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Etnomatemáticas y el entorno universitario
Víctor Edgardo Rocha Fernández, Rufino Alejos Ipanaque, Flor de Maria Garivay Torres, Jenny
Maria Ruiz Salazar, Hugo Eladio Chumpitaz Caycho, Ericka Nelly Espinoza Gamboa
Adaptado por: Ruben Dario Mendoza Arenas
Compilador: Ruben Dario Mendoza Arenas
© Víctor Edgardo Rocha Fernández, Rufino Alejos Ipanaque, Flor de Maria Garivay Torres, Jenny
Maria Ruiz Salazar, Hugo Eladio Chumpitaz Caycho, Ericka Nelly Espinoza Gamboa, 2023
Jefe de arte: Yelitza Sánchez
Diseño de cubierta: Josefrank Pernalete Lugo
Ilustraciones: Ruben Dario Mendoza Arenas
Editado por: Editorial Mar Caribe de Josefrank Pernalete Lugo
Jr. Leoncio Prado, 1355 – Magdalena del Mar, Lima-Perú
RUC: 15605646601
Libro electrónico disponible en http://editorialmarcaribe.es/?page_id=1063
Primera edición – marzo 2023
Formato: electrónico
ISBN: 978-612-49219-7-1
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°: 2023-02028
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Índice
Introducción .....................................................................................................................................5
Capítulo 1 .........................................................................................................................................8
Raíces de la etnomatemáticas ..........................................................................................................8
1.1 La etimología de etnomatemática .................................................................................... 9
1.2 Desarrollo de etnomatemáticas ...................................................................................... 10
1.3 Investigaciones en etnomatemáticas .............................................................................. 22
1.4 Clasificaciones propuestas para los trabajos de investigación en etnomatemáticas ...... 26
1.4.1 Estudios de interpretación de objetos ................................................................ 26
1.4.2 Estudios interpretativos con comunidades ........................................................ 27
1.4.3 Aprendizajes Liberadores y Transformadores con Comunidades. .................... 28
1.5 Tensiones en la educación de la etnomatemáticas .......................................................... 30
1.5.1 Las etnomatemáticas rurales .............................................................................. 32
1.5.2 Las etnomatemáticas urbanas ............................................................................ 35
1.5.3 Diferencias y similitudes entre etnomatemáticas rurales y urbanas en el contexto
colombiano ................................................................................................................. 35
Capítulo 2 .......................................................................................................................................37
Experiencia en formación ..............................................................................................................37
2.1 Entomatemáticas en la formación de profesores indígenas .....................................................37
2.2 Licenciatura intercultural indígena ................................................................................ 38
2.2.1 Hipótesis ............................................................................................................ 39
2.2.2 Marco teórico de la experiencia ........................................................................ 41
2.2.3 Metodología empleada en la experiencia .......................................................... 44
2.3 Sociedad Kaingang ......................................................................................................... 46
2.4 Las pruebas lógicas ........................................................................................................ 47
2.4.1 Axiomas en el cálculo de parentescos ............................................................... 47
2.5 El lenguaje formal en la lógica de los predicados .......................................................... 50
2.6 Sistema de parentesco Kaingang en Python ................................................................... 55
2.7 Utilidad de la investigación etnomatemática en la formación de docentes indígenas ... 57
2.8 Conclusiones de la experiencia ...................................................................................... 62
Capítulo 3 .......................................................................................................................................66
Perspectivas en etnomatemáticas ...................................................................................................66
3.1 Dimensiones de las etnomatemáticas ............................................................................. 68
3.1.1 La dimensión cognitiva ..................................................................................... 68
3.1.2 La dimensión conceptual ................................................................................... 69
3.1.3 La dimensión educativa ..................................................................................... 69
3.1.4 La dimensión epistemológica ............................................................................ 70
3.1.5 La dimensión histórica ...................................................................................... 70
3.1.6 La dimensión política ........................................................................................ 71
3.2 Enfoques pedagógicos etnomatemáticos ........................................................................ 72
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3.2.1 Implicaciones educativas de las etnomatemáticas ............................................. 73
3.3 Enfoques innovadores en etnomatemáticas ................................................................... 74
3.3.1 Justicia Social .................................................................................................... 75
3.3.2 Etnocomputación ............................................................................................... 75
3.3.3 Etnomodelación ................................................................................................. 76
3.3.4 Trivium Curriculum ........................................................................................... 77
3.3.5 La Literacia ........................................................................................................ 77
3.3.6 La Materacia ...................................................................................................... 77
3.3.7 La Tecnoracia .................................................................................................... 78
3.4 Etnomatemática y formación docente a distancia .......................................................... 78
3.5 Etnomatemática y formación de profesores indígenas ................................................... 79
3.6 La interacción polisémica en etnomatemática y pedagogía del rol cultural .................. 80
3.7 Comentarios finales ........................................................................................................ 82
Capítulo 4 .......................................................................................................................................85
Etnomatemáticas: una visión latinoamericana ...............................................................................85
4.1. Problemáticas actuales .................................................................................................. 87
4.1.1 Prácticas culturales ............................................................................................ 89
4.1.2 Desde la perspectiva de la identificación .......................................................... 91
4.2 Posibles resultados ......................................................................................................... 92
4.2.1 Problematización del conocimiento .................................................................. 93
4.2.2 Ampliación de los espacios reflexivos .............................................................. 93
4.2.3 Descolonizar desde la diversidad del diálogo ................................................... 94
4.2.4 Los espacios educativos como espacios de lucha.............................................. 94
Capítulo 5 .......................................................................................................................................96
Evaluaciones en etnomatemática ...................................................................................................96
Capítulo 6 .....................................................................................................................................107
Educación etnomatemática desde la interculturalidad .................................................................107
6.1 La educación intercultural bilingüe .............................................................................. 109
6.2 Pedagogía intercultural: enfoque etnomatemático ....................................................... 111
6.3 La interculturalidad y la educación crítica ................................................................... 113
6.4 La etnomatemática en la formación de docentes ......................................................... 116
6.5 La etnomatemática y la escuela .................................................................................... 118
6.5.1 La etnomatemática y los saberes previos ........................................................ 118
6.5.2 Conocimientos previos .................................................................................... 119
6.6 Maestros: saberes etnomatemáticos ............................................................................. 121
6.6.1 Saberes más visibles ........................................................................................ 121
6.6.2 Cálculos propios: saberes no visibles .............................................................. 123
Bibliografía ..................................................................................................................................126
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Introducción
Los puebl os d esarroll an co no ci mientos re lacio n ad os c on s u for ma d e
ser, co nocer e in ser tarse en el mundo del cua l forman p ar te y de las
nec esida des qu e surge n de la for ma de vida que se ha dado. Igual ocu rr e
act ua lmente con diverso s grup os soc ioc ult urales qu e coex is ten en nuestr as
sociedad es. Lo s es tud ios de esos cono cimiento s producido s en en tornos
sociales y natu ra les parti cul ares hac en parte de l inter és de la
Etn om ate mática, asumiendo que puede ha ber t an t as fo rmas de conoce r como
fo rma s d e sit ua rs e en el m und o.
Mucha s co rrien tes de la edu cació n intercu ltural están en const ant e
tensi ón, po rqu e a bor dan r el a cio ne s p asa das y pres entes entre d i fe rentes
grupo s que aún est án m uy prese nt es en l os imaginari os s o ci al es de l as
sociedad es latinoam erica nas, como los movimiento s a fr ode sc en di en tes qu e
int erpretan su hi storia a t ra v és de una l e ctura a lt e rn at iva d e los proc es os
histó ricos so b re l os o rí gen es africanos, l a p a rtic ipación de l os pu ebl os
exist ent es en l as gu err as y la fo rm a ci ón de l o s est ados na cion ales.
La enseñ an za d e c on t enidos mat emáti cos h a sido tra di ciona l men te el
re s ul tad o d e un conju nto d e t areas d is pue stas en orden cr ono ló gico lin eal,
sin relación co n la vid a coti di a na de los alu mnos. Lo a nt er ior e s u n punto
de p artid a p ara ampli ar las po sib il idades de dis cus ió n que d eb e uti lizar la
comunida d cie nt ífi ca para consi der ar la persp ect iv a d e las etn omatemáticas,
re s pet an do la di v ersid ad so cial de los mi embros d e lo s di fe r entes grupos
cultu ral es y g arant iza nd o l a c ompr ensi ón de las d istin t as fo rmas de
des arrollo de las mat em á ti c as basa das e n el diálog o y e l res peto mu t uo.
La simpl e id entif icación d e puebl os ori ginarios pr acti c an t es de las
mat emáticas en div erso s arch iv os aca dém icos o pub lic aciones, tan t o
nac io nal es c om o interna ci onales, no camb ia l a per spect iva eur ocént ri c a
desde l a q ue s e abord ab an l as m atemá tic as. Para co mpre n der el desa rroll o
de las etn omatemá ticas como program a , es ne ces ario c on sid era r s us
per sp ectivas a ctual es y fu tur as y an al izar sus m et a s, objet ivos y sup uest os
sobre l a prom oción d e la ét ica, el res peto, l a s oli daridad y l a coo p era ci ón
int ercul tu r al .
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Si n em ba rg o, tamb i én es im portante co nsi der ar lo s di fe rentes
con cept os p re sentado s e n m atem áti cas, e nt endiendo las m at e mát icas c om o
una form a de pensar que s e des arrol ló en Gr eci a hace ap roxi madam ente
2500 años. De m an era s im i lar, otros sistem as cult urale s t am bién busc ar on
des arrollar s us propi as artes, técnicas o mét o dos de e xplicación y
comprensión que afe ctaron a dive rs os e nto rn os: n atu ral, so cial, económ i co ,
pol ít ico , p rofét ico y mis ti cismo o rie nt ad o a o bjeti vos . d e s upe rv ive nci a y
trasc end encia.
En parti cul ar, m u ch as de est as técnicas depend en de procesos como
contar, medir, cl asi fi c ar, organi zar, in ferir y mo d el ar qu e p res erva n el
conoc imi ento ances t ra l. Lo s curríc ul os d eb en re fl e jar el ap rend i zaje
int erno, social y cul tur al de los estud i an tes , y se d eb e a poyar a lo s m aest r os
par a p rep ararlos pa ra lidiar con t ales dife re nci as a fin d e p romov er un
cam bi o sig nificativo en la edu ca ció n mat em át i ca; donde su o bj eti vo
principal es promov er la i gu aldad en tre l os estudi a nt es dá ndole s la
oport unida d d e explorar l as mat emáti cas d esd e dif erent es pe rspectiv as.
Por ot ro lado, se deben in cr eme nt a r l os es fuerzos r el aci onado s con la
inv estig ac ión étnica y su papel en la ed uca ci ón p a ra promover un currí cu lo
bas ad o en el respe to, la tol erancia y la ig u aldad . También s e de be ale nta r a
cam bi a r la com prensi ón ac tual d e la rel ación en tre la cultura y las
mat emáticas p ara enfatizar el t r ab aj o etnoma t em át ico .
Des de l a anteri or per spectiva , se pr omueve una m ejo r c o mp ren si ón de
los a sp ect os m atemáticos de l a cult ura y s e fom ent a la act iv idad
ped ag ógica , mostran do có mo l as i dea s, proc ed imi entos y pr áctic as
mat emáticas j ueg an un papel central en el desarrollo de la hum ani dad.
Fal ta más in vesti gaciones qu e p rofundic en en l a c om pre ns ión de las
etnom atemátic as, y en este s entid o se neces it a algún t ipo de clasifica ci ón
de inve st igació n para bene fi cia rs e de los aporte s de pro yec to s reali zad os
en diversa s partes del m un d o pa ra satis facer l a con ce ptu ali zació n de las
etnom atemátic as y q ue con tribu yan al aú n l im i ta do conoc im ien to d e est os
con cept os.
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La present e obr a ti e ne com o o bjeto de es t ud io el aná l is is
etnom atemátic o d e l os sa ber es de c iertas cultur as origina ri a s y su
aplica ción e n l a forma ción d idáct ica -m atemática de p ro fesores. Se
contextu ali za en el ám bi to un ive rs itario con la preoc upaci ón fund amental
de vi si bi liz ar el con oci mi e nt o matem át ico p ro pio d e a l gu nas culturas y
con ci enc iar sobre su ex ist encia y contenid o a los pro fe sor es y profe sio na les
uni versita rios. Uno de l os probl em as inv estig ado s es el r eco no cim ien to de
las n ecesi dades q ue e xiste en l a formació n rel acion ada con matemát ic as de
los profeso r es qu e desar rollarán su do c en ci a en zon as g eo grá ficas de
població n m ay oritariamente in dí gen a.
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Capítulo 1
Raíces de la etn omatemáticas
Vi vim os e n u na épo ca q ue s e asemeja a l fl oreci mie nto cu ltu ral d e l a
Edad Me dia . Así q ue habl ar de u n nuevo R ena ci mie nto está j usti f ica do . L as
etnom atemátic as so n una manifes t ac ión de este nu ev o R ena cimient o.
Ubiratan D 'Ambr osi o propor ci ona un ej e mplo m uy i ntere s an te de c ómo
ini ci aro n l as etnoma t em áti c as . Él di c e:
"En e l m oment o e n q ue e ste Aust ral op ith ecus selec ci onó un
trozo d e p ied ra y l o a pl ast ó par a qui t ar le el hu e so , s u mente
mat emática fue rev el ada. S í, y las dim en sio nes deben eval ua rs e y
com pararse para tall a r lo su fic iente para l ogr ar es e prop ós ito ".
Evaluar y compa rar dim ensiones es un a de l as ex presi one s más básic as
del pensamient o ma t em áti co. As í, los p rimeros ej em pl o s de
etnom atemátic as fue ron d esarroll ados por Australo pithe cus . D es de el
comienzo de l a h uma nidad , ca da c ul tu ra ha des arro l lado d ife rentes i d eas y
prá ct i ca s m at emáticas .
En algunos cas os, est as ideas y prác tic as se han t ransm iti do y
propa gad o de u na cultu ra a otra. A l gu nas de el las s e remo ntan a la
antig üed ad y se d e sarroll aro n en Egip to y Me sopotam ia y pront o se
ext en die ro n a la an tigua Gre ci a. Mucha s de e stas i deas y prá cticas se
esc ri bie ro n en griego y pron to se tra duj er on al á rabe. Al m ismo t iempo, se
tradu jeron al ár abe a lgu nas ideas y pr áct ica s mat em át i cas que s e o ri gin aron
y des a rr ol lar on en la Indi a.
Más tar de, est as i de as y p rácti c as t ambién se tra du j er on a l latí n y se
conoc ier on como matem áti cas de Europa occidental . P ero ot ras p art es
conoc idas y d es con ocida s del mu nd o tambi én estaba n desar ro llando
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impor t antes ideas y pr áct icas mat emáti cas e n es t e mo mento . Las i deas y
prá ct i ca s mate mát ic as qu e se des arrolla ro n en r eg iones com o C hina, el sur
de la I ndia, Mes oa m érica, al gun as part es de Á frica y Améri ca d el S u r
ben efici aron enormemente a l os m iem br os d e los div ers os g r up os c ulturales
que v iví an en es as r egi one s.
Si n emb argo , debid o a l a global izaci ón colo nial, el cono cimiento
mat emático p roducido y acum ulado por est as cul tu r as no i n fluy ó en el
conoc imi ento m atemático ac adémi c o y cientí fi c o cont em por án eo. Por est a
ra zón, l as m atemá tic as académ icas y ci e nt íf i cas aho r a s e d eno minan
mat emáticas occid ental es . Desde est a pe rspec tiva, la f al ta de
re conoci mi ent o de l a imp ort an ci a d e la s mat em áti c as practi cad as p or l as
cultu ras n o occiden t al es pu ed e atribui rse a g rup os de m at emáticos q ue
ign oran la contri bu ción d e es tas pr ácticas al des a rr ol lo d e l as mat em áticas
académicas. Es t e gru po d e ac adém ico s tambi én se o pu so a le gi t im a r est as
prá ct i ca s. En s u opi nión, estas prác t icas ind ican que “ la ci viliza ci ón
eur op ea ti ene raíces y orí gen es af ro asi áti cos”.
La etn om atemát ica es un c amp o d e e stu dio qu e pued e de scrib irse
como el est udio de l a h ist ori a d e las ide as y prá ct ic as ma t em át i cas que se
enc uent r an en contex tos cultural e s diver sos y específicos. Este programa
fu e c reado pa ra desafia r el tabú d e q ue las mate mátic as son u n campo de
estudio uni ve rsal s in tradi ció n ni r aí ce s cu lturales. Hi s tó ricam e nt e, si n
emb argo, el d es arroll o de es te co nflic to con lo s m éto dos d e investiga ci ó n
siste mát i cos se ha h e cho evi d en t e recientement e .
1.1 La etimología de etnomatemática
D'Ambrosio (1 99 3) ut ili zó la etim ologí a p a ra no mb r ar este progra m a.
Usó las tr es raí ces grieg as etn o, mat em á ti cas y ti cs para e xplicar el
sig ni fic ad o d e l as et no mat emáti cas . Des de la pe rs p ecti va de D' Ambro sio
(1 985 ), l a et nom at emátic a es pra ct i ca da p or d iv e rs os g ru pos cul tur al es q ue
se id entifican com o s oci ed ades in díg ena s, grup os ob reros , clases
traba j ad or as, gru po s de niñ os d e ci ert a edad, etc. Defin id as como
mat emáticas , desde un a p erspectiva dam bro si ana , l a s et noma tem át i cas son
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el est ud io d e las i dea s y p rácticas matem át i cas d es a rroll ad as a l o largo de
la historia po r cult u ras p articul ares (étn o ver su s étnias) y adaptadas a
fu n ci ones cont e xt ual es espe cí fic as dent ro de su ento rno (ti cs = t éc nic a).
Medir, calcu lar, razo n ar, compara r y c l as i ficar.
Por lo t anto, est as c ulturas pa rticulares han des ar rollado l a cap ac ida d
de modela r s us entornos nat u rales y soci al es d e acue rdo co n sus prop ias
nec esida des par a ex pl ica r y comp rende r l o s fe nóm en os e sp ecífi co s (las
mat emáticas ) qu e ocur ren en est os ento rno s. D 'Am bro si o (199 0) especi fica
que este pr ogram a d e estu di o p roporciona un a m etodo logí a que ay uda a
des cu b ri r y an al iza r l os pr oceso s de t ransm isión , d ifusión e
insti tuc io n al iza ci ón d el c on oci mi e nt o m ate mático (i deas y práct icas) que
se ha n d ad o e n difere nt es gru po s cul tur ales a l o l argo d e la hi sto ria.
El program a de Etnomat emáti c as y su rel ación con l a historia, la
fi l os ofí a y la p edagogí a e s un recono cim iento d e es to. En est e contexto , la s
mat emáticas están ar raigadas cul tural y profund ament e i de nti fic ad as co n la
histo ria y el d es arrol lo de ci ertas civi lizaci on es . P or eso es im portante
re cal c ar que las mat emáti cas no se i denti fic an exclus iv am ent e con la
histo ria, l a filosofía y l a ped ago gí a d e l pensamiento , l as id eas y las
prá ct i ca s m at emáticas de la s a nt igu as ci vil iz aci ones del M e di terráneo, q ue
se i mpusi e ro n en t odo el pla net a tras los gr an d es vi aj es del s igl o XV, en el
pro ceso de co lo nizaci ón y gl oba liz ación .
1.2 De sarrollo de etnomatemáti cas
Es i m po s ible d ete rm inar en el tiempo y el es pacio l a pr ime ra ve z qu e
se ex pr esa int erés y p reocupaciones por el "hacer" ma t em á ti co d e ot r as
cultu ras . Sin embargo, es te int e rés se manifi es ta des de tiem po s l ejanos a
travé s de si tu aci on es i ndividuales y poc o si stematizadas. Estas sit uac io n es
com en zaron a o bse rv arse y de nun ci a rs e des de que las pe rson as com en z aron
a viajar a difere nt es l ug a res y re gi on es . Du rante es to s viaje s, e st as personas
des arrollaron l a n ece si d ad d e conectars e con la cultur a lo c al.
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En es t e proce so de c omuni cación c ult ural, estos i nd ivi du os
obser v ar on l as costumb res y l a cultu ra de est os pu eb los y regi st r ar on s us
obser v ac io n es . En est os d o cumen tos d es c ub ri e ron q ue hab í a di ferentes
prá ct i ca s c ul tur ales y comenz aron a e s cr ibir sob re l as pr áctic as
mat emáticas d e otras n acion es . A m enud o, la falta de registros impide u na
comprensión y ap reciación comp l et as de los ev en tos qu e ll ev a ron a los
cie nt ífi cos , filósof os y matemá ticos a apli car ciert os conce ptos
mat emáticos que son as ociado con l a c ul tura matemátic a y to d avía en uso
const ant e en l a actuali d ad . Por l o tan to , algunos logros m at emáticos
impor t antes p od rí an tra nsmitirse a las gen e raciones futur as s ol o con el
adv en imi ento de l a escr it ura , que permitió a los hi sto ri adores difundi r el
conoc imi ento acumu lad o sobre las civ ili zacio nes .
El his tor iador griego Heródoto d e H alica rnaso (48 4-425 a. C. ) fu e u no
de l os primeros e st udi osos en reali zar o bs er v acio nes ant ro pológ ic as durant e
sus vi ajes. En el año 4 40 a .C ., e scribió un l ib r o h is toria, en el q ue dis cutía
los concept os de igualda d, apr ecian do y v alorand o las di fe rentes cult u ra s y
des cribi endo los us os y cos tumb res de l a gen te de la époc a con m ente
abi er t a.
Heród ot o tambi én registró c ier to s conce pto s geo mét ricos q ue
apr endi ó d e los egip ci os. E n esos estu di os, se dio c uenta de q ue la
geometrí a egipc ia estaba r el a cionada con u n s ist em a d e eva l uació n d e áreas
de tie rra produ ct iva. E st e as pecto d el conocim i en to m at emá tico egip cio
estab a rel aci on ado con un sis tem a de producció n ligad o a la s estructuras
socioeconómic as de e sa c ul tura. En e st e p r oceso , l a cult ura egipcia
int era ctuó con el med io a mbi ent e a t ravés d e l desar ro llo d e t é cnicas
aritméti c as y ge om étricas par a m ed ir la ti erra a lo larg o del Nil o .
Al mi smo t ie mpo q ue la s civil i za cio nes mediter ráneas de sar ro lla ro n
un sist em a de infor mación mat em áti co s ist emati z ad or, según D' Amb rosio
(2 001 ), los p ro pio s p ueblo s i ndígena s de la Amazonía tam bi é n des arr ol laron
fo rma s esp e cí ficas de sentir, com p re nder, entender y tr at ar el m ed io
ambiente. Al m ismo t iem po, ot r as civil izaciones en C hi na, los Ande s y el
África subsah ari ana d esa rr ol laron form a s dif erent es y úni cas d e senti r y
comprend er el entorno e n el que se e nco nt r ab an.
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Algunos filó so fo s, m ate m át icos e historiadores t rad icion al es, d efine n
como Edad Oscura e n Eur op a al pe río do de i nacti vid ad mat em át ica ,
cie nt ífi ca y t ec no lóg ica. En su op in ión, dur ante es te perí od o Eur opa pe rd ió
la c ap aci da d d e c on tinuar desar ro llando el conocimi en to a rtíst ico ,
mat emático, fil osófi co y ci ent ífi co pr oduci do, d esarr ollad o y a cu mul ado
por la s an tiguas c iviliz acion es europe as . En contr ast e, Teresi (2002 )
argumenta que " nues tros números mod ernos 0 -9 s e desarrolla ron en l a
In dia... durant e l a llamad a Eda d Osc u ra ".
Dur an t e l a E d ad Me dia, entre l o s si gl os V y X V, l os eru di tos bíbli cos
dom in aro n el pens ami en to eur ope o con pre guntas so bre los oríge n es
hum anos. Los fi lósofos y pe ns ado res e uro pe os ta mb ién cu estio naron e l
nac im ien to, desar ro llo y d es aparición d e l as civili zacio nes . E stos t emas
fu e ron tr at ados como tem as de b ase reli giosa y pr omovi ero n ideales de que
la exis ten cia hum an a y l a di v er si dad er a n exclusiv ame nt e histor ias di vinas.
En el siglo VII I, l os á rabes inv ad ieron E uropa y t raje ron con si go s us
tradi cio n es c ul tural es , así como l os conoci mient os m a tem át icos
pre vi ame nt e adquiri dos por los hindú es . Así i nf luy eron e n la Eu ro p a
medieval , i nt ercambiando cost umb re s, cultura, co mi da, ciencia y n uev as
fo rma s d e tec no logía.
Cuando los eur opeos co nquistaron y coloni za ron pu eb los d e t odo el
mun do , int ro duj er on este si st em a d e con oc imi ento en el N u evo Mundo. E l
siste ma d e nu m er aci ón ut il i zad o por los romano s y griegos en es e m om ent o
era mu y l ab o rioso e inconvenient e , p orque no era p rácti co y no res pondí a a
las deman das y nece sid ade s d e las nu evas so ci edades qu e su rgían en el
conti nen te e u ro peo. El s is tem a decimal de sarroll ado y u ti lizado por l os
hin dú es y traí do a Euro pa por los árab es s e int ro duj o para satis facer las
nueva s dem andas cr ead as por e l espíritu capi t alist a qu e se de s arrollaba en
los r ei nos m editerrán eos . Est e h echo influy ó en el sua ve d esa rr ol l o de l as
cie nc i as .
Por otro l ado , l os hi ndú es tambi én se b en eficiaron de e st e int erc ambio
cultu ral . Aprendieron con ce pto s i mportantes de las ma tem át icas griegas y
adopt aron modal es y costumbr es d e l a cul tur a ár abe. A pes ar de est a
"orienta ción" d e la tr ans mis ió n y difus i ón d el conoc imien to matemát ico ,
los mayas util i za ron uno de los primero s us os del c ero en un sistema de
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valor po si c io nal, muchos s iglo s an tes de q ue los hindúe s com enzar an a
utilizar el s ím bol o d el ce ro.
Los log ros de l os pu ebl os prec ol om b inos d el N uevo M un do han si do
ign orados durant e m ucho tie mpo po r los pens adores trad i cionali st as. Lo s
may as i nventaron e l c ero casi al m ism o ti emp o qu e los hin dú es. Se
dedicaro n a l as m at em á tic as y la astron omía a u n ni vel más al to que en la
Europ a medieval . Los i ndios a m er ic an os c on struye ro n las p irámi des d el
medio o este am eri ca no y otras estructuras mucho má s gra nd es qu e cu alquie r
cos a con st rui da e n E u ro pa.
En el s ig lo XI, la i nt er nacional iz aci ón d el c onocimiento m ate m ático
no solo e st uvo i n fl u en ci a da po r l as cul tu r as occid ent al es, si no que los
age nt es de crea ci ón de cono cim iento tam bién se ub icaro n en otr as pa rt e s
del mund o en l ug ares c on o cidos y desc ono cid os pa ra los e uropeos . A sí, el
des arrollo y l a difusi ón del cono ci miento m atemát ico cond uj o a la
aceler ac ión del desar ro llo técni co en d i fe rentes pa rt es d el m un do. Por
ejemplo, el co ncepto de c er o y v a lo r posicion al , qu e se o ri gin ó alred edor
del si gl o VI II y s e asoc ió err óne am ent e con los hin dúes, se transmitió al
puebl o árab e a t ravé s d e g uerra s, conquist as e in t er cam bi os comer ci ales.
En el siglo XIV, el h ist oriad or á rabe Ibn Kh ald un (1 332-140 6) es tudió
los factor es so ci ales, psico ló gicos, eco nóm ico s y a mbi en t ales que
contribu yeron al des arrol lo , as censo y ca ída de v arias civ il iza cio nes. E n
sus estu di os, Khaldu n a na lizó varias p ol íti cas e con óm ic as y m os tró s us
conse cue ncias p ara las com unidad es l oc al es . Estos h echos jug aron un p ap el
dec is ivo en la p rot ecció n d e l as comun id ades c ontr a l a inju st ici a y la
opr esión de l a clase do min ante.
Des de fin ales d el sig lo X V h as t a p rin cipi os d el XVI , l os expl orad o res
eur op eos que buscab an f ortun a en nue v as tie rras pr oporci o nar on r el atos
incre íbl es de l as cu lturas exóti cas q ue encont raron en sus v iaj es por Asia,
África y las Am é ri cas . Dado q u e es to s conqui st ad o re s no tení an r espeto p or
las cul tur as q ue e ncont rab an , ni si qu ier a conocían los idiom a s que
hablaban, i nfo rm aro n s olo folcl ore y obs erv ac ion es no sis tem at izadas para
des cribi r a e stos gr u pos c ul turales.
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En el Nuevo Mun do, los primeros c ron is t as de Amé ri c a reportar on sus
obser v ac io n es y r egist raron l a in fo rmaci ón qu e recog ieron sobre los grupos
cultu ral es qu e s e enc ont rab an en l as nuevas tie r ra s. En un proc eso q ue
puede cons id e rarse d e n at uralez a etnomatemát i ca , el mo nj e f ra n ci s ca no
mexicano J u an Di ez F reyle pu bl icó en la ciu dad d e M éx i co en 1556 el
primer li bro de a ri tmétic a d el Nue vo Mun do, t i tu l ad o “S um a rio
compendi os o de las quen tas de pl ata y o ro que en lo s rein o s d el Per ú s on
nec esari as a los m erc ade re s y t odo género de t r at ant es: C on alg un as reglas
toc an tes al ar itm ét ica ”. E n ese libro, Fre yl e d iscut e e investig a la aritm ética
ind íg ena . Es i mpo rt a nt e se ñ al a r qu e, en est e lib ro, Fre yl e t ambién habla
sobre el proceso d e asimi l ación del con ocimi ent o in díg ena por parte d e l os
conqu ist ad o re s, q uienes c ambiaro n el s ist ema d e co no c im iento indí gen a a
travé s d e imp os ici on es cultural es.
Cu ando l os europeos i nvadi eron y c onqui sta ro n las A m éricas a
principi os del siglo XVI, com enzaron a u ti liza r la ari tmética comercial en
las t ransaccion es c omercial es entre ciudadanos nort eameric ano s y jefes
tri bales y r eyes l ocales. Los eu rop eos h i ci e ro n p oco es fu erz o p or p reserv a r
la cul tu r a d e l os esclavos y los pu eblos indíg enas que fue ron co lonizados
en el cont ext o d e ex p an si ón terri tor ial.
D'Ambrosio afi rma qu e l a “H ist ória d o Brasi l”, esc ri ta p or Fray
Vi c en te do Sa lv a dor en 1627 y p ublicad a p o r Ca pi stran o de A breu en 18 88,
es de suma i mp o rt anc ia. E n es t a ob r a, e l her ma no Vicente habla d e varios
asp ectos d e l a his toria brasil eña, de sde el "de scubrim ien to" has ta la
expulsi ón d e l os h ol a nd ese s de su elo br asi leñ o. En sus relat os , el herm a no
Vi c en te t am bién señal a q u e los i nd ígenas de Bra si l no te nían un si st ema
num érico p ara conta r núm eros m ayo r es d e ci n co, y us aban lo s dedos y l as
manos para hac er l as sum as m ás g rande s. Tambié n se r efi rió a l as
mat emáticas indígena s cu and o des crib ió un sis tem a de interca mbio en el
que l os in di os in terca m bi aba n un pr oducto po r otro, en cor r es po n de n ci a de
dos p art es, sin ut iliza r un si st ema e st án d ar de peso s y m edi das.
Con el as censo d el i mpe ri ali sm o en P ortugal, Esp añ a , Francia, los
Paí ses B aj os, Ingl at err a y B él gica en los s igl os XVIII y X IX, a sí co mo el
control polític o y económi c o de l os t errit ori os conqu i sta do s en A si a,
Amé ri ca, Áfri ca y ciertas pa rt es del P acífi co, l os europeos ent raron cad a
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vez m ás en co nt a ct o con l as cultu ras que co nquis tar on . El inf ame d esarrol l o
del comer ci o mundi al, la eco no m ía c ap itali sta y la ind us tri ali za ci ón
eur op ea a f inale s de l siglo XVIII p rovocó un cam bio sociocultural g lo b al
en las s ocied ades de la ép oca.
Los países ind us tr i ali zados y las élites europeas consid eraban a lo s
nuevo s países com o una fu ente de s um ini stro de m a no d e obr a bar at a y
mat erias p ri mas pro ducid as a b ajo p reci o. Po r ot ro l ado , mil es d e eu rop eo s
de la s cl as es m ás dé bil es se t rasladaron a n u ev os p aíses en busca d e un
mej or nivel de vi d a. Com o resultado , l os e ur ope os rec op ila ron in forma ci ón
sobre lo s d ivers os g ru po s cult u ra les que se encon traban en l as col oni as
conqu ist ad as.
Las n ac io n es c ol oni zador as e uro peas tam bién bu sca ro n ex pli caciones
cie nt ífi cas par a j ust ifi ca r su d omini o gl obal. Así, la an tropología m oder n a
nac ió en el sigl o XIX pa ra o btene r respu est as a esa s preguntas y tambi én
par a e studi ar las difer ent es cultur as qu e experim ent aron el proceso de
asimi lac ión d urant e la co lon iz ac i ón . Durant e ese p e ríodo, el estudi o d e l as
costumbr es y pr ác tic as matemát ica s de es tos g rupos cult ur ales t am bién fue
obj et o d e inv estigac i ón po r p ar te de m uch as so ci eda d es antr opoló gi c as
eur op eas .
En l as pri meras déc adas de l sigl o XX , el filós ofo al emá n Os wald
Spengler (1 880-1 93 6 ) anu nci ó e n s u l ibro " La dec ad encia de O cc ide nt e"
esc ri to e nt r e 1 91 8 -1 92 2 , q ue l a h is tor ia d e d os o má s cult ura s s e pu ede
carac t er izar a travé s del estu di o de la hist or i a de d os o más cultu ras,
aunqu e ci e rt os as pecto s cultural es, com o el art e, l a polít ica, las
mat emáticas y la cien cia, ti enen pri nc ipios qu e difi eren de una cu ltura a
otra. En este libro, S pen gl er tamb i én tra t a de comp rende r la natural eza d el
pensamient o matemát i co , t ratan do de e nt end er l as mate m át i ca s como un a
manifest ación cu lt ur al vi va y din ámi ca.
De m ane ra s imi lar, Cass iu s Jackson K eyser escr ibi ó vari os l ibros
sobre la rel aci ón entre l as m atemáti cas y l a f ilos ofía. En estos li b ros,
ana li zó las estructu r as básicas de las mate mátic as y la cie nci a y tra tó de
aplica rl as a la int era cción humana. En 1 922, pub li có “M at h em ati cal
Philosop hy: A S tudy o f Fate and Fre ed om”, en el q ue de scribió l a fi losof ía
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de las m at emáticas com o u na ci encia d e l p ensam ien to rig uroso co n cie rt as
carac t er ísticas co mo la prec isi ón , la ex a ct itu d y la int eg ri d ad de l as
defin ici on es. De sde e sta perspec tiv a, s eg ún Keyse r, l a s p ers on as que se
niegan deli beradamente a pen sar matem át i camen te violan l a ley últ ima de
la precisión intelect ual.
Key se r t am bié n consi d er ó la natur al eza de l as m ate m át ica s y s us
con ex iones e int eracc ion es con v ari as áreas de l a v id a hum ana. En e st e
perío do, al q ue l lam am os pre-etno ma t em áti cas , alg un os m at em áti cos y
fi l ós ofo s intenta ron, sin gr an é xi to, consid era r l as matemát i cas co mo p arte
int eg rant e de una det ermin ada cultu ra . Desde es a pers pe cti v a, el fil óso fo
australi ano Lu dwig Wi tt genst ein escri bió “C ultu ra y v al or” en 1 931, en el
que explo ró l a c omp rensi ón d e la re l ación ent re el m undo y las mat em át i cas
a tra vés d e la religi ón, el len gu aj e , la cult ura y l a fil os o fí a. Otto R a um
publi có Aritm ét i ca en Á fri ca e n 1938, d onde argum e nt a ba q ue los pr obl ema s
aritméti co s deb erían ext rae rs e de l as p rácticas y e xpe ri enc ias mat em áticas
que t ien en lo s est udi ant es en su s contex to s cul tural es. Es t e est ud io pue de
consi derar s e como una d e l as prim era s contribu ci ones del cont in e nt e
africano al d esarroll o d e la ideol og í a del p rog ram a etn om atemát ico.
Los i d eal es fi losóficos sob re la int eracc ión de las matemát icas y la
cultu ra se difun di ero n en l a déc ada d e 1940 . Est e h ec ho fu e c on s ecuen cia
del c recim i en to ex plosi v o de l a c ienci a cognitiv a dur ant e la Segun da G uer ra
Mundi al . E n 194 7, la ant ro pó log a est adounide ns e L es li e White (1900 -19 75 )
publi ca el a rt í cu lo “T h e L o cus o f Math ematical R ealit y: an A nth ropol ogi cal
Footn ote”, e n el que expli ca q u e entender l as ma tem átic a s c omo un producto
cultu ral s ignifica ent end er l a influencia human a en l as mat emáti cas . Par a
él, t anto las fór mul as matem áti cas com o otros a s pecto s del c ur rículo
mat emático d ependen d e l a inte racci ón d e las m atem áti c as con los
ind ividu os , l os grupos c ul tural es, l os puebl os y las naci on es. S egú n l a
inv estig ac ión d e Orey, los alg or itm os y otr as fo rm as d e compu ta ci ó n m e nt al
difer enci ada p ra ctica das p or in divid uos p erten e ci en t es a dif erent es grupo s
sociales t ambién tien en fuertes lazos c ulturale s.
En 194 8, el hist oriad or y m at em á ti co hol an d és Dirk J an S tru ik (1894–
2000) publi có “A Con ci se His tory o f M athem ati cs, Vol umes I and II ”, en el
que buscaba co mp render cómo las f uer zas soci al es e i n st ituci onales
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influ yen en el estudio de l as matemát ica s. En s u i nv est ig aci ón, Struik
tam bi én t rat ó de most rar cómo el c o nt exto s oci al i nt e ractú a con l a
produ cción de conocim i ento mat emát ico. E n l a mism a d écada, ot ro s
mat emáticos, filósofos e inv es tig ad ores t a mb ién com pr e nd i er on el co nt ext o
cultu ral d e l as mate m át i ca s a trav és de estu dios indivi dual es.
Al mismo ti empo , l os ant ro pólog os y c ie ntíficos qu e tení an al gú n
conoc imi ento mate m át i co t ambié n busca ban fo rma s de com pre nd er y
adqui rir co noc imi en tos sobre l a im po r ta nci a de l as m atemáticas e n la
naturale za h um ana. En l a dé cada de 19 50, ent re m at emáti cos , pe da g og os y
antro pól og os, renació c on much a fuer za el i nterés de los in v es tigado res po r
la re l ac ión e ntr e las m at e máticas y la cu ltu ra.
Así, la aplicac ión y us o de las matem áti cas como e st rat egi as d e
re s ol uci ón de pr oblemas s e en c u en tran en ot ras área s del co no cim ien to
hum ano. El li bro d e 1 953 d e M orris Kline "Matem ática s e n la cultu r a
occ id ent al " proporci ona u na e val uació n import ant e de la infl u encia de l as
mat emáticas en e l d esa rroll o de l a fi losofía, l as c i en ci as f ísicas , l a r el igi ón
y las a rt es. Según Kline (1953), si n e mba rgo , “l a afirmació n de que l as
mat emáticas s on u n e lem ento bási co en l a fo rm a ción de l a cu lt ura m odern a,
así co mo un comp onente im po rta nt e de es t a c ultur a, parece dem asiado
incre íbl e o, en el m ejor de los c aso s, un a cie rt a e x agera ción.
Est e e sce pt ici sm o pa rec e p rev al e ce r entre mu chos cie ntí fi cos ,
mat emáticos e hi sto ria do res e n la act ual ida d. S egún Teres i ( 20 02), en el
clási co “Mathematic s: A Cul tur al App roa ch de Klin e”, reco no ce q ue los
babil onios y lo s egip ci os fuer on l os pioner os en el mu n do de m uchos
des cu b rimi ent os ma t em áti cos, ... si n e mba rgo, co ns ider a a eso s p uebl os
pra gm áti c os ". La p a si ón de Kli ne po r l as mat emát icas o cc i dent a les l e
impidió apr eci ar la s cont ri buciones ma te m áticas d e l as cu ltu ras no
occ id ent al es al d es arr ol lo d el co nocim iento m at e mático, por l o que cre em os
que es te h ec ho e cl ip só a Kl ine la importan cia de l t rabajo pa ra l a educación
mat emática.
El gran topó gr afo estado unidense R aymond Louis Wild er f ue qu iz ás
el p rim er e du cad or en org an iza r cla ramente la s mat emática s con la cu lt u ra
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en el C ong reso Int ern aci on al d e Ma tem áti co s “The C ult ural Basi s of
Mathemat ics ” en 19 50 en lo s E st ados Uni dos.
En 1981 , Wi lde r publ icó el libr o “Las matem át ica s como s istem a
cultu ral ”, e n e l qu e desc ribía l a nat ural eza d e l as m at e má ticas y su rela ci ón
con la s oci ed ad des d e la persp ec tiva de l a antr op ología cultur al . Pa ra
Wilde r, l as m at emá tic as so n vi stas c o mo u na s ubcul tura d e la c ultura
gen eral, donde el de sar ro llo y estado ac t ual de est e c am po de investiga ci ó n
tie ne consecuen cias c ul t urales. Se consid era que Raym o nd L. Wild e r fue el
primer m ate m ático e n informar s o br e l a im portanc i a d e l a r ela ci ón ent re l as
mat emáticas y l a cul tur a. Us ó su conocimi ento par a d escr ibi r l os procesos
de de s ar rollo matemát i co en O ccidente .
En la in vesti gación de Wilder, la s ma tem áti cas se for ma n entre dos
influ enci as c ult urales. El prim er t i po de i nfl ue ncia cu ltu ral está
re l acion ad o con las mat emáti cas , qu e resulta d el e nt orno cu ltu ral en el qu e
está inm er so un gr up o e n p articul a r. En es te caso, l a i nfluencia cu l tu r al del
entorno es una respu est a a l as ne ce sid ad e s per ci bid as p o r los el ementos del
grupo , que pret ende f acili tar l a int e racci ón soci al.
Otro tipo d e influ enc i a cult ural es tá relacio nado co n el p atrim on i o
cultu ral , que es trans mi tid o por l os miemb ros d e un gr upo a t rav és d e
gen eraci ones. L a i nflue nci a del p at rim on io cultural s e uti liza com o
par ám etr o en la r esol uci ón d e problemas mat em áti cos es pec í fi cos de c ad a
grupo cul tur al . En l a dé cada de 1960, e l fa moso alge b rista japon és Yasuo
Akizu ki sugi ri ó enfa ti z ar el l ado re fl e xivo d e la s ma tem át i cas. A ki zuki
tam bi én reco mi enda qu e l a hi stori a de l a ci en ci a y l as m ate máticas s e
ens eñ en en tod os lo s nive les educat ivo s. Si n em bargo, la parte más
int eresante d el arg um e nt o d e Aki zu ki es el re conocim i ento de q ue las
mat emáticas son un produ ct o cultur al y q ue l os pr ob l em as matem át i cos se
puede n r es olv er de d i fe rentes m an e ras.
Según A kizuk i, las fil os ofí as y reli gi ones d e las cul tur as ori enta l es
difieren d e las fil os o fí as y r el igio nes pra ct i ca das en la s cult u ras
occ id ent al es. E sta p er spe ct iva l lev ó a Akiz uki a c re er que, si exi sten
difer ent es fi los ofías y di fere ntes r el igi one s, tambi én e x ist en di f erent es
fo rma s de “pe nsa r” y “h ace r” m atemá ti c as ( D'Amb ro sio , 20 03 ) . A unq ue
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antro pól og os, ac ad émi cos e in vest igadores estab an int eresados en
difer ent es for ma s de m atematiza ci ón, l a p ropuesta de Ak iz u ki no co m enz ó
a s er co nsi der ad a en los círc ul os mat em át i cos hast a p ri ncipi os de la d é cada
de 19 70.
Un gr up o d e pro fesor es e inv estig ado re s d e m at emáti cas i nte res ad os
en lo s asp ectos so ci o cultu rales d e l as matem áti cas. . Al mismo tiempo, sei s
asp ectos im portantes fu eron fun damental es p ar a el desa r ro llo de l pr og ra ma
de et nom atemátic as:
1. Zaslav s ky pu bli có e n 1973 el l ibro “ Africa C ounts : N umbe r an d
Pat te rns in African Cul tu re”, en e st e e scribe sobr e l a his toria y l a
prá ct i ca d e l as matem át i ca s de los p ue blo s sah arianos de Á fri ca. Así
demostró qu e l a mat emática fue im por tante en el di ario q uehac er de
los afric an os, además ayudó al d esarroll o d e los c onc ep tos
mat emáticos de l a ac t ualidad. En él la obra de Z asl av sky se i denti f ic a
un trabajo pione ro para o rganiza r de forma co here nte el con ocimi ento
del pueblo africano des de un a perspe ct iva didá cti co - pe dagógica .
2. Durant e el año 1976, D’A mbrosio, ma tem át i co y filó sof o br as ileño,
dur ante el Terc er Con greso In ternacio nal de Educac ión e n
Matem áti cas re al i za do en Aleman ia (I CM 3 ), o rga nizó p resid ió la
cha rl a ¿Po r qu é ens eña r Matem áti cas? Aq uí D’Amb rosi o colocó en
pauta u na d isc us ión sob r e las raíces c ult urales de m atemática en u n
contexto de educación m at emá tica.
3. En 1977, D'Ambrosi o utiliz ó por primer a v ez e l término
etnom atemátic as en u na co nf erencia im p ar tida en l a reu ni ón anual de
la Asoci aci ón E stado unidense p ara el Avan c e de l a Cienci a en Denver,
EE. UU.
4. La co ns oli dació n d el t ér mino etnom atemáticas c ulm in ó co n la
con feren cia de D 'Am brosio "F und am entos s oci oc ul t ur al es de la
edu cació n matemát ica" en la i n au gu r ac ión de I CME 5 en Australi a en
1984 qu e es tab leció f orm al m ente el programa d e et nom at emáti c as
como un campo d e i nve st igació n.
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5. En 1985, D' Am b ro sio e scrib ió s u o b ra maestra “Etnom a temát icas y s u
lug ar en la histo ri a y la pedagogía d e l as m atemát ic as”. Este artícul o
es m uy im po rt a nt e porqu e represe nta la primera d is e rt ación c om pleta
y te óri ca en i ngl és s ob re el p r og ra m a de etno mat em áti c as . E stas id e as
estim ula ro n el d es arroll o d e es te cam po de in v estig ació n. Este
artículo fue se l ecc io n ad o para s u publ i cació n po r el N CTM (National
Cou ncil of Tea chers o f M at hem atics ), Cl ás icos en In ve sti gación en
Educa ció n M atemát ica , de bi do al imp acto positi vo , pr o fu nd o e
int ernacional que tuvo es te ar tículo en l a in vesti ga ció n y la
inv estig ac ión en educ aci ón m ate m át ica.
6. En 1985 tam bi é n se cr eó el Gr up o Int er n acion al de Investig a ció n en
Etn om ate máticas (ISGEm), qu e lanzó internaci on alm ente e l p ro g ra ma
de et nom atemátic as.
Es muy importan te destac ar la i mport ancia d e Ubirata D'A m brosio en
el d esarroll o del progr am a etnom at em áti co , pues e s el teóri co y fil óso fo
más imp ortante en este c amp o. Tam bién es un líder int ernacional y
div ul gador gl oba l d e ide as s obr e etnomatemát icas y s us ap lica ciones en la
edu cació n mat emática. La vis ión amplia de las etnom atemáticas de
D'Ambrosio pr ov ocó c am bio s dialécticos dentr o y e nt r e las soci ed ad es.
La ep is t em olo gí a d e D 'A mbros io est abl ece q ue el co noci m i ento
mat emático e s din ámi co y pro duct o de l a acti vi dad humana . Es ta
información no e s e stá tic a ni est á organ i za da. Este co nt ext o pe rm iti ó qu e
los estudio s s oci opolíti cos d e D' Am brosio e stabl eci era n un fuerte vínculo
entre l as m atemátic as, l a an tropología y l a sociedad. D'Am bros io , se
const ituye com o el "padre in te l ectual del progr ama et nom at e mático", y
tam bi én h a sido el eg ido co mo u no d e l os matem ático s más impo rtantes de l
siglo XX e n los as pe ctos soc iop ol íti cos d e l as et nom atemá tic as .
En años post eri or es , e l término et nomat emáti c as s e usó e n una s eri e
de reunion es, conf er encias y co nv encio n es que iban desde :
1. Event os loc al es :
1.1. Making M at h M ea ningful en S acrame nt o, Cali fo rni a,
Pág. 21
2. Regio n al es :
2.1. Fi rst Northern C alifo rni a Confer ence on Eth nom at hem ati cs
en San F ranci sco, Ca l ifo rn ia;
2.2. As ilomar Co nfere nce o n Math em ati cs - C MC, Asilomar y
Pacific Grove , Cal ifo rni a,
3. Nacio n al es :
3.1. Co nsejo Na ci onal d e Profeso re s de Mat emáticas , USA,
3.2. Prime r Co ngreso de Etnomatem áti c as de Bolivia ,
3.3. Prime r y S eg und o C on g reso d e Et no ma t em áti cas de Bra sil
4. Inter n acio n al es :
4.1. Co ngreso Int ernacional de Hist o ri a de l a C ien cia
4.2. Co ngreso d e E ducación M at em á ti c a.
4.3. En septiemb re de 1 998, el G rupo de Investig a ción
In ter nacio n al e n Etnomatemática s, en col abo ración con la
Expan sió n I nt e rnac i on al d el P ro gram a de Et nom at emáti cas ,
organi zó el primer Congreso In ternaciona l d e Et nom atemá tic as en
Granada, España.
4.4. El S egu nd o C ongreso Int ern ac ion al d e Etnom at emátic as
tuv o lugar en O u ro P r et o, B rasi l en ago st o de 200 2.
4.5. El Te rc er Co ngreso Int ern acional de Et no ma t em át icas se
lle vó a cabo en fe brero de 2006 en A uck l an d, Nu ev a Z el and a.
Est os evento s han tr abajado y s eg uir án tra baj an do j unt os par a ava nzar
en l a inve st i gación, l a expl ora ci ón y el d esa rr ol lo d e la in v es tigaci ón
etnom atemátic a. El incr em en to en el númer o de libros y a rtícu los
publi cad os en r evist as y pe ri ódi co s e n varios idi omas y l a varied ad de t esi s
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y dis ertac iones pr es ent ad a s en un iv ers id ade s nacion al es e i nt ernaciona les
son i ndica dor es de l a vitali d ad de e ste nuevo c am po de i nve sti gació n.
A p ri n ci pio s del s iglo XXI, se hi zo m a yo r la s ensibi li dad a la
comprensión y apr eciación de las ide as y p r ácti cas m atemátic as
des arrollad as por di fer entes g rup os cul turales. Esto se d eb e p ri ncipalment e
al au me nto e n e l nú mero de e st udi os en los c am pos de la e tn olo gí a , la
cultu ra, l a h is toria, l a a nt r op ologí a, la li ng üístic a y l as et nom atem áti c as .
Las ob s ervaciones rea li z ad as e n mu ch os e st udi os d e inves ti gac ión teó ri c a
e inves ti g ac ion es m uestran qu e la int ern acion al iza ci ón de l as p rácticas
mat emáticas en diferent es co nte xtos cu ltu rales es posible.
1.3 Investigaciones en etnomatemáticas
En el c ontex to inte rna ci ona l, las forma s de car acteriz ar y cl asi fi c ar
los e stu di os res ul ta n tes d e l as Et nomat emáticas fu eron pre sent a das , ent re
otros, po r Mi arka y Vi ggi an i (2 012), q ui e nes, e n conex ión con su t esis,
dis cuten el con cept o de mat em ática y sus cons ecue n ci as en térm in os. En
este trabaj o, los auto res pres entan un análi si s de l as ent re vistas de c inc o
inv estig ad ore s en est e campo, Bi ll B a rt on ( Unive rs idad d e Auckl and, Nueva
Zelan d a) , Edu ardo Se basti ani Ferr ei ra (Univ ersid ad Es tatal de Cam pinas ,
Brasil ) y Gel s a. Knij nik (Unive rsi dad do Vale do Ri o C ampan a s, Br asi l) ,
Paulu s G erde s (Univer si dad e Ed uardo Mon dl ane, M oza mbiqu e) y Ubi rat an
D'Ambrosio (U niv ers idad de S ão Paulo , B rasil ), los auto res abordan e ste
aná li sis desde una persp ectiv a fenom en ológica, transc ribiend o y anali zando
herme néuti c am ente l o qu e ca da aut or com ent ó que l os aut o re s po st e riores
utilizan l a redu cción fen omeno lógica par a rest aur ar l as con ex iones d e las
mat emáticas en l as et nom atemáti c as .
Par a p r esen t ar es t a c o ne xi ón (ent re ma t emá tic as y et noma t em á ti c as ),
los aut o res p resenta n t res categorías de cóm o se rel acionan en tre sí:
Ma t emáti cas en Etn om a temá ticas: E n e ste s entid o, se a rgument a q ue
las mat emá ti cas o cc ident a le s o m atemá ti c as a cadém icas son i nternas
a l as et nom at emáticas , defi ni é nd ola com o un ca mp o más ampli o que
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las matem át i ca s o cc i dent a le s. El docum e nto incluy e estud ios en esta
cat eg orí a d e aut or es co mo D' Amb rosi o y Barto n.
Ma t emáti cas o et nom a te máticas: Est a cat egorí a se c aracte riza
porqu e l a etn om atemática s e presenta co mo un a asi gna tu ra diferente
a l as m atemáticas, lo s autores r egistra n los t rab aj os del pr ofe so r
Knijn ik en e st a cate goría por qu e utiliza prá cticas d e divers os g ru po s
cultu ral es, co mo j ueg os d e lengu aje qu e pue de n ser relacionado Po r
semej anz as d e f am i lia , care ci end o del nú cl eo b ásico de su e st r uctu r a
que pued a consti tui r l a di feren ci a entr e e tnomatem át i ca s y
mat emáticas . Esta pr op uesta tam bi én puede inc lu ir la d ef i nición de
etnom atemátic a p ro p ue sta po r e l profes or Mar celo Bo rba , q uien la
plant ea co mo u n cam po d e con ocimi ento re l acio n ad o i nterna m ente c on
los g rupos c ul t urales, expresa do en un le ngu aj e r elaci on ado con la
cultu ra del g rupo, q u e sue le se r dif erente.
Ma t emáti cas y E tno mat em á ti ca s : E n la t er c er a cat ego rí a, los a ut ores
re gis tran los trabajos de los p ro f esores Gerd es y S ebastiá n F e rr eira,
pues en ellos la m atemática es alg o acep t ad o p or l a et nom at emátic a,
ade má s, l a matem át i ca es el núcleo qu e orienta l a pr áctic a
inv estig at i va del dep artament o e n el cam po .
Según la co mpr ensión d e lo s aut ores de la rel aci ón entre las
mat emáticas y l as et no mat em áti cas y la clasifica ci ón pr esent ada, se pu ed en
disti ngu ir di fer entes posi ci o nes f ilo só fic as so bre las mat em áti c as, inclu ido
el platonismo y el co nst ructi vis mo . La c u es tión d e la relación en tre es tos
dos cam pos d el con ocimi ent o es u n el emento q ue d ebe ser conside rado al
carac t er izar dif erentes ti pos de metodologías de invest iga ci ó n
etnom atemátic as.
El pro fesor P aul us Gerdes (1996), por su pa rt e , hace u n apo rt e
sig ni fic at ivo al e studio hi stó rico de las te ndencias de inv es t ig a ci ón e n
etnom atemátic a, pu es el au tor p resenta i nvest iga ci ones et n omatemát icas
ini ci adas en la d écada de 1 950, como lo s traba jo s de Wil der y Raum , qu e
se relacionaron p ara enunci ar l a a ritméti ca de"cu lt ura s primi ti v as ", el autor
muest ra al prof es or D'Ambrosio como la persona q ue introdujo el pr og ra ma
de in vesti gación e tn omatem áti ca en l os años 80 y qu e fue res ponsable de l a
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apa ri ció n d e con cepto s tal es c om o: m at em ática indígena, mat emáti c a s oci al
e informal , m at emátic a espont án ea, mat emá tica o ra l, im plíci t a u o cu lta.
Del mis mo mo do , el autor pres en ta al p r of eso r D' Amb ro sio como el
con cept u al iza dor sob re lo s par ad igm as de l as etnomatem áticas y l a
influ enci a de las id eas de Freire en l os investig ado res d e l camp o de l a
edu cació n m atemáti c a. Ad e má s, el profe sor Ge rd es ay uda a car act er iza r las
tendenci as de i nv e st iga ci ón en et no m atem áti cas en dif ere nt e s conti nentes a
parti r de l a co l ección d e li t er atu ra e n est e ca mp o, fi nal me nte discute
algunos supuest os b á si cos r el a ci ona do s c on el us o d e las etn om atem áticas
en la e du c ació n , al gun as t end encias co mpl eme nt ari as y al gunos elem ent os
desde la pe rs pecti va de las etnom atemá tic as.
El aut or n o propo ne una cla sificación de las i nves tig aci on es
etnom atemátic as, sin o qu e hace un recorrido hi stó rico po r d i versas
propu est as d e i nv estiga ci ón, p re sentando el eme ntos que pu eden s er
pre sent a do s en perspe cti va his tórica co mo una prop uest a de clasifica ci ón
de l as in vestiga ci one s et nom at emáti c as . En el c ont ext o co lombi ano , a uto res
como Blanc o-Álv arez (2 006, 2011) p re sentan u na re co nst ru cci ón his t óri ca
de la s et nomat emáti c as colomb ian as . El au tor c ar ac t eri za dif e re nte s for mas
de a bo rda r est os estu di os en el p aís , t am bién present a lo s e stu di os
etnom atemátic os y l a s un iversida des, gr up os de i nvestigaci ón, gr upos de
estudio y rede s q ue real i zaron l os estu di os. P ara est e tr ab ajo s e aplican l as
sig ui ent es categor ías :
Est ud ios es pecíficos sobre cono cim ientos y técnicas mat emát i cas de
estra tos so ci a le s y co mun id a de s “analfabetos”: rel acionado s con el
estudio de jóv en es o adul to s qu e no cono ce n an alfabeto s y que han
cread o t écnicas matem áti cas p ar a la pr e sentació n d e al gun os of icios .
An áli si s del p ens am iento m ate m ático en com uni dad es indíge nas y
afrodesc en dientes: Est a categoría in cl uye es tudios qu e t ienen com o
obj et ivo revelar el pen sam iento m atemá tico en o bj etos c om o t el ares,
can ast as , dor ad os y pat ro n es g eom ét ric os.
Us o d e i nst rumento s ori gi n al es de co munidades indígena s o n e gr as
como herramient as pe dagóg icas en la ens eña nza de la s mat em áti cas
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occ id ent al es: e sta c ategorí a in clu ye t r abajo s que utili zaron
her rami e nt as o i nstrumentos de c omuni dad es in dí genas o n egras par a
ens eñ ar mat em át i cas.
Formas de pensami ento mat em áti co y ci e nt ífi co social, históri co,
antro pol óg ico, et c. en civilizaciones y com unidad es: est os trabajos
pre sent a n u n a s i stem at i zac ió n d e lo s conoc im ientos bás icos d e las
comunida des, qu e suel en tr an smitirlo s oralment e.
Est ud ios h istór icos, epis t emológi co s, f i los ófi co s y educ at ivos sob re
la fo rm a ci ón de las cultur as ma t em át ica y cientí fi c a en C olom b ia: l a
última c at ego rí a incluye estu dios qu e difundie ron y ad o pt aro n t eorías
en di versos cont ex tos cult urales.
El tr abajo pres en t a có mo la e tno mat em át i ca fu e em ergi endo
paulatin am e nt e co mo camp o de i nv e st igación y l l am a a la social i za ció n y
difusión d e est e t ipo de material com o m ecani smo pa ra fortalec er grupos y
re d es de inves ti g ac i ón . Otra cl as ifi ca ció n d e l as et nom at emátic as es la
pre sent a Aroca (2013), qui en p resenta dos ca mpos de in v es tig aci ón en
etnom atemátic as: ru ral y u rbano . A par ti r de est e e nf oqu e, el auto r anal iza
cómo ca da u no d e es tos esc en ari os afec ta o c r ea t ensi ones en l a ed u ca ci ó n
mat emática y, además de est a cl as if icación, p resenta dos alt ern at ivas
met od ológicas en el cam po de l a edu c ació n d onde l a in ves ti gaci ón
etnom atemátic a p ue d e ten er im pacto.
La pr ime ra op ci ón se ref i ere a l a r eflex ió n teó ric a com o p osibili dad
de convertir estos des cub ri mie nt os en si tuaciones di dáct i cas y la segund a
prete nde hac er u n t rabaj o de cam po en un c ontexto rural o ur b an o, asim is mo
el autor res eñ a estudi os d e las etnomatemát icas hecho s en C olombia po r
nac io nal es en tre 1 980 -2 010. Par a el autor es import ante est ud i ar
sit ua cio ne s o pr ácticas sociales específicas, es pec ia lment e en zo nas pobr es
y ru rales, par a que las matem áti cas es c ol ares se r el acio n en co n l a vid a
cotid i an a, la realidad y el ent orno socio cul tu ral d e los estud iantes.
Tant o B lan co- Ál varez (20 06, 2 011) como Aro ca (2013) p r esent an
algunas i mpl i ca cione s ped ag óg i cas y m etodológ icas en e l est ud i o d e l a
re l ación entre m at emáticas y etn om atemát icas, alg un as de las cuales so n la
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ident i fi cació n d e i de as alt ern ativa s al p ens am i ent o o cci dent al, la pres encia
de id eas t ransc ultur al e s en ope racio nes m at emá tic as y la inclu si ó n d e
conoc imi entos e xtrae s co lares en el aula . E st os el em entos c ontrib uy e n
sig ni fic at ivamente a l estudio de l as m eto dolog í as utilizad as p or l as
etnom atemátic as, p ero t a mbién es neces ario consi d erar m ás elemen to s que
ayude n a ca r acterizar y cl as ifi car l as m etodol og ías apl ica das en este camp o
de inves ti gac ión.
1.4 Clasificaciones propuestas para l os trabajos de
investigación en etnomatemáticas
Las defin iciones o co n cepci on es en etnomatem át icas generan un
mod el o m eto dol ógico qu e puede ser aso ciado a un pa radig ma del
conoc imi ento. Te ni e nd o e n cue nt a es to , se h an p ro puesto l a sig uient e
clasi ficación :
1.4.1 Estudios de interpretación de objetos
La p rim era serie int rodu ce est udios etnomatem áti co s
cara cterizado s por l a ident ifi ca ci ón de co n ce ptos m at e mát i cos e n
objet os físi c os com o p et r og li fos , textil e s o cerá mica, algunos
ej em plos d e est os e s tu dio s so n A lbi s ( 1986, 1 995), Albis y Vale nc i a
(1 990 ), Tre jo s ( 2002) , Urbano (2 010).
En este enf oqu e, e l in ve st ig a do r i dent ifi ca , carac teri za e
in t er pr eta e lem ento s com o la s ime t ría, los gru p os simétric os, l as
dil ataci on es y l a configur aci ón geo mé t rica, p ero no r eci ben
ex pli cación ni co nfi rmación po r parte de las comuni dad es qu e cr ea ro n
es tos ob jetos y p atro n es porqu e están e xt intos o perd idos, como l a
geome tría d e l a f orm a del si tio ar qu eol ó gi co d e San Ag ustín,
cerá micas o pet r ogli fos de comu nidad es i ndíg en as descono cid as .
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El pro pósit o d e est o s estudi os es mostra r las et nom at emá ti c as
co mo u n cam po d e investi g ac ión q u e ut ili z an los " occi de nt ale s" para
co mpr ender y l egi ti mar sus matemáti c as a part ir de o b jetos y
re presentacione s de o tr as cu lturas. Dicho s es t udi o s han sido
cr itica dos , en tre otras cos a s, por l a fal t a de va lid ac i ón d e l as
in t en ciones, s igni f icados e i nf orm aci ón co n q ue f uer on e lab ora dos
lo s o bj et o s d e las c om u ni dades .
1.4.2 Estudios interpretativos con comuni dades
En est os est udi os, el inve stigador ap li c a e nfoques
me t odológicos, co mo el estud io d e c as os o la e tnog raf í a, c on el
objet iv o de ident if i c ar, cara cterizar e int e rpr et a r los el e me nt os
ma t emát i co s pres en tes en las prácticas cultur ales de lo s g ru po s
so ciale s a p artir d e l a ex pli cació n y v alidación, P or ej e mp l o,
in dígena s, artes anos, cui d ad ores, co me rc i an t es , i nm i g rantes, niños de
la calle, obre ros , ca rp i nt ero s, q uilo mbo s, cam pes in os, pescad or es ,
pobla ció n co n n ecesid ad de e du ca ción es pecial (ciego s, s ordos).
Esta c at ego rí a incl uy e tr ab aj os como Aroca (200 7), quien
propo ne en señar ge ometrí a t rans f or mati va a l a c omu nidad indíg en a
Arhuaca a p art ir de mochil as tra diciona l es , y Varg a s y Or tiz (2 009),
quienes in v es tig an l a e tnografí a d e est e co ncepto a través de la form a
geomé trica con la mi sm a com un id a d in dígena.
Au tores co mo Bisho p ( 1999, 2 005), Gerdes (1999, 2007) y
Olive ras ( 19 9 6) m e ncionan que l a fa se ini cial de la in vestigació n
et no matemáti ca r equiere r e al i za r u na in vesti gación etno gr áfi c a en la
que s e recol ectan da to s, y finalmente s e an ali zan la s m at emáti c as
utiliza d as po r est as comunidad es.
Ad em ás, B lanco Á l vare z (2008) me n cio na q ue e l pr o f esor
D' Am br os io prop on e elementos metodo l ógico s p ar a el trabajo d e l a s
et no matemáti cas, e ntre el los observar las pr ácti c as de g ru pos
natu rales dif e renc iad os, i de nti ficar acti vidad es , d es ar rollar rel at os
Pág. 28
sobre l as prácticas y l u eg o desa rr ollar un anál isis d el dis cu rs o. Desde
es te en foque d e in ves tigació n , las et nom at e má tic as s e p resenta n com o
un ca mp o p re oc upa do po r descubri r los sabere s an cestrales de las
co mun idades ma rginadas, per o es tos es tudios han s i do cri ti c ad os por
re t ra tar a l as co mun idad es co mo ent es p as ivos de los cual es se puede
ab straer saber sin bene fi c iars e de s us nec esida des y p roble mas.
1.4.3 Aprendizajes Liberadores y Transformadores con
Comunidades.
Est e gr upo i ncluy e t ra b aj os relacionad os co n la i nte gr aci ón d e
práct icas s oc ial es d e di ferentes comuni d ad es en el a ul a, la
tr ans fo rma ci ón d e la realidad so cial y la búsqu ed a de s aberes
an c es t rale s a tra v és d e los saberes i ndí g en as de las co munidades ,
al gu nos ej emp lo s d e este ti p o de i nvestig a ci ó n son: O l iv er as (1996),
Kn ijn ik (20 07 y 2012), Ge r des (1 999), Fonse ca (2 01 0), Lü y pe k ki
(2 010 ), P ar ra y Ca ice do (2009).
Au tores com o F l o re s, M onto ya y S uárez ( 20 09), O rt iz y B o rj as
(2 008 ) pre sent a n un a m etodol ogía de ac ció n como alternati va p ar a la
produ cción de con ocimi e nto pr op osi tiv o y t r an sf orm ad or a t ravés de
la di scus i ón , la reflexió n y l a constru cci ón c olectiva d el
co nocimi en to, para l og r ar el c ambi o so cial en el cont ex t o. Es te
el em en to no si gn ifi c a que se a la úni ca metod ologí a v álida par a este
ti p o de investigación, pu es e st a cat eg oría tam bi én inclu y e la
in vesti gació n colabo rativ a .
Re specto a es te g rupo y su en foque met od o lógic o, autore s c om o
Bo nil la y Ro d rí guez (1 99 7) recomi en dan una est ru ct u ra cí clica pa r a
diseñar es t e ti po de in v estig a ción cualita t iv a en la s c i en ci as s oc i al es .
Co mi e nza c on la def i ni ci ó n d e l a sit u ac ión p roble mát ica, sugi eren l os
au to res aquí dos mom entos, i n vesti ga nd o l a situ ac ión y d iseñando los
in st rum ent os , l ue go se inici a e l trabajo de cam po , es t a f ase s e
cara cteriza por recop il a r i nf orm aci ón y org anizar la i nf orm ación,
Pág. 29
fi nal mente s e pro p on e l a fas e d e ide ntificación de mod elos cu ltu rale s,
momen to en q u e s e an al i za e int er pre t a inducti va ment e la p rácti c a
es tudiad a, con ceptuali za ndo , para ree xa mi n a r la si tua ción e i n i ciar un
nuevo c icl o, e lem en to que fu e t en ido en cu enta en l os pl anes
me t odológicos d e las et nomatemáticas.
El p ro pósit o de l a estructu ra metodológi ca d e la i nve sti ga ción acción
es desmi tifica r l a met odología de inv es t iga ci ón bas ada en e l s uj eto y o bjeto
de l a i nve sti gació n, p orque la pone en man os de la gent e, para que pu ed a
ser utiliza da co mo me dio p ara o btener p oder.
Otro f ac to r p or cons iderar en el d is eño me todo l óg i co de l a p rop ue sta
es la dis cusió n con l a comunidad. L as fases in i ci ales de la investiga ci ón
acció n deben centr ars e en el anál isi s qu e se r ealiz a sobr e l o s datos
re copila do s. En cuant o a la s t écnicas y h err amientas d e r ecolecci ón de datos
de la i nve st igació n-a cc ió n, aut or es como Park (1 989) com entan lo
sig ui ent e:
Se ha en contrado que l as o bserv acion es d e camp o, la
inv estig ación de arch ivo, l a inv estig a ción hi stóri ca y los
cue st ion arios y entre vistas son muy út ile s, esp eci al mente en cuest as y
entre vis tas son l a s más u tiliz adas, au nque deb en entend erse c omo
her r amient as de diálo g o.
El diál ogo es un e l em ento muy i mpo rt ant e en es ta p rop ue sta
met od ológica, por qu e a tr avés d e él l as person as p ueden p arti cip a r en la s
parte s centr al es d e la invest iga ci ón- ac ción, el di álogo si gnifica ha bl a r de
igu al a i gu a l no s olo e n el i nterca mb io de in fo rmación, s ino t ambién en el
int erc ambio de sen tim i entos y va lo res , el diálo go es una manera de
ave ri gua r cómo se d iv ide el probl ema y cóm o se i nterc one ct an v i das y
bas es comunes para la a cci ón .
Ademá s d e partici par en encuent ros dial ógi cos qu e s on de na tur al e za
parti cip ativa , la i nv estiga ci ón- acció n in volucra a t od os e n act ividades
tradi cio n alme nte re ser vadas par a per so n as al t am ent e ca pa cit ada s en
inv estig ac ión tr adici onal, inclui do el d i s eñ o d e c uesti on a ri os, guías de
entre vis ta y rec opi la ción d e dat os, uti lizand o esas h er r amientas se ana liza
Pág. 30
el mat er i al p ara en contr ar la s d im ens io n es del pro bl e ma inves ti g ad o, se
busca una acci ón colect iva , d ond e to d os l os p articipant es del p r oy ect o
conoc en el prop ós ito y la lóg ica de la s pregu nt as y por lo tanto q ui énes
puede n c om partir este cono cimie nto con ot r os .
Est e últ i mo en f oque d e i nvest iga ci ón i ntrodu ce vario s at ri but os
re com endados p or los e tnomatem át icos, e nt r e e llos l a ed u ca ci ó n
ema nc ipa do r a, l a s rel aci on es de po der, la valid ación d e l con oc imi ento y e l
conoc imi ento an cestral. De a cu e rd o con la clasifica ci ón d e en fo que s
epist emológicos pr esent ada, l a lí n ea de investiga ci ó n d e las
etnom atemátic as, que utili za meto dologí as como la i nvest iga ció n-acción ,
está a so cia da a un para dig ma empir ista- id ealist a q ue niega la ne ut r al idad y
obj et ivi d ad d el cono c im ie n to .
Co n base en al gunos de los punt os men c ionados ante ri orm ent e, las
etnom atemátic as pued en vers e no solo c omo u n cam po d e e s tu dio b asado en
la des cripci ón e inte rp ret ación de l conocim i ento mat em áti co que apare ce
en obj eto s cu lt urale s o prácticas socia le s , sino que tamb ién pue de ser un
cam po de estudio q u e es ded icado al cambio d e la reali d ad educ at i va y
social a parti r d e la l egiti mación y democ ratiza ción del s ab er en las
comunida des.
Las tres cate go ría s p res en tad as tienen co mo o bj eti vo c ar ac t erizar t res
enf oq ues metodoló gicos identi f ic ado s en la inv es t ig aci ón etnomat em á ti ca
(e stu dio s interp ret at ivos de o bjeto s, est udios i nt erpr et at i vos de
comunida des y estu di os ema ncipa torio s-t ransf ormati vos d e co m unidades),
que a su ve z remiten a p aradigm as d e con ocimi e nto ( po sit ivo , h ermen éutic o
o interpretati vo y crítico). El p ropó sito de est a pr opu es ta es dar a c on ocer
sus ca racte rí sti c as , posibilid ade s y lí mit es en cad a una de es tas cate gorías,
de i gual f o rm a se p retende q ue l a comu n idad académica s is t em ati ce l as
inv estig ac ion es que s e reali za n en e ste ca m po d e es tudio en estas cat eg orí as
en c ada p aí s, p orque pu ede mostrar la h is toria y e l d esa rroll o de este c amp o
de estud io en cu al qui er cont e xt o q ue il umi ne s us pre di c ci ones y fut u ro.
1.5 Tensiones en la educación de l a etnomatemáti cas
Pág. 31
Según el P ro g rama de Invest ig a ci ón en Etnomat em át ica
1
, el campo de
las et nom at emátic as s e divide en dos grandes e scenario s de investig a ció n:
áreas urbanas y áre as rural es. P ara d ar u na v alo ració n ini cial de los
esc enari os d e in vest i gac ió n pro pu es tos e n es te p r og ram a, e s ne c esario
pre ci s ar que d epend en de l as condiciones soci al es y polí ti c as de cada país .
Par a est e c as o, em ple aremos c om o ejempl o el contexto co lo mbi ano .
Según Al buj a y Ceba llos (2010), el 93 po r ci ento de los re fugiados
colom bia no s l o h izo ha ci a l as ár e as ur ban as . Durante l a últi ma dé cada, el
país ha ex perim en tad o u na fuerte mi graci ón desde l as zonas r urales. Es ta
margin aci ón for zada e lim in a o cambi a ra di c alment e l as et nom at em á ti c as
ru r al es: formas ru ra l es de pensar (com prend er, razon ar, co nduci r, hace r);
hac er (artes, t écnicas, hábit os, estil os y herram i en tas ) y com unica r
(e x pl ica ci o ne s, ya s e an v erbales, visua l es , sonoras, g es tua les o ut i li z an do
sabor es u ol o res tangibl es , sentimentales -bu enos, neutros o malos -) . Es tas
tres cat eg orí as –pensar, ha cer, comu ni car– const it u yen las t r es r ea lid ade s
de l a inves ti gación etn om atemát ica en el p rog rama de in vestiga ci ó n
etnom atemátic a.
Est a ide a d e reali da d etnomat emát ica - que es l a misma ta nto en l a
etnom atemátic a rural com o en la ur ban a- no fu e as um ida en n ing un a
con cept u al iza ci ón del objeto m a te m át ico, r az ón su fic i en te para c on cl uir
que el o bj eto d e l as mat em át ica s s e com porta de m a nera opuesta al d e l as
etnom atemátic as, y e n e se sent ido s e hi zo neces aria la cr eac ión de est e
término.
El c on c ept o de re a l i da d e t n o m a te m át i c a
2
es s ust entad o p o r White
(1 994 ), qui en a fi rma qu e , d es d e u n p unt o d e vist a antropo lóg ic o, el l ug a r
de l a rea lidad matemát ica n o es in de pe n di ent e de l a m ente hum ana . Cada
per so n a nace en un mund o de realidad con strui da; entonce s es a ment e lo
enc uent r a y lo aprende. Per o l a m is ma mente ta mbién pu ede cambiarlo o
re cre arl o. Una persona adqui ere su cu lt u ra apre ndiendo l as costu mbr es ,
creen cias, l enguajes y t é cnicas de su grupo, así c om o la cul tur a ma t em át ica .
1 E l P r o g r a m a d e I n v e s t i g a c i ó n e n E t n o m a t em á t i c a s f u e d e s a r r o l l a d o p o r U b ir a t a n
d ’ A m b r o s io .
2 C o n c e p tu a l i z a c i ó n c r e a d a p o r A r o c a A r a u j o .
Pág. 32
Est a matem át i ca cul tur al o e tn omatemática tie ne realidad, p ero en u n
contexto d et e rminad o , porqu e ahí e s do n de a dquie re sentido. Mientr as q ue
el o bjeto m at emátic o t iende a ser indep end iente de l conte x to, las
etnom atemátic as no l o ha ce n; exi st e de la re alidad mism a. En m atemátic as ,
el o bj eto ti end e a per manecer e n una dim ens ió n se par ad a, pero n o se pa r ad a
del mundo sensu al, como l a pe rce pción platónica, for mándose as í u na
difer enci a im po rta nte entre el objeto m atemáti co y el ob j et o
etnom atemátic o, pues e l p rimer o log ra un pro ces o de form ali za ci ó n
sim bó lic o y de s co no c id o, m ie ntr as que el ot ro n o. Y he aquí un escena ri o
par a la edu cació n matem áti ca c on u n v ast o campo d e i nve stiga ci ón, porque
la adquisi ci ón de l a propiedad bás ica de u n objeto mat em át ic o, o
tem ati zació n, c onduc e a s u sep ara ción del mun do racional, dur an t e l a
etnom atemátic a, a l o l argo del tiem po , h ac e l o cont rario de las t res
re ali d ad es desc ritas: pensar, hac er y co mu ni car. Esta s tr es r eal ida des se
aplican tanto a la et nomat emáti c a rur al como a la urban a.
1.5.1 Las etnomatemáticas rurales
Las etn omatem áticas r ur al e s contrib uye n a l a p re se r va ción de la
id en t id ad c u lt ur al de un p aís inc lus o má s que l a s et nom at emá ti cas
urb an as , que están m uy e xpu es t as a los d es arrollos t ec nológ icos y
ci ent íficos naci onales y mundi ales . En o tras pa l ab ras , la técnica d e
sim pl ifi ca ci ón d e op e ra ciones ti en de a eli m inar l o s pro ce sos d e
acu mu lación histó rica de i d e as mat em áti c as , y qui z ás se deb a a qu e
la s o pe ra cio nes e n l os libros d e t e xto de mat em áti c as es co l ar es, que
pret e nde n te ner una rela ci ón c on l a reali d ad de lo s es t udian tes , se
cen tr an en la " realidad" q u e presenta opera ci ones or di n ar ias , pro du cto
de la glo baliza ción , com o un pa st el d e cu mp l ea ños di vi did o en siete
part e s, la s um a de ma nzana s, u na máquina qu e sa le de l a p l ataform a
cu a ndo muchos d e e st o s elem en tos n o fo rman p ar t e d e su re ali dad.
Mucha s et nolog í as rural es y urb an as son parte int egral d el a cervo
cultu ral d el p aís, por qu e son ún i ca s, por qu e son hi stó ri c as, po rqu e las zon as
se ha n desar ro llado , qu é valor es c on se r van , po rque s on ú nicos sist em as
Pág. 33
cultu ral es q ue l es da n s ig nificado d e bi do a un m odo t r adicional de
trans mi sión que involucra uno o to dos los se nt idos. Pa ra ampli ar la idea,
consi derem os el ca so d e l as etn om atemáticas m arina s, donde el ú nic o
senti do qu e los pes cadores no uti lizan p ara l a ori entació n e sp ac i al es e l
gusto .
Por ot ro lado, l a et nomat emáti c a d e los car pi nteros t ie n e u n t oque
privi l egiado, qu e p ro vi e n e de s us medi os d e c omuni cación - sea oral , gest u al
o v ocal-, s us fórmul as v er bal es , l as h er ram ienta s q ue p roduc en y s u
lenguaje. imp li c an l as formas d e razon ami ento qu e s e l es apli c an. No
siemp re tiene que habl a r o escuchar y escribir para comuni car el
pensamient o mat emá ti c o. E nto nces, ¿qui én pue de p romover l a co ns ervación
de estas reservas ma tem áti cas nacio nales ? D ocente s que, al sist em ati z ar s us
exp erien ci as e i nvesti ga c iones, p uedan formar p art e d e l as n uevas edi ci ones
de los li bros d e t ex to esc ola res d e ma tem áti cas y así ev ita r i nun dar s u s
bib li otecas con i nform aci ón q u e es e l res ul tad o de l a dis tribu ci ón ma si va
por p art e d e las e dit ori al es a tra vés d e edi ci one s i nt e rn acion al e s.
Par a con cre tar aún m ás est a ide a, se t ien e que la etnomatem át i ca ru ral
está des arrollad a en al gunas zonas del pla net a fue ra de las ciuda des y es tas
son l as qu e se ha n encon trado di rectamente con vi ole nc ia y, s obr e tod o,
migració n forzad a en el ca so de C olombi a.
Cuando no s referim os a estas et nom atemátic as , t ambién nos
re ferimo s al en torno en el que se p rod uce y de sarrolla l a act ividad,
re l acion ad o co n l a forma de p en sar, l as prá cti cas b asadas e n el con texto y
las formas de comuni cación ad ecu ad as a l as circun sta nc ias . Pu ede qu e no
sea la re gió n do nde viv en s us c re ado res, au nqu e no e s la ú ni ca.
Buenaventura, p or ejemplo, e s un m uni cipio d e la c ost a p ací fi c a de
Col om bia , do nd e una p rop or ci ó n im por tante de sus h om bres so n pesc ador es
art es anal es . Aplican t écnicas, h er ram ie n tas y form as p ri ncipalment e en el
mar. S in em bargo, a l gu n as d e sus herrami ent as es tá n h echas en s u casa.
Est as so n las i mplicaci ones de l a real id ad propu es ta p o r Berger (1 99 3)
const rui da p o r ag en t es social es. E st as etnom at emá ti c as m a yo rit ariam ent e
ru r al es pu ed en s er e x pl ica das al in vest igador por s us hacedo re s, pero d e tal
fo rma qu e ést os pueda n c on struir un signif icado m á s rel ev ant e, y convi e ne
Pág. 34
acu di r a u n entorno donde se d esar ro llen práct ica s de r efer encia. P ara que
un p rofesor de m atemáticas qu e trabaja en z on as c ost er as ha ga q ue s us
lec ci one s s ean más sig ni ficati vas, no neces a riam e nt e ne cesit a i r a l mar co n
los alumnos.
Un p rof esor d e m at e máticas p u ed e g en era r comp re nsi ón en la s
entre vis tas, per o apre nd e m ej or expe ri men tando la activid a d tal com o es,
sin intermediarios. Si n embarg o, hay casos en los qu e es te enfoq ue s e
desví a; P o r ej e mp lo, en el m uni ci pio de Buenaventura, hay un pu eb l o
costero l lam ado Punta Sol dado, cuya ún ica escuela ti en e la m ayor cant id ad
de es tu d iantes de lo s ú ltimos año s de s ecund ari a d ed icado s a la pesca. El
pro feso r d e m a tem át i cas prome dio e nt i ende esto y c oo rdi na ot ros
actividades pa r a ell o ¿C ómo da clase s este p ro fes or, q ue t am bié n ti ene
fo rma ci ón cont a bl e? E n la p rácti ca, su s cl ases de m at emátic as ayu dan a
mod erniz ar l as p ri nc i pal es a ctivi dad es eco nómicas d el corregimi en to
3
, pero
tam bi én les brind an capacit ación m at em áti ca d e acu e rd o co n los
lin eamie ntos y est ánd ares nacio nal es.
Est e es un ej emp lo d e un tip o diferent e de etnolo gí a rural, como es la
etnol ogí a d e lo s car pinter os , cuy a profesión se formal iza como resu ltado
del desarroll o c om erc ial y tec no lóg ico d el sector u rbano. En l as zo n as
ru r al es la ca rpint ería no ex ist e en esas dim ensio nes porque sus p ri ncipi os
básicos s on el co nocim i ento comuni t ario ; l a carpi nt erí a ex ist e co mo
apr opiac ió n col ecti va, aun que alg uno s de sus part ic ip a nt es optimi z an sus
pro cesos p orque cuen t an con mej or es her ramie nt as.
Otra s itu aci ón es la p resen tad a por algu no s p es ca dores de
Buenaventura q ue b us can tra bajo e n otras o cu pacio nes , p rin ci p al men te e n
las ciuda des, durante el perío do de la ved a en la pesca , y s e v en obligados
a uti liz ar la et nografí a desa rroll ad a por ot ros ac to res . En ot ras pal ab ras,
dur ante el p eríod o d e v eda, la m ay orí a d e l os pesca do re s so n u su ari os
pasivos de l a etn ogr afía urb ana , que a cep ta n para generar in greso s y
sost ener ec on ómi camen te a sus f amili as.
3 Te r r i t o r i o q u e d e p e n d e de u n m u n ic i p i o .
Pág. 35
1.5.2 Las etnomatemáticas urbanas
La etn om ate mática urbana es l a que se des arro ll a y c obra sentid o
dentro de una ci ud ad o mu nicipi o. Se han utiliza do dos palabras pa ra
cara cterizar l a etn o mat em át i ca r ura l y la et n omatem átic a u rb ana:
des arroll o y si gnificado. S u ap licabi li da d r es po nde a ot ras p regu ntas.
El pri me r ento rn o de apl ica ci ón es do nd e se de sar rollan, pero l a
ap li c ab ili d ad se ex tiend e m ás a llá d e l a r egión d e orig en; Por ej e mpl o,
un a gri cu l to r necesita con stru ir u na ca sa en s u t e rr eno y d e cide
co ntratar a p ersonas que viven en á r ea s urb ana s. L a etno mat em át i ca
utiliza d a en l a fi nca e s urb ana , pero apt a p ara el me dio ru ral. L a
et no matemáti ca rural y la etn om at emá tica u rb an a fueron enfa tizadas
sólo pa ra qu e su s i gn if i cado qu ede cla ro cu an d o el pr of es o r d e
ma t emát i ca s d ec i de conectar su cl a se co n l a reali dad d e s us al um nos.
1.5.3 Diferencias y similitudes entre etnomatemáticas
rurales y urbanas en el contexto colombiano
Al gunas d e l a s ca ra ct e rí sti cas, seme jan za s o dif erenci as ent re la
et no matemáti ca ru ral y la e t nom a te m át i ca u rb ana, son: la
et no matemáti ca rural tien e m á s sen ti do en rel ación a l mar, la s elv a,
la monta ñ a y l a t ierra; s u camb io, ap arición o d esapa r ició n es menos
vari a ble que el de las ci ud ade s, aunque e l d esa rrol lo tecnol óg ico
ta m bi én las mo d ifica . Su gran ri qu e za es l a diversidad d e l os pueblo s
in dígena s qu e l os me di an, alg u nos de lo s c uales s on d es co nocidos y
muy poco e st udiad os.
Am bo s tip o s de etnoma tem át i ca s tiene n en comú n q ue se repit en
o ap re nd en a trav és de la tradición o r al, e xpresion es gestual es,
re presentacione s g ráficas o v iv en ciales , p rin ci pal mente l a
observació n. L a ú ni ca difer encia en a lgunos c as os es el us o de la
es cri tur a; a mbos suelen es tar asociados a procesos d e ne g oc io.
Pág. 36
Las etn o ma t em át icas urba nas parecen ser m ás din ám i ca s d ebido
al imp a cto d ire ct o de l os d es arrollos tecnológ icos, ci e ntí fi cos,
so ciale s o p ol íti cos s ob re las act iv i dad es en las c i udade s o capit ales
urb an as ; La lógica pr oposi cio nal rige su form a d e comun i cación, en
al gu nas ciud ad es o mu ni ci p io s suele ha b er un a so l a len gua , pero e n
otras , y sob re tod o en las ci udad es , l a m e z cla d e lenguas o ha bl as
añ a de complej idad. P or ejemplo, en el munic i pi o d e M aicao,
dep ar tam en to de La Gu aj ira, Colombia, inter ac túa n o se des arrollan
vari a s l enguas o lengu as : el esp añ ol es l a lengua do mi nante , p ero
ta m bi én se ut il i za el w ayúu y el turco.
La com unidad a cadé mica debe entender la s et nom atemáti ca s c om o un
cam po qu e puede propi ci ar c am bios e n las p rác ti c as peda gógi cas al brindar
her rami e nt as qu e co nst ruyan t emas a nal íti cos y críti co s a parti r de s us
re ali d ad es . P ar a ell o, es ne cesario c ontinuar i nve sti ga ndo en l as tres
cat eg orí as menci on ada s, as í mismo se d ebe l lamar l a at enció n sob re el
hec ho de que c ada cult u ra en su cosmo visió n constr uye un element o d e
conoc imi ento autón omo , tan v áli do co mo lo s d em ás, que p uede p er mi tir l a
lib era ción de ciertas rela ci one s de poder a tra vés de cier t as ide as reales,
información cor rect a y útil. F ina lm e nt e, in centi v ar a los d ocent es a
pre sent a r el co no cim ien to m atemático en el a ul a c om o una construcción
contextu al produ ci da por di fer entes grupo s social es, pa ra gener ar un
esp acio d e co nstru cción y di álogo m edi ad o p o r l a ne go ci aci ón de l a
subjetivid ad y el en r iq uec im i ento mutuo .
Pág. 37
Capítulo 2
Experiencia en formación
2.1 Entomate máticas en la formación de profesores indígenas
En es te ca pítul o, se e xpone l as ex perienci as p edagógic as guiadas po r
el para digma de las etnomatem áticas co mo parte d e un prog rama de
fo rma ci ón de profesore s indígena s d el pu ebl o Kaing ang e n la pa rt e
occ id ent al d el estado d e S an ta C a ta rin a, B rasi l . También i n cl uye un a
propu est a de h ip ótesis etn ométri ca esp ecí fica sobre la cu lt ura K ai nga ng ,
esp eci almente su s ist ema de p are nt esco.
Uno de los obs táculos a afr on tar cuando se apl ica un a pers p ec tiv a
etnom atemátic a al c urrículo de l os pue bl os indíg e nas es l a f al ta de una
inv estig ac ión etn om ate m ática si gni fi cativa sobre l a cu ltu ras aut óc ton as que
pueda n u sar se en l a au las . En es ta e xpe riencia s e co nsid e ra imp ort ant e
pro fu ndiza r la in ve stigac ió n pa r a ob tener m ateri al relevan te. Al respecto,
surgió u na hipótesi s, q ue s e expon e y pre s enta, po r lo t ant o, e ste c apítulo
tie ne d os p rop ós itos: c onfir mar l a hi pót esis et nom atemática y mostrar có mo
se u tilizó en e l pr o ce so p eda gó gico d e for mació n de p rofesores en K ai ngang
en matem áti cas y ci encias.
La e xp eri encia aquí pr esent ada se bas a en un t rabaj o d e lo s doc entes
e inv estig ado res del P rog ra m a de P osg rad o Un o ch ape có de l a Un iversi dad
Com un ita ria d e l a R egi ón Ch ape có y en l a Licencia tu ra Int ercul tu r al
In dígena que expide l a cit ada u ni v er sid ad en C him bang u e, e n la regi ó n
occ id ent al d e S ant a C ata ri na, Bra si l . S e t r ab aj ó s i st emáticam ent e u na
per sp ectiva etnomatemát ica con los e st udi ant es de K ai nga ng y se le s animó
a r ealiz ar Trabajos de C onclusió n de Cu r so s (TCC ) en es ta áre a.
Pág. 38
Las hipó tes is ex puestas ab ord an un tema antro pológ ico clás ico: los
siste mas de pa re ntesco, pe ro d es de otra perspe ct iva: desde el m a rco teóri co
y la meto do log ía de las et nom atemátic as inspi rad as en l a s ci enci as
fo rma les, e spe ci al m ente l a l ógica matem áti ca . A rgumen tándo se q ue el
mat rimonio t radicional Kai nga ng y el o rde n de pare nt e sco pue den
re p resentar se co mo u n sist ema ló gico f or m al de cálcul o. Por lo t an to, la
pru eb a d e est a t esis co nt ien e una prueba lógi c a.
2.2 Licenciatura intercultural i ndígena
La Li cen ci atura en I nte rcult ura li dad In dí g en a, donde s e lle vó a c abo
esta ex p er ien ci a, es u n progr am a d e fo rmació n de p rof esores in d ígena s de
la regi ón occ id ental d e S an t a Ca t ar ina , ofr ec id o por U nocha pec ó desde
2009. Ofre ce un a Lic enc iatur a en Es tud io s Inter c ult ural es I ndígenas en l as
sig ui ent es áreas:
Educa ció n, Matemát ica s y C ienci as Naturales.
Hu man idades y C ien cias Sociales,
Lengu as,
Ar t e y
Lit eratu ra.
El ob jetivo d el cu rso es formar p rof esores c al ificados para
implementar l a ed ucaci ón in ter cu lt u ra l , bi lingüe, es p ec i al y dife renc i al d e
acu erdo con l a s no rm a s na ci onales y es tatales qu e ri gen la e duca ció n de los
puebl os indígenas en B rasil . Una d e s us car acterísticas o ri ginal es es q ue el
cur so p ar a op tar al t ítu lo e s di ctando en tie rras i ndí gen as p ara hacer f rente
a l a alt a t asa d e des erción ent re lo s e st udi ant es de educa ci ón superior.
La u ni versi dad va a l a regió n en lugar de qu e lo s estu diant es s e ,
evitando los hab it ant es o ri ginari os aba ndonen su t er ri torio p a ra asi st ir a
Pág. 39
una univ ersid ad, ge ner ando como efe ct o s ecu nd ari o pos iti vo , una
alf ab eti zació n int ercultur al en tre l os do cen tes u niv er sit arios .
Enseñ a r en una regió n abori gen es mu y di f eren t e de un a ul a
uni versita ria . El c ont a cto co n la c ul t ur a indíg en a y la fo rm a de s er y est ar
en el mundo es muc ho m ás cerca no . Cre a un a mbien te p rop icio para l a
inv estig ac ión et nog ráfica porq ue o frece ex perienc i as, cont actos
int ercul tu r al es y rel aci on es c oti di anas q u e no s e d an en u n au la
uni versita ria regular. En e s te contexto y gr aci as a es t a al fab eti za ci ó n
int ercul tu r al , surge u na hi pót es is especial s obr e el siste ma de pa rente sco.
Con u n g ru po de e stu di ant es forma do s en mat em áticas y ci encias,
utilizam os el para dig ma et nomat emático par a cu mplir ob je tiv os no rmativos
par a l a ed u cació n int ercul tur al . Lo pr i nc ipal es qu e el sab er escol ar s e
re l acion e co n la cu ltura, sabid uría y exp erien cia de vi da d e los p u eblos
ind íg ena s. Pero en las au las l a sit u ac ió n e s u n t an to contr overti da, por que
ens eñ an et nom atemá tic as si n t en er en cu ent a l a cultura de l o s alumno s.
A falta de inves ti gac i on es sig ni ficati vas en es ta á re a, el m at e ri al se
re fería a otros pueblos e inve sti gaciones de cont ex tos tan di v e rs os como
África o Austral ia . S e pensó qu e sería ap r opiado a bo r da r es ta s it uación
inv estig an do y creand o hip ót esi s s obr e l a p resenci a d e l as et nom at emá ti c as
en l a cu ltura K ai ngang . En tre las hip ót e si s más int ere sa nt e s formu ladas se
enc uent r a la q ue es objeto de est e exp er ien ci a y s e pres enta a cont inuació n.
2.2.1 Hipótesis
La hi pó tesis pr opues ta esta bl ec e q u e el si st e ma d e p a re nt esc o
Ka ing ang e s u na f or m a de cál cu lo l ógic o que pu ed e expres arse en el
le ng uaje form al de la l óg i ca p re dic ad a. Esto t am bién perm it e
re presentarl o com o un a se rie d e al gor it mos
4
. En ot ras pal abr as, s e
4 L a n o ci ó n d e a l g o r i t m o u t il i za d a e n e s t e e x p e r i e nc i a n o e s t á l i m i t a d a a l o s
a l g o r i t m o s q u e s e e j e c u t a n e n s o f t w a r e de c o m p u t a d o r a s . Má s bi e n c o m p r e n d e r a
c u a l q u i e r g r u p o f i n i t o de o p e r a c i o n e s o rg an i z a d a s d e ma n e r a l ó g i c a y n o a m bi g u a
Pág. 40
puede exp res ar c om o un conj unto de actividades lógic amente
organi za das qu e p er mit e ll eg ar a l a so lu ció n del probl ema en un paso
li mit ad o y s i n amb igüedades.
Esta h i pótesis pare ce abstracta y teórica , per o tie ne su origen
en r az o na mie nt os concre tos en sit ua ci ones cotidianas. S urgió d e l a
co nvers ación co n un m atr imoni o indí g en a Kai ngang (kófa ) de e dad
av a nz ad a qu e vi s it ó l a E sc uel a Indíg ena Toldo Ch imbangu e, donde s e
im parte una ca rre ra in tercu ltural, para conver sa r s ob re los u sos y
co stumbr es t r adicion ales de su pu eblo . Cabe señal a r que lo s adult os
ma yor es nu nca recibieron un a educ ac ión formal y au n que su le ngu a
ma t erna es el k aingang, t am bi én ha blan po rt ugué s.
La colo ni z ac ió n del área es relativame n te reci en te , po r lo que
mu cho s p ad res cr ec iero n en s ociedades ind ígen as que c on se rvaro n un a
can ti dad significati va d e s us p rácti c as t r ad i cion al e s. Un a de es t as
práct icas es l a d i vi si ón de l o s miemb ros del g ru po en dos clanes: Kam ẽ
y Ka nhru. E ntr e otras cosas, existe un siste ma d e parent esco
organi za do en t re el los . S ól o pueden contraer m atrimonio entre
personas p erten eci en tes a di fe rentes c lanes cónyuges.
La pe rt ene nc ia al g rupo se h e reda del p ad re, en otras p ala br as,
lo s hij os e hijas he re da n l a marc a del padre . S e exp on d rá en d etal l e el
sistema d e me dio clan m ás ad elant e, per o ba sta con dec i rlo p a ra
co mpr ender e l mot i vo d e l a in ve st ig ac ió n. Lo s padres acomp a ña n a
sus nie t os , si t ua ci ó n muy co mún , pue s la kó fa ju ega un pap el
protagónic o e n l a educación de lo s n iños de la f am i lia K ai n ga ng.
Du rante u na reunión d onde se ex pl icaba el sistema ma t rimon ial
y cómo cada có nyu ge p ert en ec e a d i fe rentes g ru pos, u no d e l os
in vesti gad ore s p re gu ntó a u n abuel o a qu é grupo perten ecía la niet a,
y el a nc iano res po ndi ó: el la es Kanhru, po rq ue yo so y Kam ẽ y el la es
hij a d e mi h ij a (Tỹ f i tó g K anh ru nĩ mỹ r isỹ t ỹ Ka m ẽ nĩ nỹ k ỹ fi tóg
tỹ inh kós inh fi kósin fi n ĩ).
q u e pe r m i t e l a s o l u c i ó n p a r a u n pr o b l e m a , e s t é n o n o e xp r e s a d a s e n u n p r o g ra m a
e j ec u t a b l e p o r u n o r d e n a d o r.
Pág. 41
Par a un d ev ot o de l a l óg ica, l a r es pu e st a fue so rpr en d en te
porqu e formu ló un r azon am i ento compl etament e ló gi co. S ol o q ue en
lu gar de las tr adi ci onales p y q u só Kamẽ a y K anhr u. D e la regla que
prohíbe el m atri monio e nt r e mi embr os del mis mo grupo y d e la reg la
que i ndic a q ue l a m arc a se he reda del padre, s e si gue l ógi ca mente qu e,
si e l anci a no es Ka m ẽ, s u hija t a mb i én es K amẽ , pero l a hi j a es
Ka nhru. (porqu e s u h i ja d ebe ca sa r se con Kan hr u, c uy o s hi jos t am bié n
son Kan hru ).
Ese raz onam i ento dio l ug ar a una inve stigación c uyo objeto era
demos trar, m edi ante la s técni c as de l a l ógica form al, que se trat a d e
un r azon am ient o ló gi c am ente correcto y q ue, p or l o t ant o, el sis tem a
de pa re nt e sc o puede e xpre sarse co mo un sistema de cálculo l óg i co
co h er en t e. Es t o p er mi t e expres arlo c om o un algor itmo y, p or lo ta nto,
en un lenguaj e de program ació n que s e pu ed e imp le m ent ar en u n a
co mpu tadora. La utilid ad ped a gógica d e l a hi pó tesis est r ib a e n
co n ec tar es trech am ente co nt eni do ma t em át i co abst r ac t o, co mo la
ax io mati zación y l a ló gi c a de predicados , con e l con ocimi ent o
co mun ita ri o tradici onal y la in formá tica . Tam bi é n perm ite com bin ar
el concepto d e algor itmo c on e l sistema organi z at ivo tra di cio nal d el
grupo .
2.2.2 Marco teórico de la experiencia
El tra b ajo se enm a rc a en e l mar c o t eóric o y me t odológico de l a
et no matemáti ca, b as ado en l as i deas d e U bir at a D 'A mbrosio , que
af i rm a que e st a d is cipli na consiste en "el estudi o de t é cn icas
ma t emát i ca s u tiliz ad as p or g rupo s cu lturales def inido s p a ra
co mpr ender, e xpli c ar y manej a r s us problem a s y acti vidades" . L as
et no matemáti cas yuxtapo nen e in ter ac túan co n t r es dis cipl inas:
la antropolo gí a cult u ra l,
la s matemáti cas y
Pág. 42
la ed uc ació n m atem áti ca.
Este co n traste es cla ram en te visible en e sta e x pe ri e ncia, pues to
que incl u ye i nvest iga ciones en ca mp os antrop ol ógic os y m atemá ti cos
y su aplic aci ón en una s ituación p eda góg i ca . Se s eñ al a qu e en l a
ed u ca ci ón matem áti ca t r an scult ura l es muy imp o rt ant e conectar l as
ma t emát i ca s escol are s con aq uellas q ue son l a b ase de las pr áctic as
co ti d ianas d e cada g rupo so ci alm en te dife re nci ad o, a fi n de cr ear u n
puent e ent re el las .
Los tr abajo s de G er des son t am bi én un p re cedente i mpo rt a nt e e
in spi rador pa r a l a h ipó te sis fo rmu la da , pues t rabaja co n l a i d ea d e
al go ritm os relaciona dos c on las c ul tu ras t r adicio n al es. En p artic ular,
tr aba ja co n l os algo rit mo s g e om ét ricos util i zad os por el p uebl o
Tchokw e del nore st e de A ng ola para rep ro du c ir sus “s ona” en
can ti dad es limitada s: pa t rone s geomé tri c os de form as abs tr a ct as,
gen er al m en t e represe nt ando a nim ales y o tros ob j etos cu lt u ral es
im portant e s.
Si n e mb a rgo , est a noc ió n h a s i do cu e stio nad a d e v arias m aner as.
Pais (2013) r eúne una serie d e crít icas pr ese ntadas po r Knijnik (20 12 )
y Do wl ing (1998), a l a s que añ ade su propi a pe rsp e ctiv a. Está m ás
al l á d el a l ca nce de esta o br a a bordar es t as crític as , pe ro dis cutiremo s
breve mente dos de ellas en r el a ci ón co n el tra bajo.
El p rimero enfat i za que e xi ste un ses go etno céntr i co en el
co n ce pt o d e et nom at e má tica, porq ue t i ende a ex p re sar di f er e nt es
práct icas cult ura l es en e l c on t exto de l a s ma t em át icas e scol ar es o
acadé mi c as . La ex pre sión d e l a cult u ra he gemón i ca mo st rar ía el v alo r
de esas pr ác t icas cu lturales, q ue ta mbién so n m at em áti c as .
El s egun do se r el aciona con l as v en t ajas ped ag ógic as. Sos ti ene
que la s prá cticas concret as y coti d ianas q ue la etno mat em át i ca
en ti e nde y estudi a co mo matemáti c as o protom at emáticas n o
co ntrib u ye n a l a c om pren sió n d e las m ate mát i ca s escola res porq ue son
muy difere nt es. No j u sti ficán do se l a supos ició n d e qu e lo s
Pág. 43
co nocimi en tos ad qui ridos en la e scuela se t rasladan a las ac tividades
co ti d ianas y vi ceversa.
Se cre e q u e la p rime r a crí tica se pu ed e ha cer s obre el c onju nto
de l a ed uca ción i nt e rc ul tur al, no s ól o sobre las e t nom a temát icas. Un a
objeción simil ar se ha pl a nt eado en e l ca mpo d e la filos o fía. L a
posició n de los invest iga do res d e l a e xp eri en cia e xp u esta e s q ue es ta
posició n s e refi ere al punto m ed io en t re el p ens ami ent o col oni al , qu e
cr ee q ue lo s concepto s de una cul tura ( eu ropea) pueden ex p resar l a
to t alid ad de la exp er i en cia humana , y e l extr em o op uesto , qu e cree
que es t o no es p osi ble, p o r la f alta d e comun icaci ó n e n tre di f er ent es
cu lt u ra s, p or lo que están c on d en ad o s al s ol ipsi sm o o
in co muni ca ci ón.
En defin iti v a, lo s a uto res de la experiencia pr op onen un camino
para el diál ogo interc ul tur al en co nd icion e s de rel at iv a igua lda d: la
cu lt u ra más po derosa de be da r es pacio a o t ra s p ara q ue se e xp resen.
Se nec esita un esf u erz o con st a nt e pa r a act u ar y e ducar
dec ol on i alm ente y para re so lve r algu no s ace rt ijos t eóricos y prác ti co s
en la p rácti ca . No deb e ser u n p ro b lem a t radu cir ciertas prácticas
tr adi cio na les a térm inos m a tem át icos a menos que tal traducció n l as
ex pli que o in cluya com pl etamen te . Es sólo una trad ucción, un a
posible i n terpr et a ci ón, n o una completa ap ropiación o int erpre tac ión
de l o o bs erva do; se ve d e sd e un pu nto de v ista (et no mat em át i co) sin
re duc irlo co mpl etamente a el la.
En c uan to a su u ti lid a d p ed ag ó gi ca e n l a en s eñanza de l as
ma t emát i ca s es co lares , se as um e u na persp ectiv a freire ana. F rei re
(1 970 ) afir ma que l a ed u ca ción debe pa rtir de l a experien cia co t idi an a
del alum no para que sea signi fi c ati va . L os saberes escol are s deb en
poder con ect ar s e co n los sab er es previo s y el c ont exto e x istencial y
vivenci al del alum no .
A t rav és de su m ét odo de post-alfa betizac ión, e l autor br asil eño
demos tró q u e c om bi n ar el conoc imien to c otidian o con el co n ocimien to
es col a r fo rm al es ú til p edagó gi c am en t e, que es el obje t ivo d e la
práct ica e tnom at emáti ca en l as aul as. R es pon di endo a las obj e cio nes
Pág. 44
de Pai s (2013) , s e puede afir mar que e n el c ontext o transc ult ur al e n
el q ue se reali z ó la e xp e rienc i a, las e t nomat emáti cas se p re senta n
co mo un i ns t ru ment o út il y u n m arco teór ico epistémico y ped ag ógic o
ad e cu ad o . A l ex plor ar con los es tudi antes l os pos ibles co nt a ctos e ntre
la s mate máticas esco l ares y académ icas por un l a do y las prá ct icas y
co nocimi en tos d e su c om unid ad po r el o t ro , s e prom ueven la
as imilac ión del cono cim ien to matem átic o.
2.2.3 Metodología empleada en la experiencia
Esta se cc i ón s e refie re a la m et odolo g ía u tilizada pa ra f orm ular
y proba r la h ipótesis e specífic a qu e es tá est r echam e nt e relacion ad a
co n la p rácti c a d o ce nt e. Es to e s p arte de una pr áct ica et no ma tem át ica
tí pica, exp ue st a p or D'Amb ro si o que co ns ist e en lo si gui en t e:
Miran do la s pr ác ti cas de difere ntes pueblos , no
nec es ariament e indíg enas, tengo un estudia nt e que hizo u n a tesis
et no matemáti c a sobre cirugía a c orazón abie rto y obse rvó. c óm o
los m éd i co s uti lizan elem e nt os mate mát icos en su prá cti c a
quirúrgi c a y al lí e nc ontró i mportant e s pue ntes m atem ático s h ac i a
cu e st io n es q ue afe ct a n a l a n a tu raleza co mo : d ec idi r cómo cos er
[. .. ]. En ton ces el m étod o de t rab aj o d e l a s et nom at e má ticas e s la
observ ac ió n prácti ca de g ru po s dif erenc iados d e la na tur al eza y
el int en to d e v er qué ha cen , qu e c onstruye n u n relato d e s us
práct i ca s, l ue go u n a náli s is d el dis curso . Ese se r ía el m ét odo de
traba jo más com ún .
La m et o dologí a del tra bajó consisti ó en seguir l as p rácti c as
tradi cio na l es d el pue bl o K ai n gan g. P er o de bi do a una r ela ci ón
diar i a con los e stu diantes i nd í genas
5
existe un a r etro ali men ta ci ón
5 L o s e st u di a n t e s d e l a s L i c en c i a t u r a s I n t e r c u l t u r a l e s I n d í g e n a s s o n f o r m a d o s p a ra
s e r p r of e s o r e s e n su s c o m u n i d a d e s ( p u e b l o K ai n g a n g ) , y vi v e n e n l a s Ti e r r a s
I n d í g e n a s d e m ar c a d a s o e n p ro c e s o d e de m a r c a c i ó n d e l O e s t e d e S a n t a C a t a r i na .
A l g u n o s t r a b a j a n co m o pr o f e s o r e s en l a s es c u e l a s d e su s c o m u n i d a d e s p u e s t o q u e
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co nstant e sobre est a s i d ea s. También s e reali z ar on en trev ist as
cu a li tat ivas fo rm ale s para recoger opiniones sobre el t rabajo d el
grupo .
Ot ro as p ec to metodol ógi co im po rta nt e es que el e quip o y
los autore s de esta experienc ia i nc l uyen u n mi e mb ro de la
co mun ida d, do ctora do en l ing üística, e xp e rt o en kaingang y
hablante nativo. Ofreci endo la opo rtu nidad de ob tener un a
opini ón cua l ificada sobr e l a v a lidez o no d e las hi pót esi s, y
ac ced er di rectament e a la opin ió n d e lo s may o r es , alg uno s d e l os
cu a les pert enecen a l a f amili a del inve stigador.
Proba r l a hi p ót es i s d es de las pers pe ct iv as de los miembros
de la comunid ad , e st u di an t es, doc entes-i n vesti ga dor es y padr es
de famil ia es una de las p rácti c as metod oló gi cas qu e se
co nsider an impo rta nt es. S e enco ntrar on pocos trabajo
sig ni fic ativ o s so bre l a e xis t enci a d e su pue stos relaci ona dos co n
sistemas d e paren tes co es pe cí f icos, e tnoma t em áti cas y ló gi ca
fo rma l.
Ha sta ha ce poco ti e mpo , los sist em as d e pa r en te s co e ran el
princip al int er és de l a an tro pología. S u tratami e nto a menud o
utiliza e cuacion es de gén er o que form al iza n si s t em as
ru dim entari os de o rg an iza ci ón m ás an ti g uos . S in e m bargo, e sa
fo rma liz ac ión no utiliza l a lógic a fo rm al , sino que es
sim pl emente u na fo rma de ex p resar m ás f áci lme nt e sis t em as
co mplejo s d e rel a ci ones. Es c ier to qu e la am bi c ión de la
an tr o pol og ía es t ru ct u ra lis ta er a usar l as ci e ncias form al es para
ab o rd ar su ob j eto de inve s ti g ac ión, pe ro los int en tos d e ha cerlo
han encont r ado e norm es críticas .
Un p re ce den t e impor t an t e pa ra este estu di o es el t ra baj o
cr ítico d e Rey noso ( 19 91) , qu e pr e se nta fuert es ra zo n es lógi c as
para de sc onfia r d e Lévi- St raus. E n es encia, s u arg u mento es para
mo str ar cómo lo s co nceptos de l as cie n cias f o rm al es apli cad os
p u e d e n h a c e r l o c u an do n o h a y u n p r of e s o r i n d í g e n a y a f o r m a d o e n e l á r e a q u e o c u p e
e l c arg o .
Pág. 46
por Lévi-St rauss y sus dis cí pulos son ma l ut ili zad os y su
sig ni fic ad o d ifiere c l arament e d el de las c ien ci as fo rm al e s y
ca re ce de p recisi ón l ó gica y es t ricta. R ey noso i n cluso ref uta el
int en to de ax iom ati za r e l sistem a d e pare nt esc o de Career co n
es te a rgum en to.
En est e tra bajo, se encont ró ot ro p re ced ent e e n Le a (20 04)
en l a aplica ción del sistem a de paren t esco lógi co f ormal en
es tudio s etno mat em áti cos . Donde se an ali z an las rel aci on e s de
parentes co triá dicas del pue blo M ẽbe ng ô kr e utili z ando un a
ec u ac ión lógi co -m at e mát i ca . Sin e mbargo , a di fer en cia de e sta
ex p er ien cia, aq uella se apoya m ás en los an ál isis e structur al i stas
cr itica dos por Reynos o. Result a l óg ico pe ns ar qu e apoyars e e n
las etn oma tem át icas y m an t ene r el r igo r d el a n álisi s lógico
perm i te supera r l as obj ec ion es de Rey noso y l e da ci e rt a
sin gulari d ad al trabajo e x pu es t o.
2.3 Sociedad Kaingang
Los K ai ngang fo rm a n la so ci edad Jê más grande d el su r de Brasi l,
tam bi én llamada Jê m eridi on ale s. A lgu no s e stu di oso s l as con si d er an
sociedad es dialéctica s , c ar a ct eri zadas p or el d es arrol lo de arr eglos so ci a les
bas ad os en u n a di visión bási ca e nt re dos gru po s, no sotro s y otros. Est a
div is ión e n dos es m anten ida p or una c osm ovi si ón qu e as um e que t odo el
uni verso está d ivi di do en dos catego rías .
La so cie dad Kaing ang est á o rganizada en t orn o al par d e opuesto s
Kam ẽ/ K an hru , qu e re g ul an el p arentesc o, presc ri ben l a exo gamia y proh íb en
la endogami a. K amẽ está aso ci ado co n el so l, l a resi ste ncia, la const ancia,
la durez a, l os lugares b ajos y lo s obj eto s larg os. Kaĩr u está a sociado con la
lun a, el ro c ío , la h umedad, el movimi ent o, l a agi li d ad , lo s lug ares a l tos y
los o bjetos b aj os y redondo s.
La u nid ad e s la suma d e es tos p rincip i os. Un p ar binar i o es t á
re p resentado po r s ignos o pint ur as corporales que son gráfi c am ente
Pág. 47
similare s a cero y uno. Tam bi én expresan intuiciones geo m étr ic o -
mat emáticas , po rque el s ímbol o d e l a l íne a ve rti cal represen t a a Kamẽ, est á
agr andad o y de colo r n egro: I (rá té j o rá jo j); y un p unto redondo sue l e
re p resentar a Kanhr u en rojo: • (rá ro r o r á kutu ). Ten er do s partes de cl an
sig ni fic a que solo hay dos variables (un caso es Ka m ẽ o Kanh ru ) y cada
varia ble tie n e do s va lor es p osi bl es, m as c ul ino o fem enino. Esta si mplic idad
fa cil ita l a a pro xi mación a un sistema de parentesco con lóg ica d e
pre di cad os.
2.4 Las pruebas lógi cas
2.4.1 Axiomas en el c álculo de parentesc os
La estr ate gi a p ara p r oponer una p rueba f orm al fue l a s igui ente:
Formu lar los ax iomas, es decir. las nor m as bá si c as que rig en el
parentes co . Entonc es , de los princip io s pr es en t ados, se de ri va
el razonamient o del a nciano.
Expr esar axiomas y r az on a mi entos en es pañol, kai nga ng y el
le ng uaje formal d e l a l ógica d e p redi c ados . Es t o ú ltimo no s
perm i te h a ce r una pr u eba formal d e l a valid ez del r azonami ent o.
Es i mpo rtan te aclara r que e st a es t r ad i cion al m ent e un a cu ltura
ág rafa, por lo que la r ecit ac ió n de las re gl a s d e paren tesco n o s e h ac e
por es cri to . Algun os ti e nen un a ex pre si ón cla ra y ot ros están
im pl í cit os porqu e se c onside ran o bv ios. P or ejemplo, est á claro qu e
el m atrimoni o e s ent re p erso nas d e cla nes op ue st os . P e ro s e en ti e nd e
que es e ntr e u n ho mbre y una muj er, y los pa dres y l os hi j os no pu e de n
casarse.
La fue nt e p rin cipa l de es tas reglas f ue ro n l os pa dr es qu e
visi t aron la es cu ela. S in em barg o, estos son pr in ci p io s c onoci d os por
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to da la comu n id ad, inc lui do s l os es t udiante s de la e x pe rie nci a,
quienes también fuer o n una fuente de i nform a ción important e. Ant e s
de l a axiom at izac ión, se deben h acer al gunas aclaracio n es en l as
categorías K amẽ y Kanhr u . C omo señ al amo s an tes, t ien en usos
versátil es y pr o pi edades polisé mi c as .
Si n emb argo , el s istema de paren tesco y las reg l as d e
pert e nen cia a la h ora d e establec er l as re lac iones f uncio nan co mo u n
cálculo a bs tract o. E n o t ra s p al a br as , l os ras gos p olisé mi c os son
ab stractos p orqu e s on ra sg os i nn ecesa rios para det er min ar l a a finida d
en tr e in divid uos. Pa ra expl icar por qué su ni eto es K anhru, el ancian o
no habl ó de su relaci ón co n la hum ed ad , la agilida d o l a lu n a, sino
que se re firió de ma n er a abst racta (es d e ci r, ign or an do o abst r ay en d o
otros s ig n ificados ) a las regla s d el m at rim on io y l a h erencia .
Estas regla s n o s on inequív o ca s, p e ro a di f erencia d e ot ros
signi fi c ad os p o si bles (á gi l, humed ad, relació n co n e l s ol o l a lu na,
et c.), est án bi en de f in i da s. Es m uy comú n el uso d e palabras e n
al gu nos c asos c on un s igni f ica do bie n definid o y e n o tro s con u n
signi fi c ad o ambig uo. Por e j em plo, e n la ora ción -e sa ni ña es igu al a
mi h erma na - el signific ado de l a p alabra i gu al e s im pre ci s o y ambigu o,
no s ignifica ide nti da d co mp let a, sin o sól o simili tud fís i ca o de
cará cter, que suele convert ir s e en reconocim ient o subj et iv o .
Por ot ro lado, cu and o en u na clase d e m at emá tic as se di c e que
dos más dos so n cuatro, l a p al a bra igu al ti en e un sig nificado p recis o
y b ien d efin ido: d os co njunt os de do s el e me ntos ti enen e l mismo
núm ero de e le m en tos qu e cua tro. La m ism a pal ab ra tien e el
signi fi c ad o co rre ct o en al gu nos co ntexto s y el opue st o e n ot ros . Lo
mi smo se pu ede ver en l a s c at ego rí a s K ain ga ng declaradas.
Co mencem os con la decla ració n, en to n ce s:
Ax iomas:
Pág. 49
a) Tod as l as pers ona en e l gr up o pert enecen de form a ex clusiva
a una d e l as m ita des Kam ẽ o K an h ru. a’) K a nhg ág k ar kã ki ũ t óg
tỹ Kamẽ ketũn ĩkỹ tỹ Kan hru nỹt ĩ .
b) En las mit ades h a y tanto pers onas ma scu li n as como f em en in as .
b’) R á r ég re tag k ãk i ũ tỹ g ré nỹ tĩ ke m ũn kã ũ tỹ tẽtá n ỹt ĩ g é
c) So la m ente se pued en casar individuos mas cul i n os y femen in os
pert e necientes a mitades opuest as: Kamẽ m as cu l in o co n K anhru
fe m enin o o Kanhru mas cu l in o co n K amẽ fem eni no . c’) Ũn g ré
mr é ũn tẽtá t ỹvĩn tỹ jagnẽ m ré jãgj ãg mũ, ja gnẽ ka to rá t ỹ’ ũ: ũn
gré tỹ K am ẽ tỹ ũn t ẽtá t ỹ K anh ru f i mré jẽg mũ ket ũnĩkỹ ũn g ré
tỹ Kanhru tỹ ũn tẽtá tỹ Kamẽ fi m ré jẽg mũ.
d) L os hijos unicamente per t enecen a l a mi sm a m ar c a de l padre:
si el pad re es Kamẽ s us hij os s erán Ka mẽ ; si el p ad re es Ka nhr u
su s hijos serán Kan hru . d’) Gĩr t ỹ ti panh rá hẽ rĩj mũ: t i panh
tóg t ỹ Kam ẽ nĩ n kỹ ti kr ẽ tóg tỹ Kam ẽ n ỹtĩj m ũ ; ti panh tó g tỹ
Ka nhru nĩn k ỹ t i k rẽ t ó g tỹ Kanhru nỹtĩj mũ .
e) N o p u ed en ex istir c asam i entos en tre padres e hi jos . e’) Vẽnhnỹ
pi ti kr ẽ mré j ẽgj ẽg mũ
Pro b lem a: ¿A cu ál m i tad per t enece l a nieta de l kófa?
Premis as:
1. El kóf a es Ka mẽ.
2. La ni eta es hij a d e s u hi j a (es d e suponer que s u hij a e st á
ca sada).
Ra zon amien to:
Pág. 50
3. Por los a xi omas d) y la premisa 1) es deduci bl e que si el k ófa
es Ka mẽ su hija tambi én es Kam ẽ.
4. Po r el a xi om a c) l a hi ja d el k ófa so l am ent e s e c as a co n K an h ru
ma sc ulino (p o r ser Kamẽ fem en ino).
5. Por l a p re mis a 4) y el axi om a d) l a n ieta d el k ófa e s K an hr u
(p o r se r h ija d e padre Ka nhru).
Se ob s e rv a que, ta nto el s istem a como los raz on am ient os s on
sim pl es , co he re nte s y b ien fu ndamentados . La s imples del s istema es
fu n cional para la c ultura Kain gang que , tradi cio na lment e, n o ha
des arroll a do es c rit u ra y la tr a nsmi s ión de s us reglas es or al,
ex c ep tuando el úni c o r eg istro grá fico exi ste nt e: las ma rcas qu e
id en t ifican las m itades .
2.5 El lenguaje formal en la lógica de los predicados
Par a form ali zar los axiomas y demostrar formal mente l a v ali de z del
siste ma y su r az o namient o, s e em pleó el lengu aj e de l a l ógi ca de p red icados,
porqu e ti e ne m ayor p ode r ex pr e si vo qu e l a l ógi ca p ro p os ic i onal. E st o
permi te t rab aj a r con cuanti ficado res y po r t a nt o co n clases in dividua l es,
que es l o que i nte re sa e n es ta i nvestig aci ón. Como s e dijo, la v entaj a de l
siste ma de pare ntesco K ai nga ng es que t i en e so lo do s c las es (Ka m ẽ,
Kan hr u), q ue a su vez tienen dos cl a ses más (m as culin o, fe me nin o ).
Se fo rm a liz aron como predi cad os de i ndi vi duos. La s do s p rimer as
clase s con predicados A = Kam ẽ y B = Kanhru. L as rest ant es d os s on M =
Mas culin o y F = F eme ni no. Par a un a s ol a varia ble , se ut ili zan x y z. E n las
const ant es individu ales, a ex cepció n de las variabl e s, se u ti lizan l etr as
minús cul as : a s ign if i ca Kaingan g el ma yor, b si gni fica la hi ja de l mayo r, c
sig ni fic a l a nieta del m ay or y d sig nifica e l y er no de l m ay or.
Pág. 51
Ademá s, hay cuatro pr edicad os r el a cionado s, a saber, s e r efier en a
re l acion es entre in div id uos : C = casados ; P = p ad re; H = niñ o; P' = padres
en u n senti do m ás am pl io
6
. Si bi en s e da u na i nterpr et a ci ón a l os s ign os, el
cál cu lo es puramente sintác ti co, es dec ir, el siste m a pu ede uti lizarse
ind ependiente mente del si gni ficado de sus elem entos .
Axiomas:
a) ∀ x (A(x) w B(x): s ignifica qu e t odo i ndivi duo s e da que e s o Kam ẽ
o K an hru.
b) ∀ x (M(x ) w F( x )): todo i nd ividuo se da q u e e s m a sc uli no o
fe m en ino.
c) ∀ x ∀ y {[ AM(x) . (x C y)] ↔ [BF(y) . ( y C x) ]}.{[BM(x) . (x C y )]
↔ [ AF ( y) . (y C x)] }: la pe rs ona es Kam ẽ m asc ul ino y es cas ad o si y
sol o si su es po sa es Kanhru fem enina y se e ncu ent ra casa da con él.
Es ig ual p a ra Kanh ru mascu li no .
d) ∀ x∀ y {[ AM(x) . ( x P y)] ↔ [A (y) . (y H x ) ]}.{ [BM(x ) . (x P y)] ↔
[B (y) . (y H x)]}: que la perso na sea Ka mẽ m ascul ino y padre e s
condi ció n n ec e sari a y s ufi ci e nt e p ara c onfirmar qu e su hij o/a es
Kam ẽ. Es igua l p ara Kan hru.
e)∀ x∀ y∀ z [ (x C y ).( x P z)→ (y P z) ] .[(x P ’ z) →~(x C z) ]: l os pa dres
son p ro genit ores de s us hijos y los progenitores ( con di ción es tri cta )
no se pu eden ca s ar c on su s h ij os.
Los axio mas se pu ed en expre sar, si n cuanti fic adores a fin de fac il it a r
el cá l culo:
a) (A(x) w B(x))
6 P ’ s e p u e d e r e f e r i r a l o s p a d r e s - pr o g e n i t o r e s , a t í o s , e s d e c i r, p a d r e s- m e d i a t o s y
t a m b i é n a l o s p a d r e s v i e j o s o a b u e l o s.
Pág. 52
b) (M (x ) w F (x) )
c) { [AM(x ) . ( x C y)] ↔ [BF(y) . (y C x) ]} .{[BM(x) . ( x C y )] ↔
[A F(y ) . ( y C x )]}
d) {[AM(x) . (x P y)] ↔ [ A( y) . ( y H x)]}.{[BM(x) . ( x P y )] ↔ [B(y) .
(y H x)] } e) [(x C y ).(x P z)→(y P z)].[ (x P’ z )→ ~(x C z)]
Prem is as:
1) AM( a). (a P b): e l abue lo es Kamẽ , mascul in o y padr e de su hija .
2) F( b) . (b P c).( b C d ): la h ija es mujer, m a dr e de su n i et a y e stá
cas ada.
Raz on ami en to:
3) [ AM ( x) . (x P y )] ↔ [A (y) . (y H x)]: según sim pli fi cación de
axiom a d )
4) [AM (a) . (a P b )] ↔ [ A(b ) . (b H a )]: según ejempl ifi ca ci ón
uni versal de 3)
5) A (b ) . ( b H a): eq ui v al enc ia d e 1) , 4)
6) A (b ): si mp lificación de 5)
La hi ja es Kamẽ
7) (b C d): sim plificac ión de 2 )
La hi ja est á cas ad a
8) F(b): s imp li ficaci ón de 2)
Pág. 53
La hi ja es mujer
9) [BM (x) . (x C y)] ↔ [AF (y) . (y C x )]: simp li ficación de axi om a
d)
10) [BM( d) . ( d C b) ] ↔ [ AF (b) . (b C d ) ]: ej em pli fic ación univ e rs al
de 9.
Se ap li c a l a re gla de casa miento a l a hi ja y al ye rn o d el an ciano
11 ) AF (b ) . ( b C d): co nju nción d e 6 , 7,8
12) B M(d ) . (d C b): eq uiv al encia de 1 0 ,11
El yerno del anciano resulta se r K an hru
13) [ (x C y).(x P z)→( y P z)]: por s imp lifica ci ón del axi oma e
Regla, amb os có nyu ges s on pr ogeni to res
14) [ (b C d).( b P c)]→ (d P c): eje mplif i cación universa l de 13.
15) ( b C d ).( b P c): sim pli fi c ación de 2
16) ( d P c ) Por Mod us Pon en s 14, 15
El yerno es p adre de la ni eta
17) B M(d ): simp lific a ci ón de 12)
18) B M(d ). (d P c): conju n ción de 16), 17)
El yerno re sult a s er Kanhru mas culin o y p ad re de la ni et a
19) [BM(x) . (x P y) ] ↔ [B(y ) . (y H x)] : si mpl if. axi oma d)
Por regl a d e h erencia de l p ad re si el pa dre es Kanhru los/l as hi jos / as
ser án Kanhru
Pág. 54
20) [BM(d) . ( d P c)] ↔ [B (c) . ( c H p)]: ej em pli fic ación u ni v ersal
de 19
Por apli cació n d e la regla al caso del yerno y la ni et a
21) B (c) . (c H p): por equi val encia de 1 8, 20
La ni eta resulta s er Kanhru e hij a d el ye rno
22) B (c): por simp li fic aci ón de 2 1
La ni eta resulta s er Kanhru
Es evi dente qu e l a l íne a 22, s ign ifi ca que la ni e ta d el ancia no ( c) es
Kan hr u (B ). E l ra zo n amiento r es ult a v álido f or m alment e en l a me dida qu e
cad a p as o s e justific a por un a f orma de razon am ien to vá li d a. Es de ci r, cada
nueva f ó rm ula s e log ra po r a pl ica ci ón d e formas váli das de raz on ami entos
a axiom as o a fó rm ulas o bte nidas de fo rm a justi fi cad a. Cont rasta nd o con
las demo str acion es reali z ad as en len guaje natural , esta es puram ent e
sintá cti ca, e n otras palabra s, es tri ct ame nt e formal . Por tant o, re qui ere m ás
pasos , no se pu ede sal tar n inguno en fu nción de l a sem án tic a d e los términ os
(p o r e jempl o, en l a id ea de hij a s e encuentra i mplíc ita la i nf or m ación de
que es mu jer o perte nec e a l a cl ase femenin a, c os a que no p uede d ed uci rs e
sintá cti cam en te de la re lació n H ).
Se m u es t ra que , dada un a pregunta y un conj unto predete rmi nad o de
datos de en trada (s upu es tos o ent radas ), se lo gra un a s olu ci ón de una
sec uenci a a cotad a de pasos expresa da en un lenguaj e formal y ló gic am ent e
válid a. E ste p rocedimi en to corr es pon de a l a de fi nición he cha al pr incip io
de es te capítulo. Se pu ed e p ro bar est a concl usión m ás fácilment e y si n
nec esida d de u ti lizar un l enguaje f o rmal. Y a sim ismo dem ost rar que u n
siste ma de par en t esco pu ede expre sa rse me di ant e u n algor itmo de l enguaje
de p rog ramación de m odo que c ua nd o se ing resa a lguna en tra da s e ob t iene
la salid a o r esp ue st a e spe rada. Esto fue lo hecho con Pytho n.
Es in ter es a nt e not ar qu e, aun qu e no s e r eali z aron pr u ebas de
consi st e nci a p orque están más al lá d el alc an c e de es te trabajo, el c onjunto
de axi om a s pare ce ser consist ente. A prim e ra vi sta, no pare ce posibl e cr ea r
Pág. 55
afi rm aci on es co ntrad ictorias, po r ejempl o: eres K amẽ y p uede s c asart e con
Kam ẽ. Tam bié n es int ere sante que, en este caso, ev it a r e l con fl i cto s ignifi ca
evitar las relaciones prohi bi das (espec i al mente el ince st o, o ma t rimo nios
entre pe rs ona s con sid er adas emp arentada s ).
Est o h ace una ana logía intere sante. El i nt erés de los si stemas
axiom áti cos fo rm al es por evita r l as con tradi cci on es par a q ue no se v ue lva n
tri vi ale s (en el sent ido d e que cualq uier fórmul a, i n clus o un a pro posición
y s u contrario, pu ed en probarse) es an álo go al int erés de lo s s ist emas de
par entes co p o r ev it a r relaciones p rohib idas. U na redacci ón inco rr e ct a de
las regl a s de pa re ntesco permi ti ría, po r ejempl o, que se cel ebr ar an
mat rimonios ent re personas pe rt en e cientes al mismo grupo d el clan. Esto
haría que la fil a f uer a comp let am ent e trivial , y a qu e t odas las rel a ci ones
estar ían pe rmitidas d e e st a m ane ra.
2.6 Sistema de parentesco Kaingang en Python
Ha y va ri as fo rm as de c rear sent encias ej e cut ab les en el lenguaje d e
progr am a ci ón P yth on q u e sim ulan el sis tem a d e p arentesco Kaing an g, t odas
ell as no rmalm ent e m uy senci ll as. S e eli gió u no que i lustra d e for m a se nci ll a
el ra zon am iento t ra bajado . El programa comenzar á y le pedi rá que el ija
entre K amẽ o K anhr u . Lu ego , pi d e el egir entre un h om b re y una mujer, y
parti endo d e ahí da su p rim er resu ltado : en b as e a lo s d at os int roducid os ,
dic e con q uién s e pu ede casa r.
Poste ri o rm ent e s e pide qu e al ternen en tr e hi jos , p adr es o ni etos .
Según el valo r i ng res ado e n e l p rog rama, m u es tr a a qu é clan pertene cen los
int eg rant es del gru po f amil i ar. El progr am a es muy s enci l lo y se incl uye su
código com o un simp l e ar chi vo de t ext o. B á si c am ent e, s e emplean fu n ci ones
booleanas “if...th en y el s e” es d e ci r, e xcl us ivamente oper ado re s l ógico s.
Es ob vio que el orden ado r no entiende la semánt i ca de las v ar iable s
con l as qu e s e for maliza n l a rel ac ión , si no que r ealiz a u n cá l cu lo puram ent e
fo rma l, mec án i co o sint áct ico . Da una respuesta al problema de terminar
una se cu encia ac otada de pa so s. En otr as palab r as , ut i liza un al g ori tm o. En
Pág. 56
re l ación a su finalidad pe dagóg ica en el aula, esta he rr ami ent a cu mpl ió dos
propó sitos , lo s cuales fue ro n alc an za d os s atisf act ori am ent e. El prime ro
muest ra que e l cálculo lógico p res ent ad o en el s is t em a de p arent es co t uvo
que ser tr ad ucido a un le ngu aje info rmá tico, de m an era que el prop i o
ra zonamien to d e los est udi an t es s obre l as p art es del cl an pud ie ra s er
mon it ore ad o/r ep roduc ibl e en l a comp ut ado ra. Todos p ro bar on el program a
y por lo t anto pudieron seguirlo fácilmente.
El s egund o i m plic ó co m pre nd er el c oncepto de algor itmo, no
nec esari ament e c om o al go rel a cionad o con l a computa ció n, si no como
cua lq uie r proce so l im it a do e inequí vo co p a ra r es olv er u n pr ob lem a. Lo s
algoritmos ex ist ían en l a c ult ura Kainga ng ant es de qu e s e c on o ci eran l as
computad oras.
Pág. 57
Fig ur a 1. K a i ng an g e n P h y t on
Fuent e: Santo s et al., (20 20).
2.7 Utilidad de la inve stigación etnomatemática en la
formaci ón de docentes indígenas
En est a se cción , son pr es ent ad os l os r esult a do s de e st e ex peri en ci a
en l a formación de d ocentes i nd ígenas ka ing ang en m ate mát ica s y ci enc ias .
A l o l argo del cu rso, además d e las mat erias comunes , s e ofrec en cl as e s de
etnom atemátic as a t odos los docentes de l a r egi ón, d o nd e s e in tenta
enc on tra r las p rá cti cas etn om atemát icas tr adici onales K ain gang y
re flexi ona r sobre ella s. S e t rab aj aro n con di f erent es asp ec t os de l a cultur a
(o c up aci ones, o cio , cre en cias) aport ándol es el eme ntos m atem á ti cos .
Pág. 58
En r el ación c on la h ip ótesis rel aci on ad a con el sis tem a de parentesco,
se hicieron cuatro s es ion es donde se pre se nta ro n i d eas, supuestos,
re flexi one s j unt o con lo s estudi a nt es, regis tradas y sistemat i za das en
div ersos produ ct os. Cada nueva c ateg o rí a, r ef lex ión y estu di o obli go a
pro fu ndiza r e n l a hipótesi s.
Ent re l os primeros t rabaj os de invest igación sobre l as matem áticas
implícit as s e en cuent ra l a ce st e rí a trad i cional. Est a actividad ex pr esa más
cla ramen te l as i ntu i ciones g eom ét rico-matemáti cas y sup one hab il idades
mat emáticas i mplícita s. En ese trabajo, t am bién s e hab ló s obr e l as mita des
del clan, exp r es ad as e n gr afí smos q ue a do rnan las cest as tr a di cio n ales . Si n
emb argo, d es pué s de la v isi ta y ent revis ta con kóf a, el int eré s y s e comenzó
a a naliz ar el l a do del clan des de un p un t o d e vi sta ló gi c o.
En l eccio n es sucesivas, s e p res ent aron l a re lació n del s ist ema de
cál cu lo de p arent es co Kaing ang con l os p ri n ci pio s de tercer o e xcluido,
ident ida d y cont radicción. Se anali zaro n la re lac ió n d e Jam b ré (a fin id a d de
medio cl a n por ma t ri monio o u ni ón) d esd e l a perspectiva d el álgeb ra
booleana y l as caden as l ógica s. En l a cl ase s s e pro dujo un interesante
int erc ambio y discus ión con l os alumn os sobre estos pu nto s. A p art ir d e
algunos de ellos se real i zó un á rbol g en eal óg i co po r inici at iva de los
alumn os, revelando un a rami fic ac ión de antep as ad os bin arios ent re pa res
de cl ane s (fi gu r a 2) .
Tamb ién se dis cuti ero n al gunas variacio nes ac tuales del sis t em a en
difer ent es comunidades para adap tarla s a nu ev os cont e xt os. Por ej emplo,
los que t end ían a i ncl ui r en l a com unidad a in dividuos aj enos a l os
Kaing ang, desde exi gi r un elem ent o neut ral o ind et e rmin ado hasta formula r
nueva s subcat egorí as dentro de lo s d os cl an es.
La bi f ur cación binari a fu e un pr ecedent e impo rtant e p ara l a i niciat iv a
de fo rmalizar el s is t em a d e par ent es co y exp res arlo en u n p ro g ra ma de
computad ora. L a ver si ón f in al de la i nvest iga ci ón en s e prese ntó en
diciembr e d e 20 18, c u a nd o f al tab an po cas sema nas pa ra l a fi na lización del
cur so . Se dictar on do s cl ases, u na p ara l os es tu diant es d el ár ea de
mat emáticas y cien cias naturale s, la otra, un p oco m ás s e ncill a y menos
téc ni c a, p a ra los est ud iante s d e las ot ra s área s. P os ter ior a l a
Pág. 59
pr es ent ación se di spuso de u n espac i o p ar a l a d evolu ció n d e l a
comunida d d e estudi ant es Kaing an g, con el propós ito de soc i al i zar
opi ni ones, debatir, ev a lua r e interc amb iar i d eas.
Fig ur a 2. R a mi f i c ac i ó n b i n ar i a
F uente: Santo s et al., (202 0) .
Los resu ltado s lograd os fue ro n s atisfact orios en compa ración c on el
grupo capa ci t ado en m atemát ic as p orque t ení an el conoc im ien to t écn ico
par a co mp r en der el sistem a fo rma l. Para los estudian tes de ot ro s campos ,
la compr en sió n fue m ás difícil . Sin emb argo , el tema e ra nue vo e inte r es ant e
par a ello s, y la exposi ci ón y esp ecial me n te el uso del progr ama fu e senc i ll o
e instru ct ivo .
La experienci a se e val uó co n una met od ologí a cualit ativa, p o rq ue
re s ul tó la má s ad ec uad a al conte xt o de la educa ción inter cul tur al , pu es to
que p ermit e respo nder al gun as pre gun ta s difíci les de cu antif i car.
Com pr end er el i mpa cto de l as p rácti ca s educa ti vas en etn omatem áticas es
difícil d e medir de inmediato o e n el co r to pl azo. S egú n Laka tos (1 970 ), l a
ra cio nalida d ret rosp ect iv a s e e xp res a en esta exp er i en ci a, pues como
Pág. 60
tod o p ro ceso e ducativo c omplejo, l o s resu lt a dos t am bién se v en a l arg o
pla zo .
Se hicieron varias ev a lu aci on es p ara v e ri ficar los resulta d os. P or u n
lado, s e hi zo una encu esta fo rm al d e es tudiantes de matem át icas y cienci as
pid ie ndo su opinión sobr e las etnom at emáticas y l a inves tig ación que s e
pre sent a . P o r ot ro l ado, una s erie d e di scu si on es i nfo rm al e s co n
estudian te s , algu nas de l as cual es i ncl uye n d i re ct or es d e esc uelas p ara
eva lu ar in formalmente el res ult ado del trabajo reali zado.
A conti nu aci ón , s e c ita n algunas d e l as opi niones de l os es tudian te s
consi derad as l as m á s i mpo rtant es . Se p re guntó s ob re l a i mpo rt a ncia o
utilidad de la inv estigación et nom at emáti ca r ealiz ada co mo est udiantes y/ o
doc en tes:
“C onsid e ro m uy import a nt e la in vestiga ci ó n por q ue s ugi ere una
propu es t a p ara e l des arrol lo de u n t rabaj o did ác t ico [ Se re fiere a un a
propu es t a para r elac i on ar los c on t enid o s de las l e c ci one s con los
puebl os i nd íg en as]. En el campo de las m atem áti cas, es di fíc il
co n ectar el con t enido did áct ico con la vi d a co ti diana d e l o s i n díg en as
de K ainga ng. Ta mbién proporc ion a u n mé todo c om p ara ti vo entr e los
dos [ co ntenido di dá ctico y co ti diano], por lo qu e con sidero bas tante
imp or t ante la i nvest igaci ón porque proporciona una gu í a so bre cómo
hac er b i en el t r abajo ”.
“L a p r opuesta de in v es tig ació n es bastant e import an t e, yo mi sm o ya
he uti liz ad o es tos m étodo s de in v estigació n por qu e tr abajo con marcas
tri bales [.. .] Mi i n vesti g ac ió n de T CC está rel aci on ada con l a
et nom atemáti c a, ent onc es [la i nv estigaci ón ] nos da l as pre mi s as par a
pensa r y r epensar estos cosas”.
Con re sp ect o a l a afi rmación y re co no cim iento del con oci mi ent o o ri gin al ,
otro est udiante comentó :
“E n el concepto de P aul o F r eire, es e co no cimi ento no es mayor o
me nor, ha y diferent es ti pos d e cono cimie nto, creo q ue es ne cesario
co mprend er que en el c onoci miento cotid iano Kai ngang est á la
Pág. 61
et nom atemáti c a, [s i nos recon ocemos] históric am e nt e el con ocimi ento
co mo g ru po po rt ado r, el co no cim ien to et no ma t emáti c o es muy útil en
la vida cot i dia na de l a comunid ad , p orque e st á relaciona do con l as
téc ni c as y pr ácticas es p ec ífi cas del grup o comu nitario”.
“To do conocimien to m atemáti c o es su m am ent e impo rt ant e, pero no
sol o l as matem át icas a ct u al es, sino l o q u e lo s K a in gan gs usar on en e l
pas ad o”.
Fi n al mente, c o n r especto a las d ivi si ones del clan, u n estu diant e di jo:
“[ Me si ent o] impo rt ante en el sen tid o de que no s mostr ó una ló g ica
ma t emát i cam ent e razo nable, po rq u e cua n do com paramos la t r adi ció n
cu ltu ral Kai ng an g de l as div i si ones del clan Kamẽ y Ka nhru , la lógi ca
fu n ci ona matem ática mente de forma cor recta. Ay ud ando e n una
co mprensión más didáctica de l a di nám ica de lo s ma trimo ni os
Kaing ang ”.
[… ] “Es u n a ex celen te h erramienta para ense ñar y compr ender l as
et nom atemáti c as y, con b as e en l a lóg ica, qu é mi tad d el cl an sería
según el d i agram a”.
Las r espu es t as il ust ran una valoración po si tiv a de la in v estig ación
pre sent a da y de los el eme nt os etnomatem áti cos de su c ult ur a . Así t ambién
otros dat os revelan u n a evalu ación p osi ti v a. Com o fue, e l hecho de s er
inv it ados, l os inves tigad or e s p or do s alumno s qu e tr ab aja n en la escuela
ind íg ena P aiol d e Barro d e la tierra indígena de Xap ecó. En est e sit io, los
inv estig ad ore s hi ci e ro n la pres entación del p r og rama qu e s imu la el
par entes co en s us cl ase s d e matem ática s de sec un d aria y h abla s obr e el
conoc imi ento étni co de la cul tura Kain g an g. Fue in t er esant e es cu c har l as
voc es d e una nue va ge ne ración com en ta n do el par ad igm a de s u cu ltu ra y el
sab er ci entífic o, que valora el saber d e su comunidad.
Otro f act or i mporta nte q ue h ab la de l a evalua ci ón pos iti va y l a
adopc ión del par adigma et nom atem ático es qu e l a m itad de los estu di ant es
gra du ado s decid ieron real iza r e st udi os e tnomat em áti co s d e l a cultu ra
Kaing ang pa ra s u proy ecto fi nal (TCC ). Fi n almente, otr o res ul tad o
Pág. 62
consi derad o c ualit ati vam ent e im porta nte es el relat o del dire ct or de la
esc uel a in dí gen a d e Co nd á, do nd e t raba j a como do cente uno d e l os alum nos
que el abo ró su modelo bin ar i o dicot óm ico. El di recto r se ñ aló en repeti das
oca si ones el c am bio positiv o d e est e alum no en su s clases de matemáticas,
su t rab aj o y su compro mi so co n un a escue la i nd íg en a que pre sta ate nc i ón a
la cul t ura de su com uni da d. D e es ta man era, s e in ter pr eta lo q ue F reire
(1 970 ) post ul ó: el sab er esc ola r c ob ra imp ort an cia , f us ion ándose co n l a
exp erien ci a viv encial del alumno, d eja de ser al go aj eno y opre si vo pa ra
conve rt irs e e n alg o personal y li berad or.
2.8 Conclusiones de la experienci a
En es t e capít ulo s e presentó u n a experienci a ped ag ógi ca q u e inclu yó
una in v estig ación etn om atem ática refer id a a la cult ura de los estu di ant es
del p ueblo Ka ing an g , y s e formuló una hi pótesis sob re el s istema de
par entes co qu e s e utilizó en l as clases d e l a Li cenciatura Intercult u rales d e
la “U niv ersid ade Com unitária da R egi ão de Chap e có (U no chapec ó) ”.
En p articula r, de acue rdo con la hipótesi s, s e mostró cómo el sist ema
de par ent es co ayu da a r es olv er varios probl e ma s . El si stema c rea r eg las que
permi ten di sti nguir ent re m atrim onios permi tidos y prohibi do s, p or un l ado,
y las q ue determi na n s i los nue vo s ind iv iduos p e rt enecen a los g rupo s e n
que se di vide la po bla ción origina l. E n est a se cue nci a se con st ruy e la
organi zac ión socio -fa mi liar en tre los Kai ngang. E s im porta nte a cl arar que
el he cho d e p ode r exp res ar e st o com o un algori tmo no si gni fica qu e el
siste ma de par en tes co s ea simplemente u n al gori t mo. No s e afi rm a qu e la
disti nci ón Kamẽ/ Ka nhru sea compl et am e nt e r educi bl e a un algo ri tmo .
Com o s e ha v isto, la funci ón d e las di vision es d e cl an en la regulaci ón
del p arent es c o es s ólo u na de las fu nci on es de l as categor ías p rese n tes en
la cultu ra t radicional d e to do el g ru po. Apen as s e encontró un aspecto q ue
afect aba el tema de tra bajo p ro pu est o, los in vesti gadores indag aron m ás la
sabidurí a del kainga ng. De est e as pe cto, se puede sa car con cl u si ones
int eresantes no solo sob re el pensamient o de Kain gan g, s ino tam bié n s obre
los p ropio s p la n es p a ra el pens am i en to lógic o.
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Pri me ro, la imp ortan cia de la con ti nui dad del sist em a de par ent es co
estudiad o es ba st ante o bvi a. L a i ncom pat ib ili dad si gni ficar í a, por ej em plo ,
permi tir qu e u n K am ẽ s e c ase c on otro K am ẽ o que un Kanhru se c ase co n
otro Kanhru. En otr as palabra s, pe rmit i ría cualq ui er t ipo d e relación , po r
lo q ue e l o r den pasa ría a ser co mpletam ent e t rivial, o lo q ue e s l o m is m o,
no h abría o rd e n. Así como un si stema ló gic o-m at emáti c o i n co nsi st e nt e
permi te l a derivación d e cu al qui er fórm ul a a parti r de sus a xiomas y, po r
lo tanto , p i er de todo int erés com o s istem a, un si stema d e par ent es co cuy as
re gla s p er mit en la de ri v ación d e c ualqu i er rel ación n o tie ne senti do .
Una pr eg unta que ha surgid o ante esta an al ogí a es c ómo n o se n otó
ant es est a similitud. D e hecho , se pudo c om probar q ue est a an al ogí a entre
par entes co y pensamie nt o mat emáti co se o bs erv aba desde d ist intas m atrice s
epist emológicas, u n ej e mp lo sobre ést o se encu entra en el li bro
In tro duc ci ón a la fil os o fí a mat em áti ca (195 6), Ber tr and Rus sell presenta
las i dea s t écnic as y co mpl ej a s pre sen tadas en obras co mo lo s f am oso s
“Princip ia Matem at hic a”, dirigi das exc l usivamente a esp eci alist as e n la
mat eria. Est e t ra ba j o ti ene m uchos ejempl os y explicac i on es s obr e las
re l acion es famil iares o de pa ren tes co pa ra ex pli car de form a didá ct ica
re l acion es y co n cepto s lógi co -m ate m át icos.
Por eje mp lo, cuand o ex pli ca qu é es un a re l ació n “uno a uno o
biu ní voca” en tre dos conju ntos, d i ce :
En re al idad, es m á s f ácil d eterm in ar si dos co nju ntos ti ene n el mis mo
núm ero d e elemento s, que d ete rm inar c uál p u ed e s er es te número Un
ej emplo a cl ara el pu nto. Si no hu biera polig amia o po li a nd ria en el
mu n do , es cl aro q ue el n úme ro d e hombre s viv os s erí a exa ct ame nte el
mi smo qu e el núm er o de m ujeres. N o n ec esitamos un c en so p ar a e sta r
seguros, n i ne ces it amos sabe r el n ú mero a ctu al de hom br es o mujer es .
Sabem os q ue e ste número de bería ser el mismo en ambo s conj unt os
porqu e cad a hom br e te n dría u na e sp osa y cad a mu jer ten dr í a un
ma rido. La relació n ent re un hombre y una mujer sería lo que su el e
lla marse “d e uno a u no” ( Russell, 1956).
Aún m ás clara es l a sigu ie nte a fir mació n:
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“E l concepto d e fu nci ón no d ebe lim itars e a los núm eros o us os a los
que no s t ienen a c ost umbrados los m at em á ti c os; p ued e extend ers e a
todos l os casos de r elaci ones d e un o a much os, y el "padre de x" es
una fu nción cu yo argum ento e s x , a sí como "el l ogar i tmo de x"
(R uss ell, 1956).
Del m is mo mo do, l lam a "heredit arias" a l as p ropied ad es indu cti vas d e los
núm eros natur al e s. Es cierto que n o es una o bra técnica, p ero tie ne un
carác t er in trodu ct ori o y un a f in ali dad p ed a gó gic a. En el prefa cio afirma
que su pro pósit o es: "publ i car ciert os res ul tados h asta ah ora acc esibles so l o
a aquello s q ue c on ocen el simbolismo ló gi c o, de un a manera q ue o frezc a la
menor dif icu lt ad al p rin ci piante" (R ussell, 1956). C abe s eñ alar que es t e uso
ped ag ógico de i deas c ult uralm ent e con o ci d as para i nt r oducir co nc ept os d e
comprensión m á s abstra ct os y co mplejo s es an álo go al método
etnom atemátic o uti liz ado en s u dim ensió n p ed agó gi c a.
Si n emb arg o, el u so d e gr up os m asc uli no s y fem eni nos en p aí s es
mon óg am os n o dis min uye l a v erd ad ev ide nte d e q ue se trata de g r up os cu yos
elemento s t ien en una rel ación di c ot óm i ca o bi un ív o ca. Es c laro que a lgunas
re l acion es de p ar ent esco bie n d e fi nidas (p adr e, espos o, es po s a, cónyuges ,
hij os , h erencia) sig uen e strictam ent e las d ef inic i one s y r equisit os de
impor t antes relacio nes ló gico-mat emáti cas . Tamb ién es c ier to q ue el i nt erés
de Russe ll no ten ía nad a que ver con l a i nv esti gació n e tnológic a o
antro pol óg ica . Est o es mat em ática si n int erés en la et ni cid ad.
La m at ri z ep ist emoló gic a d e las etno mat em áti cas pe rm i te ab o rdar e st as
ana lo gías d esde una pe rs p ect iv a d ifer e nt e, nuev a e in teres ant e. Esto
permi te t end er pu ent es en t re las c i enc ias fo rm ales y ca mpos de
conoc imi ento que en un princip io les par e cí a n ajenos , con excepci ón d el
uso m et a fórico o ped agó gi co.
Se p u ed e sac ar l as si gu i en tes conclu si ones sobre el uso de la e xpe riencia e
hip ót esis ped agógi ca s en l a s au las de est ud iantes d e m atemá ti c as y c ien ci as :
en el conte xt o tr anscult ural en él s e reali z ó el t rabajo, el p arad igm a d e l as
etnom atemátic as ha sido ú ti l p ara co nstru ir puent es t rans cul tur al es p ara que
el con ocimi ento escolar no quede ai slado de l contexto cult ur al y soc ial en
el que se r elaci ona. C omo se muest ra, es te p ar a di gma p edag ógi co permitió
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a l os estu di ant es integrar su cultura tr ad i ci onal co n l as matemátic as
fo rma les o escol a re s. Se consi der a muy i mportante esta rel ación p orque
permi te m os t ra r q ue el conocimi ento m at emático n o es de l to do a jen o a l a
cultu ra de lo s es tudiantes, s ino que las co n ex ion es exi st e n y q u e s e pu ed e n
traba j ar y ex pl ora r formas de cons truir e sos puen tes .
El mar co t e ór i co d e las et nom at em átic as p e rm ite estim u lar e sa
posib ili da d . Como lo demo str aron l a s resp ues tas d e los estudia nt e s
Kaing ang, la exp er i en cia resultó i mpo rt ant e y significati v a, refue rza su
autoestima com o p rof esore s i ndíge nas y el o rgullo de p ertenecer a su
cultu ra y com un ida d. El h ech o si gni fi cat ivo de l as invita ciones a l as
esc uel as i ndí gen as d e n ivel m edio en do nde a lgun os e stu di ante s y a eje rcen
como profesor es y co nversar co n las ge ner acion es m ás jóvenes so b re est as
tem áti cas, po si blemente ge ne re nuevas inv est ig aci on e s y p ub lica ciones .
Demos trando cómo el pa rad ig ma epi st é mi co y pe dagógi co de la
etnom atemátic a a bre u n amplio abanico de pos ibili dades.
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Capítulo 3
Perspectivas en etnomatemáticas
La enseñ an za d e c on t enidos mat emáti cos h a sido tra di ciona l men te el
re s ul tad o de un c onjunto de t ar eas o rden ada s en u n a se cue ncia crono ló gica
lin eal, sin rel ac ión con l a vi da cotid iana d e l os est ud i an te s . Lo an terior es
un p unt o de pa rtida p ara a mp li ar l as po sibilida des de dis cusi ón qu e l a
comunida d ci en tífic a d ebe ut ili zar para c on sid er a r l a p ers pe ct iva d e l as
etnom atemátic as, re spetan do l a d ive rs ida d so ci al d e los m i em bros d e los
difer ent es g ru pos cul tur ales y g ar ant izando la comp rensi ón d e la s di stintas
fo rma s de des arrol lo de mat em á ti c as basadas en el di álogo y el r es p et o
mut uo .
La s im ple ide nti ficac ión de p ueb lo s in dí g en as p rac ti cant es de l as
mat emáticas en div ers os archi vos a cad émi cos o pu bl ica cio ne s, tan to
nac io nal es c om o interna ci onales, no camb ia l a per spect iva eur ocént ri c a
desde l a q ue s e abord ab an l as m atemá tic as. Para co mpre n der el desa rroll o
de l as etn om atemá ti c as com o progra m a, es n ecesa ri o considerar su s
per sp ectivas a ctual es y fu tur as y an al izar sus m et a s, objet ivos y sup uest os
sobre la promo ció n d e l a ética, el res pe t o, la sol id ari dad y la coo pera ción
int ercul tu r al . S in em b argo, tam bi én es im portante cons idera r l os difer en t es
con cept os pr es entad os e n matemátic as. Ros a y O rey (2 00 5) enten d ieron l as
mat emáticas como un a form a d e pensar que s e desarrolló en Grecia hac e
apr oximadamen te 250 0 a ño s y s e c onvir ti ó en su s fo rm as actual es en Europa
dur ante la Ed ad Media y el R ena cimient o .
De m an er a similar, ot ros sist em as cultur al es tam bién bus caron
des arrollar s us propi as artes, técnicas o mét o dos de e xplicación y
comprensión que afe ctaron a dive rs os e nto rn os: n atural, so cial, económ i co ,
pol ít ico , p rofét ico y mis ti cismo o rie nt ad o a o bjeti vos. d e s upe rv ive nci a y
trasc end encia. En particula r, muchas de esta s t écn ic as d epe nd en d e
pro cesos como conta r, medir, cla sificar, org an iza r, in f erir y mode lar que
pre servan el conocim iento ances tral.
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Po r lo t anto, a lo l argo de l a his to r ia , la inv es ti g aci ón h a s id o y sig ue
siendo l a p rin ci p al mot iva ci ón de los mi e mbros de di fer entes grupos
cultu ral es p ara c re ar cu erpos d e conocimi ento q ue h an sido llamados
re ligión , arte, fi lo sof ía y cienci a. Estos g ru pos disti nt ivos es tán formados
por miembros que c o mp art en r as gos comunes y di sti nti vo s: como l a j e rga ,
las r eg las d e con du cta, l as e sp e ranzas, l os mi edos , el idi oma y la cult u ra
en su senti do más a mplio, todos los cu ales s on car ac t er ís ticas imp or t antes
de la s etn omate máticas. Por ot ra parte, es i nnegable el car áct er pr oféti c o
del caso g ri e go en la a nti gü edad, y los proc es os d e comprensi ón d e los
poder es di vi nos se llev a ro n a c ab o m ed i ante técni cas aprendidas en Egip t o,
Babil oni a y otras partes del m un do; como l a s regla s de contar, j era rquiza r,
medir y razon ar que com petían con las p rá ct i cas orac ul a re s.
Estas artes o t écnicas ten ían varios nombres , com o geom etría,
aritméti c a y ars mag na, dond e l as pal ab ras matem áti cas y et no m at em áticas
no se usaban e n el contexto dado pa ra des cr ib ir t al es práct i cas. Ta mbién
está cla ro que l os mi embro s d e di f er entes g rupos cultu ral es entran en
contacto en tre s í y provo can camb ios cult u rales in evitab l es; p o rq u e est as
din ám i cas cult urales co ndu ce n a vari aci on es i nt ens as y repet idas en el art e,
las t écnicas y las m ani f estaciones d el c om p ortamien to i ntelectual,
inclu yen do, por supuesto, los procedim ientos etn omatem áti cos .
Com o r esult ado d e lo an terio r, la ap lic ación de co n cept os
etnom atemátic os ofr ece u na opo rtunidad p a ra estudi ar l os s is t em as d e
conoc imi ento lo cale s y propo rciona una visión gener al de las f o rm as de l as
mat emáticas utili za das en d ifere nt es co nt e xt os y gru pos cult u ra l es
parti cul ares. Este en foq ue pedag ógi co, que un e l a divers id ad de las
mat emáticas , est á mejor re presentado por el p roc eso de trad u c ción y
pro cesamiento de p roblemas y pr eg u nt as tomados de los fenómen os
cotid i an os . P a r a com prend e r la ev ol uci ón d e l as etno ma t emáti c as com o
progr am a del p asa do al f ut uro, es ne ces ario dis cutir su presente y futuro y
ana li z ar sus metas, o bjeti vos y supu es tos sobre ética , re sp eto a la
solid arida d y promoc ión de l a coo per ac ión . e nt re cu ltu ras.
Es im portante mo strar que las et nomatem áti cas in cluyen l as ide as ,
per sp ectivas y práctic as matem áti ca s de in di vid uo s en d i fe rente s c ulturas y
que est as i deas s e manifies tan y co munica n d e di f erent es m anera s. P or l o
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tanto , el des arr ollo d e l as etnomat em áti cas deb e docu menta rs e co mo parte
del es tud io del des arr ol l o ci ent íf i co de las ideas y prác ti c as mat em á ti c as
por parte de representant es de dife rente s g rupos cult urale s. Por lo t anto, es
impor t ante comprende r cu e st ion es rela cio nadas con l as et nom atemáti c as y
sus s ei s dim ens io nes ; así c omo d ife rentes enf oques p edagó gicos q u e tratan
tem as de p ed ag ogí a cult u ralm e nt e si gn ifi cativ a, e nf oq u es inn ov adores y el
pap el de e s e pr ogr am a en l a educación m at emática.
3.1 Dimensiones de las etnomatemáticas
En l as ú lti mas tres dé cad as, han prolifer ad o una gra n c ant ida d de
inv estig ac ion es e n et nom at emátic as des arroll ad as p or un g r an núm er o de
inv estig ad ore s en L ati noamérica. L as etnomat em áti cas s on la
re p resentación d e una me to dol o gí a de i n ve st i gació n y t am bién p ara el
aná li sis de l os proce sos q ue t ra ns miten , d ifu nd en e insti tu cional i zan los
conoc imi entos mat em áti cos (i deas, proce sos y p rá cti cas) ori ginad os a part i r
de grupo s cult ur ale s diferenciad os, así co mo de contextos divers os a l o
largo de la histo ri a.
Est e c on t exto p er mi t ió el des arrollo de sei s i m port a nt es dim en siones
del P ro g rama de Et nomatemáti c as : c og nit ivo, con ceptual , e du c ativo,
epist emológico, hist órico y polít ico como fu e p ro pu esto or i gi nal mente por
D'Ambrosio (2 006 ). Es tas dim e nsiones están rel a ci ona da s en tre sí y s us
obj et ivos permiten a naliza r l as r aí ces so cio cultu ral es del con ocim i en to
mat emático.
3.1.1 La dimensión cogni tiva
Re f er ida a l a adqui s ición , acum ul ac i ón y d is tr i bu c ión d el
co nocimi en to mat em át i co a t rav és de las g ener aci on es. En es t a
dimensión se e nt ien den l os pro c edimientos mat emát icos: comparar,
cl as i ficar, c ua nti ficar, m edir, ex plicar, g eneraliz ar, modeli z ar y
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ev a lu ar, com o f enómen os soci al es, cultu ral es o a nt ropol óg i cos qu e se
des en ca denan en el des a rrol lo de si s tem as de co noc imiento m ás
co mplejo s, c reados p or los miembros de g ru pos cultu ral es
difer en ciad os . Por lo tanto , n o e s p osible ev al u ar el des arrollo d e las
cap ac ida des cognitivas a i sl a ndo l os c onte xtos soci al e s, culturales,
eco nómi cos, a mb i en tal es y polí ti co s.
3.1.2 La dimensión conceptual
El diario d ev eni r bri nda a lo s mie mb r os d e g ru po s cultu rales
difer en ciad os diversa s o p ortunidad es pa ra re spond er a p re gu nt as
ex is t en cial es p or me dio de l a cr e ac ión de pr ocedimientos, p ráctica s,
mé t odos y t eo rí a s bas ad a s en repre sentaciones de l a real id ad . Estas
acciones conf or m an el fundam e nt o p ar a el des ar r ollo del con ocimi ent o
es enc i al y p rocesos d e toma de d ec ision es . La sob re viv encia depende
de l a c on duc ta inmedia t a, r espo ndi e nd o a r utinas inher en tes al
des arroll o d e los miemb ro s d e estos gr up os y e l co n oc im ien to
ma t emát i co se o ri g in a c om o u na re spuest a inm ed iat a a l as n ecesidades
de s obre vive nci a y trascendencia.
3.1.3 La dimensión educativa
Est a dim en sión no recha za l os c on o cimient o s o
co mpo rt ami e ntos a dqu irid o s acadé micam ent e, si no q ue abraza v a lo res
hum an os com o el re speto , l a tol er ancia , l a ace ptación, el cui d ado, la
dignidad, l a hone st ida d y la paz t a nt o en l a e ns eñanz a co mo e n el
ap rendi z aje d e las m ate mát icas para hum an iza rl a s y dar l es v id a.
La et nom at emátic a c ontribuye a l fo rtalecimiento del
co nocimi en to académico e n las un iversid ad es cu and o l os es tudiant e s
co mpr enden las ideas, p rocedim i entos y práct i ca s ma tem át ica s que s e
dan en su vi d a coti d ia na; y del mismo modo, l a repr esent a ción d e
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pro ce di miento s y pr á ct i ca s m atem áticas as ociad as a la hi st o ria críti c a
puede e qu ipara rs e a l a c ol a bo ración y utili zarse con fines
hum an ita ri os y dignos . Estas so n la s id eas p r in ci p al es d el no ma t ar e n
ma t emát i ca s , tal co mo las su gi ere D' Am b rosio (2009) en su búsqu ed a
de l a pa z y l a trascendencia .
3.1.4 La dimensión epistemológ ica
Est a di m ensi ón se refi ere a l os s is tem as de co nocimie nto,
bas ad os en l as o b se rva ci on es emp í ricas d esarr ol l adas q ue permiten
co mpr ender, entender, expli car y t ratar la r e alid ad. D es de esta
perspectiva, surg en tres inter rogante s respe ct o al d es arrol lo d e
difer en t es forma s de ge neración , o rg aniz aci ón y d i fu si ó n d el
co nocimi en to matemát ico:
a) ¿ Cómo p asa r d e p rá cti cas y o bs e rv acion es a d h o c a e xperimentos
y m ét odos?
b) ¿ Cómo p asar de la e xpe ri men tació n y los métodos a l a refl exi ón y
la ab stracció n?
c) ¿ Cómo ava nzar y ori en t ar se hacia inno vacion es y t eo rías?
Estas pre gun t as g uí an las reflexi o nes sobre este d es arroll o, d e
la interacción espec í fic a y úni c a entre lo s humano s y su re ali d ad .
3.1.5 La dimensión histórica
Es n e cesa rio estud i ar la s c onexiones entre l a hi s toria de las
ma t emát i ca s y la re al idad d e lo s estudi antes en la u niversid ad. Es t a
dimensión ali enta a l os estudiantes a explo rar l a n aturalez a de l as
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ma t emát i ca s para com pre nde r cómo s e m ape a el co noc imien to
ma t emát i co en sus experienci as indiv iduales y c olecti vas.
El co nocimi e nt o co nsist e por ta nto en las diversas
in t er pr eta ci o ne s co n las qu e l a humanid ad ha anali z ad o y exp li c ad o
lo s fen óm enos m ate m át i cos a l o l argo de la h i storia. P or l o t anto, e s
nec es ar io y cohe r ente ens e ñ ar mat em áti c as en un cont ex to históri c o
para qu e lo s es t ud ia nte s compre nd a n el d es arrollo de la s d i ve rs as
co ntrib u cione s de o tra s cul tur as en el desa r ro llo co n tinuo del
co nocimi en to matemát ico.
3.1.6 La dimensión políti ca
Est a di m en si ó n t ie n e co mo obj e ti vo r ec o no ce r y r esp et ar l a
hist o ri a, l as tradicio n es y el pensamiento m at emá ti co desa rrolla do por
mi e mbros d e dif e re nt e s grupos cultur al e s, d ond e reco nocer y respe t ar
sus raí ces socioc ul t ur ale s no significa recha za r los conoci mie nt os
an c es t rale s, si no for tal e ce rlos. a t ravé s de l diá l ogo y la d i ná mi c a
cu lt u ra l .
La dimens ió n también bus ca d es arr ollar accio ne s polít icas que
oriente n a los estudi an t es en l os p roceso s d e t ransi ci ó n de
sometimi en to a l a a u to n om í a para orientarlos h aci a u n orde nami e nto
má s a mp lio de su s d er ec hos c iu da dan os .
Es im portante conocer so bre el d esarrollo d e las seis d im ension es del
progr am a d e etnoma t em áti cas p orq ue t ien en un significado peda gógico , que
a s u vez s e s ust enta en la hist ori a y fil os o fí a d e las matemát icas. E stos
esf uerzos c on tri buyen a p ro fundi z ar l os asp ect os co gniti vos , p olíti co s y
edu cativos, en tanto provocan reflexio n es so br e fo r mas de e nfren tamiento
y su perac ión , qu e pu ede n se r of recidas a los do cente s de matem á ti c as en
eje rcici o e n todas la s esc uel as.
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3.2 Enfoques pe dagógicos etnomatemáticos
La etnomatem ática en ri que ce nu evas m ate ri a s p ar a l os est u di an t es y
muest ra cóm o l as aplica ci one s m atem áti ca s s e encu en t ra n no s ol o en
muchos cam po s d e l a ci enc ia, l os negocios y l a vida c oti di ana ; p ero tambi én
par a mo s tr ar qu e ve m os l as matem ática s en la práctica cultur al en t odo e l
mun do . D es de est a p erspecti va , s on m uchos lo s i nve st i gadores
etnom atemátic os qu e comenza ro n su experi en cia c om o profesor es de
mat emáticas interes ado s en enc on tr a r ej emp l os de s u ent orn o para
utilizar los en su s c las es ; p o rque es tos ej e mp l os in f ormados
etnom atemátic ame nt e i lustr an nuevas for m as d e v er l as m atem áti c as y
contribu yen a un a m ejor comprensi ón de lo s conc ep tos, p roc ed imi entos y
usos del c ont en id o del currí cul o.
La etnoma tem át ica representa u n pro gram a d e i nvestiga ció n co n
impor t antes imp li cac ion es p edagó gic as ( D' Amb rosio , 19 85) , y aunq u e es ta
apa rente c on exión entre etn omatemát ic a y ped ag ogí a matem áti ca pa rece
inn ecesa ri a, g en eró un de bat e ent re el panel d e inv estig adore s del XIII
Con greso Matem átic o. En julio de 2016 , s e org an i zó un a capacit ación en la
Universi dad d e Hambu rgo , A lem an ia (IC ME13) ll amada TSG35: E l papel d e
las et nomat emáti ca s e n l a e du cación m atemát ica. De acu erdo con las
condi cio nes sociales, cult urales, p ol ítica s , económ icas y ed u cati v as d e e ste
mom en to histó ri co, e l Grupo Inte rn a cion al de Est udios de E tnomat em áti c as
(I SGEm) ha de fi nido cuatro c am pos pri ncipa les d e int er és:
Las mat e máti c as s on u n campo d e conoc im i ento y estu dio rel aci onal
en la cultu ra.
In v estig ación m atemát ica t rabaj ar en si tu a ci one s int erc ul turales.
Ap licaciones de las e tn omatemáti cas en el aula.
Est ud ios t eóricos, so ci oló gi c os y polític os de las etnom atemát icas.
Mucha s veces l o s r esulta dos de la i nve st igació n et nomatemática se
trasl adan direct am ent e a l aul a, lo qu e enr iqu ece el m ate ri al par a el tra bajo
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de los alum nos en las instit uci on es d e educación superior; a vec es, si n
emb argo, no se p u ed e apl ica r direct am e nt e, porq u e d epend en de la
información o bt e ni da por el inv es tig ad o r duran te el traba jo d e cam po ; p or
lo t anto, t od o p ro fes or de m at em áticas d edi cado d ebe a pr en d er de la cultu ra
de s us al um nos y ada pt a r l as mat emát ica s a los int erese s local es . En l a
medid a en q ue cada vez m ás l as pol í ticas educat ivas exige n la i n cl usión d el
traba jo et nom at emát i co en el currícul o p ar a en riquec er la diversid ad , el
apr endi z aj e mat em áti co s e convi erte en u na act iv ida d ed uca ti v a s ubv ersiva
per o res ponsa bl e o d e s um isi ón cr eat iva.
3.2.1 Implicaci ones educativas de las etnomatemáticas
Al exa mi n ar la s impli cacion es educativ as de l as
et no matemáti cas, es ú til record ar l a i nv e st ig ación sob re e l ap r en dizaje
en s it u ac i ones e xt r ae sc ola res y cóm o esto puede ayudar e n la
ped agogía de la ed ucación matemát ica. Los ejem plos p ue d en inclu ir
tr adi cio ne s f amili a res, pa satiempos, relig ión y p rofesiones;
acti v idades rela cio na da s con l a ge og ráfica; celebr a ci ón de
an iv ersa rios y eve ntos de l a v i da; in tereses p er sonal es com o de portes,
música, arte, da n za o m an ua lid ades; ac ti v idades e i ncl us o cosas
re l ac ionadas con l a inf an cia, juegos y cu mp l ea ños .
La et nomatemáti c a ofre ce una visión m ás amp li a de l as
ma t emát i ca s q ue incluy e i deas, con cepto s, p ro cedimiento s, p ro ces os ,
mé t odos y pr áct icas cultu ral es ar r aigadas en difer entes en t ornos,
fo me ntando la m ejora de los proceso s cog n itivos, e l apr e ndizaje de
habil id ades y acti tud es en el aul a y la refl ex ión s ob re las dimensiones
so ciale s y polític a s de l a so cied ad en l a s etnom ate mát icas, p or qu e se
prefi er e la o portuni dad d e d esa rrollar en foqu es inno vadores para una
so ciedad dinám ica y “gl oca li zada”. L a gl o cali z aci ón
7
se en ti end e
co mo la re l ac ió n entre el conocim i ento lo cal y el glo b al y se r e fi e re
al e nfoq ue d ia lóg ic o de l c on o ci mient o ; d onde d ich a rel ación pued e
co nsider ars e la acel era ción e i n tensifi ca ci ón de la interacción e
7 Te r m i n o q u e s e o r i g i n a d e l o s v o c a b l o s g l o b a l + l o c a l .
Pág. 74
in t eg ra ci ó n en tre mi emb ro s d e gru p os cultu ral es diferen ciados (Ore y
y R os a, 20 15 a ).
Por lo t a nto, es necesa rio di s cu t ir en foques i n no v adores pa ra l os
tr aba jo s d e las et n om at emátic as y su s relaci one s: justic i a social,
derecho s ci vi les, e duc ación in dígena , cont extos p ro fesion ales, jue gos
y j ueg os, e l ca mp o de lo s con tex to s urb anos, rura les y ambi en tal es ,
et no -tra nsd iscipli na r i edad, et nopeda go gía, et nom et od olo g ía,
et no modela do, et nocom p ut a ción , ed u ca ci ón p úbli c a, ed uca ció n
voc ac ional , uso co ti di an o de las mate máti ca s, m atem ática s
co m erciales y m ate mát i ca s p ar a ingenieros y cient íficos .
3.3 Enfoques innovadores en etnomatemáticas
Las E tn om atemátic as o fre cen una vis ió n m ás ampl ia de l as
mat emáticas que i ncluy e ideas, c once pt os, pro cedimient o s, p roc es os ,
mét od os y p rácti cas a rraigadas e n di fer ent es ent or nos c ulturales; dand o
como resultado más evid encia d e l os proce so s cogni t iv os de ntr o de las a ul a
de cl as es, las ha bi lid ad es de ap rend iza je, las ac ti t ud es y lo s pro ceso s de
apr endi z aj e dire cto. Además, con si d er ar las dimen si o nes socia l es ,
cultu ral es y política s d e l a s et nom at em á ti c as conlle va a a bo rda r o tro
asp ecto im po r ta nte d e est e pro grama, que es l a po sib il idad d e de s arrollar
mét od os ed u cati vos in no v ad ores den tro de las univ ersid ade s.
Si n emba rgo, est os enf oq u es i nn ova do r es y su s int err el a ci ones
nec esita n ser d iscutidos y de batidos para un pr og ram a etnom at emáti c o, y
su r el ación con la justi cia soci al, l os d er echos civiles, l a ed u ca ci ó n
ind íg ena , l os co ntextos pro fesio nal es, l a p rácti ca del jueg o, lo s cont ext os
urb an o y rural , l a et no tra ns dis cipli nariedad, la et nop edagogía, la
etnom eto do log ía, l a e tnomodel ación y el etn oce nso. El plan d e est udi os de
mat emáticas (Tr í v i um C u r r i c ul u m)prop u es to p or D 'Ambrosi o (1999) es un
enf oq ue importante qu e r equiere más inv es tig ació n p ara abo rdar l os
obj et ivos pe dagóg ico s; y la fo rmaci ón b ásica y con tinua d e pr ofeso res de
Pág. 75
mat emáticas en educa ción a d ist an cia, así como en l a f orm ación i nic ial de
pro feso r es a ni v el u ni v er sit ario.
3.3.1 J usticia Social
Se con si dera q ue es cada vez m ás i mport ant e e duca r a l os
es tudian tes, en señarl es s obre prob l emas de l mu n do real e i n culcarles
el d es eo d e b us c ar y t r abajar p o r esa m eta. Po r e so, es i mp ort an te
darl e s la oportu ni dad de t o mar posi c ión sob re t emas real es e
in cu l carl e s e l d eseo d e e sfo rz ars e y t r ab aj ar p or s us m etas . L os
es tudian tes que no cre en apr eci an o reco n oc e n sus raíces cu lt u rales
pueden a do ptar fácil m en t e l a cu ltu r a dom inant e sin consid erar
cr ítica m ent e lo s v al o re s d e esa cultura.
Por lo t anto, e s su mam ent e neces a ri o c on textu al i za r l as
ma t emát i ca s ; p ar a h acer es to, lo s maes tros nece sitan saber má s sobre
la s m atem áticas y el con ocimi ent o d e su co mu nidad p ara que los
es tudian tes p u ed an examinar cr í tica y re flexi v am en te s u p ropio y
único conocimi e nt o m atem át i co .
3.3.2 Etnocomputación
Exam ina l as interacciones entre las co mp uta dor as y el
co nocimi en to cultural q ue su rge d e l os m iembr os de g ru pos cultural es
part i cu l ar es . Es un ca mpo de e st udi o qu e ex amina las a pl ic aci o ne s d el
pro ce samient o d e dat os en dif er en t es e nt o rn os cul tura les y
propo rcion a un medio p ar a d esarr oll ar un enfoq ue mul ticul tu ral en la
en s eñ an za de procesa mie nt os de d a tos .
Ad em ás, p romuev e una herr am i ent a informáti ca exp re siva que
ofrece nuevas p osibilidad es para ex pl or ar l a r e lació n en tre i d entidad
y c ultur a juvenil, l a co ns t ru cci ón cul tu ral d e las m atemá t icas y la
Pág. 76
in formá t ica, y la f ormación de h ibridacio ne s cu lturale s y
te cnológ icas.
3.3.3 Etnomodelación
Prá ct i c as matem áti ca s q ue se r efier en a l as r el aci ones
num éricas q u e se en c uent ran e n la m edici ón, c l asifi ca ci ón, c onteo,
me dición , jueg os, azar, naveg ac ión, as t rono mía , mod el a do y m uchos
otros mé tod os matem át i cos u ti lizado s en la produ cci ón de ob jeto s
cu lt u ra l es , se gún Eg l as h et al. (2 006), hace posibl e d esarrolla r un a
defi nic i ón d e etnomo de lado co mo un a tr aduc ción de i deas m atemáti cas
lo cal es , que vin cul a el "etno " co n ci ertos métodos y p rácticas
re l ac ionados con e l con oci mi en to m atem átic o d es arrol lad os por
re presentante s d e di feren tes grupo s cult ura les .
Por lo t an t o, es ne cesa ri o c om enzar po r es tudiar e l co nt exto
so cial, la reali dad y l os i nt ere se s d e l os est ud iantes y ob li g ar los a
ap li c arl es va l ores ex ter no s. E n est e sen t ido, el a sp ect o princ i pa l d el
en foq ue propu es t o p or el e tn om odel ado no es s ol o re so lver p roblem as
o cr ear un a com pr en sió n s i mp le d e siste mas m a tem át i co s al t er nat ivos,
sino que t a mb i én lle va a lo s estudia nt e s a u na comprensió n m ás
pro fund a d el s i gnifi ca do y el pap el de l as matemáticas en s u socied ad
y co ntexto.
Ad em ás, la etno mo delación es un enfoque q u e permi te eva lu ar
el us o d e la s e tno ma tem át i cas y a p li car la s he rrami entas y técnicas de
la m odelac ió n matemát i ca , lo q ue permite percibi r l a r ea lidad a t ravés
de d i fe rent e s ópt i ca s, c on d uc iendo a una comprens ió n int e gr al d e l as
ma t emát i ca s mediante u n en foque ped a gó gico ad e cu ado , ya qu e
co ntextu ali za el conoci mi e nt o m at e má tico des ar r ollado localm ente e
in vesti ga fenó menos mat em át i cos en di f e re nt e s c ontexto s cultu ral es .
Un c on t exto holíst ico c r ea do p o r u n a ná l is is gene r al d e la re al ida d
perm i te a los est udiant es pa rt icipar en el proceso de m odelad o pa ra
ex plorar y c om p rend er as pe cto s y c om p on en tes de los sist em a s de la
re al i dad y su s interac cio n es .
Pág. 77
3.3.4 Tri vium Curriculum
D'Am brosi o ( 1999) propuso un c u rr ículo de matemát icas t ri viu m que
consi dera a las et nom at e máticas co mo u n importante e nfoqu e in nov ado r q ue
justi fic a una m ayor in v est ig aci ón con fi nes ped agógicos. El Triv ium
implica el estudio de va ri as con exi ones : entr e el n úm e ro (a ritmé ti c a) y el
estudio del ti empo; espacio (ge om etría ); d e n úm ero en el tiemp o (mús ica )
y de núm ero ; y es pa cio y tiempo ( astro n omía ). El cu rrí cu lo de l tri vi u m d e
mat emáticas consta d e lec toesc ri tura, m atemáti c as y t e cnol ogí a y tiene en
cue nt a el desar ro llo de actividade s esc o lares ba s adas en etnom atemáticas y
mod el ado .
3.3.5 La Literacia
Es l a c apa cidad d e l os est u di antes par a pro c es ar y utiliza r l a
información que se en cuentr a en l a vida cotidiana, apli cando t écnic as y
estra tegias de lect ura , escrit ura, cál cul o y diversos m ed ios de
comunica ci ón e Inter net .
3.3.6 La Materacia
Es l a habi lid ad d e los est udiant es para in ter pr e tar y analiz ar si gn os ,
señ al es y có dig os pa ra propo ner mod el os q u e p e rm itan e nco nt r ar s oluci ones
a los p robl e mas que en frent an todos los d ías. Proporcio na herr ami ent as
sim bó lic as y a nalít ica s par a ayu dar a los e st udi an t es a desarrol l ar la
creat ividad y compre nde r y resolv er nu evo s p ro bl em as y s ituacion es.
Pág. 78
3.3.7 La Tecnoracia
Capacid ad de los e s tudiantes p ara u ti liz ar y com bi nar div er s as
her rami e nt as te cnológi cas que ayu den a resol ver probl em as en co ntr ad os en
las activid ade s d iarias p ara eval u ar la ra ci o nalidad y co nt ext ualizaci ón de
los r es ult ados. D esde un a p er sp e ct iva etnoma tem át ica l a tec no racia es un a
carac t er ística i mport ant e d el conocim i en to c ientí fico, así como su
trans formación en art efa ct os t é cnicos: l o que puede m a ni fes tar se e n medi os
téc ni cos , t ransformad os p ar a l id iar con los en to rn os n at u ra les , socia l es ,
cultu ral es, p ol íti cos y económi co s.
3.4 Etnomatemática y formación docente a distancia
En el actual p a nor a m a d e las u ni vers i dad es e n L a tinoa mérica es
re com endabl e l a el a bo ración d e una propuest a et nomat emátic a p ara l a
fo rma ci ón bási ca y co nti nu a de doc entes de matemátic a, que se ajus te a las
exigenci as gl obales. E st os pro fesores pu eden des a rrol lar ha bi lid ad es
esp ecí fi c as para expl orar ide as y pr ácticas mat em áti ca s fuer a de los
contexto u ni ver sitar io s, a tra vés de una activi dad p ed agó gicament e
contextu ali zada asum ida desde una p e rs p ec tiv a etn omatemática .
Si n em b argo, la mayoría de los do cen tes no t ienen e st a vis ió n porque
gen eralm en t e no cue nta n c on la prepa ració n s ufi cient e p ara im plem en tar
esta ten denci a en el cur rí cu lo escol ar. P or es o e s imp or t an t e qu e el trabajo
ped ag ógico d esarroll ad o de sde un a perspe ct iva etnomatem áti ca en un
ambiente de etnoapre n di zaj e s e relacio ne adecua dam ente con la re alid ad a
travé s de situa ciones cont ex tuale s relaci onadas con el b ag a je cultu ral de
los profesi on ale s en fo rm ación. D e esta fo rma , s e h a ce nece s ario inc lui r e n
los cu rso s d e f o rmac i ón de pro fesor es d e m at emáti c as el est udio d e las
prá ct i ca s m at emáticas loca les d esd e una pe rspecti v a et nom at emátic a.
Uno d e los obj et ivos d e est e en foque es o frecer sug er enci a s p ara
implementar esta v isi ó n en l as pr ác tic as ped ag ógi cas de en señanza y
apr endi z aj e de las m at emáticas e n l a edu cación; y presentar un en fo que
Pág. 79
met od ológico basado en una p er sp ectiva e tnomatem át ica q ue pu e da
incorporar se en l a f o rm aci ón de p rof es ion al es.
3.5 Etnomatemática y formación de profesores indígenas
En el tra bajo de Gav arr et e ( 20 15) s e expone el d esarrollo y r esult ados
de in v est ig acion es co n d ocent es indí g en as que t ra b aj an en es cen arios
ind íg ena s en Costa R ica ; con un d obl e obje t o de inve st igación: la
etnom atemátic a d e tr es et nias y la fo rma ci ón de p rofesores d e
etnom atemátic a e n un mo delo trans cul tural.
La ba se t eór ic a de es t a inves ti g ación es la etnom at emá tica, la
acu lt ura ci ó n m at em áti c a y el a pr endizaje por pro yectos; y t am bié n t iene
unos fundament os em píricos qu e const a de cu at ro s ub est udios q ue co n si sten
en un di agn ósti co etnol ógi co reali zado sob re tres grupos étn icos en Costa
Ri c a. A p artir d e ell o, se el aboró u na origi nal fo rma ci ón d ocente basad a en
etnom atemátic as in díg enas pa ra quien es tr aba jan e n esos ent or nos , e n l a
que se evalu aro n l as exper ien ci as de i mpl eme nt aci ón del m en cio nad o
mod el o c on un e nfoq u e et no g ráfi co part ic ipativ o, que b ri ndó e vi den ci as de
la fo rma ci ón docente.
El mo d elo des arro llado de f orm aci ón d ocente bas ado en l as
etnom atemátic as indígen as proporci o na elem entos p ara una dis cusión s ob re
el s entid o de l a cu ltura y l a fo rm a ci ón d ocent e y la r el a ción entre el sab e r
cultu ral y el s aber matemáti co escolar, q u e es t am bié n el s egun d o o bjeti vo
de este art í culo, por qu e lle va una visi ón etno mat em át ica en las prá cticas
ped ag ógica s d esarroll ad as pa ra la form ación de d ocent es que des arrol lan e l
pro ceso de e ns e ña nza y a pr end izaje d e las mat emáticas e n gr upos
difer enci ados .
Pág. 80
3.6 La interacción polisémica en etnomate mática y pedagogía
del rol cultur al
Es necesa ri o ofr ecer un a discusi ón s ob re la importancia d e la cultu r a
en los pro gramas de fo rm aci ón d e d oce ntes en las universida des para a yud ar
a l os f uturos profesi onales a r econo ce r la con ex ión en tre el c on o cim iento
cultu ral y el currículo. Tal enfoqu e promu eve una actitu d r ef l exi va ha ci a la
uni versali d ad y c ont ex tuali z ación del c ono cimiento m atem áti co , porque el
traba jo ped agógi co d e las et no m at emáti cas pr omu ev e l a c reativid ad del
doc en te e n l a ela borac ión d el curríc ul o p ara l a en señan za y el ap r en diz aj e
de las matem át ica s, qu e se r el a ci ona c on el ent o rn o socio cul tu r al d e los
estudian te s .
El pro pó sit o g eneral d e e st a f un d am entac i ón t e ór i ca es ca pac ita r a lo s
estudian te s a tr avés d e a ctivi dades de aprendizaje qu e les ayuden a
des arrollar h abili dad es de literacia , m at eraci a y habilid ad es té cnicas,
sociales y pol íti cas que l es p er mi t an s er p arti cipant es acti v os en una
sociedad dem ocr át ica . La i nve st igaci ón cult u ra lment e rel ev a nt e en l a
ped ag ogía ex ami na la compatibili dad e nt re l os mar cos d e ref erenc ia d e
estudian te s , com un idad es e instituc io n es de ed uca ció n b ási ca , m ed ia y
superior que a su ve z c oinci den con lo s m arcos d e referenc i a c entrales.
Los pr incipios del Progr am a de Et nom atemáticas ( D'Ambro sio, 1985 )
sugieren que los p ro fes ores contextua lic en la enseñ anz a y el ap rendi zaj e de
las m at em áti cas con ectando el conteni do m a te m át ico con la s experi encias
sociocul tu r al es de sus alumno s. P or lo tant o, es fu nda mental que se
incorporen p ed agogí as cu ltura lmente r el ev ant es y div er s as p ersp ect i vas
etnom atemátic as en lo s p rogra ma s d e for mac ión docente existe nt es. Po rq u e
la i ncl us ión de aspec to s cu ltu ral es en el p ro grama d e matem áti cas ti ene
ben efici os a la rgo plaz o p ara el rendimi ento ma t em át i co de los est udi ant es ,
porqu e todos estos a s pecto s amplían la comprensión d e que l as mat emáti c as
son p arte de l a vida diaria y p erm iten profund iza r la comp rensi ón d e su
naturale za, mejoran do los lo gros matemáticos de los e studi an t es . la
cap acidad de ha c er c o nexio ne s significati vas .
Pág. 81
Com o resulta do de lo anteri or, es neces ari o proponer una di s cu si ón
sobre el si gni fi c ado cult ural de l os pr ogram as de forma ci ón docente para
ayuda r a los fut ur os pro fesor es a re conoc er el vínculo ent re el co no cim iento
cultu ral y el cur rículo m ate máti c o. Tal enfoque p ro mu e ve una a ctitud
re flexi v a s obr e l a u niv ers al idad y la contextu ali zació n d e l c ono cimient o
mat emático, p or qu e el tr abajo pedagógico etn omatemático p ro mueve l a
creat ividad d o cent e en la elabor ac ión de un c ur rí c ul o m atemátic o c oher en te
y pertin ent e al en torno so ci ocu lt ural de lo s estudi an t es .
La apl ica ci ón d e una ped ag og í a cul tur al m ente perti nente co n
per sp ectivas étnic as en las aul as pe rmit e confirmar e l t r asfo ndo cult ura l de
la h er encia étni ca de los est udi an tes e i nvolucrar a los d oce nt es e n las
prá ct i ca s doc ent es cotidi anas. C on bas e en es te en foque , se priori z a el
empodera mi ent o d e l os es tud iante s e n l os ám bi t os intelec tu al, so cial,
afect ivo y polít ico q ue incid en en su re ali d ad y s u c on t exto soci al, c ultural
e hist ór i co , porque po sib ilita la trans f er encia de co noc imi entos y
habil ida des aca dé mic as y favor ece el camb io d e a ctitu d d e los e stu dia nt es
hac ia la ense ñan za ac adémica de las mat emá ticas.
To da i nve st iga ció n cu ltu ralment e significati v a en pe da gogía i nvest iga
la compa tib il idad e nt re los ma rcos de referencia de estud ia ntes,
comunida des y esc uel as , lo que a su v ez se aline a c on lo s pri nci pi os básic os
del p rog ra m a de etnoma tem áticas, sugirien do l a co nt e xt ualiza ci ón de la
ens eñ anz a y el apr endiz aj e d e l as m a tem át i cas (po r p ar t e de lo s pro fesores)
y l a cor re l ació n del contenid o de la s matem áti cas con los antec edent es y
las expe ri enc ias s oc i ocul turales de sus alumnos.
Par a es t e propó si to, se h a vuelto nece sario integra r pe da gog ías
cultu ral mente releva ntes y d if erentes per sp ectivas et nomat emá ticas en los
progr am a s de forma ción doc en te existe ntes. L a ap lica ción d e pe dag og í as
cultu ral mente relevantes y pe rsp ecti vas etnoc én tri ca s rela ci ona d as en l as
aul as p ermit e l a valid aci ón e i n cl usi ón d e l os ante ced en tes cultu ral es d e
la her encia étn ica de l os est ud i antes y los int ereses actuales en las p rácti c as
doc en tes diarias d e los doce ntes.
Es importante prom ove r u n enfoque s oci oc ul tural en el cu rrículo de
mat emáticas par a luch ar con tra la d escont ex tualizac ión d el cur rícul o
Pág. 82
deriv ada de un p un to de vi s ta mo noc ul tur al , que in dubitablem e nt e f avo rece
el em poderami ento d e los est ud iantes y afe ct a su re alidad. Por lo tant o , el
des afío de est e enfoque es supe rar el e t no c entrism o y enriqu ecer el p ro ces o
de en señanza y ap re ndi zaj e de las mat em áti c as m ed i an te la i nc o rpora ci ón
de etn om atemáticas y p edago gí as cul tu ralmente rel ev ant es en l os programas
de fo rm a ci ón doc ente.
3.7 Comentarios finales
La et nom atemát ic a u til i za l a s e xp er i enci as y prá cticas s oci ocul turale s
de lo s est ud ian tes , sus com unidades y l a so cie da d en general, y l as u tiliza
no s olo com o he rram i entas p ar a hac er que el apren dizaj e de l as m ate mátic as
sea m ás si gni fic at iv o y úti l, sin o tam bi én pa ra d ar a lo s est udi an tes u n
senti do d e conocimi ento matem át i co úti l incorpor ad o en difere ntes
ambientes. Lo s currí culos deben refl ejar el aprendiz aje int e rn o, so ci a l y
cultu ral de los estudiant es, y los m aest r os debe n re cibir ap oyo mi entra s s e
pre paran p ara lidi ar co n t al es di fer encias p ara p rom ov er cambi os
impor t antes en l a e d uca ci ón m atemátic a, d onde su obj et ivo pri ncipal es
promover la ig u al dad entre los estudia nt e s dánd ol e s la o p or tunidad d e
explorar l as matemát ica s d es de difer en t es pe rs pecti vas .
Por ot ro lado, se deben in cr eme nt a r l os es fuerzos r el aci onado s con la
inv estig ac ión étnica y su papel en la ed uca ci ón p a ra promover un currí cu lo
bas ad o en el respe to, la tol erancia y la ig u aldad . También s e de be ale nta r a
cam bi a r la com prensi ón ac tual d e la rel ación en tre la cultura y las
mat emáticas p ara enfat i zar el traba jo et nomat emático . Desde esta
per sp ectiva, s e pr omu ev e una mejor com pr ens ión d e lo s asp ectos
mat emáticos de l a cu ltu ra y se fomenta la acti vi d ad p ed ag ó gi c a, mostr and o
cómo l as i d ea s, l os p ro ced im ien tos y las pr ácticas matemát icas ju egan u n
pap el ce nt r al en e l des a rr ol lo personal.
Que da muc ha inv es tig aci ón p a ra pro fundizar en l a c omp rensi ón d e l as
etnom atemátic as, y en este s entid o se neces it a algún t ipo de clasifica ci ón
de l a inves ti gac ión p ara b eneficiars e de l as con trib u cio nes d e los p roy e ct os
re ali zad os en divers as partes d el mund o, que sat isfa ce n la
Pág. 83
con cept u al iza ci ón de l as etn omatem átic as y q u e c on tri buyen al aún limi t ado
conoc imi ento de estos conceptos .
Las c at eg o rí as q u e nos p ermi t en sintet iza r i nvestiga cio nes
etnom atemátic as rel evant es es tán r elacio nadas c on:
Am bient e s cultural men te di v er so s.
De s arrol lo cu rri cu lar.
Ap licaciones fue ra d e l a m at e ri a.
Fun damento s conc ep tuales, teóricos y filos ófico s.
Es im por ta nte r esalt a r que e st e c on cepción se en cuent r a rel aci on ado
con el progr am a de in vesti gación de la hi storia de las m atemát icas, qu e a
su vez es t á rel a ci ona do con la con ceptuali zació n de las etnoma t em át icas,
pues co nsi de ra las di nám icas cultu ral es q u e si n du d a su by a cen en el
des arrollo de los p roc es os, y s it úa la h istoria d e l as m ate mát icas en un
mar co te ór i co más amp li o y un a perspect iva hist órica gene ral .
En m at emáticas , e sto si gni fica estu di ar y re co noc er p rá cticas
pre coloniales a travé s de monument os, ar tefactos , documentos y p rácticas
pre servadas en com un idades co n fu er tes raí ce s cu lt urales. E s ne cesario
ampli ar e l debate sob r e l as p osibi lid ades de in cl uir pe r sp e ct ivas
etnom atemátic as que res pet en y de n v oz a l a diversid ad soci al y cultu ral de
los m iembr os de d ifere nt es grupos cult urales y así d esa rroll ar la
comprensión de su s di fer en cia s a tra vé s de l d iálog o, el d ebate y el r esp et o
busca ndo la p az .
Cabe rec al car que el plan a ctual d el p ro g rama de Etnomate mát i ca s es
conti nua r su tray ect ori a p ro g re si v a p ar a prom o ve r el logr o de la just i cia
social, l a pa z y l a di gni dad h umana p ara t odo s. En e st e capít ul o, s e
expus ieron alg un as i deas b ás i cas q ue pue den d ar u na com prensión más cl ara
de l as e tnomatem át ic a s como un camp o de inv es tig aci ón en l a activ id ad
ped ag ogía cu ltu ral; así como su a ge n da a ct u al, d iscut iendo e nfoqu es
Pág. 84
inn ov ado res, co nt ribucion es a la form ació n d ocent e y su p a pel en la
edu cació n m at emáti ca.
Pág. 85
Capítulo 4
Etnomatemáticas: una visión la tinoamericana
Cada na ci ón ha desarrollado un con oc imi ent o a pa rtir de su p ro pia
fo rma de s er, que co noce y se r elaci ona tanto co n el m und o a l que perte nece
como con las necesidades deri v ad as d e la forma de vid a dada. Lo mis mo se
aplica a g rupos s o ci o cultu rales p a ralelos en nue str as socie dad es. E l e studi o
de estos s ab e res, espe cialment e en ambiente s social es y n atu ral es , es parte
de lo s int ereses d e las etno mat em át i ca s. Su pon e qu e p ue de h aber tant as
fo rma s d e con oc er com o formas d e enc ont ra rse e n e l mundo .
De est a maner a, l a Etnoma tem át ica pretende expl o ra r difere nt es
fo rma s de con ocer e l mundo. S e trat a de p ro bl ema s socio cultu ral es que n o
se limit an a la s matem át i ca s dis ci pl i nar ias, pu es en l a práct ica se m ov ili za
el s abe r d isciplin ario, es d e ci r, las etn omatemát icas no s e o cup an
exc lu siv am ent e d e l os problemas relaci onados con l a e nseñ anza d e l as
mat emáticas . Por lo t ant o, las etnom atemáticas com o cam po de
inv estig ac ión pueden co ntrib uir a:
1. e va lua r y fortal ecer el p atr imo ni o socioc ult ur al d e l as n aci on es ,
comunida des y g ru pos socioc ult ur ale s m edian te e l estudio de su
prá ct i ca ;
2. bri nda un desar ro ll o alt ern at i vo a la hi s to ria y filo so fía de las
mat emáticas qu e vis ibi liz a las di versas estructur as de su s o bj etos y
prá ct i ca s, enf at izando su na tur al e za social, políti ca y ec onómi ca.
Mar ca u n cambi o del n ivel ontol ógi co al epi st emológ ico en el estudi o
de los co nceptos m atemáticos;
3. des a rr ol lar una educ ación m at emática (cu ando s e habla educación
mat emática se quiere h ace r ref erencia a l a educ ac ión en gen e ral y no
exc lu siv am ent e a la edu cació n es c olar) basada en la i gua lda d y el
re s peto a l as di fer en cias y la dive rsidad so ciocu lt u ral y sensi ble a los
fa cto res social es, cul tur ales y polít ico s o d entro de lo s sis tem as
Pág. 86
edu cativos nacional es, proye cto s d e ed uc aci ón i nt erc ul tu ral o
proye ct os de au toapre ndiza je.
Así l o ej emp li fic an lo s n umerosos es tu di o s rea lizados en Á fri ca por
Paulu s Ge rd es sob re l a r el aci ón ent re di fer ent es sabe r es mat emáti c os y l as
prá ct i ca s d e los pueblos o comunidades a f ri c an as , est e inv est iga do r b usc ó
con ex iones ent re l a e nse ña n za de l as m at emátic as . y l a diversi dad cultu ral.
Ubiratan D' Amb rosio propone la etnomatemát ica como un p rog rama d e
inv estig ac ión q ue t ien e como obj eti vo l a com pr ens ió n de los
conoc imi entos /ac ci ones m at emáticos a lo l argo d e l a h ist oria h umana,
contextu ali zados a difer ent es gru pos de i nt erés, c om uni dad es , pu eblos y
nac io nes.
La e tn omatem át i ca estu di a l a producc ión d e co noc im ien to en l as
prá ct i ca s de comuni d ad es y g rupos q ue res ponde n a d iv e rsas formas de vida
que evolu ci ona n po r la nec es ida d de s ob revivir y trascend er tanto e n el
tie mp o co mo en e l es pacio . Po r lo tanto , es po si bl e in ve stigar dent r o de
grupo s de ni ños de la cal l e, co munidad es afrode s ce nd i entes, c omu ni d ad es
cie nt ífi cas (m a temát ico s, m édi cos, etc. ), p ueblos ind íg enas, carp int eros ,
alb añ iles, a gr i culto res o cu al qui er o tro gru po sociocul tural . Par a d a r u n
bre ve ej emp lo de v a ri os est udios r ea lizado s en d ife rentes am bi e nt es e
int ereses, podem os re ferirnos a al gunos es tud io s: Hig ui ta (2014) estu di ó el
pro ceso en l a p rácti ca de cons tr u cción d e l a casa t ra diciona l P u rr ad én de la
comunida d Em be ra C hamí, res pet an do el conc ep to tr adic i on al d el p ueblo
ind íg ena .
Así t ambién e st os trabajos de scriben cóm o l os pescador es d el P acíf i co
colom bia no c onsider a n asp ect os c om o l a profundidad, l a alt ur a y la
dista nci a para medir y or ientar su u bi cac ión en el m ar. Sin emb argo, S ilv a
(2 008 ) a nalizó l as fo r ma s e n q ue los p rof eso res d e m at emáticas inter ac túan
con l a h erencia cult ural neg ra de los estudia nt e s en las aulas de
mat emáticas . D es de otra p erspe ct iva, S uárez (20 07) e xam in a l as prácticas
de loca li z ac ió n es pac ial en un gr u po de e stu di ant es ciegos . Ch aparro (2009 )
exa mi na las prá ct ica s mat emá ti c as de l o s niños en si tuaci ones de
re u bi cació n fo rzada . Meira y F ant inato (20 15) reali zaron un est udio de
diálo gos posib les ent re el co noc im iento construid o de jóven e s y a du ltos en
contexto s p enitencia rio s y c las es de matemáticas.
Pág. 87
Al e xa minar los grupos d e t r ab aj o, dos est udios puede n i l us t rar la
gam a d e ex p er i en cias i nvolu cra da s: el es tudio de S h ockey so bre la prácti ca
de los ci ru j an os card iovas cular es (2 00 2 ) y un an áli si s de las estrate gi as
geométri cas ut ili za das p or un g rupo d e a rt e sa nos col om bia nos del
mun ic ipi o d e G ua ca m aya s B oya cá, C olomb ia, des ar ro llado po r F uentes
(2 012 ).
4.1. Problemáticas actuales
Algunas de las tens io n es y des af íos que su rg en en e l estu di o d e l as
etnom atemátic as, pued en ser distinguidos de la s i guiente ma n era:
Monocentrismo vs. i nt e rcul tur al idad: c ómo di f erentes e stilos de
vida da n lugar a múlt ip les p e rs pecti v as ep istemoló gi cas so bre el
co noc imi ento matemát i co.
Se puede parir de l a hi pót esis de q ue las m at emá ticas di s ci plina d as
son una prá ct ica s oc iocul tural constr uida so b re una herenc ia medite rr ánea
traída a l a s Américas a t ravés de l a con quista, la col onizaci ón y una fo rm a
de s er y pe nsa r e n un mun do úni co d es pu és. Est a form a m ate m ática re cog e
parte del con o cimi en to p roducido por l o s p u eblos de Asi a, Áfric a y E uropa:
chinos, á rab es, eg ip cio s, i ndi os , et c. y luego s e co nv i rt ió en matemát ica
académica en t od o el mundo y especialmente en los paí s es
lat in o am eri cano s .
El co noc imi en to d isciplina rio ant es mencio nado no inclu ye el
conoc imi ento desarrollado e n Amé rica, debido a q ue e l col oni alis m o
eur op eo d es t ru yó en gran m edi da e l con ocimi ento de l os p u eb los que aqu í
habit aron, no r econo cie nd o lo qu e en la tradi ci ón o cci dental se puede
denom ina r di fe ren te s “mo dos de pensar ” , pe ro que desde una pers p ectiv a
hol ís tic a s e rí an mod os d e ser, c on o ce r y rel a ci ona rs e al mun do. El p roble m a
estri ba en que esta c omp uls ió n epi stem ol ógi ca no te rminó en l a é p oca de l a
conqu ist a, si no que se perpetuó e n los sistema s educat i vo s a través de l a
con cepci ón e ur ocént ri c a de la m at em áti ca m on o cultu ral, que no s ól o n ie ga
Pág. 88
lo in díg ena y lo africano. -conocimi entos matemáticos originario s, sino los
div ersos coexis t ente s en n uest r as so ci eda des .
Se s ab e que las s ocied ades n acion al es actuales d an muc ha i m po rt a nci a
a l a educa ci ón m at emátic a, ent end ién dola muchas v e ce s des d e u na
per sp ectiva mo no cu ltural eurocéntrica qu e impo ne un a forma de s er/h a cer
y no re co noc er a lo s dem ás. S e co nsi der a p ar ti cul ar men te nece sa r io
parti cip ar en la desc olo niz ación d e l a e scu ela y la edu cación r econ o ci end o
y pro movie ndo la div ersidad epist em oló gi c a.
Si n du d a, es n ecesario ree st ruc tur ar los currícul os, tom ando en cu e nta
las reali d ad es e in ter eses de l os e studi ant es , pero est o no s ignifica sól o la
inclu sión d e saberes excl ui dos , prohi bidos e invisib l es, sin o t am b ién la
consi deración de dife rent e s m ét odos de produ cción y co mo s e entiende
dicha in formació n. A este resp ecto un sabio y l íder i ndí gena d e D ule
8
aco ns ej a :
“I r a o tro y volver del ot ro no e s u n p robl e ma int electual, si no d el
co razón, cl aro q ue se p u ed e ex plora r a l otr o, que es lo m ejo r, es u n
deb er hacerlo , pero co mp r enderlo es otr a c osa, c on o cer la vida de los
hom br es, ha ce r pregu ntas que co nduzcan al co nocimie nto ne ce sario,
no provi ene del co nocim i ento de l os c i ent ífi cos , sino d el c or azó n d e
un h erm ano o de una h er man a. S ól o así l as p erson as p ued en sal ir de
su propi o mu n do y en tra r en otros mu ndos".
Est a re lació n no s pe rmi te refe rirnos a l a i d enti f ica ción d e dif erent es
fo rma s de vida , l o qu e abre la posib ili da d de repe ns ar dife rentes
comprensiones d e lo q ue ent ende m os p o r c ono ci mie nt o m at emátic o. Desde
nuest ro p unt o de vi st a, s e trata de for m as de s abe r/ h ac er, en l as que l as
re g ul arida d es obs er vad as en el mundo se expr es an en ac ci one s qu e
sig ni fic an cu antific a ci ón, orientaci ón en el e spa ci o y el t iem po,
expli cación, p redi cci ón, cl asi fi cación , e tc. en un cont e xt o es pecífico de
des arrollo so ci o cu ltu ra l.
8 L a e t ni a D u l e o c u p a e l t er r i t o r io a n c e s tr al b i - n a c i on a l, e n t r e e l G o l f o d e U r a b á ,
l o c a l i z a d o a l n o r o c c i d e n t e d e l a R e p ú b l i c a d e C ol o m b i a y e n l a s i s l a s d e Sa n B l a s
e n P a n a m á .
Pág. 89
Si n em b arg o, s e d ebe ser con sc i ente s del ri e sg o inh erent e a l a
prá ct i ca in ves ti gat iv a en el ca mpo, don de pu ede ocurrir qu e en m ás de u na
comunida d donde l os inv es tigad o res a ca dém icos ident ifiquen
conoc imi entos matem át i co s, l os miemb ros de es a comunidad vean l as
propi as prá cticas. P or ej emplo, Tamayo (2012):
... en diálogo con la c omu nidad Dule , s e lo g ró cu es tionar l o que ahora
lla mamos -d esd e o ccid en te - s abe r mat emáti c o. P a ra l a co mu nid ad
Dule, e l co no cimien to m atem ático no exi st e e n l a inte rpretación
occ id ent al . En la cul tura Dul e , el co nocimiento exi st e en rela c ión co n
las práctic as.
4.1.1 Prácticas culturales
Un o de l o s p ro bl em a s pl a nt eado s con m ay o r fre cu e nc i a es qu e,
si b ie n el cam po b us ca proteg er l a div ersid ad d el c on o ci miento , pu ed e
"l egi timar" un c ue rpo de m atemátic as dis ciplinarias al tom arlo c om o
punto de re fe r en ci a con q ue, la s prác ticas cu lturales deben ser
ev a lu adas, y estas úl ti m as deb en ser trat adas solo como un pu ent e o
punto d e parti da p ar a un tr atamient o má s efe ct ivo de los co ntenidos
tr adi cio na les d el apr en di zaje m at e má tico académico.
Es p ro b ab le qu e e sta sit u ac ión s e pres e nt e en v ari as
in vesti gacio n es et nom at emát icas, estan d o lejos de s er l a ca racterísti c a
dist intiv a de l c am po, puest o qu e n o todas l as in vesti g a cio nes
pret e nde n una mejor í a en l os desempeño s acadé mico d e l os es tudia ntes
prove ni ent es de grupos cul tu ra les en l a asignatu ra e sp ecífica d e
Mate m áti ca . Inclu so desde las et nomat em áticas el m is mo f ormat o
es col a r y cu rrí c ul o di s ci plin ar ( desd e un p unt o d e vist a c olo niali s ta
o neocolo ni a lista) ha sido cri t ic ad o en to do el mundo, sin enfati z ar
có mo el co noc i mi ento es forma do , vali d ad o y l egitim ado por p r ác tic as
so ciale s en di fer entes so cio-g rup os cultur al e s di f ere ntes a l m und o
eu roc én t rico.
Pág. 90
Aú n exist en re si st e ncias al re co noc imient o de l as r el a ci o nes
in t er cu l tu r ales. Tod aví a e s n ec esari o ubic ar a lo s niños e n c las es
se gún la ed ad , o frec er el m ismo plan d e e studi os a la mi s ma cl ase , l o
que lleva a l ab su rdo d e e valu ar g ru po s ind ivi du al es con pruebas
es tandarizada s ( D' Ambro si o , 2 011). El c am po t a mb i én s e c ara ct eriz a
por la b ú sq ue d a d e nu evas i d ea s sobre l a propi a es c uela y l o qu e se
en ti e nde por cur rí cu lo , saberes y mat em át i c as.
La p ro du cci ón y e l u so de m at eri ales d e al f ab et iz aci ó n
ma t emát i ca en l en gua nat iv a es u na form a de refu erzo de la i denti dad
ét ni c a y p art e d e l a b úsq ue d a d e un a i de nti dad étn i ca p ara s ati sfac er
la s neces ida de s d e co ns t ru cc i ón d e ide nti dad, l e ng u aj e pr opio y
cu rrí cu los de acuerd o a r eal ida des esp ec í ficas . N om bra r p rácticas
cu lt u ra l es his tóricame nt e i nvisi bles o infr avalo rada s co mo
ma t emát i ca s pu ed e ser una r esist en cia p ol íti ca cultu ral deliberada y
co nsciente de cierta s com u nid ad es .
La etnom at em á ti c a c om o camp o acad ém ico e n l os úl timos años
se ha pos icio n ad o c om o un a a lternat i va entre muchas otras para
re si g nificar las es cuela s y los c urrículo s es co la r es des d e la
perspectiva sociocult ur al d e l a educ ac ión mat emát ica, donde l a
co n exió n intercultura l se imp l ementa como una ob l igaci ón p ol íti ca y
posible. Un di álogo i nt erc ul tur al , n o es signific a so lam ent e u n
co ntacto i nterc ult ur al, s i no u n intercam bio real izado en c ond i ciones
de igual d ad . L a intercult u ralid ad , qu e p od rí a en t end erse c om o u n
pro ce so co nti nu o , a ún no ex i st e . E s algo sobr e lo que co ns t ru ir. E s u n
pro ce so de expre sión , rel ación , co mu ni ca ci ón y ap rendi z aj e entr e
difer en t es perso nas, gru p os , s abere s, valores y tradicione s. Un
pro ce so q u e t iene co mo obj eti vo cr ear, con struir y p ro mo ve r el respe to
mutuo y e l recon oc im i ento d e l as d ife renci as cul tu r ales y s oc i al es
en tr e las cu ltu ras.
As í, con fi rm ar l a h er encia social y cultu ral de c ad a pueb l o que
vive e n la tie rra se c on viert e en u n a de la s prin ci p al es tar eas d e las
et no matemáti cas. Amé ri c a L ati na n ec es ita una ed u ca ci ón ce nt r ad a e n
la c ul t ur a , qu e asegure la s up e rv ivenc ia d e p u ebl os y grupos con
fo rm as de vida d ife rent e s, pa ra s up erar las i di osinc r as i as d e
Pág. 91
ex pli cación a través de l a inv estig ac i ón c on junta, y abrir o tro s
cami no s pa ra la co nst rucción del con ocimi e nto a parti r de prácticas
so ciocul tu r ales .
A l a l uz d e estas luchas y tensione s se pl ant ea l a et nomatemática
co mo un cam po que p ermit e c on solid ar l a apues ta po r una pe rspecti v a
no ci entífi ca de l a ed ucación, la ens eñ anza , el curr í culo y l a
ev a lu aci ón p ara p ro mo ver p rocesos edu c at ivo s e qui tati vos y
cu lt u ra l me nt e d i vers os , porqu e, c om o afi rma F er ri (2002 ) , “ un a
defi nic i ón d e c onten id o vá lid a y/o s ignificati v a en cu al qu ier contexto
es col a r d ep e nd e de en t en der qu e lo s co no c imiento s de b en ser
at ribui d os como pr odu ctos c ultur ales y cómo e sta s exp eri en cias
co nti núa n cr e an do nuev os co n oc i mi ent os ”.
4.1.2 Desde la perspectiv a de l a identificaci ón
Ot r a c ríti c a persi stente ha sido la ll am ada P a radoj a de M ill ro y
(1 990 ), q u e es es en ci alm e nt e una cu es t ió n d e si l as pr ác ticas
cu lt u ra l es no d i seña das o d es arr olladas orig inalm ent e de acue rd o co n
la cla sifi c aci ón de la dis cipl ina deben consi derar se m atemá ti c as .
Ent onces hablamos d e mo no glosi a, inc o mp at ibi lid ad o "lectu r a" d el
otro como p ro pi o, como si el persona j e mismo fu e ra algo negativ o o
pru eb a d e una c on tr a dicción.
Este apare nt e pro blema teó ri co es p robable m ent e una
ma nifes t ac ión del probl ema de l a “refl exiv i da d2, am pli am ent e
es tudiad o e n la a nt ropología cult ura l y el a bo rad o en concepto s co mo
"e mic " y "é tica" . "R e flexividad" b ási ca me nte s ignific a l a re flex ión
del inve st ig a do r d esde s u p ro pi a pe rs pe ctiva s obr e có mo el acto mismo
de inve s ti g ar r e quie re la adqui si c ión de u n m ar co conceptual pa r a
práct icas que pueden no s er parte de la prá ctica pero que en últ im a
in st a nci a l a constituy en.
La reflexi vidad p re supone ent on ces l a con cien ci a d el
in vesti gad or de l a e x isten cia de un pu nt o d e vista pa rt icul ar, q ue en
Pág. 92
última i ns t an cia co ns tituy e l a p ráctica in ves tigada mi sma . Est a
te ns i ón est á relacio n ad a c on l a i nflue nci a qu e h i stóric am en te h a
te ni d o la m et o dologí a etnog rá fica en el camp o d e l a in vesti gació n. Si
la i nv es ti gac ión a su me otros en fo qu es metodol ógicos qu e r eduzc an el
se sg o coloni al y fort al ezca n l a pe rspe cti v a d e l os miembro s de los
grupo s so c iocultur al e s, di ch a t ens ió n pue de luego d is olv ers e (m ás qu e
re sol verse).
4.2 Posibles resultados
En est e capítulo se han ca racterizado v ari os mo v imiento s en l a
et no matemáti ca com o campo de inves ti gación, y con ell o vi s ualizar
im portant e s de safío s en la d e scol o nizació n d el conocimie nto y su s
fo rm as d e le gi timaci ón, d i fu si ón y ca mb io. Se ob serv a qu e los i nt e nt os
de cola bo ración e i n st itu cionaliza ción s on el mayor obs t ác ulo qu e
am ena za co n s ocavar la mi si ón de las et no ma t em áti cas .
La colabo ració n funciona de varias ma ne ras d ife rent e s, u na d e
la s cu ales es el éxito rel ativo d e los po stu lado s del su je to y s u
co n exió n c on la s est ructu ras académicas y p olít icas: s e obs ervan cada
vez má s di sertacione s y cong resos que tienen lu g ar en el ma rco de las
et no matemáti cas. L os g ob i er no s latino am er i ca no s tam bi én e st á n
ab ier to s a la p o si bilid ad d e inclui r el e me ntos cu ltu rales en sus ley es
ed u ca tiv as y pro puestas curricula re s , p er o e st a po pularizació n pu ed e
poner de m od a l os con c ep tos del ca mp o y finalm ente banal izarl os o
co nvert irl os en pala bras vacía s.
As í, el a cto d e ru pt ura y m ovimien to que inici ó las
et no matemáti cas p od ría quedar sum id o en una mo nótona ca co fon ía d e
defi nic i ones y je rar quí as académicas qu e imp iden el movimiento de
en tr a da y sa lida de m úl tip les di recci on es , ot r as c os mogon ías y
co smovi siones. El p e ligro de bu roc r ati z ación o esta nca mi e nto de las
et no matemáti cas obli ga a c on si d e rar tres dim en sion es d e activi dad .
Pág. 93
4.2.1 Problema ti zac ión del conocimiento
Es n u es t ra op inió n qu e h oy en dí a n o es su fic i ente i denti fi c ar
la s d i fe ren ci as en el c ono ci mie nt o resul ta nte s d e f actores cu lt u rales.
La existe ncia de es tas d i fe ren ci as debe s e r pr obl em ati z ada
polít icame nt e . Tr atar de de fi n ir s i un d et ermin ado c ono ci m iento es o
no ma t em áti c o es u n a dis cusió n es t ér il, y a qu e las deno mina cio nes
dep enden d e lo s esti los de v ida d e quiene s l o con si d er an.
Por l o t a nto, es preciso cam biar el enfo qu e de l a cue s ti ó n
ontológi ca de "qué es" el conocim i en to matem áti c o a la cu es t ión d e
su est ruc tur a y función en co nt extos p rácti cos es pe cí ficos . En ot ra s
palab ras , t ran sfo rm ar l a p re gu nt a de " qué es" en una preg unt a d e
"c ómo " y " para q ué" . C onviene r ec orda r e l lla mado d e Ge lsa Kn ijn ik
(1 999 ) a un "doble m ovi mi ento": p or un lado, l a c irculación d e l a
in forma ci ón sobre las culturas m inorit aria s e n l a c ult ur a h ege mó ni c a
y por otro l ado s ob re l a ci r culació n de saber es heg em ónicos en l as
práct icas de las cult uras minorit ari as .
4.2.2 Amplia ción de los espacios reflexivos
Co nvi ene segui r i nvesti g an d o dó n de legit i mam os l a s i d ea s qu e
se mueve n en est e cam po de in v estigación , ¿si só lo en la Acad emi a o
ta m bi én en ot ros e spacios?, ¿c u ál academia?, ¿c uá l es cuela? ¿ qu é
organi za cio n es ? S i bi e n di scu t ir el c o no cim i ento y l a cienci a e n
es p ac ios a cad émi cos tradici on alme nte c on s erv adores f ue un p ri m er
paso i m po rt a nt e, pronto se rá i n su fi cient e . L as disc u si ones sobre estos
co n ce pt os debe n tener l ugar no sol o en l os espa ci o s h abil ita do s po r la
Ac ademi a, sin o tambi én en otros tiem pos y espaci os , es pecialm ent e
en aque llos don de s e i nv es ti ga: e ncu en t ro s, caminos, cal l es , mi n ga s,
ritua les , otro s e sp aci os ancestrales de comu ni cació n y reflexió n y las
que pue dan crearse c on el mismo fin .
Pág. 94
4.2.3 Descolonizar desde la diversidad del diálogo
Est a di mens ión s e ref i ere a cóm o s e estu di a e in vesti g a: ¿ desd e
la p erspec ti va de quién? , ¿inve st iga do res?, ¿m iembr o s de l as
co mun idades?, ¿ pe rs p ecti v as co mp art i da s, p ero n o necesariamente
co mpa tibles ? Ofrece u na opo rtunida d para d esarr oll a r in vestiga cio nes
co njunt a s, d o nd e cada m i embro d e l gru po tom a u n punto de vist a , a
part i r d el cua l s e en cuent ran y resaltan i nt ere se s c o mu nes y
difer en t es .
De est a manera, es pos i bl e ab and ona r el intento fal lid o d e de j ar
de lado las s ub jetivida d es y el iminar l as catego rías co nceptual es qu e
nos s ig uen, qu e b u scan un a dimensió n ilusoria desd e e l p un to de vist a
del ot ro. En defini tiv a, no e s po sible "quit ar los o jos ". El objeti v o
es tá en ser co ns cien t es de c uál es son eso s fi lt r os en sí mismos , y a
tr avé s de l diál ogo ent re su jet os pe rt e ne cie ntes a d ifer entes fo rm a s de
vida -i nvesti g ad or es , ex p ertos , líd er es social es y pol ít i cos,
ci ent íficos , in v es tig ador e s- e s p osib le a cercarse u nos a ot ros,
en ten de r que el re su lt a do d e la inve sti g ac ión es fruto de d ifere nt es
subjeti vid ad e s q ue se relacio na n e ntre sí . P o r lo t an to, en u n ar reglo
de toma y dame, puede n s urgir opo rt uni d ad es para p ro ducir pr op uest as
es p ec í fi ca s q ue a bo rden tem as que a men ud o parec en dem asi ad o
co mplejo s p ara ser abo rdado s i n di vid u alm ente o desde una so la
perspectiva.
4.2.4 Los espacios educativos como espacios de lucha
Finalm ente, no ba st a co n af r on ta r los des a fíos anteri o re s s alv o
el sent ido de da r un nu ev o sentid o a las inst itu c ione s e du ca ti v as , que
en muchos a sp ec tos s e r ela ci o na con la lógi c a d e l a domin ac ión
id eo l ógica. En lug ar de mediar d iferentes form as de se r/ s ab er,
es tru ct ura y di s ciplina, cuer po s, t i em po s y espacios . L as e s cue l as y
Pág. 95
unive rsidades s on las g ran des in sti tuc io nes aso ciad as al asp ec to
co lo ni al de un a pote ncia civilizad ora; e s decir, en l a trans formació n
de l a s p er sonas d e s alv aj es a civili z adas .
Si la es cu ela se asu m e como un l ugar don de los indivi duo s se
co nvi er ten en suj e to s, s e convi e rte en el l u gar por ex cel en cia de la
lu ch a i deológica y de la resist en cia cu lt ura l. Es pr ec isame nt e en el
ám bit o es cola r d onde l os gr up os m i norit a rio s pue den evid enci ar la
nec es ida d de la co ex istenci a de diferen tes fo rm a s de vid a a p a rtir d e
múlt ipl e s p resen taci one s c ulturales.
Fi n almente, y de acu erdo con varias ideas ya me nci on ada s, es
nec es ar io ev it a r la t ra ns forma ci ón de las e tnoma tem átic as en una
me t odología ríg ida de ens eñanz a, un a te o ría de l a didáctica o i ncl us o
una po lí tic a edu cativ a. Espe r am os qu e a parti r d e l a e x perie nci a
la t inoam eri ca na se ha ya comen za do a c om prender algun as d e l as
te ns i on e s y desafío s i mport an tes en las e tnomatemáti ca s, aunque s i n
duda hay mu ch as más. E ste c a pítulo es u na reflexió n colectiv a e n la
que s e ha t rat ado de ap o rt ar u na pers pecti va de con senso so bre las
id eas q ue más i m port a nt es s obre l os orígen es, de sa rroll o y s entid o de
la s etn om at emá tic as t anto en la i nvesti gac ión co mo e n l a pr á ctica
doc ente .
Pág. 96
Capítulo 5
Eval uaci ones en etnomatemática
In v estig adores com o J .Jo rb a y Ll adó , exp r es an que “l as mat em áti c as
como exp res ión de ciertas act ivi dades , y por lo ta nto como un fen ómeno
cultu ral evol u tiv o, y d e sd e el punto de vista s o ciocult ural d el conocimient o
y del ap rendi zaj e... p ermi ten qu e l a enseñ anz a d e l as m a temáticas inv ol u cre
de un pro ce so de enc ul tur ación”. E sta visión hacia u na c ien ci a que
con fo rm a u n p aradi gma de las ci en cia s form ales f acili ta su con cepci ón
como cualquie r otra act ividad h um ana.
Si el pro ceso de enseñ anza de la mat emát i ca conll eva en si un p roc eso
de enc ulturación co n e l p ropó s ito d e fa ci lit ar que l o s e st u di ant es se
ident i fiquen c on u na p arte específi ca de su cu ltura ¿cóm o se ev alu ar an
dichas prá ct icas?, ¿co n qu é par ám et ros s e ev alu aran los trab aj os s ob r e
prá ct i ca s i nva ri a nt es e n cult uras p r ecolo mb inas, por ejempl o? ¿es po sible
explorar si tuacione s ce rca na s a n uestras v id as (co mo las vivida s por
abu el os o f am il i ares c er can os, p ro ce d ent es de otros país es) relac ionadas a
las pr áct icas m atemát icas i nvar i ant es , y u ti lizarl as p ar a ev aluar ? ¿est á
abi er t a un a n ueva po si bil idad y entidad del conocimi ento mat emáti co, d es de
éste tip o de ev a lu aci on es ?
Si bien la etnomatemática , t al c om o f ue planteada por su cre ad o r
D’A mb rosio, involucr a grupo s cu lturales i dent ifi c ables, se puede d eci r, que
se habl a de múlti pl e s matemát icas. So b re éstas inte rr oga ntes se int en t ar á
dar resp ue stas, acla ran do prev i am ente que se ent i en de po r mat emáti ca,
etnom atemátic a y evaluación.
Es r econo ci do que l a m atem átic a, es un instr um e nt o in di s pensa bl e
par a el d esa rrol lo del p ens amiento l ógi co, crí tico, asimism o posee u n
inm en so val or i nf orm ativo , fo rm ati vo, in stru me nt al y p r áctic o. La
mat emática, es l a cien ci a q ue es tu d ia las cantid ade s y las fo rmas, y como
se r elaci onan, así com o su ev olu ción en el tiempo. No o bst an te, a ser
consi derad a la matem ática, la rei na de las ciencias, algunos matem áticos
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no l a co ns ide ra n un a ciencia nat ural. Primordi alm en te, los mat emáti cos
re ali zan defi nic iones e i nv es tigan sobre estruct ur as y c on c ept os ab st r ac tos
por raz ones pur am en t e inher ent es a l a m at emá tic a, d eb ido a qu e ta les
estru ctu ras pu eden p rovee r, por ejemplo , u na g en erali zació n el ega nte, o u na
her rami e nt a útil p ar a l os c ál c ul os f recue ntes. D e m anera in f o rm al , s e pu ede
dec ir que es e l e studi o d e los "n úme ro s y s ímbolos" . E n o tra s p al abr as , es
la i nvestiga ci ón d e es tru ct u ra s abstractas qu e son d ef inid as partien do de
axiom as, empl e an do la l ógi ca y l a notac i ón matemát i ca .
Se co ns ide ra t ambié n la ci encia de las relac iones espa ci ales y
cua nt itati v as . Tr atándose d e r el aci on es e xa ct as que exist en en tre ca nti dades
y m agnit ud es, y de los m éto do s po r los c ual es, de acuerdo con est as
re l acion es , l as ca nti dades enco nt r adas so n d educi bl es a partir de otras
can ti dad es conocidas o presupuesta s.
Si n em ba rgo, t ambién ha y otras r efe renci as a l a ma te m át ic a, c om o la
de J.Jorba q uien prefi ere r eferi rse a la “a ct iv idad m atemá ti c a” más que a
las “m atem át i ca s”, p uesto q u e es una act ivi d ad q ue comparte las
carac t er ísticas de cua lq uier ot r a actividad human a. Est a po sición la ad op ta
de B ishop, c ua ndo hace r efere ncia a l a m at emá tica “...com o un proc eso de
enc ul tur ac i ón , que tie ne el propósi to de que los i ndivi duo s s e apr op ie n de
una p art e esp ecífi ca de su cult ura ”.
Pensar l os pl an t eamient os d e J.Jorba con duc en inevi tab l em ente a
pensa r e n la etnomat emática. Hacer una ex pli cación sob re el si gnifi c ad o d e
este t é rmino qu e aú n no ap are ce e n los diccio nario s es u na t are a d i fí cil , a
pes ar de t en e r bases o argument os , porque l a etn omatemátic a es, como la
visió n reivind ica dora qu e i ntenta, ex pl ica r el qu eh ac er hu man o pa rt iendo
de su histor ia, su cul tur a, s u vivenc ia y acti vidad co ti diana y la
mat ematización q ue ell a refl ej a.
En ot ro s t ér mi nos , hac e refer encia a las forma c om o est á n y s e hac en
las c os as en e l mundo . Una d e la d ifi cultades radica en la f orm a de pens ar,
infer ir, anal izar y/o const ru ir el conocim i en to, pu est o que se reali za desde
la perspect iv a d e ”la cultu ra occident al y cris tiana, y q u e a veces no p ermit e
re l at ivi zar c ontextu a lm ent e una ciencia fo rm al co mo es la mat emát ica .
Pág. 98
En esta vi si ón occiden tal ista, el s abe r no se cons id e ra c ono cimient o
si no tien e ri gor cien tí fico, po r lo tanto Occ id e nte e s el ú nico q ue ha ce
disti nci on es ent re sa b er y c on ocer; sabid urí a y c i en ci a , hacer y p ens ar, e n
otras culturas ésto no suc ede. E n el pensamie nto occid ental el c ri t erio d e
dem ar cación d e l con ocimi ento es s u p ert enencia al c am po d e l a c i en ci a.
Est o e s lo q ue se es tá desmi tif icand o. La etn om atemática posee ampl ios
horizont es, y m últip l es ne xo s con ot ras cienci as.
El nu ev o ob jet o de est udio d e la etnomat em át ica compre nde
probl emas so cia les d ent ro y f uera d el a ul a de m ate mát i cas. L a
etnom atemátic a asumen que todas la s cult uras poseen co no cim ien to adem ás
de saber es . D es d e las distintas i nvestigacio ne s se s ab e qu e la f ro nteras no
exist en o a l o su mo s on d ifusa s, d el m is mo m odo que es d ifu sa l a c onc i en ci a
del sabe r-h a cer.
Parti end o de l a lí ne a de i nv est iga ci ón del Prof. Oli veras Con tr eras
sobre los aspectos es tudi ad os d entro de Etnomatem áticas, se pla ntea qu e
los tem as t r at ados p o r l os aut o re s más rel evant es y sus obj et os de est ud i o
son:
1. Los e lem entos teór i cos defin en y exp lic an l a te rmino lo gía y el
enf oq ue epis t emol óg ico d e la s "etnom at emáticas". A náli sis
des cript iv o de l os el em ent os cult u ra les matemátic os que comp on en la
antro pol og ía matem át i co -cu lt ural.
2. P si col ogí a cognit i va: c ognición mat emá tica y vid a cot id i ana.
Apr en di z aj e d en tro y fue ra d e l a esc uel a. C ogn ic ión m atemátic a
contextu ali zada.
3. C on diciones s oci ocultur ale s y polí tic as en re lación con l a p ro ducci ón
y en culturació n o en señan za d e l as ma tem át icas. Ope ra ción y creación
mat emática. Currículo, su implement ació n y p ro bl ema s de los
doc en tes.
La etnom at e mática t rae consi go una conci encia d e l a d i versi dad
epist emológica y una duda s ob re q uién va lida el con ocimi ent o. Ahora se
conoc e q ue la reali d ad se co ns truye social mente , que no exi st e l a
Pág. 99
obj et ivi d ad. Que to da construcción cientí fic a p roviene de u na cult u ra con
su propi a idi os inc ra s ia , inclui das l as matemáti cas .
Otro punt o to cado d e es ta o bra es l a ev aluació n , qu e s ue le defini rse
como: el pr oceso de obtenci ón d e in formació n sobr e el ap ren di zaj e,
fo rma ci ón d e jui ci os y de cisio ne s. Pero d esde un enfo que comu nicati vo , u n
enf oq ue s ust entad o en l as cien ci as soci al es, l a evalu ación se ha conve rti do
en ot ra co sa . S e diría , ent onc es , es un proceso de l ogro del apre nd i zaje, d e
los co no cim iento s y l as a ctit ude s, un m edio d e t ran smis ión y cambio, po r
lo q u e no exi ste una d istinci ón estri ct a en tre a ct ivi d ad es de aprendiz aj e y
actividades d e evalu ación.
En el m un do de la e duca ci ón , l a eval u ac ió n d e u na for ma u otra
re q ui ere ev alu ar el ser, el s en tir o la a cc ión d e di verso s s uj etos. De acuerdo
con el en f oq ue antro pológico d e l a activ i dad hum an a, l a a ct ivi dad re al iza da
por c ada suje to prese nt a s iem pre u na meta qu e debe s e r al c an zad a ("objeto
de val or "), q u e se man ti e ne por el d es eo d e hac er del suj eto , p er o n o b ast a
con qu e , si s e qu i ere, hay que p od er hacer lo . Y al f inal del viaje, s e neces it a
una palabra o frase qu e le dé sent ido a l a acción reali zad a. L a ti p ologí a
dis cursi va p r op orciona un a ad ecuada valor ac i ón de los con texto s d e
doc en ci a , inv estig aci ón y desar rollo de p r ác ti c as matem átic a s invarian te s .
Las inv es tig aci ones a ct u al es m u es tran qu e nadie apr en de fu era de l a
cultu ra, e l c on t exto so ci al y el id ioma. Pero , por s upu esto, se t ien e que
vol ver a ex am inar lo q ue se entiende po r c ul tur a. En es ta o bra se prop on e
el c on cep to d e cultura , asoc iada a los g rup os sociales , pero s e d ebe to m ar
en cuenta, que t am bién tiene u na historia y p or t anto es his tó ric a y
pol is émi ca. Estas const ata ci ones d el ant ropológ i ca s son nec esarias p or qu e
permi ten co mpr en der y a mpliar l os pu nto s d e v is ta ref er i do s al i mpe rio
milit ar prehisp áni co y /o la cul tur a, por ej emp lo, de lo s monte negr i no s en
el Ch aco cent ral argenti no.
Por o tro l ado, n o m enos im portante y si guiendo el enfoq u e ant erior,
hac er cie nci a, est ar a l a vangu ardia de l conocim ien to es p art e org ánica de
la c ultu ra moderna y la cre at ivi da d en l a act ualidad, con t ribuyendo a l a
fo rma ci ón d e modelos comparativ os de socied ad es, ayuda a comp rende r las
difer enci as ent r e, po r eje mplo, Pe rú, Argenti n a y Monteneg ro.
Pág. 100
Es conocido que el mét od o d e t rabaj o d e las e t no mat emáticas es
obser v ar la s pr ácticas de g ru pos naturales diferen ci ad os, tr ata nd o de ve r
qué ha cen cua nd o lo h acen, q u e c r ea n u n relato d e su s p rá cti c as , l u eg o un
aná li sis del dis curso . E st e s erí a el m étodo de o per ac ión m ás común. A sí lo
demuestra l a experi enc ia mostrada por Oli veras Co ntr er as a través del
grupo Al gab ar, que tuv o co mo o b jetivo est udiar e n la acci ón . El estud io
dirig ido por los doce nte s les pe rm iti ó crear un a espe ci e de rel a ci ón muy
estre cha y f uerte con la cul tur a en l a que debí an estu dia r, l os vínc ulos no
eran los ha bit ual es do cente-alum no , si no lo s v ín c ul os fo r ma dos po r una
actividad s im étrica y a ctiva, r el a ci ona da con l os rol es de doc ent e,
inv estig ad or y alumn o q u e cam bi an y produ cen i nfo rmaci ón en el e ntorno.
Par a c aract eri za r y evalu ar est e c on ocimient o, el p ro fesor en co ntr ó
ade cuado el nuev o l enguaje teori zado de mat emáti cas di fu sas . L a t eo ría de
los conju nto s b orrosos apar ece en 196 5 con la p ublicac i ón del art í cu lo
"F u zzy Sets" d el pro feso r L. A. Z ad eh, cuy o objet iv o e s p ro po rci on a r
sol ucion es m at emáticas a lo s términos lin güístic os difuso s y l a necesidad
de una repr esent aci ón matem áti ca de lo s conjun tos "r ea l es ". Dicho es to,
señ al amo s sit u acion es q ue permit en pe nsar lo s f enómenos de l as
mat emáticas educati vas, las c ual es ti ene n e sp eci fic id a de s s egún el en torno
social, geográfi co , l as insti tucio n es ed ucati vas , y adem ás de
gen erali zaciones socio ló gic as o ps icológicas pr es e nt an es c ena ri os que só lo
puede n s er co no ci dos a travé s d e la invest i g ació n.
Por lo ta nt o, par a e valua r fund am e nt alm ent e el t ra baj o
etnom atemátic o et nográ fi c o, es p r ec is o t omar pr ecauciones q ue se
extienden a l a e v aluació n y even tua lm ent e a la v ali dación. Como co ndi ci ó n
nec esari a p ero n o suf ici ente p ar a t ene r el cono cimiento , el c ompro mi so, la
obj et ivi d ad, la poten cia lid ad de l a sor presa. . E l hecho d e co nv ivir e n u na
sociedad no sig nifica ent ender todo l o qu e s uced e en ell a, y est ar t an
inv ol ucr ados hace que se a di fícil ha cer un s eguim ie n to .
La convi ven ci a, es una co nd ic ión neces ari a per o i nsuficiente p a ra
hac er in vestigació n, saber lo qu e suced e por q ue se ve tod os lo s días no
gar antiz a un a mi r ad a desprendid a de l a propi a im pli cació n. Es ne ces ario
par a el inv estigado r, “ es t ar a llí ”, c on oce r la q u e suc ede lo cal , es n e cesa rio,
per o sólo s e pu ede c o no cer a p ar ti r de lo g rar la separ ación de l o bjeto, de
Pág. 101
poder m i rarlo c om o obj et o, romp ien do con las emoc ion es que l leva
implícit o. La s oci ol ogí a t ambié n p lante a l a i dea del d istanciamient o, puesto
que f avore ce l a reflex ió n y c om o c on sec ue n cia, un ac ci ona r más adaptado
a l a si tua ci ón, en c ont raste , u n al to n iv el de com pr om iso , de e mo ci ón,
conll eva mayo r dificult ad para el di sc ernimi ento int el ect ual y r eac ci on ar
de maner a prá ct i ca.
Est e d ist anciamie nt o, l ógi camente no se refier e a un a distanci a fí sica,
social o cult u ra l c o mo se p ens aron tiempo atr ás m uchos ant ro pólog os .
Ent on ces , ¿es impos ibl e in v estigar aq u ello que es f ami liar? , El s o ci ólogo
Nor be rt Elía s co nside ra q ue sí, y lo d emu estra en mu chos de s us t r ab ajos,
cua nd o real i za un pro ces o d e ex trañamie nt o sobre l os aspe ct os cotidi anos
que i nvest iga . Sin e m barg o, ad vie rt e que hac e f al t a t raba j ar el s entido d el
control de l as emoci ones pue sto que d e alguna m ane ra n os encont ramo s
inm ersos en s it uaciones que de alg ún modo no s i nvo lu cran. Así, con cib e
ambos térmi nos , comp romiso y distan ciami ento en ín tim a relaci ón, com o
dos a spectos qu e no pu eden p en sar se d e m ane ra in depe ndient es, pero q u e
deb en se r con si derad os front eras que s e limitan mut u am ent e.
To do s los esfu erzos d i rigidos hacia la objetiv aci ón d eben ser
aplicados con el fi rm e pr op ósito de real iza r ef ec ti va m ente una rupt ura co n
la i nf lue nci a de l as no ci one s comunes. L a cr íti ca revis ión del l e ng u aj e
empleado d eb e ser u n o de los pri meros e in dispensable s es f ue rzos, ya que
el len gu aje co mún c onllev a t oda un a man era cris tal iz ad a d e v er lo social,
pre const ru cci on es que parec en na tu ral es formas d e s er de los h e ch os
sociales y qu e e n ese proceso de natu ral ización apa rt a n el hecho social
ign orado.
La posibil idad d e h ace r d es cu b rimientos i m pl ica l a ru ptu ra de l a
creen cia de q u e se pued e leer dir ec t am ent e l o r eal, para c omenz ar a
pre gu ntars e acerca d e las rela ci ones e ntr e elem ent os que no si e mp r e son
evidentes. L as e tn om ate m áti cas t am bién impl ica el tráns ito de los
probl emas s o ci ales y educativos al p r obl ema de l a inv estig ació n, y preten de
com en zar a p e ns ar teóri camente en el s ig nificado d e l a const ruc ció n del
obj et o d e inv estig ac i ón .
Pág. 102
Con si der ando a q ué s e re fi ere cu ando s e habla de la co n strucció n de
un ob j et o, se d eb e señ ala r que el ob jet o d e i nv estiga ci ón es alg o m ás que
un re fe rente emp í ri co . Un objeto de est udi o es p rod uc to de un a est ru ctu r a
hec ha par a da r cuen ta de alg ún aspec t o d e l a r ealid ad. El obj eto de
inv estig ac ión es una constru cci ón m etodológica que t rata de consi de r ar l as
con ex iones , pro ce sos r el a ci ona do s con el ref erent e emp íri co a través de
cat eg orí as co n ce pt ual es. En ot ras pal a br as, es una red de rel ac ion es
fo rma da entre ind iv iduos, a par ti r de l a cu al ci e rt as acti tudes indiv idual es
o g rupal es pu ed e n en t en der se co mo parte d e u n a con figurac ión c omp lej a de
re l acion es , circu nsta nci as y p osi ci ones m ut uas . En l a i nvestig aci ón h ay qu e
dej ar s e so rp render, p as ar más ti emp o fr ent e a la s orpr esa, t ratar de no cae r
en la tentació n d e leg iti ma rla , p orque l a s orp re sa ayuda a esc apar del m undo
pre decib le y a e ncon t ra r o tr as respu estas posi ble s.
Dos pun tos d e vi sta, dos cam inos: ¿evaluamos o val id amos en
etnom atemátic as? Va l ida ció n de l a inv es tig ación etn omatem át ica: ¿u n
camino ha ci a l a e val uación? L a pre g unta es: ¿s e p u ed e evalua r el
conoc imi ento ét nico? La ev al u ac ión d el pensami ent o mat em á ti co en las
comunida des s e da e n l a prá ctica p or sí mism a. S i n embargo, es ta pregunt a
tie ne ot ro principio ¿Quién vali da el co noc im iento en occi den te y en las
comunida des?”
Par a in tentar res pon der a l a últ im a p reg unta: La in vesti gación
etnográfic a, co mo to da in vest igació n cua lit at iva , a menu d o es acus ada de
no ser c ientí fic a. Est a acu sació n s e b as a en que no s e r ecog e n los element os
que s e consider an como con di cio nes b ás ica s para l a produ cción de
conoc imi ento d esde e l modelo d el método hipot éti co -de du cti vo. Se c on oce
que el enfoqu e et no g ráfico se basa en la cr e encia de que las t rad icion es ,
los roles, v alo res y est ánd ar es d el ento rno human o s e t oma n en cu e nt a
gra du al m en te y crean r egula rid ad e s qu e pue d en exp lic ar a dec u ad ament e el
comportami e nto i nd ivi dual y g rupal.
En o tras palabra s, l os miembros d e un g ru po étnico , c ultural o
sit ua cio na l c om parten una e structura lóg ic a o d e razon am ien to co mú n que
gen eralm en t e no e s e xp lícit a , pero se m ani fi es t a en varios a s pe cto s d e s us
vid as. El pr o bl ema d e la com pet en cia y l a fi ab ili dad radica en la fal ta de
conoc imi ento ci entí fic o. Y es to ti en e que v er con l a crí t ica al su bj eti vi smo
Pág. 103
de est os en f oq ues. Porque so n dis positivo s que asegu ran el apego a los
cán on es de l con oc imi ent o ci e nt ífi co prod ucido e n la i nv es ti g ación, y su
tar ea es trat ar de evit ar qu e el investig ador gen ere ses gos o di st o rs ion es
siste mát i ca s en la ta rea d e recons truir la r eal ida d.
Pero vale l a pr eg u nt a qu é es l a valid ez, aquí s e recur re al
epist emólogo argent ino Juan S amaja, q uien af i rma que:
“e l t érmin o val idez e s un co nce pt o g en eral. Q u ie ro de ci r qu e tiene un
sig ni fic ad o g ene ral q u e s e p ue d e ad a pt a r a difer entes espe ci es …
término qu e se apl ica g eneralm ente a un hecho det e rmi na do, para
mo str ar que es consistent e c on las norma s y obj et ivo s d el sistema al
que d ice pertenec er. D e ci r qu e est e d ato es v álido , o que es t e c onc ep t o
es v ál ido, e s mo strar q ue pued e s er par t e de un sistem a d e con ce pt os
(t eor ía ci ent ífica), o del sist ema de acci ón ” .
El etnóg rafo qui er e acercarse a l a v erdad er a naturalez a de las
re ali d ad es hu man as, p or lo que se c on ce n tra en la des cripció n y
comprensión. Por t an t o, sigue actuand o c om o un antropól o go que quie re
apr ender sob re una cultur a e xtr an j era, e s d e cir, a ho nda lo m ás a bie rt amente
posib le en su i nvest ig a ción y posib il ita impr es ion es y sus r el aci on es. A
medid a que s e v an f orm an do la s impresiones, las ana liza y com para co n
difer ent es ent orn os ( co ntr as ta f uentes de i nfo rm aci ón c on d et erminadas
per sp ectivas t eó ri cas , "t ri angulaci ón", etc.) , hast a qu e su i nt erpret ac ión le
par ece c orrecta y qu eda inte lec tualm en t e satis fecho con ell a.
El propósito básico de to da in vesti gación etnogr áfica es n atu rali sta,
es de ci r, pretend e comprend er la realidad actual, lo s ser es sociales y la s
per cepci ones hum an as tal como exi st en y se pr es e nt an, si n int er fe r encias
ni con tam in a ci one s por p roc ed imi entos formales o p ro bl emas d e pr ejuicio s.
Est e en foq ue t i en e com o obj et ivo presentar episo dio s, " tro zo s de vi da"
docum ent ados en l en gua je natural, q u e rep res entan lo m ás fielme nt e p osi bl e
lo que l as perso nas sienten, lo que s ab e n, cómo lo s ab en, y cu ál e s s on s us
creen cias, percepcio n es y fo rmas de ve r y de com prender.
La in v estigación está a ltamente vali dad a, si al obs er var, med ir o
eva lu ar l a re al ida d, s e ob serva , mi de o eva lú a esta r ealidad y n ad a más.
Pág. 104
Est e hecho cons tit uy e l a val id ez in ter na. Exis te otro cri t er io de val i d ez, la
valid ez ext ern a, qu e es el gra do en que lo s r es ult ados d el e s tu dio son
aplicabl es a gr up os simi lares. S e pu ede d ecir que l a va lid ez interna o
con fi abili d ad s e da c u an do se re fi ere a l a co rresp ond encia entre la s
obser v ac io n es r ealizad a s en c am po y la re al idad ob s er vada de l os sujetos,
la verifica bi lid ad, e ntendida co mo un a g aran t í a de que los re su ltados d e l a
inv estig ac ión n o est án s esgados p or div ersos a spe ct os d er iv a dos de la
subjetivid ad del i nv estigado r.
Cuando los etn ógraf os afi rm an q u e su i nve st i ga ció n tiene u n a al ta
valid ez, esto se de be a la fo rma de recolec ci ón d e dat os. P u esto que,
utilizan téc ni c as ana lít icas po rqu e estos procedim ien to s les perm i ten vi vir
entre lo s suj etos que p art ic ipa n en el es tud io , r ecopi lar d at os d u ra nt e m uch o
tie mp o, rev isa rlos, com par arlos y an al izarl os constanteme n te, ad aptar las
entre vis tas a cat egorías emp íri ca s y no los c onc eptos más abst ractos o
extra ños de l os otros do s medios, uti li z ar la observació n pa rticipati v a en
los me di os y en l os con texto s real es de los even tos , y fi nalmente incluir en
el pro ces o a nalítico un a co nt inu a a cti vi dad de retro al i mentació n y
re evaluación.
To do e st o propo rcion a un nivel de validez qu e po cos mét odos pu eden
propo rcion ar. Sin emba rgo, l a va l idez t am bi én p ue de ser p er f ec ci o nad a en
la m e dida qu e se c onsid e re n l os pro blemas y di fic ult ades q ue pu eden
pre sent a rs e en la inv estig ación etn og ráfica . L os ejemplos incluyen las
sig ui ent es si tu aci on es do nde h ay un c amb io s ignifi cativo en el a m bi ent e
origi nalmente estudiado; así r eg ula r o ev al u ar en qu é med ida la reali dad
per ci bid a dep ende del estatus , pos ic ión y ro l que e l inv est igador h a asumi do
en el grup o.
Tamb ién se d ebe co ns ider ar la c onfia bil id ad de la i nfor m ación y
re cordar q ue l as estr ucturas de signi ficados en c ontra dos po r un grup o no s e
puede n comparar con ot r o grupo, porq ue son e sp ecí fi c as y propi a s de est e
grupo , en esta s it uación y circun st a ncia. Si n em bargo, debemos ase gu r ar la
valid ez y conf iabil idad de l a in for mación, en fatiz and o aquí el proc es o d e
la tri an gul ación . U n m ét odo q u e com bi na enfoques t eó ric os, pr ocedi miento s
y e st r at egi as met od oló gi cas, r es ultado s o bt eni dos co n d ife rentes
Pág. 105
instr ument os o int erpret aciones por diferent es obs ervad or es, o vari os
mét od os ut ili zados s imultáne ame nt e .
Así, l a tr ian gulación p e rmite re int erpr etar l a situaci ón i nv est igada a
la luz d e l as ev idenc ias de toda s l as fuen t es util iza das en l a invest iga ci ón.
Es una técni ca d e v alida ció n q ue c on siste en "bauti za r" cualit ativam ent e
los datos r ecogidos. Est o es para a se gurar l a co nf i ab ili dad de l os
re s ul tad os. L a t riangulació n pued e tom ar much as fo rm as, per o s u esen cia
es la combina ci ón de do s o m ás es trate gias de investi gación difere ntes e n
el es tud io de las mismas u ni dad es em pí ricas.
El eje rci cio de triangul ación es encialm ent e comp ara datos para
det er min ar si s e c onf irm an o n o con bas e en un a c onv ergenc ia de evi den ci a
y a nális is d e un mis mo aspe cto o si tua ció n. Los re sultado s t ria ngulares s e
consi deran consiste ntes s i l a evi denci a c oin cid e o com pl e menta l a
orien tación o c ara ct e ri zación de l a situ ación anali zad a. De lo cont rario, el
inv estig ad or debe re copil ar más i nf orm aci ón , h ast a qu e confirme su
int erpretació n precis a de varias f ue ntes .
El u so co rr ecto de la té cni ca d e tria ngu lación minim iza l os riesgos de
no repre sentativ idad y e xclus ividad de u na deter min ada emis ió n y la
inconsi st enci a d e lo s datos recogid os y/o de los resultados ob tenid os. L a
tri angul a ci ón se pue de re ali zar de t res form as d ife rentes:
Com pa rando la información obtenida y s u i nt erp retación ,
consi deran do l a s fue ntes: el doc en te, l os alumnos, el obs erv ad or. Es
el l ogr o del conse ns o int ersubjetiv o qu e elimi na el riesgo de q u e la
subjetivid ad del i nvestiga dor se ex ceda, l o q ue puede l lev ar l o a actu ar
sol o, cre an do c aract e rí sti cas o con cl usi on e s d em a si ado dependient es
de s u p ro pio m arco teórico , q ue puede n no co r resp o nd er
compl etamen te a la re ali dad o p erspe ctiva s d el inv es t ig a dor o de otros
parti cip ant es .
A través de l a converg encia de cono ci m ientos sobre un mis mo
fe n óm eno o bte ni dos por difere nt es es t ra t egias met odoló gi cas : po r
ejemplo, o bse rv a ción, entrev ist as , c uestion a rio.
Pág. 106
In f or mació n o bteni d a de la ap licación de méto dos pr op ios de
met od ologías cu ant itati v as (cualit at i va , cuanti t at iva,
fe n om enol ógica ) y e sta dí sti cas de contrast e.
Deb e t en ers e en cue nt a que dur ante el p ro ceso d e investig a ció n se
utilizan varios ti pos de triangul ación . Su us o depende de l a eval uación qu e
se hac e de los f act ores que pu eden cau s ar s esgos, y en bas e a ello se
estab lec en lo s p ro ce dimient o s d e contr ol más oportu no s.
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Capítulo 6
Educación etnomatemática desde la interculturalidad
Cabe recordar que las políticas ed ucati vas q ue s e pr actican en mat er ia
int ercul tu r al s uel en ap unt ar a di st ing uir ent r e la ed ucaci ón intercultu ral
bilingüe (EIB), y si esto no es p os ible, a l a et noe du c ació n com o form a d e
edu cació n consi deran do una perspe ct iva i ndí gena y afrodesc endiente s ob r e
la int ercul tu r alidad com o u n e nfoqu e gen eralizado d e l a polí tica educ ativa.
Ambas so n f or m as de pr ot ege r l a dive rsidad cul tural de lo s paí ses
Latinoam eri canos en r ela ci ón a la educa ció n.
Si bien l a i nt e rcultur al idad su el e utiliz ars e c om o m a rco d e abordaje
de la s p olí tic as públ icas, exist en mati ces en el a po rte de l a
int ercul tu r al idad. B ási cam en te, s e fundamenta en una vi sió n que p resen ta
la op o rtuni da d d e cue st ion ar a l os Estados y sus políticas vi g entes en el
der echo d e lo s pueb lo s a la educa ció n, a dem ás d e des m ant el ar l os p roc es os
histó ricos de marg in a ción, qu e e n o cas ion es los t r ansfo rm an en víctim as .
Las o rgani z ac ion es e xp e rt as en d ere chos de los pu eblos i nd ígenas
consi deran a l a ed uc ación u n der ech o hum an o y u na h erram ienta nec esari a
par a a lc anzar otr os der echos hu manos y lib e rt ad e s fun dame n tal es . Al m is m o
tie mp o es un m ed io para sali r de l a pob reza d e los pueb los m a rgi nados
socioeconómic amente y al canzar un plen a pa rt ici paci ó n en la s oci eda d. Sin
emb argo, el pap el d e los Estados co mo gar antes d e o tros der ech os es
impor t ante, cump li endo c on su respons abili d ad de br indar educa ci ón de
calidad a tod as la s per son as indí gen as y afrodesc en dientes.
Por otro lado, es nec esa rio enf atiza r d o s caras de l a m oned a, que
apunt a a f ort al ecer la educació n cultu ra l propi a q ue tan to l os p ue blos
ind íg ena s com o la pob lació n afr ode scen diente reclaman par a sí. En otras
pal ab ras , la "aut oeduca ción" incluy e al m e no s dos corrient es: l a edu ca ci ó n
int ercul tu r al bil ingüe ( EI B) y/ o la etnoedu c aci ón , que in si ste en educa r a
sus int eg ran tes en su pr op ia l e ng u a y cultu ra a pes ar de l a d i fe rente
orien tación.
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Est e argum e nt o pr esu pon e qu e am bos pueblos ti ene n d e recho a
dis po ner de s u p a ís a tra v és de un a po lí tic a ed u ca ti va q u e as egu re l a cali d ad
de la edu c ació n a tr avés de la r ealiz ac i ón de estos de recho s. P o r lo t an to,
es n ecesario evaluar es ta f orm ac ió n en c omp ara ci ón con el desar roll o d e l a
EIB e n la re gi ón y los d es a fí os más imp o rt an tes d e l os pa ís es
lat in o am eri cano s en l a actual ida d.
Se t r at a d e las tendenci as a ct u ales de l a educa ció n in t er cultur al
bilingüe y l a educac ión i ntercultu ra l. De ntro de estos t em a s su ele n
enc on tra rs e p erspect ivas hegem óni cas d e d es arrol lo y otr as f o rm as de
ent en der la relación ent re ecosistemas y cult ura. Si n embargo, cabe se ñal ar
que en estas persp e ctiva s crist ali zan tendenc i as b asada s en l a pol íti ca
edu cativ a y en la experienc ia de los paí ses lat ino ame ri c an os , a partir de l a s
cua le s s e pue den dis tin gui r dif er encias p olíti co-ideol ógi ca s.
Est as cor ri entes tiene n d iferentes mod el os s ocial es con cont ext os
histó ricos es p ecí fi cos que s us ten ta n l as r elaciones ent re g rupos
sociocul tu r al es y lingüí st ico s. C abe rec ordar que, en Am éri ca Lati na, el
trasf ondo de e st a s di scu si one s s on la s exigen ci as hist órica s, d e sa rroll os y
exp erien ci as pedagógicas pr evi as q ue traen el context o de l n ac imi ento de
la EIB. Po r ejem plo, un mo delo hegem ón ico ba sa do ep ist emo ló gic ament e
en el conocim iento c ie ntí fico o c ci de ntal ti end e a cons trui r un a form a d e
conoc er y parti r de ver dades que deslegi tim ar cu alq uier otr a forma de
produ cir c ono ci miento.
Por l o t ant o, lo s d eba tes educati vos sobre l a d iversidad en Am éri ca
Latina se gu ían por es tos difer ent es mo d el os. Es t as cor rientes parten de la
fo rma de i n cl usi ón /i ntegra ción de la cul tu r a nacion al y de las estrategias
de i nt e rculturali dad del si stema educati vo e n gener al , q u e consider a n la
nec esida d d e i nclui r “al t ernativ as ep ist émi c as ” en el aula, donde n o
sol am ent e se co nsi der e est e s ab er cómo una al t ern at iva a l con ocimi ent o
occ id ent al , s ino des arrollar f orm as al t ern ativas de produc i r c on o cimient o
que ap oy e n l as prácti cas so ciales, c ulturales y edu cativ as de l as
comunida des. La import ancia d e est e en f oq ue r adica en que s on los pu ebl os
ind íg ena s qui enes d eb en promo ver s us de rechos y op ortunidades de
parti cip ar en su s ist em a educ at ivo .
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Diver s as inv es tig ac ion es e nfati z an que la i nclusión de t em as de
cosmovi sión mejora la cali dad de l a en s eñ anza y e n ri quece los currículos
con prá ct i ca s m ás co nt extu ali zadas y so stenib les. Sin em b arg o, en la
prá ct i ca es to s e compli c a p or la b rec ha ent re los do s mode l os oc ci d entales
de cono ci miento y ot r as epi st emo lo gía s indígenas que s urge n en las
re l acion es de p ode r y l as desig ualda des h ist óri cas.
Va l e l a p ena re corda r el texto de l a U NESCO (2015) R epe ns ar l a
edu cació n, ¿hacia u n bien co mún gl obal? Este t ext o desc ri be l a impo rt ancia
de con sid era r l a d ive rsida d como un rec urs o y enfat iza la exploración de
enf oq ues alt ernat ivo s a l con cepto h egemónic o de d es ar rol lo. E st os m ode los
alt ern ativo s están rep r esent ados p or el S um a k ka ws ay o "buena v id a" como
un m edi o de inte graci ón del conoc imiento, q ue tien e en c uenta di ferentes
fo rma s d e encuent ro con la n atu ral eza y dife rentes conexio nes so ci ale s y
comunita ri a s.
6.1 La educación intercultural bilingüe
La EIB es una altern at iva a l a educ ació n r egu lar cuan do las
esp eci fi ci d ad es co nt e xt ual es lo r equieren , p er o no obli g a ni fij a to dos l os
niv el es ed u cati vos. En ot ras palabras, se p resen ta como una exc ep ci ón y no
re p resenta a toda la pobl aci ón ni a t oda l a regió n, y l a cobertu ra de t o do s
los nive les es sol o u na posib ili da d . Varios progr am a s de EIB en
Latinoam éri ca ti enen un a fo rma de educ ación, pe r o también otr as form a s
alt ern ativas en l as q u e l o s si stema s educa tiv os d eben parti ci p ar de ma nera
cor recti v a y compens atori a a ot r as pobl acion es en riesg o edu cativ o, po r
ejemplo: se deb e prestar at en ció n a los est ud i antes co n d isc ap aci dad y/ o
los jóvenes y adultos que no se encuentran e n el si stema ed u cativo regul ar.
La EIB r epresent a un modelo in stitucio nal según el cu al lo s paí ses de
la regi ón as eg u ran la educ aci ón en la le ngu a y cu lt ura de lo s puebl os en
cue st ión , l a EIB es l a educa ci ón qu e dem and a el pue bl o. Si bien, lo s p ueblos
origi nario s recl aman s u de recho a la ed uca ci ón en su prop ia le ngu a y
amplí an los lími te s d el bil ing üi smo , la educ aci ón interc ult ur al o la
edu cació n con enf oq u e i nt e rcul tur al no d eb e s e r opacad a o r E IB . Po r t an t o,
Pág. 110
cua nd o s e busca u na ed uca ci ón inter cultu ral, el sis tem a ed u cativo no pu ed e
sustr aerse a la cu estión d e q ué acci ones espe cí fi cas se diri gen al
componente b l anco m e st izo p ara v a lor ar l a cultu ra o rig in ari a (i nclu i dos los
afrodesc en dientes) y r eco no cerla en igu ald ad de c ondicion es ”. co mo cult u ra
dom in ant e. La e tn o ed uca ción ti en e e st e d es a fí o en varios país es de
Latinoam éri ca.
La conce pci ón de l a interc ult urali dad naci ó en América L ati na,
esp eci almente en el ca mpo d e la e ducaci ón. Los l ing üi sta s y an t ro pól ogos
ven ezol a no s Est eban M oso ny i y Om ar Go nzález a cuñ an el té rm i no a
mediados d e l a d écada de 1 970. E st os se enfoc aro n esp ecífi camen te en las
exp erien ci as ed u cativ as que tuvier on c on el p ueblo i ndígena Arawa k de
Ve nezuela. La p ri mer a fase del mo vim ien to edu cativo i ndígena i nc luy e
div ersas experienc ias educ at iva s a lternati v as acog idas por l í d er es
comunita ri os as oci ados a los sect ores progresi st as de la univ ersid ad y la
Ig les ia Catól ica Roma na.
Al m ism o ti emp o, s e est ablecieron m ate riales d i dácti cos altern ati vo s.
Por otro la do , la “int eg ración” de es tos p ueblo s indí g enas te nía senti do,
porqu e s e re co no cía como i mp o rt an te el d er e ch o a prom ov e r l a c ult ura de
los pue blos. El bil ingüi smo, m ás q ue u n a h err amienta d e c i vi liza ción
fo rta lec e a la s etnias co mo un ejemplo que tr asciende la in te r cultu ralid ad
y exi ge la i ncl us ión n o sol o de di fer en t es l enguas sino tambié n d e culturas
en el si st ema educ at ivo.
En l os añ os 8 0, l as luchas indí gen as ganaron r econoci miento
int ernacional . P o r e llo , v ari os países h an exigido la inc lu sión de doc entes
ind íg ena s en su s fun ci ones administ rativas. S u aporte a la e ducaci ón
int ercul tu r al fu e l a conden a d e l as diversas form as d e dis cri min ación racial.
Est as corrie nt es se basan en que las relaciones pa sad as y pr ese nt es entre
difer ent es g rupos so n "cord ial es " y aún est án m uy p res entes e n los
imagi n ar io s s oci al es y sociedad es lati noamericana s.
Los m ovimient os de los afrodesce nd i entes t amb ié n h ici er on un a
lectur a al t er nativ a d e los procesos histó ricos en c uan to a s u parti ci pación
en las g uerras y l a formación de los est ado s-nación . Exi gi e ro n una
re p ara ción po r l os da ños c ausad os p or los go bie rn os es clavi stas. En g en eral,
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se ha comenza do a g en era r información crí tic a p ara la pl a ni fic ación de
contenid os y pol ítica educativ a. Al mism o tiempo, l os af rod esc en dientes
com en zaron a re clama r p ro pue st as políticas par a eva lu a r la i d entidad
cultu ral d e los af ro des cendi ent es e inc luir s u cosmo visión y compon e nt es
histó ricos en lo s cu rrí cu los esco lar es y mat erial es pe da góg i co s.
Des de l a d écada de 197 0 est as exper ien cias fue ron los e spa ci os
privi l egiados d e la educ ación inform al , pero l u eg o infl uyero n en l os
siste mas d e ed ucaci ón fo rmal, espe cial men te a fi nes d e la déc ada d e 19 80
y principi os de l a de 199 0. E n o t ras p al abras, los co ncept os d e
int ercul tu r al idad y c ultu ra p ermit en comprende r los p ro blem as que gene ra
la co mpr en sió n d el c onc ep to.
Es impo rt an t e re co rdar q ue e n Améri c a L ati na l os con ceptos d e
int ercul tu r al idad y multi cul tu ralidad sue l en es tar asoci ados a l a e du cación
int ercul tu r al bi lingüe. Est a c omp rens i ón surge de la ins is t en cia de l os
líd eres indíg enas y los intelectu ales de la s cienci as so ci al e s en cone ct a r e l
conoc imi ento escol ar con el c ono ci mie nt o cul tur al i nd íge na. En este
senti do, el conce pt o i nt e rc ul tur al se def in e p or el conoc imient o q ue s urge
de las relacion es entre perso na s y gru p os. Si n emb argo , las instituc ion es
estat ales su ele n esta r di rigid as d esde u na p erspe ct iva mon ocu lt ural, d on de
la i ntercult u ra li dad es so lo para l os puebl os i ndí ge nas . Est a fo rm a d e
ent en dimiento int ercultur al n ace de l a i dea d el mul ticul t uralismo, don de l as
pol ít icas nacionales no inte gran a l a s co mu nid ades i ndígen as al Estado, p or
lo qu e s on si st emáti cam ent e s eparada s.
6.2 Pedagogía intercultural: enfoque etnomate mático
Se a naliza r á el ap or t e de l a pe dag og í a ét ni ca en l a co ntext ual izaci ón
y rev ita li z ac ión de la educa ci ón intercult ural pa ra co ns id er ar otras
cosmovi siones . Rec ord em os qu e la experiencia de l tiempo s olo entre los
puebl os p rimi tiv os no siempre cor res po nde a l a e xp erien cia de l t iem po
occ id ent al m odern o. Al mi smo tie mpo , al gun os a uto res pla nt ea n la idea de
que los pueblos i ndí genas de México y lo s pu eblos i nd ígenas mapuc h e so n
condu cidos en un círculo. Es t a e s u na const ruc ci ón col oni al , porq ue con l os
Pág. 112
may as , po r ejem pl o, a rt icu lan la cir cul ar id ad con l a lineali dad, es deci r,
propo nen u na co nstru cci ón hí brida del tiempo .
Est a propu est a pu ed e ent end erse co mo u n a es p ecie de esp i ra l que s e
des arrolla e n ciclos al m ismo ti empo pero que av anza p oco a poc o. E n otr as
pal ab ras , es te proceso pu ed e ser entend ido po r el "m odelo de resorte". P or
otro l ado, se t iene el conc ep to judeocri sti an o del t iem po, qu e t am bi én se
deb at e ent re la l ineal idad y l a circula ridad : el regreso del Me s ía s y el fi n
de l o s ti empos con el Apoc al ips is su gi e ren una combinac ión de t i emp o
lin eal y ci rcul ar.
Par a e nt e nd er l a concepció n del tiempo d e l os m apu ch e s, es necesar io
ade nt rarse en el conce pt o d e sig no s o s eñales t em porale s (día y es tacio n es ),
que se utiliza n en la vid a c ot idi ana, a sí com o en l as insti tu c io n es educati vas
fo rma les. Las prin cip ales c at egorí as son xipant u, d es c rita com o el ciclo
anu al del t iempo , y antü , el cic lo d el día. Estos do s conce pt os son util i zados
en la e ns eña nza por l os kimches , qu i en es se apoy an e n la me moria s oci al
mapuche d e padre s y a bu elo s in vo lucra d os en l a ed ucaci ón f amiliar. L os
kim ch e se consid e ra n l os port adores d el sab er cul tur al y s oci al map uch e,
es decir, lo s educ ad or es que hist óricam en te ens eñ a ro n a la j uve nt ud l as
cat eg orí as de ti em po y esp acio. Cabe ag reg ar qu e l a d es cri pción del tiempo
y e l espa ci o en la cu ltu ra map uche tien e c ara ct erí sti cas d i fe rent es a l os
con cept os occident ales.
En ot r as palabra s, l a s nocio n es mapuche del tiempo en e l d isc urso
edu cativo, y es pecia lm e nt e en el ki mch e, están fij ad as pa ra las fas es del
día y d el a ño : e l d ía es ant ü y el a ño es xip antu. A sí , u tilizan s us
carac t er ísticas para r econoce r el pas o del ti em po en relación co n la
naturale za, por ej em plo , c uan do ob s ervan el sol, s u rot aci ón y m ovim i en t o
por los c erros . Si n em barg o, l a di ferencia e n la percep ción d el ti empo en tre
las regi ones d e Ki mche d e Pewen che y Wiju che se debe a pe cu liarid ades
geogr áfi cas.
En ot r as p alabras, dep ende d e las c aract er íst icas conte xtuales
(r egi onale s ) asocia das al área g eo grá fica, com o la perc epció n de l as
mon ta ñas . P or otro l ado, los Kim che coi n ciden e n q ue ambas regiones t rat an
al sol como u n el emento import ante, h acien do una conexi ón e ntr e la
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obser v ac ió n d e l a n atu ralez a, el r ecor rid o d el sol y el de s arrollo de la
agric ult u ra. Po r t an to , s e con fi rma que lo s el eme ntos má s import ant es d el
dis curso kim che están rel acionad os con el dí a y el año. Est e conocim i en to
del di scu rs o ed uc at ivo del k imche est á r el aci on a do con el con cepto de
tie mp o y debería incl ui rse en el currículo esco lar, pero es pec ia lme nte en el
subsecto r d e co mp r ensi ón d e l entorn o nat ural, social y c ult ural y el
subsecto r de e du cación mat em ática, por qu e actualme nt e am bos sub secto res
traba j an solo en el c on cepto o ccident al, pero si n c on sid era r l a l ógi ca
mapuche.
Por lo tanto , es n ecesario que los p lanes de est ud io d e l a ed ucaci ón
básica d e las u ni v ersidades cu e nt en t am bién con un a p ed ag o gí a etn ocént ric a
trans cul tu ral , que in clu ya aquell as c at e gorías de e spa cio y ti em po, y as í
poder i n cl uir esta cosmovisión m apuch e y s u p e rc ep ció n a t rav és de la
edu cació n t r an scu lt ural, a tr avés del c am bio de l a educ aci ón interc ul tur al
y del pl an de est udios en es cuelas q ue en su mayoría s on de co ntexto
ind íg ena o ma puche.
En definiti va, es po sible sup erar la d is t an cia ep ist em ológica entre el
sab er esc ola r y el s ab er m apu che o no m ap u ch e a t ravés d e un diál ogo
ami st oso qu e conten ga el e me ntos e nt re amb as racional id ade s (mapuche y
estudioso o cci den ta l ). Fin alm ent e, cab e ag reg ar que, en Colombia, donde
pre valecen c os mov isiones d ife rentes, l a Univ ersidad de Antioqui a ha
log rado av ances ejempl ares e n est as m at eri as. Dentro d e su s car rer as
uni versita ria s s e ut ili za u n nue vo m odelo pedagógico que s e enfoca en
busca r alt ern ativas a l a educa ci ón sup erior i nd ígena, ex clu yend o l as
habil ida des especiales e n la educación reg ul a r, recon oci endo l a import ancia
y r es ponsabil ida d del t rabajo en equ ipo , l a co n strucció n dir ect a c on y c on
las organi zaciones ind ígenas so n herramientas impo rtant es p ara mejor ar la
vid a de s us c om unida des .
6.3 La interculturalidad y la educación crítica
Pág. 114
La ed uc aci ón mat em át i ca puede pr om ove r l a con ci e nc i a cul tu r al y l a
autoestima a través del d es a rrollo de h a bili d ad es mat emát i cas cuando s e
enm ar ca de sde u na pe rs p ecti v a etnom atemática críti ca. S egú n Lóp ez
(2 001 ), la edu cación, con s u o rganizaci ón cur ri cul ar, i nfluy e d ire ct ame nte
en la pr es erv ación d e l as carac t er ís ticas cultu ral es del g ru p o:
“[ … ] a pe s ar d e l a ya tra dicional y h abitu a l r e fe ren ci a a l a
supuesta unida d lin güís t ica y pat ri mon io d e Amé ri c a Latin a, e n la
histo ria i b ér ica o luso -e spaño la qu e n os un e, es n e cesa rio d est ac a r
nuest ra m ult ietni cid ad, pl uri cultur al y mu lti lingü e car ac terís tica de l a
re gió n. Dura nte m uc ho ti emp o, esta d iversida d fu e pri m er o i gn orada
y l u eg o erra dic ad a po r e l sistema ed u cativ o, convi r tién d ol a en un
herrami e nt a de h om ogeneizació n ling üí s tica y c ult ural , esp ec ial m en te
cu a nd o la div ersid ad se at ri buí a a l a asc end encia i ndígena”.
Des de es t e punt o de v is ta, es importante res alt ar e s te h echo, para
hac erlo visi bl e a los ojo s de los e ducad ores, po r que se deb e pr om ove r la
int ercul tu r al idad a t ravés de l a educac ión m a tem át ic a crít i ca, que cu es tio ne
los pre supuesto s educa tiv os y so ciocu lt u ra l es , es de cir, cambiar la realidad
social y ci en tífica en busc a d e la c reati vi d ad mesti z a. La i nte rculturalidad
pre su pon e un conj un to d e v alores y c re encias democ rá ticas que ap unt an a
promover el p lur al ism o cu ltu ral en s oci edades cu lt ura lmente di v er s as en u n
mun do interdependi ent e.
Des de un i nici o, l os docentes a dquie ren l as h err am ienta s para anali z ar
y ev alu ar soci alm en t e la i nform ac ión , desde el pu nto de v i st a del r esp eto a
la d i fe ren ci a cultu ral , es d eci r, a con ocer y re spe tar la cu ltu ra d e l o s dem ás ,
pas e l o que pase, p orque se pon e en el lug ar de l o tr o y t r ata d e v er el m undo
tal co mo apa rece desde l os valores y presupuest o simból ico de la otra
cultu ra, adopt ando una a ct it u d c rí tica qu e fo rt alece los pri ncipi os
democráticos propios y de su s est udi an t es .
Un fenóm eno q ue val e l a p en a m encionar visto d esd e un e nf oq ue
int ercul tu r al es el retraso en la ed ucac i ón ent re los pueblo s indí genas de
Costa R ica. El c ens o de 2 000 m ue st ra qu e ex ist e una gra n brech a en l a
edu cació n académi ca entre l os pu eblos i ndí genas y los no i nd ígenas. S olano
(2 004 ) compara l a p obl ación mayor d e 15 año s con al m en os un año de
Pág. 115
edu cació n s ecu ndari a re co no c id a q u e p ert ene cen a com un ida d es indíg enas
con p ers on as n o i ndí gen as de l m is mo gru po de eda d. O bt i en e: 46% personas
no in díg enas y 9% p ara l os ind ígenas. E l e st udi o r epo rt a qu e l a escol a ri dad
promedio cursad a por l a població n mayor d e 15 años es d e 3,4 a ños e n
ter ri torio s ind íg ena s, mi entras que en la p obl ación n o indíg en a aum ent a
hasta 7 ,6 a ños. P oni endo de m anif i es to l a gran d iferenci a ent re amb os
grupo s, do nde el ind íge na el de sf avo recid o en ti empo d e edu cació n.
Una d e l as causas e s la formació n bás ica de lo s do ce ntes en l a
edu cació n obl igatoria, en tod a l a regió n a part an do las espe ci ficidades d e
los p ueblo s ind ígena s. La m a yo ría d e l os do centes n o c uent an co n estu dios
de c ontexto p a ra la en s eñ anza, m uc ho s doc en te s pertene cen a di f er entes
grupo s so ci ales, por lo que no hay constanci a ni perm anenc ia. Por tanto ,
los pueb lo s indí ge nas en frent an dos dificu lt ade s para ingr es ar al si stema
edu cativo:
los planes de est ud io q ue s e im parte n en l as com unida des indíg en as
son l os mi sm os q ue e n e l res to d el país y no co ns ide ran s is tem as de
sab eres o razonamien tos ca racterísti cos; y
la fa lta de m aestros pr epara dos par a s ervir a las c omuni dad es.
Est as so n l as p ri ncipal es ba rre ras para el acc es o d e l os i nd í genas a la
edu cació n p ri maria, s e cundaria y p o st eriormente a l a u niv ersid ad. Si bi en
los educ ad o res en es tos lu gares d e ben s er de or ige n indí gena, c o no cer l as
tradi cio n es d el l ugar y hablar la le ngua mat erna, esto no se con sidera , tal
como l o d emu es t ra el es tudio d e S olano, el porce nt aje de in díg enas q ue
tie nen a cceso a la educac ión sup e rior e s muy b aj o. En co ns e cu encia, l a
mayoría de lo s p rofe sor es en l a s tie rras in díg enas, no son in dí gen as , y en
muchos cas os n o están p repara do s para ser toler ant es con l a div ersid ad
cultu ral y progr ama r s us i nt e rvenc iones co n b as e en m o delos
trans cul tu ral es.
Lo anterior demu est ra que el conoci mie nto cul tural de las
comunida des o ri ginar i as no se de be desca lifica r al momento de i mp lem en t ar
un p r og ram a de en señanza. Si n embarg o, es to re qui ere u na pr ep a ra ci ón
did áctico-m at em á ti ca del d oce nt e, que en la ma yo ría de l os paíse s de l a
Pág. 116
re gió n l at inoamerica n a n o ha s ido apli cad a. No ob st ant e, a parti r d e l a
déc ada de 1 990, se h an o bse rv ado que l as es cu ela s e i ns tit ucion es de
edu cació n su per io r in díg enas h an p ro mov id o cu rs os d e l e ng u a y cultu r a
desti nad os a p res er var l as t radicion es po pul ares, p er o el currí cu l o de
edu cació n gener al no h a si do adaptado par a h ace rl o má s ac ce sib l e a la
re ali d ad d e e st os gr u po s étn ico s.
La e du c ació n indíg ena en L ati noa mé rica presenta v agas p ol íticas
nac io nal es y f al ta de recursos f inanc i er os y hum anos para de s arr ol lar
efect iva mente un m odelo de cu rrí culo indígena . D esde est e p ano rama de
margin aci ón o invisi bi lización es p recis o b rinda r un p ro gra ma d e formaci ón
par a los doce nt es qu e v an a trabajar a l o s t errit or ios i nd í gen as . S e trata de
la mu lti cultu ralidad a part i r d e l a et nomat emát i ca y la intercu lt uralidad.
6.4 La etnomatemá tica en la formación de docentes
Con si der ando qu e las cult uras indí g en as son olv ida das e
inv is ibilizad as, no s e encue nt r an ele men to s de e tnomatem áti ca s y
mat emáticas vivas, donde se pue de p r eservar el pens a mi ent o de los
estudian te s com o f uente d e desar ro llo cu rri cula r y prev i am ent e co mo
elemento de r ef lexión en la formación profesi onal d e su s d o ce nt e s. L as
etnom atemátic as, re pre sentan va ri os tipo s de inves tig aci ón en c u estio nes
como:
lo cognitivo, s e r efi ere al suj et o d e c on o cimient o e n con tex to;
polít icas rel at i va s al rol de pode r o de d isc ri min ac i ón de las
mat emáticas ;
ética y estéti c a, q ue exam ina n las implic acion es de l as matem áti cas
par a l a ve rda d, la j ustici a, la re lati vidad o el ab solut is mo ideol ógi co ;
antropol óg ico socia l, co ns id e ran el p roc eso de constr ucció n y
dec on strucción d e las matemát ica s y su s c on ex ion es con ot ro s
dom inios d e l a cogni ció n, co mo el leng u aj e;
Pág. 117
edu cativ as , co nsi deran los orí gen es y pro ces os d e l a “en cu lturació n”
mat emática den tro y fu era de l s is tem a es col ar, se prop o ne la
promoció n d e m étodos que fa vor ezc an l a part i ci p ac i ón crí tic a d e lo s
estudian te s y l a p ar tic ipa ci ón d e todos los ac to r es de l campo de la
edu cació n pa ra ana liz ar l a situa ci ón educat iva a travé s de la
"in vesti gación-a cción" y t écnicas etn og ráficas.
Las m atemát ic as y la educ ac ió n s on estrat e gias context u al es e
int erdep en dient es. La Etnomatemática e s un pr ogr am a de inv es tig ación y
un movimi ent o educ ati vo y de a cción soc ial qu e une a profesores e
inv estig ad ore s d e edu ca ció n, so ci ólo gos, mat em áticos, hi sto ri a do res y
epist emólogos qu e s e preo cup a p o r los hec ho s matemátic os de todos los
tie mp os. L as etnomatem áti cas, in cl uye tod as las matemá ticas exis t entes,
así como l as "matem át i cas o ccide nt ales y/o fo rm al iza d as ".
En e l campo d e l a educa ci ón s e c onsidera que l a encul tu ración
mat emática e s parte de l a en cultu ració n natural , es un proc es o co nt inuo
desde e l co no cim ien to d el g ru po cu ltur al del alumno hasta el co no ci m iento
normativ o o e sc ol a r; y es t á m edia da por e l m a es tro y sus herramient as. En
el aul a se su gi ere t r ab ajar en m i cr op roy ect os in t eg rados etnomat emá ti cos
col ab ora ti vos que co mbinen con ocimi ent os s ob r e un “si gno cultu ral”, y las
posib ili da d es mat em áti c as prev ia m ente exp lor ad as p or el d o cente logra n un
efect o aut odi dacta al asum ir el ro l d e inv estig ador.
Las etnomat em áti ca s y la fo rm aci ón d o cente en e nto rnos in díg enas
están rel acio n ad os co n múltip les t rab aj os d e inv estig ac ión a ni v el
int ernacional . As í, se t i en e co mo la antrop ol ogí a s oci al y l a s
etnom atemátic as a y udan a co mprende r l os lím ites y po si bil idades d e l a
ens eñ anz a i ndígena c uan do se to m a como m et as y val ores l a
int ercul tu r al idad y las etn om atemáticas. Los est udi o presenta lo s val ores
de los doc en t es ind ígenas q u e h an p articipado de l a fo rmación y s us
fo rma dor es . Alentando a l os pro fes or es indígenas a p res ervar los
conoc imi entos de los an cestros indíge nas y l as co smo vi sio nes de los
puebl os orig in a ri os e n l a esc ue l a, r econoci endo q ue l os p uebl o s in díg enas
tie nen su pr op i a educa ci ón qu e pue de s er fu ndamental p ara la cr eación de
nuevo s conoci mi ent os .
Pág. 118
6.5 La etnomatemá tica y l a escuela
6.5.1 La etnomatemática y los saberes previos
Ha y poca investigación p eda gógica en las e scu elas ind íge n as,
es p ec i alm en te sobre la en señ a nz a de las matem áti c as . Si n em barg o,
vari os elem entos s e re pi ten en las di s cusio nes de los diseñadore s,
ed u ca dores y m a est r os de amb ientes indíg en a s. Un a de ella s es qu e
lo s con o cimientos ma temáti cos q u e circu l an en las comunidad es
in dígena s (es pe ci alm e nt e en los n iñ os de prim ari a) so n difere ntes a
la s m atemá ti cas conte ni d as e n los currículos naciona l es . Y e s ta i de a
ma nti ene su fu erza a pes ar de reconocer también q ue -probabl em e nte-
es te c onocimiento y a n o existe , en cuy o cas o convie ne co nsi d er ar lo s
problemas c ot id i anos qu e s e pre sentan en la en se ña nza y aprendizaje
de cont enido s m atemát icos.
Ot r a id ea co mparti da por d o ce nt es y edu cad or es es q ue la
ma t emát i ca i nd ígena e s un sell o d e identida d y u n r ec u r so que
promuev e l a aut oe stima de l as persona s, po r l o qu e deb e ser
re cu pera d a y preservada a t r av és de la e sc u el a. Como r es ultad o de lo
an ter io r, aparec en preg untas cu rriculares q u e g en eran una a mpl i a
discusi ón :
¿D eb e in cluirse esta in fo r ma ció n en el cu rrí culo esc olar?
Si es así, ¿c uá l e s es t a inform ac i ón?
¿C óm o d e be n in c luirse en el currí culo?
¿C on q ué pr opósito ?
¿Q ué hac e actualment e el p la n d e e stud ios ?
Pág. 119
Ac tualm en te se ha ll egado a u n consenso ya niv el in ter na cion al
la idea d e un a e duc ación m at e má t ica t rans cu lt u ral ha alcanzado
heg em onía. P ero l a idea de q ue r e presenta una d idácti ca alt ern at i va o
al m en os l a creación d e u n p ro ces o de e ns eñanz a y aprend i za je
co mpa tible co n l o q u e s i gn ifi ca se r int e rc ul tural ( ens eña nz a de las
ma t emát i ca s ) no s e h a desarroll ado t otalm ent e . Si bi en han exi stid o
ex p er ien cias v ali os as con los p ueb los in dígena s d e Am éric a del Sur,
en ge n eral, e st a s ex pe ri e nc ias s e cent raro n e n el u so de ut ensilios
co mo la yup ana (ábac o s).
Si se ac ep ta que cada nación tiene su propia histo ri a, su prop io
co nocimi en to y su pro pia ex ist encia y fu t uro en to n ce s no result a
au to máti camen t e b en efi cio so transferi r las ex p erien ci a s adq uiri das e n
un de termin ad o g ru po cu lt ural a otros qu e difi eren en cuant o a s u
co nocimi en to, a spira cio n es pre se nte s y fu t ur as. E l c ont raste , el
diál o go y hast a el cu estion am i ent o son e se nc ial es para que es t e
ben ef icio de t r ans fe r en cia s ea real.
6.5.2 Conocimientos previos
Los co no cimiento s prev ios de los estud ia n tes c omo punto d e
part i da de l as e str ategi a s d idácticas han s ido re co noc idos o fi cialm ente
por muchas nacione s. Un a d e la s t area s de l a escu ela es b ri ndar
situa ci o nes do nd e los niñ os u til ic en conocimient os ya exi st e nt es p a ra
re sol ver cierto s problemas y comp aren s us soluci on es c on bas e e n
solucio n es ori ginal es para ev ol uci on a r h aci a e l proced imiento y
fo rm ula ci ón d e l as m at emá ticas. E nco ntr ar l a re alización d e es te
an h el o educati v o no es fácil , y el p roblema pedagógico relacio na do -
bas ad o en c on o cim ientos p revio s- se fo rt alec e en la educa ció n
in dígena por va rias razones:
¿C uá l es el c ono cim ient o exi st ente?
Pág. 120
¿E s que este con ocimi en to describe la cul t ur a local específica
del g rup o étni co , que es real men t e di fere nte d e la cu ltu ra de la
ma yoría de l a poblac ión c om o se su ele s uponer?
¿R econocen l os pr ofe sores la i n fo rm ación m en cio n ad a?
¿C óm o h a ce n eso ?
En otr as pa l ab ras, la demanda pedagógica de nu es t ro t iempo e n
el ca mpo d e l as ma t em áti c as y su enseña n za co ns is te e n fun da m en t ar
la s ex perie n cias y c ono ci mie nto s p re vio s d e los e stu diantes para
lo grar apr en di z aj es i m portant es. Pero cua ndo est e i mper ativ o s e ubi ca
en el c ontexto de l a e du cación i ndí g en a, adquiere un si gnific ad o
es p ec i al y m ás c om plejo : el conocim i en to pre vio de los niños se
co mbina c o n el co noc imiento de la cult ur a a la qu e pe rten e cen,
co nsider an do m u chas v eces que el co nocimi e nt o a ncest r al e s i n cl ui d o,
que la cultura es t á viv a, q ue dichos sabe res son los que ci rcul an en la
co mun idad d e refe rencia, por lo t an to, de ac uerdo co n el m e n cion ad o
im perati vo p ed agógi co, deb en se r i n cluid o s e n la esc uela com o pas o
obligatori o.
Esta p reg unt a es con t rove r ti da p or qu e casi no h ay in vestigac ió n
sobre l a s m atemáticas en l as comu nida de s in dí g ena s, y hoy en d ía cad a
vez m ás etnóg raf os y antro p ól og os en fatizan el hech o d e q ue las
co mun idades so n diná m ic as y n o es t án ai sl ad a s d e su co nt ex to
ci r cu nda nt e (no i ndí ge na) . Ta l re co noc imiento obliga a re con si der ar
el co nc epto de conoc imiento previo y conoci mi e nt o matemático l oc al .
Este c ono ci mie nt o de be s er id en tific ad o y se d ebe pr egu nt a r a los
es tudian tes:
¿cu ál es s u c on ocimient o p revio ?
¿cu ál es s u o rigen ?
¿co n qu é e xp e rien cias se r el a cion a?
¿n o es ori gi nal ?
Pág. 121
6.6 Maestros: s aberes etnomatemáticos
Los s abe res que identi fican lo s p rofe s or es est án referidos en la
mayoría de lo s c asos a la medi c ió n, y ent re el lo s s e enc uen tran:
a) L os s abe res mat emát ico s local es s e r el a ci ona n co n l os i ns t rumentos,
uni dades y fo rm as de me dición p ropi as del l uga r;
b) Los profesor es saben rec on oce r e n l os est udi antes la exi st en c ia de
sab eres previ os qu e s e rel aci on an a l as acti vid ades de medi ció n;
c) E n forma gener al, n o se log ran id en ti fi car si stemas d e c on t eo y
cál cu lo p ro pi os de las co mun id a de s y dist int os de los utili zados en la
cultu ra no i ndígen a;
d) En varias comuni d ad es con poco ai sl ami ent o y con bu ena prod uc ción
eco nó mic a, se logra n i den ti ficar activi dades d e c omp ra-ve nt a y
man ej o d e dinero, así co mo aprendizajes previos de riv ados de di chas
actividades;
e) G ene ralme nt e los pro feso res en l as m ayorí as de la comunid ade s no
men ci ona formas loc al es d e u bic ación e n el esp acio, ni en la
comunida d n i en sus alumn os.
6.6.1 Saberes más visibles
Al gunos m a estros t ienen a mpl io conocim iento de lo s sistemas
de m ed ici ón de la com unidad , com e ntan en d etall e las fo rmas e n qu e
se mide el ter ritorio esp e cífi co d e su co mu nidad, y tam bi é n mu es t ra
in t er és en inc luir lo q ue llam an "c onte nido étnico", expre sando: s u
Pág. 122
tr aba jo es de spertar l a nec es ida d de que los n iños h a ga n m at e máticas
en s u p ro pio conte xt o, p ara el uso di ar i o.
Las h err am i en ta s, unida des y forma s de medición local es
id en t ificadas p or los prof eso re s Lucio tienen m uc has sim il i tudes de
una comunid ad a otr a. Por ej emp lo , en com unid ades in d ígenas
me xicana s, s e mencion an:
El paso, d e garro ch a ( pa l o que s uele med ir cinco cuar t as ) y una
cu e rda (d e a l guna m ed i da útil según l as necesidade s de l a
co mun idad) e n u nidad es d e long itude s.
Alm ud, l ata, lit r o (u ni d ad es p a ra me di r grano s) y jícora para
me dir volu me n y/o peso .
Tarea o s al a ri o p ara m edir te rr e nos por ti emp o.
En Ch i apas ta mbién se re conocen: el "zot e" - u na cap a
re ct a ngu lar de 400 mazo rcas c oloc ada s una al l ado d e la ot ra - para
calcular l a c os e ch a de m aíz y e l "g eme " ( co mo d el anch o del dedo
ín dic e) pa ra me di r alguno s al ime nt os co mo que so .
Tambié n exist e u na b alanza , ru di menta riamen te construid a con
vari l la o p al o de 35 c m de largo, hil o; o c u erd a, y creado p or l a sección
tr ans versal y fi j ad o en e l medi o p o r una cu e rd a soste nida po r el
pes ad or d el prod ucto. La s c alabaz as se suelen co rt ar por l o qu e s e
pueden co nve rtir f ác il m ente en k ilo s, m edios k i lo s o cu ar t os de k ilo,
as í s e equi li bra el pe so co n l as p iedr a s act uan do c o mo p es o y e se
puede s e r 1 de ki lo. o 12 kilogr amo .
En c uanto a l a m ed i ción y los cono cimien tos pr ev i os de lo s
es tudian tes, l os do c ent es i d entifi c an q ue los n iños conocen y/ o
utiliza n l as un i dades d e m e dida y los di sposi tivos u t iliz ados e n l a
co mun idad. En ge ne ral , l os n iños v en a l pa dre ya l a m a dre me di r
mi e nt ras t rabajan o prepar an la c om ida.
Pág. 123
6.6.2 Cálculos propios : saberes no visibles
De forma g en erali z ad a , l os p rof es ore s n o me n cionan s ab eres
propios d e l as co muni dad es en rel ac ión c on la num era ción, el c onteo
y las maneras de c al c ul a r o agrupar. En Méx ico , sólo hay una
re fer en cia a e sta c u esti ón qu e v i ene no de l a e nt rev i st a a alg ún
pro feso r, sin o de l a obse rv aci ón de la a ctivida d a rt e sa na l y su v en t a
en l a comunid ad: los agrupami entos en ba se 12 (docenas y gr uesas)
utiliza dos pa ra el contr ol de l a pro d ucci ón y la v en ta de un pro ducto
ar t es an al e n u na com un idad de Mi choacán u bicada en las cer ca ní a s d el
la go d e P át zcuaro.
En est a c om un idad, l a a ctividad e co nómica prin c ipal es la
al f ar er í a, esp ecialment e l a el a bora ci ón d e p e queña s o l las q ue se
venden p o r docenas y gr ue s as atad as c on cord eles. Prác tic amente
to das l a s p er s onas de la c om unidad pa rt i cip an en l a p ro duc ci ó n,
dist rib ución y v en ta d e l as oll as , incluid os l os ni ñ os , q ui enes desde
ap roximada me nte l os siet e años col abora n en dis ti n to s m om en to s de
la prod ucción , distribu ci ón o v enta de es ta arte s anía.
A pes ar d e org aniz ar, c ontr ol a r y vend er l a p ro du cc ió n d e
doc enas y grue s os, los n iños us an es t os términos co mo et i qu et as y n o
co mo térm in os c ar dinal es; es d e cir, no com o elem entos que expre san
la mu lt iplicida d de conju ntos. Cua nd o s e pregu nt a c uántas ol l as son
un gr uesa (12 docenas ) n o se sab e la re spu es t a hasta q ue hacen los
cálculo s.
Esto p ro bablemente est é relaciona do c o n e l h ec h o de que ellos
(l os n iños) no control an la p ro du c ción ni co n ec t an la s ol las; s u
part i cip ac ión t ie n e lugar en do s punt o s d el p roc eso:
pro ce samient o d e oll a pequeña ( artesanal ) en base a un
pro ce di miento manu al predefini d o;
dec or ac ión, tam bién individu al y de fin i da p or un a du lto .
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Co mo ya h e se ñal ad o , los d ocent es s e re fie ren al c ál c ulo c om o
una f or ma típi ca de conocimi ento mat emáti c o en l a s co mun ida des
in dígena s sólo excepci o na lme nte. Cont ar y o tros c o no cimient os
ar itméti co s l oc al e s -si lo s h ay - no s e id entif i ca n c om o conocimi entos
"vivos". E n e st e ámbit o , l as m encio n es d e se r ef i er en a pe rsona s
ma yor es -varios p rofe so r es com en tan c os as como: " ello s s on los qu e
podrían leer d e ot r o modo" , a unque no se especi fica cómo- y
fi nal mente hay r e fe ren ci as a adu lt os qu e -s egún v ario s docentes -
puede nom brar l os n úm er os e n l as lenguas nativas d e las etnias
“au nque so n l os mis mos núme r os que los nue stros” .
Tambié n se suel e arg ume nt a r q ue los niñ os ya no c onocen estos
núm eros, p or lo que lo s p ropio s m ae str os deb en en se ñarlo s e n l a
es cue l a, s i es qu e los c on o cen. S i n o lo s cono cen, alguno s m ae st ros,
en su ma yo rí a hisp an ohabl an t es nat ivos c on h abilidades ling üís ticas
li mit ad as , ayudan a niños má s experimentados a en señar e sos núm eros
en l a leng ua nativ a a l resto del g rupo .
Al gunas m a es t ra s o lo s e st u di ant es t am bi é n in for m an de lo
sigui en te: cuando la m aestra o los ni ño s d es co nocen ci ert os térmi no s
o m étodos d e medi d a o los n om bres d e los núm e ros u otras cosas
nec es ar ias qu e se e ns eñ an z a en la s m at emá tic as , la es t ra tegia
ped agógica más común es q ue los ni ñ os l as apren d an com o deb er es
co n sus pad re s o abue lo s, as í que al día s iguient e se in form a a todo el
grupo -i nclu i do el do cen te- s obre un términ o o conce pt o s q ue no t o dos
sa bía e l día anterior.
Co n tod o, l l am a la at e nc ión q ue e n general - y cont raria mente a
lo que parecen pensa r algunos pl an i ficad o res ed uca tivos i nd ígenas -
lo s doc en t es n otan l a au sen cia (actua lme nt e ) de c ier t as form as d e
num er aci ón y cá l cu lo e n l a s co munid a de s a la q ue pert ene ce n s us
al um nos. En este c on texto , v ario s do centes, in cluso e n l a s
co mun idades más aisladas y en un n ive l m ás alto d e mono l i ngüismo,
me n cionan qu e l os núme ro s r a ra vez se u san en el "l eng ua j e" , que l as
personas en l a c om unidad h abla n de núm ero s en español,
es p ec i alm en te c uando s e trata d e núm eros g rand es. Esta si tuació n
proba bl eme nte se de b a a que el uso d e los nú m er os se rel a ci ona
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princip alm ente con el inte rcambio come rcial, l o qu e s ignifica
princip alm ente co nt act o con personas fu er a de la comu n id ad y, por l o
ta nt o , e l sis t em a m one t ari o y l a s f ormas contab l es q ue s e u san en el
mun do n o ind ígen a.
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