problemas son
poco usados, esto a pesar de que se bebía mucho café y, donde en muchos
de los casos, se consumía indistintamente la variedad robusta originaria de
África o la variedad arábiga originaria de Arabia pero muy cultivada en
América Central y en Brasil.
Aunque existe evidencia de que los problemas han tenido un lugar
destacado en la educación matemática desde la antigüedad (Stanic &
Kilpatrick-1989), su enseñanza fue explicada por George Pólya (1975). Para
Pólya, un maestro debe presentar problemas a sus alumnos para que puedan
experimentar desafíos a sus habilidades matemáticas y así experimentar el
sabor del descubrimiento. Pólya considera que esto es un requisito básico
para que comprendan la naturaleza de las matemáticas y desarrollen el gusto
por esa disciplina.
Cabe señalar que el problema siempre viene con un grado de
dificultad importante. Sin embargo, si es demasiado difícil, puede hacer que
el estudiante se dé por vencido rápidamente. Si es una pregunta que puede
resolver fácilmente, no es un problema, es un ejercicio.
En las tareas y ejercicios se explica perfectamente lo que se da y lo
que se pide. Además, ambos pueden ubicarse en contextos matemáticos y no
matemáticos. Como preguntas contextualizadas, es claro que se necesita
cierta comprensión de este contexto, por ejemplo, en este caso, qué es el
café (en grano o molido), la capacidad de hacer mezclas con diferentes
tipos de café y las unidades relacionadas, en este caso unidades de masa y
unidades monetarias.
Los ejercicios se utilizan para que el alumno aplique en la práctica
los conocimientos ya adquiridos y ayude a reforzar estos conocimientos.
Sin embargo, hacer ejercicios en serie no es una actividad muy interesante
para la mayoría de los estudiantes. Reducir la enseñanza de las matemáticas
a la resolución de una tarea trae grandes riesgos de empobrecer los retos
que se ofrecen y la motivación de los alumnos. Por lo tanto, los ejercicios
103
tienen su lugar en la enseñanza de las matemáticas, pero más que tener
muchos ejercicios, es más importante seleccionarlos cuidadosamente, que
prueben hasta qué punto los estudiantes comprenden los conceptos básicos.
5.2 La Investigación y la Exploración
Podemos ilustrar este tema, con los dos siguientes enunciados:
Visita el supermercado, y revisa los distintos tamaños de paquetes
de café de una misma marca en existencia. Si fuera el caso que tienes
el interés de adquirir una gran cantidad de café, ¿Cuál consideras la
mejora opción de la compra?
Para el caso del paquete de 250 gramos, realiza un estudio de los
precios de las distintas marcas en existencia ¿Qué puedes mencionar
acerca de la gran diferencia de precios entre las marcas? ¿Cuáles
pueden ser los motivos que existan en distintas marcas precios bajos
y en otros precios más altos?
Cualquiera de estas tareas puede impulsar un proceso de
investigación para un estudiante de 12-13 años. Aunque brindan
información y plantean preguntas, ambos dejan mucho trabajo para el
estudiante, ya sea en el desarrollo de una estrategia de solución o
específicamente en la formulación de los aspectos a resolver.
Para responder a la primera pregunta, tal vez el estudiante fue a ver
los precios de varias marcas de café en un supermercado cerca de su
residencia. Para ilustrar mejor los resultados obtenidos se presentan en la
Tabla 1.
Para conseguir una gran cantidad de café, lo más práctico sería
comprar paquetes de 1 kilogramo. De las tres marcas disponibles, la más
barata es la N, lote normal (7,56€). Si queremos un café de gran calidad, los
precios de las dos marcas que ofrecen esta variedad son los mismos. Está
claro que el criterio decisivo a la hora de comprar un buen café debe ser el
sabor, no el precio. En cualquier caso, conviene comprobar si el precio que
104
estamos pidiendo no es razonable (comparado con otras marcas) por nuestro
café favorito.
Tabla 1. Marcas, Lotes, Pesos de Café
No estaría de más analizar los valores que tendríamos que pagar por
la misma cantidad de café comprado en paquetes de menos de 250 gramos.
Una forma sencilla de hacer esto es agregar una columna a la tabla que
muestre el peso en kilogramos.
Para nuestra sorpresa, descubrimos que, si compramos nuestro café de
tipo superior en paquetes pequeños, podemos ahorrar bastante dinero. Por
cada kilo tenemos que pagar solo 10,56 € en lugar de 11,99 €, o casi un
euro y medio menos. Si queremos el café más barato posible -en tiempos de
dificultades económicas esta puede ser la única solución, entonces la mejor
estrategia es comprar paquetes de 250 gramos, marca D, lote normal.
Muchos autores, como Mason (1996) y Goldenberg (1999), han
defendido la importancia de la investigación matemática dirigida por los
estudiantes. En Portugal, el proyecto MPT2 (Abrantes, Leal, & Ponte-1996;
Abrantes, Ponte, Fonseca, & Brunheira-1999) produjo un excelente trabajo
en esta área, los principales argumentos presentados para justificar la
105
importancia del trabajo de investigación, no los problemas, motivan a los
estudiantes a participar, pues esperan su participación activa desde la
primera etapa del proceso: la formulación de las preguntas a resolver.
De todo esto, se puede concluir que se deben enfatizar dos
dimensiones principales de las tareas: la dificultad y la estructura. La
dificultad es una medida muy utilizada para evaluar las preguntas que se
presentan a los alumnos, tanto en el aula como en momentos específicos de
evaluación como pruebas o exámenes.
Por supuesto, esto varía entre polos "alcanzables" y "difíciles". La
estructura es una dimensión que ha comenzado a recibir la atención. Varía
entre polos "abiertos" y "cerrados". Una tarea cerrada es una tarea que
establece claramente lo que se da y lo que se solicita, y una tarea abierta es
una tarea que contiene una ambigüedad significativa en lo que se da, lo que
se solicita o ambos.
Cruzando estas dos dimensiones se obtienen cuatro cuadrantes.
Teniendo en cuenta las características correspondientes, en ellos se pueden
ubicar los tres tipos de tareas que presentamos anteriormente (ver Figura 7):
El ejercicio es una tarea cerrada y accesible (cuadrante 2).
El problema también cerrado, pero de mayor dificultad (cuadrante
3).
La investigación es una tarea con alto grado de dificultad, pero
abierta (cuadrante 4).
Todavía tenemos el cuadrante 1, el cuadrante de tareas relativamente
abiertas y simples que llamamos tareas de exploración. De hecho, no todas
las tareas abiertas son muy difíciles. Por lo tanto, la diferencia entre las
tareas de exploración e investigación es el nivel de dificultad. Si el
estudiante lograra empezar a trabajar desde allí sin mucha planificación,
tendríamos un proyecto de exploración por delante. De lo contrario, sería
mejor hablar de investigación.
106
El límite entre las tareas de exploración y los ejercicios no siempre es
muy claro. Un mismo enunciado puede corresponder a una tarea de
exploración o un ejercicio, según los conocimientos previos de los
alumnos. Por ejemplo, considere la pregunta anterior ¿Cuál es el precio
promedio de un paquete de café en el supermercado? Si los estudiantes ya
aprendieron cómo determinar la media, ya sea informalmente o con la
expresión:
x
x
1
.... x
n
estaremos hablando de un ejercicio simple.
Si los estudiantes aún no han aprendido a promediar un conjunto de
valores, esta es una tarea exploratoria en la que deben movilizar su
conocimiento intuitivo. A menudo se cree que los estudiantes no pueden
completar una tarea a menos que se les enseñe directamente cómo
resolverla. Esta es una idea equivocada. Los estudiantes aprenden muchas
cosas fuera de la escuela que se pueden usar en la clase de matemáticas.
A menudo es más efectivo para ellos aprender cuando encuentran su
propio método para resolver una pregunta que esperar a que aprendan el
método del maestro y reconozcan cómo aplicarlo en una situación dada.
Búsquedas de diferentes tipos, según la dificultad y apertura, se tratan de
un ejercicio sencillo. Si los estudiantes aún no han aprendido a promediar
un conjunto de valores, esta es una tarea exploratoria en la que deben
movilizar su conocimiento intuitivo.
Figura 7: Dimensiones de los Planteamientos de Problemas.
Accesible
Ejercicio
Exploración
Cerrado
Abierto
Problema
Investigación
Difícil
107
5.3 Tipos de Tareas
Dos nuevas dimensiones de las tareas son muy importantes: la
duración y el contexto. En cuanto a la duración de un problema de
matemáticas, puede durar unos minutos o durar días, semanas o meses. En
otras palabras, la duración de una tarea puede ser corta o larga según la
Figura 8. Un ejemplo de una tarea a largo plazo que tiene muchas
características de investigación es un proyecto. Las asignaciones a largo
plazo pueden ser muy versátiles y permitir un aprendizaje profundo e
interesante, pero existe un alto riesgo de que los estudiantes se pierdan, se
atasquen, pierdan el tiempo en cosas irrelevantes o se rindan a la mitad.
Figura 8. Tipos de Tareas.
Finalmente, el contexto es una dimensión importante por considerar.
En esta etapa, los pilares se determinan a partir de tareas enmarcadas en el
contexto de la realidad y tareas formuladas puramente matemáticamente. En
un interesante artículo, Skovsmose (2000) distingue además un tercer
contexto, al que denomina semirealidad, muy común en problemas y
ejercicios matemáticos.
Aunque obviamente se trata de situaciones reales, es posible que no
signifiquen mucho para el estudiante. Al omitir este aspecto, no se tienen
en cuenta la mayoría de las características reales de las situaciones. Casi no
hay enfoque en la propiedad o las características que le interesan al
interrogador y en las que el estudiante debe enfocarse.
Por lo tanto, es un contexto casi tan abstracto para el estudiante como
el contexto de las matemáticas puras. Las llamadas tareas modelo son
108
esencialmente tareas presentadas en el contexto de la realidad. Estas tareas
suelen ser problemáticas y desafiantes y conducen a explicaciones según el
nivel de estructuración de la declaración respectiva. También se usa para
hablar de aplicaciones de las matemáticas.
Por naturaleza, son ejercicios o tareas que aplican conceptos e ideas
matemáticas. También cabe señalar que los ejercicios, problemas, estudios
y explicaciones pueden tener lugar en el contexto de la realidad, la
semirealidad o las matemáticas puras (ver Figura 9). Entonces surgió la
pregunta sobre las tareas que el docente puede proponer en el aula. En la
práctica, a veces no se da cuenta de que puede haber otras tareas. Varios
documentos de orientación curricular, como Relatório Matemática 2001
(APM, 1998) sugieren que el docente debe diversificar al máximo las tareas
que ofrece a los alumnos.
Figura 9. Tipos de Tares Según el Contexto.
¿Cuál sería la combinación de tareas más adecuada para la enseñanza
de las matemáticas? Esta pregunta, formulada de manera tan abstracta, no
puede responderse. A la hora de elegir las tareas para sus grupos, el docente
debe considerar varios factores, entre ellos:
Las características de cada tipo de tarea.
Habilidades e intereses de los estudiantes.
Historia previa de trabajo en equipo en el aula (ver Figura 9).
Las tareas son una parte integral de cualquier caracterización
curricular porque determinan en gran medida las oportunidades de
aprendizaje disponibles para los estudiantes. Una vez que se sugiere una
tarea, puede dar lugar a una amplia variedad de actividades, según la
capacidad y actitud de los alumnos y el enfoque del profesor. La forma de
trabajar en el aula, la forma en que interactúa con los estudiantes para
resolver tareas, los roles del maestro y los estudiantes, todo tiene un gran
109
impacto en lo que aprende. Elegir tareas apropiadas es solo una parte del
trabajo de un maestro, pero es un aspecto clave para crear oportunidades de
aprendizaje efectivas para los estudiantes.
Tabla 2. Comparación de Distintos Tipos de Tareas.
110
CAPITULO VI
EL FUTURO DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
6.1 Educación Matemática: Historia
Existe un acuerdo casi unánime entre los investigadores en educación
matemática sobre la importancia de una perspectiva histórica en la
formación docente y la educación en general. En los últimos años, la
historia de las matemáticas se relaciona principalmente con la teoría y la
práctica de su enseñanza. Así convergieron aquellas áreas de conocimiento
que tradicionalmente se consideraban ajenas entre sí.
Algún conocimiento de la historia de las matemáticas debe formar
parte necesaria del conocimiento del matemático en general y especialmente
del conocimiento de los profesores de cualquier nivel, primario, secundario
o superior. No solo como aprendizaje directo, sino también como
entrenamiento personal. Cuando observamos el desarrollo histórico de un
determinado concepto, vemos cómo los resultados matemáticos se
convierten en conocimientos que muchas personas buscan con pasión y
paciencia.
Cuántas oraciones en nuestros libros de texto, que parecen ser
verdades indiscutibles, han cambiado su apariencia para nosotros,
cambiando su significado completo dentro de la teoría después de un
estudio más detallado de la misma, incluyendo su contexto histórico,
sociocultural y biográfico. Para entender esto, basta analizar el teorema
principal de Euclides e Hilbert.
Varios autores han demostrado que se pueden extraer recursos de la
historia de las matemáticas en beneficio de los estudiantes cuando se
introducen muchos temas matemáticos. En primer lugar, debe señalarse que
el desarrollo histórico del concepto no siempre es adecuado para la
planificación de asignaturas, aunque a veces se pueden establecer analogías
entre fases históricas y fases similares de la educación, la enseñanza puede
basarse en los resultados alcanzados en el desarrollo histórico y
principalmente enfatizan que la historia nos ofrece muchos modelos que
111
pueden ser utilizados análogamente en la modelación didáctica.
De ello se deduce que la investigación sobre el papel de la historia
en la enseñanza se considera correctamente parte de la investigación sobre
la enseñanza de las matemáticas. Por supuesto, se debe considerar el uso de
la enseñanza de la historia de las matemáticas en diferentes niveles y que
estos niveles pueden servir de base para diferentes intervenciones
educativas.
Un detalle igualmente importante es que la Comisión Internacional de
Educación Matemática (ICMI por sus siglas en inglés) finalmente colocó el
tema en la agenda del Congreso Internacional de Matemáticas. Un
documento de debate previo al congreso abordó algunos de los temas como,
por ejemplo:
El nivel del sistema educativo, donde la historia de las matemáticas
cobra importancia como herramienta didáctica.
Implicaciones del uso de la historia para la organización y práctica
de la clase.
La utilidad de la historia de las matemáticas para los investigadores
en educación matemática.
Incorporar la historia de las matemáticas en el currículo.
La enseñanza de las matemáticas se puede hacer desde varias
perspectivas: de forma heurística, lógica y a través de un enfoque
histórico.
6.2 La Educación Matemática: Relación Con la Historia
El libro Nápoles (2009) presenta los puntos de contacto más
importantes entre la historia y la educación matemática:
La historia de las matemáticas como objeto de reflexión.
Historia de la intervención matemática en la formación del
profesorado de matemáticas.
Historia de la intervención matemática en el aprendizaje
112
matemático.
La historia como fuente de desarrollo de nuevas ideas matemáticas.
En este caso, nos centrarnos en los aspectos de la formación docente
y el aprendizaje matemático que son cruciales para el trabajo diario,
asociado a los siguientes temas:
Historia de los conceptos matemáticos.
Historia de la formación docente (y actualización).
Historia en la clase de matemáticas.
Ahora bien, nos encontramos con trabajos relacionados con el
desarrollo histórico de conceptos que afectan a las matemáticas escolares
(algoritmos, gráficas, regla de los signos, ángulos, entre otros). Un aspecto
se refiere específicamente a la historia de las matemáticas como
herramienta para estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje en
situaciones multiculturales, comparando la historia de la demostración,
obteniendo y aplicando diferentes modelos de razonamiento hasta llegar al
presente, denominadas “pruebas no verbales”.
Por una parte, el desarrollo de ideas matemáticas ayuda al maestro a
superar obstáculos epistemológicos. Por ejemplo, la comparación del
algoritmo de multiplicación de “Maya” y el método de “Gelosía” puede
conducir al desarrollo de nuevos procedimientos de clase para operaciones
elementales (Nápoles-2010). Además, estudiar las definiciones históricas de
formas similares que se ofrecen en el aula puede hacer que los estudiantes
entre 12 y 13 años reflexionen sobre diferentes enfoques y comparen sus
consecuencias al construir objetos matemáticos.
Por otro parte, estos artículos responden a la necesidad de los
docentes de conocer la historia de forma sistemática. No solo brindan
información, sino que también brindan material para pensar sobre las
propias dificultades para enseñar y aprender ciertos conceptos matemáticos.
Algunos documentos de la describen claramente la secuencia en la que se
imparten los cursos para profesores.
113
Para implementar esta parte de manera realmente efectiva, primero se
deben considerar las dificultades de aprendizaje y elegir materiales
históricos como resultado de esta elección. Por ejemplo, si consideramos el
álgebra, destacamos los siguientes puntos críticos:
Simbolismo.
Relación entre Aritmética y Álgebra.
Relación entre Geometría y Álgebra.
Motivo de la manipulación.
Generalización del formalismo, abstracción, entre otros.
Luego buscamos en la historia de Álgebra para encontrar momentos
similares en pasajes anteriores. De esta forma, los profesores toman
conciencia de las dificultades de los estudiantes y de los medios para
investigar la naturaleza de esas dificultades. Está claro que la naturaleza
epistemológica de las barreras juega un papel importante en este proceso.
Al enseñar un tema determinado, puede ser útil considerar cómo se ha
desarrollado en la historia, al capacitar a los maestros y planificar las
lecciones.
Encontramos trabajos de la clase particularmente interesantes, porque
pueden mostrarnos cómo las ideas teóricas se ponen en práctica. Como
pregunta específica, el problema del uso de la historia en la educación
matemática es ampliamente discutido desde diferentes perspectivas. Hay
matemáticos famosos que apoyan este uso, algunos de ellos aplicaron sus
ideas en diferentes direcciones (Weil-1980). Los profesores de matemáticas
que siguen las pautas de Freudenthal promueven el uso de la historia a
través de la "reinvención guiada" (Freudenthal-1973).
Barbin (1994) introduce el término "depaysement" (alineación).
Explica que la integración de la historia de las matemáticas en la educación
reemplaza el proceso habitual con desafíos y entendimientos diferentes,
convirtiendo lo familiar en lo desconocido. Como sucede cuando una
persona se encuentra en un paisaje desconocido, después de la fase inicial
de confusión, trata de reponerse y orientarse.
Este fenómeno es particularmente adecuado para su uso en la
114
formación de profesores (antes de la graduación o en la práctica). A través
de su depaysement, las etapas de recompensa y posterior sustitución y
orientación, la Historia brinda a los docentes la oportunidad de analizar
nuevamente sus ideas sobre la naturaleza de los conceptos matemáticos y
los procesos mediante los cuales se construyen estos en nombre de los
estudiantes.
Los trabajos de la clase asociado a los artículos que tratan sobre la
historia en el aula nos permiten verificar con experimentos reales los usos
que ofrece la historia, mostrando sus limitaciones y direcciones para su
implementación. Por ejemplo, podemos rastrear los orígenes históricos de
las operaciones con fracciones y dirigir las pequeñas actividades de
investigación de nuestros estudiantes a través del análisis de varios errores
graves cometidos por los estudiantes, es decir los llamado “howlers”.
Al comentar sus experiencias, los profesores a veces señalan que la
construcción de objetos matemáticos por parte de sus alumnos sigue el
mismo camino del desarrollo histórico, y por lo tanto su confianza en la
eficacia del uso de la historia se basa en lo que se ha hecho. Las
experiencias de los docentes y las experiencias en las clases muestran que
el docente generalmente no utiliza la historia para guiar a sus alumnos en la
construcción de objetos matemáticos exactamente de acuerdo con la forma
de los antepasados, sino que discute y contrasta las perspectivas modernas y
antiguas (reinvención liderada por Freudenthal).
En cuanto a la perspectiva epistemológica de la investigación en
enseñanza de las matemáticas, notamos que varios trabajos se enfocan
principalmente en las representaciones epistemológicas (es decir,
representaciones de posibles formas cognitivas que están relacionadas con
ciertos conceptos matemáticos) e histórico-epistemológicas. En esta
perspectiva, las diversas interacciones complejas entre historia y didáctica
requieren importantes supuestos epistemológicos.
Por ejemplo, la selección de información histórica es importante y,
además, su interpretación implica algunos problemas que siempre se basan
en instituciones y creencias culturales (Radford-1997). Anteriormente
hemos señalado que, para un uso efectivo de la historia en la educación
matemática, la historia debe estar integrada al currículo y no añadida, lo
que significa que debe estar conectada a paradigmas teóricos como barreras
115
epistemológicas, enfoques culturales, “sonidos y ecos”, entre otros.
La historia aporta contenido en su desarrollo histórico, y la
epistemología apoya el diseño curricular porque ofrece interesantes
reflexiones sobre la reestructuración curricular desde la perspectiva de la
innovación educativa. También es clara la influencia de diferentes opciones
epistemológicas en el desarrollo del currículo, por ejemplo, a veces el
análisis matemático se organiza según estructuras (por ejemplo, el estudio
de funciones en una y varias variables, luego límite, continuidad, entre
otros) y esto no se sigue el arreglo habitual de estudiar primero el caso de
la variable real y luego pasar a las funciones multi-variables.
Asimismo, la epistemología puede ser un apoyo eficaz para la
formación de docentes, porque promueve una reestructuración significativa
de los saberes en los procesos de enseñanza y aprendizaje. Otro aspecto
muy importante está relacionado con la reflexión epistemológica asociada
con los conceptos y objetos de las matemáticas (D'Amore-2000). Tanto en
el trabajo de los docentes como en la dirección adoptada por la sociedad en
la formación docente, aparecen algunas elecciones epistemológicas
importantes, y además se discuten algunos significados e importancia
diferentes de las competencias y habilidades desde muchas perspectivas.
6.3 Incorporación de la Historia en la Educación Matemática:
Algunas Dificultades Teóricas
Es realmente sencillo y fácil introducir la historia en la educación
matemática, especialmente en la educación secundaria, en realidad no lo es,
el uso de la historia de las matemáticas en el aula requiere la selección de
temas de historia apropiados, la preparación de materiales didácticos y la
búsqueda de un lugar para la educación histórica en los currículos de
matemáticas actuales. A primera vista, se trata solo de problemas prácticos,
que, por supuesto no deben subestimarse, pero nos interesa la cuestión de si
esta inclusión de las matemáticas en la educación no es fundamentalmente
problemática.
Nos convendría explicar que los historiadores de las matemáticas son
como los antropólogos que estudian culturas matemáticas diferentes a la
nuestra. Los historiadores deben considerar las matemáticas como algo que
116
cambia constantemente en lugar de eterno, inmutable. Así, Unguru (1979)
escribió:
“La historia de las matemáticas es la historia de las no matemáticas.
Se refiere al análisis de los aspectos de la idiosincrasia de la actividades
de los matemáticos en el estudio de la nomotética, o la que es conforme a
la ley. Si uno debe escribir una historia de las matemáticas en lugar de una
matemática de la historia, el escritor debe tener cuidado de no reemplazar
la nomotética con la idiosincrasia, es decir, tratar el pasado de las
matemáticas como si no hubiera diferencias triviales en las externalidades
del pasado de las matemáticas, un núcleo duro con contenido esencialmente
sin cambios.”
A la luz de esto, el problema teórico de conectar la historia de las
matemáticas y la educación matemática en realidad comienza con los
problemas prácticos. A partir de la selección y presentación del material
histórico, los docentes de matemáticas deben adaptarse a las necesidades
del currículo, que por lo general se enfoca en el aprendizaje en el aula de
matemáticas, es decir, deben filtrar la historia para satisfacer las
necesidades dadas, haciendo de la historia una herramienta más que un
sujeto. Aunque bien intencionados, los profesores de matemáticas se ven
obligados a ocupar una posición menos preocupada por la precisión
histórica que por el enfoque histórico, siempre conscientes de que la
objetividad histórica no debe dar paso a las necesidades pedagógicas.
6.4 Casos Ilustrativos Para Aplicación en Las Aulas
Los casos mostrados a continuación, sólo deben tomarse como una
guía ilustrativa de todo lo que podemos enseñar en nuestras aulas:
6.4.1 El Caso de la División
Dividir, como operación inversa a la multiplicación, podría ser
considerada una operación de mayores complicaciones, más allá de las
derivaciones que originan su práctica. Ahora bien, una de las vías que el
docente puede aplicar para establecer la misma, son problemas obtenidos
del Papiro Rhind (1650 a.C). Como ejemplo de ello podemos mostrar:
117
Una cantidad con la mitad de ella añadida es 16. ¿Cuál es la
cantidad?
10 panes se reparten entre 3 hombres de manera que el segundo
recibe la mitad que el primero y el tercero la cuarta parte que el
primero.
¿Cuánto recibe cada uno?
Analicemos el primer caso. El escriba utiliza el método de
regulación, es decir, evalúa diversas soluciones para obtener la correcta.
Así, supone que la cantidad es 2 luego:
La evaluación de diferentes casos más, todos enteros, nos dirige a la
consideración que debe haber una proporcionalidad entre la cantidad real y
la hipotética, con referencia al resultado obtenido con la primera y con la
segunda. Dicho de otra manera, hay que establecer una proporcionalidad
como la siguiente:
Luego se puede obtener la solución:
Sin embargo, el escriba no procedía de la forma anterior, lo primero
que hacía era dividir por 16, utilizando el método de duplicación, de donde:
118
1 3
2 6
4 12
Como 12+3=15, siendo la solución hipotética 3, su tercera parte es 1,
lo que nos permite obtener 16, por ello, tomando en consideración la
columna izquierda y este último resultado, la mitad de la solución es
entonces:
Multiplicando por 2 se obtiene la cantidad buscada. Si multiplicas por
2, obtienes la cantidad deseada. Este tipo de problemas pueden ser resueltos
en los años posteriores a la primaria, lo que contribuiría a su formación, sin
mencionar que comenzamos con ellos en la práctica matemática habitual.
Hay aquí un paralelismo entre lo que nos muestra la historia y lo que
"hacen" los estudiantes. Las matemáticas también deben tratarse de prueba
y error, el método regular que presentamos se puede aplicar a un número
infinito de problemas matemáticos y lo más probable es que sea una
realidad.
6.4.2 Las Series Infinitas
Cuando se presenta la noción de serie infinita, debemos especificar
que una suma de infinitos sumandos es, con frecuencia, considerada por los
estudiantes como “infinitamente grande” (tal y como pensaban los griegos
contemporáneos de Zenón) así que, en primer lugar, debemos superar la
idea errónea de “infinitos sumandos equivale a suma infinitamente grande”.
119
Se pueden usar figuras geométricas para superar esta dificultad, por
ejemplo, a partir de la figura, un cuadrado de área 1, de donde se obtiene:
La utilización de recursos geométricos, puede originar dificultades en
algunos estudiantes para coordinar la representación geométrica en términos
simbólicos es, probablemente, la mejor vía para superar la primera
dificultad “infinitos sumandos, suma infinitamente grande”.
Este ejemplo, o el análisis de la Paradoja de Aquiles y la Tortuga, de
Zenón, podría llevar a nuestros estudiantes a la idea, de que una serie es
una suma de infinitos términos en progresión geométrica (o aritmética), por
lo que tenemos una nueva dificultad que superar y la historia volverá a
brindarnos los recursos necesarios.
En 1703 Guido Grandi (1671-1742) notó que de la suma infinita 1-
1+1- 1+1-… es posible obtener tanto 0 como 1:
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +… = 0 + 0 + 0 + 0 +…= 0
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) +… = 1
Por lo que consideró (como muchos matemáticos del siglo XVIII) que
su suma es ½. Es fácil ver esto haciendo S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -… por lo
que:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -… = 1 - (1 – 1 + 1 – 1 + 1 -…)
De donde: S = 1 - S y por lo tanto S = 1/2.
La incorporación de las observaciones de diversos matemáticos
respecto a la suma de Grandi nos lleva a dos cuestiones fundamentales:
120
La existencia de S asegura una cualidad importante en las sumas
infinitas.
¿Cómo obtener S en el caso general?
Ambas cuestiones relacionadas directamente con la consolidación de
nociones primordiales en la Educación Matemática, es decir, la introducción
de las series infinitas en el aula no es simple y algunos aspectos deben ser
considerados, por ejemplo, límite de una función, la manipulación del
infinito y la generalización de las habituales operaciones de suma y
multiplicación. Por supuesto que esta no es la única cuestión subyacente
aquí, la distinción entre el infinito actual y potencial es otra de las
cuestiones a las que los docentes deben prestarle especial atención en las
aulas.
6.4.3 Las Construcción en Matemáticas
A pesar de la existencia de técnicas constructivas en varias ramas de
la Matemática, utilizaremos dos ejemplos como punto de partida.
Euclides demostró que se pueden construir, con regla y compás,
polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, así como todos los deducidos de
los anteriores por bisección reiterada de sus lados. Estos eran, sin embargo,
todos los polígonos regulares que los griegos sabían construir; no conocían
ningún método geométrico para construir polígonos regulares de 7, 9, 11,
13, 14 y 17 lados.
Por ejemplo, durante los 2000 años siguientes parece que nadie llegó
a sospechar que sería posible construir algunos de estos polígonos. La
cuestión tuvo que esperar hasta el 30 de marzo de 1796, cuando un joven a
punto de cumplir los 19 años, Carl Friedrich Gauss, construía con las
normas euclídeas el polígono regular de 17 lados.
Ese mismo día empezó un diario en el que fue apuntando, durante los
18 años siguientes, algunos de sus más grandes descubrimientos; y el
primer registro es, naturalmente, el de la construcción del polígono regular
de 17 lados. Años más tarde, y como puede leerse en su diario, Gauss
demostraba que con las herramientas euclídeas se puede construir un
121
polígono regular de n lados cuando:
, p = 2, 3, ... (se construye mediante bisectrices).
n es un primo de Fermat
n es de la forma donde los son
ciertos primos de Fermat, es decir, n es un producto de números
distintos de las dos clases anteriores.
Así, por ejemplo, el polígono regular de 9 lados no se puede construir
con regla y compás, pues, aunque n = 9 = 3.3 y 3 es un primo de Fermat, el
factor 3 está repetido, de aquí que según el inciso no puede construirse
euclidianamente el eneágono. Igualmente les sucede a los polígonos de 7,
11, 13, 14, 18, 21, 22, 23, 25, ... que tampoco son construibles.
De hecho, hasta la fecha los únicos primos de Fermat conocidos son
3, 5, 17, 57 y 65537 barajándose a posibilidad de que es compuesto para
todo p > 4. El tema ha venido provocando tanto interés en la comunidad
matemática que F. J. Richeliot en 1832 publicó una extensa investigación
del polígono de 257 lados y el profesor Hames de Lingen dedicó 10 años de
su vida a la construcción del polígono regular de 65337 lados.
Es interesante la discusión del Método de Arquímedes, en el que
pueden vincularse diversos conocimientos matemáticos y se puede utilizar
el ordenador y un Sistema de Cálculo Simbólico (por ejemplo, el Derive),
como herramienta de cálculo y como medio de razonamiento en Geometría.
El otro ejemplo que presentaremos es el de máximo de una función.
Este concepto, tal y como se utiliza actualmente en Matemática, se
desarrolló progresivamente, a medida que las necesidades prácticas se
hacían sentir, se agregaban las definiciones necesarias. Y es a causa de eso
que se llegó a una proliferación de nociones vagas e inexactas, que tienen
una curiosa similitud con el concepto que se forman en los alumnos.
Comencemos por una pregunta sencilla. ¿Cómo puede variar el área
de un rectángulo cuando el perímetro es constante? Tome su mayor valor
tomando, por ejemplo, 12 como el valor del perímetro.
122
La construcción de varios rectángulos, por ejemplo, de lados 4 y 2, 5
y 1, nos lleva a confeccionar la siguiente tabla:
Lados
Área
4
2
8
5
1
5
3
½
2
1/2
8
3/4
3
3
9
Así los estudiantes pueden concluir que el área mayor se obtiene
cuando los lados son iguales, es decir, cuando el rectángulo es un cuadrado.
Por ejemplo, podemos partir de un segmento AB de longitud 6 (el
semiperímetro) y situando el punto medio P, la construcción de los diversos
casos anteriores puede obtenerse variando a la izquierda (o la derecha) P,
sabiendo que AB+AP+PB=12 y APxPB=Área, en concreto, lo que hemos
hecho es obtener el máximo de la función f(x)=(3-x)(3+x)=9-x2 siendo 3-
x=AP y PB=3+x.
Lo que hemos hecho nosotros es, ni más ni menos, recrear el método
de Fermat para obtener máximos y mínimos planteado en su “Methodus ad
disquirendam maximam et minimam”:
“Sea a cualquier incógnita del problema (de uno, dos o tres
dimensiones, dependiendo de la formulación del problema). Vamos a
indicar el máximo o mínimo de a en términos que podrían ser de cualquier
grado.
Vamos a reemplazar la incógnita original a por a+e y vamos a
expresar la cantidad máxima o mínima en términos de a y e que implique
cualquier grado. Adecuaremos, para usar el término de Diofanto, las dos
expresiones de la cantidad máxima o mínima y vamos a sacar sus términos
comunes. Ahora resulta que ambas partes contienen términos en e o sus
potencias.
Vamos a dividir todos los términos por e, o por una potencia superior
a e, de modo que e se eliminará por completo de por lo menos uno de los
términos. Suprimimos entonces todos los términos en que e o una de sus
123
potencias siguen apareciendo, e igualaremos las otras; o, si una de las
expresiones se desvanece, igualaremos, lo que es lo mismo, los términos
positivos y negativos. La solución de esta última ecuación dará el valor de
a, lo que llevará al máximo o mínimo, utilizando nuevamente la expresión
original (Fauvel-1990).”
En nuestro caso tenemos que AB=6, a=AP, luego PB=6-a y el
producto, el máximo que estamos buscando, será ba-a2. Sea ahora a+e el
primer segmento de b, el segundo será b-a-e y el producto de los segmentos
ba-a2 (adecuado con el precedente ba-a2). Suprimiendo términos comunes
obtenemos
be
2ae+e
2
,
Dividiendo todos los términos por e
b2a+e
Suprimiendo e
b=2a.
Para resolver el problema basta con tomar a como la mitad de b, es
decir, a=3.
6.4.4 Colofón
Estos ejemplos pueden ser utilizados de diversas formas, e
interrelacionados entre sí. Dos preguntas que podrían ilustrar esta última
cuestión son las siguientes:
¿Podrían identificar las funciones que corresponden a la función
Volumen- altura de las figuras presentadas?
124
La cuestión central aquí, es identificar la pendiente constante de la
primera gráfica y el punto de no derivabilidad del segundo ¿Puede construir
una figura infinita con área finita?
Este caso nos lleva a considerar una función como suma infinita, de
hecho, geométricamente puede obtenerse que su suma es 1, sin ir más allá
de percatarse que cada rectángulo es la mitad del anterior, teniendo el
primero un área de ½.
6.5 El Futuro de la Historia de la Matemática en la Educación
Matemática
La historia de las matemáticas no es solo un cuadro de colores que se
puede usar para hacer que la imagen matemática sea más colorida, para
despertar el interés de los estudiantes de diferentes niveles educativos, es
parte de la imagen misma. Si es una parte tan importante que da una mejor
comprensión de lo que son las matemáticas, si amplía los horizontes de los
estudiantes, quizás no solo sus horizontes matemáticos, entonces debería
incluirse en el plan de estudios Heide (1996).
125
El resultado de todo esto parece ser que la educación matemática
enfrenta un dilema con respecto a la historia de las matemáticas: ser fiel a
los compromisos de la educación matemática y verse "obligado" a adoptar
una visión dulce de la historia o ser fiel a los compromisos de la historia de
las matemáticas y debe dedicar tiempo a ideas matemáticas y filosóficas que
pueden no ser relevantes para el currículo general de matemáticas.
Sin embargo, este dilema no debe verse como la base de todos los
intentos de incorporar la historia de las matemáticas al estudio de las
matemáticas o, peor aún, como un intento de los historiadores de las
matemáticas por defender sus ideas. Entonces, el problema realmente es
que, en lugar de decir "la educación matemática tal como se pretende en
general", debería decirse "tal como está diseñada".
En lugar de negar la historia de las matemáticas en la educación
matemática, este dilema debe tomarse como un desafío para evaluar
nuevamente la naturaleza de la educación matemática, de modo que la
historia de las matemáticas se convierta en una actividad seria y una parte
integral del significado de las matemáticas.
Esta revalorización no significa necesariamente una revolución. De
hecho, aunque la comunidad de educación matemática estuvo orientada en
ciertas direcciones en el pasado, en realidad fue un proceso continuo de
autodefinición. En los últimos años, el cambio en la atención de la
comunidad a los aspectos socioculturales de la educación matemática
promete cambiar la dirección del campo hacia un enfoque no superficial de
la historia de las matemáticas en la educación matemática, lo cual no solo
es posible, sino necesario.
Aunque motivados en parte por los problemas prácticos de los
grandes inmigrantes europeos y norteamericanos (y, por diversas razones,
argentinos) y la globalización general de la educación matemática, estos
estudios socioculturales apuntan al sistema cultural de las matemáticas
(tomando prestada la expresión de Wilder (1981)
Según esta perspectiva, existen corrientes en los estudios educativos,
como la etno-matemática y la semiótica de D'Ambrosio, que enfatizan el
126
conocimiento y el pensamiento matemático en un sistema cultural generado
por signos, como lo señala Radford (2003). Y esas corrientes, que no
requieren un análisis histórico directo, son consistentes con la historia
imaginada de las matemáticas del historiador.
En cierto sentido, lo que sucedió es que la posición original se
refleja en la opinión de ICMI, Smith y Klein de que las matemáticas tienen
un valor cultural y por lo tanto una historia que debe tomarse en serio,
porque al final se tomó en serio. Y, sin duda, el futuro del ICMI jugará un
papel importante en su desarrollo y en el esclarecimiento de sus
implicaciones. Nos gustaría señalar que el uso de recursos históricos en
nuestras aulas tiene dos efectos secundarios:
Los participantes estaban motivados para aprender algo de historia
de las matemáticas. Aunque este no es nuestro principal objetivo.
Transformamos nuestras aulas en verdaderos laboratorios de
matemáticas donde los estudiantes "hacen matemáticas" para resolver
problemas específicos. Es una forma deliberada de involucrarlos en el
proceso de enseñanza-aprendizaje.
Este proceso, que nos lleva a diseñar un modelo didáctico en nuestro
laboratorio, se puede resumir de la siguiente manera:
Lectura de programas y currículos matemáticos.
Lectura de un cuento.
Mostrar las raíces cognitivas de los conceptos.
Conoce raíces cognitivas en historia y programas matemáticos.
Planificar la secuencia de enseñanza y aprendizaje.
Queremos enfatizar que los problemas no son la única fuente de
desarrollo matemático, debemos agregar ejemplos y oraciones, que también
expresan las fortalezas del desarrollo matemático y son un excelente
material para trabajar en el aula. Finalmente, hacemos tres propuestas sobre
las direcciones de acción para la investigación en educación matemática:
127
En el nivel teórico, se debe promover la discusión entre
historiadores, científicos emocionales, psicólogos, antropólogos y
profesores de matemáticas.
En un nivel práctico, también es necesario considerar los modelos y
conceptos opuestos del desarrollo ontogenético y filogenético. Esto
puede ayudar a comprender mejor qué intervenciones pedagógicas se
pueden implementar.
Se deben hacer y explicar reconceptualizaciones teóricas entre los
dominios ontogenético y filogenético a medida que se forma el diseño
didáctico y el diseño de secuencias didácticas.
128
CONCLUSIÓN
La visión de las matemáticas como un todo, muestra la necesidad de
planificar actividades que ayuden a los estudiantes a encontrar conexiones
entre los diferentes temas matemáticos y entre esta, otras disciplinas y la
realidad. La acción en torno a las conexiones realistas promueve la
articulación e integración de los diferentes ejes de los currículos de
matemáticas.
Las matemáticas no son un conjunto de materias separadas y aisladas,
aunque se suele presentar como tal. Al ver este todo unificado, la
exploración creciente de múltiples representaciones y experiencias muestra
la necesidad de diseñar actividades que ayuden a los estudiantes a descubrir
la existencia de estas conexiones. Cuando los estudiantes pueden conectar
ideas matemáticas, su comprensión es más profunda y duradera. A través de
la instrucción que enfatiza las relaciones de las ideas matemáticas, los
estudiantes aprenden no solo las matemáticas sino también su utilidad.
La didáctica realista propone que los estudiantes reinventen los
conceptos, modelos, acciones y estrategias de las matemáticas en la escuela,
no como individuos, sino en relación e interacción con la comunidad de
aprendizaje formada por los compañeros y el docente. Del principio de la
matematización progresiva, se puede concluir que las condiciones óptimas
para la reinvención se dan en las aulas que se componen de estudiantes de
diferentes niveles y habilidades matemáticas.
Contextos realistas: (alcanzables, imaginables, relevantes) sirven no
solo como meta para la aplicación, sino también como punto de partida y
referencia constante para reinventar modelos, conceptos, operaciones y
estrategias. Los contextos y situaciones de problema realistas no solo
promueven la articulación o integración de diferentes ejes de los currículos
de matemáticas escolares, sino también, en principio, acortar la distancia
entre las matemáticas escolares y el sentido común.
En este escenario, y a los ojos de un profesor bien capacitado,
Zolkower muestra que la gama de soluciones ofrecidas por los estudiantes a
una situación problemática dada actúa como un mapa de ruta que señala
caminos de aprendizaje/enseñanza posteriores. De acuerdo con los
129
principios de la didáctica realista, la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas requiere una actividad de liderazgo del profesor, que no sólo
puede utilizar hábilmente tales modelos, sino también reconocer los
momentos clave de su creación de estrategias diseñadas por los estudiantes.
Esta destacada actividad docente incluye:
Adaptar los currículos existentes a las necesidades y capacidades de
los alumnos.
Asumir un papel activo en relación con los procesos simbólicos y de
modelado.
Analizar e interpretar el trabajo oral y escrito de los alumnos,
prestando especial atención a asuntos de los momentos en los
procesos de diagramación y formalización progresiva.
Organizar o estructurar la discusión en torno a las diferentes
soluciones propuestas por los estudiantes de modo que las formales,
eficaces, refinadas y generalizables se hagan visibles desde menos
niveles.
130
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Depósito Legal N°: 202202233
ISBN: 978-612-49240-2-6
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