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Empleo del método Polya como estrategia educativa en estudiantes universitarios para la resolución
de problemas
Ruben Dario Mendoza Arenas, Hugo Eladio Chumpitaz Caycho, Ericka Nelly Espinoza Gamboa,
José Eduardo Zorrilla Diaz, Santiago Rodolfo Aguilar Loyaga, Jonhy Saturnino Garay Santisteban
Adaptado por: Ruben Dario Mendoza Arenas
Compilador: Ysaelen Odor
© Ruben Dario Mendoza Arenas, Hugo Eladio Chumpitaz Caycho, Ericka Nelly Espinoza
Gamboa, José Eduardo Zorrilla Diaz, Santiago Rodolfo Aguilar Loyaga, Jonhy Saturnino Garay
Santisteban, 2023
Jefe de arte: Yelitza Sánchez
Diseño de cubierta: Josefrank Pernalete Lugo
Ilustraciones: Ruben Dario Mendoza Arenas
Editado por: Editorial Mar Caribe de Josefrank Pernalete Lugo
Jr. Leoncio Prado, 1355 – Magdalena del Mar, Lima-Perú
RUC: 15605646601
Libro electrónico disponible en http://editorialmarcaribe.es/?page_id=1015
Primera edición – marzo 2023
Formato: electrónico
ISBN: 978-612-49219-3-3
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°: 2023-01904
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Índice
Introducción ..................................................................................................................................... 5
Capítulo 1 ......................................................................................................................................... 7
Metodologías didácticas ................................................................................................................... 7
1.1. Competencias en la educación .............................................................................................. 7
1.1.1. Competencias específicas ..................................................................................... 8
1.1.1.1. Diversas competencias específicas ........................................................... 9
1.1.1.2. Competencias genéricas ............................................................................ 19
1.2. Metodologías didácticas ..................................................................................................... 22
1.3. Clasificación de metodologías didácticas ........................................................................... 23
1.4. Metodologías para el desarrollo de competencias .............................................................. 30
1.4.1. Lección Magistral ................................................................................................. 30
1.4.2. Ejercicios y resolución de problemas ................................................................... 31
1.4.3. Aprendizaje basado en problemas (ABP) (Problem-Based Learning -PBL-) ...... 31
1.4.4. Estudios de casos (Case Studies) (Case Method) ................................................. 31
1.4.5. Aprendizaje por proyectos (Learning by Projects) (Project Based Learning) ...... 32
1.4.6. Aprendizaje cooperativo ....................................................................................... 32
1.4.7. Contrato didáctico o aprendizaje (Learning contract) .......................................... 32
1.4.8. Seminario clásico .................................................................................................. 33
1.4.9. Aprendizaje en el aula virtual ............................................................................... 33
Capítulo 2 ....................................................................................................................................... 34
Tecnologías y pensamiento lógico matemático .............................................................................. 34
2.1. Tecnología ........................................................................................................................... 35
2.2. Educación y tecnología ....................................................................................................... 37
2.3. Tipos de tecnologías ........................................................................................................... 40
2.4. Pensamiento lógico ............................................................................................................. 42
2.5. Resolución de problemas .................................................................................................... 44
Capítulo 3 ....................................................................................................................................... 48
Método Pólya para la resolución de problemas ............................................................................. 48
3.1. Método para la resolución de problemas ............................................................................ 50
3.1.1. Entender el problema ............................................................................................ 52
3.1.2. Configuración del plan .......................................................................................... 53
3.1.3 Ejecución del plan .................................................................................................. 55
3.1.4. Mirar hacia atrás ................................................................................................... 55
3.2. Estrategias educativas ......................................................................................................... 56
3.3. El aprendizaje significativo ................................................................................................ 56
Capítulo 4 ....................................................................................................................................... 59
Ejemplo de aplicación de método Pólya en la resolución de un problema .................................... 59
¿Cuál es el objetivo? .................................................................................................................. 59
¿Herramienta computacional elegida y por qué? ...................................................................... 59
Concepción metodológica empleada ......................................................................................... 61
Concepción epistemológica y didáctica .................................................................................... 62
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Acción ........................................................................................................................................ 62
Papel de las herramientas empleadas y enfoque epistemológico .............................................. 63
Problema de investigación ......................................................................................................... 64
Situación en el aula .................................................................................................................... 65
Estrategias didácticas ................................................................................................................. 66
Recopilación de datos ................................................................................................................ 67
Registro de observaciones ......................................................................................................... 68
Paso 1. ............................................................................................................................. 68
Autovalores obtenidos .................................................................................................... 68
Paso 2 .............................................................................................................................. 69
Autovalores obtenidos y autovalores anteriores ............................................................. 69
Paso 3 .............................................................................................................................. 70
Respuestas naturales a: ................................................................................................... 70
Paso 4 .............................................................................................................................. 71
Obtención de vectores que conforma una base de dimensión 3, contentiva de autovectores
calculados y con columnas que formen una matriz M adecuada. ................................... 71
¿Qué ocurrió? ............................................................................................................................ 72
Resultados logrados ................................................................................................................... 73
Paso siguiente ............................................................................................................................ 73
Conclusiones de la experiencia.................................................................................................. 74
Capítulo 5 ....................................................................................................................................... 76
Propuestas de Pólya ........................................................................................................................ 76
5.1. Solución de problemas mediante algoritmos ...................................................................... 78
5.1.1. Solución inmediata de un problema ...................................................................... 79
5.1.2. Composición iterada de un mismo algoritmo ....................................................... 79
5.1.3. Empleo de un algoritmo análogo .......................................................................... 80
5.1.4. Algoritmos en la determinación de elementos auxiliares ..................................... 81
Capítulo 6 ....................................................................................................................................... 82
Retos para la docencia .................................................................................................................... 82
6.1. Hipótesis en la literatura ..................................................................................................... 83
6.2. Propuestas para un una enseñanza basada en la resolución de problemas ......................... 87
6.2.1. Hipótesis y conjeturas en el razonamiento............................................................ 87
6.2.2. Las hipótesis, conjeturas y el arte conjetural ........................................................ 89
6.2.3. Propuesta de enseñanza ...................................................... …………………….. 91
6.3 A modo de reflexión ............................................................................................................ 94
Bibliografía ..................................................................................................................................... 96
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Introducción
La r es ol uci ón d e p robl ema s r esu lt a s er un o de los te m as qu e se h a abo rd ado
con gr an int eré s y pr eo c up aci ón en la in ves tig a ci ón edu cati va reci ent e. Para
Gaul in (20 01), h abl a r de probl emas si gn i fi c a p ens ar en aqu ell as sit ua cio n es
q ue requ i eren refle xi ón, búsq ued a, in ve stig aci ón y respu es t a, pens ar en
sol uci on es y defi nir un a es t rateg i a de sol uci ón q ue n o l leve ,
n eces aria men t e, a un a s ol uc ión ráp ida y ce rte ra.
El s urgimi en to de l en foq ue de r eso luci ón de pr obl emas co mo preoc upa ción
d idáct i ca se deriv a del apr en dizaj e como una co nst ruc ció n soci al qu e
in vol ucr a su p ues tos , pr u eb as y refut ac i on es b asa d as en pr oc esos cr eat iv os .
Con bas e en e ste punt o de vi st a , el obj etivo de l est udio es enf ati z ar
act ivi d ades q ue c ond uc en a si tu a ci on es probl emá ti ca s, c uya solu ci ón
re qui ere anál isi s, des cu br imie nto , des arr oll o de hi pó tesi s, re fl exi ón,
argum en tac ión y c omun ic aci ón de i d eas.
De e sta fo rma , surge co mo ne ce si d ad la dis po nibil id ad de la in for ma ció n
d ecla r at i va y pr oce sal nec es aria pa r a solu ci onar el probl em a qu e se
p resent a . Se refi ere a l a búsq ued a cons cien te d e un mod elo qu e pro muev a
el des arrol lo de un estud ia nte ind epen d ie nte que, en in te rac ción con el
con o cimi ento y el m undo que l e rod ea, ap rend e y o rg ani za su cono cim i en to
com o p art e de s u const r ucci ón perso n al y pr ofes ion al. Ex p re s a P ar ra ( 1990 )
q ue un p roble ma se consti tuy e com o tal , e n la medi da en qu e el sujet o a
q ui en se l e pr es en ta ti en e los el eme nto s para co mp ren de r la s it uac ión que
el p ro blem a d escr i be pe r o no cuen ta con un sist ema d e res pue sta
com ple t am en te fo rma do q ue perm it e un a s olu ció n i nme dia ta.
Est a int enc i ón en el se ntid o es de fi ni da por Pól y a en 1965 , par a qu ien un
p roble ma s ign ifi c a un a bú sq ued a co nsc ie nte d e un a ac ci ón ad ec u ad a par a
al can z ar u na met a c l a ra, p ero no i nm edi ata me nt e a lcan za ble. Es en e st a
b ús que da qu e una id ea de riv ada d el aport e de N e wel l y Sim on ( 197 2)
d entro de l a psic olog ía c ogn iti v a mu estr a qu e el pro bl ema pu ed e vers e c om o
la di f eren cia en tre e l e st a do in i ci al y el esta do fi nal q u e c ons tit uy e la m e t a
al can z abl e.
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El pa pel d e l os pr ob l emas e n el currícu lo un ive rsit a ri o, ta nt o en ma t eria s
exa ct a s com o natura les , no es nuevo . En algu nos c as os , co mo en las cien cia s
mat e mát i ca s, apa rece n des de la antig üed ad se gún S t an ic y Ki lp atri ck
(19 89 ). En ot r as, co mo fí sic a y quí m ica , sigui eron l a e nseñ an za d e aquel l as
d isci pli nas qu e s e refi ere n a si tua cion es de evi d encia . S in em ba rgo ,
apa re cen probl em as rel ac ion ado s con si tua cion e s nu e vas q ue deb en se r
re suel tas ju n to co n nu eva s tend en ci as ed ucat i vas qu e e xig e n a los
es tu di an tes des arro ll a r ci ert as h abi lid ades y dest re zas a exp ens as de
p ercep c ione s q ue con sid ere la edu ca ció n ci ent ífi ca .
De es t a m ane ra, ap are cen o tros signi fi c ados que s on consi st ent es co n e st a
p ersp ect iva: es ne ces ari o mos tr a r un en foq ue ci e ntí fico re crea tiv o que
re suel va pro blem as cot id ian os y los pon ga a disp os i ci ón de los es tu dian te s
p ara d em os trar qu e s e p u ed e ap rend er c ie nc ia. La re sol uci ón d e prob l em as
se u tili za com o es t rat egi a de en se ñanz a desd e l a p ers p ect i va de los
p rofes or es y el ap rend i zaje de sd e la pe rs pect iv a de los est udi an tes . Est án
p resent e s en argu me nt os que just ifi can la n at ural e za del pro ce so de so l u ción
en las prá ctic as d e a ul a, des t acand o las c arac terí sti c as que se l e oto rgan y
el lug a r de di cho pro c eso.
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Capítulo 1
Metodologías didácticas
Es pre cis o ex pli car co nc eptu alm ente l os dos ele ment o s de ens eñan za-
apr en diz aj e r efe ridos a l as es tra teg i as educ ati v as : "c ompe ten ci as" y
"m eto dol ogí a di dáct ic a" . Amb os c oncep t os so n re lat iva men t e abst ra ct os , y
h oy en dí a es m uy co m ún u sar los cua n do se ha bla de tem as ed u cati vos,
p orqu e son usad os fre cuen te ment e en la univ e rs id ad, si n em b a rg o en much as
o casio n es su cede q ue no en to das las inst it uci on es d e edu caci ón tien en el
mi smo si gnifi c ado .
Est e capí tulo , es t ará cent rado en las met odol ogí as did ác ticas , s e comen tar án
al gun as de su s cl a sif ica cion es má s hab it ual es y se pr esen t ar an cri ter ios y
as p ec tos , a p arti r de los cu al es s e el ige la m ás ad ec uad a a l os di v ers os fin es
y s it ua ci on es edu cati v as. A con tin uaci ón , se pres ent aran br ev em e n te las
met odo lo gías did áct ic as m ás i nn ova doras y ad ecu ada s p ar a l a ense ñan za y
el ap rend i zaj e d e l as co mp et en cia s de los est ud iant e s. As í, t am bi én s e
mos t rar an a lgu nos det all es bre ves s obre l a e valu ac ión de com p eten cia s y
ta mbi én al guna s pro pues tas o "mét odo s de eval u ació n" qu e se con sid era n
in nov ado res y g en eral me nte poc o c ono c i do s.
1.1. Competencias en la educación
Si bien al ter mi no com pete nc ia, se le ha oto rgado u n papel im port ant e al
re laci o narl o co n la edu ca ci ón sup eri or ( un iv ers it ari a y no un iv er si ta ria ) y
en l as dis tin ta s l egi sl aci ones n aci onal es , es te c onc epto no h a si do d efini do
d e fo rm a pre cis a y es pec i f ica . Pa ra ilu str ar est e pu nto , t en em o s el caso
es p añ ol , en do nd e los result a dos d e ap ren diz aje y la s cu ali fic ac ione s han
sid o sust itu id os o int erp ret ado s c omo " co no ci mie ntos , comp et en cias y
h abili d ades" po r l a no rm ativ a d e des arrol lo or igi na l de la L ey O rg áni ca de
Un iv ersid ad es (LOU) .
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En e l ám bit o u nive rsi t ario , la def in ic ión m ás habi tual y co mún es l a de
Go n zá l ez, J . y Wage na ar, R . (2 00 3) en el p ro yect o " Tuni ng Ed ucati on al
Str uct ur e s in E u ro pe "
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, qui e nes defi nen la com pet enc ia co mo " una
com bin a ci ón d iná mic a de car act erís ti cas rela ci on ada s con cono cimi e nt os,
h abili d ades, actit ud es y res pon sabi lida de s q u e d es cri ben los re sult ados de
apr en diz aj e d e u n p rog ram a ed ucati vo o lo qu e lo s e stud iant e s so n c apac es
d e d emo str ar al final del pro ces o e du cati v o”. Es t e e nfoq ue d e l a educ aci ón
com o fact o r inno va do r dem ue str a que es ne ce sar io enseñ ar “ a co noc er y
com pr en der” , pe ro tam b ién con l lev a una obli ga ció n, en señ ar “a ser cap az
d e a plic ar ”, a “c omu n ic ar” , a “e v al uar cr íti cam ent e ” y a “a p rend er de fo rma
aut ón om a” .
As í se tie ne q ue u na co mp et e nci a es la “ ca p aci da d d e un a p er sona
(c ono cim ient o , d est reza o h abil ida d y a cti tu d o v alo res ) p ar a af ron t ar con
g rand es po si b ilid ade s de é xi to un a ta r ea o p ro bl ema en un
con te xto/ sit ua ción d e term i n ado” . De for ma ha bi tua l a nive l u nive r si ta rio se
h a dif e renc i ad o entre do s t ip os d e c omp e t enci as :
1.1.1. Competencias específicas
Este ti po de com pet enc i as s on e sen cial es p ara cu al quie r p ues to de
tr aba j o y/ o p ro fesión por qu e est án e sp ecíf i cam ente re laci ona das con
con oc i mi entos esp ecí fi cos e n un te ma en p art ic ul a r y ca pac itan para
una acti vi dad p ro fes ion al en pa rt ic ul ar. Al gun as d e esta s h abil id ad es
pue de n com p arti rse ent re pro fesio nes y /o tít ulo s de tra ba jo. Ej em pl o
de com p eten cia esp e cífic a: " An al iza r crí tic ame nt e la efi caci a
1. El “Tu ni ng Ed u ca t iona l St ru ct ur es i n E u rope” , con o cid o s imp lem en te
com o “El Tun ing ”, es un proye cto e ur o p eo enm ar c ad o en el p rogr ama
Era smu s de movil ida d univ ers it aria , co n el qu e se han des arro l la do red es
u ni ve rsit ari a s europ eas tem átic as (físi ca , en fe rmer ía , his t ori a, etc. ) con el
p ropós ito d e ori e ntar la im pla nta ció n del pro ce so de B olo n ia .
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doc en t e, las buena s p rá ct ic as y el lid era zgo con la a yud a de
indi ca dor es d e cali dad ".
1. 1 . 1 .1. Di vers as comp ete n cia s es pecí fi c as
Pa r a il u st ra r est e pu nto s e exp on d rán d ive rsa s com pet en ci as
a r e cogid as d e di v e rso s l ibr os bl an cos de v ari as
u ni ve rsi dad es europe as y est án refe rid as a di sti nto s gr ados
en ci enc i as:
Gr ado en Qu ími ca
Ca paci da d para d em o str ar cono cim ient o y
com pr en si ón d e h ec hos, c onc ept os, p rin cipi os y
te orí as rel eva ntes re l acio n ad o s con ár eas de l a
q uí mi ca.
Re solv er pro blem as c ual itat ivos y cu ant it ativ os se gún
mod elo s d e sarro llad os p revi amen te.
Ide nti fi ca r y anal iza r n u ev o s p rob lem as y pl ani fi c a r
es tra tegi a s par a s olu cio n ar lo s.
Ev al u ació n, i nt erpr et aci ón y sí ntes is de da tos e
in fo rm aci ón quí m ica .
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Ide nti fi ca r y apli car bu e nos mét od o s c ien tí fic os d e
me di ci ón y p rue ba.
Pro ces ar y c alc ula r dat os rel aci on ado s con d ato s
q uí mi cos.
Mani p ul aci ón de pr od ucto s quí mico s de mane ra
se gur a.
Re aliz ac i ó n de pro cedi mi ent os es tán d ar es de
la bor ator io r ela cio nad os co n el t r abaj o ana lí tico y
sint é t ico e n s ist ema s o rgán i cos e in orgán ic os.
Seg uim ien to me dian te l a obs erva ci ón y medi ci ón de
p ropie d ad es q uími c as , even to s o c amb io s y regist ro
sist e máti co y f iabl e en l a d ocu ment aci ón
cor r es po ndi ent e.
Dis eño , pl ani f ic aci ón y ej ecuci ó n de i nve sti ga cion es
p ráct i c as de sd e la et apa de i dent if ica ció n del
p roble ma hast a la ev al u ació n y ev alu aci ón d e
res ult ado s y ha ll azgo s .
Dom ini o d e in str um entos q u ími cos est án dar com o l os
u ti li zad os pa ra es t ud io s e st ruct ura les y s ep a ra cio nes.
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Int e rp ret ar dato s d e ob ser vacio nes y me did as d e
la bor ator io d e acuer do co n su s igni fi cado y l a s t e orí as
q ue lo s s ust ent an.
Ev al u ació n d e rie sgo s e n el u so de s us t anci as
q uí mi cas y m ét odos d e labo r ato ri o.
Gr ado en B i olo gía
Ide nti fi ca ci ón de di fer ent es ni veles de o rgani z a ci ón
en un si s tem a v i vo
Re aliz ac i ó n de an ális is g en éti cos
Ide nti fi ca ci ón d e evi d enci a p ale ont ológ i c a
Ide nti fi ca ci ón d e org a ni smo s
Cat alo gac ión y eval ua ción d e re cur sos n at ur al es
Anál i si s fil og enét ico
Us o d e bio in dic ador es
Ais lam ie n to met a bó li co, an áli sis e i den ti fic a ci ón de
b io mol éc ulas
Diag nó sti co mol ecul ar
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Det er min ació n micr os cópi c a de órga nos, t ej idos ,
cél ul as y o rg ánulo s y su s ano mal ías
Ais lam ie n to y cu l tivo de mi cro org anis mos y vir us
Cult iv os de cél ula s y t ejid os
Mues tr eo, proce s am ient o, cons erv a ció n y obs erv ació n
d e m uest r as y esp ecí me nes
Mej ora d e la pr oduc ci ón a ni mal y veg eta l
En sayo s y dete rmin aci ón d e pa rám etr os vi t al es
u ti li zan do mic rob ios fu ncio n a les
Bio ens ay os
Des c ri pci ón y a náli sis d el m ed i o fís ico
Diag nó sti co de pr ob le mas amb i en ta les
Mues tr eo, c ara ct e ri za c i ón y m anej o d e pobl aci one s
Man ejo , cons erv ac ión y res ta ura ci ón de pobl ac ion es y
eco sis t em as
Mon ito re o bi oec otéc ni co
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Int e rp ret ació n y o rien t ació n d el p ai saje
Ev al u ació n d e imp ac t o e coló gi co
Gr ado en Ma te má ti cas
Det er min ació n de mod elo s m ate má ti cos par a
sit ua c io nes re ale s
Re solu ció n d e mo de los uti l iza ndo métod o s ana l ít ic os,
n um éri cos o es tadí sti co s
Vi s uali zaci ón e inte rp ret a ci ón d e s oluc ion es
Par tic ipa ció n en l a imp lem ent aci ó n de pro gr am as
in fo rm át icos
Dis eño e i mpl em enta ci ón de algo rit mos d e sim ul a ci ón
Ide nti fi ca ci ón y l oca li zac ión del co noci mi ent o ló gi co
Apl ic aci one s en l a tom a d e deci s io n es
Tran sfer i r l a ex pe rien c ia m at e m áti ca a un c ont ext o no
mat e mát i co
Anál i si s inf orm ac ion al de es t adís ti cas con
h err am i entas
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Dis eño de ex p er imen to s y es tra t egi as
Us o d e he rra mie ntas i nfo rmát ic as
Par tic ipa ció n en l a organi za ció n y ges tió n d e
p roye ct os
Gr ado en Fí sica
Obt ene r cali fic aci one s adi cio n al es par a la
p rofes ión a t rav és de u ni dad es vol un t aria s di sti nt as
a l a físi c a (a cti tud es/ habi lid ad es p erso n al e s ).
Com pre nde r l a nat ura le za d e la in vest iga ción
fí sic a, l as form as en que s e l le va a cabo y cómo l a
inv est ig ació n físi ca e s a pli cabl e a muc hos cam p os ,
com o la in g eni er í a; l a cap aci dad de di s eñar
mét odo s ex p eri men ta les y /o t eóri co s pa ra: (i)
res olv er pro bl emas a ct ual es de in vest iga ción
aca dém i ca o in dus tri al ; (ii) me jor ar los resul tad os
exi st e nt es ( habi li dad es d e i nves tig aci ón b ási ca y
apl ic ada ).
Est ar c ap aci t ado pa ra t rabaj ar en u n grup o
int er dis cipl in ari o, p ar a pr esen tar l os res ult ado s de
su inv est ig aci ón o resu ltad os de búsqu ed a
b ib li ogr áfi ca ta nto a esp eci alis ta s como al p úbli co
en g eneral (h abil id ad es espec ia les de
com uni c ación ).
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Ca paci da d pa ra re ali za r la s si gui ent es acti vi dad es:
act ivi d ades p rof esio nal es ap lic ad as en el ca mpo
té cni co ta nt o a nive l de la bor ator io c om o a niv el
ind us t ria l, rel aci onad a s con l a fís ic a en ge nera l y
el b lin da j e con tra l a rad iac ión en part icu l ar;
com uni c ación , se ns or d e co nt ro l rem oto, cont rol
rem oto de s at él it es, c ont rol de cal i da d,
p arti cipa ció n en cen tro s de i nves tig ac ión d el
se cto r pú bli co y p ri v ad o (i ncl uid a l a ges tió n);
con sid e ra tema s de an áli sis y mode lad o, a sí com o
as p ec tos com p l ejos d e fí si ca y com p ut aci ón .
Ca paci da d pa ra re ali za r la s si gui ent es acti vi dad es:
p romo ver y desa r ro ll ar l a inn ov aci ón ci entí fi ca y
te cnol ógi ca; dise ño y gest i ón de tecn o lo gí as
rel aci o nada s co n l a f í si c a en ár eas c om o l a
ind us t ria , el med io ambi ente , la sal ud , el
p atri mo ni o c ult ur al, la ad min ist r aci ón pú bli ca, la
b anca; popu la ri zaci ón av an zad a de la cult u ra
ci entí fi ca y as pect os d e la fís ica cl ási ca y
mod ern a . (Ca nti dad de tr abaj o dis p o ni bl e).
Ca paci da d p a ra compa r ar n uev os dat os
exp er ime ntal es c on m o delo s ex ist ent es y ve ri fi car
su v ali de z, ad em ás de re com end ar ca mbio s p ara
ada pt ar los mo del os a lo s d at os . (Ha bi lid ad es
mod elo ).
Con el apo yo de té cn ica s ci entí fi c as ex t ensi v as qu e
se of rec en en e l pl an de est ud ios , el
es tu di an te/ egr es ado d eb e ser cap az de d e sarr oll ar
u n se nti do de respon s abili d ad per son al debi d o a l a
lib re el ecci ón d e c urs os (Pe rson as /h abi lida d es
p rofes ion al es ).
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Ca paci da d p ara i nic i ar nu evo s cam po s de t rab aj o e
inv est ig ació n a tr avé s d e estu dio s i nde pen dien t es
(C ue st ió n d e ap rend er a apr en der ).
Ca paci da d pa ra ev al ua r cla ram ent e magn itu d es ,
form ars e u na com pren sió n cla ra de si tua cio nes que
son físi ca m e nt e di fer ent es, p ero mu e str an
sim ili tud es que pe rm it en e l us o de so lu cion es
con o cidas a pro blem as nu ev os ( Habil id ades para
res olv er pro bl em a s) .
Habi l idad pa ra ap li ca r la e se ncia d el
p roce so/ situ aci ón y cre ar un mod elo op era tiv o a
p arti r de e lla; el g ra du ado deb e se r c ap az d e h ac er
la s a p ro xim aci one s r equ eri das pa r a red u ci r e l
p roble ma a un n ivel ma neja ble ; p e nsam ient o crít ic o
p ara cr ear mo delo s f í sic os (Mo del ad o y re sol u ci ón
d e pr o ble mas ).
Ca paci da d de inte rpr eta r cál culo s de form a
ind ep endi ent e, incl us o si se nec esi t a una
com put ado ra peq u eñ a o gr and e, el eg res ado de be
se r c apa z de de s arro ll a r sof twar e (Re s ol uc ión de
p roble mas e in formá ti ca ).
Ca paci da d par a e nco ntr a r y u til iz ar b ibl iog ra fía
fí sic a y otra s ci en cia s y cu a lqui er fue nte de
in fo rm aci ón rel evan t e p ara l a inv est ig ac ión y el
d es arr oll o téc ni co de p roye cto s (B úsqu eda
b ib li ogr áfi ca y ot r as ha bil ida des ).
17
Ca paci da d de co mpr end er l os p r obl ema s s oci al es
d e l a pro fesi ón y com pren der l os as pe cto s éti cos de
la inve sti ga ción de l a a ct ivi d ad p rof e sio nal d e l a
fí sic a y la respo ns abil id ad de prot eger la sal ud
p úbli ca y e l med io am bie nte (C on cie n ci a éti ca
g ener al y e spe cí fi ca) .
Ca paci da d pa ra t rab aj ar de ma ner a mu y
ind ep endi ent e, incl us o as um iend o la
res po ns ab ili d ad d e la pla ni fic aci ón de p roy ec tos y
la ges ti ón de e st ruct ura s ( Hab ili d ad es di rec tiva s) .
Pre par a rse pa ra op tar al puest o de p rof eso r de
fí sic a de ba ch ill era to (Al c an ce d el tra baj o
rea li zad o ).
Apr ov echa r la func i ó n d e est a r al t ant o de lo s
n uev os d es ar rol los y l a capa ci dad de b ri nda r
as eso ram ient o pro fesi on al sob re div ers as
apl ic acio nes p os ibles (H abi lid ad e s esp eci al es d e
act ua l iz a ció n ).
Te n e r u n conoc im ie nt o pr ofu ndo d e lo s
fun dam e nt os d e l a físi ca mode rna , com o la te o rí a
cuá nti ca , et c . (P ro fu nda cu lt ur a g en er al en f ísi ca).
Po see r b uen cono ci mie nto de a l me nos un a m at e ria
d e fí sic a e s pec ial ac tu al (C on oc er l as l imit a cio nes
d e la in vest iga ci ó n) .
18
Obt enc ión de comp ren sió n de l as t eo rías m ás
im port a nt es de l a fí si ca al en co ntr ar s u es tru ct ura
lóg ica y mat emát ic a, su sopo rte exp eri ment al y e l
fen óm en o f ísi co q u e d es crib en (Co m pre nsió n
te óri ca de l os fe nóme nos fí sico s).
Con oc er l a “ob ra d e los gen io s”, e s d ec ir, la
v arie d ad de l os d es cub rimi ent os fís i cos y l as
te orí as ( Sen sib ilid ad a e st ánd ares a b sol ut os).
Con oc er las á reas más imp or tant es de la fís ica no
sól o po r s u im porta nc ia in trí ns eca , s i no t amb ién
p or l a im po rtanc ia fut u ra y su s posi bl es
apl ic acio nes , con ocimi e nto d e enfoqu es
mul tidi s cip lin are s d e la fís ica (Co noc imi ent os
g ener ale s d e fí sic a).
Fam ili a riza rse co n los m ode l os expe rim ent ales más
im port a nt es y s er c ap a z de real i zar e xpe rim ento s
d e fo rma autó nom a y des cri bi r, anal iza r y ev alua r
crí tic am ent e lo s d ato s e xpe rim ent ale s (H abi l id ad es
exp er ime ntal es y de labo rato ri o).
Mej ora r las hab ili d ad es e n idi om as extr an jero s a
tr avé s de curso s im par ti d os en otr os id i om as , por
ej em pl o, e stu diar e n el e xt r anje ro a tra vés de
p rogr am a s de inte r camb io, re c on o cimi ento de
cré di t os en uni ver s id ades o cen tr o s d e
inv est ig ació n ext ran j er os (H abili d ades ge n er al es y
es p ec í fi c as de l engu a s e xt r anje ras ).
19
Com pre nde r y do mi na r los méto d o s mat emá ti cos y
n um éri cos de uso comú n (res olu ci ón de prob l em as
y hab il id ad es m at emát i cas) .
1. 1 . 1 .2. C om p ete nci as g ené r i cas
Ti e ne n car áct er trans ve rsa l y de ben dar se b aj o cu alqu ie r
mod ali da d d el ni vel educ at ivo. Ev i dent eme nt e , est e tip o de
tit ul acio nes s on má s pro pi as de n i veles edu cat iv os
g ener ale s co mo la edu ca ción secu nd ari a. E n el caso de la
u ni ve rsi dad , l as co mp et enci as gene ral es s e r esum en a
con tin uac ió n en el p roy ecto d e conf igu ra ción m enci on ado
ant er i orm en te y en l os lib ros bl anc os de las nuev as
tit ul acio nes d e mu cha s univ ers id ad es :
Ins tru men tal es
Se corr esp ond en co n l os m edi os pa ra l og r ar un ob jeti vo
d eter m ina do:
Habi l idad an alí ti ca y s int étic a
Org a niz a ció n y pl ani fic ació n
Con oc imie nto s g ener al es
Con oc imie nto s b ásic os d e la pr ofe sión
20
Com uni ca ci ón or al y escri ta en s u p ro p io i dio ma
(Bi li ngü e)
Con oc imie nto s b ásic os d e in for má tic a
Man ejo de la in form a ci ón
Re solu ció n d e Probl ema s
Tom a d e Deci si ones
Int erp ers on ales
Incl uy en l as r elac ion es soci al es y ha bil ida des de
int egr aci ón :
Habi l idad crí ti ca y a uto crít ic a
Trab ajo en equ ip o
Habi l idad es d e comu ni ca ci ón i nterp erso n al
Habi l idad par a tr a baja r en un equ ipo
int er dis cipl in ari o
Habi l idad pa ra c om un ic arse c on expe rto s en ot ro s
cam pos
21
Apr e ci aci ón de la div er sid ad y mu lti cul tu ral idad
Habi l idad pa ra t raba ja r e n un co n t exto i nter na cio nal
Si s t émi cas
Ay uda a com pr ender si t uacio n es como s is tem as com pl ejos:
Habi l idad pa ra ap licar e l cono cimi en to en l a p rácti ca
Habi l idad es d e inve sti ga ción
Habi l idad pa ra ap re nd er
Habi l idad pa ra ad ap tar se a n uev as s it u ac io ne s
Habi l idad pa ra cr ear nu ev as i d ea s (c rea ti vid ad)
Gest ió n
Con oc imie nto d e cu ltu ra s y cost umb re s d e o tros
p aís es
Ca paci da d pa ra t r abaj ar d e form a ind epe nd ient e
Pla nifi ca ció n y ges t ió n d e p r oy ect os
22
Ini c i ativ a y es píri tu em pr esar ial
Pre ocup a ci ón po r la ca lid ad
Mot iva ció n por el l o gro
1.2. Metodologías didácticas
Po r su pue st o , es t e co nc ept o no r equ iere t an t a ex pli ca ción c o mo el c on c ep to
d e com pe tenci as, p o r qu e tie n e u na larga t r ad ic ión e n l a ed u c ació n. E n
té rmin o s m uy ge n eral es , la "m eto do log í a didá cti ca" ti ene mu chos a utor es
q ue enti en den "m éto do de ense ñan za ", es de cir. to d o lo que resp ond e a la
p regu nt a "¿C ó mo en s eñar ?"
Po r t ant o, la m et odol og ía es “l a a ct ivi d ad d el p ro fes or (y del alum no ) en l a
ens eñ anza -a pr endiza j e”. U na defi ni ció n tan am pli a ap oya el uso de t érm inos
com o "m eto dolo gí a de en se ñan za", " es trat egi as de en seña nz a" o " t écni cas
d e en se ña nz a" com o sin ó ni mos . Co n m a yor pr eci sió n con cept ual , l a
met odo lo gía did áct ic a p odrí a defi nir se com o “las es tra teg ias d idá cti c as
b as ad as en l a ci en cia q u e p rop on e el doc ent e en s u au la p ara que l os a lumn os
lo gr en d ete rmin ado s a pr endi zaj es ” (es d eci r, la me todo log ía d i dáct ica
d efin e la “ int erac ció n did ác ti c a” q u e t ie n e l ug ar en el a ul a).
Ad emá s, la " es trat eg ia d e en s e ña nza" e s el pat rón de int erv en ción d ecid ido
p or el m a estr o en el au la (est o pu ede inclu i r asp ect os d e l a m edi ac i ón del
ma est ro, la org aniza ci ón del aul a, el us o de recur so s d e apre ndiz aje , etc. ).
As imis mo , cada estr at egi a p ued e conte ner "t area s" (ca da acci ón a r eali za r
en un mom e nto y sit ua ció n p ar t icul ar ), "p roc ed imie nt os" (un a s ecu enc ia d e
ta reas ) y/o "t écn i cas" (u na s ecue nci a o rgani za da d e t ar ea s y /o
p roce dim ient o s q ue ll eva a ta re as espe cífi c a s). De a cu er do con es te en foq ue,
"e str ate gia d e ense ña n za " s e co nvi er te en sinó nimo de "m et odol og ía
d idáct i ca" si t i en e u n a bas e c i entí fi ca co mp ro bada . Es to sig n if ica :
23
A) La est rat egi a s e d esa rro lla de ma n era di sci pli nad a y m inuc i o sa.
B) Está re sp al d ado por inv es t iga ci ones pr evia s.
C) Que s e f orm ali ce y d ist r ibuy a.
En defi nit iv a, s e p ue d e d e ci r q u e l a me todo log ía d idá cti ca es un a fo rma d e
ens eñ ar, si s e h ac e d e f or m a est rat ég ica y c ie nt íf ica o con ef ica ci a
com pro bad a . Fi nal ment e , se e sp eci fica q u e t res t érmi no s e stá n re laci ona dos
con la m etod ol ogí a d id áct i ca , qu e much as v e ces s e util i zan in c or r ec tam ent e
com o s i nó ni mos:
Est il o de ense ñ an za ( es deci r, la t ende nc ia gen eral del do cent e a
p lanif ica r, im pleme nt ar y e val u ar l a e ns eñanz a- apr endi za je de una
d eter m ina da man era , es de ci r, l a t en de nc ia pe rson al de ca d a p rof es or
a ens eñar ).
Ped ago gí a (qu e es una cienc ia qu e ti en e por ob j eto el est u dio de la
edu ca ció n y l a ens eñ anz a).
Did áct ic a (qu e e s la di s cipl ina de l a p ed ago gí a apli c ada en l as
act ivi d ades ed u ca tiva s).
1.3. Clasificación de metodologías didácticas
El e stu dio de las m eto d ol og ías di dác t ic as no ha d em ostr ado qu e una
met odo lo gía sea m ej or q u e o tra en cual quie r si tu aci ón de en s eña nza-
apr en diz aj e . L a efe cti vid ad de l a m etod o log ía d epen de d e la int era cció n de
v arios facto r es :
24
Re sul tado s o met as de ap re n diz aje esp e ra da s (m eta s s i mpl es vs .
com ple j as , con ocim ie nt os vs. hab ili dad es y/o act i tu d es, e tc .).
Ca ract e rísti cas d el estu di ant e (cono cim ien tos p revi o s, habi lid ad es,
mot iv ació n, ap rend i za je, es til o, et c.).
Ca ract e rísti cas d el pro feso r ( esti lo d e en se ñanz a, pe rson al ida d),
h abili d ades doc ente s, mot iv ac ión, c reen cia s, et c.).
Ca ract e rísti cas d e l a m at eri a im pa rtid a (di scipl in a, co mp lej i da d,
car ác ter m ás t eó rico o pr ácti co , e t c.) .
Con dic ion e s fís ica s y mat eria les (n úmer o de a lum nos , di s po si ció n d el
aul a, di sp on ib ilid ad de re curs os, t i empo li b re , et c. ).
Mét od os basa dos en di fer ent es for mas d e re pr es ent a ció n.
Mét od os orie nt ados a la dis cus ión y/ o t ra bajo en gru po ( semi nar ios,
es tu di os de ca sos, p roye ctos , a p re nd i za je col abo r at ivo , etc . ).
Mét od os basa do s e n el apren di zaj e ind i vid ua l o tra bajo a ut ónom o
(c ont rato de ap ren di z aj e, apr endiza j e a di st an cia , ap rend i zaj e
p rogr am a d o, etc .) .
Fr ente a u n co njunt o t an compl ej o de fac tor es, la m ayo ría d e l os c uale s son
"i nc ontr ola bles " o "i nmu tabl e s", l a i nv esti ga ción s obre m étod os de
ens eñ anza n o ha logr ad o ide nti fic ar e l "m étod o i deal" . Si n emb argo, s e ha
lo gr ad o t re s con cl u s ion es gen eral es:
25
To dos lo s m étod o s so n e qui v al ent es p ar a log rar obj eti vos simp l es
com o o bt ener y com p rend er in fo rm ación .
La s m etod ol ogí as más ce nt r ada s en el estud i a nte son e spec ial m en t e
ade cu ada s p ara la m emo riz aci ón a largo pla zo, el des ar rol lo d el
p ensa mie nto, el de sa r ro ll o d e la mo t ivac i ó n y la con se cu ci ón de
o bj et iv os re lac iona dos c on l a t r ansf ere nci a o g ener ali z ac ión d el
apr en diz aj e .
La mayor efi c acia de c iert as m etod ol ogía s di dá cti cas p rob ab lem ente
n o pr ov eng a tant o d e ell as como del vol um en y c ali d ad del tr abaj o
me nt al p er s onal d el alum n o qu e p ermi ten pr odu cir.
En tonc es, el me jor m étod o es e n re al ida d un a co mb ina ció n de m ét odo s. P ar a
el egi r un m ét odo , pr im ero se de ben c on oce r s us v ent aj as y d esv enta jas
(c ono cim ient o de la meto dol ogí a), objet ivo s de ap re ndiz aje cla ram ent e
d efini do s (q ué re sul tad os d e a pren d i zaje s e lo gran co n e l mét od o ) y p rep ar ar
cor r ect am en t e l as ins tru cc io ne s de tr ab ajo (an aliz ar t odos los fact or es que
af ect an el mé todo ).
Pa r a cl as ifi c ar l as d ife rent es met o dol og í as didá cti c as y an ali za r sus
car ac ter íst i ca s, Bro wn y Atki ns (1 988 ) sugi er en que l as di fere nt es
met odo lo gías d e ens eñan za pu ed en ub i cars e en u n co nti nuo : un ext remo
se ría una cl a se ma gi st ral, do nd e l a part i ci p aci ón y el co nt ro l de los
es tu di an tes son míni mos . po r otro la do, est á la inv esti gaci ó n ind iv idu al o
in dep endi en te, do nd e l a p ar ti cipa ció n y o ri ent a ción del do c en te es m í nim a .
26
Figura 1. Metodologías de enseñanza
Fu ent e: Fo rt ea B a gá n (201 9) .
El p ropós ito d e e sto s m ét odos e s s im plem ent e " o rien t ar ", ca da mé todo t iene
d ifer ent es v ari acion es q u e pu eden im pl i ca r una pa rt icip aci ón di fe rent e t a nto
d el p rof e so r co mo del alum no. P o r ej em plo , un “l abor ato ri o” pu ede ba sa rse
en exp eri m ento s ruti na rios t otalm en te de fin ido s por el d ocen t e (com o si
fue r an “rec etas ”) o, po r el cont rar io, i nve sti gaci on es g ui adas d ond e el
es tu di an te pu ed e pres ent ar hip ót es i s p ar a ser cont r ast ad a s y p lan ifi c ar las
p rueb as a re ali za r.
27
Sin em barg o, es t a car ac ter i za ció n puede s er út il pa ra ayu da r al do cent e a
acl a rar su s i nten c ion es c o n r e sp ect o a l a p arti cip aci ón d e los estu di antes y
la ens eñ anza . S u ele com bin ar se o agru pa rse en dos ti pos de met o dolo g ía s
b as ad as en l a i mp lica ció n del p ro f es or y d el alu mn o:
Trad ic ion ales : aqu ella s qu e s e c en tran en el p ro fes or, t r at á nd ose
es enc i alm en t e de una "cl as e m agi st ral" .
Mo dern as: mé todo s cent ra do s e n el p ro fe sor
Am par o F erná nde z ( 2 00 6 ), am p lí a e st a cl asifi ca ción en t res c ateg orí as:
Mét od os basa dos en di fer ent es for mas d e re pr es ent a ció n.
Mét od os dest ina dos a l a dis cusi ó n y /o tr ab ajo e n grup o (sem in ario s,
es tu di os de ca sos, p roye ctos , a p re nd i za je col abo r at ivo , etc . ).
Mét od os basa do s e n el apren di zaj e ind i vid ua l o t ra bajo autó n om o
(c ont rato de ap ren di z aj e, apr endiza j e a di st an cia , ap rend i zaj e
p rogr am a d o, etc .) .
Y en b ase a es t a clas ifi c aci ón, el mi sm o auto r pr op on e vario s crit erio s de
se lec ci ón d e m éto do s de ens e ña n za para ori en tar a l os d oc e nt e s.
28
Tabla 1. Métodos de enseñanza y criterios de selección
Fu ent e: Fe rn ánde z ( 200 6).
Ot ro sis t em a de c l as es m uy int eres ant e d e met od olog ía s d idá cti cas
ada pt ad as a los est udio s d e co mp etenc ia s u nive rsi ta ria s es el d e M a ri o De
M ig u el et a l. (2 006 ). C o mo únic o c rit e rio ut il i za n l a ca tego ría
o rg an i za cio n al de ens eñ anza -a pren diza je , e s de cir, lo s di v erso s es cen ari os
en lo s q ue s e d es ar rol l a l a e n s eñ an za- apr en di za j e, d et ermin ado s p or el grupo
d e est udia nt es y o rg ani zad as s i la s ac tivi da des s on pres enci al es o v irt ual es.
A p arti r de esta s s it uac ion es de en se ña nza - apr e ndi z aje , s e r eali za un est ud io
en e l qu e, p revi a con sul t a a vari os e xper to s, se p rop one qu é met o do logí a es
la más a de cuada pa ra l a ens eñan za -apr endi zaj e e n cad a fo rmul ari o, y
ent on ce s, p ara qué si rv en estos m étod os (Tabla 2) .
29
Tabla 2. Metodologías para competencias
Fu ent e: D e Migu el D ía z (2 006 ).
Un te r cer d i agra ma o tax ono mía , que tam bi én pu ede r esult ar e sp ec ial m ent e
ú til a la ho ra de ele gir q ué m et odol ogí a di d áctic a em plea ren un mo m ento
d ado , es el m odel o p resent a do por M igu el Á ng el Z abal z a (2011 ), que,
u tili zan do el mo del o de ap ren diz aje de E nt w i s tl e (19 92) , mu est ra c ad a
ens eñ anza en ca da mom en to o et apa de met od olog ía por lo qu e at ra vi esa n
lo s est udi ant es unive r si ta rios . Co mo se pue de v er e n l a ta bl a 3, di f erent es
tip os de m eto dol o gía s t ie nen su mo m e nto más ade cu ado y la m ejo r o pció n
es u na combi n ació n d e t od as ella s, p or e jem p lo un a cl ase m agi str al es i deal
p ara la p res enta ció n d e con ocim ient os (f as e i ni cia l del a pren d iza je),
tr aba j o en g rup o ( semi na rios , cas os , ap re ndiz aje en tre par es) es perf ecto
p ara corr egi r mal e nt en di do s y l agun as o co ns oli dar el ap re ndiz aj e a t rav és
d e l a p rá ctic a y el tra ba j o ind epe ndi ente es l a úni c a met odo logí a que p erm ite
u na inte g ració n y un co mpr omi so p rofun dos. l a cul m inaci ó n de l ap rendi zaj e.
30
Tabla 3. Fases del proceso de aprendizaje
Fu ent e: Za ba lz a (2 011 ).
1.4. Metodologías para el desarrollo de competencias
La exp l or aci ón det alla da de cada meto d ol o g ía dif ere nt e es tá más all á del
al can c e de est e capí tul o. No s li mi tam os aqu í a un a br eve defi nici ón de l as
met odo lo gías m á s i mpo rt ant es pro pue sta s por De Mi gu el et al . (2 006 ), por
se r l as má s util iz adas actua lm en te en el apr endi z aj e po r co mp ete nci as en el
se cto r un iv ersi t ar io:
1.4.1. Lección Magistral
Mé todo de pres ent aci ón qu e co nsist e en pr es ent ar un te ma
lógi ca m en te est r uctu rad o pa ra obt en er i nf orm aci ón organ iza da se gún
cri ter ios apro pia dos . Bá sic am en t e, el fo co se enc uen tra en l a
31
exp osi ci ón or al p or parte d el prof esor del c on teni do de la m at eria
es tudi ad a . S u fi nali d ad es tra nsm it i r inf orm ació n y a ct i var p roce sos
cog nit ivo s e n el alum no.
1.4.2. Ejercicios y resolución de problemas
Sit ua cion es e n las qu e el estu di an te de be de sa rrol la r e int erpr eta r
sol ucio n es ad ecu ada s p ara apli ca r rut inas , fórm ulas o p roc edi mi ento s
para t ran sfor ma r i nfo rm ació n p ropo rci ona da o rigi nalm en te. S u ele
uti li za r se p ara com pl eta r l a cla se magi st ral. Pr opósi to : prá ct i ca de
los co no ci mi ent os p rev io s.
1.4.3. Aprendizaje basado en problemas (ABP) (Problem-
Based Learning -PBL-)
En señ anz a-ap ren diza je, cu yo pu nto de parti da es un pr obl ema
pl ante ado p or e l pro fes or, en gr upos de t rab ajo el al umno deb e
abo rd a r l os pa sos de fo rm a o rd en a da y c oor din ada y ap ren de r lo q ue
sig ni fic a tr abaj ar en to rno a un p ro bl em a o sit u ació n. El obj et ivo e s
des arr olla r u n ap ren di zaj e a ct ivo a t ravé s d e l a re sol ució n de
pro ble mas .
1.4.4. Estudios de casos (Case Studies) (Case Method)
An ál is is i nt ensi vo y co mp let o de un hec ho, probl ema o h echo rea l
con el fin d e cono ce r, i n t er p ret ar, reso lve r, g en era r h ipó t esi s ,
con tr asta r i nfo rm aci ón , r efl ex i ona r, co mpl et ar, di ag nost ic ar y, en
oca sio nes, fo rm aci ón sobr e p osi ble s m éto dos al te rna tivo s de
sol ució n. Obj et iv o : Ap ren de r a na li zan d o cas os rea l es o s imu l ados.
32
1.4.5. Aprendizaje por proyectos (Learning by Projects)
(Project Based Learning)
Mé todo d e en s eñ anza - apr endiz aj e en el cua l los e stu di an t es
com ple t an u n p roye cto e n u n ti em po d et erm ina do para res ol ver un
pro ble ma o m an eja r u na t area al pl anifi ca r, d iseñ ar e impl emen ta r
una s e cue nci a d e acti vi dad es p ar a de sa rroll ar y a pl ica r est e
apre ndi z aj e y el u so efi ci en t e d e lo s medio s de uso . Objeti vo:
Im plem ent a ción de u n p ro yect o p ara reso lv er u n p rob lem a a pli ca ndo
la s ha bi l ida des y c on ocim ien tos a dq uir id os.
1.4.6. Aprendizaje cooperativo
Un en fo que i nt era ct iv o de l tra ba jo en clas e en el qu e lo s e stu di an te s
son res pon sabl e s de s u p rop io a pren di zaj e y del de l os d em ás en una
es tra tegi a de re spon sa b ili da d comp arti da p ar a l ogr a r la s m etas y
mot iv acio nes del gr upo . M eta : Des a rr oll a r un ap re ndiz aje act ivo y
rel ev a nt e e n co labo ra ció n.
1.4.7. Contrato didáctico o aprendizaje (Learni ng
contract)
El est u di ant e y el pro fesor int er c amb ian exp lí citam e n te op i nion es ,
nec esi da des, pr oy ect os y dec iden ju ntos cóm o se ll eva rá a ca bo la
ens eñ anza -a pr e ndizaj e y s e re flej ará ora lmen t e o p o r es crito . E l
pro feso r da una s tare as de ap ren diza je , r esu lt ado s y c rite ri os de
eva lua ci ón; y c onsu lt a co n el est udi ante sob re su pl an de est u dio s .
Pro pó sit o : d esar r ol l o d el ap rend i za j e a utón om o.
33
Ad em ás de est as m eto d olo gí as, n os gust arí a dest aca r do s má s, q ue no
se tr atan en l a pro pu est a d e D e Mi gu el:
1.4.8. Seminario clásico
Si bi en es u n mét od o o rgan iza tiv o, tam bi én es co mpl em enta rio . o
se min a ri o co mpl eme n ta rio , t amb ién es una lec ci ó n a lter nat i v a a l a
le cci ón ma gis t ra l. C ons ist e en re uni on es s em an al es en tre u n nú mero
de alu mn os (10 o 1 5) y u n ex p erto y un pro feso r act uan do como
sup erv iso r. El o bj etivo es famil i ariz ars e y p rof un di za r en un te ma en
part i cular. Con st a de: con fe renci as (inic i al es com un es da da s po r el
dis ert ant e e inv est ig aci ón e xte ndi da por p art e d el estu di an t e),
reda cc ión pas o a pa so de l os t ex tos ba jo l a sup e rvis ión del d ise rt ant e
y una di scu sión de semin ari o d esp ués d e qu e lo s te xtos ha yan si do
leí dos po r tod os l os es tudi an t e s. Esto podrí a en tender s e como
apre ndi z aj e co labo rati vo .
1.4.9. Aprendizaje en el aula virtual
Habi tu al m ente ca tal og ado c omo un re cur so o in clus o c om o u na f orma
de o rg aniz ació n, que c om pl eme nt a la en señ anz a p r ese nci al , p er o que,
deb ido a los des a rr ol lo s actual es , y a re q ui e re de un a met odo logía
pro pia (co n sist ema s c omo We bQu est , wik i s y rede s co lab or at iv as,
et c.). Se d ef in e c omo un a si tu aci ón de ens eña nz a-ap ren diz aje d on de
se util iza una comp uta dora en lí ne a com o sist em a de com un i cac ión
ent re el m aes tro y el es tud iant e y se p rep ara un plan de est ud ios
int egr ado al pla n de es tud io s . Ya exis ten v a rios "e nt orn os" p ens ad os
no s ólo p ara "pu blic ar " co noc imi en tos , s ino t a mbi én p ar a fa cil it ar e l
apre ndi z aj e co nstru ct i vo del al um no.
34
Capítulo 2
Tecnologías y pensamiento lógico matemático
En l as últi mas d éca da , la so ci edad de la info rma ció n se ha d es ar ro ll ado
rá pid ame nte, lo que ha favo reci do el su rgi mie nto d e herra mi ent as té cni c as
q ue h an inf lui do en d i vers os asp ecto s d e l a soc i edad h um ana , e nt re l os qu e
se pue de de sta car el ni v el d e e du caci ón , es pe cia lme nte en la s un ive rs idad es.
Est os ava nc es tecnoló gi co s ha n ob li ga do a los est u di antes a ad opta re n l o s
y d ep end er de máquin as y dispo sit iv os c on t ecno logí a ac tuali z ada pa ra ser
com pe titi vo s en el a ul a y l u ego en el ex ige nt e mer cado lab or al, d e pen de nci a
q ue sin duda es un fact o r que afect a la e duc aci ón, deb ido a q ue i nf luy en en
la s p ers ona s al mo ment o de fo rm ular, en fr en tar y r esol v er p rob lem as
re laci o nados co n cu al q ui er cie nci a y e n esp eci al c on l as m ate m áti cas.
El sist em a ed uc ativ o, como p arte imp ort ant e d e l a so ci e d ad hum ana , no
p ued e ig n or ar t al s it uaci ón, po rque pr iva ría a l os es tudi ante s d e l a
o portu ni dad y el der e ch o a des em peñ ars e e f ectiv amen t e su s á mbi tos de
acc ió n , coa rta ndo lo s ve rd ader os y gr and es p os tula dos de la ed uca ció n y la
mi sió n d e las i nst i tuci one s edu ca tivas en todo s s us ni ve les . Exi ste una
re laci ó n in neg abl e e nt re la te cno log ía y el d es ar rol lo d el p ens ami e nt o l ógi co
mat e mát i co que af e ct a a los es tud i an tes, qu e d e be s er e stud i ada y an ali za da
té cni cam ent e p ar a c r ear est ra tegi a s y pro c edimi ent os pe dag ógi cos que
p ermit an arm oni z ar el uso de l as herra mi ent as. tec nol ogí as y pr ogr ama s
in fo rm át icos que mej or an cont i nuam ent e las hab il idad es y dest re za s de los
es tu di an tes pa ra r es olv er si tu a ci on e s d e pro bl ema s num éri co s q ue si n d uda
form an p ar te de los a co ntec imi ento s qu e e ncu ent ran en su vi da dia ria o
p rofes i on al .
En este cap ítu lo se a na li za el d es arr oll o tec noló gi co q ue ha mos tr ado l a
so ci ed ad y sus efe ctos en el desar rol l o del pe nsam ien t o ló gi c o mat em át ico
d e lo s estu di an tes av an zad os, con el fin d e c onst at ar la im port an ci a del uso
d e h e rra mi ent as té cn ica s en l a f orm u lac ión y resolu c ión de t ar e as
mat e mát i ca s q ue r equi e ran ra zo nam ien t o lógi co .
35
2.1. Tecnología
La te cno logí a e s u n conju nto de inf orma ció n t é cnic a y ci entífi cam en te
o rg an i za da qu e pe rm it e el dis eño y la cr eac ión de bi en es y se rvi ci os qu e
fa cili t an l a a dapt ac ión al m edio am bien t e y sati sfa ce n tan to l as ne ces id ad es
com o lo s des e os es e nci al es d e la huma nida d. Es una pala br a de ori g en
g riego , f orm ad a por té chn ē ( arte , té cni c a o neg o cio, qu e pu ed e t radu ci rs e
com o habili d ad) y l o gi a (el estud io de al go). Aun que ex ist en much as
te cnol ogí as, es com ún que l a exp re sió n s e uti l i ce en si ng ula r para re feri rs e
a una o t odas ella s.
La t ec nol ogí a p ued e in di car tant o un a d isci pl in a teór ic a q ue es t ud ia
con o cimi ento s co m un es a to da s la s t ec n olog í as , como una ram a d e la
edu ca ció n d edi c ada a la f o rm aci ón tec no lógi c a y famil i a riz aci ón co n l as
te cnol ogí as más im port ant es; A sim ismo , s e p ien sa y ent ien de la te cno lo gía
com o di sposi ti vos ut il izad os en los pro ce sos d e e ns eñ anz a y a p rendi zaj e
p ara c ompr end e r y r es olv er probl em as m at emát ic os co n el fi n de i dent if icar
la rela ción en tre e l us o d e e s tos di spo sit i v os y el p en s amie nt o l ógi co
mat e mát i co. El estu di ant e de b e des arr oll ar un a base para la res o lu ción de
ta reas n umé ri cas r el aci on adas c on l a c ar rera p r ofe si on al e legi d a y el
p os t eri or d ese mp eño l ab or al pro fe sio nal .
La tecn olog í a deb e anal iz ars e des de dos pers pe cti vas r ela cio nad as con el
tie mp o. A sí, en la pre his t ori a l as te cnol ogí as se util iz aron p ar a sat isf ac er
n eces ida d es esen cia les (ali me nt a ción , vest id o, v ivi en d a, p ro te cció n
p erso nal , rel aci ones so cial es, com pr e ns ió n d el m und o natu ral y so ci al ) y en
la hi sto ri a t am bié n par a s atis fac er pla cer es fí sic os y e sté tico s (d epo rte,
mús i ca, hed onism o) y c omo fo rma de sat isf ace r d es eo s (si mboli za r es tat us,
mej o rar pr oc es os, etc .).
Un cas o es peci al es el pap el de l a t ecn olo gí a en l a fo rma ción d e los fut uro s
p rofes i on al es, don de par a log rar u n t rab ajo efe cti vo es ne ces ari o ap rend er
y dom in a r el uso d e la t e cn olog ía in form áti c a a t al p unt o q u e en la m ayo ría
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d e los c as os se p e rcib e u n a e x ce si v a de pen den ci a d e herram i ent as
te cnol ógi cas . En la ac tuali d ad es im po sib le p ensa r en un p ro f esi on al
re ali zan d o un t rab ajo e fi c az si n o t ien e co noc imi ent o de l m anej o e
im ple me nt aci ón de pr og ram a s y dis pos iti vos té cni cos que me jor en los
p roce sos d e re ali zaci ón de las ta rea s as ig na d as.
A p es ar d e l o an t er ior, es im port a nt e co ns ide r ar el n ivel d e t ecno l og í a qu e
d eben u t iliz ar lo s e stu dian t es p ara qu e e l desa rrol lo del pen sami ent o l ógi co
mat e mát i co no s e v ea afec t ad o y s e v uel v an d em asia do dep e ndi ente d e esta
d ebid o a l a fa ci l ida d de us o d e la com puta dor a, lle g án do se a l os ex tr emo s
d e e mp lear l a tecnol ogí a inclu so pa ra realiz ar oper aci on es bási cas d e
mul tipl i c ac ión . La situ aci ó n emp eora d ebid o a la fe supe rio r d e lo s
es tu di an tes en los res ult ado s obt e ni dos po r l a s máq uin as. G e ne ral me nt e, el
es tu di an te n o real iz a com prob ac ión al g una de l os res ult ad os d e l as
o pera cio n es q ue rea li za durant e el proc es o, po rque m a nt ie n en u na f e
in dis cuti bl e e n l as h err ami ent as t ec noló gic as .
Es imp or tant e su bray ar qu e l a te cnolo gí a ma nt iene ci ert as f un ci on es
es p ec í fi c as , en tr e l as q ue d ist ingu e l a f unci ón sim b óli ca d e los obj eto s
té cni cos. Tal sit u ac ión su rg e cu an do la t are a p rin cip al d e los obj et os
té cni cos no es sa tis f acer las ne cesi d ad e s bás ica s de l as per son as, si no que
se c onvi erte n en un medio p ara cre ar es tat us so c ial y rela cion es de p oder.
Pa r a lo s est udi ant es est e fen óme no s e repi te y se m ani fies t a en su
p ref eren cia por adq ui ri r eq u ipo s t écni c os com o t eléf onos mó vil es d e alt a
te cnol ogí a y de pr ec ios m uy elev ado s par a com pl et a r sus es tud ios. La
ma yorí a d e l os estud i ante s ti en en t el éfon o s móvi l es ca ros , a u nq u e no t ie nen
com put ado ra ni c al culad o ra ci ent ífi ca p ar a usa r en su s est ud io s, l o que
sug ier e qu e la fu nci ó n si mb ólic a de l a t ec no lo gí a exced e a l a d e s u
apl ic ació n t écn ic a.
Est ud io s r ea li za dos d emos t ra r on q u e 52 d e c ad a 60 est ud iant es de
adm ini str a ci ón pose en u n celu lar de al ta t ecno l ogía q ue c ue sta ent re $20 0
y $ 7 0 0 y no t en í an eq ui po inf orm áti co pa ra es t udi ar n i c al cu l ado ra cien tí fic a
p ara re aliz ar lo s cál cu los num éri c os . A quí surge la si gui ent e p re gun ta ¿cu ál
37
es la m ot i vació n de exp on er inf o rm aci ón rela cion ad a con la pos es ión de
equ ip os te cnoló gi cos ? El an ális i s rea liza do ayu da a com pre nde r la l ógi ca
d el pe nsam i ent o de l os e st udi an tes en ca nt o a l us o d e r ecurs os té cnic os par a
su p ropi o u so, s ituac i ón que en ú lti ma ins tanc ia y se ve co nd ic ion ad a por
lo s medi os d e com unic ac ión ma siv a, la s ubc ul tu ra consu m is t a y la
p ubli ci dad , sit u ación qu e se trans for ma en un p rob le ma para l a en señ anz a y
af ect a di re cta m e nt e el d esa rrol lo de l a ens eñ an za -a pren di zaj e. Las
v alor aci on es an tes m en c ion ada s no pr et ende n demo st rar qu e la s tec nolo gí as
se an la caus a d e l a in capaci d ad de lo s estu di an t es pa ra co nc entr ars e en l a
ens eñ anza -a pr endiza j e, pe r o c onfi rma n e l supu esto d e s u p rev al en cia .
2.2. Educación y tecnología
Lo s méto dos var ían s egún se t rat e d e tecno lo gías para l a pr od u cci ón
ar tes anal o i nd ust ria l de o bj eto s, la pres tac ió n d e s ervi cio s, la e je cuci ón u
o rg an i za ció n de d eter min ad as t are as , lo que pue de infl ui r en la cl asi fi c aci ón
d e l a t ecnol ogí a apli c ada en fun ci ón de s u com pl e j ida d. E sta co nsi dera ció n
es rel eva nt e en el co nt exto d e ed u ca ció n s upe rio r o uni v ersit ari a, pues to
q ue e s inn egab le que much as uni v ersida d es no cu enta n con las tecnol og ías
aco rd es pa ra l a fo rm ac ión de es pec ial ist as e n di v ersas ár eas , lo que
apa ren te men te crea un con fli ct o ex tern o ent r e l as exig enci as del me rc ado
la bor al y l a fo rma ción d e des tr eza s e n el man ejo de her ram ient as
te cnol ógi cas po r p art e d e lo s pro fesi ona les .
La falt a de de st re za en el ma nejo de eq uip os t écni co s en l as futu ras t ar e as
la bor al es es un a s itu aci ón p ro bl ema ac tual q ue a fec ta a muc ho s est udi ant es
q ue no cu e nt an co n equi pos in form át icos debi do a su co ndi ció n
so ci oe con óm ica . Be rm úde z Ta cung a (2 0 14), com o p art e de u n t rab ajo de
in vest ig ació n, vi sitó los h og ar es de 60 es tud i an tes, enc ont rand o que 18 de
el los no co nt aba n co n com puta dor as, pre se ntan do más de fi cie ncia s en el
ma n ejo de est e tip o d e equi p os t écn ic os. Si n em b arg o, dem ost ra ron un m ayor
n ivel d e r az on a mi ent o l ógi co q ue aqu ell os q ue po se ían un a co mput ad or en
cas a, com o l o demos tra ron los punt aje s m ás al to s o bt en id os en l a s p ru ebas
d e ra zon am i en to num é ri c o a las q u e fue r on som etid os todo s l o s est u diant es .
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Un método com ún a to das las t ec nol ogía s d e pr od ucc ió n es el us o de
h err am i entas e i n st ru m en tos pa ra c ons t rui r ar tefa cto s, lo qu e
in evit a bl em ent e cre a sit uac ion es pro bl em áti cas q ue req ui eren de lo s
p rofes i on al es con edu caci ón u ni v ersi tar ia el em ple o d e ha bi lid ad es
n um éri ca s y ló gic as. L a s t ecn olo gías en la s ár eas de pr estac i ón d e se rvi ci os
p úbli cos , r eq uier en d e i nst al aci ones co mpl ej as g esti onad a s po r pe rson al
es p ec i ali za do , y mo d ernas ma qui n arias q ue res ult an de comb in a cio n es
com ple j as d e dif eren tes h er rami en tas con trol ad as (ahor a much as p or
com put ado ra s) c on i n fo rm aci ón de di spos iti vos co nect ado s a ell as .
Se sab e que ex iste u na i mp ort ante rel ac i ón entr e el pens amie nt o lógi co, la
re solu ció n de pro blem a s y la in ve n ci ón de o bj eto s; la unió n armon io s a de
és tas d eb e s er u na d e l as m et as pri ncip al es de la for mac ió n téc nic o
h um ani st a d e lo s es tu dian t es. La cr eaci ó n de me dio s t écn ico s p ar a m ejo ra r
el d esar rol lo soci oec onó mi co de l en tor no deb e co nve rt irs e en un obj et ivo
q ue s e a lcan ce me dian te la pr o moc ión del r a zo nami en to lóg ic o. Com o se
h a de mo str ado, e l raz onam ie nt o ló g i co ma te máti co ma n t iene u na al t a
cor r el a ci ón pos it iva con l a c reati vid ad hum an a y p or ende con l a ve loci dad
d e i nve nta r nu evo s obj et os o cos as q ue lu ego sati sf a cen las nec esid ad es
cot idi a n as.
Se gú n el c ient ífi co I. Asi mo v (195 8) , la i nv en ció n ne ces it a t raba jo du ro y
p ensa mie nto fue rte . J. P. Gui lfo rd (19 58 ), d est aca do i nve sti gad or en
p si c olog ía d e l a int elig enci a defin e l as ha bil i dad e s bás ic as del i n vento r
com o l as div ers as h abil ida des d e prod uc ción . Guil for d p r opo n e u n mod elo
d e an ál isi s fa cto ria l d e l a i nte lig enci a q ue ti ene t res di m ensi one s:
1 . Proc es o in tel ectu al :
La acti vid ad qu e reali za un a pe rson a para t ran sfo rm ar l a in fo rma ción
en co n o ci m i ento .
2 . Produ ct o in tel ec tu a l:
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Fo rma r u organ i za r l a in fo rm aci ón po r o rde n d e c omp leji da d.
3 . Con ten i do d e l a in fo rmac ió n .
El mo del o de int eli gen ci a, es un mode lo i nte gra l que co nsi d era tan to la
in tel ige nci a com o el cono cim i en to pa ra de fin ir aún más el co nce pto d e
cap ac id ad i nt ele ctua l , q ue es el res ult ad o de u na com bi nac ió n d e pro ces o,
p rodu ct o y c o nte ni do del co no ci mie nto. G r acia s a est e model o es posib le
o bt en er a pli ca cione s pa r a med ir y de sa rroll ar habi lid ade s int el ect ual es
com o h er rami ent as b ási cas d e apr endi za je.
Su pun to d e p a rt i d a es el an ális i s de l fun ci on am ient o del s ist em a co gni tiv o
en la re sol uci ón d e p rob lem as. Par a ell o, esta bl ece t res cat ego ría s:
Ope ra cion es :
Ti p o de proc eso in t el ect ua l (eval ua ci ó n , pro du cci ón con vergent e,
p rodu cció n div e rg en t e, ret en ció n d e me mo ri a, re gis tro de me mo ria,
cog n ición ).
Con teni do :
Ti p o d e co no cimi en to a t rab aj a r (vi su al , aud iti vo, sim ból i co,
se mánt i co, con duct ual ).
Pro du ctos :
La fo r ma qu e tom a l a inf orm ació n.
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2.3. Tipos de tecnologías
El p en sami ent o lógi c o m ate máti co es un a h abil id ad qu e fac il ita el de sa rro ll o
te cnol ógi co y p uede ser cons ide rad a tecno logí a du r a o b land a d ep endi en do
d el camp o de a pl ic ac ió n d el qu e pro ven ga. El té rmi n o te cnol ogí a sue le
u tili zar s e p a ra te cnol og ías de la i nf orm ac ión, m ic roe le ctr óni c a , l ás er es o
fun cio n es esp eci ales , te cn o logí as que se c onsi d eran du ras y so n reco noci d as
p or la s ci en ci a s que la est r uctu ran. La so ci edad gen e ra lm ent e r eco n oc e
com o tec nol ogí as d ur as aque ll as de ri vad as d e c ie nci as c om o la fí si ca, l a
q uí mi ca y l a inf ormát i ca, p ero la ma yorí a de l as de fini ci ones con ocid as
p ermit en e incl uyen otra s a men udo de nomi n adas bl and as .
La s tec nolo g í as bl and as, do nde su p rod u cto no e s u n o bj et o ta ngi bl e, com o
lo s se rvi cio s, t iene n como p ro p ós ito m ej o ra r e l des em peñ o de l as
o rg an i za cio n es par a logr ar s us o bjet iv os , que p ueden s er emp r es as
in dus t r ia l es , co me rcial es o de se rvi cio s, o rga niz aci ones con o sin fi nes de
lu cro, ins tit ucio nes púb li cas o p riva das , etc . L a educa ció n (en el se nti do
d el p roce so d e apre ndi zaj e ) s e di sti ngu e cl aram ent e d e la s d en om in ad as
ra mas b l an d as de l a i n g eni erí a, po rqu e a t ravé s de l a ens eña nza -ap ren diz aje
se for man pe r so na s con c ono cimi e nt os t é cn i cos q ue l es pe rmit en crear
b ienes o s er vi cio s p ara sati s f ac er l as ne ces id ades del entor no s o cial .
Est e tipo de orga niz aci ón tecno ló gi ca t am bié n s e ocupa de l a g e st ión , la
con ta bili da d y l as ope rac ion es, la l og ístic a de pro duc ció n, e l m ar k et ing , l as
es tadí st ica s, l as re la cio nes hum ana s y la psi col ogí a de l t rabaj o, y el
d es arr oll o d e so ftwa re i nform át ico . En ge ne ral , l as t e cno lo gías b l an das se
b as an en c i en ci as bla ndas co mo la so ci olog ía, l a p ed ago gía , l a econ omí a o
la g esti ón . Exist en o t ra s clas i fic ac iones t ec nol ógi cas q u e son amp lia ment e
re con oci d as e n la s oci ed ad, e nt re l as que se e num era n l as d en om ina das
te cnol ogí as ap rop iada s (App ropr i at e Te chn olo gy).
La t ecn olog ía se con side r a ap ropi ada s i ti ene un impa cto pos iti vo en l as
p erso nas y el m edio am bi ent e. Si bien es te t ema es ac tu al ment e mu y
41
d ebati do, exis te u n c onse nso b ast a nt e am plio y d ecid id o entr e los m i emb ros
d e l a so ci edad ace rc a d e las pr inci pal es car a ct eríst i cas que deb e tene r un a
te cnol ogí a pa ra s er s oci a l y ecol ógi ca ment e apro p i ad a:
No c ausa r da ño s a las pers on as o d añ os in ne ces ario s a otr as form as de
v ida ( a ni ma les y p lan tas ).
No d añ ar el p at ri moni o n atu ral d e la s g ene rac ion es.
Mej ora r la s c ond icio n es bási c as de vi da de to das l as pe rso n as ,
in dep endi en tem ente de su pod er ad quis iti vo.
Re sp et ar l os d ere chos y el ecc ion es d e sus usu ari os vo lunt ari os y sus
p ropós ito s d esc onoci d os.
No cau sa r efe ctos i rr ever sib les , aunq u e a p rim era v ist a par ez can
b enef ici osos o n eu tra l es.
Lo s c onc epto s d e t ecn ol ogía s r ele va ntes y tec nolo gías de van gua rdi a so n
com ple t am en te d ife ren tes . La s te cnol ogí as a van z ada s, un té rmino
p ubli ci tar io qu e enfa ti za la inn ova ción , suel en se r t ecn o lo gías compl ej as
q ue util iza n mu chas ot ras t e cn olo gía s m ás s im ples y s e enc uen t ran en
b ienes y s ervic i os qu e se apl i c an en s itu aci o ne s nu eva s y mej or ad as en
re laci ó n co n s us resp ect ivos m er cados . P a ra am pl ia r el te ma , es n e cesar io
agr eg ar argum ento s sob re el pen sam ient o l óg i co y reve lar l os ap ort es d e l os
te óri co s al te m a , qu e si n duda so n ref eren ci as ci entí fi cas im port ant es qu e
d eben s er vi st as de sde u n a me jo r pe rspe ctiv a. en apoy o d e la p res enta ción
d e los cr it e rio s.
42
2.4. Pensamiento lógico
Cu and o s e as u me el con cepto de p en sami e nt o l ógi co, se de be con si dera r qu e
p ensa r es un acto qu e hac e qu e el cere br o hum a no funci on e d e t al mane ra
q ue pue da per ci bi r, i mag in ar, a nali z ar o com par ar ab st r act ame nte e l m un do
q ue l o ro de a, o ge ner a r fan t as ías . El p ens ami ent o ló gic o pued e y debe
d es arr oll ar se d es d e la et ap a de en señ anz a- ap re ndi zaj e, si e ndo un requ is ito
p revio im por tant e p ara la vi da l ab or al e xi tos a d e un es tu dian t e d e p os grad o ,
p orqu e una pro fesi ón e fec tiva n o pu ede n ace r s in una me nt e cr eati v a y un
d es arr oll o ló gi co. L os p ro fes i on al es ti e n en q ue e nfr enta r se a sit ua cion es
p roble má tic as co tid i an as y tomar deci sio nes que a fect a n a la organi za ci ón
en la que t raba j an .
Des a rroll ar el p ensa mi en to l ógic o r equi e re pr ácti c a co nsta nte, l as p erso n as
n o na cen con un a me nte ló gi ca; pr a ct i car e l p ens ami en to ló gi co,
es p ec i alm en t e en m at em áti cas , req u i ere c onc ent ra ción y compr omi so , po r
lo qu e no s e r ecom ie nda el u so d e h erra mi ent as t écni cas , qu e g ene r alm en te
se consid e ran h er ram ient as p eda gó gic as a dic ion al es, du ran t e est a eta p a d e
"gim na sia m ent al" que deb en re ali zar lo s estu dian t es. El ejer cic io del
p ensa mie nto lógi co m atem áti co de lo s e stu dian t es s e pu ed e re ali zar con
u n si ste ma d e t a re as pro fesi on ales q u e m anti ene n u n aum ent o en la
com ple jid ad e i n cluy en si tua cio nes pr ob lem a qu e los es tu d ia ntes pue den
re solv er si n ope rac i o nes a ritm éti cas o alg ebr aic as qu e r eq uie ren
fun da m e nt os mat em áti cos sig ni fi cati v os pa ra su sol ució n.
Ca be re cal car que u na d e las mani f e sta cion es de l pensa mi ento ló gi co es la
cap ac id ad abst r acta de un in di vid uo . E l Dr. Mi gu el P alac io s F r ug on e cr ee
q ue los ni ños solo tien en p ens ami ento s con cr eto s: e nti en d en lo qu e ve n,
ent on ce s, po r e jem plo , p ar a ent end er q ue d os más do s so n cuat ro, hay qu e
mos t rarl es do s o bjet o s y l ueg o a gr ega r d os m ás an t e s us oj os. En el cas o de
lo s es tud ia nte s, ya tie ne n un niv el d e abst ra cció n que les permit e
com pr en der las situ aci o n es qu e vi v en d ía a d ía y sa car c oncl usi one s d e e ll as ,
lo qu e s in duda v aría e ntre e stu di antes , deb ido a l os d i fere nte s ni v el es de
43
sub jet ivi dad d e l o s q ue pr ovi en en y d e l os d ive rs os en tor nos s oci ale s en l os
q ue in t er ac cio nan .
El p e ns am ient o l ógi co es nec esar io par a resol ve r prob lem as c otidi an os y
h acer av an z ar l a c i enci a, por que signi fi ca sa ca r conc lusi one s de l as
p remis as cont e ni da s e n ellos , pero no de l as dir ec tam ente obs erv abl es. La
ló gica e s una c i en ci a uni v ersal y f orm al q ue a yuda a lle v ar a c abo u n
ra zon ami ento v álido po rqu e est udi a l as fo rm as d el pen s am i ento
in dep endi en tem ente de su co nt enid o.
Est o se d eb e a que e l o bj eti vo del pe nsam i ent o l ógico e s ll eg ar a un a
con cl usi ón váli d a en bas e a un a det ermi nad a s u po si ció n, ana liz ar, c omp ara r,
lu ego si nt etiz ar pa rte s sep a rad as pa ra el an á lisi s, j us ti fic ar las co n clusi on es
o bt en ida s, po rque no s on pr odu cto s de l a in ven ción , sin o q u e s urg e n de l as
af irm aci ones que ajust an a un pro ce so d e pr ueb a. P ara l ogra r el pens ami ent o
ló gico , se de b e par t ir de prop os icion es pa ra con st ruir otra s que se deri ven
cor r ect am en t e, ind ep end ient eme nt e de s u v erda d. El pr opó sit o d e esto s
argum en tos es la p ru eba, qu e s e l og ra a tr a vés d el r az ona mie nto.
Si d ec imo s en el l en g uaj e cot i dian o qu e al go es ló gi co, por que nos p are ce
u na con clusi ón razo na bl e d e lo ant e rio r, en to nces el pro pós it o d e la s t ar e as
p rofes i on al es es d es ar ro l lar en los estu di ant es hab i li d ad es que l es p ermi ta n
re solv er pr obl em as ma t em áti cos , p ro bl em a s de mane ra lóg ic a y d edu cti va,
in clus o si re qui eren l a apli ca ción d e algo rit mo s compl ej os o u sar
d ispo s it i v os técn icos c om o co mp ut ad oras o cal cul ado ras .
Se gú n A. Rin có n (19 79), el pe nsa mie nto l ógi c o m at emát ic o s e e nti end e
com o un conju n to de ha bil idad es qu e tod o in divi du o debe ten er pa ra
re solv er de ter mi n ada s fu n ci on es bási cas , ana liz ar info rm aci ó n, uti li zar el
p ensa mie nto r efl exi vo y el co no cim ien t o d el m und o q ue le rod ea, y
apl ic ar los a s us vi da s t o dos l os dí a s.
44
2.5. Resolución de problemas
La reso luci ón de pr ob lem as sup o ne un pr oc es o me nt al que requ ie re l a
fi nal iza ción de un pro ces o má s amp l io q ue está p r eced id o p or l a
id enti fi ca ció n y el mo d el ado del pro ble m a . Un prob lem a se e nt iend e com o
al go pa ra lo q ue se e sp era un a s ol uc ión, q ue no es tan obvi a seg ún e l enf oqu e
o rigi nal .
Con sid er ada la m ás c om plej a de tod as la s a ctivi d ades i nt ele ctu ales , la
re solu ció n de probl e mas s e ha de fin ido c om o u n p roces o cogn iti vo de alt o
n ivel qu e r equi er e que los est udi an tes m odu len y dom in en h a bil i dade s
rut in ari as o bási cas . La re soluc ió n de p ro bl em as se da prin ci p alm ent e en
d os áre as qu e sue len t en e r una cor re la ción si gn if icati v a d ebid o a su
sin gu l ari da d i nhe ren te: l a r esol uci ón de prob l em as mat em át ic os y l a
re solu ció n d e pr obl ema s pe rson ale s ( don de ex ist e a lgú n ob st ácul o p ar a
re solv erl os) .
La r eso luci ó n de pro bl emas mat em át i c os s e con sider a la part e más
im port a nt e de la ens eñ an za d e l as m ate mát i cas. A l re sol ver pro bl em as, lo s
es tu di an tes e xp erim e nt an el pod er y l a ut ilid ad d e las mat emá ti cas en el
mun do qu e lo s rode a. Pa ra los est ud ian t es, lo s pr obl em as mat emát i cos que
re suel va n de ben se r c om pati bl es co n e l ent o rno d e t ra bajo de cada
as ig na tu ra, d e mo do qu e n o d ebil it en o afe cten l a comp re nsió n d e l a l ó g ica
y l a pr act icid ad q u e s e esp er a en rel aci ón con l a p ro fe si ón p ar a l a que se
form an .
Des de la ép oca de Geo rg e P ól ya (19 45) h as t a la act u al id ad, m ucho s
d ocen t e s e i n v esti gad ore s se h an dedi cad o a en co n tra r r espu est as a l as
d ific ult ad es de l os es tudi a nt es pa r a re sol ve r probl ema s m at e máti cos, qu e
son una al eg ría para m uch os y una pe sa di lla par a ot ros . Lo ci er to es que
la s p ers ona s no si em pre pu ede n en fr ent arlos , p o r lo qu e s e debe n d e sa r roll ar
h abili d ades par a est o. El de sar ro llo d e l as t ec nolo gía s de pr oc esami e n t o de
la inf orma ció n d esta ca l a capaci d ad d e util i zarl a, s i se pi e nsa en su us o en
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la res oluc i ón d e p ro blem as, per o t ambi é n cu ando se ut i li za ad ecu adam en te,
p romu eve la asimi lac i ón d e l a i n form aci ón , co nsi d eran do l a s posib i lida d es
q ue l a ob ten ci ón d e l a i nf orma ció n. pro p or cio na.
Sin emb argo, el m er c ad o la bor al act u al v al or a más e l us o e fecti vo de
h err am i entas téc ni cas q ue el co no c imi ent o te óri co de l a ci enc ia; Las
em pre s as p ref ier en con trat ar pe rson as con al ta ha bili da d en la resol u ción
d e prob l em as lab o ral es, dej and o at r ás a pe rso nas co n alto s con oc imi ento s
ci entí fi cos . Es po r el lo q ue l a ca pac i da d de r es ol u c ión d e pro blem as se h a
con v ertid o en el foco de la ed uc ació n matem áti ca en la époc a a ctua l, p or
el lo e s impo r t ante v alor ar la edu caci ón qu e ant epo nga la cap aci dad d e
re solu ció n de prob lem as al des ar rol lo d el pe nsam ien to lógi co.
A p arti r de est as i dea s cent r al es s e d ebe d et ermi na r el cont en ido de l estu di o,
p or lo que en este se nti do y en el marc o de la form ación uni v ersit a ri a , es
con v enien te b us car el p en sami ent o l ógic o m ate máti co a tr av és d el
d es arr oll o e imp lem ent a ci ón d e un si stem a de t are as p rofes i onal es. H ay
v aria s d efini cio ne s de p rob l em as e n la b ibl iogr afí a s obre r esol u ción d e
p roble ma s, ca da un a de la s cual e s rep re sent a un a p ers pec tiv a dife rent e,
aun q ue co nce pt ua l me nte d i fer en t e, p ero qu e pr ese nt a e lem ento s com un es o
al me nos no co nt r adi ctor ios .
En g ener al, todos co i ncid en e n que el prob lem a es una situ aci ón dif íci l
p ara l a qu e no exis te un a solu ción inm edi at a. Es te asev era ció n es mu y
im port a nt e desd e el pun t o de vis t a d e la di d ác ti ca, ya q ue a l el egir l as tar e as
a p res ent ar al g rup o de est ud iant es, s e d e be consi d erar no s olo la nat u ral ez a
d e la tar ea , si no tam bi én lo s cono cim i ento s que l as pe rson as n e ces it an par a
re solv erl a. Otr o a sp ect o funda me nt al a co nsi de rar es que la perso na te nga
u n f uert e d ese o d e h ac e r ca mbio s q ue l e ayu den a s olu c iona r el pr obl ema,
lo que qu ier e d eci r q ue si no e stá mo t iv ad a, la sit ua ción en c uest ión dej a de
se r u n p rob lem a p orq ue no si en te gan as d e sol uc iona rlo . En resu men , hay
al meno s dos con dic ion es neces ari as p ar a resol v er un p robl ema : el cami no
d ebe s er d es cono cido y la per son a qu i ere re solv er el pr ob le ma.
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Pa r a mot iv ar a los e stu di a nt es en el desa r ro llo d el pen sa mie nto ló gic o
mat e mát i co, lo s p rof es ores un iv e r sita rio s pu ed en em ple ar v ari as
es tra tegi a s, p or eje mpl o:
el pap el d e l a r eso luc ió n de pro bl em as ma tem áti c os en sit ua cio nes de
la vid a,
el pap el d e l as m ate mát ica s e n g ene ral y
la res olu ció n d e pr o bl em as, es pec i al m ente en el d es arr oll o de l as
mat e mát i ca s co mo fu n ci ón des arr olla dor a de l a h isto ria y los
p roble ma s d e la ci enc ia y su con trib uci ón a l desa rro llo i ntel ec tu al del
fut u ro pr ofe si o n al y en es p ec i al a la for m ac ió n d e su pe ns am i en to .
La s mo tiv aci ones en est a á rea s e d eno min an mo tiv ac iones mat em át i cas . Par a
se r ver dad eram ente i nt eres ant es , l os prob lem as deb en re pr esen tar
sit ua cio nes act ual es y ambi e nt al es, adap t arse est ri ct amen t e a l a reali dad ,
n o re qu er ir di s posi tiv os t écn i co s para r esol v erlo s y s er ac cesi bl es a los
es tu di an tes si n p erde rl os de vist a , en vist a qu e la s difi cul tad es im pli cad as
d eben i n crem en t ars e p er iódi c am en t e c on el fin de un a form aci ón p rogr esiva
en el pens am ien to l óg ico m at emá tic o , qu e s e p reten de d es ar roll ar en los
al umno s co mo funci ón fun dam ent al d el de semp eñ o l ab o ral pos te ri or.
En con clu sió n, se t i en e l o si guie nt e :
El de sar roll o de l pe nsam i ento l óg ico, l a res ol ució n de p rob lem as
mat e mát i cos y la i nve n ci ón d e h err ami en t as té cnic as s on di rec tam ente
p ropo rci ona les y está n po siti v ame nte rel aci on ado s.
Lo s e st udia nt es qu e ti e n en f á ci l acc es o a l a s her rami ent as
te cnol ógi cas edu cat i vas mu est ran un a m ayo r depend enc i a e n la
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re solu ció n d e probl ema s m at em áti cos, lo qu e di f i cul ta el d es arro llo
d e s us h abi li dad es de pe nsam i ento ló gic o.
Lo s es tudi ant es q ue mu es tr an di fic ult ad pa r a dom inar las he rram ie nt as
té cni cas pr ese nt an m ayo res h ab ili dad es de ra zo n amien t o lógi c o
d uran t e l as p ru eba s d e r esol u ción d e pr obl ema s.
La m oti va ció n es im po rta nte par a el de sa rrol lo d e l a res olu ción de
p roble ma s p or parte de lo s estu di ant es .
Lo s est ud iant es d eb en pra cti car el pens amie nt o lóg i co m ate máti c o a
tr avé s d e un sis tem a d e pro blem as d e as p ecto pr of esi on al q ue p er mit a
re solv er pro bl em a s c on o si n ayud as t écn ic as .
48
Capítulo 3
Método Pólya para la resolución de problemas
Geo rge Pól ya na ció e n 1887 en Hung ría . Reci bi ó su docto ra do de la
Un iv ersid ad de Bu dap est, y par a lo gra r e st e t ítu lo tra baj ó en c álc ulo d e
p roba bil idad es. F ue pro feso r en el Insti tut o Fe de ral de Te cn ol ogí a de
Zú ric h, S uiz a. E n 19 4 0, Pól ya y s u es po sa suiz a se mud aro n a los Es tad os
Un id os d es pués de hui r de Hi t ler. A dem ás d e hú ng aro, al emá n, fran cés e
in glés , Pó ly a h abla ba (b as tante mal , seg ún ell a ) y po día l ee r y co mp rend er
má s. Se est able ci ero n en P alo Al to , Cali fo rni a , cons ig uiero n tra baj o en l a
Un iv ersid ad de Brow n y en 194 2 se tra sl ada ron a l a Unive rsi da d de
Sta nfo rd.
Du rant e s u l arga vi d a ac ad ém ica y prof esi o nal, reci bió v a ri o s prem ios y
re con oci m ien t os por su d est a cada l abo r en educ aci ón, mat emát ic as y s us
im port a nt es in v es ti ga cion es . Cu an do s e l e p reg untó có mo ll egó a s er
mat e mát i co, resp ondi ó m edi o en bro ma, medi o en se rio : No e ra lo
su fici ent em ent e i n teli gen te p ara ser fí si co y d emas i ad o int eli gen t e p a ra ser
fil ós o fo , as í q ue ele g í las ma t em áti c as, al g o i nt erm edi o.
La s cont ribu ci on es de Pól ya in cl u y en más de 250 a rt ícu los mat em átic os y
tr es l ibr os q ue p rom u even ace r camie nt os al co no cimi en to y el des ar roll o d e
es tra tegi a s d e re solu ció n d e probl ema s. Su fam oso l ib ro Cóm o con fig ura r y
re solv er p ro blem as, qu e ha si do t ra ducid o a 1 5 id iom as, pres ent a su m étodo
d e cua tro p asos, a sí c omo heu rís ti cas y es t r ate gias e sp ecí fi cas pa ra r esol v er
p roble ma s.
Ot r as ob ra s imp o rt an tes de Pól y a in cluy en De scub rim ient o mat em áti c o ( I y
II) y M a tem áti cas y r az onam ient o pl au sib le (I y I I).
En el lib ro “P lan tea mi ento y reso l ució n de p rob lem as”, Pól ya of rec e
h eurís ti cas gen eral es pa r a r eso lv er to do tipo de probl ema s, n o solo
mat e mát i cos. El li bro in cl uy e cons ejo s p ar a l a e ns eñ an za d e las m ate mát ic as
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y un a min i -enc i clop ed ia de t érm inos heu ríst ic os . Ha s ido tr adu ci d o a
mu chos i di oma s y ve ndi ó m ás de un mi ll ón de co pi as. E l fí si co rus o Z h ores
I. Alf j or ov (Pr emi o No bel de Fís ic a 2 00 0) lo elo gió y dij o qu e es tab a
sa tis fec ho c on el f am os o lib ro d e Pó lya.
En la ob ra “M ate mát i ca s y ra zon am ien to p la usib le” , en la pa rte I es tabl ece
re gla s g en e ra les a tra v és de ra zo nam i en tos l ógic os , i n cl uy end o t ambi é n un
cap ítu l o sobr e un a t éc nic a ll ama d a i ndu cci ón mat emát i ca, p er o es e no es el
te ma pri nci pa l. En l a p art e II, an ali za fo rm as m ás gen e rale s de ló gic a
in duc ti va qu e se pu ede n us ar pa ra a prox ima r l a p ro b abili da d (esp eci alm ente
mat e mát i ca ) d e u na c o n di ci ón.
Est e m ate mát ic o enri que ció la s ma tem áti ca s co n un i m po rta nt e leg ado e n l a
ens eñ anza d e e st rat eg i as de r es ol uci ón de pro bl emas . En re su men, d e jó l os
sig ui ent es d i ez m and ami ent os a l os p rof es ores de mat em áti c as:
Int e r ésat e por t u m at eri a.
Con oc e tus co sa s .
Trat a de l ee r l a s car as d e t us alum no s, tr ata r de e nten der sus
exp ect at ivas y d ificu lt ade s, p ont e en s us zap at os.
Dat e cu en ta de q u e la mejo r man era d e ap rend er algo es des cub rir lo
p or ti mi s mo .
Dar a lo s al um no s, ad em ás de i n fo rma ci ó n, el co no c imi ent o de c ómo
h acerl o, pro mov e r a cti tu des m e n tal es y el h ábito d el t r aba jo m etódi co.
En seña rl e s a ha ce r co njet u ras.
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Deb en apr end er a re p asar.
Te n g a en cu ent a q ue l as c aract erís t ica s d e un pro blem a da do pu e den
se r ú ti les pa ra r esol v er p ro blem as fut u ro s: int e n t e id ent ifi car el pat rón
g ener al q u e sub yace e n la si tua ció n parti cul a r act u al.
No rev e le s t odo e l se cret o abru ptam ent e: dej a q ue tu s a lumn os
con jet ur en prim ero ; déj e los des cub rir tan t o com o sea po s ible por sí
mi smos .
Dar le su gere nc ias; no obl i ga rl o s.
3.1. Método para la resolución de problemas
La r esol u ci ón de pro bl em as ha co b rad o fu erz a e n el ca mp o c ient í fi co, d ebid o
a que es im port an te e n l a f orm ació n de h abili d ades ne ces ari as p ar a la vid a,
p or el l o di vers as in v esti g aci o nes inter na cio nal es en fat iza n su valo r y l a
n eces ida d par a el des arroll o de es t a co mpet en ci a. Las mat em áti cas d eben
se r e ns eñ ad as en el d es ar roll o de la s com peten c ias, p orq ue les permit e a los
es tu di an tes a dqui rir las habi li dad es n ec esar ias p ara r es ol v er pro bl em as ,
ta les co mo:
ana li zar d at os,
enc ont rar in form aci ón im po rt an t e ,
hac er un pl an,
apl i c ar co rr e ct am ent e lo s al go rit mo s y
51
com par a r res ult ados .
La res oluc ión d e p ro blem as j ueg a u n pa pel imp or tant e en l a adq u isi ci ón de
h abili d ades de inter pr et aci ón qu e lo s es tudi ante s neces ita n desa rro ll ar no
sol o en el c ont exto e duc aci onal , sino t amb i én pa ra en fre nta r si tu acio n es
p roble má tic as c oti dian as. Adem á s, e s im port ant e re s al tar que la s
h abili d ades y d est r ez as q ue des arro ll an los es tud ia ntes cu ando apr end en a
re solv er p ro blem as t amb i én pu ede n s er a p li cad as a o t ra s áreas o sit u acio n es ,
p udié ndo se d e ci r qu e l a re sol u ci ón de p robl e ma s ocupa un l ug ar ce ntr al e n
la for m ac i ón aca dém ica , po rqu e est i mul a l a cap a ci dad de cr ear, in v en ta r,
ra zon ar y an ali za r s itua cio nes p ara r esol ver l as . En b as e a lo a nt eri or, s e
con sid e ra ú til pl an tea r en cl a se, pr obl ema s con te xtual es qu e requi eran un
aná lis is d et a llad o y per mi tan al es tud i a nte el egi r un a es tr a te gi a a seg uir
p ara l le gar a l a s olu ció n.
Pó lya al ha cer re feren ci a a l a r e so lució n d e p rob lem as , est abl ece:
Lo s d es cubri mi ento s res u elv en p ro blem as, p ero al est abl e ce r l a
sol uci ón d e cual qui er p robl em a, exi ste un c i er to d es cubr imi ent o. El
pro ble ma pl ant eado pu ede se r mod est o; pe ro, al po n er a p ru eba la
curi os id a d po ne en ju eg o l as fa cul t ade s inv ent iva s, al res olv erl o po r
me dios p rop ios , se pu ed e expe rim en tar el en cant o del desc ub rim i ent o
y el g o ce de l t riu n fo .
Con la i mp l em ent aci ó n del mét o do Pól ya no so lam ent e se pr ete nde qu e el
es tu di an te en cuen t re la so luc ió n d el pro blem a pl an teado lu ego de seg ui r u n a
se rie d e pa sos o pr ocedi mi en tos , sin o que t am bi én hag a u so d e lo s
con o cimi ento s y h abil id ade s de p ens am ien to qu e n ec esit a par a el d e sarr oll o
d e c ompe ten ci as e n l a reso luci ón de pro bl em as. S e guid amen te s e rel ac io nan
lo s cuat ro p a so s d e est e mé todo des cri t os e n el li bro “ Cómo p lant ear y
re solv er pro bl em a s”.
52
3.1.1. Entender el problema
Este p rim er pas o e s m uy im po rtant e, pu e sto q ue res ult a m uy di fíci l,
res olv er el pro bl ema si no se ent i ende el en un cia do . E l es t ud i a nte
deb e comp ren der clar am en t e lo que s e les pid e a nt es de of re ce r una
sol ució n. A es te pro p ósit o pue de ser út iles cu est ion ami ent os como :
¿Cu ál es s on l as i n cóg nit as pa r a e nco ntrar ?
¿De cuá le s d ato s s e di sp one ?
¿Se di spon e d e s ufici e nt e in form ac ión?
¿Cu ál es l a c ond ici ón ?
¿La co ndi ció n e s suf ic ient e para d efin i r l a i ncóg nita ?
¿Res ult a l a c on dici ón ins ufi ci e nt e?
¿ex ist e inf or ma ción ex trañ a ?
¿Res ult a red unda nte ?
¿Es con tr ove rsi al?
¿Se com pre nd e el pl ant e am ien to de l p robl em a?
53
¿Es po sibl e repl ante ar el p ro bl ema de u n a fo rm a má s s en cill a?
¿El prob lem a resu lt a simi lar a alg ú n ot ro pr obl ema ya
res uelt o?
En est e pri m er pa so, es i mp res cind ib le id ent ific ar si e l pr obl ema
tie ne lo s dato s nece sa rios para res ol verlo o si po r el co nt rar io f al ta
al gun a in form aci ón.
3.1.2. Configuración del plan
En e sta eta pa el est udi ant e hac e uso d e su co noc imie nt o, im a gina ción
y c reat ivid ad p ara d esa rrol l ar u n a est rat eg ia que l e p e rmi ta
des arr olla la s est rate gi as o ac cion es ne ces ari as par a so luci on ar e l
pro ble ma; es im port an te ut ili z ar aquel los p roble ma s q ue no t i enen
una so luc ión ú ni ca. El do c ent e p ued e gu iar a l os estud i ante s a tr av é s
del p roce so. E n es ta eta p a, es im po rtant e expl ica r a lo s e stu di an t es
cóm o des ar roll ar las sigu ien t es estr ateg i as para q ue p u ed an usa rl as
cua nd o s ea neces ari o:
Ens ayo y erro r (C on jet ur a r y p rob ar l a c onje tu ra)
Res olve r un p rob lem a si mi la r má s si mp l e
Hac er u n d iag rama
Hac er u na list a
Plan te ami ent o d e un a vari ab le
54
Enco nt rar u n Pat rón
Hac er u na fi gur a
Real iz ar un diag ram a
Emp lea r r azon am ien to dir ect o
Uso d e r azon ami ento indi rec to
Emp lea r la s p rop i ed ad es de l os Núme ro s
Trab ajar h acia at rás
Uso d e c as os
Res oluc ió n d e un a e cu aci ón
Emp leo de u n a fó rm ul a
Usa de u n mode lo
Emp leo de a n ális is dim ens ion al
Iden ti fi c aci ón d e s ub- met as
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Uso d e co ord ena d as
Uso d e s im et ría .
3.1.3 Ejecución del plan
En es te p aso, el es tud ian te debe apl i ca r la est rat e gia o es tra tegi as
el egid as p ar a resol ver co m ple tam en t e el p rob le ma. S e re co mi enda
res erv ar u n tie mp o r az ona ble p ar a imp lem en tar e l pl an; si no se lo gr a
el éx it o, el pr oblem a deb e dej a rse de l ado y s egu ir con o t ro , solo
para vol ve r a él más tar de. El do cent e p ued e gui ar e l pr oce so co n
preg u nt as: ¿ Pue des v er cl ara ment e que e l pa so es co rr ecto? ¿Pu ed es
pro ba rl o ?
3.1.4. Mirar hacia atrás
El ú lti mo p aso es muy imp o rtan t e porq ue le b rind a al es tudi an te la
opo rtu nida d de r evi sa r su t rab aj o y ase gu ra rse de que n o comet er
al gún err or; E st o pued e bas ars e en l as sig uien tes p regu nta s:
¿Es co rre ct a su so luci ó n?
¿Res po nd e la re spu e st a al pr obl em a?
¿Pu ede ext en ders e la so lu ció n a un cas o gene ral ?
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Cu ando l os es t udia nt es ut il i zan cons ci e nt e y cu ida dos ame nt e tod os
los pas os a nte ri o res p ar a res olv er p robl ema s, ap re nden a p lani fic ar e
imp le ment a r est rat eg i as que p erm i tan el éxi to .
3.2. Estrategias educativas
Con sid er and o q ue es te capí tul o se anali za el mé tod o d e P ól ya com o
es tra tegi a p ed agógi ca, es ne ces ari o exp li ca r su sig ni fic ado en el con text o
d e est a obr a, con si d eran do l a de fi n ición de C ast ro y Q uiño nes ( 200 8):
Po r estr at egias educ ativ as se e nt iend en a q uel las a ctiv ida des qu e
em ple a el d ocen t e con el o bjet iv o de fa cil ita r l a form aci ón y el
apr en diz aj e de d iv ers a s disci pli nas en l os est u dia nte s. P ara que n o se
lim it e a sim pl es téc ni cas o gui ones , deb en est ar s uste nta d as en un a
ri ca prep ara ción t eóri c a de l os doce nt es, p orq ue en l a t eorí a se
enc uen t ra l a c reat ivi dad n eces ar ia e n el c omp le jo p roc eso de
ens eñ anza -a pr endiza j e.
Si e l do cen te tien e un a bue na p repa r ac i ón te óri ca, ti e ne las her rami ent as
n eces aria s para im pl eme nta r d iv ersa s estra t egia s; esto, s uma do a l a
im agi na ci ón y l a crea ti vid ad, pe rm ite q ue la s act ivid ade s y su ge renc ias s ean
sig ni fic ativ as par a l os es tudi ant es y cont rib uyan a s us p roces os de
apr en diz aj e .
3.3. El aprendizaje significativo
El apr en di zaj e s igni fi ca t ivo ve en el es tud ia nte a un proce sa dor activo de
in fo rm aci ón , el apr endiz aj e es sistem áti co y org ani za do p orqu e es un
fe nóm en o com pl ejo que n o se li mi t a a sim pl es r ecue rdos aso ciat iv os . L a
re solu ció n de pr obl em as requi e re p roces os sist em áti cos y o rga niz ados p or
p arte d el es t udi a nte, quie n p ued e en c on tr ar en el mé t odo pr op uest o d e P óly a
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u n m e dio p ara p romo ve r estr ate gia s de ap rend iza je, pone rla s en pr áct i ca y
eva lu ar s u im po rta nc ia s in el emp leo de sim ples as o ci a cion es m em orís ti cas.
El a pren di zaj e sign i fi cat iv o cond uce a l a cre aci ón de nue va s est ruct ur as de
con o cimi ento a t rav és de la con e xión ma t erial entr e e l n u e vo co n oci mi ento
y los p en sami entos pre vi os d e los es tu d ia ntes. P e ro ¿q ué pr oce sos y
es tru ctur as s e aplic an p ar a lo gr ar un aprend iza j e s igni fi cat ivo ? S e gún
Au sub el, se pr od uce n cam bios im por tan t es en l a est ru ct u ra de nu est ro
con o cimi ento co mo resul tad o de la as im il ació n d e nu eva inf orma ció n; p e ro
es to es p os ibl e sólo baj o ci ert as con dici on es f av or abl es. L a reso luc ión d e
lo s p ro bl em as r equi e re cono ci mien tos pr evio s de l os est udi ant e s, y t am bié n
p roce sos qu e modi fi can las est ruct u ras exis t ent es, que fa vor ec en la
as imil ac ión d e nu ev os co n ocimi en tos y l a g en era ción de co noc imi ent os.
La s cond ici on es fa vor able s par a lo gra r un apren diz aj e si gni fi cat ivo est án
re laci o nada s co n l os nue vos co noci mi entos , l os c uale s d ebe n es tar
re laci o nados co n los co noci mi ent os p re vio s de l al umno , la m otiv a ci ón par a
el apre ndi zaj e y los m at eri al es pre pa rados p a ra el ap rend i z aje po r par te d el
d ocen t e . Para que el apren di zaj e s e cons i dere ve rda der am ent e im por tant e,
d ebe cu mp l ir var ias co ndi c ione s: el nu evo co no ci mi ent o deb e s er no
ar bit rar io y es ta r ese nc ialm ent e r elac io nado con lo que el est udia nte ya
sa b e, dep endi en do de l a cap aci da d d e a pren di zaj e d e es te últ imo
(m oti va ci ón y a ct i tu d) y tam bi én de l a natur al eza del mat e ri al d e
apr en diz aj e o conten id o d e ap ren di zaje . Es mu y d ifí cil qu e l os a lum nos
o bt en gan ap rend izaj es impo rta ntes s i el do cent e n o est á c om prom etid o co n
su tr ab ajo, su p eraci ón y form aci ón . Ad em ás d e dom in ar s u d is cipl in a, deb e
te ner mot ivac ión, cap a ci d ad pa ra pl an i fi car, e stru ct urar y pl anifi ca r sus
act ivi d ades do c en tes .
El mét o d o d e reso luc ió n d e p r ob l em as de G eo rg e P óly a dem ues tr a ad apt ars e
a las nec es i da des de l os estudi an tes , y a qu e su es t ru ctu ra de cu atr o paso s
le s permi t e d esc u br ir q ue las herra mie ntas p rop orc ion ada s favo re cen el
d es arr oll o de h abil id ade s y co mp ete nci as pa ra e n co nt ra r sign i fi ca do y
u tilid ad en sus a cti vid ad es. La c reac ión d e u na guí a did á ct i ca de p rob lem as
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b as ad a en el m ét od o d e G eorge P óly a re sul t a una h erra mi ent a út il para
ana li zar cuid ado sa ment e l os di fe rent es el em ento s de un p r obl em a ,
p lanif ica r e im pl emen t ar d i feren tes estr ateg i as p ara e ncont ra r u na sol u ci ón.
Al a greg ar e l méto do de P óly a a su ru tina de tr a ba jo , lo s es tu di ant es p ue den
re solv er p ro blem as m ate mát i cos b ásic os d e m ane ra est r uctu r ada. As imi sm o,
lo s do cent es de be n est ar e n un p roc eso conti nu o de f orm ació n y
act ua l iz a ció n pa ra qu e su s p rá cti cas p ed agó gic as se en ri que zcan
con sta nt eme nt e. F in alm ent e, es i m po rta nt e que la i nsti tu ci ó n ed ucat iva abra
es p ac ios para qu e los do ce nt es comun iqu en y com par tan este tip o d e
exp er ien ci a s i mp or t ant es c on sus par e s, y apl iq u en g uí as did áct i cas,
ada pt ad as a la s n eces id ades es pe cí fi cas de c ad a gru po d e e st udi ant es .
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Capítulo 4
Ejemplo de aplicación de método Pólya en la resolución de un
problema
En es te capít ulo s e hac e e l reg ist ro de u n a exp eri enci a de b ú squ ed a y
con str uc ción d e co n o cimi en to a p arti r de u n pr ob le ma, por p art e d e lo s
es tu di an tes de un cu rso de sis t emas din ám ico s li ne ale s, est o s res ult ado s d e
la met odo logí a de la en se ñanza - ap re ndi z aj e pu ed e n s er t rans f er id os a ot ras
ár eas d e f orm aci ón a cad émi ca uni v ers itari a. El á rea d e i n ve sti ga ción f ue e l
con ju nt o de acti tud es y c apa cid ade s de mo st ra das p or lo s al umno s d e un
cur so de ál geb ra li n eal pr ep ar ato rio a un cu rs o d e teo rí a de co nt rol en la
car re ra de i ngeni e ría de s ist em as. S e tra bajó el álg ebra lin eal co n u n
enf oq ue g eo métri c o y se u ti li zó la he rra mie nta com put acio n al p ar a rea li zar
su c esi va s p rueb as qu e l leva r on al desc ubrim i ento d e pr opi eda des
¿Cuál es el objetivo?
Va lo r ar la he rra mie nta i nform áti ca de acu e rd o con su v el oci d ad de res pues ta
en e l p roce so de r eco pil aci ó n d e in form aci ón y r eal iza ción de op era cio nes
q ue no se pue den rea li zar m a nua lme nt e p orqu e la o per ac ión matri cia l
re que rirí a t ie mpo y es fu erzo . C on b ase en las o bs er va ci on es, se hi c i eron
n uev amen te p re g unt as má s esp e cí fi ca s, qu e de fini ero n y di fer en cia ro n l as
h ipót esis p ara u n nu ev o ci cl o más pro f un d o d e inves tig ac ión- a cción con
h ipót esis es p e cí f icas .
¿Herramienta computacional elegida y por qué?
Se emp leó el paqu ete de pro gr amas Scil ab (Bas il e) desa rroll a do p or e l gr upo
M ETA 2 en el In sti t ut N at io nal d e Rec her che en I nf orm at iqu e et en
Au tom a t ique (INRI A) d e Fra nci a. El ob jet i vo del sist em a e s pro po rci ona r a
lo s e xpe rtos en m ate mát i ca ap l ic ada de una rob ust a he rr amie nt a de cálc ulo
mat ric i al . El p aqu et e Sci l ab es de di str ib ució n g rat uit a por el I NRIA ,
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con sid e rado un p aq u et e d e s of twa re ci en tí fico para c ál c ulo nu mér i co en u n
ent orn o a mig a bl e.
En tre sus ca ra cte ríst i cas s e e ncu e nt r an :
Est r uc tu raci ón de dato s el abor ado s (m atr iz pol i nomi al, ra ci on al y de
car ac ter es, li st as , sis tem as m ult iva riab l e s li n eal es).
Int e r pret a ci ón y len gua je d e p rog ram aci ón d e fo rm a pa r eci da al
M atlab .
Pre sen ci a d e gr a fi cac ión en do s y t re s d imen si one s. An i ma ci ón .
Est r uc tu raci ón a bi er t a (i nte r faz con Fort r an y C vía o nlin e con
lin kea do d inámi co ).
Po see bi bliot e cas d e m acro s.
Pre sen ci a de á lgeb ra linea l (in cl uy e ma tr i ce s ral as, for ma s de
Kr onec k er, Sch ur.. .).
Con tr ol es (Cl ás ico, LQ G, H -i n fin i ty...).
Paq u et e p ar a In ec uaci on es Matr ic ial es Li n eal es, opt imi zaci ón .
Ti en e proc es am i ento de se ñal es .
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Sim u la ció n d e v a ria s ó rd enes .
Pre sen ci a d e opt imi za ci ón (di f er en cia ble y n o d ife ren ci abl e,
re solu ció n LQ).
Met an et, c on an áli sis de gr afo s y opt im i z aci ón).
Con ca pa cida d si mb ól ic a a tr av és d e un a i nt e rf a z co n M ap l e.
Concepción metodológica empleada
Emp l e o d e un a m eto d olo gí a d e i nves t ig ac ión-a cci ón ba sad a en la t eor ía de
la inv es ti g aci ón in terp ret at i va . El doce nt e a ctúa como ob ser vado r
p arti cipa nt e en relac i ón con e l p roye cto d e i nv es tiga ción -a cci ón. Se bus có
la pr of undi za ci ón d el in v es t iga dor edu ca ti vo en el cont ex t o qu e an ali zab a
p ara c apta r el senti do de las ac ci on es de lo s p art icip ante s. Pa ra el pro pio
d ocen t e , el aul a no era un espa ci o físi co , si no u n la bora to rio , do nde él
mi smo adq ui ría cono cim ie nto s y amp l i aba s us punto s d e v ist a.
La s p regu nt as, r espu est as y sug er enci as d e lo s es tu diant e s ofr eci ero n un
cam po de inves tig ac ión a ct iva a de m ás de la di dá cti ca de la s mat emá ti c as
com o ci en cia. L a ef ica cia de l o s pro ceso s de e ns eñ an z a y apre ndi za je m ejo ra
cua nd o el tr aba jo de a ul a s e con vi erte en un e sp acio de inv est iga ci ó n . En
es ta l í nea, s e a pl i ca el p u nt o d e K ier keg aard cu a nd o dic e:
“S er un maest ro en el se nt ido v erd ad ero es s er un apre ndi z. La
inv est ig ació n i ni cia c uando el do cen te ap ren de del al umno, p oni én dose
en s u lu gar d e m an er a qu e pu eda comp ren de r lo q ue e l alum no ent i en de
y l a f orm a e n qu e l o hac e".
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Concepción epistemológica y didáctica
La es tr at egia ped agó gi ca usad a en e st a e xp eri enci a s e fun d am enta en l as
con cep ci o ne s q u e im po rt ant es in ves t ig a dore s int r od uj eron en l as úl tim as
d écad as, ent re las qu e se c uent an :
Con cep ci ón d el est u di an t e co mo su je to ac tiv o de lo s pr oc esos
edu cat iv os.
Co ncep ci ón de u n a rel ació n inte ra ct iva y d ia lógi c a ent r e e l educ ad or
y el a l um no con e l p ropó sit o d e l ogr ar un cam bio d e act itu d es ,
com por ta mie ntos y g rad o d e con oc imien to de am bos s uj etos , s in qu e
es to impl iq ue l a p érd i da de id ent id ad y de ro l es e spe cífi co s.
Va lor aci ón de l a i mpor t anci a d e l a m oti v ación y l a v iv en cia pa r a
con se guir ap ren di za j es sign i ficati v os y pe rdur abl es .
Va lor aci ón d e l a i nte r acci ó n entr e l o s a sp ectos c ogni t ivos ,
p si c omotr i ces y a fec ti vo s que op eran en los p roce sos d e ap ren diz aje .
Acción
El fa cto r que ini c i ó l a acci ó n f u e el pro blem a mot ivad or r esu elto con
h err am i enta comp uta cio n al. Ca d a u no d e lo s p roble m as han si do p repa rad os
d e f orm a c ui d ados a, como unida d d e apre ndi zaj e. S e bus car o n p robl em as en
apa ri e nc ia m uy simp les , s in em ba rgo , p ro movi eron un i nte ns i va r efl exión ,
sob re pro pi edad es c ono ci das , condu cen t es a la bús qu eda d e sol uci on es.
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Papel de las herramientas empleadas y enfoque epistemológico
En e ste co nt ex to, l a h e rr a mi e nta in fo rmáti ca i nfl uy ó en el ab or daje
epi st em ol óg ico d e la s m at e má ti cas. Ex pr esab a P ól y a q ue:
la s ma t em áti cas s on co ns i d erad as u na c i enci a d em os tr ati va, ese es
sol am e nt e un o d e su s asp ecto s. E l t rab aj o ma tem át ico pa rece
pu ram ent e d emo st ra ti vo cua ndo e stá te rmi n ado, y co nsi ste ú nic am en te
en de mo str acio nes. S in emba rg o , es ta ci enci a es si mil ar e n su
des arr oll o a cu alqui er ot ro co no cimi ent o hum an o. U n teo rem a
mat e mát i co d eb e s er i nt uido ant es de que pue da se r pr obad o. A sí c omo
la i de a d e una pr ueb a ant es d e h ace r l os d et alle s. E s n ec esar io con ect ar
obs er vaci on es, segu ir an al o gí as e i n t enta rlo una y otr a v ez. El
res ult ado d el tr ab ajo dem ost ra tivo d e un m at emát ic o es el
raz on ami ento demos t ra tiv o, la pru eb a; pero a s u ve z est á const rui d o
po r el razo n am i ento pl a u sibl e, la in tui ció n. Si el estud io de las
mat e mát i ca s es en cie rta m edid a un r e flejo de l a i n venci ón d e esta
ci enc i a, debe ha b er l ug ar par a la int ui ción , par a l as co ncl usi one s
pl ausi bl es.
El mé todo de ens eñan za empl e ad o s e fun d am entó en el docu ment o de trab ajo
"Pe rsp e ct iv as so bre la en seña nz a de l a Geom et ría par a el sig lo XXI"
p resent a do por ICMI RESE AR C H 8 ICMI , Se vil l a, 1996, do nde se exp one
q ue l a ge omet rí a d ebe cre ar co nex ion e s si st emát i c as i nclu so en ni v el es
ava nz ado s, e ntr e te oría s g ene ral es a bst ra cta s y su i nte rpre t ación in tuit i va y
v isual .
La r esol u ción d e pr ob le mas s e con cib e c om o u n a a ctiv id ad q ue c r ea un
p roce so en el que el e st udia nt e comb in a c ono cim ient o s, regl as, t écni c as,
h abili d ades y c onc ep tos prev i am en te adqu irid os pa ra e nco nt rar una sol u ci ón
a una nu e va sit ua ci ón . Las mate mát i ca s se reco no cen como un pro d ucto y
u n p roc eso; e inf orma ció n o rgan iz ada y acti vid ad c reat i va en la que
p arti cipa el al um no. De hecho , s e pued e arg um ent ar que el pr opósi to real
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d e a pr ende r re gl a s, té cni c as y cont eni do s es p rin ci p alm en te pe rmi tir qu e el
es tu di an te ac tú e en mat emáti ca s y, p or supu est o, qu e res uel v a prob lem as.
As í, l a r esol u ción d e pr oble mas p ue de con sid era rs e l a ve rda de ra es enci a de
la s m a te m áti ca s.
Problema de investigación
Est a fue u n a situ ac ión did áct ica qu e su rg ió en las cl ase s d e á lg ebra li neal ,
con sid e rado el módul o pr evio al c ur so de teo rí a de co ntr ol. Los sis t em as
d inámi co s lin eal es s on la bas e p ara la mo der n iz aci ón d e la m ayor ía d e los
sist e mas e n eco nom ía, ing en i erí a y ci e n ci as apli ca das. Su sim pli fi caci ón y
d ivisi ón en subs i st em as m ás s i mpl es (d es aco pl am ie nto del si stem a) s e ba s a
en el á lge bra l i ne al , y es pe cia lme nte en los co nc epto s d e ma tri z y
d iago nali zac i ón d e fo rm as d e Jo rd an .
En se ña r l a fo rma c anó ni ca de Jo rdan si e mpr e ha sid o di fícil p or l as
sig ui ent es r a zon es :
1 . La co mpl eji da d y pro fun did ad de l a t eo ría fun d am ent al.
2 . Di fi cu lt ad p ar a i lu st r ar con c ept os con cá lcul os m an ual es (e l o rde n de
la s ma tri ces ap en as aum ent a a dos) . P or ejem pl o , inv a ri anc ia d el
sub es paci o, f un ci ón mat rici al a pli c ada a ve ct or es de di f ere nt es
sub es paci os en fo r ma ca nón ica , et c.
3 . Fal ta d e ti emp o d esti n ado en el cur r íc u lo a apli cac io nes qu e
d espie rte n e l i nt erés de l est udi ant e po r a pr ende r.
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Est as d ificu lt ade s g en eral es se ma gni fic an cua nd o s e tr at a de ens eñ ar a
es tu di an tes q ue no e stá n est ud iand o ma t em át ic as . Siend o un d esa fío que a
me nudo se pasa p or alt o. Se t ra ta de resis tir la t enta ció n de de sar ro llar
con te nido s mat em áti cos co mo si los est ud iant es f uer an ma tem áti cos en
p ot en ci a y, en cam bi o, es prec is o bus ca r mét od o s alt ern ati vos . E n est e p unto
la s h err am ient as compu t acio na les pued e n s er d e g r an ayud a.
As imis mo , los cu rsos e spe cial es de m at em á ti c as par a c arre ra s pro fes ional es
tie nen un a di fic ultad a dici o n al: el al eja mi ent o cron ol ógi co d el ál g eb ra
lin eal bás ica con duc e a l olvi d o d e co nc ept os bá si c os e n el ma nejo de
o pera dore s l in ea les , como propi e dad es de pol inom i os y noci o nes d e espac io
v ecto ri al , y t ransf orm aci o nes li ne ales . En e ste ejemp lo s e ha ce un a
eva lu aci ón d el pape l de l a her rami en t a inf orm á ti ca e n la s olu ción de la
se gund a dific ul t ad pl ant ead a, que se re fi er e a la velo cid ad de respu es t a de
la comp ut ador a e n l a b ús que da d e conc ep tos y v eri fic aci ón de
car ac ter íst i ca s. Este pr oc es o, a su vez , es ne ces ari o p a ra crea r con oci mie nt o
im port a nt e.
Situación en el aula
Se tr abaj ó con forme a l os si g uien tes ej e s:
1 . La meto dol ogí a ba sad a en l a p arti cip aci ón d el est ud i ant e co mo a gent e
d e su ap ren diz aje proc ur ó ha bil it arl o co n el uso de p rogr am as
in fo rm át icos .
2 . La s p au tas de tra baj o fuer on las sig ui en tes:
◦ a ) L os al umn os t ra b aj aron en u n la bora to rio de comput aci ón ( d os o
tr es p o r má quin a), en el ti emp o asi gnado a cl ase s prác tica s.
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◦ b ) En un co mi enzo se ut il i zó la com pu tado ra co mo un a gr an
cal cu l ad ora num éric a, c o n fu nci o nes i n corp or adas de ál geb ra li neal
(s ist ema s c ompu ta cio nale s p ara el cá lcu l o mat ri cia l).
◦ c ) Lo s alum nos no re cib ie ron n o cion es es p e cí fi cas so br e s is tem as
o pera ti vo s ni pro gr a m aci ón, ya qu e exist en s obr e es tos tem as
es p ac ios y t i em po s pr e vi s tos en el cu rríc ulum .
◦ d ) Se r eali zaro n t ra ba jos pr ác ti cos para el rep as o y man ejo de los
sig ui ent es t ema s: op era to ri a m atri ci al, s ist em a d e e cu aci on es
lin eal es , es p ac ios g en erad os , d ep end en ci a e inde pen de ncia l ine al,
b as e, d im en si ón, rang o, im ag en, ba ses o rt ogon a les y
tr ans fo rm aci on e s lin ea les.
Estrategias didácticas
La s t area s co ns is tía n e n re cop ilar cono cim ient os s ob re sit u acio n es
p roble má tic as y con so li da r c onc ept os. La comp utad o ra aho rr ó ti emp o en lo s
cál cu l os ruti na rio s y en l a co n fi gur aci ón y sol uci ón de pr oblem as d e d at os
re ales . La el a bora ción del p l an m eto d oló gi co se b asó en l a par ti cipa ció n de
lo s es t udi ant es ut il iza ndo l a he rra mie nta d e dis cus ión. L a a cti v i dad fue
o rg an i za da p or pr opo sici one s suc esiv as q u e surgi ero n d el p r obl ema
mot iv ado r ori gina l util iz ado como di sp ar ado r. L a i nd ucc i ón natu ral fu e
se guid a po r l as p rop ias p reg unta s d e l os est ud i ant es. Pr oble mas mo tiv ad ores
(a ve ces s imp lez a i n ge nu a ) fue ron dise ñad os en un v erd a dero tr ab ajo de
d ise ño d idá cti co .
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Recopilación de datos
Se ob s erv aron las ac ti tud es y h a bi li da des d el es tudi a nt e en pr ob lem as que
in vol ucr an con ce pt os de ál ge bra l in eal q ue puede n se r re su el tos c on ap oyo
d e co m put ado ra.
Es tu di ant e frente a l a co m putad o ra .
Pru eb a d e perc epci ón y a lm acen ami ent o:
Ca pac ida d d e comun i ca rse en tre s ím bolo s ma te máti cos y
le ngu aje in form át ico.
Ve lo c id ad de cap tura d e la l ógic a d el sist em a.
Re ac cion es a r esp ue st as ine sp erad as de la com put a do r a.
Es tu di ant e an t e s de ap rend er
Va lo r aci ón y regi str o :
Int e rp ret ació n y u so d e l a not aci ón y el l engu aje de s ímb olos del
ál geb ra l ine al.
Habi l id ad pa ra i nves tig a r la v ali de z de p rop ie dade s d esco noc idas
po r analo gía o int uici ón .
68
Una opo rt unid ad d e obt ene r nu ev a i nform aci ón s ob re el err or.
Ca paci da d pa ra com pl et a r p eq u eñ as tar eas teóri cas .
Habi l id ad para fo rmul a r y re sol ve r pr ob lem as de ál geb ra lin eal
en s itua ci on es del mun do rea l.
Cri ter ios pa ra e l aná lis i s de s ol ucio nes .
Registro de observaciones
Lo s es tud i a nte s pro p usie ron l os pas os a seg uir e n el prim e r pr oblem a
p lante ad o: dia gon al iz ar l a m atr iz.
Paso 1.
Autovalores obtenidos
Lo s estudi an te s encon t r aron l os au t oval ore s de l a matr iz em plea ndo
la fun ci ón SP EC del sis t em a. El ve ctor fo rm ado p or lo s au to valo re s
que s e o bt uvo de la m atri z A en el or de n d ado se d esign ó en e st e
tr aba j o con l a si guie nt e ma ne ra (los au tov alo res s on ún i c os , p ero no
form a n un co nju nto ord en ado) :
L = SPE C (A) L = [ - 1, -1, - 1 ]
69
Se obs erv a qu e l a m ult ipl i cida d al gebr aic a de l au to val or -1 es igua l
a 3 .
Paso 2
Autovalores obtenidos y autovalores anteriores
Lo s alumn os p ro cedi ero n al c álc ulo de lo s auto v e cto res
corr es pond i ent e s, us an do ahor a l a fun c ión KER de l s iste ma S cil ab
(Ba sil e). S e r ecor dó la d e fini ció n d e au to valo r y au t ov ec tor :
Sien d o A u n a mat riz de n po r n co n com po nent es r e al es o co m pl e jo s,
el n úm ero L(i ) (r eal o com pl ejo) se d eno mina au tov alo r de A si exis te
un v e ctor di fer ent e d e c ero U tal qu e
A U = L (i) U
El vect or U dis tint o del v ect or nu lo lo ll ama ro n aut ove ct or d e A
corr es pond i ent e al a u tov ec tor L (i) . Est a ecuac ió n es equiv a lent e a l a
ecu aci ón mat ri c ia l
(A - L (i) I) U = 0
La igua ld ad o rig ina un s ist em a de tr es ecu aci on e s c on tr es
in cógni ta s, c on un de t ermin ant e n ul o po r def ini ció n d e au tov al or. L as
sol ucio n es e nco ntrad a s de est e si st ema fo rm an un esp ac io v ect o ri al .
La r esol ució n de este si st em a e s equ ival ent e a en contr a r e l nú cleo de
la tr an sf orm aci ón ( A - L (i ) I) .
70
La f un c ión KE R qu e s e apl ica a l a m atr iz (A - L(i ) I) e n el s ist ema
com put aci ona l S cil ab (B as ile ) prop or ci on a u na base de e ste
sub esp acio .
Sea R = KE R( A-L (i ) I )
Ob teni énd os e una mat riz do n de l as co lum n as re pr esen tan los
aut ov alor es busca dos . Encon trá nd o se que el sub es p acio
car ac ter íst ico asoc ia do al au tov alor -1 e s d e di me nsi ón do s.
Paso 3
Respuestas naturales a:
a) ¿Qué si gn ifi ca l a mul tip lici d ad geomé tri ca?
b) ¿ Rel ació n exis te nt e ent re la m ult ip li ci d ad ge om ét ri ca y l a
al gebr ai ca?
Sien d o L (i) un a u tova lo r de la m at riz A , se tien e q u e la m ult ipli c idad
geo mét ric a de L(i) e s l a d ime nsi ón de l su besp a ci o K ER (A- L(i ) I ) .
Lo s parti ci pan tes obse rv aron qu e la mu l ti pli cid ad geo mét r i ca e s
me nor que l a mu lt ipl i cida d al geb raica ; así , l a m at ri z A n o es
di agon ali zab le . En est e caso es pos ibl e en cont rar una m atriz
se mej an t e, más senc il la, au nq ue n o dia g on al iz abl e .
Por lo ta nt o , se pr op o ne u n a t r ans fo rm aci ón que co ndu zc a a l a ma t ri z
dad a a u na forma "p ar ec i d a" a la fo rma d e Jo rd an J. No ob st ant e, e l
pro ble ma p rin cipa l es en cont rar una mat riz que per mi ta l a
tr ans forma ció n se mej ant e, es dec ir u na mat ri z M ta l que A M = M J ,
71
don de J es l a m a triz de J ord an. En t onc es, l as col um na s d e M s erán
vec tor es d e una base c onte nti vos de lo s au to vect ore s ya h al lad os.
Ori gin ánd os e un pro bl em a s em ej ant e al pri mer o.
Paso 4
Obtención de vectores que conforma una base de
dimensión 3, contentiva de autovectores calculados y con
columnas que formen una matriz M adecuada.
En e l tr ab ajo “El eme ntar y L in ear Alge br a” , Stan le y I . G rossm an
pro pus o el uso de fórmu l as de Filip pov pa ra el cál cu lo de lo s
lla m ad os aut ov ector es g en e rali zad os que p erm it en compl et ar una
bas e del es pac io en cuest ión , jus t if icán dos e l a fó rmula pa ra una
mat riz de se gu ndo o rd en.
Lo s estudi an te s apli ca ron est a fó rm ul a a l a m at ri z d e ord en t res del
pro ble ma (A+I) V=U , don d e U es un o d e los auto ve ct or es obt en i d os
y V e s un aut ov ect or g ene rali zad o qu e s e trat a de en contr ar. Al busca r
la sol u ción d e la ecu aci ón co n cu alqui er a de lo s dos au tov ect ore s,
rem pl azan do U por cual quie r a de los ob t e nido s s e or igi na u na
in comp ati bili d ad
Lo s al umno s r e ali zaro n el cál culo sig ui ent e: Mat ri z de l sis tem a.
Cál cul o d el ra ngo de la ma tri z usa ndo la fu nc ió n RA NK , s e ti ene :
RAN K( A+I) = 1. La m atri z am pl i ada co n la pri mer a colum n a d e R
don de las co l umnas so n l os a ut ov e ctor es d e A , la n ot am os [A + I,
R(:, 1 ) ].
72
Do nde con R (:,i ) en el sis tem a S ci l ab s e in di ca la col um na iési ma de
la mat ri z R. L u ego
RAN K( [A+I , R (:, 1) ] = 2
Ma tri z amp li ada con la se gund a c olu mn a de R r es ul ta rá y t am bién
RAN K( [A+I , R (:, 2) ] = 2.
Se d et erm ina qu e la m at ri z del últ imo sis t ema t ie ne rango 1 mi ent ra s
que l a m at riz amp lia da co n cu alqu i era d e l os do s auto ve ctor es tie n e
rang o mayo r. L a sit u ació n pr ov o ca sorp r esa en lo s a lum nos ya q ue,
en el cu rs o de álge br a li n eal pr evi o, si gu ien do lo s p ostu l ados de
Stan l ey I. Gro ssma n, d em ue str an qu e par a ma tri ce s d e s egun do o rden ,
a p arti r d e u n a ut ove ctor U ex ist e un au to vec to r g en eral iz ad o V que
sa tisf ac e la e cu ació n (A+ I) V=U Pe ro l a fó rmula no func i ona para
es te e jem pl o.
¿Qué ocurrió?
Lo s es tud ian te s hic i eron un a i nd u cció n f als a al g ener ali zar el enun ci ado
ant er i o r a can tid ad es di sti nta s de d os. Pa ra est as se cuenc i as , si emp re hay
u n ve ctor p rop io gene ra liza do de l v ect or qu e pert en ece a l espa ci o prop io.
Sin em bargo, el vec to r i nic i al p ar a l a i m plem ent aci ón del alg o ri tmo no es
n ingú n v ecto r en e l e spa cio v ecto ria l pr op io ( o e spa cio pr o pi o).
Aq uí , ra di ca la im po rta nc ia de la s he rrami e nt as in for mát i cas en la
g ener ac ión de c onoc imi ent o a tra vé s d e u n raz o na mie nto pl au si ble e
in tui ti vo se h ac e ev ide nte d es de el pri nci pio , c on p ru eb as qu e e stim u l an l a
abs t racci ón re fle xiv a y la bús qu eda de una teo ría fun dam ent al. De h e ch o,
p ara e st os estu dia nt es, est e e j em plo t ras cen dió la te orí a co n oc id a.
73
Su rgi en do ot ro p rob l em a del t r ab aj o de cl ase : En c on t r ar un ve cto r e n el
es p ac io v ect o ria l ad ec uad o, qu e, sust it uye nd o en l a fó r mu la de F i li pp ov, dé
u na solu ción . Est e probl em a fu e at ac ad o con di fere nt es crit eri os seg ún lo s
g rupos d e e st u di an t es , b usc and o u n a lgor itm o t eór ico de mo str able
in tui ti vame nt e, es d e ci r te ore ma de l a con str uc ció n. Mu ch os grup os de
es tu di an tes enfr enta do s al pr oblem a co men za ro n a propo rci on ar vec to res
(s in cr ite ri os esp ecí fic os ) y pr oba r en la com puta dor a la po sib ilid ad de
o bt en er v a lores m ás alt os.
El p ro fes or, co mo obs erv ado r p art ici p ante, t r ató d e est imu la r el
p ensa mie nto ge omét ri co tod o el t i em po . A co n tin u ació n, mos tra mo s un a
p ropu esta esp eci al me nt e in te res ant e de un gru po de estu dia nt es. Si gui ero n
es te r azon ami en to: en lu g ar de t rat ar cie gam ent e de h acer prue b as
con se cuti v as (c o mo hi ci eron la m a yo ría de l o s gr upos ) par a apli c ar l a
fórm ula de Fili ppo v, el igi er on us ar un v ecto r d e esp ac i o d e co lum na
as o ci ado co n l a ma tri z R . Bu sc and o un pseu dov ect or ge n eral iz ado q ue
p ermit a com plet a r l a b as e c on cie rto s crit erio s g eom é tric os . D ond e con
cr ite ri os tot al men te i ntu it ivos , au da ce s y l a v eloci da d de ens ayo y er ror que
p ermit e el o rd enado r, ap li c aron la f órmul a de tr ans form ac ión d e s em ejan za
(c amb i o de po sic ión) que u til iz arí an p ara u n ve cto r pro pi o gen er aliz ado
re al. Pro c edien do, as í, a l a r esol uci ón de mat ric es .
Resultados logrados
Ob tu vi e ron un a matri z se mej ant e a Jord an, si n embargo , no la form a
can ón i c a pr opi a me n te dic ha. P e ro n o se di eron po r ven ci d os y po r es o
in ici aron un a n u eva e st r at e gi a
Paso siguiente
Sig ui en do id e as int uit iva s, em pl e aron un ps eud o a uto v ect or gen era li zado
[1 ,2 , -1] colo cá ndo lo en la fór mul a d e Fil ipp ov, en el lug ar qu e t en dría un
74
v erda dero ve cto r g ener ali zado en el pri me r miem b ro. R eal iza ro n el p rod uct o
in dica do en el pri mer m i em b ro de la fórm ula y o b tuvi ero n aho ra un vect or
q ue in tu yer on pod ría pe rt e nece r al esp a ci o gen erado por l os auto v ect ores
o bt en idos , es o tra s pa la bras us ar on la fi lo sofí a de l a f órmul a de Fi li ppov e n
el sen ti do inv erso .
Concl usiones de la experiencia
La s obs e rv ac ion es re ali zad as en est a e xpe rien c ia mu est ra n l a
com pa tib ili dad del a pr endi za je de l gr upo de e st udi ante s co n la
com pr en si ón d e Pól y a sobr e el apr endi z aje de las mat emá ti cas. De
h echo , la oper aci ón in t ui ti va d e demo st r a ci on es su cesiv as co nduj o a
u n razon am i e nt o geo m étri co p l ausib le y, d esp ués de la int uic i ón del
al gori tm o, a l a d emo stra ció n d e l a propi ed ad.
La s he r rami en t as in fo rmát i c as pr opo rci o n aron un ent orn o de tr ab ajo
in tel ect ua l y g ene rar on id ea s q ue h ab rí an si do imp osi bl e s de l lev ar al
ju ego de pr ueb a y err or sin l a a yud a de una co mp utad ora .
Si b ien e l trab aj o de sc ri to y r eg i stra do fu e reali za do po r u n g rup o d e
es tu di an tes , o t ros es tu dian t es mo st rar o n gr an in t erés en el te ma.
Po r l o gener al, el tem a s e cu bre solo a niv el t eó ric o en l as cl a s es d e
ál geb ra l ine al. N o se a fi an zan el t rab ajo con ej em plo s.
Aun que no todo s los gr upos l o grar o n resu lt ad o s so rp r en d ent emen te
cr eati v os co mo el gr upo de comp ara ció n , el traba jo de tod os lo s
es tu di an tes fue i nten so e n la c om pr en si ón y m an ejo de co n cepto s
te óri co s. Re cor demo s que es una a sig n atu ra cu ya t eorí a s e con sid er a
“m emo riz ació n d e o raci o nes ” i nclu so a ni v el d e p reg rado .
75
To dos lo s estud ia ntes vie ron el ál geb ra li neal com o una mat e ri a que
p romu eve el e stu dio de pr opi ed ades más q ue como una teo ría q ue se
es tabl e ci ó p revia me nte en b as e a al gún e jem plo.
En la ex per ie ncia d es crit a, los e studi ant es al ca nza ron un ni ve l d e
apl ic ació n inus ual. El cr eci mi ento c ogn iti vo s e ev alu ó c omo e l
d es arr oll o d e c onc ep tos y p roc esos .
76
Capítulo 5
Propuestas de Pólya
Pa r a p rop o ner e id enti fi car di fer e nt es for mas e n la qu e l os algo rit mos
p ued en u sa r se en la res olu ci ón d e prob l em as , es n e ce sa rio sent a r l as bas es
sob re di fere nt es as pe ctos de la re so luc ión de pro bl emas y lo s alg ori tmo s.
Lo s p lant e amie nt os de Póly a en pa rticu l ar permi ten c on fir m a r l as h ipót esi s,
apo rt ando e lem en to s qu e fa cil ita n a la inv est i ga ció n con ec tar algo ritm os
com o p ar te c reí bl e .
De la m ism a ma ne ra, l as di fe rent es h eu rí st ica s p ropu es tas por Pól ya , q ue de
al gun a ma ne ra ut iliz an o tr os au tor es p ara r es olve r pr oblem as , per mit en
p ropon er d ifer ent es f or mas d e u til izar lo s alg ori t mos r el aci ona dos. As í,
ta mbi én dest ac a l os el em en tos t eóri cos m ás i mpo rt ant es de la re so lu ció n d e
p roble ma s, e n l os q ue adem ás d e ex pli ca r l as defi ni ci ones asu mid as,
al gori tm os vs. Res ol uci ón d el prob l em a.
La res ol uc ión de p r ob l em as es un a part e impo rt ant e de la inv est iga ció n en
edu ca ció n m ate máti ca desd e l a dé cad a de 19 60, y Póly a (19 45) es u no de
sus pri nc ipal es pr ec ur so res . Sho enf eld (19 85, cit ado en Al ons o y M ar tíne z,
2 003 ) di vide el t rab ajo d es arr oll ado en est a área en cu atr o en f oq u es:
Pro blem as que si túa n a las m ate má ticas en un co nt exto de “mun do
re al”.
Mat em átic as apl ic ad as o mo del os matem áti cos : se refi ere al u so de
mat e mát i ca s sup erio re s p ar a re sol v er p rob l em as d el m und o r eal .
77
Inv est iga ción s ob re proc eso s cogn itiv os : inv est iga ción re lac ion ada
con el es tu d io de asp ecto s del pe nsam ie nto mat e máti co rel aci ona dos
con l a r es ol uc i ón de p ro bl emas .
Def ini r y ens eñ ar las habi lid ades ne cesa ria s par a re solv er pr ob lem as
mat e mát i cos.
A esto s en foqu es se su m a l a r es olu c ión d e pr ob lem as com o est rat egi a para
la ens e ña n za y el apr en di z aje d e la s m at e má ticas , q u e es q uiz ás el enfo que
a travé s d el cu al s e des arrol la la ma yor par te de l a i nv esti ga ción act ual en
edu ca ció n m a tem áti ca . El traba jo de Pól ya (1 945 ) pued e esta r en el cu art o
enf oq ue y fue y si g ue sien do un ref eren t e teó rico par a el des ar roll o de l a
in vest ig ació n a ctual e n re solu ció n d e pr ob le mas. Adem á s , d ad o q ue l os
in ter eses de l a in vest iga ció n no e ran lo s as pec t os cog ni tiv os, no t om aba en
cue nt a las apli c acion es d e las mat em áti c as o l as p ro pues t as didá cti cas , y no
p rete n dí a so lo s er un me di o pa r a d es cr ibi r el mundo real , l a i nve sti gac ión
se d iseñó en el cu ar to en f oq u e.
La s he r rami en t as te óri ca s pro pues t as po r Sh oen fel d fu e ro n las pr opu est as
en el t ra baj o de Pól ya . Por ot ro lad o, P óly a afirm a q ue el us o de l t ér min o
sol uci ón en di fere nt es ora cio n es pu ede c ausa r con fusi ón e n s u co mpr en si ón ,
p ues sig ni fic a: a ccio nes re ali z adas en re lac ión co n la r es oluc ió n de una
ta rea, resul ta do de dic h as accio nes un obj e t o que cum pl e las c ond icio n es
d el pro bl ema. Por su pa rte , Puig (1 996 ) di st i n gu e en t re los t ér m in os
re sult ado , solu ció n y so l uci ón, a rgume nt an do q ue el p rim ero e s e l dat o que
cum ple l as con dici on es d e la ta re a, el s egu ndo co rres p ond e a l a
re pr es en taci ó n fi nal de lo s p as os qu e co nd u cen al r esu ltad o .
En t e rcer lug ar, a l as ac cio n es real iza da s par a en co nt rar un a so lu ción ,
con sid e rand o l as d ife ren cias s eñal ad as por Pól y a y Pui g (199 6), y
coi nci di end o con l as op in ione s d e Cod i na y Ri ver a ( 20 01) ac erca de p en s ar
u na so lu ción co mo un obj eto que cum pl e l as co ndic io nes pr es enta da s en un
p roble ma , y una s olu ció n como una colec ció n de acti vid ad es qu e c umpl e el
78
sol uci on ado r que pu ed e cond uc ir a l a s olu ció n de un pr obl ema c om o
enc on t ra r u na i n cóg ni ta.
En su pr opu est a, Pó lya pr opo ne c uat ro pa so s par a re so lve r u n probl em a:
com pr en d er e l pr obl em a,
form ul ar un p la n,
im pl e me nt ar e l pl an e
in vesti g ar l a so lu ción re sul ta nt e.
Si du ran t e los dos últ im os paso s e s p osi ble compl e tar, s iste mat i za r y
d ifer enci ar el co n j un to fin al d e p as os que d a n s ol ució n al pr obl em a, s e di ce
q ue p erm ite el uso de al men os u n alg ori tm o de sol u ción .
5.1. Solución de problemas mediante algoritmos
Est a c at eg orí a inc luy e usos que ocur ren cuan do se uti li zan algor itm os de
re solu ció n de proble ma s con o cid os para en cont ra r el em ent o s des cono cido s
o adi c i onal es que no form an pa rt e de l probl em a origin al , pero que brin dan
in fo rm aci ón i m po rt ant e par a res olve rlo . Esto s últi mo s se de nom ina n
el em entos aux ili are s. L a r ev isión d e l os tra bajo s d e Pó lya c ondu j o a l as
sig ui ent es fo rma s de uti liz ar a lg orit mos cont rol ad os ex pe ri me nt alm ente,
car ac ter iz ado s po r:
79
So luc ió n i nm edi ata del p robl ema u t il iza ndo el a l gor itm o.
Co mpos ici ón ite rati v a de un mi smo al gorit m o.
Com pil a ci ón de dos o má s al gori t mo s d ife r entes .
Emp le o de un al go ri tmo a nal ógi co .
Us o d e un alg o ri tmo pa ra defi ni r el e men tos aux ili are s.
5.1.1. Solución inmediata de un problema
En l os pro cedi mie nt os pro pu est o s p or P óly a par a l a res olu ció n d e un
pro ble ma s e encuen tra l a gen er aliza ci ón, co ns ist e e n p asar del
exa me n de u n pr obl em a o u n c onju nto d e p rob lem as al e xa m en d e un
má s amp li o g rupo de pr obl em as que lo (s) co nti en e(n) . El pr obl ema
para s o lu cio n ar t od os los p ro b le mas del co njun to m á s am pli o, s e
den omi na p roble ma ge n e ral, mien tr as qu e cad a uno de l os pr ob l em as
de es te grupo es ll am ad o p robl ema par tic ula r. Cu and o un p robl ema
gen era l ac ept a un a l gori tmo de s olu ción , és t e pue de us a rs e para
res olv er el probl ema pa rti cul ar, y s e apli ca sin m a yo r es var i aci on es
a los d ato s d el pro bl em a pa rti cul ar pr op u est o. En to nces , se ha
rea liz ad o u n a s oluci ó n inm edi at a de l p rob le ma p or m edio de un
al gori tmo.
5.1.2. Composición iterada de un mismo algoritmo
Otr o pr oc ed im ien to p ropu es tos po r P ól y a es l a desc om pos ici ón y
rec omp osi ci ón , en l os cu ale s se tom a u na ide a dir ect ri z pa r a l a
sol ució n d el p rob l ema y é ste s e d ivid e d e m an er a qu e e l
80
pro cedi mi ent o se cen tr e en los deta lles d el pr obl em a, ca da uno de
ell os se co nv i e rt e en un p robl em a au xil iar.
Lu ego de enc ont rar l a sol u ción de cad a u no de es tos pr ob l em as
aux ili ares , la d ir ect ri z ant es toma da p er miti r á compon er t od as las
sol ucio n es y enc ont rar l a sol uci ón del pr obl em a or igin al . E s l ó g ico
int ent ar desc omp on er el p ro ble ma en ot ros cono ci d os, de modo que,
si é sto s po see n un alg ori tmo de solu ci ón , su co nc at en ac ión c ond uz ca
a l a s olu ció n d el p rob lem a o rig i na l o l a co nst ru c ció n d e un al gori tmo
que s e us e p ar a e nc ont ra r la sol u ción.
En el c aso d e toma r un a p art e o la tot alid ad de los al gor itm o s de
sol ució n de los probl ema s auxil ia res , para e n co n tra r l a so lu ció n de l
pro ble ma o rig ina l, p ued e pr esen tars e l a c ompos i ci ó n ite ra da de un
mis mo a lgo rit mo o la comp osic ió n de d os o m ás al go rit mo s
di fer e nt es .
El uso prima ri o pue d e origi nars e cuan do: s e u til iz a repet ida s v e ces
un mis mo algo ri tm o, lo s alg ori tmo s de sol uci ón de l os p robl em as
aux ili ares en los qu e s e de scom po ne e l p rob l ema or igi n al com part en
la s ecu en ci a de pa so s, o cu an do l os p ro blem a s a uxil ia res c on stit uy en
part e d e un prob l ema g en era l con una sol uci ón qu e puede obt ene rse
me dian t e l a apl icac ió n d e u n alg o ritmo .
La segun da util idad pue d e p res ent ar s e s i se apl ica n d os o más
al gori tmos q ue soluc i o na n l os p rob lem as aux ili ar es e n l os qu e se
des com pus o el probl ema o ri gina l, d on d e c ad a un o de l os algo ritm os
di fie ren en al m e n os u no d e s us paso s.
5.1.3. Empleo de un algoritmo análogo
81
En l os pr oced i mient os q ue pr opo ne P ól y a (19 45 ), es po sib l e uti li zar
el m éto do o el resul ta do ob te ni d o de la s olu c ión d e p rob lem as
aná log os pa ra en con t rar la s ol ució n d el p ro bl ema ori gi n al.
Esp ec ífic am en t e, si s e empl ea el al g o ritmo d e s oluc ió n d e un
pro ble ma an álogo , bi e n s ea r ep iti en d o al gun os pas os, v aria ndo
únic am ent e l os d at os i ni c ia l es o us an d o lo s d at os f ina les co mo
el eme ntos aux ili a re s d el p ro blem a ori gi na l , s e di ce que se usó un
al gori tmo an álo go p ar a h alla r l os dato s.
5.1.4. Algoritmos en la determinación de elementos
auxiliares
A l a h ora de res olv e r un pro bl ema, m u chas vece s es nece sario
int rodu ci r ele ment os au xi l iare s, y a s ea pa ra au ment ar la ca nti da d de
dat os, p ar a def ini r n uev as re l ac io nes , o si mpl em en t e pa ra ent e n de r
el probl em a. Ad em ás , en geo me trí a, d on de al gun os d e l os e lem ent os
repr es ent ado s se ob t iene n por co nst ruc ció n, se suel e u tili zar l a
repr es ent aci ón grá fi ca p ara ent end er el pr obl em a. Po r lo t anto , lo s
al gori tmos se uti liz an p ara det e rmi nar elem en t os au xil ia re s cu and o
el ele ment o agr eg ado es muy imp ort ant e pa ra res ol ver el probl ema
ori gin al .
82
Capítulo 6
Retos para la docencia
A nivel in te r na cio n al , la res olu ció n de pro blem as y el des ar rol l o del
ra zon ami ento m atem át ic o está n c ada ve z más pr ese ntes e n los cur ríc ul os de
mat e mát i ca s. En p a rt i c ul ar, el pens am ien to a nalí ti co t rat a sob re l a
form ula ción e inv es tig aci ón de sup o sic io nes mat emá ti ca s y el desar roll o y
eva lu aci ón d e arg um ento s y p rueb as m at em át ic as co m o un a form a esp eci al
d e r az ona r y ex pr esa r el razon am i en to . Esta tend en ci a tam poc o es aje na al
cur rí culo esp año l, pues to que exi ge que lo s es tudi ant es se an c ap ac es de
form ula r h ipót e si s y s upos ici on es, y r az onar co n ell as.
Un an ális is cuid ad oso y d eli be rado en re lació n con l os co nce ptos
me n cio n ados an te rio rme nte p uede s er sug er ente , int e re sant e e i n clus o
d es afi an te par a pro fes or es e in vest iga dor es i ntere sad os t ant o en l a
re solu ció n de pro bl em as com o en la ed ucaci ó n est ocá s tica
2
. Parti c ul a r, el
cr ite ri o de evalu aci ón de la co mpet enci a d el alu mn ado en rel ació n co n l a
cap ac id ad de f ormu l ar jui ci os (op in ion es) en sit ua cion es senc ill as, e n las
q ue n o e xi st e el a zar, y de v e ri fi c ar dic ho res ult ado (se gún p roba bili da des)
d el est án da r “ hac er conje tu ras y es tim aci on es sob re cual quie r j u ego
(m oned a s, da do s, c art as, lo ter ía s, e tc.) con j untam ent e con : re solv er t are as
q ue r equi e ran con t rol heu ríst ic o d el c ont eni do de es tadí sti cas y
p roba bil idad es, estr a te g ia s, ra zona mi en to, hip ót esi s ge ner ació n,
con str uc ción , arg u menta ció n y tom a de d eci sio nes , e valu and o sus
im pli cac io nes y fac ili da d de us o, est ánda res qu e s e repr odu cen pa ra
es tu di an tes de pr ima ria y d e s ec un d aria .
2. S e e m p l e a r á e l t é r m i n o e s t o c á s t i c o p a r a h a c e r r e f e r e n c i a a u n a f o r m a d e p e n s a m i e n t o
q u e c o m b i n a i d e a s e s t a d í s t i c a s y p r o b a b i l í s t i c a s , fa c i l i t a n d o la to m a de d e c i s i o n e s y
a s u m i r r i e s g o s , de u n a f o r m a r a z o n a b l e , e n s i t u a c i o n e s d e i n c e r t i d u m b r e ( S ch u p p ,
1 9 8 9 ) .
83
Lo s pro fe sore s podrí an pregu nt ars e: ¿cómo h ac er es o cua ndo la l ite rat ura
es p ec i ali za no p ar ec e h ac erl o fá cil ? L a p r im er a r esp u es t a se pu ede en cont rar
en l os l la ma dos trab a jo s de Lak atos ( 197 6) y P ól y a (19 66 ), q u e F ia llo y
Gu tié rre z (2 017) d eno min an pr ueb as conj etu r al es , per o con la no t able
d ifer enci a de que , po r su es toc asti ci d ad , pu ed en se r co nsi d era d as
con jet ur as—a fir mada s p ar a conv enc er d e la bond ad d e una conj et ur a m ás
q ue p ara pr oba r fo rma lm ente su v erda d, com o en es t os pr obl ema s.
El ni vel de ex igen ci a q ue est as pre scri p ci on es cur ricu la res repr ese ntan p ara
lo s d o cente s, s u e sca s a p re para ció n al r esp e ct o (Hue rta , 2 018 ), y en f orm a
in ici al y pe rm an ent e, l a fal ta de recurs os a u til iz ar, in clui do s los li bros d e
te xto vi gent e s, que no ayud a n a lo s do cente s a asegu rar el logr o de los
es tu di an tes lo gre n e sa s c omp ete nci as, l a res ol uc ión de tar ea s r utin a ri as , el
mod elo de enseñ an za me ca ni ci st a, con el qu e s e suel e tr a tar la en señan za
d e l a p rob ab ilid ad y la es tadí sti c a, i n vita a p ensa r cu ál deb e s er la form aci ón
b ási ca y c ont inu a d e lo s fu t u ros d oc ente s p ara part ic ipa r e n ot ra s form as de
edu ca ció n .
Ot r a form a de in cen t ivar el us o y fo rmul aci ón de hi pótes is ba sad as en la
re solu ció n de proble m as es a c tiva r el ra zo na mie nto pl aus ibl e (P óly a , 1 96 6)
p ara form ula r su pues to s razon abl es y d ise ñar p roc edi mien to s qu e perm it a n
argum en tar s obr e la va l ide z d el su pu es to r eali za do. Otra for ma de en s eñ ar
p roba bil idad q ue se r ela cio na br evem ent e co n las op er acio n es m atem át ic as.
6.1. Hipótesis en la literatura
Has ta don d e se sa be , exi s ten poco s traba jos en l a lit e ratu ra de educ a ci ón
mat e mát i ca q ue pre ste n es pec i al at en ció n a l a di al écti ca d e hip ótes is -
con jet ur as en inv es t i ga ci on es q ue n o tr at en c on dem ost ra cion es
mat e mát i ca s. Fu ri n ghet t i, Oli ve ro y Pao l a (201 0) re al iz an u n ex pe rim en to
d idáct i co, los auto res re fl ex ion an so bre l as d i fi cul tad es a l as qu e se
enf r en t an tan to p rofes ore s co mo alum nos pa ra reso lver tare as abie rta s de
d emos trac ió n hi poté ti ca.
84
Del mi sm o mo do, Fi al lo y G uti ér rez ( 20 17) in ves tiga n qu é as pect os
cog n iti vo s pon en de r el i ev e lo s estu dia nt es e n un mi sm o t ipo de p ro ble ma:
pri m e ro, al form ul ar un a co nje tur a, y
seg und o, a l demos tr ar q ue la c on j etur a es, ma tem át ic am en te
v erda der a, ne cesit ánd os e formu lar un a p rue ba fo rmal .
De Vi ll iers y H eide ma n (20 14 ) mues t ra n c uán al ej ad a es tá la ac tivi da d
mat e mát i ca de las acti vi d ad es es co lares c on las mat em áti cas , s eñ al ando qu e,
p or eje mpl o, no si emp re se hacen l as su pos ici on e s cor r ectas , mu cha s v ec es
la pri mer a se equ ivoc a, por eso es t an i mpor t a nte el r ech azo d e u na prem isa
com o fal sa. Pero se qu ej an de q ue la ens eñ anza no favo rece est e aspe ct o d el
tr aba j o m ate mát i co, que suel e most rar el prod ucto fin al mat em áti c am ent e
p ul id o si n most rar su des arr ollo , y no f av or ec e l a f órmu l a de c onj et ur as
re fut abl es como u na f orm a d e de s arr oll ar e l p ensa mien to cr íti co.
Sin emb arg o, e sper an qu e, tanto e n l a e s cue la obl iga tori a como a ni vel
u ni ve rsit ari o, l o s est udi ant es ten ga n la opo rtuni d ad de fo rmul ar su s
sup os icio n es y l ue go pr obar las o r efu tar las . E n l a m is ma l ínea s e enc uen tra
La mp ert ( 1990 ), par a quie n c orr er el ri es go d e los su pues tos in for mado s ( en
el s enti do de Lak ato s, 19 7 6 ) pres up one el re c ono ci mie nto de la
con fi rma ció n d e l as hi póte sis i nves tig ada s por el aut o r d el su pue sto , q ue lo
o bs er va do pued e ha be r sido al go l im i ta do y las con cl usio ne s pu ed en haber
sid o i n ap ro piad as .
Est e tr abaj o va en la lín ea d ond e la r esolu ció n de pr obl ema s pr obab ilí sti cos
q ue ll am am os conje t uras - dis cu t ie ndo s u v eros im ilit ud o conf ia bi li dad ,
o fre ce a los est ud ian tes un a bu en a op or tuni d ad para desar rol lar conj et uras
con ri e sg o, pe ro cont rola das m edia nt e l a r eso luci ón de p ro bl ema s.
85
M ayo r es aún l a esca sa pr esen ci a d e la d ial éct ica hi pót es is-s upu est o e n l a
lit e rat u ra d e ed uc ac i ón est ocá sti ca en l as di ver sas f ormas en que c ada uno
se exp res a. L a pres en cia de es t os tér mi nos sue l e h acer re fer enci a a l a
act ivi d ad m ate máti ca en la qu e s e de sar rol la. Así , ap ar ece n e n p roc eso s d e
mod ela do en el s ent ido d e h ip ót e sis de tra bajo y e n el sen ti do d e s upu esto s
en pro ces os de simu laci ó n. Huert a (201 8) señal a que est a di al éct ica deb e
d esple g ars e en proc es os pr o b abilí sti co s de res ol uc ión de pro blem as , en
con tr aste c on e l esca so pa pe l atri bui do a es ta di al éct ic a e n est u di os pr evio s,
q ue p ens amos d eb e enc on trar se e n l a co nst ruc ció n del p ens ami ento
es to cásti co y m at emát i co s egún .
De hec ho, en e l ju ego hi poté ti co- conj et uras y su argume n to a favo r o e n
con tr a, s e pi en s a que el pr oces o de mod el ad o o s imul aci ó n para justi f i car
la bo nda d de la su po si ció n e s ra zon able y cuánt a bo nda d p ar ece most ra r la
p roba bil idad . L i nv es tiga ción y los en foq ues p ara es ta ens eña nz a bas ada en
ju ego s, r es ult an esca s os , aun que autor e s como P r at t (2011 ) y Pfa nnk uch
(20 18 ) s ug i eren cambi os par a u na com pren sió n rev isad a d e la p roba bili dad
y el cur rícu lo d el si glo X X I .
Efe ct i va ment e , Pr at t ( 20 11) c ons i de ra la i d ea de “ansi ed ad e pi stem oló gi ca”
com o una m et áfor a de l a ans ieda d qu e el ap ren diz aje de un con c ept o, la
p roba bil idad , p rovo ca en los est u di an t es en más de un sen t id o: c lási co o
te óri co , re p eti ti vo o e mp íri co y subj eti v o, arg um ent a que la s propu es t as
cur ri cul ar es act uales no pu ed en mi ti g arl o , si no ex acerb arl o.
Est as suge renc ia s se basa n ca si e xclu si vam ent e en reso lv er p robl ema s de
rut in a co n mo nedas , da dos, ru eda s de r ule t a o bol as en bol s as o pac as. La
re laci ó n e nt re l os di fer en tes si gn ifi cad os de l a s p ro babi lid ad es se lim it a a
p roba r/sim u lar e st o s m at eri al es pa ra e nco ntr ar u n lím it e d e fre cue nci as
re lati va s co mo si exist i er a. E st as afirm ac ione s gene ralm ent e no t ie nen
p roba bil idad subj et iva. Dich a an si edad t a mb ié n pue de ex tend er se a los
d ocen t e s, q ui enes s on p ri sio n eros de la s recom en d acion es ant es
me n cio n adas , y es to t ien e con se cue nci as ev id e nt es pa r a l a ans i edad de l os
es tu di an tes .
86
Pr att (20 11 ) re com i enda con si de rar la prob abil id ad co mo una h er ram ienta
p ara mo del ar f enóm en o s in ci erto s y ens eñ arla par a ten er en c ue nt a l as
p ropu esta s act u al e s e n edu c aci ón est a dí st ica , como el an ál isi s ex pl o rato rio
d e dat o s y la in fere n ci a infor m al , qu e ti e nen e n cue nta la exte nsi ó n, el
ace rc ami ent o al raz on ami ent o estoc ást ico a edad es mu y t emp ra nas y la
sim u lac ión com o her ra mien t a p ar a est udi ar el c om port am i e nto d e fenó me nos
in cie rtos .
Po r o tro lado , seg ún Pr att (20 11 ) y P fan nku ch (2 018 ) p re v én u n nu evo
enf oq ue d el c ur rí culo d e es tad íst i ca , q u e bri nd ar ía un a educ aci ón ade cu ada
p ara el ciu dada no de l s igl o XX I. Los es t udi ant es d eben reci bi r e xp e ri e nci as
es tadí st ica s s igni fic ati va s re lac io nad as con:
a) t odo el c icl o de inv esti g ació n es tadí st i ca q ue va des de el p robl ema
in ici al h as ta l a con clusi ón ,
b ) l a s hi póte sis pre se nta d as p ar a in v es t igar el m od elo pro babil íst ic o que
se es tá co ns t ruye ndo , y
c) l a e val u ac ión de a rg um ento s co n re sp ect o a l a con fi abili dad/
fi abi li dad d e l a hip ót es is en l a con cl usió n, fo rm al o in fo rm al , con
ju sti fi ca ció n .
Pa r a obt en er esta s expe ri enci as , la s im ul ació n se cons id er a un a pa rte
in tegr al de l os pro ce s os d e m odel ad o pro babi lí sti c o. P fa nnk uch (201 8)
re com i en da co nsi d erar el mod elado prob abi lí sti co como un a pa rte
im port a nt e d el nu ev o cu rrí culo y l a i nv est i g ació n e du cat iva est o cásti c a.
87
6.2. Propuestas para un una enseñanza basada en la resolución
de problemas
6.2.1. Hipótesis y conjeturas en el razonamiento
Seg ún al gu nos aut o res, como B or o vcn ik y Ka padi a (20 18) , s e ha
con fi rm ad o que los in vest ig ador es y ed u cado res aún carec en de un
mod elo co nvi n cent e qu e p ermi t a a l os e stu di an t es obs erv ar y an ali za r
el r az onam ie nto prob ab ilís ti co. Segú n el los , se t rata de un mo delo en
et apa d e rea li za ció n, po r lo qu e su i nve sti gac i ón e s aú n un pr oble ma
de inv est iga ció n a bi ert o.
Exi st en un c on j unto de c ateg o rí as que f orm an un m od elo ten tat ivo
para c arac ter iz ar di c ho ra zona mie nt o en tér min o s d e hab il i d ad es .
Ent re est as ca te gorí as se encu en tra una q u e in clu ye un aná li sis
prel im in ar de las con dici on es de una situ aci ón ale atori a es p ecí fica
que p ermit e d eriv ar l as h ip ót e sis nec esa ria s par a m od el a rla . En e st a
cat eg o rí a s e d eb e enf ati zar la im port an cia d e fo rm ul a r h i p ót esi s y
es pecul a ci on es p a ra des ar roll a r mej or el ra zon am i en t o pro bab ilís ti co
y esto cás ti co .
Lo s re su ltado s de la i nve stig ac ió n sugie ren que un a de la s r az on es
que po d ría ex plic ar la det ermin ac ió n poco conf iab le d e l a
pro ba bil i dad de un event o o el va lor es pe rado de una vari abl e
al eat ori a es el ll ama do la p r es enci a de se sg o de i g u al p rob abil id ad
en el r azon ami en to, es d eci r, d ada la hip ót esi s, ci ert ame nt e ar bitr a ri a
o i n clus o extr añ a a c ual qui er ot ro o bs erva dor, de q ue tod os los
eve nto s e lem en tal es en el espa cio m u es tra l s on i gu al m ent e p osib l es,
y en ba se a el lo hac er una s upo si ción s ob re u na pr ob ab ili d ad o va lo r
es pera do qu e es im p ro bab le , ir razo nab le o im pro bab le pa ra un
obs erv ad or, in clu s o pa ra l a p erso na que h ac e la s u posi ció n.
88
En el co ncep t o cl á si co de p ro b ab i li dad , b asad o e n l a hi pót esi s de
igua l prob abil id ad, l a r egl a de L ap l ace p ro po rci ona u na met áfo ra
para ex pr esa r el s upu est o de qu e to dos lo s event os ti enen la mi sma
pro ba bil i dad de ocu rre nci a ut il i za ndo la rel aci ón de l nú mer o de c aso s
favo ra bl es, n úm ero de caso s pos i ble s.
La hi pót es is s e f orm ul a con bas e en el pri n ci pio de indi fer en ci a o
cau sa ins uf i cie nt e. E nt onc es, de sde l a p er spe cti va del r azon ami ent o
pro ba bil í sti co, lo s s ujet os, in clu so cuan do opera n bajo l a il usi ó n de
la i gual dad d e pro babi li da d es, so lo s e com por tan d e m an era
in consi ste nt e o i r ra cio nal d e u sa r, d e acuer do co n l a ló gi ca im pue st a
por l a r egla de Lapla ce y el r azon am ient o s uby ac ente , el p rin cip io de
indi fe ren ci a.
Por lo tan t o, d esde una pe rsp ect iva did ácti c a, el s esg o d e ig ual
pro ba bil i dad p u ed e b rin dar un a b uena o portu ni da d p ara ap rend er
sob re el proc es o y el s ig nifi ca do de det ermin a r la p roba bil ida d d e u n
eve nto , s i s e enti end e com o u na f orm a d e med i r la con fia bil ida d de
una me jo r sup os ició n sob re la ocur renc i a de un ev ento , supo si ción
que es tá con di ci on ad a por ci ert as hi p ótes is pr ev i as y reg la s de
raz ona mi ento p l ausi bl e (P ól ya, 196 6).
Si la hip ó tes is acep ta da e s un a hip ótes is de ig ual pro bab ili d ad , l a
regl a de Lapl a ce nos pe rmi t e cuan ti fic ar la mej o r hip ót esis posibl e.
Si, por el co ntr ar i o , se rec haz a l a hip óte sis formu l ada , ento n ce s l a
regl a de L a pl a c e no es úti l y s e d eben ut il iz ar otr os m étod os y
pro cedi mi ent os para med i r la pro b ab ili dad o c on fia bil ida d d e la
hipó t esis.
En ot r as pal abra s, requ i e re pres en t ar y res olve r un probl em a, como
adv ier te Pó ly a (1 966 ). P ero l as hi pó tes is n o de be n es tar au sent e s, y
no d eb en es tar imp lí c ita s o i mpu estas , com o s u el e ocu rri r en l a
doc en ci a . L as hipó te sis d ebe n esta bl e cers e, di sc u tir se, con s ensua rse
y, co mp ara rse.
89
Par a ell o, los p robl em as deb en ent ende rs e com o p ro bl em as de
fi abil ida d de su posi cio ne s (hi pót esi s), qu e di fi eren en e l d esa rrol lo
fi nal d e l os pr ob l emas de fiabi li dad de de tec ci ón d e L akta tos (1 97 6 )
y Pól ya (196 6) o en lo s pro blem as de c ontr ol de su po sic io nes de
Fial lo .
6.2.2. Las hipótesis, conjeturas y el arte conjetural
Lo s té rmi nos h ip ót esis y co nj etu ra co tid ian am en t e se us an co mo
sin óni mos . P a ra m u chos p rof eso res de m atem áti c as , el u so
indi fe ren te de lo s mis mo no re sul ta e xt raño po r l o qu e co n fund en
con cept os cu ando su s ig ni fic ado de be con sid er ars e lim ita do a l
con tex to de h acer ma t emá tic as . E st udio s p are cen co n fir mar q ue es tos
té rmin os tiene n m ás de u n sig ni fi cado pa ra los fu tur os doc en tes , lo
que a su vez sugi ere d ifi cult ad es p ar a co mp rend er el pro ces o de
res olu ció n d e p robl em as q ue h em os den omi nad o co nj etu ra-
con fi abili d ad/ c re di b ilid ad , es dec i r, p roble ma s q u e re qui e ren l a
form ul ació n d e hipó t esi s, el es tab le cim ient o de co nj et ur as en f un ci ón
de l as hip ó t esis fo rmul ada s y el exam en d e su fia bi lid ad o
vero si mil itu d e n r el aci ón co n l as pr obab i li d ad es, com o ver emo s m ás
ade la n te , c ons t ru ye nd o argu me nt o s p ersu as ivos .
Por lo tant o, pa re ce nec esa rio mi ra r l os s ig ni fi cad os de es tos
té rmin os des de d if er e ntes p ers pe cti v as, ya s ea n encic lop édi c as,
filo só fic as , epi st emol ógi ca s o edu ca t iv as, pa ra pod er inte rp re tar en
qué s ent id o los f utu ros pr ofe so re s par ece n pens ar in ici alm ent e en
es tos t érm inos y en qué sent id o. de ber ían uti li za rlos para resol ve r
los p r oble ma s p ropu es tos en su ens eñ anz a.
En su sen tido en cicl op édic o, un a hip ó t es i s es "u na su posi ció n p ara
sa car un a c o n clusi ón sob re al g o po sibl e o impo sib le", m ien t r as que
una con jet ur a es " un j ui ci o tom ada so br e al go b as ada e n la ev ide ncia
o la obs erva ción " (R AE), q ue e n s í m ism a p r evé una posi ble
di fer e nci a ent re l os si gn if ica dos de amb os t érm inos .
90
Un a h ipót es is s e pre se nt a c o mo un a su pos i ció n s ob re a lgo y u na
es tima ci ón f orm ada po r u na sup osi ción s ob re al go . E n pa rti c ular, n os
int er esa el sig ni fi ca d o d el térmi no hip óte sis d e t ra b ajo , que la RAE
defi n e c om o “u n a hipó t esis es t a ble ci d a t empor al m ent e c omo b ase
para la in ves tig ació n ”. F err ater ( 19 65) d efi ne una hipó tes is c om o un
enu nc i ado en laza do o un a s erie de enun cia dos qu e pr eceden a otro s
enu nc i ado s que fo rma n s u ba se . Esta de fin ició n nos p ermi te intu i r l a
rel aci ón entr e hi póte si s y c onj et ur a en e l se nti do que nos i n t e resa el
raz ona mi ento pr obab ilí sti co : h ipót esi s com o b as e de con jet ura ,
hipó t esis d e ig ual p ro babi li dad como base d e co nj etu ra que t od os los
eve nto s e lem en tal es tien en la mis m a pro b ab i lid ad.
En mat em áti cas for m al es, las h ipót es is s e rel aci on an c on ot ra s
exp resi one s como fun d amen to, p rin ci pio , po st ul ado, c o nj e tu ra o
axi oma (F err ate r, 196 5) . E sto se ap li ca, po r ej emp lo , a la de fin ici ón
form a l de p roba bil id ad d e v on Mise s b a sad a en hi pót e sis so bre
col ec ti vo s, o la defi ni ci ón a xiom átic a de Kolm o g o rov o cual quie r
ot ra d e las m u c has def i nic io nes ax io mát i ca s exi st ent es qu e es tán
suj et a s a un estri cto esc ruti ni o n eces ari o en el ra zon ami ento
pro bat ori o. P ero est e n o e s el tip o d e r az on ami ento que def end emo s,
sin o un ra zo na m ient o plaus i ble y estoc ás ti co.
Así , con si d eram os la pos ición d e Kant so b re las hipót esis cua ndo
afi rma qu e las hi póte si s no deb en s er me ra s op i nion es, s i no qu e deb en
bas ars e en la pos ibi lida d d el obj eto. En es t e caso , los s upue st os son
hipó t esis co rr ect as "y raz on ab l es". Ad em ás, trat am os las h i póte si s
com o una esp eci e de andami aj e co n cept u al, es d ec i r, una hip ót esis
de tr ab ajo en el sen ti do qu e di ce Fer rate r ( 19 6 59 . Fer rate r dice que
el p a pel de est as h ipót esis es ay uda r a co mpr end er me jo r l os
fenó me nos en c ues ti ón. Lo s fe nóm en os no con fi rm an (ni ca mb i an) l a
hipó t esis, de lo c ont ra rio no s er í a un a h ip ót esi s, p er o no es
com ple t am en te inde pen die nte de los fen óm eno s, de l o co nt rari o no
con tri bui rí a en na da a l a c om pr e nsió n d e estos .
91
La hipót e sis d e igu al p ro babi li d ad c omo hip óte sis de tra ba jo n os
ayu da a c ompr ender l a l ey d e Lap lac e. Pó ly a (1 9 66) h abla de
hipó t esis e st a dí sti cas e n l a r esol uci ón d e pro bl ema s d e p ro b abil id ad .
Esta s h ip ót es is pu ede n e nt en d erse c om o un co njunt o de h ip óte sis de
tr aba j o. Po r ej emp lo, si l a nz am os un dad o y e stu di am os l a
pro ba bil i dad d e que la m ay o ría de los núm er os se an mayo re s q ue 4,
la hi pót esis esta díst ic a de qu e el dado se co ns i der a just o invo l u cra
dos hi pót esi s de tra ba jo, una so br e el comp ort ami ent o de cada uno
de los d ados qu e pu ed e co nsid e r ars e ( po r hi pót esis ) igual me nt e
pro ba bl e, y e l otr o s e r efi er e a l com po rta mi e nto de un conj un to de
dad os d ura nte un en sayo al eat or i o, d ado q ue s us r esu lta do s s on (po r
hipó t esis) i nd epend ie ntes .
Un a h i pót esi s e stadí sti c a no se eva l úa a menos q ue es te sea e l caso ,
pero si e l co mp or t ami ent o es per ado d el fe nóm en o a lea t o rio b aj o est as
hipó t esis n o o curre u ocu rr e con una p roba bi li dad m uy dé bil, se
just i fi c a u n a in vest ig ació n d e es tas hip ót esis . A sí, hay una premi sa
para n ueva s h ip ótes is , qu e es la t ra nsfo rma ci ón de l et ras ini cia les .
6.2.3. Propuesta de enseñanza
Pól ya (19 66) di scr im ina ent r e pr o blem as rut ina ri os y p robl ema s no
rut ina ri os . L os probl ema s pr obab i lí st icos , en l os ju ego s de aza r
equ ita tivo s, d onde l a cons ide r ació n de l a hip ót es is d e la
equ ipr oba bili da d e s razon abl e y l a re gl a d e Lapl ac e pe rmit e otorga r
pro ba bil i dade s a lo s suc eso s, pueden con ver tirs e en p rob lem as
cot idi an os e n l a ens eñ an za .
Cont in uan do con P ól ya , se ti e n e qu e los p robl e mas ru ti na r ios de
pro ba bil i dad son útil es par a l a e nse ña nz a , sin , emb a rgo l i mita r l a
ens eñ anza de la pro babi li dad a este tip o d e prob l emas es re baj ar su
apre ndi z aj e a u nos ni vel es escas ame nt e úti l es y fo rm ativ o s. Un
ej empl o d e su p ot en c ial p ue de v erse en M in yan a (20 18 ). E s prec iso
des arr olla r l o qu e aquí ente nd e mo s c omo p ensa mi ent o est oc ás ti co .
92
An iman do a l os est u di ante s a co ns ider a r no sól o l as hip ót esis
form ul ada s en un pr obl em a si no tambi én aqu ell as que se requ ie ren
para s u ab o rdaj e.
Efe ct iv am ent e, un en foq ue pa ra l a e nse ña nza d e l a p roba bil ida d y l a
es tadí sti ca como el qu e se i n fier e de lo qu e pro pon em os en es t e l i b ro
no pod ría t en e r é xito s in la pr esen cia de un pr o fe so ra do bi en fo rm ado
para ell o. Así , Hu erta (2 015, 201 8) p rop uso un mo de lo de fo rma ción
fun dam enta do en la r es ol u ción de probl em as con inte nci ón d id áct ica ,
en el que el profe sor en form aci ó n ti en e un do bl e p ape l fre nte a l os
pro ble mas q ue se les prop one :
en l o i nm edia to com o res oluto re s de lo s p ro blem as y,
pos ter iorm ent e, como f utur o p ro fes or que en cuent r a en l a
res olu ció n de lo s pro ble ma s que h a r esu elt o u n m ar co i d eal par a
pro du ci r ens eña nz a e n pr ob abilid a d y es tadí sti ca .
En est e m o delo i dó n eo, l o s p ro ble mas so n co nc ebid os como
pro ble mas de hi pót e sis con jet ur a-cr edib il idad / fi a bili dad . En l a
res olu ció n de es te ti po de pr obl em as e xi st en la com bin anc i ón de
as pect os pro ced ime nt ales com o:
una fo rma heu rí st i ca para l a res o lu ción d e pr ob lem as,
el emp leo d e s imu la cione s com o méto do d e r eso lu ci ó n de
pro ble mas d e p robab ili d ad con cont eni do heu rís tico , y
el an áli sis di d áctic o de spu és de l pro ces o de re solu ci ón c omo
ví a p a r a c ult iva r un a prof es i ona lid ad de l os p ro bl em as, co n el
pro pós ito , ent re ot ros , de ex plo rar la s opo rtu nida de s de
93
apre ndi z aj e p ro p o rci on a das en la res ol uci ón d e l os probl e m as,
con sid er ados en el co nt e xto d e en seña nz a.
El método de r esolu c ión que p ropo ne Hu e rt a (20 15, 20 18), req ui ere
que s e for mu l en un co nj unt o de hipót es is, est a dísti c as en el sent ido
de Póly a ( 196 6), con el ob j e tivo d e q ue l a si tua ció n de i ncer ti du m bre
ori gin al pu e d a se r a bor da da , mo de liz ad a. Anc la da a est a s hipót esi s,
el mé to do propo n e que el r es olu to r hag a al gu na co nje t ur a sobr e l a
preg u nt a del pro bl em a cu ya fiabi li d ad o cre di b i li dad se cu esti on a a
con tin uaci ó n.
La fia bil ida d o c redib i lid ad de un a co nj et u ra e st á i nmers a en un
pro ces o d e razo nam ie n to pl a u sibl e co n el p ro pós it o de a poy arla ,
ref ut a rl a o r efo rmul arl a. Impli can do , ad em ás, un p ro ceso de
inve sti g ació n do nde la s im ula ción o ex p e rime nt aci ón p uede n s er l os
inst ru men tos n e cesa rio s pa ra la fo rm ul ació n de l a me jor con jet ura .
Ad em ás , se en ma rca , en un enfo que má s g ene ral sobr e l a e ns eñan za
de l as m at em á tic as ll am ado in qui ry -bas ed l e arni ng ( IBL ), d efi nido
com o u na fo rma de e n señ ar y p rá ct i cas d e a ul a en la qu e l os p ro pio s
es tudi an t es p re gunt an y pr op one n c uest ion es, ex pl oran y e valú an .
Se inf ie re ent on ces , q ue el en foqu e par a la ens eña nz a de l a
pro ba bil i dad, e n todo s los ni vel es, e sté ba sado e n e st e ju ego
hipó t esis- co nj etu ra más ad ecu ado a l qu eh ace r mat emá tic o, co n la
di fer e nci a de que , en un m arco de in cert idum b re, d ad a un a h i p ót esi s
o un c on ju nto de el l as que co nd u cen a u n a co nje tur a, de ést a no se
pred i ca sob re su ver dad , l o que im pli ca u sar un ra zon ami ento
dem ost rati vo (P ól ya , 1 966 ), si no sobre su fi abil id ad o cr edi bi lid ad
en t érm ino s de prob abil ida d es, im pli can do el uso del r azon ami ent o
pl ausib l e.
Esta sug ere ncia pre te nde, prob ar co n ot ros enf oq ues al t e rn at iv os a
los ac tu ale s s obr e la e nseñ anz a de la p rob abil id ad y, en con se cuen cia,
94
de la ne cesi dad de for ma ci ó n de l o s p ro feso res en est a d i al éc ti ca ,
form a ci ón qu e en l a m ay orí a de l o s ca sos es b as t ant e de fic itari a .
6.3 A modo de reflexión
Act u alm en te , la educ ac ión ma tem átic a est á si en do cues tio nad a tan to en
té rmin o s d e co nte nid o co mo d e en foqu e. E l ca mbi o de sig lo y l a i rrup ció n
in dete ni ble d e l a te cno l ogí a en la vid a de los ciud ada nos po n e en t ela de
ju ici o el c onse rv adu rism o de l a edu caci ón matem át i c a ancl ado en el sigl o
ant er i or.
Re cie nt em e nt e, s e ll evó a cabo un a con fe ren ci a en Gi n ebra con el o bjet iv o
d e r espo nde r a l a preg unt a : ¿Qu é de ben a pre nde r l os est udi ant es en e l si glo
XX I? A t ra vés de l a con fer en cia se re com i en da n cambi o s en el cur rí culo
es col a r de m ate máti cas , s eña l an do q ué part es o te mas d eben i ntro duc irs e o
enf at i z ars e y por qu é, y más imp ort ant e , qu é as pe ctos d ebe n m ini miz ars e o
in clus o eli mina r se .
Est a dis cu sión a rgum en ta qu e la proba bi li dad y la es tad íst i ca j u eg an un
p apel más imp ort ante en l a s p rop uest as cur ricu la res u til iza n do un enf oqu e
d ifer ent e q ue, junt o co n u n enfo que he urí st i co p ar a res olve r p rob lem as
re ali stas , cont ri buye al de sa rroll o del r a zo nam i e nto est o cásti c o. E n es te
tr aba j o est a mo s llam an do a la s pu ert as de l a form aci ón doc ent e del si glo
XX I, que deb e en s eñar pr ob ab ili d ad y es tad íst ic a.
Se pr opo n e un nuev o enfo que de la nue va ens eñ anz a en t od os lo s niv el es
edu cat iv os, b asa d o en l a dia léc tic a hi pót esi s-c onje tu ra m e dian t e l a
re solu ció n d e p robl ema s real ist as c re adas co mo h ip ótes is -opi nió n-
fi abi li dad /fiab ili dad , do nd e e n la co ns tru c ci ón de arg u men tos para a poy ar
o r e ch az ar l a h ip ót es is , es a de cu ado u n e nfoqu e t eóri co, i te rati vo o
sub jet ivo de p rob a bili dad es.
95
Con est e t rab ajo , t am bién s e a van za m od est amen t e haci a un a p ropu es t a d e
u n fu tur o cu rríc ulo co mo el que plantea Pf annk u ch (20 18 ), qu e comb in a
el em entos de la act i vi da d m ate mát i ca en l a re sol uci ón de p rob lem as cuan d o
se ap l ica a t are as p roba bil íst ic as y que s e da n sen tid o entr e s í. Im pli ca
al gun os pro c es os d e r azo n am i ento : po r e jem pl o, el razo nam i en to
mat e mát i co, bas ado e n l as h i pó te sis nece sar ias que perm iten un tra tam ie nto
mat e mát i co de un prob lem a rea li sta form ul ad o en es te conte xt o en
con d icion es de i n cer ti dumb re ; q u e p re su pon e el r azon amie nto p rob abl e
n eces ario p ar a fo rmu la r su pue stos r aci on ale s y que f inalm ent e p resu pon e el
ra zon ami ento est ocá sti co que p ermi te const rui r argum ento s so b re l a
fi abi li dad o p roba bili da d d e los s up u estos en un ci ad os . ¿O es el
ra zon ami en to est ocás t ico una com bin aci ón de t odo s est os? L a res pues ta se
enc uen t ra en el d es arr oll o de p ro pu es ta s como es ta y la ne ces a ri a
in vest ig ació n sob re e l com port am ien to de l os d ife re ntes act ore s, d ocen tes y
al umno s.
96
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